Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача К4
Прямоугольная пластина (рис. К4.0—К4.4) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К4.5—К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=f1(t), заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).По пластине вдоль прямой BD (рис. 0—4) или по окружности радиуса R (рис. 5—9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s=AM=f2(t) (s выражено в сантиметрах, t — в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0—4 и для рис. 5—9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М пока-зана в положении, при котором s=AM>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А).
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1=1с.
Указания. Задача К4— на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1=1c, и изобразить точку именно в этом поло жении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).В случаях, относящихся к рис. 5—9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t1 = 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.
Таблица К4
ДИНАМИКА
Задача Д1
Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость Vо, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизон тальный, а другой наклонный (рис. Д1.0—Д1.9, табл. Д1).
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости V груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила , проекция которой Fx на ось х задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t1 движения груза от точки A до точки B, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x=f(t), где x=BD.
Указания. Задача Д1—на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t=0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина д участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что
Задача Д2
Задача Д2
Груз 1 массой т укреплен на пружинной подвеске в лифте (рис. Д2.0—Д2.9, табл. Д2). Лифт движется вертикально по закону (ось направлена по вертикали вверх; выражено в метрах, t — в секундах). На груз действует сила сопротивления среды , где v—скорость груза по отношению к лифту.
Найти закон движения груза по отношению к лифту, т. е. х= f(t); начало координат поместить в положении статического равновесия груза при неподвижном лифте (во избежание ошибок в знаках, направить ось х в сторону удлинения пружины, а груз изобразить в положении, при котором х>0 и пружина растянута). При подсчетах можно принять g≈10 м/с2. Массой пружин и соединительной планки 2 пренебречь.
В таблице обозначено: c1, c2, c3—коэффициенты жесткости пружин, λо—удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в начальный момент времени t=0, V0—начальная скорость груза по отношению к лифту (направлена вертикально вверх). Прочерк в столбцах c1, c2, c3 означает, что соответствующая пружина отсутствует и на чертеже изображаться не должна. Если при этом конец одной из оставшихся пружин окажется свободным, его следует прикрепить в соответствующем месте или к грузу или к потолку (полу) лифта; то же следует сделать, если свободными окажутся соединенные планкой 2 концы обеих оставшихся пружин.
Условие (μ=0 означает, что сила сопротивления R отсутствует,)
Указания. Задача Д2 охватывает одновременно темы: относительное движение и колебания материальной точки. Сначала нужно составить дифференциальное уравнение относительного движения (по отношению к лифту) рассматриваемого в задаче груза, для чего присоединить к действующим силам переносную силу инерции. При этом заменить подвеску одной пружиной с жесткостью, эквивалентной жесткости подвески.Затем проинтегрировать полученное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, учтя начальные условия.
Задача ДЗ
Тонкий гладкий стержень, расположенный в вертикальной плоскости, изогнут так, что состоит из прямолинейного участка и двух дуг окружностей радиуса R=0,5 м, г=0,6R, сопряженных в точке K (рис. ДЗ.О—Д3.9, табл. ДЗ). На стержень нанизан шар весом Р, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости c=k(P/R)-другой конец пружины закреплен в точке О. Длина пружины в нe-деформированном состоянии равна l0.
Шар начинает двигаться без начальной скорости из положения Во, определяемого углом α (при α=90° считать шар чуть смещенным от равновесного положения в сторону точки В1); достигнув точки В1, указанной на рисунке, шар освобождается от пружины и дальше движется под действием только силы тяжести.
Считая шар материальной точкой, определить, какую скорость он будет иметь, придя в точку D, и с какой силой будет давить на стержень в этой точке (силу давления выразить через вес Р шара). Положение точки D, когда она находится на дуге радиуса R, определяется углом β, а на дуге радиуса г—углом γ. На рис. 2 и 3 В1 произвольная точка дуги ED.
Указания. Задача ДЗ—на применение теоремы об изменении кинетической энергии точки. Решая задачу, учесть, что теорему можно применить сразу на всем перемещении, совершаемом шаром от начального положения до положения, в котором надо определить его скорость. Когда скорость найдена, для определения силы давления шара на стержень изобразить шар в том положении, в котором эту силу надо определить, и составить уравнение движения в проекции на нормаль к траектории, направленную к центру соответствующей окружности, т. е. уравнение mv2/ρ =Fn.
Таблица Д3
Рис. Д3.1
Рис. Д3.0
Рис.Д3.4 Рис.Д3.5
Рис.Д3.8 Рис.Д3.9
Задача Д4
Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3=0,3 м, r3=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3 = 0,2 м, блока 4 радиуса R4=0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (рис. Д4.0—Д4.9, табл. Д4); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4—равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффи циентом жесткости с.Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопро тивления (от трения в подшипниках).
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным S1=0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: V1, V2, V3, Vc5 — скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно, ω3 и ω4 - угловые скорости тел 3 и 4.Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рис. 1), катятся по плоскостям без скольжения.На всех рисунках не изображать груз 2, если m2=0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.
Указания. Задача Д4—на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что ки-нетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении Т для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение s учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.
Рис.Д4.6 Рис.Д4.7
Задача Д6
Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2 м) массой m1 = =24 кг вращается с угловой скоростью ω0=10 c-1 вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс С платформы на расстоянии ОС = b (рис. Д6.0—Д6.9, табл. Д6); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д6.0, а (вид сверху).
В момент времени t0 = 0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m2 = 8 кг по закону s = AD = F(t), где s выражено в метрах, t — в секундах. Одновременно на платформы, изображенные на рис. О—4, начинает действовать пара сил с моментом М (задан в ньютон-метрах; при М<0 его направление противоположно показанному на рисунках); для платформ, изображенных на рис. 5—9, М = 0.
Определить: для платформ, изображенных на рис. 0—4, зависимость ω = f(t), т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени; для платформ, изображенных на рис. 5—9, — угловую скорость ω1 платформы в момент времени t1 = 1 с.
Форма желоба на рис. 0—4 прямолинейная (желоб КЕ), на рис. 5, 6, 7 — окружность радиуса R (обод платформы), на рис. 8, 9 — окружность радиуса r = 0,5 R. На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s>0 (когда s<0, груз находитсяпо другую сторону от точки А); на рис. 5—9 расстояние s = AD отсчитывается по дуге окружности. Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии ОС = b от центра С.
Указания. Задача Д6 — на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент Kz системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость v груза складывается геометрически из относительной v0T и переносной vпер скоростей, т.е. v = v0T + vпер. Поэтому и количество движения этого груза mv = mvот + mvпер. Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика),согласно которой mz(mv) = mz(mv0T) +mz(mvnep); эти моменты вычисляются так же, как моменты сил
.В случае, когда М=0 и надо определить ωо,необходимо воспользоваться законом сохранения кинетического момента (показав, что он здесь имеет место). При этом следует сначала найти и показать на чертеже положения Do и D1 груза в моменты времени (t0 = 0 и t1 = 1 с (найти, ему равен угол ACD при t0 = 0 и t1 = 1 с), а также определить, чему равна и как направлена скорость v0T в эти моменты времени. После этого, так же как в Д6, надо вычислить Kz, но не для произвольного момента времени, а сначала для момента t0 = 0 (когда груз в положении Do и ω = ω 0), а затем для момента t1 = 1 с (когда груз в положении D1 и ω = ω1) и использовать закон сохранения Kz.
Момент инерции прямоугольной пластины с массой т и сторонами a1 и a2 относительно оси Оz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс С, равен - .При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца оси z). В качестве примеров это сделано для рис.Д6.0 и Д6.1 (рис.Д6.0а,рис.Д6.1а).
Таблица Д6
1 2 3 4 5 6
Задача Д7
Барабан радиуса R весом Р имеет выточку (как у катушки) радиуса г = 0,6 R (рис. Д7.0—Д7.9, табл. Д7). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы F1 и F2, направления которых определяются углом f; кроме сил на барабан действует пара с моментом М. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона а так, как показано на рисунках.
Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С барабана, т. е. XС = f(t), и наименьшее значение коэффициента трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.
Указания. Задача Д7 — на применение дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твердого тела. При составлении уравнений следует во избежание ошибок в знаках направить координатную ось х в ту сторону, куда предполагается направленным движение центра С барабана, и считать тогда все моменты положительными, когда они направлены в сторону вращения барабана. Если фактически направление движения центра С другое, то в ответе получится aс<0, но найденная величина ас будет верной. Силу трения, когда неясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону (результат от этого не зависит).
Определяя наименьшее значение коэффициента трения, при ко тором возможно качение без скольжения, учесть, что сила трения не может быть больше предельной, т.е. что IFТРI<fN, откуда f>IFTpI/N. Следовательно, fmin = IFТрI/N. Очень существенно, что во все эти выражения входят модули сил (мы не пишем INI, так как в данной задаче не может быть N<0). Если при расчетах получится Fтр<0, то это означает лишь, что фактически сила FТР направлена в другую сторону; в остальном весь расчет будет верным.
Задача Д8
Вертикальный вал АК (рис. Д8.0—Д8.9), вращающийся-с постоянной угловой скоростью ω = 10 с-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ = BD = DE = ЕК = 0,4 м). К валу прикреплен жестко или с помощью шарнира тонкий однородный ломаный стержень массой т = 10 кг, состоящий из частей 1 и 2 ,(на рис. 0—5) или 1, 2 и 3 (на рис. 6—9). Размеры частей стержня показаны на рисунках, где b = 0,1 м, а массы этих частей пропорциональны их длинам.
Определить величины, указанные в таблице в столбце 9, где
обозначение: RB, RE и т.д. — реакция соответствующего подшип-
ника или шарнира, N — реакция невесомого стержня. Весом .вала
пренебречь.
Способ крепления стержня к валу и точка, где он прикреплен, указаны в таблице в столбцах 3 и 4. Когда крепление к валу шарнирное, ломаный стержень удерживается в положении, определяемом углом а, невесомым стержнем 3 (на рис. 0—5) или 4 (на- рис. 6—9), образующим с валом угол φ; при жестком креплении этот невесомый стержень отсутствует (на чертеже не изображать).
На рис. Д8.10 в качестве примера показан вид чертежа в слу-
чае, когда подшипник находится в точке D, а ломаный стержень
прикреплен к валу в точке Е жестко (приварен); невесомый' стер-
жень отсутствует.
Указания. Задача Д8 — на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно Rи = тас, где ас — ускорение центра масс С тела, но линия действия силы Rи в общем случае не проходит через точку С).
Таблица Д8
Задача Д10
Механическая система состоит из однородных ступенчатых шки вов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3—6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0—Д10.9, табл. Д10). Систе ма движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Ра диусы ступеней шкива равны: R1 = 0,2 м, r1 = 0,1 м, а шкива 2 — R2 = 0,3 м, r2 = 0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ1 = 0,1 м и ρ2 = 0,2 м.
Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса P1, ..., Р6 шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).
Указания. Задача Д10 — на применение к изучению движения
системы общего уравнения динамики (принципа Даламбера — Лаг-
ранжа). Ход решения задачи такой же, как в задаче Д9, только
предварительно надо присоединить к действующим на систему си -
лам соответствующие силы инерции. Учесть при этом, что для од -
нородного тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии (шки-
ва), система сил инерции приводится к паре с моментом Ми =
= Izε, где Iz — момент инерции тела относительно оси вращения,
ε — угловое ускорение тела; направление Ми противоположно на-
правлению .
Таблица Д10
|
тАБЛИЦАомер условия |
Р1, Кн |
Р2, Кн |
Р3, Кн |
Р4, Кн |
Р5, Кн |
Р6, Кн |
М, Кн м |
|
' 0 |
10 |
0 |
20 |
30 |
40 |
0 |
0,9 |
|
1 |
0 |
40 |
0 |
10 |
20 |
30 |
1,2 |
|
2 |
20 |
30 |
40 |
0 |
10 |
0 |
0,6 |
|
3 |
0 |
20 |
10 |
30 |
0 |
40 |
1,8 |
|
4 |
30 |
0 |
20 |
0 |
40 |
10 |
1,2 |
|
5 |
0 |
10 |
30 |
40 |
20 |
0 |
0,9 |
|
6 |
40 |
0 |
0 |
20 |
30 |
10 |
1.8 |
|
7 |
10 |
20 |
0 |
40 |
0 |
30 |
0,6 |
|
8 |
0 |
40 |
10 |
0 |
30 |
20 |
0,9 |
|
9 |
30 |
0 |
40 |
20 |
10 |
0 |
1,2 |
Рис.Д10.0 Рис.Д10.1
Рис.Д10.2 Рис.Д10.3
Рис.Д10.6 Рис.Д10.7
Задача Д9
Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом P1 и P2 с радиусами ступеней R1 = R, r1 = 0,4R, R2 = R, r2 = O,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) и грузов или сплошных однородных цилиндрических катков 3, 4, 5 весом Р3, Р4, Р5 соответственно (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскос- тям без трения, а катки катятся без скольжения.
Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила F, а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные мо- менты сил сопротивления, равные соответственно M1 и M2.
Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить из него величину, указанную в таблице в столбце „Найти", где обозначе- но: ε1, ε2— угловые ускорения шкивов 1 и 2, ωc1, ωc2, ωc3- ускоре- ния центров масс тел 3, 4, 5 (если тело 3 или 4 — груз, то ωc3 = ω3, ωc4 = ω4 , где ω3 и ω4 — ускорения соответствующих грузов). Когда в задаче надо определить ε1 или ε2, считать R = 0,25 м.
Тела 3, 4, вес которых равен нулю, на чертеже не изображать. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему, их всегда изображать.
Указания. Задача Д9 — на применение к изучению движения системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну степень свободы, следова тельно, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение.
За обобщенную координату q принять: в задачах, где требуется опреде лить Vc1, Vc2, или Vc3 — перемещение х центра масс С соответствующего катка или перемещение груза; в задачах, где требуется определить ε1 или ε2, — угол поворота φ соответствующего шкива.
Для составления уравнения вычислить сначала кинетическую энергию Т системы (как в задаче Д4) и выразить все вошедшие в Т скорости через обобщенную скорость, т. е. через х, если обобщенная координата х, или че рез φ, если обобщенная координата φ. Затем вычислить обобщенную силу Q. Для этого сообщить системе возможное (малое) перемещение, при котором выбранная координата, т. е. х (или φ), получает положительное приращение δх (или δφ ), и вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении; в полученном равенстве надо все другие элементарные перемещения выразить через δх (или через δφ, если обобщенная координата φ) и вынести δх (или δφ) за скобки. Коэффициент при δх: (или δφ) и будет обобщенной силой Q .
Таблица Д10
|
Номер условия |
P1, Кн |
P2, Кн |
P3, Кн |
P4, Кн |
P5, Кн |
M1, Кн м |
M2, Кн м |
F, Кн |
Най-ти |
|
0 |
10P |
0 |
4Р |
0 |
ЗР |
0,2PR |
0 |
10Р |
ωc3 |
|
1 |
0 |
8Р |
0 |
4Р |
2Р |
0 |
0,3PR |
8P |
ωc5 |
|
2 |
8P |
0 |
0 |
2P |
Р |
0,3PR |
0 |
6Р |
ε2 |
|
3 |
0 |
10Р |
ЗР |
0 |
2Р |
0 |
0,2PR |
10P |
ωc3 |
|
4 |
8P |
6P |
0 |
ЗР |
0 |
0,4PR |
0,3PR |
8Р |
ωc4 |
|
5 |
10P |
0 |
2P |
0 |
4Р |
0 |
0,4PRR |
8Р |
ε1 |
|
6 |
0 |
8Р |
0 |
ЗР |
5Р |
0,2PR |
0 |
6Р |
ωc6 |
|
7 |
6Р |
4Р |
0 |
0 |
ЗР |
0,ЗРR |
0 |
4Р |
ε2 |
|
8 |
6Р |
0 |
0 |
5Р |
4Р |
0 |
0,2РR |
6Р |
ε1 |
|
9 |
0 |
6Р |
5Р |
0 |
6Р |
0,2PR |
0 |
10Р |
ωc5 |