Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный университет»
К.Р. Адамадзиев, А.К. Адамадзиева
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ
Махачкала - 2011
Печатается по решению редакционно-издательского совета Даггосуниверситета
УДК: 004.056: 330
БКК: 4в661. 7с51
Адамадзиев К.Р., Адамадзиева А.К. Компьютерное моделирование в экономике
: учебное пособие. -Махачкала: Издательско-полиграфический центр ДГУ, 2012. -150 с.
ISBN
Рассмотрены сущность, особенности, ….
Раскрыты содержание …
Изложены вопросы, связанные …
Рассмотрены сущность различных видов …
Учебное пособие предназначено для студентов специальности "Прикладная информатика в экономике". Однако оно может быть полезным для студентов всех экономических специальностей, магистров, аспирантов, а также для научных работников и специалистов.
Рецензенты:
Раджабов К.Я.- декан факультета прикладной информатики ГОУ ВПО Дагестанский государственный институт народного хозяйства, к.э.н., доцент
Алиев М. А. – д.э.н., проф. кафедры экономической теории ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный педагогический университет»
Тема 1. Математические и компьютерные модели в экономике
1.1. Математические модели как основа компьютерного моделирования
Модель – это материально или мысленно представляемый образ объекта-оригинала, с помощью которого получают новые знания об этом объекте-оригинале. Из определения следует, что моделировать надо такие объекты, которые трудно или нельзя изучить другими методами.
Процесс построения модели называют моделированием. Моделирование имеет циклический характер (рис.1).
1 - Объект
2 -Модель
4 – Знания об объекте
3 – Знания о модели
Рис. 1. Схема процесса моделирования
Цикл моделирования включает четыре этапа: 1-2 – построение модели; 2-3 – изучение модели; 3-4 – перенос знаний с модели на объект; 4-1 применение полученных знаний об объекте.
В модели можно выделить две группы элементов: внешние и внутренние. Внешние элементы - это знания об объекте, необходимые для построения модели, внутренние элементы – это данные, получаемые с помощью модели.
В моделировании можно выделять три элемента: объект, субъект, модель. Связь этих элементов можно выразить следующим образом: “Субъект с помощью модели изучает объект и управляет этим объектом”.
Модели можно классифицировать по различным признакам. В частности все модели можно разделить на два больших класса: материальные (физические) и нематериальные (нефизические) или символьные. В классе нематериальных моделей особое место занимают математические модели. Все математические модели можно разделить на экономико-математические и остальные (не экономико-математические); экономико-математическое, в свою очередь, могут быть дескриптивными или нормативными. Первые описывают экономические объекты, процессы и явления, вторые выявляют или объясняют связи и зависимости, закономерности и тенденции протекающие в них.
Рис.2 иллюстрирует место экономико-математических моделей в системе моделей. К основным этапам построения экономико-математических моделей относятся:
- выбор объекта моделирования и формулировка задачи;
- сбор исходной информации об объекте;
- математическая запись модели;
Экономико-математические
Неэкономико-математические
Дескриптивные
Нормативные
Модели
Материальные
Нематериальные (символьные)
Математические
Нематематические
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
Рис.2. Схема, иллюстрирующая место экономико-математических моделей
в системе моделей
- выполнение расчетов на ЭВМ;
- анализ результатов, полученных на ЭВМ, и принятие решений.
Экономика в целом экономические объекты, процессы и явления обладают особенностями, вызывающими необходимость в моделировании.К таким особенностям относятся, в частности следующие:
- возможность рассмотрения экономики в целом, экономических объектов, процессов и явлений как сложных систем;
- эмерджентность, означающая, что экономические объекты, процессы и явления обладают такими свойствами, какими не обладает ни один из элементов их образующих;
- вероятностный, неопределенный, случайный характер протекания экономических процессов и явлений;
- инерционный характер развития экономики, в соответствии с которым законы, закономерности, тенденции, связи, зависимости, имевшие место в прошлом периоде, продолжают действовать некоторое время в будущем.
Все вышеперечисленные и другие свойства экономики усложняют ее изучение, выявление закономерностей, динамических тенденций, связей и зависимостей. Математическое моделирование является тем инструментарием, умелое использование которого позволяет успешно решать проблемы изучения сложных систем, в том числе таких сложных, как экономические объекты, процессы, явления.
Сложными системами принято называть системы, состоящие из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов. К разряду сложных систем относятся крупные технические, технологические, энергетические и производственные комплексы. Экономика, экономические объекты, процессы и явления относятся к сложным системам.
При проектировании сложных систем ставится задача разработки систем, удовлетворяющих заданным характеристикам. Поставленная задача может быть решена методом синтеза оптимальной структуры системы с заданными характеристиками или методом анализа различных вариантов структуры системы для обеспечения требуемых технических характеристик.
Конечным этапом проектирования сложной системы, независимо от применяемого метода является анализ показателей эффективности проектируемой системы.
Среди известных методов анализа показателей эффективности систем и исследования динамики их функционирования следует отметить: аналитический метод; метод натуральных испытаний; метод полунатурального моделирования; моделирование процесса функционирования системы на ЭВМ.
Строгое аналитическое исследование процесса функционирования сложных систем практически невозможно. Определение аналитической модели сложной системы затрудняется множеством условий, определяемых особенностями работы системы, взаимодействием ее составляющих частей, влиянием внешней среды и т.п.
Натуральные испытания и полунатуральное моделирование сложных систем связаны с большими затратами времени и средств. В экономике они практически не проводятся.
Исследование функционирования сложных систем с помощью моделирования их работы на ЭВМ является наиболее эффективным методом для экономических систем, который помогает сократить время и средства на разработку.
Для различных явлений и процессов разрабатываются и применяются разные способы моделирования с целью исследования и познания.
Объект, который получается в результате моделирования, называется моделью. Должно быть понятно, что это совсем не обязательно реальный объект. Это может быть математическая формула, графическое представление и т.п. Однако он вполне может заменить оригинал при его изучении и описании поведения.
Хотя модель и может быть точной копией оригинала, но чаще всего в моделях воссоздаются какие-нибудь важные для данного исследования элементы, а остальными пренебрегают. Это упрощает модель. Создание модели – точной копии оригинала является задачей абсолютно нереализуемой. Можно сказать, что модель – это определенный способ описания реального мира.
Моделирование проходит три этапа: создание и изучение модели, применение результатов.
Различают математические, графические, имитационные и др. виды моделей. Математические модели - это знаковые модели, описывающие определенные числовые соотношения. Графические модели – это визуальное представление объектов. Имитационные модели - это модели, которые позволяют наблюдать за изменением поведения элементов системы при изменении некоторых параметров модели. Такие модели предполагают проведение экспериментов на ЭВМ.
Над созданием модели могут работать специалисты из разных областей, т.к. в моделировании достаточно велика роль межпредметных связей.
Моделирование необходимо для понимания причинно-следственных связей в экономике, прогнозирования, планирования, принятия решений менеджерами.
Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Ф.Кенэ, который в 1758 г. опубликовал работу “Экономическая таблица”. В ней была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику.
Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено в книге О.Курно “Исследование математических принципов теории богатства”, опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе, положившей начало современной математической экономике, впервые использованы количественные методы для анализа конкуренции между товарами при различных рыночных ситуациях (в частности, построена динамическая модель дуополии).
В последующие годы происходила интенсивная математизация экономической теории. Например, в книге У.Джевонса “Краткое описание общей математической теории политической экономии” (1862) изложена одна из первых версий теории полезности. О роли и значении метода математического моделирования при исследовании экономических процессов во второй половине XIX в. лучше всего говорит следующий факт, приведенный современным историком экономической науки М.Блаугом: среди выдающихся экономистов этого периода “только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики”. Примечательно, что практически все лауреаты Нобелевской премии по экономике тоже обращались к математическим методам в своих научных исследованиях.
Успешное применение математики в экономике на рубеже XIX-XX вв. стимулировало математизацию и других общественных наук. Например, в это время Ф.Эджворт опубликовал книгу “Математическая психология”, а В.Парето разработал основы теории элит.
Надо сказать, что вопросы объективного анализа социально-экономических процессов всегда были в центре внимания отечественных ученых. Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода, экономическая наука в России постоянно развивалась, а многие ее результаты стали достоянием мировой культуры. К ним прежде всего следует отнести: проведенный Е.Е.Слуцким анализ модели поведения потребителя; открытие Н.Д.Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В.В.Леонтьева; развитие Л.В.Канторовичем методов исследования линейных систем. К сожалению, до сих пор метод математического моделирования социально-экономических процессов применялся (и применяется) преимущественно в научных разработках, а рекомендации ученых зачастую попросту игнорировались на всех уровнях управления.
Основные преграды, стоящие на пути развития формализованных методов в социально-экономических науках, носят в большой степени субъективный характер. О главной из них сказал П.Л.Капица на международном симпозиуме по планированию науки еще в 1959 г. Размышляя о развитии общественных наук, он использовал аналогию с положением естественных наук в средние века, когда “церковь брала на себя монополию схоластически-догматического толкования всех явлений природы, решительно отметая все, что хоть в малейшей мере противоречило каноническим писаниям. Сейчас существует большое разнообразие государственных структур, которые признают за истину только то в общественных науках, что доказывает целесообразность этих структур. Естественно, что при таких условиях развитие общественных наук сильно стеснено”.
Суть математического моделирования заключается в замене изучаемого экономического объекта (процесса) адекватной математической моделью и последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов. Слабое представление о возможностях математического моделирования приводит к эмоциональной реакции на несоответствие ожиданий и конкретных результатов социально-экономической политики, основанной на использовании неадекватных моделей: “экономические законы в России не действуют”, “умом Россию не понять”, “моделирование в наших условиях бессмысленно” и т.д. Но ведь это все равно, что рассчитывать траекторию движения баллистической ракеты по формуле из школьного учебника физики, а потом возмущаться расхождением теории и практики.
В настоящее время в экономической теории прочно закрепились различные модели взаимодействия рынков рабочей силы, товаров и денег, модели одно- и многопродуктовой фирм, модель поведения потребителя и многие другие.
Существенно, что подавляющее большинство экономических процессов протекает во времени, вследствие чего математические модели, адекватные объекту исследования, должны быть динамическими.
1.2. Структура и основные элементы компьютерных моделей. Основные этапы и правила построения моделей
Компьютерная модель (англ. computer model), или численная модель (англ. computational model) - компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере или множестве взаимодействующих компьютеров (вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы [Компьютерная модель. http://ru.wikipedia.org/wiki/...]. Компьютерные модели стали обычным инструментом математического моделирования и применяются в различных сферах человеческой деятельности. Широко они применяются в экономике, социологии и других науках. Компьютерные модели используются для получения новых знаний о моделируемом объекте, процессе или явлении для приближенной оценки поведения сложных систем, к которым относится и экономика.
Построение компьютерной модели базируется на абстрагировании от конкретной природы явлений или изучаемого объекта-оригинала и состоит в создании качественной, а затем и количественной модели. Сущность компьютерного моделирования заключается в проведении вычислительных экспериментов на компьютере, целью которых является анализ, интерпретация и сопоставление результатов моделирования с реальным поведением изучаемого объекта. Моделирование представляет собой циклический процесс, т.е. на любом его этапе может возникнуть необходимость внесения дополнений, уточнений и корректировок в разрабатываемую модель и т. д.
К основным этапам компьютерного моделирования относятся:
- постановка задачи, определение объекта моделирования;
- разработка концептуальной модели, выявление основных элементов
системы и их взаимосвязей;
- формализация, то есть создание алгоритма для реализации на ЭВМ;
- планирование и проведение компьютерных экспериментов;
-анализ результатов и разработка рекомендаций по применению.
Компьютерное моделирование применяют для широкого круга задач.
При этом различные сферы применения компьютерных моделей предъявляют разные требования к надежности получаемых с их помощью результатов. В социально-экономических системах модели используются для получения приближенных или качественных результатов.
Компьютерное моделирование предполагает наличия определенного программного обеспечения для решения задачи на ЭВМ. При этом программное обеспечение, с помощью которого осуществляется компьютерное моделирование, может быть универсальным или специализированным.
Обычно в компьютерном моделировании различные виды моделирования дополняют друг друга. Так, если математическая формула очень сложна, что не дает явного представления об описываемых ею процессах, то на помощь приходят графические и имитационные модели.
Следует иметь в виду, что компьютер является хорошим инструментом для создания и исследования моделей, но он их не придумывает. Абстрактный анализ экономических процессов и явлений с целью воссоздания их моделей выполняет человек.
Тема 2. Модели прямых расчетов в экономике
2.1. Связи, зависимости и тенденции в экономике
Связь, зависимость, тенденции – понятия, широко применяемые в различных сферах человеческой деятельности и имеющие множество смысловых значений. Однако нас интересует толкование этих понятий применительно к показателям в экономике.
В качестве источников, на которые можно ссылаться при толковании этих терминов, в первую очередь, следует назвать словари различных авторов: Ожегова С.И. и Шведову Н.Ю.; Ефремову Т.Ф.; Ушакова Д.Н.; Даля В.И. и др.
Несмотря на различные словосочетания, используемые для выражения смысла понятия, «связь» авторами словарей трактуется примерно одинаково. В частности, под связью между показателями в экономике следует понимать: а) отношение взаимной зависимости, обусловленности, общности между чем-нибудь; б) взаимообусловленность существования явлений, разделенных в пространстве и во времени.
В Советском энциклопедическом словаре [Советский энциклопедический словарь. Издание 4-е /ред. Прохоров А.М. -М.: Советская Энциклопедия, 1989 - 1990 гг.] дается не только трактовка понятия «связь», но и классификация связи по различным признакам: по формам движения материи (механическая, физическая, химическая, биологическая, общественная); по формам детерминизма (однозначная, вероятностная, корреляционная); по силе (жесткая, корпускулярная, сильная, слабая); по характеру результата (связи порождения, связи преобразования); по направлению действия (прямая, обратная); по типу процессов, которые определяет данная связь (функционирования, развития, управления).
Содержанием, предметом связи является информация. В нашем случае в качестве такой информации выступают различные экономические показатели, характеризующие экономические объекты, процессы и явления.
«Зависимость» является частным случаем понятия «связь». Под зависимостью понимают связанность явлений, обусловленность, связанность, корреляция, регрессия.
По Бизнес-словарю различают два вида зависимости: статистическая и стохастическая [http://www.doclist.ru/slovar.html]. К статистической отнесена связь двух случайных величин, при которой распределение вероятностей одной из этих зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Стохастической названа зависимость между случайными величинами, при которой изменение закона распределения одной из них происходит под влиянием изменения другой.
С помощью связей и зависимостей между показателями экономических объектов, представленных в виде статистической совокупности данных в пространстве и времени могут быть выявлены те или иные тенденции. Тенденция (лат.: tendo – стремиться, тяготеть, питать склонность, устремляться) – это стремление, свойственное чему-нибудь; направление развития какого-либо явления.
Тенденции могут быть не только в динамике связей и зависимостей, но и в динамике изменения любого из экономических показателей во времени (темпах изменения), в изменении структурных показателей во времени и др.
Иными словами, определить динамические тенденции означает выявить наличие:
- определенных закономерностей в изменении отдельного экономического показателя во времени;
- закономерностей в изменении структурного состава того или иного экономического показателя во времени;
- связи, зависимости или закономерности в изменении значений одного (зависимого) из экономических показателей во времени при изменении значения одного, двух и более других (независимых) показателей.
В третьем случае зависимый показатель принято называть результативным, а независимые – показателями-факторами.
2.2. Модели прямых расчетов в экономике
По видам применяемого математического инструментария в экономике следует различать простые и сложные виды связей, зависимостей и динамических тенденций. К простым можно отнести связи зависимости и динамические тенденции на выполнение 4-х арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Сложные виды требуют использования не только арифметических действий, но и всего многообразия математических алгоритмов как элементарной, так и высшей математики.
Чтобы выразить связи, зависимости и динамические тенденции и применить их в экономической теории и практике их следует формализовать, т.е. выразить в виде математических формул (равенств, неравенств, уравнений), таблиц, схем, диаграмм и графиков.
Совокупность взаимосвязанных математических формул, таблиц, схем, диаграмм и графиков, выражающих связи, зависимости и динамические тенденции в экономике, принято называть экономико-математическими моделями. Основными элементами экономико-математических формул являются экономические показатели. Показатель – обобщенная характеристика свойства объекта, процесса или явления. Он выступает инструментом, обеспечивающим возможность проверки теоретических положений с помощью эмпирических данных. Различают количественные и качественные показатели. Первые - фиксируют меру выраженности или развития определенного свойства, вторые – фиксируют наличие или отсутствия определенного свойства. Экономический показатель – обобщенный количественный параметр социально-экономических явлений и процессов в единстве с их качественными свойствами.
Дадим определения некоторых терминов, связанных с понятием «экономические показатели», которые нами будут использованы в настоящем исследовании.
Базисный показатель – экономический показатель, относящийся к определенному периоду времени (базисный год) и используемый в качестве основы для сравнения с другими аналогичными показателями.
Реальные и номинальные показатели – экономические показатели, выраженные в ценах некоторого базисного года и в текущих рыночных ценах.
Индекс – относительный показатель роста или снижения агрегированных экономических параметров.
Макроэкономические показатели – сводные, усредненные по экономике в целом показатели объемов производства и потребления, структуры, темпов экономического роста, эффективности и др.
Все показатели (в модели их называют переменными), включаемые в модели, делятся на исходные и расчетные (или независимые и зависимые). Переменной называют признак исследуемого экономического объекта, явления или процесса, который может принимать разные значения для разных случаев или для различных моментов времени в рамках одного объекта. Зависимой называется переменная, изменяющаяся в результате изменения некоторой другой (независимой) переменной. Независимая переменная – это переменная, изменение которой влияет на изменение других переменных (зависимых).
В моделях, выражающих простые связи, зависимости и тенденции, все расчетные показатели (зависимые переменные) можно разбить на следующие группы: рассчитываемые путем суммирования и вычитания; на расчет которых используются два и более арифметических операций разных видов (структурные и темповые показатели); рассчитываемые путем деления результативных показателей на затратные или наоборот (показатели эффективности); рассчитываемые путем деления одних показателей на другие (относительные показатели или коэффициенты).
К показателям на сложение относятся сводные объемные показатели экономических объектов. Так, складывая объемы продукции предприятий (валовой, товарной, реализованной, в натуральном или условно-натуральном выражении) можно рассчитать соответствующие объемы продукции по отраслям народного хозяйства, регионам или федеральным округам. Точно также, складывая стоимость основных фондов (численность работников, капитальные затраты, материальные затраты или производственные затраты) предприятий можно рассчитать суммарные величины соответствующих показателей по регионам и стране в целом; складывая площадь территории, численность населения каждого административного района, можно рассчитать величины указанных показателей по краям, областям и республикам и т.д.
Путем вычитания можно рассчитать приросты различных объемных показателей любого экономического объекта в текущем году по сравнению с предыдущим или с базисным годом, а также отклонение (увеличение или уменьшение) фактических величин показателей от плановых.
Примерами структурных показателей являются:
- удельный вес отдельных статей затрат (сырье и материалы, заработная плата, амортизационные отчисления и т.д.) в суммарных затратах на производство продукции;
- удельных вес крупных, средних и малых предприятий в валовой продукции региона;
- удельный вес растениеводства и животноводства в объеме продукции сельскохозяйственного предприятия;
- доля товарной продукции в объеме всей продукции предприятия;
- удельный вес конкурентоспособной продукции в объеме всей продукции предприятия, отрасли, региона, страны и т.д.
К важнейшим из экономических показателей относятся показатели эффективности производства, такие как:
- производительность труда (трудоемкость продукции);
- фондоотдача (фондоемкость);
- рентабельность продукции (основных фондов, производства);
- инвестиционноотдача (инвестиционноёмкость);
- материалоотдача (материалоёмкость);
- затраты на 1 руб. продукции (производство продукции на 1 руб. затрат) и т.д.
Примеры относительных показателей (коэффициентов) являются:
- отраслевые коэффициенты опережения;
- соотношение объёмов продукции промышленности и сельского хозяйства;
- фондовооружённость (инвестиционновооружённость) труда;
- соотношение заработной платы отраслей народного хозяйства (регионов);
- среднемесячные доходы, расходы и заработная плата на 1 работника;
- валовая продукция народного хозяйства на душу населения;
- соотношение индексов цен по регионам и т.д.
Простую связь, как правило, можно математически выразить в виде одной формулы на выполнение простых арифметических операций.
Так, показатели, рассчитываемые путем суммирования (вычитыванием) можно записать в виде:
а) , ,
где - величина j-того сводного (суммарного) объемного показателя экономических объектов;
- величина j-того сводного объемного показателя i-того экономического объекта;
б) ;
;
,
где , , - величина отклонения фактического значения j-того показателя i-того экономического объекта от планового значения в текущем (t-м) году, от фактического значения в предыдущем ((t-1)-м) году и от фактического значения в базисном году;
, , , - величины j-того сводного объемного показателя i-того экономического объекта соответственно фактически в текущем (t-м) году, по плану в текущем (t-м) году, фактически в предыдущем ((t-1)-м) году и фактически в базисном году.
Простые структурные показатели можно записать в виде следующей формулы:
или Ui=Пi*100/П,
где - удельный вес i-того объекта;
Пi - величина показателя i-того объекта;
П – суммарная величина показателя по всем объектам.
Первая формула выражает удельный вес в долях единицы, вторая – в процентах.
Формулы для показателей эффективности можно записать в виде:
Эi = ПРi/ПЗi или Эi = ПЗi/ПРi,
где Эi – показатель эффективности i-того объекта,
ПРi, ПЗi – соответственно величины результативного и затратного показателей i-того объекта.
Некоторые из показателей эффективности принято выражать в процентах (например, рентабельность). В этом случае числитель отношения следует умножить на 100. Например, Рентабельность = Прибыль*100/Затраты (или Эi = ПРi *100/ПЗi), где ПРi, ПЗi - соответственно суммарная величина прибыли и затрат i-того объекта.
Математическая запись для относительных показателей (Оi) имеет вид:
, ,
где , - сравниваемые показатели i-того объекта.
Объединив расчетные показатели из различных групп для каждого экономического объекта, можно строить серьезные модели, выражающие зависимость одной совокупности показателей (их назовём расчетными или зависимыми показателями) от другой совокупности (их назовём исходными или независимыми показателями).
Такие модели можно назвать моделями на выполнение прямых экономических расчетов.
2.3. Примеры математических и компьютерных моделей
на прямые расчеты
В большинстве экономических дисциплин содержится множества моделей на выполнение прямых расчетов.
В узком смысле понятия любую формулу, связывающую два и более экономических показателя, можно назвать экономико-математической моделью. В широком её понимании под экономико-математической моделью следует понимать совокупность взаимосвязанных формул, выражающих зависимости и динамические тенденции множества результативных показателей, называемых зависимыми от множества затратных (ресурсных) показателей, называемых исходными или независимыми.
При этом нет чёткой границы между зависимыми и независимыми показателями. Одни и те же показатели в одних формулах могут быть исходными, в других – расчетными.
Однако в каждой конкретной модели четко можно и следует разграничить совокупность исходных (независимых) и совокупность расчетных (зависимых) показателей.
Покажем это на простом примере. Пусть задана модель, включающая следующую совокупность из 12 формул:
1. *; 7. *100/;
2. *; 8. *100/;
3. ; 9. /;
4. ; 10. /;
5. ; 11. /;
6. ; 12. /.
В формулах 1-12 фигурируют 15 показателей. Исходными (независимыми) являются три показателя:
Vi, Цi, Сi – соответственно объем i-того вида продукции в натуральном выражении, цена и себестоимость единицы продукции.
Остальные 12 показателей являются расчетными (зависимыми):
ТПi , ЗТi - стоимость продукции i-того вида и затраты на её производство;
ТП, ЗТ – величины товарной продукции и суммарных затрат на её производство;
Пi, П – величина прибыли на производство i-го вида продукции и всей продукции;
Pi, P – рентабельность i-го вида и всей продукции;
ЭТПi, ЭТП – величина товарной продукции на 1 руб. затрат (для i-го вида и для всей продукции соответственно);
ЭЗТi, ЭЗТ – величина затрат на 1 руб. продукции (соответственно для i –го вида и для всей продукции).
Задачу, требующую для своего решения использование выше приведенной модели из 12-ти формул, можно сформулировать следующим образом. На предприятии производятся различные виды продукции. Заданы их объемы в натуральном выражении, цена и себестоимость единицы продукции каждого вида. Требуется рассчитать:
а) стоимость каждого вида продукции и всей продукции (товарной продукции);
б) затраты на производство каждого вида и всей продукции;
в) прибыль от производства каждого вида и всей продукции;
г) рентабельность каждого вида и всей продукции;
д) величина стоимости каждого вида и всей продукции на 1 руб. затрат;
е) затраты на 1 руб. продукции (каждого вида и всей).
Отметим, что расчетные показатели пунктов (а,б,в) являются количественными, а пунктов (г, д, е) – качественными (характеризующими эффективности производства продукции).
Преобразуем выше рассмотренную модель, включающую 12 формул, к следующему виду:
1-2 – оставляем неизменными;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
Таким образом, мы получили два вида одной и той же модели, с помощью которых могут быть достигнуты разные цели. В первом случае каждые две и более последовательно расположенные формулы выражают связи и зависимости последующих расчетных показателей от предыдущих. Здесь зависимость расчетных показателей от исходных выражена косвенно через другие расчетные показатели. Во втором случае, все 12 расчетных показателей зависят от одних и тех же исходных. Взаимосвязи (зависимости) между расчетными показателями во втором случае разорваны. Однако здесь четко выражена зависимость каждого расчетного показателя от трех исходных.
Математически каждая формула в выше приведенных моделях представляет собой функцию, левая часть которой выражает рассчитываемый показатель (зависимую переменную), а правая часть – задаваемые или независимые переменные. Особенность функций состоит в том, что, если заданы величины независимых переменных, то точно и однозначно можно рассчитать величину зависимой переменной. Поэтому модели, в которых все формулы математически представляют собой функции, принято называть функциональными моделями.
Экономико-математическая модель представляет практический интерес
только в том случае, если она доведена до компьютерной реализации, т. е. разработана компьютерная модель. Если задача на выполнение прямых расчетов является разовой задачей, то нет необходимости для составления экономико-математической и компьютерной моделей. Их построение целесообразно в том случае, если задача является типовой задачей для различных экономических объектов или, если она требует многократного решения для одного и того же объекта с разными исходными данными.
Покажем методику разработки компьютерной модели для вышеприведенной экономико-математической модели на расчет 12-ти показателей. Один из простейших вариантов такой модели можно разработать в MS Excel. Для этого в рабочем окне MS Excel требуется создать электронные компоненты: таблицы исходных данных (таблица 1) и для результатов (таблица 2). Затем в 1-ю ячейку 1-й строки таблицы 2 вводятся формулы (1, 2, 5, 7, 9, 11), используя адреса ячеек таблицы 1. Далее в строку «итого» таблицы 2 вводятся остальные шесть формул (3, 4, 6,'8, 10, 12).
Компьютерная модель для расчетов готова.
Таблица 1
Исходные данные для построения математической и компьютерной моделей по определению стоимостных показателей объемов и эффективности производства
|
№№ |
Наимен-е продукции |
Объем, тонн |
Цена, тыс.руб |
Себ-ть, тыс.руб |
|
|
|
Vi |
Цi |
Сi |
|
1 |
1-й вид |
25,3 |
55,7 |
50,7 |
|
2 |
2-й вид |
20,1 |
71,2 |
66,5 |
|
3 |
3-й вид |
15,5 |
63,7 |
59,3 |
|
4 |
4-й вид |
19,1 |
59,4 |
53,1 |
|
5 |
5-й вид |
22,0 |
65,3 |
60,6 |
|
6 |
6-й вид |
31,5 |
53,1 |
48,1 |
|
7 |
7-й вид |
27,8 |
70,6 |
66,2 |
|
8 |
8-й вид |
32,2 |
68,0 |
63,9 |
|
9 |
9-й вид |
24,3 |
71,8 |
65,1 |
|
10 |
10-й вид |
17,5 |
74,2 |
69,3 |
Таблица 2
Отчетная таблица, формируемая компьютерной моделью по расчету стоимостных показателей объемов производства и эффективности
|
№№ |
Наиме- нова- ние |
Ст-ть, тыс.руб. |
Затраты, тыс.руб. |
Прибыль, тыс.руб. |
Рент-ть, % |
ТП на 1 руб. затрат, руб. |
Затраты на 1 руб. ТП, руб. |
|
|
|
ТПi |
ЗТi |
Пi |
Рi |
ЭТПi |
ЭЗТi |
|
1 |
1-й вид |
1409,2 |
1282,7 |
126,5 |
9,86 |
1,10 |
0,91 |
|
2 |
2-й вид |
1431,1 |
1336,7 |
94,5 |
7,07 |
1,07 |
0,93 |
|
3 |
3-й вид |
987,4 |
919,2 |
68,2 |
7,42 |
1,07 |
0,93 |
|
4 |
4-й вид |
1134,5 |
1014,2 |
120,3 |
11,86 |
1,12 |
0,89 |
|
5 |
5-й вид |
1436,6 |
1333,2 |
103,4 |
7,76 |
1,08 |
0,93 |
|
6 |
6-й вид |
1672,7 |
1515,2 |
157,5 |
10,40 |
1,10 |
0,91 |
|
7 |
7-й вид |
1962,7 |
1840,4 |
122,3 |
6,65 |
1,07 |
0,94 |
|
8 |
8-й вид |
2189,6 |
2057,6 |
132,0 |
6,42 |
1,06 |
0,94 |
|
9 |
9-й вид |
1744,7 |
1581,9 |
162,8 |
10,29 |
1,10 |
0,91 |
|
10 |
10-й вид |
1298,5 |
1212,8 |
85,8 |
7,07 |
1,07 |
0,93 |
|
|
Итого |
15267,0 |
14093,7 |
1173,3 |
8,33 |
1,08 |
0,92 |
|
|
|
ТП |
ЗТ |
П |
Р |
ЭТП |
ЭЗТ |
Таблица 3
Таблица-шаблон для ввода исходных данных
|
№№ |
Наимен-е |
Объем, тонн |
Цена, тыс.руб |
Себ-ть, тыс.руб |
|
|
|
Vi |
Цi |
Vi |
|
1 |
1-й вид |
25,3 |
55,7 |
50,7 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
10 |
10-й вид |
17,5 |
74,2 |
69,3 |
Таблица 4
Таблица-шаблон для анализа сводных количественно-качественных показателей предприятия
|
№№ |
Наиме- нова- ние |
Ст-ть, тыс.руб. |
Затраты, тыс.руб. |
Прибыль, тыс.руб. |
Рент-ть, % |
ТП на 1 руб.затрат, руб. |
Затраты на 1руб. ТП, руб. |
|
|
|
ТПi |
ЗТi |
Пi |
Рi |
ЭТПi |
ЭЗТi |
|
1 |
1-й вид |
1409,2 |
1282,7 |
126,5 |
9,86 |
1,10 |
0,91 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
10 |
10-й вид |
1298,5 |
1212,8 |
85,8 |
7,07 |
1,07 |
0,93 |
|
|
Итого |
2707,7 |
2495,5 |
212,3 |
8,51 |
1,09 |
0,92 |
|
|
|
ТП |
ЗТ |
П |
Р |
ЭТП |
ЭЗТ |
Компьютерную модель можно создавать па примере нескольких наименований видов продукции. Применить ее можно для любого количества видов продукции. Для этого строки в таблице 1 доводятся до необходимого количества (пользуясь пунктами «Вставить...» или
«Удалить...» контекстного меню). До соответствующего количества доводятся и строки в таблице 2.
При этом следует иметь ввиду, что строки для 1-го и последнего видов продукции и строку «итого» таблицы 2 нельзя удалять (наименования 1-го и последнего видов продукции, естественно, можно менять): ячейки 1-й строки для всех расчетных показателей содержат формулы, которые следует копировать в ячейки для всех остальных видов продукции; ячейки последней строки «итого» необходимы, чтобы автоматически рассчитывались итоговые показатели.
Иными словами таблицу 1, содержащую исходные данные, и таблицу 2 с введенными в ее ячейки формулами можно назвать таблицами-шаблонами, используемыми для автоматизации расчетов показателей, приведенных в таблице 2.
Особенностью вышеописанных экономико-математической и компьютерной моделей является возможность их расширения путем добавления в таблицу 1 новых исходных и новых расчетных показателей и алгоритмов определения последних. Так, по данным таблицы 2 можно определить удельный вес каждого вида продукции в стоимости всей товарной продукции предприятия (в суммарных затратах). Если имеются данные таблицы 1 за два года, то можно: во-первых, рассчитать по вышеописанной модели показатели таблицы 2 за каждый год; во-вторых, определить темпы изменения показателей второго года по сравнению с первым годом.
2.3. Математическая и компьютерная модели для выявления и оценки связей и зависимостей между показателями экономических объектов методом статистических группировок
Возможности моделей на выполнение прямых экономических расчетов для анализа связей, зависимостей или тенденции и их использования в целях планирования и прогнозирования крайне ограничены.
Если для какого-то экономического объекта (предприятия, региона, отрасли, народного хозяйства) по рассмотренной выше модели выполнить соответствующие расчеты, то трудно выявить какие-либо связи, зависимости или тенденции. Тенденций нельзя выявить, поскольку в модели не представлен фактор времени. Даже величины показателей эффективности, рассчитанные для отдельного экономического объекта за фиксированный период времени (например, за месяц, квартал, год), не дают представления об их зависимости от показателей-факторов (независимых переменных). Причина состоит в том, что в задаче отсутствуют важнейшее составляющее, без которого невозможно говорить о связях, зависимостях и тенденциях. Речь идет о статистической совокупности данных.
Статистической совокупностью называется совокупность объектов или явлений одного и того же типа, объединенных определенным признаком (признак - характеристика объекта или явления, по которому его отличают от других объектов и явлений). Следует различать генеральную и выборочную совокупности. Под генеральной совокупностью понимают всю изучаемую совокупность объектов и явлений, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные. Выборочной совокупностью называют часть объектов (явлений) из генеральной совокупности, отобранных для изучения с тем, чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.
Различают три вида статистических данных: пространственные, ряды динамики и панельные.
Пространственными данными называют совокупность показателей однотипных объектов за отдельный период времени. Пространственными данными являются, например, величины двух и более предприятий какой-либо отрасли (регионов, страны и др.) за какой-либо год. Рядами динамики принято называть совокупность данных, выражающих величины двух и более показателей отдельного экономического объекта (предприятия, отрасли, региона и др.) за ряд последовательных периодов времени (например, за 5-10 и более лет). Массивы данных двух показателей, из которых в качестве независимого показателя выступает фактор времени t=1,2,...T, а в качестве зависимого – какой-либо экономический показатель, называют временным рядом. Панельными называются данные, состоящие из наблюдений за одними и теми же однотипными статистическими объектами в течение двух и более временных периодов.
Одним из традиционных методов выявления связей, зависимостей и тенденций является метод статистических группировок.
Группировка – это расчленение совокупности данных на группы с целью изучения ее структуры или взаимосвязей между компонентами. В процессе группировки единицы совокупности распределяются по группам в соответствии со следующим принципом: различие между единицами, отнесенными к одной группе, должно быть меньше, чем различие между единицами, отнесенными к разным группам.
Длина интервала группировки может быть одним и тем же или разным.
Выбор длины с равными интервалами предпочтительнее, так как он лишен субъективизма. В этом случае для определения длины интервала можно использовать формулы Стерджеса:
k = 1+3,32*lg N; i=(Xmax – Xmin)/k,
где Хmax, Xmin - максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности; k - число групп; N - число объектов (наблюдений) в совокупности.
В соответствии с формулами Стерджеса между количеством групп и числом наблюдений существует следующее соотношение:
|
Число наблюдений |
2 |
3-5 |
6-11 |
12-21 |
22-46 |
47-87 |
88-175 |
176-350 |
351-702 |
|
Число групп |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Когда объектов в статистической совокупности много применяют метод многоуровневых группировок.
Анализ методом группировок предполагает выполнение следующих шагов:
- выбирается показатель, принимаемый за групповой признак;
- объекты совокупности располагаются в порядке возрастания или убывания показателя, принятого за признак группировки;
- определяется количество групп и длина интервала;
- определяется перечень показателей, подлежащих анализу, а также показателей, между которыми выявляется наличие связей или зависимостей;
- разрабатывается математическая модель для расчетных показателей;
- разрабатывается компьютерная модель для выполнения всех расчетов для одной из групп объектов;
- с помощью созданной компьютерной модели выполняются расчеты для всех групп объектов;
- результаты, полученные с помощью компьютерной модели, сводятся в аналитические таблицы.
Сущность компьютерной модели, реализующей метод группировок, проиллюстрируем на примере четырех показателей (ВРП, стоимость основных фондов, численность занятых, объем инвестиций) регионов России за 2009г. В качестве признака группировки примем ВРП, а в качестве статистической совокупности - 28 средних регионов с величиной ВРП от 127,0 до 298,1 млрд. руб. Компьютерная модель реализуется в MS Excel/
Чтобы определить перечень 28средних регионов по величине ВРП следует:
- создать исходную таблицу с данными всех регионов России по четырем рассматриваемым показателям;
- упорядочить их в порядке возрастания или убывания величины показателя, принятого за групповой признак;
- выбрать 28 регионов, занимающие по величине ВРП 27-54-е места;
- скопировать их и создать исходную таблицу (см. таблицу 1).
Таблица 1
Перечень 28-ми средних регионов России, занимающие по величине ВРП 27-54-е места и их четыре экономических показателей
по данным за 2009 г.
|
ВРП, млрд.руб. |
ОФ, млрд.руб. |
Числ., тыс.чел. |
Инвес., млрд.руб. |
||
|
1 |
Брянская область |
127,0 |
327 |
608,2 |
27,2 |
|
2 |
Амурская область |
136,8 |
494 |
428,3 |
99,7 |
|
3 |
Забайкальский край |
140,9 |
513 |
493,5 |
39,8 |
|
4 |
Пензенская область |
145,1 |
446 |
673,1 |
46,7 |
|
5 |
Астраханская область |
147,1 |
466 |
463,0 |
63,1 |
|
6 |
Рязанская область |
149,7 |
477 |
513,9 |
38,2 |
|
7 |
Кировская область |
150,9 |
456 |
695,7 |
29,5 |
|
8 |
Ульяновская область |
151,1 |
352 |
605,1 |
48,7 |
|
9 |
Калужская область |
153,3 |
324 |
481,6 |
58,9 |
|
10 |
Чувашская Республика |
157,6 |
422 |
601,0 |
41,6 |
|
11 |
Курская область |
168,0 |
361 |
591,9 |
48,9 |
|
12 |
Владимирская область |
176,3 |
329 |
705,1 |
47,9 |
|
13 |
Калининградская область |
181,7 |
304 |
475,8 |
53,6 |
|
14 |
Тверская область |
197,0 |
590 |
612,0 |
67,5 |
|
15 |
Республика Дагестан |
211,3 |
525 |
941,4 |
100,9 |
|
16 |
Мурманская область |
215,9 |
624 |
442,9 |
41,3 |
|
17 |
Ярославская область |
220,0 |
718 |
671,3 |
51,9 |
|
18 |
Тульская область |
230,6 |
431 |
785,1 |
61,8 |
|
19 |
Удмуртская Республика |
240,3 |
553 |
769,9 |
41,3 |
|
20 |
Томская область |
251,7 |
546 |
496,4 |
77,1 |
|
21 |
Липецкая область |
263,2 |
525 |
546,1 |
83,6 |
|
22 |
Алтайский край |
268,8 |
615 |
1102,7 |
43,6 |
|
23 |
Хабаровский край |
273,2 |
671 |
733,0 |
89,769 |
|
24 |
Ставропольский край |
275,1 |
730 |
1218,8 |
78,507 |
|
25 |
Воронежская область |
289,3 |
675 |
1064,7 |
85,7 |
|
26 |
Республика Коми |
295,6 |
995 |
475,4 |
108,4 |
|
27 |
Архангельская область |
298,1 |
846 |
615,1 |
66,0 |
|
28 |
Вологодская область |
298,1 |
723 |
611,3 |
55,5 |
Определим количество групп и длину интервала. В соответствии с формулами Стерджеса, если число объектов находится в интервале 22-46 (в рассматриваемой нами совокупности число регионов равно 28), то их следует разбить на шесть групп. При этом длина интервала будет равна i=(Xmax – Xmin)/k =(298,1-127,0)/6=28,5 млрд.руб.
Если длину интервала для каждой группы принять равной одной и той же величине, то разбиение 28 регионов на шест групп примет вид, приведенный в таблице 2.
Таблица 2
Группировка 28 средних по величине ВРП регионов России
(признак группировки величина ВРП в млрд.руб.)
|
Диапазон группового признака |
Кол-во регионов |
|
|
1 группа |
127,0-155,5 |
9 |
|
2 группа |
155,6-184,0 |
4 |
|
3 группа |
184,1-212,5 |
2 |
|
4 группа |
212,6-241,0 |
4 |
|
5 группа |
241,1-269,5 |
3 |
|
6 группа |
269,6 и более |
6 |
|
1-6 групп |
127,0-298,1 |
28 |
Обработка информации, необходимой для анализа методом группировок, следует начинать с определения суммарных и средних арифметических значений показателей для каждой группы регионов. Для этого в таблицу 1 после перечня регионов группы добавляются по две строки «сумма» и «среднее значение». В ячейки этих строк вводятся встроенные математические функции «сумм» и «срзнач» из MS Excel. Это равнозначно вводу формул:
1) сумм =, 2) ср. знач =,
где Пij - величина j-того показателя i-того региона;
Пj –величина j-того показателя всей группы регионов.
В результате этих действий таблица 1 преобразуется в таблицу 3.
Таблица 3
Группировка 28-ми средних регионов России с величиной ВРП от 127,0 до 298,1 млрд.руб. по данным за 2009 г.
|
|
|
ВРП, млрд.руб. |
ОФ, млрд.руб. |
Числ, тыс.чел. |
Инвес, млрд.руб |
|
1 |
Брянская область |
127,0 |
327 |
608,2 |
27,240 |
|
2 |
Амурская область |
136,8 |
494 |
428,3 |
99,700 |
|
3 |
Забайкальский край |
140,9 |
513 |
493,5 |
39,794 |
|
4 |
Пензенская область |
145,1 |
446 |
673,1 |
46,675 |
|
5 |
Астраханская область |
147,1 |
466 |
463,0 |
63,091 |
|
6 |
Рязанская область |
149,7 |
477 |
513,9 |
38,247 |
|
7 |
Кировская область |
150,9 |
456 |
695,7 |
29,511 |
|
8 |
Ульяновская область |
151,1 |
352 |
605,1 |
48,73 |
|
9 |
Калужская область |
153,3 |
324 |
481,6 |
58,857 |
|
Сумма |
1301,9 |
3855,0 |
4962,4 |
451,8 |
|
|
Ср.значение |
144,7 |
428,3 |
551,4 |
50,2 |
|
|
10 |
Чувашская Республика |
157,6 |
422 |
601,0 |
41,572 |
|
11 |
Курская область |
168,0 |
361 |
591,9 |
48,931 |
|
12 |
Владимирская область |
176,3 |
329 |
705,1 |
47,888 |
|
13 |
Калининград. область |
181,7 |
304 |
475,8 |
53,568 |
|
Сумма |
683,6 |
1416,0 |
2373,8 |
192,0 |
|
|
Ср.значение |
170,9 |
354,0 |
593,5 |
48,0 |
|
|
14 |
Тверская область |
197,0 |
590 |
612,0 |
67,514 |
|
15 |
Республика Дагестан |
211,3 |
525 |
941,4 |
100,935 |
|
Сумма |
408,3 |
1115,0 |
1553,4 |
168,4 |
|
|
Ср.значение |
204,2 |
557,5 |
776,7 |
84,2 |
|
|
16 |
Мурманская область |
215,9 |
624 |
442,9 |
41,312 |
|
17 |
Ярославская область |
220,0 |
718 |
671,3 |
51,923 |
|
18 |
Тульская область |
230,6 |
431 |
785,1 |
61,814 |
|
19 |
Удмуртская Респуб. |
240,3 |
553 |
769,9 |
41,309 |
|
Сумма |
906,8 |
2326,0 |
2669,2 |
196,4 |
|
|
Ср.значение |
226,7 |
581,5 |
667,3 |
49,1 |
|
|
20 |
Томская область |
251,7 |
546 |
496,4 |
77,131 |
|
21 |
Липецкая область |
263,2 |
525 |
546,1 |
83,633 |
|
22 |
Алтайский край |
268,8 |
615 |
1102,7 |
43,641 |
|
Сумма |
783,7 |
1686,0 |
2145,2 |
204,4 |
|
|
Ср.значение |
261,2 |
562,0 |
715,1 |
68,1 |
|
|
23 |
Хабаровский край |
273,2 |
671 |
733,0 |
89,769 |
|
24 |
Ставропольский край |
275,1 |
730 |
1218,8 |
78,507 |
|
25 |
Воронежская область |
289,3 |
675 |
1064,7 |
85,651 |
|
26 |
Республика Коми |
295,6 |
995 |
475,4 |
108,36 |
|
27 |
Архангельская обл. |
298,1 |
846 |
615,1 |
66,002 |
|
28 |
Вологодская область |
298,1 |
723 |
611,3 |
55,482 |
|
|
Сумма |
1729,4 |
4640,0 |
4718,3 |
483,8 |
|
|
Ср.значение |
288,2 |
773,3 |
786,4 |
80,6 |
На основе данных строк «Сумма» и «Ср.значение» формируются таблицы 4 и 5. Таблица 4 является исходной для последующего анализа, а таблица 5 – первой аналитической таблицей для визуальной оценки наличия или отсутствия связей или зависимостей. В частности, из этой таблицы видно, что с увеличением стоимости основных фондов ВРП растет для групп от второй до шестой. Зависимость ВРП от численности занятых в экономике и от объема инвестиций визуально трудно оценить. Для этого требуется проведение более детального анализа.
Таблица 4
Суммарные величины четырех основных экономических показателей 28-ми средних регионов России, сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г.
|
Диапазон по групповому признаку, млрд.руб. |
Кол-во регионов |
ВРП, млрд.руб. |
ОФ, млрд.руб. |
Числ., тыс.чел. |
Инвес., млрд.руб. |
|
127,0-155,5 |
9 |
1301,9 |
3855,0 |
4962,4 |
451,8 |
|
155,6-184,0 |
4 |
683,6 |
1416,0 |
2373,8 |
192,0 |
|
184,1-212,5 |
2 |
408,3 |
1115,0 |
1553,4 |
168,4 |
|
212,6-241,0 |
4 |
906,8 |
2326,0 |
2669,2 |
196,4 |
|
241,1-269,5 |
3 |
783,7 |
1686,0 |
2145,2 |
204,4 |
|
269,6 и более |
6 |
1729,4 |
4640,0 |
4718,3 |
483,8 |
|
Итого |
28 |
5813,7 |
15038,0 |
18422,3 |
1696,8 |
Т
Таблица 5
Основные экономические показатели 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г. в расчете на 1 регион
|
Диапазон по групповому признаку, млрд.руб. |
Кол-во регионов |
ВРП, млрд.руб. |
ОФ, млрд.руб. |
Числ., тыс.чел. |
Инвес., млрд.руб. |
|
127,0-155,5 |
9 |
144,7 |
428,3 |
551,4 |
50,2 |
|
155,6-184,0 |
4 |
170,9 |
354,0 |
593,5 |
48,0 |
|
184,1-212,5 |
2 |
204,2 |
557,5 |
776,7 |
84,2 |
|
212,6-241,0 |
4 |
226,7 |
581,5 |
667,3 |
49,1 |
|
241,1-269,5 |
3 |
261,2 |
562,0 |
715,1 |
68,1 |
|
269,6 и более |
6 |
288,2 |
773,3 |
786,4 |
80,6 |
|
Итого |
28 |
207,6 |
537,1 |
657,9 |
60,6 |
Выявление связей, зависимостей методом статистических группировок требуют выполнения множества однотипных операций и расчетов с использованием моделей на прямые расчеты. В частности, принято выполнять следующие расчеты: а) удельных весов каждой группы объектов в каждом объемном показателе; в) показатели эффективности и технического уровня; г) величины показателей каждой группы к показателям для всей совокупности и др.
Удельные веса каждой группы регионов в каждом объемном показателе можно рассчитать по формулам:
3) Upj = Пpj/ Пj; 3) Upj = Пpj*100/ Пj,
где Upj – удельный вес p-й группы регионов в j-м показателе;
Пpj - величина j-го показателя для p-й группы регионов;
Пj – суммарная величина j–го показателя.
Формула (3) предназначена для расчета удельных весов в долях единицы, а формула (4) - для расчета удельных весов в процентах.
Для расчета удельных весов групп регионов создается пустая таблица 6. В ячейки первой строки этой таблицы вводятся вводится формула (3) или (4). Используя абсолютные ссылки и адресацию ячеек таблицы 4, формулы первой строки копируются в остальные ячейки таблицы 6.
Таблица 6
Удельные веса групп регионов в основных экономических показателях (для 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г.), в процентах к итогу
|
Диапазон по групповому признаку, млрд.руб. |
Кол-во реги-онов |
Кол-во реги-онов |
ВРП |
ОФ |
Числ. |
Инвес. |
|
127,0-155,5 |
9 |
32,1 |
22,4 |
25,6 |
26,9 |
26,6 |
|
155,6-184,0 |
4 |
14,3 |
11,8 |
9,4 |
12,9 |
11,3 |
|
184,1-212,5 |
2 |
7,1 |
7,0 |
7,4 |
8,4 |
9,9 |
|
212,6-241,0 |
4 |
14,3 |
15,6 |
15,5 |
14,5 |
11,6 |
|
241,1-269,5 |
3 |
10,7 |
13,5 |
11,2 |
11,6 |
12,0 |
|
269,6 и более |
6 |
21,4 |
29,7 |
30,9 |
25,6 |
28,5 |
|
Итого |
28 |
100,0 |
100,0 |
100,0 |
100,0 |
100,0 |
По удельным весам можно проводить сравнительную оценку использования ресурсов регионами разных групп. Если удельный вес группы по ВРП больше, чем по ресурсам, то эта группа использует ресурсы более эффективно и, наоборот. Так, удельный вес первой группы регионов в ВРП заметно менше, чем в каждом из ресурсов, а удельный вес четвертой и пятой групп в ВРП больше, чем в каждом из ресурсов. Отсюда следует, что у первой группы регионов эффективность использования ресурсов является самой низкой , у пятой группы – самой высокой, а четвертая группа несколько уступает пятой группе. У остальных трех групп регионов одни ресурсы используются эффективно, а другие - неэффективно.
Более определенно об использовании ресурсов можно судить по показателям эффективности. При этом их целесообразно сравнивать с показателями технического уровня.
На основании 4-х исходных показателей из таблицы 4 или таблицы 5 можно рассчитать следующие показатели эффективности и технического уровня:
а) эффективности производства
- фондоотдачу (FO), руб.;
- производительность труда (ПТ), тыс.руб.;
- инвестиционноотдачу (ИО), руб.;
б) технического уровня
- фондовооруженность труда (ФВ), тыс.руб.;
- инвестиционновооруженность труда (ИВ), тыс.руб.;
- отношение инвестиций к ВРП или норма накопления (НН), %;
- потенциал обновления основных фондов или отношение инвестиций к стоимости основных фондов (ИП), %.
Перечисленные показатели рассчитываются по следующим формулам:
51) ФОi = Пi1/Пi2; 6) ПТi = Пi1/Пi3; 7) ИОi = Пi1/Пi4;
8) ФВi = Пi2/Пi3; 9) ИBi = Пi4/Пi3. 10) НН = Пi4*100/ Пi1;
11) ИП = Пi4*100/ Пi2.
Для расчета показателей эффективности и технического уровня в разрезе групп регионов создается пустая таблица 7. В ячейки первой строки этой таблицы вводятся формулы (5-11), используя адресацию и данные таблицы 4 или 5. Эти формулы затем копируются в ячейки всех остальных строк.
Таблица 7
Показатели эффективности и технического уровня в разрезе
групп регионов (для 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г.)
|
Диапазон по групповому признаку, млрд.руб. |
Фо, руб. |
Пт, тыс.руб. |
Ио, руб. |
Фв, тыс.руб. |
Ив, тыс.руб. |
Нн, % |
Ип, % |
|
127,0-155,5 |
0,338 |
262,4 |
2,88 |
776,8 |
91,1 |
34,7 |
11,7 |
|
155,6-184,0 |
0,483 |
288,0 |
3,56 |
596,5 |
80,9 |
28,1 |
13,6 |
|
184,1-212,5 |
0,366 |
262,8 |
2,42 |
717,8 |
108,4 |
41,3 |
15,1 |
|
212,6-241,0 |
0,390 |
339,7 |
4,62 |
871,4 |
73,6 |
21,7 |
8,4 |
|
241,1-269,5 |
0,465 |
365,3 |
3,83 |
785,9 |
95,3 |
26,1 |
12,1 |
|
269,6 и более |
0,373 |
366,5 |
3,57 |
983,4 |
102,5 |
28,0 |
10,4 |
|
Итого |
0,387 |
315,6 |
3,43 |
816,3 |
92,1 |
29,2 |
11,3 |
. Данные таблицы 7 являются очень важными аналитическими данными для оценки эффетивности использования каждого из ресурсов в отдельности. Однако по ним трудно судить об эффективности использования всех трех ресурсов и о виде зависимости ВРП от ресурсов, поскольку показатели эффективности различных групп регионов разнонаправлены. Это видно из таблицы 7. Аналогично обстоит дело и с показателями технического уровня.
Но их можно свести к сопоставимым измерителям. Для этого достаточно величины показателей каждой группы (Эpj, ТУpj) соотнести к показателям для всей совокупности (Эj, ТУj) путем деления каждого показателя для каждой группы из таблицы 6 на величины показателей строки «Итого», т.е. по формуле:
ПЭpj=Эpj/Эj ; ПТУpj=ТУpj/ТУj;
ПЭpj=Эpj*100/Эj ; ПТУpj=ТУpj*100/ТУj,
где ПЭpj, ПТУpj – j-й показатель эффективности и технического уровня для p-й группы регионов.
Относительные значения показателей эффективности и технического уровня в разрезе групп регионов приведены в таблице 7.
Таблица 7
Относительные значения показателей эффективности и технического уровня групп регионов (для 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г., показатели для совокупности регионов = 1,00)
|
Диапазон по групповому признаку, млрд.руб. |
фо |
пт |
ио |
фв |
ив |
нн |
ип |
|
127,0-155,5 |
0,87 |
0,83 |
0,84 |
0,95 |
0,99 |
1,19 |
1,04 |
|
155,6-184,0 |
1,25 |
0,91 |
1,04 |
0,73 |
0,88 |
0,96 |
1,20 |
|
184,1-212,5 |
0,95 |
0,83 |
0,71 |
0,88 |
1,18 |
1,41 |
1,34 |
|
212,6-241,0 |
1,01 |
1,08 |
1,35 |
1,07 |
0,80 |
0,74 |
0,75 |
|
241,1-269,5 |
1,20 |
1,16 |
1,12 |
0,96 |
1,03 |
0,89 |
1,07 |
|
269,6 и более |
0,96 |
1,16 |
1,04 |
1,20 |
1,11 |
0,96 |
0,92 |
|
Итого |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
Таблица 8
|
Диапазон по групповому признаку, млрд.руб. |
Иэ |
Ит |
|
127,0-155,5 |
2,546 |
4,168 |
|
155,6-184,0 |
3,201 |
3,772 |
|
184,1-212,5 |
2,488 |
4,809 |
|
212,6-241,0 |
3,433 |
3,356 |
|
241,1-269,5 |
3,479 |
3,965 |
|
269,6 и более |
3,169 |
4,200 |
|
Итого |
3,000 |
4,000 |
Перечисленные расчеты являются многократно повторяющимися. Из этого следует, что для выполнения указанных расчетов целесообразно разработать компьютерную модель.
Все расчеты выполняются по компьютерной модели, разработанной для одной группы.
Компьютерная модель, реализующая метод группировок, создается следующим образом:
- формируется исходная статистическая совокупность из любого количества объектов (регионов), содержащихся в базе данных со всеми их показателями, используемыми для анализа, т.е. создается таблица 1;
- в таблицу 1 вводятся две строки «сумма» и «ср.знач» и с помощью встроенных средств MS Excel рассчитываются их значения по всем показателям;
- рассчитывается удельный вес каждого объекта (региона) статистической совокупности в суммарной величине каждого показателя и для их значений формируется отчетная таблица (таблица 2);
- рассчитываются относительные показатели для каждого объекта и для всей совокупности, которые могут быть определены на основе данных исходной таблицы 1 (эффективности, технического уровня и т.д.) и для их значений создается отчетная таблица (таблица 3);
- рассчитываются отношения (коэффициенты) показателей таблицы 3 для каждого объекта к показателям в среднем для статистической совокупности и для их значений создается отчетная таблица (таблица 4).
Конечной целью разработки и применения математических и компьютерных моделей в экономических исследованиях является формирование аналитических материалов (таблиц, диаграмм, графиков и др.) и формулировка выводов, предложений и рекомендаций.
Тема 3. Математическое и компьютерное моделирование связей и зависимостей между парами экономических показателей
3.1. Модели для анализа связей и зависимостей
Анализ связей и зависимостей принято начинать с выявления их наличия и оценки степени тесноты связей и зависимостей. В экономике большинство связей являются корреляционными, определяемыми для статистических совокупностей.
Наличие и степень тесноты связей можно определить по различным статистическим характеристикам. Часть из этих характеристик встроена в MS Excel. К их числу относятся, в частности, коэффициент корреляции (ρ), коэффициент Пирсона (r); квадрат коэффициента Пирсона (r2).
В скобках приведены принятые в MS Excel обозначения этих функций.
Три указанных коэффициента рассчитываются по формулам:
где x, y – заданные значения показателя-фактора и результативного показателя; n – количество объектов в статистической совокупности.
Приемлемость рассматриваемого вида связей (он может быть линейным или нелинейным) оценивается с помощью показателя, называемого стандартной ошибкой у от х. В MS Excel для нее принято обозначение «СТОШУХ» (σy/x) и рассчитывается по формуле:
Для расчета четырех названных статистических характеристик на ПЭВМ нет необходимости вводить формулы их расчета с клавиатуры, поскольку они встроены в процедуры «Мастер функций» MS Excel.
Для выполнения соответствующих расчетов достаточно: а) активизировать процедуру «Мастер функций», б) выбрать в появившемся окне «Мастера функций» слово «статистические» + ОК; в) выбрать среди статистических функций КОРРЕЛ, КВПИРСОН и СТОШУХ соответственно.
Для работы с встроенными функциями следует знать их синтаксис, состоящий имени функции и аргументов для обращения к необходимым исходным данным.
Синтаксис каждого из трех рассматриваемых показателей имеет вид:
КОРРЕЛ (массив 1; массив 2);
КВПИРСОН (известные значения Y; известные значения X);
СТОШУХ (известные значения Y; известные значения X),
где массив1 - это интервал ячеек со значениями;
массив2 - второй интервал ячеек со значениями.
Наиболее простым из видов связей между двумя экономическими показателями является линейный
y = b + mx,
где y – зависимый экономический показатель, x – независимый экономический показатель (называют также показателем-фактором); b и m – параметры, численные значения которых должны быть определены.
Параметры b и m рассчитываются по формулам:
m = ; .
Для работы параметров b и m в MS Excel имеются функции «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН». Их синтаксисы имеют вид:
ОТРЕЗОК (известные значения Y; известные значения X).
НАКЛОН (известные значения Y; известные значения X).
Если возникает необходимость многократно выполнять расчеты, используя встроенные статистические функции MS Excel, то целесообразно создать компьютерную модель. Покажем это на конкретном примере.
Пример. По исходным данным регионов России за 2002-2009гг. по четырем ключевым показателям, валовой региональный продукт (ВРП), стоимость основных фондов (ОФ), численность занятых в экономике (Числ) и объему инвестиций (Инв) требуется выявить наличие линейной зависимости ВРП от каждого от трех показателей-факторов для чего рассчитать статистические функции «КОРРЕЛ», «КВПИРСОН», «СТОШУХ», «ОТРЕЗОК», «НАКЛОН».
Очевидно, что для решения этой задачи потребуется выполнение одних и тех же расчетов для каждого из регионов. Причем для одного региона требуется рассчитать указание пять показателей трижды.
Очевидно, что для решения этой задачи потребуется выполнение одних и тех же расчетов для каждого из регионов. Причем для одного региона требуется рассчитать указание пять показателей трижды. Возможны два варианта разработки компьютерной модели для решения сформулированной задачи.
В соответствии с 1-м вариантом:
а) создается таблица-шаблон исходных данных для одной пары показателей (таблица 1).
Таблица 1
Таблица-шаблон исходных данных для первого варианта компьютерной модели
|
Годы |
Зависимый показатель |
Независимый показатель |
|
1-й |
5,501 |
31,6 |
|
2-й |
10,721 |
42,4 |
|
… |
… |
… |
|
n-й |
100,935 |
211,3 |
б) используя данные таблицы 1, строится график точек рассеивания (рис.1) с помощью мастера диаграмм, который подтверждает или опровергает линейный характер зависимости.
Рис.1. Графики точек рассеивания для зависимости ВРП от инвестиций
в) создается таблица-шаблон для расчетных показателей (таблица 2).
Таблица 2
Таблица-шаблон для расчетных показателей для первого варианта компьютерной модели
|
№ |
Наименование показателя |
Величина показателя |
|
1 |
КОРРЕЛ |
#ДЕЛ/0! |
|
2 |
КВПИРСОН |
#ДЕЛ/0! |
|
3 |
СТОШУХ |
#ДЕЛ/0! |
|
4 |
ОТРЕЗОК |
#ДЕЛ/0! |
|
5 |
НАКЛОН |
#ДЕЛ/0! |
г) используя адресацию таблицы-шаблона 1, с помощью мастера функций MS Excel в ячейки таблицы-шаблона 2 вводятся соответствующие встроенные статистические функции, имена которых приведены в этой таблице-шаблоне.
Исходные данные и полученные значения параметров и статистических характеристик для Республики Дагестан с помощью первого варианта компьютерной модели приведены в таблицах 3 и 4.
Таблица 3
Исходные данные для расчета параметров и статистических характеристик для Республики Дагестан по первому варианту компьютерной модели
|
Республика Дагестан |
ВРП , млрд.руб. |
Инвест, млрд.руб. |
|
2002 |
31,6 |
5,501 |
|
2003 |
42,4 |
10,721 |
|
2004 |
54,9 |
13,527 |
|
2005 |
76,1 |
24,065 |
|
2006 |
96,9 |
39,437 |
|
2007 |
118,3 |
58,220 |
|
2008 |
166,7 |
86,273 |
|
2009 |
211,3 |
100,935 |
Таблица 4
Значения параметров и статистических характеристик для Республики Дагестан, рассчитанные с помощью первого варианта компьютерной модели
|
Республика Дагестан |
ввп от инв |
|
квпирсон |
0,9861 |
|
коррел |
0,9930 |
|
отрезок |
26,4997 |
|
наклон |
1,7308 |
|
стошух |
8,0093 |
Второй вариант компьютерной модели отличается от первого варианта тем, что в этом случае таблица-шаблон исходных данных создается для зависимого показателя от нескольких показателей-факторов (таблица 5).
Таблица 5
Таблица-шаблон исходных данных для второго варианта компьютерной модели
|
Годы |
Зависимый показатель |
Независимый показатель |
|||
|
1-й |
2-й |
… |
m-й |
||
|
1-й |
31,6 |
5,501 |
743,6 |
… |
188,8 |
|
2-й |
42,4 |
10,721 |
780,8 |
… |
228,1 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
n-й |
211,3 |
100,935 |
941,4 |
… |
525,0 |
Во втором варианте для всех пар зависимостей создается одна таблица-шаблон для расчетных показателей (таблица 6).
Таблица 6
Таблица-шаблон для расчетных показателей для второго варианта компьютерной модели
|
Зависимость от |
|||||
|
1-го показателя-фактора |
2-го показателя-фактора |
… |
m-го показателя-фактора |
||
|
1 |
КОРРЕЛ |
0,9861 |
0,9151 |
… |
0,9917 |
|
2 |
КВПИРСОН |
0,9930 |
0,9566 |
… |
0,9958 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
6 |
НАКЛОН |
8,0093 |
19,8281 |
6,2081 |
Исходные данные и полученные значения параметров и статистических характеристик для Республики Дагестан с помощью второго варианта компьютерной модели приведены в таблицах 7 и 8.
Таблица 7
Исходные данные для расчета параметров и статистических характеристик для Республики Дагестан по второму варианту компьютерной модели
|
ВРП, млрд.руб. |
Инвест, млрд.руб. |
Числ, тыс.чел. |
ОФ, млрд.руб. |
|
|
2002 |
31,6 |
5,501 |
743,6 |
188,8 |
|
2003 |
42,4 |
10,721 |
780,8 |
228,1 |
|
2004 |
54,9 |
13,527 |
786,2 |
242,1 |
|
2005 |
76,1 |
24,065 |
826,5 |
257,0 |
|
2006 |
96,9 |
39,437 |
873,4 |
312,3 |
|
2007 |
118,3 |
58,220 |
882,0 |
339,8 |
|
2008 |
166,7 |
86,273 |
906,4 |
431,7 |
|
2009 |
211,3 |
100,935 |
941,4 |
525,0 |
Таблица 8
Значения параметров и статистических характеристик для Республики Дагестан, рассчитанные с помощью второго варианта компьютерной модели
|
|
ввп от инв |
ввп от числ. |
врп от ОФ |
|
квпирсон |
0,9861 |
0,9151 |
0,9917 |
|
коррел |
0,9930 |
0,9566 |
0,9958 |
|
отрезок |
26,4997 |
-635,3748 |
-74,3291 |
|
наклон |
1,7308 |
0,8725 |
0,5517 |
|
стошух |
8,0093 |
19,8281 |
6,2081 |
Второй вариант компьютерной модели позволяет существенно сократить время выполнения всех расчетов.
Таким образом, компьютерная модель для оценки тесноты связи и расчета параметров уравнения парной линейной регрессии с помощью инструментов MS Excel включает:
- исходную таблицу;
- таблицу с встроенными статистическими функциями, реализующими алгоритмы расчетов и графика точек рассеивания, созданного с помощью мастера диаграмм.
Работа компьютерной программы иллюстрирует рис. 2. Алгоритм 1 – статистические функции из «Мастера функций» MS Excel, а алгоритм 2 – графостроитель из «Мастера диаграмм». Таблицы-шаблоны и таблица-график приведены в таблицах 1, 2 и на рис. 1, а соответствующие отчетные таблицы и графики – в таблицах 3, 4.
Таблица 3
Алгоритм 1
Алгоритм 2
Рис. 1
Таблица 3
Таблица 4
Рис.2. Схема функционирования компьютерной модели
Методика работы с компьютерной моделью сводится к следующему. В таблицу-шаблон 1 вводятся фактические численные значения зависимых и независимых показателей объекта (региона), для которого выполняются расчеты.
При этом автоматически рассчитываются данные таблицы-шаблона и формируется график точек рассеивания. Таблицы с исходными и рассчитанными показателями и график экспортируются в MS Word, для анализа полученных результатов.
Затем расчеты с помощью компьютерной модели вычисляются для других выбираемых пар, вводя их исходные значения в таблицу-шаблон 1. Все получаемые для каждого региона результаты переносятся в MS Word.
3.2. Модели для прогнозирования экономических показателей с помощью статистических функций MS Excel
Функции «ПРЕДСКАЗ», «РОСТ» и «ТЕНДЕНЦИИ» - встроенные статистические функции MS Excel, используемые для прогнозирования на основе заданных временных рядов и рядов динамики.
Функция «ПРЕДСКАЗ» - это встроенное уравнение регрессии линейного вида y = a + bx. Ее синтаксис имеет вид:
ПРЕДСКАЗ(x; известные_значения_y; известные_значения_x)
Функция «Рост» представляет собой уравнение регрессии вида y = b*mx. Ее синтаксис имеет вид:
РОСТ(известные_значения_y; известные_значения_x; новые_значения_x; конст)
Функция «Тенденция» представляет собой линейный тренд вида y = b+mx. Синтаксис этой функции имеет вид:
ТЕНДЕНЦИЯ(известные_значения_y; известные_значения_x; новые_значения_x; конст),
где x - точка данных, для которой предсказывается значение;
известные_значения_y - зависимый массив или интервал данных.
известные_значения_x - независимый массив или интервал данных.
новые_значения_x -новые значения x, для которых рассчитываются соответствующие прогнозные значения y.
конст - логическое значение, которое указывает, должна ли константа b в уравнениях регрессии равняться 1.
Методика применения всех трех функций одинакова. Для этого:
а) создается таблица с исходными данными (таблица 1);
б) определяется период времени, на который предполагается провести прогноз;
в) создается таблица для величин прогнозируемых показателей (табл. 2);
г) рассчитываются прогнозируемые значения показателя-фактора, для чего в ячейку таблицы 2 вводятся соответствующие встроенные функции, используя адресацию ячеек таблицы 1.
Математическая и компьютерная модели для прогнозирования….
Для прогнозирования с помощью моделей временных рядов и рядов динамики необходимо строить математическую модель, поскольку ее алгоритмы уже встроены в MS Excel в виде статистических функций. В MS Excel имеются три статистических функции, которые могут быть использованы для прогнозирования. Однако две из них («ПРЕДСКАЗ» и «ТЕНДЕНЦИЯ») в принципе идентичны и выполняют расчеты по одному и тому же алгоритму линейной парной регрессии (методом наименьших квадратов).
Поэтому в компьютерную модель достаточно включить две функции («ПРЕДСКАЗ» и «РОСТ»).
Методика создания компьютерной модели состоит в следующем:
- создается таблица с исходными данными (табл.1);
- создается таблица-шаблон для расчетных показателей (табл.2);
- в ячейку таблицы 2 для первой пары зависимостей используя мастер функций и адреса массивов ячеек 1-й таблицы функции «ПРЕДСКАЗ» и «РОСТ»;
- эти функции копируются в ячейки для других пар зависимостей.
Рассмотрим методику разработки компьютерной модели для прогнозирования с помощью временных рядов для регионов Российской Федерации на примере Республики Дагестан.
В качестве зависимых показателей выбраны валовой региональный продукт (зависимая переменная y, млрд. руб.), объем инвестиций (x1, млрд. руб.) численность занятых в экономике (x2, тыс. чел.) и стоимость основных фондов (x3, млрд. руб.) за 2002-2009гг.
Независимым показателем (показателем-фактором) является время (t, годы), который принимает значения от 1 до 8 (t = 1,2,…,8 соответственно 2002, 2003,…, 2009гг.).
Чтобы провести прогноз с помощью временных рядов должен быть задан интервал времени, на который предполагается провести прогноз. При этом прогнозный период не может быть больше одной трети от числа уровней статистической совокупности. В нашем случае число уровней равно 8 (количество лет в статистической совокупности).
Следовательно, число лет прогнозируемого периода равен 2-3 (8:3).
Примем численные значения t на прогнозируемый период равными 9, 10 и 11 (соответственно 2010, 2011, 2012гг). Исходные данные, необходимые для прогнозирования, приведены в таблице 10.
Таблица 10
Исходная таблица
|
Дагес |
врп |
инвест |
числ |
оф |
|
|
|
млрд.руб. |
млрд.руб. |
тыс.чел. |
млрд.руб. |
t |
|
2002 |
31,6 |
5,501 |
743,6 |
188,8 |
1 |
|
2003 |
42,4 |
10,721 |
780,8 |
228,1 |
2 |
|
2004 |
54,9 |
13,527 |
786,2 |
242,1 |
3 |
|
2005 |
76,1 |
24,065 |
826,5 |
257,0 |
4 |
|
2006 |
96,9 |
39,437 |
873,4 |
312,3 |
5 |
|
2007 |
118,3 |
58,220 |
882,0 |
339,8 |
6 |
|
2008 |
166,7 |
86,273 |
906,4 |
431,7 |
7 |
|
2009 |
211,3 |
100,935 |
941,4 |
525,0 |
8 |
Рис.3. Динамика роста ВРП, инвестиций, стоимости основных фондов и численности занятых в экономике Республики Дагестан за 2002-2009 гг.
Создаем пустую таблицу 11 для рассчитываемых прогнозируемых значений зависимых показателей.
Таблица 11
Таблица-шаблон для прогнозируемых значений показателей
|
|
врп , млрд.руб. |
Инвест, млрд. руб. |
Числ, тыс.чел. |
ОФ, млрд.руб. |
t |
|
|
предсказ |
|
|
|
|
|
2010 |
9 |
||||
|
2011 |
10 |
||||
|
2012 |
11 |
||||
|
|
рост |
|
|
|
|
|
2010 |
9 |
||||
|
2011 |
10 |
||||
|
2012 |
11 |
Таблица 11 заполняется следующим образом:
- выделяем массив для расчета прогнозируемых значений для валового регионального продукта;
- запускаем инструментарий «Мастер функций» и из группы статистических функций выбираем функцию «ПРЕДСКАЗ»;
- в появившемся окне «ПРЕДСКАЗ» в качестве известные значения выбираем данные по ВРП за 2002-2009гг., известных значений x – данные t = 1, 2,…, 8, а в качестве новых значений x данные t = 9,10, 11 + ok;
- нажимаем клавишу F2 (режим редактирования), а затем комбинацию клавиш Shift + Contr + Enter. В результате в выделенном массиве для прогнозируемых значений буду выведены прогнозируемые значения ВРП.
Установив функции «ПРЕДСКАЗ», введенный в ячейки для ВРП за 2010-2012гг. абсолютные ссылки для заданных значений t и новых значений t, можно эту функцию копировать в ячейки за 2010-2012 гг. для инвестиций, численности занятых и стоимости фондов.
Аналогично можно выполнить прогнозные расчеты и с функцией «РОСТ».
Компьютерная модель готова.
Результаты расчетов приведены в таблице 12.
Таблица 12
Отчетная таблица с прогнозными значениями показателей для Республики Дагестан
|
|
врп , млрд.руб. |
Инвест, млрд. руб. |
Числ, тыс.чел. |
ОФ, млрд.руб. |
t |
|
|
предсказ |
|
|
|
|
|
2010 |
211,8 |
106,4 |
968,3 |
514,9 |
9 |
|
2011 |
236,6 |
120,6 |
996,2 |
559,2 |
10 |
|
2012 |
261,5 |
134,8 |
1024,1 |
603,5 |
11 |
|
|
рост |
|
|
|
|
|
2010 |
280,0 |
189,6 |
975,8 |
556,1 |
9 |
|
2011 |
366,9 |
289,9 |
1008,9 |
638,2 |
10 |
|
2012 |
480,6 |
443,2 |
1043,0 |
732,4 |
11 |
Подставляя в таблицу 10 вместо исходных данных Республики Дагестан исходные данные других регионов, можно автоматически рассчитывать прогнозные значения по всем четырем показателям для любого из других регионов.
Эту модель можно использовать для прогнозирования по федеральным округам и по стране в целом.
Более обоснованные прогнозные значения для ВРП можно рассчитать с помощью рядов динамики «ВРП – инвестиции», «ВРП – численность занятых в экономике». «ВРП – стоимость основных фондов». Наличие зависимости ВРП от каждого из трех указанных показателей иллюстрируют графики точек рассеивания, которые являются частью компьютерной модели.
Рис.4. Графики точек рассеивания для рядов динамики: «ВРП от инвест» (а),
«ВРП от числ» (б), «ВРП от инвес» (в)
Методика аналогично методике прогнозирования с помощью временных рядов. Отличие состоит в том, что в качестве показателя-фактора выступает не время t = 1, 2,…, 8, а объем инвестиций (x1), численность занятых в экономике (x2) и стоимость основных фондов (x3).
Отличия эти наглядно видны из таблицы 13, создаваемые для расчетных показателей.
Таблица 13
Таблица-шаблон
|
Дагес |
врп |
инвест |
числ |
оф |
|
|
|
|
|
млрд.руб. |
млрд.руб. |
тыс.чел. |
млрд.руб. |
|
|
|
|
2002 |
|
|
|||||
|
2003 |
|
|
|||||
|
2004 |
|
|
|||||
|
2005 |
|
|
|||||
|
2006 |
|
|
|||||
|
2007 |
|
|
|||||
|
2008 |
|
|
|||||
|
2009 |
|
|
|||||
|
|
предсказ |
Прогнозные значения ВРП по |
Прогнозные значения |
||||
|
инв |
числ |
ОФ |
Инв |
Числ |
ОФ |
||
|
2010 |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
||||
|
2011 |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
||||
|
2012 |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
||||
|
|
рост |
|
|
||||
|
2010 |
#ЗНАЧ! |
#ЗНАЧ! |
#ЗНАЧ! |
||||
|
2011 |
#ЗНАЧ! |
#ЗНАЧ! |
#ЗНАЧ! |
||||
|
2012 |
#ЗНАЧ! |
#ЗНАЧ! |
#ЗНАЧ! |
Прогнозные значения для показателей-факторов можно определить разными методами, в т. ч. с помощью временных рядов. В таблице 13 они выступают в качестве заданных исходных данных. Расчетными в этой таблице являются прогнозные значения ВРП.
Функции «ПРЕДСКАЗ» и «РОСТ» вводятся в ячейки за 2010-2012гг. для зависимости «ВРП от инвестиций». Затем эти функции копируются для двух других зависимостей. В результате формируется таблица 14.
Таблица 14
Отчетная таблица
|
Дагес |
врп |
инвест |
числ |
оф |
|
|
|
|
|
млрд.руб. |
млрд.руб. |
тыс.чел. |
млрд.руб. |
|
|
|
|
2002 |
31,6 |
5,501 |
743,6 |
188,8 |
|
|
|
|
2003 |
42,4 |
10,721 |
780,8 |
228,1 |
|
|
|
|
2004 |
54,9 |
13,527 |
786,2 |
242,1 |
|
|
|
|
2005 |
76,1 |
24,065 |
826,5 |
257,0 |
|
|
|
|
2006 |
96,9 |
39,437 |
873,4 |
312,3 |
|
|
|
|
2007 |
118,3 |
58,220 |
882,0 |
339,8 |
|
|
|
|
2008 |
166,7 |
86,273 |
906,4 |
431,7 |
|
|
|
|
2009 |
211,3 |
100,935 |
941,4 |
525,0 |
|
|
|
|
|
предсказ |
Прогнозные значения ВРП по |
Прогнозные значения |
||||
|
Инв |
Числ |
ОФ |
Инв |
Числ |
ОФ |
||
|
2010 |
210,7 |
209,5 |
209,7 |
106,4 |
968,3 |
514,9 |
|
|
2011 |
235,2 |
233,9 |
234,2 |
120,6 |
996,2 |
559,2 |
|
|
2012 |
259,8 |
258,2 |
258,6 |
134,8 |
1024,1 |
603,5 |
|
|
|
рост |
|
|
|
|
|
|
|
2010 |
1107,5 |
294,7 |
314,7 |
189,6 |
975,8 |
556,1 |
|
|
2011 |
6466,1 |
403,6 |
496,0 |
289,9 |
1008,9 |
638,2 |
|
|
2012 |
95905,4 |
558,1 |
835,8 |
443,2 |
1043 |
732,4 |
Первый способ
|
Регион |
ВРП , млрд.руб. |
Инвест, млрд.руб. |
|
2002 |
|
|
|
2003 |
|
|
|
2004 |
|
|
|
2005 |
|
|
|
2006 |
|
|
|
2007 |
|
|
|
2008 |
|
|
|
2009 |
|
|
|
|
ввп от инв |
|
квпирсон |
#ДЕЛ/0! |
|
коррел |
#ДЕЛ/0! |
|
отрезок |
#ДЕЛ/0! |
|
наклон |
#ДЕЛ/0! |
|
стошух |
#ДЕЛ/0! |
|
Республика Дагестан |
ВРП , млрд.руб. |
Инвест, млрд.руб. |
|
2002 |
31,6 |
5,501 |
|
2003 |
42,4 |
10,721 |
|
2004 |
54,9 |
13,527 |
|
2005 |
76,1 |
24,065 |
|
2006 |
96,9 |
39,437 |
|
2007 |
118,3 |
58,220 |
|
2008 |
166,7 |
86,273 |
|
2009 |
211,3 |
100,935 |
|
Республика Дагестан |
ввп от инв |
|
квпирсон |
0,9861 |
|
коррел |
0,9930 |
|
отрезок |
26,4997 |
|
наклон |
1,7308 |
|
стошух |
8,0093 |
Второй способ
|
Регион |
ВРП, млрд.руб. |
Инвест, млрд.руб. |
Числ, тыс.чел. |
ОФ, млрд.руб. |
|
2002 |
|
|
|
|
|
2003 |
|
|
|
|
|
2004 |
|
|
|
|
|
2005 |
|
|
|
|
|
2006 |
|
|
|
|
|
2007 |
|
|
|
|
|
2008 |
|
|
|
|
|
2009 |
|
|
|
|
|
|
ввп от инв |
ввп от числ. |
врп от ОФ |
инв от врп |
оф от инв |
|
квпирсон |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
|
коррел |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
|
отрезок |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
|
наклон |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
|
стошух |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
#ДЕЛ/0! |
|
Республика Дагестан |
ВРП, млрд.руб. |
Инвест, млрд.руб. |
Числ, тыс.чел. |
ОФ, млрд.руб. |
|
2002 |
31,6 |
5,501 |
743,6 |
188,8 |
|
2003 |
42,4 |
10,721 |
780,8 |
228,1 |
|
2004 |
54,9 |
13,527 |
786,2 |
242,1 |
|
2005 |
76,1 |
24,065 |
826,5 |
257,0 |
|
2006 |
96,9 |
39,437 |
873,4 |
312,3 |
|
2007 |
118,3 |
58,220 |
882,0 |
339,8 |
|
2008 |
166,7 |
86,273 |
906,4 |
431,7 |
|
2009 |
211,3 |
100,935 |
941,4 |
525,0 |
|
Республика Дагестан |
ввп от инв |
ввп от числ. |
врп от ОФ |
инв от врп |
оф от инв |
|
квпирсон |
0,9861 |
0,9151 |
0,9917 |
0,9861 |
0,9740 |
|
коррел |
0,9930 |
0,9566 |
0,9958 |
0,9930 |
0,9869 |
|
отрезок |
26,4997 |
-635,3748 |
-74,3291 |
-14,5116 |
184,1358 |
|
наклон |
1,7308 |
0,8725 |
0,5517 |
0,5697 |
3,1049 |
|
стошух |
8,0093 |
19,8281 |
6,2081 |
4,5952 |
19,8121 |
Тема 4. Компьютерная модель для определения потребности в сырье и
основных видов затрат на производство ассортимента продукции
4.1. Формулировка задачи и ее информационное обеспечение
4.2. Математический алгоритм и его описание
4.3. Методика создания компьютерной модели
4.1. Формулировка задачи и ее информационное обеспечение
Задача по определению потребности в сырье, калькуляционных затрат и цен на продукцию формулируются следующим образом.
На предприятии из различного вида сырья производятся различные виды продукции. Заданы нормы расхода каждого вида сырья на производство каждой продукции, цены на различные виды сырья и продукции, объем продукции каждого вида в натуральных измерителях, нормативы заработной платы на единицу продукции, норма амортизации, среднегодовая стоимость основных фондов, норматив прочих затрат на единицу продукции.
Требуется разработать математическую и компьютерную модели, позволяющие автоматизировать всех расчёты и сформировать комплекс электронных материалов (таблиц, графиков и др.), анализ которых позволяет разработать обоснованный ассортиментный план производства продукции. При этом математическая модель должна включать алгоритмы выполнения следующих расчетов по определению:
а) потребности в сырье и материалах каждого вида на производство каждого вида и все видов продукции;
б) стоимости каждого вида сырья, потребляемого на производство каждого вида продукции и на весь ассортимент;
в) затрат на сырье всех видов на производство продукции каждого
вида;
г) стоимости каждого вида продукции и всего ассортимента;
д) величины затрат за вычетом сырья в себестоимости продукции
каждого вида;
е) величины заработной платы в себестоимости продукции каждого
вида;
ж) величины амортизационных затрат в себестоимости продукции
каждого вида;
и) величины прочих затрат в себестоимости продукции каждого вида;
к) величина прибыли на единицу продукции каждого вида;
л) величина проектной цены продукции каждого вида.
В таблице 1 приведены исходные данные для восьми заданных показателей: норм расхода сырья и материалов (кг), объемов продукции каждого вида в натуральном выражении (штук), цены на сырье (руб/кг) и продукцию (руб/шт), стоимость основных фондов (тыс.руб.), нормативы заработной платы и прочих затрат (в % к себестоимости продукции) и норма амортизации (в % от стоимости основных фондов).
Таблица 1
Исходные данные
(нормы расхода сырья, объем продукции в натуре, цены на сырье и продукцию, стоимость основных фондов, нормативы зарплаты, амортизации и прочих затрат в себестоимости)
|
NC, кг |
п1 |
п2 |
п3 |
п4 |
п5 |
п6 |
п7 |
п8 |
цена сырья, руб. |
|
с1 |
2,5 |
2,0 |
2,9 |
1,7 |
2,1 |
1,4 |
2,3 |
1,5 |
120 |
|
с2 |
3,2 |
2,7 |
3,6 |
2,4 |
3 |
2,4 |
3,1 |
2,7 |
150 |
|
с3 |
1,7 |
1,5 |
2,1 |
1,2 |
1,9 |
1,7 |
2,5 |
1,9 |
90 |
|
с4 |
0,9 |
0,4 |
1,3 |
0,2 |
1,4 |
1,5 |
1,8 |
0,7 |
170 |
|
с5 |
1,4 |
0,9 |
1,8 |
0,7 |
1,7 |
1,5 |
2,2 |
1,5 |
210 |
|
с6 |
2,1 |
1,6 |
2,5 |
1,4 |
2,6 |
1,5 |
2,8 |
1,7 |
75 |
|
с7 |
0,7 |
0,3 |
1,2 |
0,1 |
0,9 |
1,5 |
1,5 |
0,8 |
135 |
|
Объем продукции,шт. |
35500 |
21400 |
17600 |
27400 |
30300 |
15500 |
25800 |
37900 |
|
|
Цена ед. прод., руб. |
2900 |
1900,0 |
3400,0 |
1500,0 |
3100,0 |
2600,0 |
3600,0 |
2400,0 |
|
|
ОФ, тыс.руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
742140,0 |
|
NЗП,% |
20,0 |
17,0 |
18,0 |
7,0 |
15,0 |
16,0 |
21,0 |
16,0 |
|
|
NА,% |
|
|
|
|
|
|
|
|
8,0 |
|
NПЗ,% |
5,0 |
4,0 |
5,0 |
3,0 |
5,0 |
5,0 |
5,0 |
5,0 |
|
4.2. Математический алгоритм и его описание
Для математической записи алгоритма расчетов введем обозначения для исходных и расчетных показателей.
Обозначение исходных показателей:
NCij – нормы расхода i-го вида сырья и материалов на единицу j-ой продукции;
Vj – объем продукции j-го вида в натуральном выражении;
ЦСi – цена единицы i-го вида сырья, руб.;
Цj - цена единицы i-го вида продукции, руб.;
NЗПj – норматив заработной платы в себестоимости j-го вида продукции, %;
F – среднегодовая стоимость основных фондов, тыс.руб.;
NA - норма амортизации, %;
NПЗj - норматив прочих затрат в себестоимости продукции, %;
i – индекс видов сырья, i=;
j - индекс видов продукции, j=.
Обозначение расчетных показателей^
ПСij – потребность в сырье i-го вида на производство продукции j-го вида;
ПСi – потребность в сырье i-го вида на производство всех видов продукции;
MEij – величины затрат на i-й вид сырья и материалов на производство единицы j-й продукции, руб.;
MEj – затраты на сырьё и материалы на единицу j-го вида продукции, руб.;
МЗij – суммарные затраты на сырьё и материалы i-го вида на производство продукции j-го вида;
МЗi – суммарные затраты на сырьё i-го вида на производство всей продукции, руб.;
МЗj - суммарные затраты на сырьё и материалы на производство продукции j-го вида;
ЗПЕj – величина заработной платы на производство единицы j-й продукции, руб.;
АЕj – величина амортизационных затрат на единицу j-й продукции, руб.;
ПЗj – величина прочих затрат на единицу j-й продукции, руб.;
ССj – себестоимость единицы j-й продукции, руб.;
Пj – величина прибыли на единицу j-й продукции, руб.;
∑ЗПj, ∑Аj, ∑ПЗj, ∑ССj, ∑Пj, ∑ТПj – суммарные величины заработной платы, амортизации, прочих затрат, себестоимости, прибыли и стоимости на производство всей продукции, тыс.руб.;
ТПj – стоимость продукции j-го вида, тыс.руб.
Математическая модель авляет собой совокупность формул на выполнение прямых расчетов. Она включает 18 следующих формул:
ССj = (MЗj+ Аj)/(1- NЗПj/100 - ССj* NЗПj/100);
4.3. Методика создания компьютерной модели
Создаются следующие таблицы-шаблоны для ввода всех исходных данных и всех расчетных формул, являющиеся основными компонентами компьютерной модели
Таблица-шаблон компьютерной модели для определения потребности в сырье и материалах, калькуляционных затрат проектных цен на производство продукции
Таблица 2
Потребность в сырье и материалах на производство каждого вида и всей продукции
|
ПС, кг |
п1 |
п2 |
п3 |
п4 |
п5 |
п6 |
п7 |
п8 |
Сумма |
|
с1 |
88750 |
42800 |
51040 |
46580 |
63630 |
21700 |
59340 |
56850 |
430690 |
|
с2 |
113600 |
57780 |
63360 |
65760 |
90900 |
37200 |
79980 |
102330 |
610910 |
|
с3 |
60350 |
32100 |
36960 |
32880 |
57570 |
26350 |
64500 |
72010 |
382720 |
|
с4 |
31950 |
8560 |
22880 |
5480 |
42420 |
23250 |
46440 |
26530 |
207510 |
|
с5 |
49700 |
19260 |
31680 |
19180 |
51510 |
23250 |
56760 |
56850 |
308190 |
|
с6 |
74550 |
34240 |
44000 |
38360 |
78780 |
23250 |
72240 |
64430 |
429850 |
|
с7 |
24850 |
6420 |
21120 |
2740 |
27270 |
23250 |
38700 |
30320 |
174670 |
Таблица 3
Затраты сырья и материалов (каждого вида и всех видов в сумме) на производство единицы каждого вида продукции
|
МЗЕ,руб. |
п1 |
п2 |
п3 |
п4 |
п5 |
п6 |
п7 |
п8 |
|
с1 |
300,0 |
240,0 |
348,0 |
204,0 |
252,0 |
168,0 |
276,0 |
180,0 |
|
с2 |
480,0 |
405,0 |
540,0 |
360,0 |
450,0 |
360,0 |
465,0 |
405,0 |
|
с3 |
153,0 |
135,0 |
189,0 |
108,0 |
171,0 |
153,0 |
225,0 |
171,0 |
|
с4 |
153,0 |
68,0 |
221,0 |
34,0 |
238,0 |
255,0 |
306,0 |
119,0 |
|
с5 |
294,0 |
189,0 |
378,0 |
147,0 |
357,0 |
315,0 |
462,0 |
315,0 |
|
с6 |
157,5 |
120,0 |
187,5 |
105,0 |
195,0 |
112,5 |
210,0 |
127,5 |
|
с7 |
94,5 |
40,5 |
162,0 |
13,5 |
121,5 |
202,5 |
202,5 |
108,0 |
|
Сумма |
1632,0 |
1197,5 |
2025,5 |
971,5 |
1784,5 |
1566,0 |
2146,5 |
1425,5 |
Таблица 4
Объем товарной продукции и затраты сырья и материалов (каждого вида и всех видов в сумме) на производство каждого вида и всей продукции, тыс.руб.
|
|
п1 |
п2 |
п3 |
п4 |
п5 |
п6 |
п7 |
п8 |
|
СС, тыс.руб. |
91733,2 |
37869,9 |
54498,0 |
34395,8 |
79978,0 |
36108,5 |
88082,4 |
80538,1 |
|
МЗ, тыс.руб. |
57936,0 |
25626,5 |
35648,8 |
26619,1 |
54070,4 |
24273,0 |
55379,7 |
54026,5 |
|
А, тыс.руб. |
10863,9 |
4290,7 |
6314,7 |
4337,1 |
9912,1 |
4252,7 |
9801,3 |
9598,7 |
|
ЗП, тыс.руб. |
18346,6 |
6437,9 |
9809,6 |
2407,7 |
11996,7 |
5777,4 |
18497,3 |
12886,1 |
|
ПЗ, тыс.руб. |
4586,7 |
1514,8 |
2724,9 |
1031,9 |
3998,9 |
1805,4 |
4404,1 |
4026,9 |
|
Себ_контроль |
91733,2 |
37869,9 |
54498,0 |
34395,8 |
79978,0 |
36108,5 |
88082,4 |
80538,1 |
|
П, тыс.руб. |
11216,8 |
2790,1 |
5342,0 |
6704,2 |
13952,0 |
4191,5 |
4797,6 |
10421,9 |
|
Р,% |
12,2 |
7,4 |
9,8 |
19,5 |
17,4 |
11,6 |
5,4 |
12,9 |
Таблица 5
Себестоимость, прибыль и рентабельность каждого вида и всей продукции
|
п1 |
п2 |
п3 |
п4 |
п5 |
п6 |
п7 |
п8 |
сумма |
|
|
с1 |
10650,0 |
5136,0 |
6124,8 |
5589,6 |
7635,6 |
2604,0 |
7120,8 |
6822,0 |
51682,8 |
|
с2 |
17040,0 |
8667,0 |
9504,0 |
9864,0 |
13635,0 |
5580,0 |
11997,0 |
15349,5 |
91636,5 |
|
с3 |
5431,5 |
2889,0 |
3326,4 |
2959,2 |
5181,3 |
2371,5 |
5805,0 |
6480,9 |
34444,8 |
|
с4 |
5431,5 |
1455,2 |
3889,6 |
931,6 |
7211,4 |
3952,5 |
7894,8 |
4510,1 |
35276,7 |
|
с5 |
10437,0 |
4044,6 |
6652,8 |
4027,8 |
10817,1 |
4882,5 |
11919,6 |
11938,5 |
64719,9 |
|
с6 |
5591,3 |
2568,0 |
3300,0 |
2877,0 |
5908,5 |
1743,8 |
5418,0 |
4832,3 |
32238,8 |
|
с7 |
3354,8 |
866,7 |
2851,2 |
369,9 |
3681,5 |
3138,8 |
5224,5 |
4093,2 |
23580,5 |
|
сумма |
57936,0 |
25626,5 |
35648,8 |
26619,1 |
54070,4 |
24273,0 |
55379,7 |
54026,5 |
333579,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТП |
102950,0 |
40660,0 |
59840,0 |
41100,0 |
93930,0 |
40300,0 |
92880,0 |
90960,0 |
562620,0 |
Таблица 6
Величины себестоимости, ее основных статей и прибыли на единицу продукции каждого вида
|
|
п1 |
п2 |
п3 |
п4 |
п5 |
п6 |
п7 |
п8 |
|
СС, тыс.руб. |
2,584 |
1,770 |
3,096 |
1,255 |
2,640 |
2,330 |
3,414 |
2,125 |
|
МЗ, тыс.руб. |
1,632 |
1,198 |
2,026 |
0,972 |
1,785 |
1,566 |
2,147 |
1,426 |
|
А, тыс.руб. |
0,306 |
0,200 |
0,359 |
0,158 |
0,327 |
0,274 |
0,380 |
0,253 |
|
ЗП, тыс.руб. |
0,517 |
0,301 |
0,557 |
0,088 |
0,396 |
0,373 |
0,717 |
0,340 |
|
ПЗ, тыс.руб. |
0,129 |
0,071 |
0,155 |
0,038 |
0,132 |
0,116 |
0,171 |
0,106 |
|
П, тыс.руб. |
0,316 |
0,130 |
0,304 |
0,245 |
0,460 |
0,270 |
0,186 |
0,275 |
Тема 5. Компьютерное моделирование связей между парами экономических показателей
5.1. Формулировка задачи и алгоритм ее решения
.
По социально-экономическим показателям регионов России, приведенным в статистических сборниках Росстата за 2005 и 2009 гг. [Россия в цифрах.:Крат.стат.сб./Росстат –М.,2006; 2010] требуется построить различные виды однофакторных эконометрических моделей.
В качестве исходных данных приняты два показателя регионов: валовой региональной продукт (ВРП, млрд. руб.) и стоимость основных фондов (ОФ, млрд. руб.). Валовой региональный продукт принимаем за результативный показатель (Y), а стоимость основных фондов за показатель-фактор (X). В качестве выборочной совокупности принимаются группы регионов по различным признакам (например, по федеральным округам, по величине ВРП, по численности занятых в экономике, объему промышленной продукции, по объему сельхоз продукции, величине заработной платы и другим из социально-экономических показателей).
Исходные данные приведены в таблицах 1.
Требуется: а) выявить наличие зависимости валового регионального продукта от показателя-фактора и степень тесноты этой зависимости; б) рассчитать параметры и статистические характеристики и дать их экономическую интерпретацию; в) сформировать аналитические таблицы, графики, схемы, диаграммы и др.; г) вывести исходные, промежуточные и аналитические таблицы (графики, схемы, диаграммы и др.) на печать.
Все расчеты выполняются в MS Excel.
Требуется построить пять видов уравнений парной регрессии: линейный (), степенной (), показательный (), гиперболический (), параболический ().
Таблица 1
Исходные данные (ранжированный ряд по стоимости основных фондов
|
|
|
|
врп |
ОФ |
|
|
наимен-е регионов |
фед. округа |
у |
х |
|
13 |
Калининград. область |
сзфо |
181,7 |
304 |
|
9 |
Калужская область |
цфо |
153,3 |
324 |
|
1 |
Брянская область |
цфо |
127,0 |
327 |
|
12 |
Владимирская область |
цфо |
176,3 |
329 |
|
8 |
Ульяновская область |
пфо |
151,1 |
352 |
|
11 |
Курская область |
цфо |
168,0 |
361 |
|
10 |
Чувашская Республика |
пфо |
157,6 |
422 |
|
18 |
Тульская область |
цфо |
230,6 |
431 |
|
4 |
Пензенская область |
пфо |
145,1 |
446 |
|
7 |
Кировская область |
пфо |
150,9 |
456 |
|
5 |
Астраханская область |
юфо |
147,1 |
466 |
|
6 |
Рязанская область |
цфо |
149,7 |
477 |
|
2 |
Амурская область |
двфо |
136,8 |
494 |
|
3 |
Забайкальский край |
сфо |
140,9 |
513 |
|
15 |
Республика Дагестан |
юфо |
211,3 |
525 |
|
21 |
Липецкая область |
цфо |
263,2 |
525 |
|
20 |
Томская область |
сфо |
251,7 |
546 |
|
19 |
Удмуртская Республика |
пфо |
240,3 |
553 |
|
14 |
Тверская область |
цфо |
197,0 |
590 |
|
22 |
Алтайский край |
сфо |
268,8 |
615 |
|
16 |
Мурманская область |
сзфо |
215,9 |
624 |
|
23 |
Хабаровский край |
двфо |
273,2 |
671 |
|
25 |
Воронежская область |
цфо |
289,3 |
675 |
|
17 |
Ярославская область |
цфо |
220,0 |
718 |
|
28 |
Вологодская область |
сзфо |
298,1 |
723 |
|
24 |
Ставропольский край |
юфо |
275,1 |
730 |
|
27 |
Архангельская область |
сзфо |
298,1 |
846 |
|
26 |
Республика Коми |
сзфо |
295,6 |
995 |
В таблице 2 приведены исходные показатели и рассчитываемые на их основе промежуточные показатели, необходимые для определения параметров и статистических характеристик уравнения регрессии линейного вида.
Исходными показателями являются величины валового регионального продукта (y) и стоимость основных фондов (x): y является результативным показателем, x – показателем–фактором.
Таблица 2
|
№ n/n |
Наим-е объектов стат. совокуп. |
y |
x |
х2 |
xy |
Y2 |
yx=f(x) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
+ |
+ |
+ |
? |
? |
? |
? |
|
2 |
+ |
+ |
+ |
? |
? |
? |
? |
|
… |
… |
… |
… |
? |
… |
… |
… |
|
n |
+ |
+ |
+ |
? |
? |
? |
? |
|
Cуммая |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
|
|
Сред. арифметич. |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
|
(y-)2 |
(y-yx)2 |
(yx-)2 |
|
9 |
10 |
11 |
|
? |
? |
? |
|
? |
? |
? |
|
… |
… |
… |
|
? |
? |
? |
|
? |
? |
? |
|
? |
? |
? |
Примечание: Плюсы в таблице означают заданные исходные показатели, а вопросительные знаки – расчетные величины промежуточных показателей
В таблице 3 приведены наименования и обозначения статистических характеристик, а также формулы для их расчета.
Таблица 3
Статистические характеристики и формулы для их расчета
|
Наименование показателя |
Обозначение |
Формула для расчета |
|
Коэффициент корреляции |
r |
r = |
|
Коэффициент детерминации |
r2 |
r2 |
|
Общая дисперсия |
Dобщ |
Dобщ= |
|
Факторная дисперсия |
Dфакт |
Dфакт |
|
Остаточная дисперсия |
Dост |
Dост= |
|
Критерий Фишера |
F |
F= Dфакт/ Dост F=(n-2)r2/(1-r2) |
|
Стандартная ошибка по параметру m |
Sm |
Sm= |
|
Стандартная ошибка по параметру b |
Sb |
Sb= |
|
Стандартная ошибка для корреляции r |
Sr |
Sr= |
|
Критерий Стьюдента по параметру b |
tb |
tb=b/Sb |
|
Критерий Стьюдента по параметру m |
tm |
tm = m/Sm |
|
Критерий Стьюдента для корреляции r |
tr |
tr = r/Sr tr = |
|
Средняя ошибка аппроксимации |
А |
А= |
Параметры уравнений парной регрессии (b;m; m1;m2 ) рассчитываются методом наименьших квадратов по нижеприведенным формулам:
- уравнений регрессии линейного вида
- уравнений степенного вида
5.2 Компьютерная модель
Решение задачи начинается с построения графиков точек рассеивания. Такой график для рассматриваемого нами примера имеет вид, приведенный на рис.1
По расположению точек на графике можно делать предварительный вывод о возможных видах линий регрессии.
Графики точек рассеивания можно строить с помощью инструментария «Мастер диаграмм» в MS Excel, выполняя следующие действия:
- создать исходную таблицу вида
|
X |
||||
|
Y |
- выделив созданную исходную таблицу нажать на пункт «Вставка» главного меню;
Рис.1. Графики точек рассеивания для зависимости ВРП от стоимости основных фондов, построенные по данным 28 регионов России по данным за 2009 год
- в появившемся подменю «Диаграммы» выбрать пункт «Точечная», а затем в окне «Точечная» выбрать первый из 5-ти возможных типов диаграмм.
После выполнения указанных действий на рабочем поле MS Excel будет выведен сформированный «Мастером диаграмм» график точек рассеивания (см. рис.1).
Затем можно перейти к расчету промежуточных показателей. При построении уравнений регрессии линейного вида необходимо рассчитать показатели, приведенные в таблице 2:
.
Расчеты выполняются в следующей последовательности (см. таблицу 4.1):
- рассчитываются и для 1-го региона путем ввода указанных формул в соответствующие ячейки этого региона, а затем скопировать эти формулы в ячейки для всех остальных регионов;
- рассчитываются путем ввода соответствующих формул в строки «Сумма» и «Ср.арифметическая»;
- рассчитываются b и m по вышеприведенным формулам для уравнения парной линейной регрессии (см. последнюю строку таблицы 4.1).
- производится математическая запись построенного уравнения регрессии, которая в нашем примере имеет вид ;
- подставив в построенное уравнение значения показателя – фактора (x) определяются расчетные значения (yx) (см. столбец 7 таблицы 4.1); например, расчетное значение ВРП для Калининградской области равно млрд.руб.;
- рассчитываются для 1-го региона путем ввода указанных формул, а затем эти формулы копируются в ячейки остальных регионов;
- рассчитываются Эти показатели необходимы для расчета статистических характеристик.
Аналогичные расчеты выполняются и при построении уравнений регрессии степенного вида, хотя имеются некоторые различия. Методика расчета параметров для уравнений степенного видов иллюстрируют таблицы 4.2.
Различие для уравнения степенного вида состоит в том, что в качестве исходных показателей при определении b и m используются не величины y и x, а их логарифмов и .
Рассчитанные величины параметров целесообразно свести в таблицу 5.
На основе данных таблицы 5 можно математически записать построенные нами однофакторные модели:
у=19,0064+0,2626х1 - линейного вида;
у=1,3092/x10,7528 - степенного вида.
Таблица 4.1
Расчетная таблица для построения однофакторной эконометрической модели линейного вида для пары «ВРП-ОФ» по данным 28 регионов
страны за 2005 г.
|
|
|
ВРП, млрд.руб. |
ОФ, млрд.руб. |
|
|
|
|
|
|
у |
х1 |
х1*х1 |
х1*у |
ух |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
33 |
Калинингр. область |
65,6 |
143 |
20449 |
9380,8 |
56,6 |
|
43 |
Сахалинская область |
88,3 |
174 |
30276 |
15364,2 |
64,7 |
|
31 |
Калужская область |
64,8 |
187 |
34969 |
12117,6 |
68,1 |
|
32 |
Республика Бурятия |
64,8 |
201 |
40401 |
13024,8 |
71,8 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
38 |
Република Дагестан |
76,1 |
257 |
66049 |
19557,7 |
86,5 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
52 |
Республика Коми |
141,2 |
473 |
223729 |
66787,6 |
143,2 |
|
|
Сумма |
2620,1 |
7951,0 |
2423893 |
787630,6 |
2620,1 |
|
|
Ср.арифметическая |
93,6 |
284,0 |
86567,6 |
28129,7 |
93,6 |
|
b |
60,4623 |
|
m |
0,2740 |
|
|
|
|||
|
|
|
(у-уср)^2 |
(у-уx)^2 |
(уср-ух)^2 |
|
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
|
33 |
Калинингр. область |
782,6 |
81,8 |
1370,3 |
|
43 |
Сахалинская область |
27,8 |
557,0 |
833,9 |
|
31 |
Калужская область |
828,0 |
11,0 |
648,3 |
|
32 |
Республика Бурятия |
828,0 |
48,8 |
474,6 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
38 |
Република Дагестан |
305,4 |
108,0 |
50,1 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
52 |
Республика Коми |
2268,1 |
4,1 |
2464,2 |
|
|
Сумма |
22793,1 |
11339,6 |
11453,4 |
|
|
Ср.арифметическая |
814,0 |
405,0 |
409,1 |
Таблица 4.2
Расчетная таблица для построения однофакторной экономической модели степенного вида для пары «ВРП-ОФ» по данным 28 регионов страны за 2005 г.
|
|
|
у |
х1 |
lgy |
lgx1 |
lgx1*lgx1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
33 |
Калининг. область |
65,6 |
143 |
1,8169 |
2,1553 |
4,6455 |
|
43 |
Сахалинская область |
88,3 |
174 |
1,9460 |
2,2405 |
5,0201 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
38 |
Република Дагестан |
76,1 |
257 |
1,8814 |
2,4099 |
5,8078 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
52 |
Республика Коми |
141,2 |
473 |
2,1498 |
2,6749 |
7,1549 |
|
|
Сумма |
2620,1 |
7951,0 |
54,6460 |
68,2407 |
166,7120 |
|
|
Ср.арифметическая |
93,6 |
284,0 |
1,9516 |
2,4372 |
5,9540 |
|
|
|
lgb |
0,1170 |
|
m |
0,7528 |
|
b |
1,3092 |
|
lgy*lgx1 |
ух |
(у-уср)^2 |
(у-уx)^2 |
(уср-ух)^2 |
||
|
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
33 |
Калининг. область |
3,9160 |
54,9 |
782,6 |
114,7 |
1496,6 |
|
43 |
Сахалинская область |
4,3600 |
63,6 |
27,8 |
608,8 |
896,9 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
38 |
Република Дагестан |
4,5340 |
85,3 |
305,4 |
85,3 |
67,8 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
52 |
Республика Коми |
5,7505 |
135,1 |
2268,1 |
37,5 |
1722,2 |
|
|
Сумма |
133,4812 |
2558,4 |
22793,1 |
11613,4 |
9908,0 |
|
|
Ср.арифметическая |
4,7672 |
91,4 |
814,0 |
414,8 |
353,9 |
|
|
|
|
||||
Таблица 5
Величины параметров для однофакторных эконометрических моделей,
выражающих связи ВРП с стоимостью основных фондов, рассчитанные для совокупности из 28 регионов России по данным за 2005 г.
|
Название параметра |
Обоз-е парам. |
лин |
степ |
|
Свободный член регрессии |
b |
19,0064 |
1,3092 |
|
Коэффициент регрессии при X |
m |
0,2626 |
0,7528 |
Данные строк «сумма» и «ср.арифметическая» таблиц 4.1, 4.2 и 4.3, в свою очередь являются исходными для расчета статистических характеристик, приведенных в таблице 3.
Для удобства выполнения расчетов статистических характеристик для всех пяти видов уравнений на основе таблиц 4.1, 4.2 и 4.3 целесообразно создать таблицу 6.
Статистические характеристики рассчитываются путем ввода в ячейки таблицы 7 соответствующих формул приведенных в таблице 3.
На основе построенных уравнений регрессии можно рассчитать два очень важных показателя: предельная эффективность фактора () и коэффициент эластичности ().
Величины предельной эффективности и коэффициента эластичности приведены в таблице 10.
Таблица 6
Результаты промежуточных расчетов, необходимые для определения параметров
и статистических характеристик однофакторных эконометрических моделей для связи «ВРП-стоимость основных фондов» по данным 28 регионов России за 2005 г.
|
Для линейного вида |
у |
х1 |
х1*х1 |
х1*у |
ух |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
29 |
Сумма |
2620,1 |
7951 |
2423893 |
787630,6 |
2620,1 |
|
30 |
Ср.арифметическая |
93,6 |
284 |
86567,6 |
28129,7 |
93,6 |
|
Для степенного вида |
у |
х1 |
lgy |
lgx1 |
lgx1*lgx1 |
|
|
|
Сумма |
2620,1 |
7951 |
54,646 |
68,2407 |
166,712 |
|
|
Ср.арифметическая |
93,6 |
284 |
1,9516 |
2,4372 |
5,954 |
|
Для линейного вида |
(у-уср)^2 |
(у-уx)^2 |
(уср-ух)^2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
29 |
22793,1 |
11339,6 |
11453,4 |
|||
|
30 |
814 |
405 |
409,1 |
|
|
|
|
Для степенного вида |
lgy*lgx1 |
ух |
(у-уср)^2 |
(у-уx)^2 |
(уср-ух)^2 |
|
|
|
133,4812 |
2558,4 |
22793,1 |
11613,4 |
9908 |
|
|
|
4,7672 |
91,4 |
814 |
414,8 |
353,9 |
Таблица 7
Статистические характеристики для эконометрических
моделей выражающих различные виды связи «ВРП-ОФ», рассчитанные
по данным для 28 регионов России за 2005 г.
|
|
Линейный |
Степенной |
Линейный |
Степенной |
|
|
r |
0,7074 |
0,6990 |
sm |
0,0512 |
0,02434 |
|
r2 |
0,5004 |
0,4887 |
sr |
0,1386 |
0,1402 |
|
Dобщ |
844,2 |
844,2 |
tb |
1,261 |
0,086 |
|
Dфакт |
11339,6 |
9908,0 |
tm |
5,1245 |
|
|
Dост |
440,5 |
446,7 |
tr |
5,1027 |
4,9846 |
|
F |
25,7 |
22,2 |
tr |
6,6675 |
6,4973 |
|
F |
26,0 |
24,8 |
A |
21,51 |
21,76 |
|
sb |
15,0770 |
15,2579 |
Таблица 8
Расчетные значения результативного показателя (), полученные для уравнений парной регрессии линейного, степенного, показательного, гиперболического и параболического видов для зависимости ВРП от стоимости основных фондов по данным 28 регионов России за 2005 г.
|
Линейный |
Степенной |
Линейный |
Степенной |
||
|
1 |
56,6 |
54,9 |
15 |
91,0 |
89,6 |
|
2 |
64,7 |
63,6 |
16 |
92,0 |
90,5 |
|
3 |
68,1 |
67,2 |
17 |
92,5 |
91,0 |
|
4 |
71,8 |
70,9 |
18 |
96,5 |
94,7 |
|
5 |
74,7 |
73,8 |
19 |
100,9 |
98,8 |
|
6 |
76,8 |
75,9 |
20 |
102,0 |
99,7 |
|
7 |
79,4 |
78,5 |
21 |
108,0 |
105,1 |
|
8 |
79,7 |
78,8 |
22 |
108,0 |
105,1 |
|
9 |
83,1 |
82,1 |
23 |
113,3 |
109,8 |
|
10 |
83,6 |
82,6 |
24 |
119,8 |
115,5 |
|
11 |
83,6 |
82,6 |
25 |
122,7 |
117,9 |
|
12 |
86,5 |
85,3 |
26 |
122,7 |
117,9 |
|
13 |
87,5 |
86,3 |
27 |
123,0 |
118,2 |
|
14 |
88,3 |
87,1 |
28 |
143,2 |
135,1 |
Рис.2. График уравнения регрессии для зависимости ВРП от стоимости основных фондов по данным 28 регионов России за 2005 г.
Тема 6. Решение на задач линейного программирования на ПЭВМ
6.1. Пример для решения
Решить на ПЭВМ задачу ассортимента продукции, математическая
модель которой записывается следующим образом:
Найти оптимальное решение (х1, х2, х3, х4, х5), позволяющее max суммарную величину прибыли
F= 4,4х1+5,0х2+2,6х3+3,1х4+3,5х5 (1)
при условиях:
а) соблюдения ограничений на использование каждого из 4-х видов сырья
51х1+0х2+34х3+0х4+23х5 < 7000;
15х1+53х2+26х3+52х4+27х5 < 10000; (2)
0х1+11х2+0х3+16х4+10х5 = 1500;
5х1+6х2+8х3+10х4+7х5 =2000
б) соблюдения условий по неотрицательности всех переменных
х1 > 0; х2 > 0; х3 > 0; х4 > 0; х5 > 0. (3)
6.2. Инструментарий «Поиск решения…» MS Excel и методика
работы с ним
Для решения задачи в MS Excel целесообразно её модель (см. формулы 1-3) составить в виде таблицы 1 называемой рабочей таблицей.
Инструментарий «Поиск решения…» MS Excel. В процедуре «Поиска решений…» MS Excel используются алгоритмы симплекс-метода и метода «branch-and-bound» для решения линейных и целочисленных задач с ограничениями.
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
Расч. знач. величины огран-я |
Величина огран-я |
|
|
1 |
51 |
34 |
23 |
∑a1jXj |
7000 |
||
|
2 |
15 |
63 |
26 |
52 |
27 |
∑a2jXj |
10000 |
|
3 |
11 |
16 |
10 |
∑a3jXj |
1500 |
||
|
4 |
5 |
6 |
8 |
10 |
7 |
∑a4jXj |
2000 |
|
F |
4,4 |
5,0 |
2,6 |
3,1 |
3,5 |
∑CjXj |
|
|
Оптимальное решение |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Работа в процедуре «Поиска решений …» осуществляется следующим образом:
2. Вводятся формулы для вычисления:
а) расчетных значений по каждому ограничению (потребность сырья
каждого вида по оптимальному решению), т.е.
i = 1,2,3,4 ;
б) суммарной величины критерия оптимальности, т.е.
3. для переменных Xj в строку оптимальное решение водятся нулевые значения;
4. запускается процедура «Поиск решения…» (Сервис → Поиск решения). Появляется окно «Поиск решения…» (рис.1).
5. В окне «Поиск решения…» следует выполнить следующие действия:
а) установить целевую ячейку, т.е. указать адрес ячейки, куда будет выведена суммарная величина критерия оптимальности;
б) выбрать указатель цели, т.е. max, min или ноль;
Рис. 1. Окно «Поиск решения» MS Excel
в) ввести изменяемые ячейки, т.е. указать диапазон для вывода результата решения (первоначально значения всех переменных принимаются равными нулю);
г) ввести ограничения (с помощью кнопки «добавить»);
д) запустить задачу на решение (выбор кнопки «выполнить»).
После завершения решения на экран выводится окно «Результаты поиска решения» (рис. 2). Это окно используется для вывода итогового сообщения и найденного решения.
Процедура поиск решения позволяет сформировать три типа отчетности, называемые соответственно «Результаты», «Устойчивость», «Пределы».
«Результаты» представляет собой отчет, состоящий из целевой ячейки (критерия оптимальности) и списка влияющих ячеек модели (оптимального
Рис. 2. Окно «Результаты поиска оптимального решения» MS Excel
решения), их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.
«Устойчивость» - это отчет, содержащий сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле модели: решение, ограничения и двойственные оценки (нормированный градиент (для переменных), множитель Лагранжа (для ограничений)).
Отчет «Пределы» состоит из целевой ячейки, критерия оптимальности и списка влияющих ячеек модели (переменных), их значений, а также нижних и верхних границ. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка при условии фиксированности значений остальных ячеек и их удовлетворения наложенным ограничениям. Соответственно верхним пределом называется наибольшее значение.
Для рассмотренной выше задачи ассортимента продукции получено следующее оптимальное решение.
Виды продукции |
Обозначение |
Объем продукции, шт. |
При х>10 |
|
А |
Х1 |
29 |
38 |
|
Б |
Х2 |
75 |
72 |
|
В |
Х3 |
117 |
112 |
|
Г |
Х4 |
10 |
|
|
Д |
Х5 |
68 |
55 |
6.3.Симплекс-метод решения экономических задач оптимизации
Симплекс–метод решения задачи линейного программирования основывается на построении расширенной модели. Расширенной называют исходную модель после ввода дополнительных переменных. Дополнительные переменные вводятся для преобразования неравенств в равенства.
Расширенная модель для рассматриваемой нами задачи имеет вид: Найти решение {x1, x2, x3, x4, x5, x6}, позволяющее максимизировать функцию прибыли
F = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6
при условиях:
x1 + 3x2 + x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 18;
2x1 + x2 + 0x3 + x4 + 0x5 + 0x6 = 16;
0x1 + x2 + 0x3 + 0x4 + x5 + 0x6 = 5;
3x1 + 0x2 + 0x1 + 0x4 + 0x5 + x6 = 21.
Для решения оптимизационной задачи симплекс-методом следует составить исходную симплекс-таблицу (таблица 1) .
Исходная симплекс-таблица
|
Базис |
Свобод-ный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
|||||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|||
|
x3 x4 |
18 16 |
1 2 |
3 1 |
1 0 |
0 1 |
0 0 |
0 0 |
|
|
x5 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
x6 |
21 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
F |
0 |
-2 |
-3 ↑ |
0 |
0 |
0 |
0 |
Составление первой симплекс-таблицы состоит в проверке выполнения критерия оптимальности и расчете оценочных отношений исходной симплекс-таблицы (см. табл.1).
Проверка выполнения критерия оптимальности. При решении задачи на mах выполнение критерия оптимальности можно определить по наличии в последней строке симплекс-таблицы (F) отрицательных коэффициентов для основных переменных (-сj). Если таких нет, то решение оптимально и достигнуть mах F.
Если критерий оптимальности не выполнен (в примере он не выполнен), то наибольший отрицательный коэффициент определяет разрешающий столбец (в примере это столбец 4).
Расчет оценочных отношений для каждой строки последнего столбца симплекс-таблицы производится по следующим правилам:
Определяем . Если конечного min нет, то задача не имеет оптимума, т.е. . Если min конечен, то выбираем строку q, на которой он достигается (любую, если их несколько), и называем ее разрешающей строкой. На пересечении разрешающей строки и столбца находится решающий элемент .
После расчета оценочных отношений и определения разрешающего элемента формирование первой симплекс-таблицы завершено (см. табл.2)
Первая симплекс-таблица
|
Базис |
Свобод- ный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
|||||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|||
|
x3 x4 |
18 16 |
1 2 |
3 1 |
1 0 |
0 1 |
0 0 |
0 0 |
18/3 16/1 |
|
x5 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5/21 ← |
|
x6 |
21 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
(21/0) ∞ |
|
F |
0 |
-2 |
-3 ↑ |
0 |
0 |
0 |
0 |
Затем переходят к составлению следующей (второй) симплекс-таблицы
Вторая симплекс-таблица (таблица 3) составляется на основе первой, соблюдая следующие правила:
а) в левом столбце записываем новый базис: вместо основной переменной - переменную ;
б) в столбцах, соответствующих основным переменным проставляем нули и единицы: 1 – против «своей» основной переменной, 0 – против «чужой» основной переменной , 0 – в последней строке против всех основных переменных;
в) новую строку с номером q получаем из старой делением на разрешающий элемент ;
г) все остальные элементы и вычисляем по правилу прямоугольника (рис. 1) с помощью формул
(5)
Рис. 1.
Проверка выполнения критерия оптимальности и расчета оценочных отношений во второй симплекс-таблице производится так же, как и в первой симплекс-таблице.
|
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
|||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
|
х3 |
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-3 |
0 |
|
|
х4 |
11 |
2 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
|
х2 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
х6 |
21 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
F |
15 |
-2 ↑ |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
Окончательный вид второй симплекс-таблицы после заполнения приведен в таблице 4.
Вторая симплекс-таблица (после завершения)
|
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
|||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
|
х3 |
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-3 |
0 |
3 ← |
|
х4 |
11 |
2 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
11/2 |
|
х2 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
(5/0) ∞ |
|
х6 |
21 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
21/3 |
|
F |
15 |
-2 ↑ |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
Аналогично составляются последующие симплекс-таблицы. В рассматриваемом примере требуется построить еще две таких таблиц. Они приведены в таблицах 5 и 6.
|
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
|||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
|
х1 |
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-3 |
0 |
|
|
х4 |
5 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
5 |
0 |
5/5← |
|
х2 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5/1 |
|
х6 |
12 |
0 |
0 |
-3 |
0 |
9 |
1 |
12/9 |
|
F |
21 |
0 |
0 |
2 |
0 |
-3 ↑ |
0 |
Таблица 6
|
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
|||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
|
х1 |
6 |
1 |
0 |
-1/5 |
3/5 |
0 |
0 |
|
|
х5 |
1 |
0 |
0 |
-2/5 |
1/5 |
1 |
0 |
|
|
х2 |
4 |
0 |
1 |
2/5 |
-1/5 |
0 |
0 |
|
|
х6 |
3 |
0 |
0 |
3/5 |
-9/5 |
0 |
1 |
|
|
F |
24 |
0 |
0 |
4/5 |
3/5 |
0 |
0 |
В таблице 6 в строке критерия оптимальности отрицательных чисел нет значений критерий оптимальности выполнен. Получено следующее оптимальное решение:
х1 = 6; х2 = 4; х5 = 1; х6 = 3.
Значение показателя (F), принятого за критерий оптимальности, равно 24.
Решение совпадает с ранее полученным геометрическим методом.
Тема 7. Построение математических моделей экономических задач оптимизации
7.1. Построение модели
Построение модели предполагает выполнение следующих этапов:
- выбор объекта и формулировку задачи;
- определение цели и выбор критерия (критериев) оптимальности;
- определение перечня переменных ограничений;
- определение перечня условий ограничений;
- составление расширенной экономико-математической модели в аналитическом (в виде математических формул) и/или табличном виде.
Рассмотрим методику построения оптимизационной модели на примере задачи ассортимента продукции.
Выбор объекта и формулировка задачи. На консервное предприятие поступило 4800 т томатного сырья, из которого предполагается выработать четыре вида продукции: томатный сок, томат-пасту, острый томатный соус и томаты консервированные. производство томатного соуса предполагает использование сахара. нормы расхода сырья и материалов, время работы технологических линий, цены, материальные затраты, себестоимость и прибыль на тысячу условных банок (руб.) приведены в таблице 1.
Таблица 1
|
Показатели |
Виды продукции |
|||
|
томатный сок |
томат-паста |
томат-соус |
томаты консерви- рованные |
|
|
Нормы расхода, т.: |
||||
|
томатов |
0,46 |
1,12 |
0,23 |
0,26 |
|
сахара |
- |
- |
0,06 |
- |
|
Потребность в технологических линиях, час. |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
|
Затраты на сырье, тыс. руб. |
1,9 |
2,1 |
3,9 |
2,0 |
|
Себестоимость, тыс. руб. |
2,2 |
2,4 |
4,4 |
2,3 |
|
Цена, тыс. руб. |
2,85 |
2,9 |
5,0 |
2,7 |
|
Прибыль, тыс. руб. |
0,65 |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
Должны быть соблюдены следующие условия: а) сырье должно быть использовано полностью; б) доля каждого из четырех видов продукции должна составить не менее 35, 20, 15 и 25 % от общего объема; в) должны быть определены потребность в сахаре на весь объем продукции, суммарная потребность в технологических линиях, а также суммарные величины итоговых экономических показателей (затрат на сырье, себестоимости и стоимости товарной продукции, прибыли); г) рентабельность продукции должна составить не менее 20%.
Требуется определить оптимальный вариант производства продукции, позволяющий предприятию максимизировать экономический эффект.
Составление модели.
Первый этап - выбор объекта и формулировку задачи (см.п.2.2) .
Второй этап - определение цели и выбор критерия (критериев) оптимальности.
В соответствии с условием целью в рассматриваемой задаче является разработка варианта производства продукции, позволяющего максимизировать экономический эффект. Этот эффект может быть выражен пятью показателями: объемом продукции в условно-натуральном выражении, суммарными материальными затратами, объемом товарной продукции, себестоимостью товарной продукции, прибылью от реализации товарной продукции. Следовательно, в качестве критерия оптимальности может быть принят один из указанных показателей (или все поочередно). При выборе в качестве критерия оптимальности первого, третьего и пятого показателя задача решается на максимум, а при выборе второго и четвертого – на минимум.
Третий этап – определение перечня переменных ограничений.
В рассматриваемой задаче переменными являются:
X1, X2, X3, X4 – объем производства продукции соответственно томатного сока, томата-пасты, томата-соуса, томатов консервированных, в туб.;
X5 – объем производства всей продукции в условно-натуральном выражении, в туб.;
X6 – потребность в сахаре, в т.;
X7 – потребность в технологических линиях, в час;
X8, X9, X10, X11 – суммарные величины итоговых экономических показателей (в тыс.руб.) соответственно материальных затрат, себестоимо-сти товарной продукции, прибыли.
Четвертый этап - определение перечня условий ограничений.
В качестве условий ограничений могут быть приняты:
1 – ограничение на использование томатного сырья,
2 – условие по определению общего объема производства продукции в условно-натуральном выражении;
3, 4, 5, 6 – ограничения на долю каждого из четырех видов продукции в общем объеме всей продукции;
7, 8 – условия по определению потребности в сахаре и технологических линиях;
9, 10, 11, 12 – условия по определению итоговых экономических показателей, соответственно материальных затрат, себестоимости, стоимости и прибыли;
18 – ограничение уровня рентабельности.
Пятый этап - составление расширенной экономико-математической модели в аналитическом (в виде математических формул) и/или табличном виде.
Аналитическая запись экономико-математической модели.
F = 0,65∙X1 + 0,5∙X2 + 0,7∙X3 +… + 0,4∙X11 → max
0,46∙X1 + 1,12∙X2 + 0,23∙X3 + 0,28∙X4 = 4800
X1 + X2 + X3 + X4 - X5 = 0
X1 – 0,35∙X5 ≥ 0
X2 – 0,20∙X5 ≥ 0
X3 – 0,15∙X5 ≥ 0
X4 – 0,25∙X5 ≥ 0
0,06∙X3 – X6 = 0
0,3∙X1 + 0,2∙X2 +0,5∙X3 + 0,3∙X4 – X7 = 0
1,9∙X1 + 2,1∙X2 + 3,9∙X3 + 2,0∙X4 – X8 = 0
2,2∙X1 + 2,4∙X2 + 4,4∙X3 + 2,3∙X4 – X9 = 0
2,8∙X1 + 2,9∙X2 + 5,0∙X3 + 2,7∙X4 - X10 = 0
0,6∙X1 + 0,5∙X2 + 0,6∙X3 + 0,4∙X4 - X11 = 0
-14∙X9 + 100∙X11 ≥ 0
Табличная запись экономико-математической модели
|
Перечень ограничений (имя строки) |
Перечень переменных (имя столбца) |
||||
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
|
|
1 |
0,46 |
1,12 |
0,23 |
0,28 |
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
|
3 |
1 |
-0,38 |
|||
|
4 |
1 |
-0,20 |
|||
|
5 |
1 |
-0,15 |
|||
|
6 |
1 |
-0,25 |
|||
|
7 |
0,06 |
||||
|
8 |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
|
|
9 |
1,9 |
2,1 |
3,9 |
2,0 |
|
|
10 |
2,2 |
2,4 |
4,4 |
2,3 |
|
|
11 |
2,8 |
2,9 |
5,0 |
2,7 |
|
|
12 |
0,6 |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
|
|
13 |
|||||
|
Критерий оптимальности |
0,65 |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
|
Перечень ограничений (имя строки) |
Перечень переменных (имя столбца) |
Вид ограничений |
Величина ограничений |
|||||
|
X6 |
X7 |
X8 |
X9 |
X10 |
X11 |
|||
|
1 |
= |
4800 |
||||||
|
2 |
= |
0 |
||||||
|
3 |
≥ |
0 |
||||||
|
4 |
≥ |
0 |
||||||
|
5 |
≥ |
0 |
||||||
|
6 |
≥ |
0 |
||||||
|
7 |
-1 |
= |
0 |
|||||
|
8 |
-1 |
= |
0 |
|||||
|
9 |
-1 |
= |
0 |
|||||
|
10 |
-1 |
= |
0 |
|||||
|
11 |
-1 |
= |
0 |
|||||
|
12 |
-1 |
= |
0 |
|||||
|
13 |
-14 |
100 |
≥ |
0 |
||||
|
Критерий отптимальности |
На этом завершается составление математической модели задачи оптимизации.
Решение таких задач на ПЭВМ можно осуществлять с помощью различных программных средств. В частности, в электронных таблицах MS Excel содержится инструментарий под названием “Поиск решения …”.
Литература
1. Адамадзиев К.Р., Джаватов Д.К. Эконометрика крат.курс. уч. пособие. - Махачкала, изд. дом «Народы Дагестана», 2003 г. – 83 с.
2. Антипов Е. А., Покрышевская Е. Б. Компьютерное моделирование в экономике и менеджменте. www.hse.ru/data/2011/05/18/12116598...
3. Эконометрика: учеб./ под. ред. И.И. Елисеевой. – М.: Проспект, 2009. – 288 с.
4. Ковалев В.В. Финансовый анализ: методы и процедуры. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 560 с.
5. Компьютерная модель. http://ru.wikipedia.org/wiki/...
7. Лебедев В.В. Компьютерное моделирование рыночных механизмов. Природа, 2001, №12. http://vivovoco.rsl.ru/vv/journal/nature/12_01/modec.htm
10. Цисарь Игорь. Matlab Simulink. Компьютерное моделирование экономики. Издательство: Солон, 2008, -256 с. http://oz.by/books/more1050365.html