Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Зонная модель твердого тела вытекает из решения уравнения
Шрѐдингера для электронов в кристалле
H- гамильтониан кристалла, ,E-энергия кристалла
Гамильтониан включает операторы кинетической энергии всех
электронов (Te) и всех ядер (Tz), потенциальной энергии кулоновских
попарных взаимодействий электронов между собой (Ue) и ядер между
собой (Uz), энергии кулоновского взаимодействия электронов с ядра-
ми (Uez)
Ĥ = Te + Tz + Ue + Uz + Uez
- полная энергия электронной системы кристалла.
- амплитудная часть волновой функции кристалла, зависящая только от координат ядер и электронов. А стационарное состояние ∆ (оператор Гамильтона) не зависит от температуры, амплитудная часть волновой функции должна удовлетворять следующему уравнению Шредингера:
- это потенциальная энергия s – электрона в поле k – ядра
Тогда потенциальная энергия s – электрона в поле всех ядер будет равна:
Потенциальная энергия электронов в поле всех ядер будет определяться двойной суммой:-
m, M – массы электрона и ядра соответственно. Где и - операторы Лапласа по координатам s электрона и k ядра, - полная энергия кристалла. U – потенциальная функция кристалла
- уравнение Шредингера в общем виде
то же уравнение но записанное с помощью оператора суммы операторов кинетической и потенциальной энергии (оператор Гамильтона). Здесь можно выделить операторы кинетической энергии ядра и электрона, операторы потенциальной энергии ядер и электронов.
Стоит выделить основные типы взаимодействия:
- попарное взаимодействие между электронами (между собой).
- попарное взаимодействие ядер друг с другугом.
- взаимодействие между электронами и ядрами.
27. Одно электронное приближение или метод Хартра – Фока.
Основная идея этого приближения состоит в том что – движения множества электронов рассматривается как движение электронов не зависящее друг от друга. Энергия попарного взаимодействия электронов заменяется взаимодействием электрона с усредненным электрическим полем всех остальных электронов.
q = ℮
r – расстояние между i и j электроном
Ωi – энергия взаимодействия i того электрона с усредненным полем всех остальных электронов.
-оператор взаимодействия между полем и i электроном
- оператор взаимодействия i электрона и ядра
Пси функция для электронов в кристалле будет равна сумме пси функций от каждого электрона то есть:
Таким образом введение одного электронного приближение позволяет рассматривать электрон в кристалле как не взаимодействующие частицы, то есть частицы движутся независимо друг от друга и следовательно: .
При решении i-го одноэлектронного уравнения Шредингера получают значение энергии i соответствующего одноэлектронного состояния. Такой подход называют также орбитальным приближением.
Полный гамильтониан атома, в этом приближении, есть просто сумма одноэлектронных гамильтонианов:
26.Одноэлектронное приближение определяет характер взаимодействия электронов кристалла друг с другом, т.е. . В этом приближении считается, что каждый электрон кристалла движется в кулоновских полях не только ядер, но и всех остальных электронов
Одноэлектронный гамильтониан в общем случае имеет вид
,
где - усредненный потенциал. Спектр волновых функций гамильтониана определяется решениями уравнения
,
28
где - координаты рассматриваемого электрона, - его энергия, - волновая функция электрона с координатой .
В этих приближениях каждый электрон кристалла рассматривается как независимые друг от друга системы, значит, если мы имеем волновую функцию электронов кристалла, то ее можно представить в виде произведения одноэлектронных волновых функций: , а их энергию в виде суммы энергий отдельных электронов:
.
При обсуждении атомных орбиталей в гл. 2 было приведено уравнение Шредингера (2.30), описывающее стационарное (не зависящее от времени) состояние квантовых частиц. Оператор Гамильтона (гамильтониан), стоящий в левой части уравнения, можно представить в виде суммы , где − оператор кинетической энергии частицы, имеющий вид ( − оператор импульса, m − масса частицы), а − ее потенциальная энергия. В общем случае потенциальная энергия частиц, составляющих твердое тело, складывается из энергий парного взаимодействия электронов с электронами, ядер с ядрами и электронов с ядрами. Такой подход делает задачу выяснения характера движения электронов в кристаллической решетке практически неразрешимой, поскольку уравнение Шредингера становится весьма сложным и решить его в аналитическом виде не удается. Однако, одноэлектронное приближение упрощает эту задачу.
Рассмотрим взаимодействие электрона с периодическим полем кристалла в одномерном случае [59]. Пусть − потенциальная энергия электрона в одномерной периодически расположенной цепочке атомов, расстояние между которыми равно a. Трансляционная симметрия кристалла позволяет записать равенство
|
. |
(9.1) |
Поскольку электрон движется в поле с потенциалом , то гамильтониан в уравнении Шредингера, описывающий поведение электрона в кристалле, в одномерном виде можно записать как
|
, |
(9.2) |
а само уравнение Шредингера в виде
|
. |