У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

а матрицы совпадают то её определитель равен нулю

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

Свойства:

  •  Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где  и т. д. — строчки матрицы,  — определитель такой матрицы.
  •  При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
  •  Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
  •  Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
  •  Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
  •  Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
  •  Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
  •  Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
  •  Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
  •  Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
  •  С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

30.        Обратная матрица,ее свойства

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства:

  •  , где  обозначает определитель.
  •   для любых двух обратимых матриц  и .
  •   где  обозначает транспонированную матрицу.
  •   для любого коэффициента  .
  •  Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где  — искомый вектор, и если  существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

31.      Алгоритм построение обратной матрицы методом присоединенной матрицы

 Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы  E:

      Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E) преобразуется к виду (E | B). 

32.     Типы СЛАУ

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называетсянеопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

33.     Правило Крамера

Метод Крамера— способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы(причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Для системы  линейных уравнений с  неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c
1, c2, …, cn справедливо равенство:

34.       Однородная линейная система.Фундаментальная система решений

   Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rankA < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение  системы называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

36.         Собственные значения и собвстенные векторы матрицы

Пусть задана квадратная матрица , X – некоторая матрица–столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A. .

Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X

,

где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое решение .

Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором матрицы A.

Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку EX = X, то матричное уравнение можно переписать в виде  или . В развёрнутом виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений. Действительно .

И, следовательно, 

Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения координат x1, x2, x3 вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ.

Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X, координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ.




1. Анализ финансового состояния РСФ Октябрьского района ОАО Минскремстрой
2. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата юридичних наук Львів ~8 Дисерта
3. Некоммерческие организации в целом и Фонды в частности
4. о сущности и закономерности памяти
5. і. Найбільша цінність суспільства ~ людина
6. Использование данных налогового учета и отчетности при проведении внутреннего налогового контроля
7. Тема- Формы управления гостиницами
8. 97 г. ’345. В целях внедрения современ мед.html
9. Засоби масової інформації й суспільна інтеграція та ідентичність
10. Физиологически активные липиды и их роль в питании человека