Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері?
Егер кесіндісінің барлық нүктелерінде мына тендік орындалатын боса, (x)=f(x) онда (x) f(x) фун-ң кесіндегі алғашқы функциясы д.а. Мысал; f(-x)-F(x)-? Алғашқы ф-ң анықтамасы бойынша мына функция F(x)=,f(x)= кіші функцияның алғашқы функциясы болады. f(x)=(F(x)=(==. Ескерту: Егер f(x)= ф-сы үшін алғашқы ф-я бар болатын боса, онда алғашқы функция жалғыз болмайды. Мысал: 1) F(x)= 2)F(x)=+2, (x)=+0=,F(x)=-7, =-0= Сонымен жалпы түрде алғашқы фунецияны мына түрде жаза аламыз; F(x)=+c-тұрақты сан.Анықтама: егер F(x) ф-сы, f(x) ф-ң алғашқы ф-сы болатын боса, онда мына түрдегі өрнек F(x)+c өрнекті ф-я анықталмаған интегралы д.а dx=F(x)+C белісі f(x)-, f(x)dx-стындағы өрнек, х-ф-я айнымалысы. Негізгі қасиеттері: 1) Анықталмаған интеграл туындысы астындағы ф-ға тең. ()dx=(F(x)+c=(x)+0=f(x). 2)Анықталмаған ың диф-лы астындағы өрнекке тең d((x)dx)=f(x)dx яғни d((x)dx)=((x)dxdx=f(x)dx. 3) Қайсыбір ф-я диф-лы лы сол ф-ға қосылған тұрақтыға тең (F(x))=F(x)+C бұл теңдіктің шындығына көз жеткізу үшін, теңдіктің 2 жағын бірдей диф-у керек. 4) (x)dx=F(x)+C 5)f(x)dx=k(x)dx k=const 6)dx=(x)dxdx
2.Анықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру тәсілі (дәлелдеу)
Айталық (x)dx анықталмаған ң бірдей алғашқы ф-сын табу қиынға соқсын, бірақта ал ң бар болатындығы бізге белгілі болсын. Бұл жағдайда өрнекте айнымалыны ауыстырамыз. Ескерту; дың соңында t-бойынша алынған нәтижесі х арқылы өрнектеліп жазылады. Дәлелдеу; Шындығында айталық F(x)-f(x) ф-ң алғашқы ф-сы болсын, яғни (x)=f(x). Сонда F((t)) ф-сы мына ф-ң алғашқы ф-сы болады. ()dx=(F(x)+c=(x)+0=f(x) формуланы анықталмағанда да айнымалыны ауыстыру формуласы д.а. Ескерту; Кейбір жағдайында айнымалыны ауыстыру мына түрде t=f(x) болғаны ыңғайлы болады. Мысал үшін, егер dx-? онда f(x)=t (x)dx=dt болады. Сонда ==ln+c=f(f(x))+c. Мысал ===ln+c=ln+c
3.Анықталмаған интегралды бөліктен интегралдау тәсілі (мысал келтір)
Айталық U=U(x), V=V(x) - екі ф-ны диф-цал ф-я босын. Екі ф-ң көбйтіндісінің диф-лы, мына формулаламен есептеледі; d(UV)=udv+vdu түріңдегі теңдіктің 2 жағын бірдей интегралдацық онда (Uv)=duv+vdu)=dv+du. Сонда; uv=dv+du н\е dv=uvdu
4.Квадрат үш мүшелігі бар функцияның интегралы
Мына түрдегі интегралды қарастырайық. Алдын ала бөлшектің бөліміндегі авадрат үшмүшелікті түрлендірейік; a+bx+c=a(+)=a(+x+(+-(a=a Мысалж;=====arctg+c=arctg+c
5. Квадрат үш мүшелігі бар функцияның интегралы dx
dx түріндегі ды қарастырайық. инг астынғы өрнекті тепе-теңдік жағдайына түрлендіреміз dx=dx==-=ln+c=ln+c (B-)=(B-)-
Р1 мен Р2 табылған мәндерін орындарына қойып I2 ны табамыз.
6. Квадрат үш мүшелігі бар функцияның интегралы dx
Мына түрдегі интегралды =dx қарастырайық 1-ші жағдайда түрлендірудің көмегімен бұл интеграл табылғн интегралға келтіреді. =ln+c, a0 н\е . =arcsin+c, a
7. Квадрат үш мүшелігі бар функцияның интегралы dx
=dx түріндегі интегралды 2-ші жағдайда қарастырылған түрлендіру арқылы; =dx=dx+(B-=P+(B-) P=dx==dt=2+c= +c Мысал;=;==dx-5=3-5ln+c
8.Анықтамалары (..................) Дұрыс және дұрыс емес бөлшектер. Оларды интегралдау (мысал келтір)
Анықтама;егер бөлшектің алымының дәрежесі бөлімінің жәрежесіне кіші боса, онда бөлшек дұрыс бөлшек деп, ал кері жағдайда бөлшек дұрысемес бөлшек д.а. Ескерту; Егер бөлшек дұрыс емес бөлшек боса, онда бөлшектің алымын бөліміне бөлу арқылы көпмүшеліктерді бөлу ережесі бойынша, берілген бөлшекті көпмүшеліктер мен дұрысбөлшектің қосындысы түрінде көрсетуімізге болады. =M(x) +, мұнда М(x)-көпмүшелік, - дұрыс бөлшек. Мысал Бізге дұрыс емес бөлшек берілген (m=4,n=2) Бөлшектің алымын бөліміне бөлеміз.
9.. Тригонометриялық функцияның интегралы(мысал келтір)
Тригонометриялық ф-ды интг кейбір теоремаларын қарастырайық. Рационалдық амалдар орындалатын (қосу,азайту,көбейту ж\е бөлу) айнымалылары sinx,cosx болатын ф-ны былайша R (sinx,cosx) белгілейміз, мұны R-рационалдық ф-ң белгісі. (sinx,cosx)dx түріндегі интг-ды табу, ауыстырмалы tg=t болатын рационал ф-ң интг табуға ұштастырады. Айнымалыны мына түрде tg=t ауыстыруды универсал ауыстырылым д.а Мысал; ====d(t-2)=-+c=+c=+C
10.Тригонометриялық функцияның интегралы (мысал келтір)
11. Тригонометриялық функцияның интегралы мысал
12. Тригонометриялық функцияның интегралы мысал
13.Анықталмаған интеграл және оның негізгі қасиеттері (Анықтамасына дейінгі алғы шарттарды толығымен қарастыру) F(х) функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп нөлге ұмтылғандағы интегралдың қосындысының шегін айтады:
Мұндағы a,в сандардың интегралдардың сәйкес төменгі және жоғарғы шектер деп аталады. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері
14.Анықталған интегралдың бар болуының қажетті және жеткілікті шарттары Қажетті шарты. Функцияның [а,b] кесіндісінде интегралдануының қажетті шарты, оның осы кесіндіде шектеулі болып табылады.
Жеткілікті шарты. Егер f(x) функциясы [а,b] кесіндіде үзіліссіз болса онда ол осы кесіндіде интегралданады.
15. Анықталған интегралдың геометриялық және физкалық мағынасы Айталық [а,b] кесіндісінде үзіліссіз f(x)≥0 функция берілсін. Жоғарғы жағынан у=f(x) функциясының графигімен, төменгі жағынан 0y осімен ал қаптал жақтарынан x=a, x=в түзуінің шектелген денені қисық сызықты трапеция деп аталады.
Осы трапецияның ауданын табайық y=f(x)
Ол үшін [а,b] кесіндіде нүктелерімен n бөлікке бөлеміз: Х0=а, Х1,Х2…, Хn=в, яғни [а,b] кесіндісі n кесіндіге бөлінеді. Sn=
Қисық сызықты трапецияның дәл ауданын S табу үшін шекті табамыз.
S=, демек
S=
Сонымен теріс емес функцияның мәні бойынша қисық сызықты трапецияның ауданына тең. А=, демек анықталған интегралдың физикалық мағынасы осы ұғымда жатыр.
16.Ньютон-Лейбниц формуласы.Теорема
17.Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру.Дәлелдеу
18. Анықталған интегралды бөлшектеп интегралдау тәсілі(алғы шарттары, толығымен) Айталық U=a(x), V=V(x) функциялары [а,b] кесіндісінде, өздерінің туындыларымен U'(x)=V'(x) бізге үзіліссіз болады.
U=(x)*V(x)'=U'(x)*V(x)+U(x)*V'(x)
[U(x)*V(x)] функциясы, мына функция [U(x)*V(x)] үшін алғашқы функция болатын болғандықтан онда Ньютон-Лейбниц формулашы бойынша ] теңдігін ала аламыз. Мысал: =U*V
Қандай шарт орындалғанда функционалдық қатар сандық қатармен мажорланады
Егер [а,b] кесіндісінде кез-келген n және барлық кесіндідегі x үшін мына теңсіздік аn орындалатын болса, онда осы кесіндіде функционалдық қатар мажорланады деп аталады.
Бірқалыпты жинақты болатын тізбек пен қатардың қасиеттері
19.Меншіксіз интеграл. (алғы шарттары, толығымен)
20.Қисық сызықты, сектордың полярлық координаталардың ауданы.Мысал
21.Қисық доғаның ұзындығы(алғы шарттары, толығымен)
22.Дене көлемі(параллель қима ауданы бойынша,айнымалы дене,мысал)
23.Еселі интегралдың анықтамасы.Негізгі қасиеттері
24.Декарттық координаталарда 2 еселі интегралды есептеу
25.Екі еселі интегралда айнымалыны ауыстыру(y=және полярлық жүйеде)
26.........................,., жәй дербес туындыны және дифференциалдық формадағы теңдеулер.Дәлелдеу
27.Коши теоремасы,оның геометриялық мағынасы
28.Айнымалыларын ажыратуға болатын диффенренциалдық теңдеу, оның жалпы интегралын алу жолын көрсет Айнымалыны ажыратуға болатын диф-қ теңдеу. Оның жалпы интегралы. Р(x)dx+Q(y)dy=0 айнымалылармен бөлінген диф-ды теңдеу д.а. Оның жалпы интегралы (1) M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 (2) н\е ==f1(x)f2(y), == айнымалдармен бөлінген теңдеулер д.а. Айнымалдардың (2),(3) теңдеулерге бөлінуі келесі түрде орындалады. (y)0, (x) деп алайық және теңдеудің 2 бөлігін (y),(у)-ға бөлеміз.Нәтижсінде айнымалылармен бөлінген теңдеу аламыз; dy=0 f1(x)dx-=0 ол формулаға сәйкес интегралданады; +=c dx-=c Мысал; Диф-ды теңдеудің жалпы шешімін табайық. (xy+y)dx+(xy+x)dy=0 x, y деп алып және берілген теңдеудің 2 бөлігің ху-ға бөлініп, айнымалдар ммен бөлінген теңдеу аламыз; )dx+1+)dy=ln, x+ln+y+ln=ln, ln+ln=ln, xy=c Соңғы теңдеудің ортаө интегралы болып саналады. Оны табу кезінде х, у шектеу қоладанылады.Бірақ х=0 және у=0 ф-р сондай ақ бастапқы теңдеулердің шешулері болып саналады, олар с=0 кезіндей жалпы интегралдан алынады. Демек, х=0,y=0 теңдеудің дербес шешімі.
29.Симметриялы дифференциалдық формадағы берілген теңдеу.Оның шешімі P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
30.Біртекті теңдеу және оның шешімін табу жолын көрсет Анықтама; Егер кез келген t-ның мәндері үшін мына теңдік f(tx1y)=f(x,y) орындалатын боса, онда f(x,y) ф-ң өзінің х жән у аргументіне салыстырғанда n-өлшемді біртекті ф-я д.а.
31.Бірінші ретті сызықты біртекті емес дифференциал теңдеудің шешімін табу жолын көрсет У белгісіз ф-лар мен оның туындысына қатысты сызықтық теңдеуі +P(x)y=Q(x) бірінші реттік yбіртекті емес сызықтық ф-ды теңдеу д.а P(x) және Q(x) ф-сы кейбір аймақтарда үзіліссіз болуы тиіс, мысалы кесіндісінде, Коши теоремасының болу шарты және жалғыз шешуінің болуы орындалу үшін Теңдеудің жалпы шешуің әрқашанда келесі түрде жазуға болады. y=(x)dx+c) м-ғы С-кез-келген тұрақты. Осылайша теңдеудің жалпы шешуіне әрқашан квадраттаулармен бірге, яғни P(x),Q(x) блгілі ф-дан интегралдарды табу кезінде кез-келген тұрақтыны нөлге тең деп санауға болады н\е с кез келген тұрақтыға енгізілген сияқтыол да сондай.
32. Бірінші ретті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімің табу жолын көрсет Егер теңдеу +P(x)y=Q(x) Q(x)D н\е P(x)0 боса, онда жалпы шешуі сәйкесінше Q(x)0 н\е P(x)0 кезінде теңдеуден y=(x)dx+C) анықталатын, айнымалдар бөлінетің диф-ды теңдеу аламыз.Q(x)=0 болған жағдайда, теңдеуді +P(x)Q(x) Q(x) біртекті сызықтық диф-ды теңдеу д.а
33.Дифференциадық теңдеудің толық дифференциалдық теңдеуі болуы үшін қажетті және жеткілікті шарттары Теорема;P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 түріндегі теңдеудің толық диф-ды теңдеу болуы үшін мына шарт орындалады =(2) қажетті және жеткілікті шарт болып табылады. Егер (2) орындалса онда du=d+dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy теңдігі орындалады. Мысал Берілген теңдеудің толық диф-ды екендігін көрсету керек. (3+10xy)dx+(-1)dy=0 ол үшін дербес туындыларды табамыз. P(x,y)= 3+10xy, Q(x,y)=-1 =(+10xyy=10, =(-1x=10x демек = шшарт орындалады, теңдеу толық диф-ды.
34.Я.Бернулли теңдеуі шешімін табу жолын көрсет Мына түрде берілген теңдеуді p(x)y=Q(x) - Бернули теңдеуі д.а. Мұндағы P(x),Q(x) үзіліссіз ф-лар n-нақты сан, егер n=0 боса, онда теңдеу біртекті сызықты теңдеу, яғни айнымалын ажыратуға болатын теңдеу болады. Теңдеуді шешу үшің мына түрдегі z=, ==(1-n), аБернулли теңдеуін шешуде оның шешімін 2 басқа ф-дың y=v көбейтінділері түрінде ізделінеді u=u(x), v=v(x). Айталық n=0 +P(x)y=Q(x) y=UV, =V+U өрнектерін орындарына қояйық. Сонда V+U+P(x)uv=Q(x)
35.Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі Коши сбінің бар және жалғыз болуы туралы теорема Табиғатта болатын құбылыстарды зерттегенде, көбінесе сан құбалыстарды сипаттайтын ф-лар мен олардың туындыларының арасындағы байланыстарды қарастырамыз. Мұндай байланыстарды зерттйтін математиканың саласын Лейбниц диф-қ теңдеулер д.а. Анықтама; Ф-ң аргументін, ізделінетің ф-ны және оның туындыларын n-ретті диф-қ теңдеу д.а. n-ретті диф-қ теңдеудің жалпы түрі F(x,y,,,....,)=0 н\е жоғарғы ретті туындысына байланысты =f(x,y,,...., Коши есебінің бар және жалғыз болуы туралы теорема. егер f(x,y) ф-сы ХОХ жазықтығындағы қайсыбір облысында үзілліссіз болып және осы туындысы бар болатын боса, онда осы облыста М(,) нүктесі қандай боса да, =f(x,y) ңдеуінің мына нүктені x=, ()=қабылдайтын анықталған аралықта шешімі y=(x) бар және ол жағыз.
36.Ретті төмендететің жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеу.Жалпы шешімі.Мысал Жоғарғы ретті диф-қ теңдеудің ретін төмендету тәсілі болып табылады. Жоғарғы ретті теңдеудің қарапайым түрін жазайық =f(x) теңдіктің 2 жағын бірдей х бойынша интр-у арқылы жалпы интг-н табайық. =dx+C1 тағы да осы тәрізді интг-у арқылы =dx+c2=dx+C1x+C2
y=...dx+c1+C2+...Cn Мысал; Берілген бастапқы шарттарды x==0 y(0)==-1, ()==0 қанағаттандыратын = теңдеунің дербес шешімін табамыз. =dx=dx+c1 =dx+c1)dx=+c1x+c2 y=+c1x+c2)dx=++c2x+c3
37.Жоғрағы ретті тұрақты коэффицентті сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеу(1-теорема) Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеу. (1-теорема)
(1)
Мұн: тұрақты нақты коэффициенттер f(x)-(a,b) аралығындағы үзіліссіз функция
1 –теорема. Егер (1)-дің оң жағындағы функция мына түрде берілсе
Мұн: - дәрежесі «m» болатын көпмұшелік, онда (1)-дің дербес шешімі түрінде ізделінеді.
Бұл жерде екі жағдайды ескеру керек.
Егер α мінезедемелік еселі түбірі болса, онда дербес шешім
түрінде ізделінеді
38.Жоғарғы ретті тұрақты коэффицентті сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеу(2-теорема) 2-теорема. Егер -тің оң жағы мына түрде берілсе
Мұн: , – дәрежелері сәйкес болатын көпмүшеліктер онда (1)-дің дербес шешімін (3) түрінде іздеуімізге болады.
Мұн m-нен үлкен болмайтын көпмүшеліктер ( қанша рет түбірі болатындығын көрсетеді
39. +qy=0 теңдеуі берілген.Мінездемелік теңдеудің түбірлері k1,k2 нақты әр түрлі шешімін жаз.мысал
Мұн: – тұрақты нақты сандар
Бұл теңдеудің жалпы интегралын табу үшін , екі еселі сызықты тәуелсіз дербес шешімдерін табу жеткілікті. , мұн: k=const
Сонда: , болады.
Енді: y, → (1)
Мінездемелік теңдеудің екі түбірі бар. Осы түбірлерге байланысты әртүрлі жағдайлар болуы мүмкін.
Егер –нақты сандар және
Мысал: , мінездемелік теңдеу , , теңдеудің жалпы шешімі
40. +qy=0 теңдеуі берілген.Мінездемелік теңдеудің түбірлері k1,k2 нақты, қайталанбалы K1=K2 (Жалпы шешімін жаз, мысал)
Мұн: – тұрақты нақты сандар
Бұл теңдеудің жалпы интегралын табу үшін , екі еселі сызықты тәуелсіз дербес шешімдерін табу жеткілікті. , мұн: k=const
Сонда: , болады.
Енді: y, → (1)
Егер –нақты сандар және бұл жағдайда түбір екі еселі , , және т.с.с.
Мысал: , ,
(екі еселі түбір)
, , жалпы шешім
41. +qy=0 берілген.Мінездемелік теңдеудің түбірлері k1,k2 түйіндес комплексті (Жалпы шешімін жаз, мысал) (1)–екінші ретті сызықты теңдеу
Мұн: – тұрақты нақты сандар
Бұл теңдеудің жалпы интегралын табу үшін , екі еселі сызықты тәуелсіз дербес шешімдерін табу жеткілікті. Дербес шешімдерін мына түрде іздейміз.
, мұн: k=const
Сонда: , болады.
Енді: y, → (1)
Мінездемелік теңдеудің екі түбірі бар. Осы түбірлерге байланысты әртүрлі жағдайлар болуы мүмкін.
Егер түйіндес комплексті түбірлер болса,
, ; , онда
Мысал: ,
Мұн:
,
,
42.Екінші ретті сызықты, біртекті емес дифференциалдық теңдеу, оның жалпы шешімі.Теорема Екінші ретті сызықты емес теңдеу
Теорема: (1) түріндегі біртекиі емес теңдеудің жалпы шешімін осы теңдеудің қайсыбір дербес шешімін және сол теңдеуге сәйкес
Біртекті теңдеудің жалпы шешешімінің қосындысы түрінде көрсетуге болады, яғни
43. Екінші ретті сызықты, біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін табудың Логранж әдісі Лагранж әдісі немесе тұрақытыны вариациялау әдісі
Осы теңдеудегі дербес шешімі мына түрде қарастырылады.
, функцияларын төмендегі жүйеден табамыз.
теңдеудің анықтауышы
;
;
44.Сандық қатар. Дербес және қатар қосындысы. Қатардың жинақты және жинақсыз негізгі қасиеттері Мына түрдегі өрнекті
(1)
Сандық қатар деп аталады.
Мұн: – қатар мүшелері – қатардың жалпы мүшесі.
Анықтама: Қатардың алғашқы n мүшесінің қосындысы n- дербес қосындысы деп аталады.
Дербес қатарлардың тізбегі.
Яғни
Анықтама: Егер (3) түрдегі тізбектің шектеулі шегі бар болатын болса, онда ол шекті (1) қатардың қосындысы деп аталады.
Бұл жағдай қатарды жинақталатын н/е жинақты қатар д.а.
Мысалы:
сонда,
a) болса, - қатар жинақты
Егер болса, онда +…+
б) бұл жағдайда қатар жинақсыз, себебі
в) q=1, q= -1. Болғанда сәйкес мына түрдегі қатарларды ала аламыз.
- қатар жинақсыз.себебі:
Негізгі қасиет: 1. Егер (1) түрдегі қатар жинақты болып және оның қосындысын S болса, онда мына қатарды (c=const) жинақты, және оның қосындысын C,S болады.
2. Егер қатарлар , жинақталатын болып және олардың сәйкес қосындылары болып боолса, онда мына қатарда жинақты қосындысы болады.
3. Егер (1) түрінде қатар шектеулі мүшелерді қосқаннан шығатын қатар мен (1) түріндегі қатардың жинақтылығы да, не жинақсыздығы да бірдей
45. Сандық қатар жинақтылығының қажетті және жеткілікті шарттары.мысал Теорема түрдегі қатар жинақты болса, онда осы жалпы мүшесінің шегі нолге ұмтылады
Айталық (1) түріндегі жинақты болсын және . Бұл жағдайда , онда . екендігін ескеріп , деп теңдікті ала аламыз.
Мысал: Қатарды жинақтылыққа зерттейік.
46.Қатар жинақтылығың зерттеудегі Даламбер белгісі.мысал).Егер дәрежелік қатар х-тің барлық дәрежелерін қамтымаса, яғни тікелей берілген қатар мүшелернің модульдерінен құралған қатар үшін Даламбер белг арқылы табамыз. Мыс:Қатардың 1-1/3*3+1/5*32-1/7*33+…+(-1)n-11/(2n-1) анықталу обл болып табылады .Қатар толық қатар емес. Бұл жағдайда Даламбер белгісін пайдаланамыз.
47. Қатар жинақтылығың зерттеудегі Коши радикалдық белгісі.мысал
48. Қатар жинақтылығың зерттеудегі Кошидің интегралдық белгісі
49.Қатарларды салыстыру белгісі.мысал
50.Кезең таңбалы қатар жинақтылығың зерттеудің Лейбниц белгісі.мысал). Кезек таңбалы аталымды қатарлар класын қарастырамыз. Анықтама.Мына түрде берілген U1-U2+U3-U4+…+(-1)nUn+…=(-1)n=1Un (1) қатарды Кезек таңбалы қатар д.а.Мұндағы Un>0 n=1,2,3, бар nэN үшін яғни қатардың оң ж/е теріс мүшелері бір-бірінен кейін кезектесіп орналады. Бұл қатар жинақтылығының жеткілік шартын 1714 жылы Лейбниц ашқан. Теор:(Лейбниц белгісі) Егер (1) қатар мүшелері абсолют шамаларының тізбегі монотонды кемімелі болса ,яғни limUn=0 онда кезек таңбалы қатар д.а. Сонымен қатар (1) түріндегі қатардың қосындысы мына шартты 0<s<4 (2) қанағаттандырады. Ескерту: Мына түрдегі - U1+U2-U3+U4+… қатарда зерттеу үшін (яғни бірінші мүшесі теріс болатын ) барлық мүшелерін (-1)-ге көбейту арқылы (1) түріндегі қатарға келтіріп зерттейміз. Мысал;1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)n-11/n+… берілген қатар Лейбниц белгісі бойынша жинақты ж/е бұл қатардың гармоникалық қатардағы айырмашылығы жуп нөмерлі мүшелерінің таңбасында ғана болады.Кезек таңбалы қатардың Лейбниц белгісі қанағаттандыратын тәжірбелік қолданымда аса маңызды бар қасиетін атап өтейік. Айталық мына қатар U1-U2+U3-U4+…+(-1)nUn+… жинақты ж/е оның қосындысы S болсын. Сонда S=Sn=(Un-1-Un-2+Un-3-…) тең болады. Мына шартты |Rn|=Un-1 қанағаттандыратын қосындысы Rn=S-Sn қатардың қалдығы д.а. Сонымен қатар қосындысын оның дербес қосындысына айырбастау арқылы көрсетілген шартты |Rn|=Un-1 қанағаттандыратын кететін қателікті таба аламыз. Мысал,1-1/3*3+1/5*32-1/7*33+…+(-1)n-11/(2n-1)*3n-1 +… қатар Лейбниц белгісі бойынша жинақты болады.Егер қатардың алғашқы алты мүшесінің жуық шамамен қосындысы S ретінде алсақ, онда абсолютті шамасы мына шамадан кем болатын қателікті ала аламыз. 1/11*35<1/9477<0,001 Ескерту; Кезек таңбалы қатар,таңбалы ауыспалы қатардың дербес түрі болып табылады.
51.Таңбалы ауыспалы қатардың абсолютті түрде жинақтылығы.негізі қасиеттері Шексіз көп оң ж/е шексіз көп теріс мүшелері бар қатарды un таңбалары ауыспалы қатар д.а.Қайсыбір таңбалары ауыспалы U1+U2+U3+U4+… (3) Қатарды алайық. Яғни қатар мүшелерінің таңбалары әртүрлі болатын. Сонымен қатар (3) түріндегі қатар мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған қатарды қарастырамыз. |U1|+|U2|+…|Un|+… (4) Теор;Егер (4) түріндегі қатар жинақты болса, онда (3) түріндегі қатар жинақты болады. Ан;Егер таңбалары ауыспалы қатар мүшелерінің абсолют шамалары бойынша құрылған қатар жинақты болса, онда қатар абсолютті жинақталатын қатар д.а. Абсолютті жинақталатын қатардың негізгі қасиеті. 1)Егер қатар абсолютті жинақты ж/е оның қосындысы S болатын болса, онда осы қатар мүшелерінің орындары ауыстырылганан шыққан қатарда жинақты ж/е қосындысы S-ке тең болады. 2) қосындысы S1, S2 , болатын абсолютті жинақталатын қатарларды қосуға (айыруға) болады нәтижесінде қосындысы S1, S2 болатын жинақталатын қатар шығады 3) Екі қатардың U1+U2+U3+U4+… ж/е V1+V2+…+Vn+.. көбейтіндісі деп мына түрдегі қатарды айтады. (U1+U2+U3+U4+… )( V1+V2+…+Vn+..=U1 V1+(U 1V 2+U 2V1)+(U 1V2+U2 V3+U 3V1)+…+(U 1Vn+U nVn+..+U nV1)+…
52. Таңбалы ауыспалы қатардың шартты түрд жинақтылығы.мысал абсолютті жинақталып, олардың қосындылары сәйкес S1, S2 , болатын болса, онда барлық мына түрдегі Ui Vs(i=S=1,2….) көбейтінділерден құралған (қандай ретпен алындаса)қатар абсолютті жинақты ж/е оның қосындысы S1, S2 болады сонымен абсолюті жинақталатын қатарларды жәй қатарлар сияқты қосуға, азайтуға, көбейтугеболады Ан;Егер таңбалары ауыспалы қатардың өзі жинақты ал мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған қатар жинақсыз болса, онда шартты түрде жинақты болады. Мыс;Берілген қатарды (-1)n-11/n жинақтылықа зерттейік. Бұл қатар Лейбниц белгісінің шарттары орындалады. 1) |U1|>|U2|>|Un|> 2)LimUn=0 яғни 1>1/2>1/3 Lim1/n=0 демек қатар жинақты. Дегенмен мүшелерінің модульдері арқылы құралған қатар 1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)n-11/n+… гармоникалық қатар болады , ол жинақсыз қатар. Сондықтан берілген қатар шартты түрде жинақты.
53.Функционалдық қатар. Жинақталу облысы. Қатардың дербес және қосындысы.мысал Ан: Мүшелері Х-ке тәуелді. Функ-р болатын қатар. Un(Х) = U1(Х) +U2(Х)+... +Un(Х)+... (1) Функ-дық қатар д.а. Un(Х) функ қатардың жалпы мүшесі д.а. Егер Х-ке белг бір мән Х0 бретін болсақ онда мына түрдегі яғни жинақтыда мүмкін жинақсызда болатын сандық қатарды ала аламыз. U1(Х) +U2(Х)+... +Un(Х)+... (2) Функ-дық қатардың жинақталу обл-ға қатардың қосындысы. Функ-дық қатардың жинақты болатын аргумент Х-тің сандық мәндерінің жиының оның жинақталу обл. Функ-дық қатардың жинақталу обл-ға қатардың қосындысы S= S(Х) болады. S(Х) =Lim Sn(х) Sn(х) = U1(Х) +U2(Х)+... +Un(Х)+... дербес қосындысы д.а. Мыс: қатардың Х n жинақталу обл-н табайық Берілген қатар бөлімі g=x болғандықтан геом-қ прогреия қатар болады .
54.Бір қалыпты жинақтылықтың Весгерштрас белгісі.мысал). Теор; Егер функционалдық қатар Un(Х) (а,б) кесіндісінде жинақты болатын сандық аn қатармен маниарланатын болса, онда ол осы кесіндіде бірқалыпты жинақты болады. Мыс; 1) қатар 1/n2 + х2 барлық сан өсінде бірқалыпты жинақты болады ал 1/n2 жинақты қатар 2) қатар хn/n3 (-1,1) кесіндісінде бірқалыпты жинақты себебі |X|<=1 орындалады ал 1/n2 жинақты қатар.
55.Қандай шарт орындалғанда функционалдық қатар сандық қатармен мажорланады.мысал Егер [а,b] кесіндісінде кез-келген n және барлық кесіндідегі x үшін мына теңсіздік аn орындалатын болса, онда осы кесіндіде функционалдық қатар мажорланады деп аталады
56. Бір қалыпты жинақты болатын тізбек пен қатардың негізгі қасиеттері
1. Теорема (шексіз функцияның үзіліссіздігі). Егер [а,b] кесіндідегі үзіліссіз функциялар тізбегі U1(X), U2(X),…Un(X)…осы кесіндіде бірқалыпты U(X)функциясына жинақталатын болса, онда U(X) функциясы [а,b] кесіндісінде үзіліссіз функция болады.
2. Теорема.Мүшелері [а,b] кесіндісінде үзіліссіз бірқалыпты жинақты болатын қатардың қосындысы осы кесіндіде үзіліссіз функция болады.
3. Теорема. Кесіндідегі шектеулі үзіліссіз функциялардың қосындысы осы кесіндіде үзіліссіз функция болады
57.Функционалдық қатардың дифференциалдануы Егер қатар мүшелері [а,b] кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданып және қатар осы кесіндіде U(X) функциясына жинақталатын болса, ал қатар бірқалыпты жинақталса, онда оның қосындысы S’(X)функциясына тең болады.
S’(X)=
()=
Егер қатар кесіндісінде (4) түріндегі қатысты қанағаттандырып дифференциялдауға болады.
58. Функционалдық қатардың интегралдануы Егер үзіліссіз функциялар қатары U1(X), U2(X),…Un(X)… [а,b] кесіндісінде бірқалыпты U(X) функциясына жинақталатын болса онда сандық қатар
жинақты және оның шегі интегралына тең болады.
Теорема.Мүшелері [а,b] кесіндісінде үзіліссіз болатын бірқалыпты жинақталатын қатарды осы кесіндіде мүшелеп интегралдауға болады. Яғни [а,b] кесіндісінде қатар мүшелерінің интегралынан құрылған қатар осы кесіндідегі қатар қосындысының интегралына жинақталады.
59.Дәрежелік қатар, оның жинақтылығы.Абель теоремасы Мына түрдегі берілген қатарды
(1)
дәрежелік қатар деп аталады.
нақты айнымалысы.
Мұн: а – қайсыбір тұрақты сан
Абель теоремасы: Егер (1) түрде дәрежелік қатар мәнінде жинақталатын болса, онда ол мына теңдікті қанағаттандыратын х – тің барлық мәнінде абсолютті жинақты болады.
Егер нүктесінде дәрежелік қатар жинақсыз болып немесе абсолютсіз жинақталатын болса, онда ол мына
теңсіздікті қанағаттандыратын х – тің барлық мәнінде абсолютті жинақсыз болады.
60. Дәрежелік қатардың жинақталу интервалы және радиусы мысал Егер нүктесі дәрежелік қатардың жинақталу нүктесі болса онда интервалы қатардың барлық жинақталу нүктелерінен тұрады.
интервалы дәрежелік қатардың жинақталу интервалы, ал саны жинақталу радиусы деп аталады.
Дәрежелік қатардың жинақталу радиусын мына формула арқылы пайдаланамыз.
Мысал: қатардың анықталу облысын табайық.
пайдаланамыз.
қатар абсолютті жинақты.
61. Дәрежелік қатарды дифференциалдау.мысал (1)
Дәрежелік қатар интервалында жинақты болсын; сонда (1)ді мүшелеп дифференциялдау арқылы
осы қатарды аламыз.
Теорема: Дәрежелік қатарды жинақталу интервалында мүшелеп дифференциялдауға болады. Егер
болса, онда
1. Салдар Дәрежелік қатарды жинақталу интервалында соншалықты рет дифф-лдауға болады, яғни
2. Салдар. Дәрежелік қатар қосындысы жинақталу интервалында шексіз көп дифф-данатын функция болады.
Анықтама: Егер функциясы жинақталу интервалындағы нүктеде немесе интервалдың өзінде кез келген ретте дифф-лданса онда функцияны шексіз көп дифф-данатын функция деп атайды.
62. Дәрежелік қатарды интегралдау.мысал Теорема: Дәрежелік қатарды жинақталу интервалында жататын кез келген кесіндісінде мүшелеп интегралдауға болады. Бұл жағдайда да дәрежелік қатар ды 0-ден x- қа дейін мүшелеп интегралдауға болады. Бұл жағдайда
Мысал. Дәрежелік қатарды мүшелеп интегралдаудың мысалы ретінде және функциясының дәрежелік қатарға жіктеуін қарастырамыз.
-тің орнына қойып мына түрдегі теңдікті аламыз.
немесе
теңдігін аламыз.
63.Тейлор және Маклорен қатары Егер нүктелер аймағында -дін ретке дейін қоса алғанда туындыларға ие болса, онда
сияқты. нүктелері бар болады. Бұл формула нүктелер үшін функцияларының Тейлор формуласы деп, ал Лагранж формуласындағы Тейлор формуласының қалдық мүшесі деп айтады.
Көп мүше.
функциялардың Тейлор көп мүшесі деп аталады.
кезінде формуланың
дербес жағдайына келеміз
Бұл формула функциясының Маклорен формуласы деп аталады.