Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Электростатика. Эл. заряд. Точечный заряд. Закон сохр. заряда. Закон Кулона в вакууме. Принцип суперпозиции сил.
Электростатика - раздел электродинамики, изучающий взаимодействие покоящихся электрических зарядов и действия на них электромагнитных полей.
Электрический заряд – это внутреннее свойство тел или частиц, характеризующее их способность к электромагнитным взаимодействиям. Существует элементарный (минимальный) электрический заряд e=1,6*10-19 Кл. Носитель элементарного отрицательного заряда – электрон.
Свойства: 1. Электрический заряд существует в двух видах: положительном и отрицательном. Одноименные заряды притягиваются, разноименные – отталкиватся. 2. Эл. заряд инвариантен – его величина не зависит от системы отсчета и, следовательно, не зависит от того движется он или покоится. 3. Эл. заряд дискретен – заряд любого тела составляет целое кратное элементарного электрического заряда е. 4. Эл. заряд аддитивен – заряд любой системы тел (частиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему.
Идеальной физической моделью заряда в электростатике является точечный заряд. Точечным зарядом называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел или до рассматриваемой точки поля. Иными словами, точечный заряд — это материальная точка, которая имеет электрический заряд.
Одним из фундаментальных законов природы является экспериментально установленный закон сохранения электрического заряда: суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменятся. q1 + q2 + q3 + ... +qn = const. Система называется эл. изолированной, если через ограничивающую её поверхность не могут проникать заряженные частицы.
Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q1 и Q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними: где k — коэфф пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.
Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т. е. является центральной, и соответствует притяжению (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F>0) в случае одноименных зарядов. Эта сила называется кулоновской силой.
F12— сила, действующая на заряд Q1 со стороны заряда Q2, r12 — радиус-вектор, соединяющий заряд Q2 с зарядом Q1. На заряд Q2 со стороны заряда Q1 действует сила F21=-F12, т. е. взаимодействие электрических точечных зарядов удовлетворяет третьему закону Ньютона.
В СИ коэффициент пропорциональности равен k=1/(40).
Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде: 0 - электрической постоянной; она относится к числу фунд. Физ. постоянных и равна 0=8,85•10-12Ф/м.
принципа суперпозиции: сила, действующая на точечный заряд со стороны системы зарядов q1, q2, … qk … равна сумме сил, действующих со стороны каждого из зарядов q1, q2, … qk
2.Напряж. электростат. поля. Принцип супер. полей. Силовые линии электост.поля. ДУ сил. линий.
Электростатическим полем называется электрическое поле неподвижных в выбранной системе отсчета зарядов. Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность и потенциал.
Напряженностью в данной точке поля называется физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в ту же точку. Напряженность – силовая характеристика электростатического поля:
Принцип суперпозиции.
Напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённостей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности.
Для того чтобы описать электрическое поле, нужно задать вектор напряженности в каждой точке поля. Это можно сделать аналитически или графически. Для этого пользуются силовыми линиями – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности . Силовой линии приписывают определенное направление – от положительного заряда к отрицательному, или в бесконечность.
Чтобы получить уравнение векторных линий, будем рассматривать сами линии как кривую некоторой вектор-функции r(t) скалярного аргумента. Тогда вектор dr будет направлен по касательной к векторной линии в точке с радиус-вектором r. Следовательно, он будет пропорционален вектору поля в этой точке:
где - некоторый коэффициент пропорциональности. В системе координат
Исключив , получим систему
которая называется системой дифференциалных уравнений силовых линий.
3.Напряж. электростат. полей точечного заряда и произвольно заряженного тела. Однор. поле.
Напряжённость электри́ческого по́ля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда :
Напряжённость электрического поля точечного заряда Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона
или
Получить этот результат проще всего исходя из теоремы Гаусса, учитывая сферическую симметрию: выбрать поверхность S в виде сферы с центром в точечном заряде, учесть, что направление будет очевидно радиальным, а модуль этого вектора одинаков везде на выбранной сфере (так что E можно вынести за знак интеграла), и тогда, учитывая формулу для площади сферы радиуса r: , имеем:
откуда сразу получаем ответ для E.
Ответ для получается тогда интегрированием E:
НЭП произвольного распределения зарядов По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:
где каждое
Подставив, получаем:
Для непрерывного распределения аналогично:
где V - область пространства, где расположены заряды (ненулевая плотность заряда), или всё пространство, - радиус-вектор точки, для которой считаем , - радиус-вектор источника, пробегающий все точки области V при интегрировании, dV - элемент объема.
Электрическое поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке пространства, называется однородным электрическим полем.
Приблизительно однородным является электрическое поле между двумя разноименно заряженными плоскими металлическими пластинами. Линии напряженности в однородном электрическом поле параллельны друг другу
При равномерном распределении электрического заряда q по поверхности площади S поверхностная плотность заряда постоянна и равна
4.Потенц. электростат. поля. Эквипотенц. поверхн. Ур-е эквип. поверхн.
Электростатическим полем называется электрическое поле неподвижных в выбранной системе отсчета зарядов. Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность и потенциал. Потенциал в какой либо точке эл.стат. поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией положительного заряда, помещённого в эту точку.
Разность потенциалов двух точек равна работе при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.
За нулевой потенциал часто удобно принимать потенциал бесконечно удаленной точки пространства. Потенциал – энергетическая характеристика электростатического поля. Если нулевой уровень потенциальной энергии системы зарядов условно выбрать на бесконечности, то выражение представляет собой работу внешней силы по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в рассматриваемую точку В: ;
Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью.
Между двумя любыми точками на эквипотзенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор силы Fэ в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.
Если потенциал задан как функция координат (x, y, z), то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:
φ(x, y, z) = const
Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности.
5.Связь между напряж.и потенциалом. Потенциалы полей точечного заряда и произв. заряж. тела. Потенц. однородного поля.
Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом — энергетической характеристикой поля.
Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к равна А=Exdxq0. Та же работа равна A=(1-2)q0=-d Приравняв оба выражения, можем записать
Ex=-д/дx. Анлогично Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Следовательно Е= Exi+ Eyj+ Ezk, где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z. Тогда т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.
Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае ноля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.
Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно, =(1/40)Q/r. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы.
С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью :
Потенциал однородного поля:
φ = Wп / q = -Exx + C
Значение потенциала в данной точке зависит от выбора нулевого уровня для отсчёта потенциала. Этот уровень выбирают произвольно.
6. работа сил элктростат. поля по переносу точечного заряда. Циркуляция и ротор электростат. Поля
Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда qпр из одной точки электростатического поля в другую на отрезке пути dl , по определению равна
где - угол между вектором силы F и направлением движения dl. Если работа совершается внешними силами, то dA=0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении пробного заряда qпр из точки “а” в точку “b” будет равна…
где - кулоновская сила, действующая на пробный заряд qпр в каждой точке поля с напряженностью Е. Тогда работа…
Пусть заряд перемещается в поле заряда q из точки “а”, удалённой от q на расстоянии в точку “b”, удаленную от q на расстоянии (рис 1.12).
Как видно из рисунка тогда получим
Как было сказано выше, работа сил электростатического поля, совершаемая против внешних сил, равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил, следовательно
Работа электростатических сил по любому замкнутому контуру равна нулю. т.е. циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю. Возьмем любую поверхность S, опирающуюся на контур Г.
S
Г
По теореме Стокса: так как это для любой поверхности
S, то
Существует тождество: . т.е. силовые линии электростатического поля не циркулируют в пространстве.
7. т-ма гауса для поля вектора E(r). Диверг. Электростат. Поля. Ур-е Пуасона для потенц. Электростат. Поля
Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью.
Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду. , где Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности.
Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля может быть сформулирована и в дифференциальной форме. Действительно, рассмотрим поле точечного электрического заряда , расположенного в начале координат: Из соотношения следует
Легко проверить, что для , то есть для точки наблюдения, в которой нет электрического заряда, справедливо соотношение: (1.55) Математическая операция в левой части соотношения (1.55) имеет специальное название "дивергенция векторного поля и специальное обозначение
Уравнение Пуассона — эллиптическое ду в частных производных, которое, среди прочего, описывает электростатическое поле. Это уравнение имеет вид:
где Δ — оператор Лапласа или лапласиан, а f — действительная или комплексная функция на некотором многообразии.
В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:
В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид: Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в ур-е Лапласа: где Ф — электростатический потенциал, — объёмная плотность заряда, а — диэлектрическая проницаемость вакуума.
В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем: =0 и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:
8.
Электростатическое поле — поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов).
Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный заряд, помещённый в этом поле. Пробный заряд должен быть малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля.
В силу принципа суперпозиции потенциал всей совокупности зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых в данной точке поля каждым из зарядов в отдельности: : *
Величинаназывается электрическим дипольным моментом системы зарядов.
Электрич. дипольным моментом или просто дипольным моментом системы зарядов q i называется сумма произведений величин зарядов на их радиус-векторы.
Обычно дипольный момент обозначается латинской буквой d или латинской буквой p.
Дипольный момент имеет чрезвычайное значение в физике при изучении нейтральных систем. Действие электрического поля на нейтральную систему зарядов и электрическое поле создано нейтральной системой определяются в первую очередь дипольным моментом. Это, в частности, касается атомов и молекул.
Нейтральные системы зарядов с отличным от нуля дипольным моментом называют диполями.
Свойства: Всего определенный выше дипольный момент зависит от системы отсчета. Однако для нейтральной системы сумма всех зарядов равна нулю, поэтому зависимость от системы отсчета исчезает.
Самый диполь состоит из двух одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по направлению зарядов + q и-q, которые находятся на определенном расстоянии r друг от друга. Дипольный момент тогда равна по абсолютной величине qr и направлен от положительного до отрицательного заряда. В случае непрерывного распределения заряда с плотностью дипольный момент определяется интегрированием
9. Диполь во внешнем электростат. Поле. Момент сил, действующий на диполь, потенц. Энергия диполя в однородном поле.
Электрическим диполем называют систему двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов и , расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в некоторой точке А равен: .
Пусть точка А выбрана так, что длина намного меньше расстояний и . В этом случае можно положить, что ; и формулу для потенциала диполя можно переписать:
|
где - угол между осью диполя и направлением к точке А, проведенным от диполя. Произведение называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом. Вектор направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Таким образом, произведение в формуле для является дипольным моментом и соответственно: |
|
Момент сил, действующий на диполь во внешнем электрическом поле.
Поместим диполь в электрическое поле. Пусть направление диполя составляет с направлением вектора напряженности некоторый угол . На отрицательный заряд действует сила , направленная против поля, на положительный заряд действует сила , направленная вдоль поля. Эти силы образуют пару сил с вращающим моментом: В векторном виде:
Диполь в однородном внешнем поле поворачивается под действием вращающего момента таким образом, чтобы сила, действующая на положительный заряд диполя, совпадала по направлению с вектором и осью диполя. Этому положению соответствует и
10. Диэлектрики в электростат. Поле. Векторы поляризованности и эл. Смещения. Диэл. Восприимч. И прониц. Среды. Связь между ними.
Диэлектрики – вещества, не имеющие практически свободных носителей заряда. Поэтому они не проводят ток, заряды не переходят, но поляризуются. диэлектрики – это вещества молекулярного строения, силы связи их зарядов внутри больше сил внешнего поля и они связаны, замкнуты внутри молекул и вовнешнем поле лишь частично сдвигаются, вызывая поляризацию.
При наличии внешнего электростатического поля напряженностью молекулы диэлектрика деформируются. Положительный заряд смещается по направлению внешнего поля, а отрицательный – в противоположном направлении, образуя диполь – связанный заряд. В диэлектриках, имеющих дипольные молекулы, их электрические моменты под влиянием внешнего поля частично ориентируются по направлению поля. У большинства диэлектриков направление вектора поляризованности совпадает с направлением вектора напряженности внешнего поля, а направление вектора напряженности поляризованных зарядов противоположно направлению вектора напряженности внешнего поля (от + Q к – Q).
Вектор поляризованности определяют по геометрической сумме электрических моментов диполей в единице объема. Для большинства диэлектриков где k – относительная диэлектрическая восприимчивость.
В электротехнических расчетах используется также вектор электрического смещения (индукции): ,где . Вектор зависит как от свободных, так и от связанных зарядов.
Диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме. Диэлектрическая восприимчивость ( поляризуемость ) вещества — физическая величина, мера способности вещества поляризоваться под действием электрического поля. Поляризуемость связана с диэлектрической проницаемостью ε соотн: , или .
11. т-ма Гаусса для полей векторов P(r) и D(r) в интегр. И деф. Формах
- теорема Гаусса для вектора :поток вектора поляризованности сквозь замкнутую поверхность равна взятому с противоположным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью .
- дифференциальная форма: дивергенция вектора поляризованности равна взятой с противоположным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в этой же точке.
Точки, где - источники поля (из них линии поля расходятся), и наоборот, точки, где - стоки поля .
Плотность; , когда:
1) - диэлектрик неоднороден; 2) - поле неоднородно.
При поляризации однородного изотропного диэлектрика появляются только поверхностные связанные заряды, а объемные – нет.
Теорема Гаусса для вектора D
Поток вектора электрического смещения D сквозь замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью, т. е. (1)
Если не зависит от координат (изотропная среда), то
Из ур-я (1) следует, что когда заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, поток вектора D сквозь поверхность S равен нулю.
Применяя к левой части (1) теорему Гаусса — Остроградского и выражая q через объемную плотность заряда р, получаем:
Так как объем выбран произвольно, то подынтегральные ф-ции равны:
div D = р.
Дифференциальная форма теоремы Гаусса — Остроградского (2-78) утверждает, что источниками вектора электрического смещения являются электрические заряды. В тех областях пространства, где р=0, источников вектора электрического смещения нет и, следовательно, силовые линии не имеют разрывов, т. к. div D=0. Для сред с абсолютной диэлектрической проницаемостью, ие зависящей от координат, можно записать:
divE =
12
13.
В металлических проводниках имеются свободные носители заряда – электроны проводимости (свободные электроны), которые могут под действием внешнего электрического поля перемещаться по всему проводнику. В отсутствие внешнего поля электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла взаимно компенсируются. Если металлический проводник внести во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле.
Явлением электростатической индукции называется перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля. При этом на проводнике возникают заряды, численно равные друг другу, но противоположные по знакам – индуцированные (наведенные) заряды, которые исчезают, как только проводник удаляется из электрического поля.
Поскольку внутри проводника E=-grad фи=0 то потенциал будет постоянной величиной. Нескомпенсированные заряды располагаются в проводнике только на его поверхности.
при помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободные заряды начнут перемещаться: положительные – по полю, а отрицательные – против поля. На одном конце проводника будет избыток положительных зарядов, на другом – отрицательных. Окончательно внутри проводника напряженность поля станет равна нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными его поверхности.
Емкость уединённого проводника определяется зарядом сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. С=Q/.
для шара радиусом R
Конденсаторы - устройства способные накапливать значительные по величине заряды. Емкость конденсатора – физическая величина равная отношению заряда Q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов между его обкладками. C=Q/(1-2). для плоского кон-ра.
У паралельно соединённых кон-ров разность потенциалов одинакова, у последовательно соединённых кон-ров заряды всех обкладок равны по модулю.
14.Энергия заряженного конденсатора. Энергия и плотность энергии электростатического поля.
Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая равна
W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) где Q — заряд конденсатора, С — его емкость, — разность потенциалов между обкладками.
Используя выражение (1), можно найти механическую силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину Ах. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx , вследствие уменьшения потенциальной энергии системы
Fdx=-dW, откуда F=dW/dx. (2)
Производя дифференцирование при конкретном значении энергии найдем искомую силу:
где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.
Энергия электростатического поля.
Преобразуем формулу (1), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = 0/d) и разности потенциалов между его обкладками ( =Ed). Тогда получим
где V=Sd — объем конденсатора. Данная ф-ла показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле,— напряженность Е.
Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)
w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95.8)
Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого
выполняется соотношение Р=0Е.
Формулы (1) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля.
15.
Вектор магнитной индукции является количественной характеристикой магнитного поля.
Магнитная индукция однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом действующим на рамку с магн. моментом равным единице, когда нормаль перпендикулярна направлению поля.
Принцип суперпозиции магнитных полей: если магнитное поле создано несколькими проводниками с токами, то вектор магнитной индукции в какой-либо точке этого поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности:
Сила действующая на эл. заряд Q движущийся в магн. поле со скоростью v называется силой Лоренца. F=Q[vB]. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки. Магнитное поле не действует на покоящийся заряд. Если на движущийся заряд помимо магн. поля действует эл. поле то результирующая сила равна векторной сумме сил. F=QE+Q[vB].
Модуль силы Лоренца равен произведению модуля индукции магнитного поля B(вектор), в котором находится заряженная частица, модуля заряда q этой частицы, ее скорости υ и синуса угла между направлениями скорости и вектора индукции магнитного поля Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости частицы, то она не может изменить значение скорости, а изменяет только ее направление и, следовательно, не совершает работы.
Движение заряженных частиц в магнитном поле.
Если заряженная частица движется в магн. поле перпендикулярно вектору В, то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории движения частицы.
16.
Электрический ток — это упорядоченное движение заряженных частиц в проводнике. Чтобы он возник, следует предварительно создать электрическое поле, под действием которого вышеупомянутые заряженные частицы придут в движение.
Закон Ома—Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению этого участка.
Сила тока — скалярная физическая величина, определяемая отношением заряда Δq, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.
Закон Ома в дифференциальной форме
Сопротивление R зависит как от материала, по которому течёт ток, так и от геометрических размеров проводника.
Полезно переписать закон Ома в так называемой дифференциальной форме, в которой зависимость от геометрических размеров исчезает, и тогда закон Ома описывает исключительно электропроводящие свойства материала. Для изотропных материалов имеем: где: j — вектор плотности тока, — удельная проводимость,
E— вектор напряжённости электрического поля.
При рассмотрении движения зарядов, помимо закона сохранения энергии, необходимо учитывать и закон сохранения электрического заряда. В интегральной форме этот закон можно записать в следующем виде:
где ρ - плотность заряда. Из этого уравнения следует, что, если объем электронейтрален, то сколько в него втекает зарядов одного знака, столько же и вытекает. С другой стороны , если ток через замкнутую поверхность равен нулю, то заряды внутри этой поверхности могут рождаться и исчезать только парами (положительных зарядов должно родиться или исчезнуть ровно столько, сколько родилось или исчезло положительных зарядов.
Используя теорему Остроградского-Гаусса, уравнение можно переписать в виде:
откуда в дифференциальной форме получим уравнение, которое принято называть уравнением непрерывности:
17.
Подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, так в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды.
Магнитная индукция. Для характеристики способности магнитного поля оказывать силовое действие на проводник с током вводится векторная величина — магнитная индукция .
Силовое действие магнитного поля может обнаруживаться по действию силы Ампера на прямолинейный проводник с током и по вращающему действию на замкнутый контур.
При исследовании магнитного поля с помощью прямолинейного проводника с током магнитная индукция определяется следующим образом: модуль магнитной индукции равен отношению максимального значения модуля силы Ампера , действующей на проводник с током, к силе тока I в проводнике и его длине l:
.(51.1)
Для определения направления вектора индукции нужно расположить прямолинейный проводник в магнитном поле таким образом, чтобы сила Ампера имела максимальное значение.
Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.
Магнитное поле прямолинейного проводника с током - B=мюI/2пиR
Закон Био—Савара—Лапласа
Если по проводнику течет ток I, то в его окрестности создается магнитное поле, силовая характеристика которого называется магнитной индукцией (величина называется напряженностью магнитного поля). Магнитная индукция численно равна силе, действующей на проводник единичной длины, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно к направлению однородного магнитного поля.
где элементарная магнитная индукция, создаваемая элементом проводника с током в точке пространства с радиусом-вектором .
18.
Для расчета магнитных полей широко используется векторный магнитный потенциал. Его обозначают так Это расчетная, искусственно введенная в расчет величина, которая плавно изменяется при переходе от одной точки к другой и такая, что Основанием для представления в виде служит то обстоятельство, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, а в магнитном поле согласно принципа непрерывности магнитного потока
Уравнение, позволяющее рассчитывать имеет вид Это выражение получило название уравнения Пуассона для магнитного поля. Так как и – это векторы, то их можно представить через проекции: Тогда уравнение Пуассона распадается на три уравнения для скалярных величин: Именно последние три формулы используются в практических расчетах.
Рассмотрим как можно определить магнитный поток, используя ветор-потенциал магнитного поля. Магнитный поток,пронизывающий поверхность S, есть поток вектора В через эту поверхность Поскольку то Согласно теореме Стокса Следовательно, т.е. для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую поверхность S, нужно вычислить циркуляцию вектор-потенциала по контуру, на который опирается данная поверхность S. Определение Ф через значительно проще чем через индукцию В.
Теорема Гаусса для магнитного поля: магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
интеграл по замкнутому контуру с пределом S (вектор B*вектор dS)=0.
Теорема Гаусса для вектора B в дифференциальной форме: div(вектор B)=0.
Из закона Ампера (и закона Био-Савара-Лапласа) следует уравнение В силу принципа суперпозиции для индукции магнитного поля получаем фундаментальное соотношение для магнитного поля
Таким образом, теорема Гаусса для векторного поля магнитной индукции в дифф. форме является непосредственным следствием закона Био-Савара-Лапласа.
Теорема Гаусса в интегральной форме отражает экспериментальный факт, что линии вектора B замкнуты. Уравнение дифференциальной формы эквивалентно уравнению интегральной и является математическим выражением того, что в природе нет магнитных «зарядов», на которых начинались бы или заканчивались бы линии магнитной индукции.
19.
На каждый носитель тока в проводнике действует магнитная сила. В результате магнитное поле действует на сам проводник с током с определенной cилой, называемой силой Ампера.
А. М. Ампер установил, что сила dF(векторное), с которой магнитное поле действует на элемент тока I*(вектор dl), помещенный во внешнее магнитное поле с индукцией B(векторное), равна:
Эта формула выражает закон Ампера:
сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на векторное произведение элемента длины проводника на магнитную индукцию поля.
В частности, если магнитное поле однородно, а проводник линейный, то:
F=I*l*B*sin угла между вектором dl и вектором В.
Элементарную силу взаимодействия между элементами и проводников, по которым протекают токи I1 и I2 можно определить из закона Ампера:
Направление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор B, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый
большой палец покажет направление силы Ампера.
РАБОТА
Рассмотрим проводник длиной L с током I, помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Проводник может свободно перемещаться.
Сила, действующая на проводник равна:
Найдем работу, совершаемую магнитным полем:
Таким образом,
Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
Эта формула остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.
20
Магнитным моментом плоского замкнутого контура с током I называется: где S – площадь поверхности, ограниченной контуром, которую называют обычно поверхностью контура (или поверхностью, натянутой на контур); вектор n – единичный вектор нормали к плоскости контура. Векторы n и p мное направлены перпендикулярно плоскости контура по правилу правого винта
Со стороны внешнего магнитного поля на контур с током действует вращающий момент пары сил, который, как можно показать, определяется векторным произведением:
По определению векторного произведения скалярная величина момента равна:
Формула справедлива для контура с током, находящегося в однородном магнитном поле, независимо от формы этого контура.
Работа при перемещении контура с током. Поскольку на проводник с током в магнитном поле действуют силы Ампера, то при движении проводника за счет источника тока совершается работа.
dA=I*dФ, где dA - работа при перемещении проводника с током, совершаемая силами магнитного поля, dФ - увеличение магнитного потока.
если рассматривать контур с током произвольной формы, который движется в магнитном поле, то, разбивая проводник на элементарные участки, работа по перемещению контура с током будет равна:
A=интеграл (I*dФ)=I*(Ф2-Ф1), где Ф1 и Ф2 – магнитный поток через площадь контура соответственно в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа по перемещению в постоянном магнитном поле замкнутого контура с током равна произведению силы тока в контуре на изменение его потокосцепления.
Потенциальная энергия (механическая) контур с током в магнитное поле:
или
21.
Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля (см. § 83) введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру
называется интеграл
где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, В1=Вcos — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), а — угол между векторами В и dl.
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.
Неравенство нулю циркуляции вектора В свидетельствует о том, что поле вектора B непотенциально. Такое поле называется вихревым (соленоидальным).
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B:
Теорема о циркуляции в дифференциальной форме имеет вид:
rot B = m0·j, (в "СИ")
rot B = [4p/c]·j. (в гауссовой системе)
Это уравнение имеет дифференциальный характер и справедливо для любой точки.
22.
Некоторые вещества в магнитном поле намагничиваются, то есть сами становятся источниками магнитного поля. Такие вещества называют магнетиками.
Магнитное состояние вещества можно охарактеризовать с помощью магнитного момента единицы объема. Эта величина называется вектор намагничивания M.
Напряжённость магни́тного по́ля (стандартное обозначение Н) –векторная физич. величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M. В СИ: где — магнитная постоянная. В СГС:
В общем случае, вектора M и H могут не совпадать. Это наблюдается для некоторого класса веществ, называемых анизотропными магнетиками (в них в них величина намагничения зависит еще и от направления внешнего поля в веществе). Если же вещество является изотропным магнетиком, то вектора M и H сонаправлены, то есть M=H, где - скалярная величина, называемая магнитной воспиимчивостью.
Тогда B=H, где =1+4- магнитная проницаемость вещества. Различные вещества очень сильно варьируются по своим магнитным свойствам.
Вещества, у которых <1 называются диамагнетиками, те, у которых >1 - парамагнетиками, а те, у которых >> 1 - ферромагнетиками. Больше всего способны намагничиваться ферромагнетики.
По реакции на внешнее магнитное поле и характеру внутреннего магнитного упорядочения все вещества в природе можно подразделить на пять групп: диамагнетики(магнитная восприимчивость отрицательна и не зависит от напряженности внешнего магнитного поля), парамагнетики(вещества с положительной магнитной восприимчивостью, не зависящей от напряженности внешнего магнитного поля), ферромагнетики(вещества с большой положительной магнитной восприимчивостью (до 106), которая сильно зависит от напряженности магнитного поля и температуры), антиферромагнетики(возникает антипараллельная ориентация элементарных магнитных моментов) и ферримагнетики (вещества, магнитные свойства которых обусловлены нескомпенсированным антиферромагнетизмом)
При намагничивании материала переменным током, его магнитное состояние непрерывно изменяется. Напряженность намагничивающего поля нарастает от нуля до некоторого максимума, затем падает до нуля, изменяет свой знак, снова увеличивается до некоторого отрицательного максимума и опять уменьшается до нуля.
В соответствии с этим, магнитная индукция изменяется по гистерезисной кривой, совершая весь замкнутый цикл за один период изменения напряженности намагничивающего поля. Это изменение магнитной индукции требует расхода некоторой энергии на перемагничивание - энергии гистерезиса
23.
В веществе происходит движение заряженных частиц внутри атомов и молекул, т.е. кроме токов проводимости существуют внутренние токи. Внутренние токи также являются источниками магнитного поля. Каждый такой ток замкнут внутри микрочастиц и обладает магнитным моментом. Под действием внешнего магнитного поля эти магнитные моменты, а с ними и все вещество приобретает магнитный момент, пропорциональный числу микрочастиц, а следовательно и объему вещества. Отношение магнитного момента вещества к его объему называют вектором намагниченности . При однородной намагниченности в объеме вещества внутренние токи в среднем компенсируют друг друга. Некомпенсированными остаются только токи, выходящие на боковую поверхность тела. Эти токи в среднем складываются в поверхностный ток Im , который и является источником намагниченности вещества. Магнитный момент этого тока составляет ImS=JSl, где l– длина боковой поверхности тела. Отсюда получается J=Im/l=im, т.е. намагниченность равна поверхностному току, приходящемуся на единицу длины поверхности, или линейной плотности поверхностного тока. Следует при этом иметь в виду, что поверхностный ток, порождающий намагниченность, может протекать как по реальной поверхности, так и по мысленно выделяемой. Последнее обстоятельство позволяет определить циркуляцию вектора намагниченности. Пусть в пространстве проведен произвольный замкнутый контур L. Предположим, что этот контур окружен тонкой трубкой. В магнетике по ее поверхности протекает поверхностный ток с линейной плотностью im, протекающий в плоскости, перпедикулярной Магнитный момент этого тока направлен вдоль перпендикуляра к плоскости, в которой течет поверхностный ток, т.е. вдоль касательной к контуру. Линейная плотность этого тока определяет проекцию Jl намагниченности на направление касательной к контуру. Полный внутренний ток, пронизывающий поверхность, опирающуюся на контур L, будет С учетом последнего равенства теорему о циркуляции для вектора индукции можно переписать в виде Отсюда видно, что для вектора циркуляция определяется только током проводимости, пронизывающим контур, т.е. В этом состоит смысл введения вектора H. Вектор H называют напряженностью магнитного поля.
Так же как и для электрического поля, из теоремы Гаусса для индукции магнитного поля следует непрерывность нормальных проекций вектора индукции на границе раздела различных сред. Из теоремы о циркуляции следует непрерывность касательных проекций напряженности магнитного поля, если по границе раздела не протекают поверхностные токи проводимости. Таким образом, граничные условия имеют вид:
Bn1= Bn2 Ht1= Ht2
24.
Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, проходящего через него.
Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем в 1831 году. Электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина э.д.с. не зависит от того, что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический ток, вызванный этой э.д.с. , называется индукционным током.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея:
где
— электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно выбранного контура,
Магни́тный пото́к — поток как интеграл вектора магнитной индукции через конечную поверхность .
Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца:
Индукционный ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре, имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противодействует тому изменению магнитного потока, которым был вызван данный ток.
Для катушки, находящейся в переменном магнитном поле, закон Фарадея можно записать следующим образом:
Где — электродвижущая сила, — число витков,— магнитный поток через один виток,— потокосцепление катушки.
Вихревое электрическое поле это индуцированное электрическое поле. Переменное магнитное поле порождает наведенное (индуцированное) электрическое поле. Если магнитное поле постоянно, то индуцированного электрического поля не возникает. Следовательно, индуцированное электрическое поле не связано с зарядами, как в случае электростатического поля; его силовые линии не начинаются и не заканчиваются на зарядах, а замкнуты сами на себя, подобно силовым линиям магнитного поля.
25.
Работа генератора переменного тока основана на явлении электромагнитной индукции. Переменную э. д. с. можно получить, если проволочную рамку вращать в постоянном магнитном поле. Такой же результат получится, если магнит вращать внутри проволочной рамки. Движение магнита в направлении, указанном сплошной стрелкой, равносильно движению проводника в направлении пунктирной стрелки. В большинстве случаев генераторы переменного тока устраиваются именно так: проводники, в которых индуктируется э. д. с, делаются неподвижными, а магнитное поле - вращающимся. Это дает возможность обойтись без трущегося контакта в цепи основного индуктированного тока.
26.
Самоиндукция — явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении тока, протекающего через контур. При изменении тока в контуре меняется магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, изменение потока магнитной индукции приводит к возбуждению ЭДС самоиндукции. Направление ЭДС оказывается таким, что при увеличении тока в цепи ЭДС препятствует возрастанию тока, а при уменьшении тока — убыванию. Величина ЭДС пропорциональна скорости изменения силы тока I и индуктивности контура L: .
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура (катушки)
За счёт явления самоиндукции в электрической цепи с источником ЭДС при замыкании цепи ток устанавливается не мгновенно, а через какое-то время. Аналогичные процессы происходят и при размыкании цепи, при этом величина ЭДС самоиндукции может значительно превышать ЭДС источника. Чаще всего в обычной жизни это используется в катушках зажигания автомобилей. Индукти́вность — коэффициент пропорциональности между магнитным потоком (создаваемым током какого-либо витка при отсутствии намагничивающих сред, например, в воздухе) и величиной этого тока. Если в проводящем контуре течёт ток, то ток создаёт магнитное поле. Величина магнитного потока, пронизывающего одновитковый контур, связана с величиной тока следующим образом. где L — индуктивность витка. В случае катушки, состоящей из N витков предыдущее выражение модифицируется к виду: где — сумма магнитных потоков через все витки, а L — уже индуктивность многовитковой катушки. Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля тока:
27. . Ур-е Максвела в деф. Форме.
Уравне́ния Ма́ксвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики. Уравнения Максвелла представляют собой систему из восьми (два векторных с тремя компонентами каждое и два скалярных) линейных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ():
Т-ма Гаусса для эл.поля - divD=ρ - Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля - divB=0 – в природе Не существует магнитных зарядов.
Закон индукции Фарадея rot E= -(dB/dt) - Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.
Закон Ампера — Максвелла rot H=j+dD/dt - Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле.
Введённые обозначения: — плотность электрического заряда
— плотность электрического тока (плотность тока проводимости
u— скорость зарядов в данной точке;
H — напряжённость магнитного поля
B — магнитная индукция
28. Уравнение Максвела в интегральной форме
Уравне́ния Ма́ксвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.
Где
1) Закон индукции Фарадея — Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
2) Закон Гаусса для магнитного поля — Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю.
3) Закон Ампера — Максвелла — Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
4) Закон Гаусса — Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.
29.
В 1863 г. Максвелл предсказал на основе полученных им уравнений электромагнетизма существование электромагнитных волн. Покажем, что в вакууме векторы поля удовлетворяют волновому уравнению. Напишем систему уравнений Максвелла:
, (1) (2)
, (3)
. (4)
Продифференцировав уравнение (1) по времени и заменив в полученном уравнении из уравнения (2), получим:
. (5)
Пользуясь формулой векторного анализа и принимая во внимание уравнение (3), получим:
. (6)Аналогичным образом, исключая из уравнений (1) и (2), находим, что вектор удовлетворяет волновому уравнению:
, (7) где – скорость волны. Уравнения (6) и (7) – это волновые уравнения для векторов и соответственно. Из того, что векторы и удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле, которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь тогда, когда их возбуждают. Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но, возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет. Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих его зарядов. Из уравнений (6) и (7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в вакууме. Рассмотрим теперь решения волнового уравнения - пространственно одномерного волнового уравнения
Общее решение этого уравнения имеет вид
, где и – произвольные функции, а аргументы этих функций представляют собой специальные комбинации переменных и постоянной . Смысл этих решений прост. Если в момент графически изобразить функции и , то в последующие моменты времени эти функции смещаются вдоль оси со скоростью как целое:
– вправо, а – влево
30.
Волна называется плоской, если поверхности равных фаз представляют собой плоскость, т.е. в плоской электромагнитной волне векторы и расположены в плоскости хода, перпендикулярно направлению распространения волны.
31.
Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В идеальном колебательном контуре активное сопротивление R = 0.
Колебательный контур – колебательная система. В контуре происходят периодические изменения энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля тока катушки.
В любой момент времени энергия при R = 0:
где q и i – мгновенное значение, а q0 и I0 – амплитудные значения.
Свободные электрические колебания в идеальном колебательном контуре являются гармоническими. Заряд на конденсаторе изменяется по закону: q = q0 cos ω0t.
Учитывая, что U = q / C, можно так же получить уравнение для изменения напряжения на конденсаторе: u = U0 cos ω0t.
Ток в катушке индуктивности: i = I0 cos (ω0t + π/2
|
i = I0 sin ω0t. |
или
Резонансная частота контура определяется формулой Томсона и равна. Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения U0. Энергия, запасённая в конденсаторе составляет . При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток I, что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю. Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора EC = 0. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна , где L — индуктивность катушки, I0 — максимальное значение тока.
32.
При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур.
Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание обусловлено в основном сопротивлением ( в электромагнитных колебательных контурах).
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R0) имеет вид
Принимая коэффициент затухания =R/(2L), дифференциальное уравнение можно записать в виде
Колебания заряда совершаются по закону Q=Qme-tcos((t+)
Добротность колебательного контура
В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при =0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.
33.
Цепь из последовательно соединенных индуктивности, емкости и активного сопротивления может рассматриваться как колебательная система, так как в ней возможно возникновение электромагнитных колебаний с собственной частотой при .
Эти колебания являются затухающими, так как энергия, сосредоточенная в контуре в момент возникновения колебаний выделяется в виде тепла на активном сопротивлении во время колебательного процесса. Тогда, при включении в контур источника переменной ЭДС, его можно рассматривать как элемент, инициирующий в контуре вынужденные колебания с частотой . Следовательно, уравнение
представляет собой уравнение вынужденных электромагнитных колебаний под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС. Используя собственную частоту и коэффициент затухания это уравнение можно представить и в виде .
Как известно, для вынужденных колебаний характерно явление резонанса, которое заключается в возрастании амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к резонансной частоте, зависящей от параметров колебательной системы. В рассматриваемой цепи - колебательном контуре вынужденные колебания совершают сила тока, заряд и напряжение на конденсаторе, а также напряжение на катушке индуктивности.
Резонансными кривыми называются зависимости амплитудных значений, совершающих вынужденные колебания физических величин, от частоты внешнего воздействия, т. е., в нашем случае, от частоты источника ЭДС.
Закон Ома для рассматриваемой цепи позволяет проанализировать зависимость амплитуды силы тока от частоты источника ЭДС: .
Если амплитудное значение ЭДС, а также величины активного сопротивления, емкости и индуктивности постоянны, то амплитудное значение силы тока зависит только от частоты.
Максимальная амплитуда силы тока: при . В этом случае частота источника ЭДС совпадает с собственной частотой колебательного контура: , т. е. для вынужденных колебаний силы тока наблюдается резонанс.
34.
Объёмная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде, как известно из электродинамики, даётся выражением (мы учли здесь также связь между векторами Е иН в электромагнитной волне):
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова-Пойнтинга, или чаще просто вектором Пойнтинга Р: Модуль среднего значения вектора Пойнтинга называется интенсивностью электромагнитной волны:
В случае синусоидальной монохроматической плоской (когда плоскости колебаний векторов Е и Н не меняются со временем) электромагнитной волны, распространяющейся в направлении х:
для интенсивности получается:
Следует обратить внимание, что интенсивность электромагнитной волны зависит от амплитуды (либо электрического, либо магнитного поля; они связаны), но не зависит от частоты волны - в отличие от интенсивности упругих механических волн.
ПОЙНТИНГА ТЕОРЕМА - теорема, описывающая закон сохранения энергии эл.– магн. поля. Если продифференцировать по времени плотность энергии электромагнитного поля в стационарной среде без дисперсии,
с учётом Максвелла уравнений получим:
Пойнтинга вектор,
j - плотность тока, Е, Н и D, В - напряжённости и индукции электрического и магнитного полей. В интегральной форме П. т. принимает вид
где W - полная энергия электром. поля, заключённого в объёме V; F - поверхность, ограничивающая объём V; dF и dV -элементы поверхности и объёма.