Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 57. Уравнение Бернулли
Проследим течение жидкости в трубке тока. Поперечное сечение трубки тока в различных местах может быть неодинаковым, и в со ответствии с этим меняется скорость течения. Струя жидкости нигде не претерпевает разрыва. Исходя из этого условия неразрыв ности, струи, нетрудно доказать, что произведение скорости несжимаемой и невязкой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная.
Действительно, объём жидкости, втекающей за 1 сек. в один конец трубки тока, должен быть равен объёму жидкости, вытекающей из противоположного конца, так как движение частиц жидкости изображается линиями тока, и поэтому не может быть течения сквозь боковую поверхность трубки; жидкость не задерживается внутри трубки, и плотность её остаётся постоянной.
Рис. 164. К выводу уравнения Бернулли.
Выделим мысленно ка кую-либо часть трубки тока (рис. 164) и обозначим площади попе речного сечения трубки в начале и в конце выделенной части через S1 и S2; скорости жидкости для этих сечений пусть будут v1 и v2.
За 1 сек. внутрь рассматриваемой части трубки тока войдёт объём жидкости v1S1; из противоположного конца за 1 сек. вытечет объём жидкости v2S2. На основании вышесказанного
v1S1=v2S2.
Это уравнение справедливо для любых двух сечений трубки тока; следовательно, в согласии с высказанной выше теоремой для всех сечений трубки
vS=const. (1)
В суженной части трубки тока скорость жидкости больше, чем в остальном потоке. Поступая в узкую часть трубки тока, жидкость двигается ускоренно; следовательно, на жидкость, втекающую в узкую часть трубки тока, действует со стороны жидкости, ещё находящейся в широкой части трубки, некоторая сила.
Очевидно, что эта сила возникает вследствие разности давлений в широком и узком местах трубки. Сила направлена в сторону узкой части трубки; значит, в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Иными словами, в местах сужения трубки тока давление понижено.
Пусть за время t масса жидкости m втекает в один конец вы деленной части трубки через сечение S1 где скорость v1 и давле ние p1 . За то же время t через другое сечение трубки тока S2 , где скорость жидкости равна v2 и давление р2, вытекает такая же масса жидкости т. При установившемся (стационарном) течении в выделенной части трубки не происходит ни накапливания, ни рас ходования энергии. Следовательно, энергия, передаваемая за время t через сечение 81 , должна быть равна энергии, передаваемой за то же время через сечение S2. За время t через сечение S1 проходит масса жидкости m. Её кинетическая энергия равна mv21/2 и потенциальная
энергия тяжести равна mgh1 (где g—ускорение силы тяжести и. h1 — высота центра тяжести сечения S1 над некоторым уровнем, на пример уровнем моря). Стало быть, за время t через сечение S1 конвекционно передаётся энергия
mv21/2+mgh
Однако, кроме конвекционной передачи энергии, в данном случае ещё имеет место передача энергии тягой, а именно, жидкость, нахо дящаяся позади, производит работу, направленную на продвижение жидкости, находящейся впереди. Энергия, передаваемая тягой за время t через сечение S1, равна, очевидно, работе, которую жидкость, находящаяся позади сечения S1 ,производит за время t, т. е. равна произведению силы р1S1 на путь v1t. Таким образом, энергия, пере даваемая за время t через сечение S1 , состоит из трёх слагаемых:
Из таких же слагаемых состоит энергия, передаваемая за время t через сечение S2 . Поскольку в выделенной части трубки не происхо дит ни накапливания, ни расходования энергии, то, очевидно, должно существовать равенство
Согласно условию неразрывности струи объём жидкости, втекаю щей в трубку за время t, т. е. S1v1t, равен объёму жидкости, вытекающей за тот же промежуток времени из трубки тока: S1v1t= S2v2t. Разделим обе части предыдущего уравнения на эти рав ные друг другу объёмы, учтя, что масса жидкости, делённая на её объём, m/Svt, представляет собой плотность жидкости . Получаем уравнение, или теорему, Бернулли:
(2)
В этом уравнении давление р выражают в дан/см2, высоту h — в сантиметрах, плотность — в г/см3 и скорость v — в см/сек; g=981 см/сек2.
В технической системе единиц давление р выражают в кГ/м2 или в миллиметрах водяного столба, высоту h — в метрах, плотность — в технических единицах массы на куб. метр [для этого , выражен ное в кг/м3, делят на 9,81] , скорость v выражают в м/сек; g=9,81м/сек2.
При течении жидкости по некоторому горизонтальному уровню потенциальная энергия жидкости остаётся неизменной, и уравнение Бернулли упрощается:
Рис. 165. В сужении статическое давление по уравнению Бернулли меньше, чем в расширенной части
трубки.
Давление р представляет собой статическое давление. Оно зави сит от сечения трубки (рис. 165). Величину pv2/2, тоже имеющую, как нетрудно убедиться, размерность давления, называют динамическим давлением. Мы видим, что при го ризонтальном течении жидкости сумма статического и динами ческого давлений остаётся величи ной постоянной. Эту сумму назы вают полным давлением.
Принципиально статическое дав ление надо измерять с помощью манометра, неподвижного относи тельно текущей жидкости.
Рис. 166. Расположение манометрических трубок для измерения статиче ского (А) и полного (В) давлений.
Прак тически бывает достаточно взять манометр, плоскость отверстия ко торого расположена параллельно линиям тока (трубка А на рис. 166). Полное давление измеряют манометром, отверстие которого расположено перпендикулярно к линиям тока (трубка В на рис. 166); попав в отверстие, жидкость «теряет» свою скорость; динамическое давление в этой трубке будет равно нулю, оставшееся статическое давление будет равно сумме статического и динамического давлений те кущей жидкости, следовательно, манометр покажет полное давление. Изображённая на рис. 166 трубка В носит название трубки Пито. Понятно, что изображённые на рис. 166 манометрические трубки А и В могут быть заменены трубками, отведёнными от текущей жидкости к металлическому манометру.
Уравнение Бернулли было нами выведено в предположении, что сумма кинетической энергии и потенциальной энергии тяжести те кущей жидкости остаётся неизменной. В дей ствительности же некоторая часть указанной энергии расходуется на работу, направленную против сил трения. В связи с этим жидкость нагревается, и энергия молекулярно-теплового движения жидкости, которую мы считали по стоянной и поэтому не учитывали, возрастает. Мы предполагали также, что частицы жидкости не проходят сквозь боковую поверх ность трубки тока. В действительности же тепловое движение нару шает течение жидкости по определённым линиям тока.
Поэтому к весьма вязким жидкостям уравнение Бернулли непри менимо. Но для таких жидкостей, как вода, а также и для воздуха уравнение Бернулли практически является достаточно точным.
Приборы, действие которых основано на уравнении Бернулли.
Сумма статического и динамического давлений остаётся постоянной величиной, поэтому в струе статическое давление всегда бывает меньше, чем в неподвижной жидкости, и при больших скоростях может стать даже отрицательным. В этом слу чае жидкость, протекающая по узкой части трубы, будет находиться в состоянии всесторон него растяжения, а так как прочность жидкости на разрыв велика (§ 107), то отрицательное давление может достигнуть значительной вели чины. Обычно, однако, когда давление падает до нуля, происходит разрыв жидкости — это так называемое явление кавитации. Кавитация ограничивает скорости, которые могут быть приданы жидкости сужением струи.
Если давление в широкой части трубы равно атмосферному, то давление в узкой части будет меньше атмосферного.
Рис. 167. Пульвериза тор.
На этом явлении основано действие ряда приборов, например инжектора, водоструйных насосов, карбюратора, а также всем известного пульверизатора, изображённого на рис. 167. По горизонтальной трубке продувают воздух. Струя, выходящая через сопло, засасывает в вертикальную трубку воду и распы ляет её.
Инжектором называют пароструйный насос, служащий для пита ния водой паровых котлов паровозов, пароходов, локомобилей и т. д.
Рис. 168. Инжектор.
На рис. 168 изображён простейший инжектор. К инжектору подводится из котла пар, который, пройдя через сопло, поступает с большой ско ростью в смеситель. Благодаря засасывающему действию струи, а также конденсации пара давление в смеси теле понижается; в него устремляется вода из коробки инжектора. Из смеси теля струя воды с большой скоростью входит в расширяющийся диффузор, теряет свою скорость, давление в диффузоре резко повышается, стано вится выше, чем в котле, вследствие чего приподнимается обратный клапан и вода поступает в котёл. Между смесителем и диффузором оставляют щель а, через которую при пуске инжектора выходят избыточные вода и пар. При пуске инжектора требуется меньше пара, чем при работе полным ходом, поэтому сопло снабжено регу лирующей иглой.
По этому же принципу работает паровозный конус, создающий сильную тягу в дымовой трубе.
Рис. 169. Водоструй ный насос.
Водоструйные насосы служат для получения небольшого разре жения (рис. 169). Давление в струе на выходе из насоса равно атмосферному; поэтому в суженной части струи и в резервуаре А создаётся разрежение. Труба В присоединяется к резервуару, из которого сле дует выкачать воздух.
Водоструйные насосы применяются в ка честве воздушных насосов в конденсаторных установках при паровых турбинах, в лаборато риях и т. д. И водо- и пароструйные насосы очень надёжны в работе, но коэффициент по лезного действия их чрезвычайно мал, поэтому применяются они в тех случаях, когда есть большое количество пара (отработанный пар) или воды, которое почему-либо нельзя исполь зовать более экономично.
Карбюратором называется прибор, питаю щий бензиновый двигатель внутреннего сгора ния рабочей смесью — смесью горючего с воздухом.
Рис. 170. Карбюратор.
Устройство карбюратора изображено на рис. 170. По трубе наружный воздух всасывается в цилиндр мотора. В суженной части трубы — в начале диффузора — создаётся пониженное давление, и бен зин из поплавковой камеры, где давление равно атмосферному, через
калиброванную трубочку (жиклер) вытекает в диффузор и испаряется в проходящем воздухе. Для того чтобы бензин не выливался через жиклер самотёком, в поплавковой камере имеется поплавок, с кото рым соединена игла, закрывающая доступ бензину из бака, как только уровень его поднимется выше от верстия жиклера. Дроссельная за слонка регулирует скорость воздуха, а вместе с тем и количество по ступающего в мотор бензина.
Истечение жидкости из отвер стия. Формула Торичелли. Поль зуясь теоремой Бернулли, легко можно определить, с какой ско ростью будет вытекать жидкость из бокового отверстия в сосуде либо под действием собственного веса, либо под действием постоян ного давления на её поверхность.
Рис. 171. Истечение жидкости из отверстия в стенке сосуда.
На рис. 171 изображена жидкость, вытекающая со скоростью v из отверстия с площадью S. Давление в струе жидкости можно считать равным атмосферному давлению р.
Давление на свободную поверхность жидкости обозначим через p1; в частном случае, если сосуд открыт или пространство над свобод ной поверхностью жидкости сообщается с атмосферным воздухом, p1=р. Скорость опускания поверхности жидкости в сосуде обозна чим через v1. Возьмём трубку тока, одним сечением которой является вся свободная поверхность жидкости на высоте h над отверстием, а другим сечением является сечение струи вне сосуда. Напишем для этих двух сече ний трубки тока уравнение Бернулли:
Если площадь свободной поверх ности жидкости велика сравнительно с площадью отверстия, то скорость опускания поверхности жидкости v1 можно приближённо считать равной нулю, и если жидкость вытекает только под действием своего веса (p1=p), то
откуда
(3)
Сопоставляя эту формулу с уравнением (7), выведенным в § 17, мы видим, что скорость v, с которой вытекает жидкость, равна той скорости, которую приобрела бы частица жидкости, падая от свободного уровня до отверстия.
Эта теорема была установлена учеником Галилея Торичелли при мерно за 100 лет до того, как Бернулли вывел своё уравнение.
1) Напомним, что символ кГ означает килограмм-силу в отличие от сим вола кг, который означает килограмм-массу. По определению техническая единица массы есть такая масса, которая под действием силы в 1 кГ при обретает ускорение 1 м/ceк2. Это есть масса, в 9,81 раза превышающая массу 1 кг. Следовательно, чтобы выразить плотность в технических единицах массы на 1 м3, надо , выраженное в кг/м3, разделить на 9,81 (§ 23).
1)см §30.