Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Производные некоторых элементарных функций
y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
можно доказать, что
Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
Найдем предел
Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
Основные правила дифференцирования
Уравнение касательной к графику функции
(алгоритм составления)
Матрицы
Матрица - прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины)
Сложение: С=A+B
Cij=aij+bij
Умножение на число:
bij=Пример.
Произведение матриц: A*B=C
Cir=aij*bjr
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
Для операции транспонирования верны свойства:
Определители
Квадратной матрице А можно сопоставить число detA , называемое ее определителем, следующим образом:
Вычисление определителя второго порядка:
detA=a11
Свойства определителей:
Минором называется определитель n-ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Алгебраическое дополнение аij – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма i+j -четное число, и с «-», если сумма нечетная. Обозначается Aij:Aij=(-1)i+j*mij
Невырожденные матрицы
Матрица А невырожденная, если detA не равен нулю
А-1 обратная А
А*А-1=А-1*А=Е
Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
А-1=
Свойства обратной матрицы:
1. det (А-1)=
2. (A*B)-1=B-1*A-1
3. (A-1)T=(AT)-1
Ранг матрицы – наибольший из порядковых миноров, отличных от нуля. Обозначается r(A)
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы – базисный.
Свойства ранга матрицы:
Системы линейных уравнений
А*Х=В Х=А-1*В
А матрица коэффициентов системы, называемая основой:
А=
Х= - вектор-столбец из неизвестных хj
В= -вектор-столбец из свободных членов bi
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Теорема Кронекера-Капелли:
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: r(A)=r(A∣B)
Теорема: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение
Теорема: Если ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Система линейных уравнений однородна, если все ее свободные члены равны нулю.
Правило решения произвольной системы линейных уравнений:
Формулы Крамера
Метод Гаусса:
Теорема. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r<n
Теорема. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы
Множества
Множество – совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку
Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент А является элементом В.
B АↄВ пересечение AB A=B
A включение А В
N=-множество натуральных чисел
Z=-множество целых чисел
Q=-множество рациональных чисел
R=– множество действительных чисел
Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
Числовые промежутки:
-отрезок(замкнутый промежуток)
-интервал( открытый промежуток)
-полуоткрытый интервал
Соответствия
Область отправления X a область прибытия
Y b
c
Граф соответствия
Соответствие – это подмножество декартова произведения
Gs={ (x,b) (x,c) (y,a) }, где Gs -график соответствия, x- прообраз b, b- образ х
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
=
Первообразная
F’(x)=A(x)
f(x)=xn
Комбинаторные формулы
В сочетаниях порядок элементов выборки не важен, а в размещениях важен.
Скалярное произведение векторов
1° - симметричность.
2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.
3° Если , то
4° Если и и , то . Верно и обратное утверждение.
5°
6°
7°
Если векторы и заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
Векторы
Вектор- это направленный прямолинейный отрезок
Векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях
Линейные операции над ними
Вектор , соединяющий начало первого и конец второго называется суммой векторов
Правило треугольника:
Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ:
Пусть есть произвольные векторы a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой a + b.
Правило параллелограмма:
Два неколлинеарных вектора откладываются из одной точки (О) , на их основе стороится параллелограмм (т. е. параллельно данным векторам строятся 2 отрезка) , тогда его диагональ и является искомым вектором, начало которого находится в точке О.
Сложение трех векторов:
Суммой трёх векторов , будем считать вектор = ( + .
Т. е. для сложения трёх векторов следует сложить два из них и прибавить к полученному третий.
Правило сложения трёх векторов
Для сложения трёх векторов надо отложить их последовательно
= ( +
Под разностью понимают ;
Под разностью векторов a и bпонимают вектор d = a – b такой, что b + d = a.
Произведение вектора на скаляр(число) называется вектор , который имеет длину , коллинеарен
- разложение вектора по ортам координатных осей.
Векторным произведением на вектор называется вектор, который
Метод координат на плоскости
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости
Способ определения положения точек с помощью чисел(координат) называется методом координат. Сущность метода в том, что всякой точке на ней, как правило, сопоставляется ее уравнение.
Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Op-полярной осью и единичным вектором , того же направления, что Оp.
Уравнением линии на плоскости Охy называется такое уравнение F(x;y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии. Уравнение F(r;φ)=0 уравнение данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии удовлетворяют этому уравнению.
Прямая на плоскости
- уравнение прямой с угловым коэффициентом
- угловой коэффициент
- общее уравнение прямой
- уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- уравнение прямой, проходящей через две точки
- уравнение прямой в отрезках
- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
-уравнение в полярных координатах
-нормальное уравнение прямой
Угол между двумя прямыми -
Условием параллельности является равенство их угловых коэффициентов: R1=R2
Условием перпендикулярности является равенство: R1*R2=1
Расстояние от точки до прямой:
Производной функции y=F(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к пиращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю
Производная функции f(x) есть некоторая функция f’(x), произведенная из данной функции
Производная f’(x), в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=F(x) в точке, абциссса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.
Производные высших порядков
Производной n–ого порядка называется производная от производной y(n)=(y(n-1))’
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Понятие дифференциала
Слагаемое f’(x)*–главная часть приращения функции.
Дифференциалом функции y=f(x)в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)); dy= f’(x)*. Еще можно записать: dy = f’(x)d -дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Дифференциал функции y=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение – геометрический смысл дифференциала.
Теорема: Дифференциал суммы, произведения и частного двух функций определяется следующими формулами:
Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Правило Лапиталя
Правила раскрытия неопределенностей вида :
Пусть функции f(x) и u(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращены в ноль в этой точке:f(x0)=0
Пусть в окрестности точки x0. Если существует предел , то
Правило раскрытия неопределенностей вида :
Пусть f(x) и u(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0, в этой окрестности ; . Если существует предел , то
Дифференциал n–го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1) порядка:
Отсюда находим, что ; n=1,2,3 получаем ; ;
Исследование функций и построение графиков
На основании проведенного исследования построить график
Неопределенный интеграл
Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , таким образом
График каждой первообразной(кривой)-интегральная кривая
Свойства неопределенного интеграла
Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то
Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.
Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то
Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:
Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:
Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
Матричное уравнение
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
,
Где а ij– коэффициент системы, числа bi–свободные члены
Исследование систем линейных уравнений
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместна, если не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Решить систему- значит выяснить совместна она или несовместна
Две системы называются эквивалентными(равносильными), если они имеют одно и более решений, т.е. каждое решение одной системы является решением другой, и наоборот.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.
Однородная система всегда совместна, т.к. x1=x2=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.
Таблица простейших интегралов
Основные методы интегрирования
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная.
В первом случае формула замены переменной имеет вид:
. (6.1)
Во втором случае:
. (6.2)
В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Метод вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения.
Пусть — функции, дифференцируемые на некотором промежутке . Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:
Так как , а ,
то получаем: , откуда .
Поскольку уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства можно опустить и записать равенство в виде
|
(1) |
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.
F(x) g’(x)
Конец интегральной стрелки на начало другой минус интеграл от произведения функций на концах стрелки
Интегрирование рациональных дробей
Рациональная дробь – выражение вида , где P(x) и Q(x) – многочлены
Рациональная дробь, называется правильной, если степень многочлена в ее числителе меньше степени в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.
Всякая неправильная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду , где многочлен, -правильная рациональная дробь
Поэтому
Т.к. интеграл вычисляется элементарно, то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби.
Определенный интеграл
Определенным интегралом от функции f(x) , на отрезке называется предел интегрирования сумм при условии, что длины наиболее частичного отрезка , стремится к нулю:
Свойства определенного интеграла:
|
I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций. |
Формула Ньютона-Лейбница
Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.
Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем
Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.
Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:
Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
|
|
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).
Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Интегрирование подстановкой:
Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Интегрирование подстановкой ( замена переменной ). Если функция f ( z ) определена и имеет первообразную при z Z , а функция z = g ( x ) имеет непрерывную производную при x X и её область значенийg ( X ) Z , то функция F ( x ) = f [ g ( x )] × g' ( x ) имеет первообразную на Х и
F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g' ( x ) dx = f ( z ) dz .
|
П р и м е р . |
Найти интеграл: . |
|
Р е ш е н и е. |
Чтобы избавиться от квадратного корня, положим ,тогда x = u2 + 3 и, следовательно, dx = 2u du. Делая подстановку, имеем: |
Интегрирование по частям:
Приложение определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции -
Площадь криволинейного сектора-
Вычисление объемов тела:
Объем тел вращения:
Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции:
Вычисление площадей поверхностей вращения:
Если дуга кривой вращается вокруг , то , где а и в – абциссы начала и конца дуги
Если дуга кривой вращается вокруг , то
Ели дуга задана в полярных координатах
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
Наиболее простым дифференциальным уравнением 1–ого порядка является уравнение вида:
Иногда такие дифференциальные уравнения называют уравнением с разделяющими переменными.
Проинтегрировав это уравнение, получим -общий интеграл
Однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка
oднородно, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений
Однородное дифференциальное уравнение можно записать в виде: или
где однородные функции одинакового порядка
Функция называется однородной порядка n, если для всех t>0 справедливо следующее соотношение:
Случайные события
Случайные события – это события, которые моут произойти или не произойти в результате некого испытания. Событие обозначается A, B, C … или A1, B2, C3 и т.д.
Вероятность события
Вероятность события А – отношение числа элементарных исходов, благоприятных этому событию, к общему числу всех элементарных исходов события.
, где m–число благоприятных событий, n - число всех возможных событий
Теорема сложения и умножения вероятностей
Суммой событий A и B называется событие C=A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из них( т.е. А или В, или А или В вместе)
Произведение событий А и В – событие С =А+В, состоящее в совместном наступлении этих событий(т.е. А и В одновременно)
Случайные величины
Это величины, которые в результате опыта принимают то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений называется дискретной.
Если же множество возможных значений случайной величины несчетно, то такая величина называется непрерывной.
Закон распределения случайной величины
Любое правило, позволяющее находить вероятность произведения событий A(S - алгебра событий пространства), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины, или множества этих значений называется законом распределения случайной величины. Про случайную вероятность говорят, что «она подчиняется данному закону распределения»
Функция распределения вероятностей случайной величины х называется функцией F(x), которая для любого числа вероятности события , т.е.
Функция F(x) так же называется интегральной функцией распределения.
Линейная корреляция. Линейная регрессия.
Корреляция – это степень зависимости между двумя случайными величинами x и y. Для исследования подобных зависимостей пользуются конечным(выборочным) набором пар значений (
Линейная регрессия - используемая в статистике регрессионная модель переменной y от другой или нескольких других переменных x в линейной функции зависимости.
Эмпирическая функция распределения.
Эмпирической(статистической) функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения x частность события
Для нахождения значений эмпирической функции удобно записывать в виде , где n–объем выборки, число наблюдений, меньших
Доверительный интервал
Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала.
Интервал , накрывающий с вероятностью истинное значение параметра , называют доверительным интервалом, а вероятность -надежностью оценки, или доверительной вероятностью. Величина выбирается заранее, ее выбор зависит от конкретно решаемой задачи.
Генерaльная и выборочная совокупности
Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.
Выборочной совокупностью называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Число объектов(наблюдений) в совокупности , генеральной или выборочной, называется ее объемом. Обозначается соответственно, через N или n.
Статистическое распределение выборки
Перечень вариантов и соответствующих им частот или частостей называется статистическим распределением выборки, или статистическим рядом.
Записывается статистическое распределение в виде таблицы. Первая строка содержит варианты, а вторая – их частоты ni(или частостей Pi)
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
n |
1 |
2 |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения.