Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы к экзамену. (ОММ СЭП)
По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления). Т
В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа". Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.
Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.
Математическая модель — это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий.
Экономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.
Этапы экономико-математического моделирования – поэтапное описание экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей.
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.
2. Построение математической модели.
3. Математический анализ модели.
4. Подготовка исходной информации.
5. Численное решение.
6. Анализ численных результатов и их применение.
Важное место в развитии математического направления в экономике занимают работы советских ученых: Л. В. Канторовича, В. В. Новожилова, В. С. Немчинова, В. Леонтьева.
В 1936 г. В. Леонтьев опубликовал основы метода (модели) «затраты – выпуск». В. Леонтьеву хорошо были известны работы советских экономистов по балансу народного хозяйства за 1923-1924 гг., в основу которого были положены идеи схем воспроизводства К. Маркса. В качестве исходного момента В. Леонтьев использовал модель общего экономического равновесия Л. Вальраса, прежде всего идею технических коэффициентов. Формирование цен в рамках модели трактуется с позиций неоклассической теории стоимости. . Система цен в модели при ограничении только на один первичный фактор – труд – обеспечивает нулевую прибыль, прибавочная стоимость отсутствует, весь национальный доход реализуется только на заработную плату. При наличии ограничений и на основной капитал в структуре цены появляется норма процента. Трактовка модели и ее категорий ведется с позиции неоклассической теории производительности факторов производства при отсутствии взаимозаменяемости между ними.
Работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства» (Ленинград, 1939г.) положила начало новому направлению в математической экономии – методам линейного программирования, метода математического программирования. Канторович в результате анализа некоторых задач планирования производства сформулировал новый важный для экономики класс математических задач, получивших название задач линейного программирования. В линейном программировании рассматривается вопрос о поиске среди всех допустимых решений, удовлетворяющих системе линейных равенств или неравенств, наилучшего (оптимального) решения, доставляющего максимум (минимум) некоторому линейному критерию. Его работа «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» вышла двумя изданиями в 1959 г. и 1960 г. и была переведена на французский, английский, испанский и другие языки.
Работы В. В. Новожилова, в частности «Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании», обосновали решающую роль ценообразования, механизма распределения капиталовложений, согласования народнохозяйственных и хозрасчетных интересов для оптимизации всего общественного производства.
Работа В. С. Немчинова «Экономико-математический методы и модели» (1962) имела важное научное, учебное и методологическое значение для развития экономико-математических исследований в нашей стране.
Системный подход, как метод исследования в первую очередь, характеризуется тем, что предполагает рассмотрение объекта исследования как системы. Понятие система, в связи с этим, является ключевым при рассмотрении этого метода. Моделирование применяется в тех случаях, когда проведение реального эксперимента сопряжено с опасностью, высокими экономическими и временными затратами или неудобен в масштабе пространства и времени.
В силу многозначности понятия «модель» в науке и технике не существует единой классификации видов моделирования: классификацию можно проводить по характеру моделей, по характеру моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования (в технике, физических науках, кибернетике и т. д.).
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы. Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей).
3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации.
4. Подготовка исходной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.
При изучении многих социально-экономических процессов в качестве модели могут служить функции одной или нескольких переменных.
Производственной функцией y=f(x) называется функция, независимая переменная которой x-есть объем используемых ресурсов, а зависимая переменная y-значение объема выпускаемой продукции.
Для моделирования производственного процесса региона или страны пользуются производственной функцией Коба-Дугласа.
(где α1+α2=1; x1-объем используемых основных производственных фондов (ОПФ); x2 – затраты живого труда)
Функцией спроса (предложения) называется зависимость объема спроса (q) от цены (p) (). Если рассмотреть в одной системе координат кривые спроса (q=f(p), s=f(p) ), т о можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в условиях рынка.
Функция распределения дохода – зависимость числа лиц y, имеющих доход не менее x от величины дохода x.
Функция полезности – зависимость эффекта некоторого действия от уровня самого действия. В теории потребительского спроса значение имеют кривые безразличия и линии бюджетного ограничения.
Х0
У0
Функция издержек (дохода) – зависимость издержек производства C(q) (R(q)) от объема производства q.
Функция прибыли (-зависимость прибыли предприятия от объема производства q.
Функция Торнквиста – моделирующая связь между величиной дохода потребителя и величиной спроса потребителей x. Они имеют различный вид от вида спроса и величины дохода потребителей:
А) спрос на малоценные товары
Б) спрос на товары первой необходимости
В) спрос на товары второй необходимости
В экономике часто требуется найти:
1) оптимальное значение некоторого показателя
2) в каком направлении изменился некоторый показатель в зависимости от изменения другого показателя. При решении подобных задач широко используется дифференциальное исчисление.
Пусть q-количество продукции за время t. q=q(t) Тогда с экон. Зн. Производная q(t) представит собой производную труда в данное время.
Эластичность определяется с применение производной. Пусть дана функция y=f(x). Поставим вопрос о скорости изменения зависимой переменной от переменной x. Недостаток производной для получения ответа на этот вопрос состоит в том, что значение производной зависит от выбора системы единиц измерения. Поэтому в экономике изучается связь не абсолютных значений переменной, а связь их относительных процентных отношений.
Эластичность функции - Ex(y) – предел отношения приращения к функции y к относит. Приращению x при .
Эластичность функции показывает прибл. на сколько процентов изменилась функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%.
Эластичность спроса по цене, или ценовая эластичность спроса, показывает, насколько изменится в процентном отношении величина спроса на товар при изменении его цены на 1 %.
Эластичность спроса возрастает при наличии товаров-заменителей – чем больше заменителей, тем более эластичным является спрос, и понижается при повышенном спросе потребителя на данный товар, т. е. степень эластичности тем ниже, чем более необходим товар.
Если обозначить цену Р, а величину спроса Q, то показатель (коэффициент) ценовой эластичности спроса Ер равен:
показатель (коэффициент) ценовой эластичности спроса
где ΔQ - изменение величины спроса, %; Р – изменение цены, %; «Р» - в индексе означает, что эластичность рассматривается по цене.
Аналогично можно определить показатель эластичности по доходам или какой-то другой экономической величине.
Эластичность предложения - чувствительность величины предложения товаров к изменению цен на эти товары.
На эластичность предложения оказывают влияние: наличие или отсутствие резервов производства – если имеются резервы, то в краткосрочном периоде предложение эластично; наличие возможности хранить запасы готовой продукции – предложение эластично.
Эластичность предложения измеряется относительным (в процентах или долях) изменением величины предложения при изменении цены на 1 %.
Формула коэффициента ценовой эластичности предложения аналогична расчету коэффициента ценовой эластичности спроса. Различие лишь в том, что вместо величины спроса берется величина предложения:
коэффициент ценовой эластичности предложения
где Q0 u Q1 - предложение до и после изменения цены; Р0 и Р1 - цены до и после изменения; s - в индексе означает эластичность предложения.
В отличие от спроса, предложение менее связано с изменениями производственного процесса и более адаптируется к изменению цены.
Пусть функция y=f(t) есть производительность труда некоторого производства. Тогда с экономической точки зрения объем продукции Q, произведенной за промежуток времени (0;Т) будет равен . Однако в зависимости от решаемой задачи определенному интегралу можно придать и другой экономический смысл. Если например функция y=f(j) –это расходы на питание в зависимости от дохода j, то - это расходы на питание в течение некоторого промежутка времени.
В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).
Рассмотрим несколько примеров задач линейного программирования (ЗЛП).
Задача оптимального использования ресурсов
Фабрика имеет в своём распоряжении определённое количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырьё, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, например, ресурсы трёх видов: рабочая сила, сырьё и оборудование – имеются в количестве соответственно 80 (чел/дней), 480 (кг) и 130 (станко/ч). Фабрика может выпускать ковры четырёх видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в таблице.
Ресурсы Нормы расхода ресурсов на единицу изделия Наличие ресурсов
ковёр «Лужайка» ковёр «Силуэт» ковёр «Детский» ковёр «Дымка»
Труд 7 2 2 6 80
Сырьё 5 8 4 3 480
Оборудование 2 4 1 8 130
Цена (тыс. руб.) 3 4 3 1
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет максимальная общая стоимость продукции.
Обозначим через Х1, Х2, Х3, Х4 количество ковров каждого типа.
Экономико-математическая модель задачи.
Целевая функция – это выражение, которое необходимо максимизировать:
Ограничения по ресурсам
Задача о размещении производственных заказов.
Необходимо в планируемом периоде обеспечить производство 300 тыс. однородных новых изделий, которые могут выпускаться на четырёх филиалах предприятия. Для освоения этого нового вида изделий нужны определённые капительные вложения. Разработанные для каждого филиала предприятия проекты освоения нового вида изделия характеризуются величинами удельных капитальных вложений и себестоимостью единицы продукции в соответствии с таблицей.
|
Показатель |
Филиал предприятия |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Себестоимость производства изделия, руб. |
83 |
89 |
95 |
98 |
|
Удельные капиталовложения, руб. |
120 |
80 |
50 |
40 |
Себестоимость производства и удельные капиталовложения для каждого из филиалов условно приняты постоянными, т.е. потребность в капитальных вложениях и общие издержки будут изменяться пропорционально изменению объёмов производства изделий.
Предположим, что на все филиалы предприятие для освоения 300 тыс. новых изделий может выделить 18 млн. руб. Необходимо найти такой вариант распределения объёмов производства продукции и капитальных вложений по филиалам, при котором суммарная стоимость изделий будет минимальной.
Модель задачи.
Введём следующие обозначения:
i – номер филиала (i = 1,…,n; n = 4);
Xi – объём выпускаемой продукции на i-ом филиале предприятия;
Т – суммарная потребность в изделиях (Т = 300 тыс. шт);
К – выделяемые капиталовложения ( К = 18 млн. руб.);
Сi – себестоимость производства продукции на i-ом филиале предприятия;
ki – удельные капиталовложения на единицу продукции на i-ом филиале.
Экономико-математическая модель задачи в символах будет иметь вид:
С учётом имеющихся данных модель задачи имеет вид:
ограничения
Поиск решения – это надстройка Excel, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервис → Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо обратиться у панели управления Windows, щелкнуть на пиктограмме Установка и удаление программ и с помощью программы установки Excel (или Office) установить надстройку Поиск решения.
Для решения задачи необходимо:
Рассмотрим на примере задачи 2.1.2 технологию решения Задачи оптимального использования ресурсов.
Рис.1. Введена форма для ввода данных.
Рис.2. Данные введены.
На этом ввод зависимостей закончен.
Рис.3. Вводится функция для вычисления целевой функции.
Запуск Поиска решения
После выбора команд Сервис → Поиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.
В диалоговом окне Поиск решения есть три основных параметра:
Сначала нужно заполнить поле «Установить целевую ячейку». Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или же установить конкретное значение.
Второй важный параметр средства Поиск решения – это параметр Изменяя ячейки. Изменяемые ячейки – это те ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К изменяемым ячейкам предъявляется два основных требования: они не должны содержать формул, и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемых ячеек.
Третий параметр, который нужно вводить для Поиска решений – это Ограничения.
Ввести адреса искомых переменных:
Рис. 4. Ввод правых и левых частей ограничений.
На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введёнными условиями (рис.5).
Рис. 5. Введены все условия для решения задачи.
Ввод параметров для решения ЗЛП (рис. 6).
Рис. 6. Ввод параметров.
Рис. 7. Решение найдено.
Полученное решение означает, что максимальный доход 150 тыс. руб. фабрика может получить при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы труд и оборудование будут использованы полностью, а из 480 кг пряжи (ресурс сырьё) будет использовано 280 кг.
Создание отчёта по результатам поиска решения
Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчёта. Существует три типа таких отчётов:
Результаты (Answer). В отчёт включаются исходные и конечные значения целевой и влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.
Устойчивость (Sensitivity). Отчёт, содержащий сведения о чувствительности решения к малым изменениям в изменяемых ячейках или в формулах ограничений.
Пределы (Limits). Помимо исходных и конечных значений изменяемых и целевой ячеек в отчёт включаются верхние и нижние границы значений, которые могут принимать влияющие ячейки при соблюдении ограничений.
В отчёте по результатам содержатся оптимальные значения переменных X1, X2, X3, X4, которые соответственно равны 0, 30, 10, 0, значение целевой функции – 150, а также левые части ограничений.
Под задачей целочисленного программирования (ЦП) понимается задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать целые значения. В том случае, когда ограничения и целевая функция задачи представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. В противном случае, когда хотя бы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной задачей нелинейного программирования. часто задачу ЦП решают без учета условий целочисленности переменных, а затем округляют полученное решение с избытком или недостатком. Это не гарантирует получение оптимального целочисленного решения задачи. Поэтому для нахождения оптимального решения целочисленных задач применяют специальные методы, в которых учитывается, что число возможных решений любой целочисленной задачи является конечным. Следовательно, можно рассмотреть все возможные сочетания целочисленных переменных и проверить, удовлетворяют ли они ограничениям, и из числа удовлетворяющих ограничениям, выбрать наилучшее с точки зрения целевой функции. Такой метод называют методом полного перебора. Его трудоемкость с ростом числа переменных и расширением области граничных условий значительно возрастает. Поэтому для реальных задач он неприменим.
На практике для решения реальных задач следует использовать методы, в котором все возможные альтернативы не рассматриваются. Наиболее распространенным является метод ветвей и границ.
Алгоритм метода ветвей и границ представляет собой эффективную процедуру перебора всех целочисленных допустимых решений.
1. Решаем сформулированную задачу как задачу ЛП (обозначим ЛП-1), рассматривая все ее переменные как непрерывные. Пусть W1 - оптимальное значение ее целевой функции. Допустим в оптимальном решении ЛП-1 некоторые целочисленные переменные принимают дробные значения. Тогда оптимальное решение исходной задачи не совпадает с оптимальным решением ЛП-1. В этом случае W1 - верхняя граница оптимального значения W исходной задачи.
Очевидно, что переменные x1 и x2 должны быть целочислены.
2. Производим ветвление по одной из целочисленных переменных, имеющих дробное значение в оптимальном решении ЛП-1. Выбор переменной, по которой производим ветвление, осуществляется по ряду правил:
В рассматриваемой целочисленной версии в качестве переменной, по которой будет вестись ветвление, следует рассматривать x1, т.к. коэффициент стоимости при этой переменной максимален.
3. Пусть ветвление происходит по xi, дробное значение которой в ЛП-1 равно b i. Далее рассматриваются уже две новые задачи ЛП-2 и ЛП-3, которые образуются путем введения двух дополнительных ограничений xiЈ a i , xi і g i, где a i - наибольшее целое, не превосходящее b i, g i - наименьшее целое, большее b i. Допустим, оптимальные значения ЛП-2 и ЛП-3 содержат дробные значения целочисленных переменных и поэтому не являются допустимыми.
Для рассматриваемого примера b 1=3,6, a 1=3, g 1=4.
4. Производим ветвление в вершине 2 или 3, вводя новое ограничение. Выбор вершины (задачи ЛП) для дальнейшего ветвления осуществляется с помощью специальных правил:
5. Процесс ветвления и решения задач ЛП продолжаем до получения целочисленного решения одной из задач ЛП. Значение W в полученной точке представляет собой нижнюю границуоптимального значения ЦФ исходной задачи ЦП. На этом этапе все вершины (задачи ЛП), для которых оптимальное значение W не превосходит полученной нижней границы ("прозондированные" вершины). Вершина является прозондированной в следующих случаях:
Ветвление происходит до тех пор, пока остается хотя бы одна непрозондированная вершина. Прозондированная вершина с наилучшим W дает оптимальное решение исходной задачи ЦП.
Оптимальное решение - W=32,5 млн. руб.; x1=4; x2=5.
Под задачей дискретного программирования (ДП) понимается целочисленная задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать не любые целые значения.
Особый интерес к задачам ДП вызван тем, что во многих практических задачах необходимо находить целочисленное решение ввиду дискретности ряда значений искомых переменных. Например, мебельная фабрика выпускает диваны, кресла и стулья. Требуется определить, сколько можно изготовить спинок диванов, подлокотников кресел и ножек стульев, если для их изготовления требуются заданные ресурсы, чтобы доход был максимален. При этом следует иметь ввиду, что выпуск спинок может принимать любое целое значение, подлокотники изготавливаются парами, а ножки должны быть кратными четырем.
Рассмотренную задачу распределения ресурсов с учетом требования дискретного значения переменных в общем виде можно записать так:
где
di1, di2, ..., dik - дискретные значения, которые может принимать переменная xi.
d i =
Данная постановка отличается от задачи распределения ресурсов линейного программирования
появлением булевых переменных и увеличением числа ограничений. На практике к задачам с булевыми переменными можно свести значительное число самых различных задач. Там, где есть варианты, из которых надо выбирать, задачу можно решать с помощью булевых переменных.
Выделяют два метода решения задач с булевыми переменными:
Транспортная задача является одной из наиболее распространённых задач линейного программирования и находит широкое практическое приложение.
Постановка транспортной задачи. Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у k поставщиков Аi в количестве аi (i = 1,…,k) единиц, необходимо доставить n потребителям Bj в количестве bj (j=1, …, n) ед. Известна стоимость сij перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю.
Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы, полностью удовлетворить потребности и имеющий минимальную стоимость.
Сформулируем экономико-математическую модель транспортной задачи. Обозначим через xij количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю. Так как от i-го поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке xij единиц груза, то стоимость перевозки составит сij xij .
Стоимость всего плана выразится двойной суммой
Систему ограничений получаем из следующих условий задачи:
а) все грузы должны быть перевезены, т.е.
,
б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е.
Таким образом, математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид: найти минимальное значение линейной функции
при ограничениях
(*)
В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е.
Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е. выполняется условие (2.4.5), называется закрытой моделью; в противном случае – открытой. Для открытой модели может быть два случая:
а) суммарные запасы превышают суммарные потребности
б) суммарные потребности превышают суммарные запасы
Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений.
Найти минимальное значение линейной функции
при ограничениях
(случай а)
(случай б)
Открытая модель решается приведением к закрытой модели.
В случай а, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель Bn+1, потребность которого
В случае б, когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Ak+1, запасы которого
Как стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика полагаются равными нулю, так кА груз в обоих случаях не перевозится.
Транспортная задача имеет n+k уравнений с k∙n неизвестными.
Матрицу Х=(xij)k,n, удовлетворяющую условиям (*) называют планом перевозок транспортной задачи (xij – перевозками).
План Х*, при котором целевая функция обращается в минимум, называется оптимальным.
Решение транспортной задачи с помощью средства Excel «Поиск решения»
Исходные данные транспортной задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза (cij), слева указаны мощности поставщиков (ai), а сверху – мощности потребителей (bj). Найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями (xij).
|
Мощности поставщиков |
Мощности потребителей |
|||
|
250 |
100 |
150 |
50 |
|
|
80 |
6 |
6 |
1 |
4 |
|
320 |
8 |
30 |
6 |
5 |
|
100 |
5 |
4 |
3 |
30 |
|
50 |
9 |
9 |
9 |
9 |
В данной задаче суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е.
Таким образом, транспортная задача является закрытой.
Ввод условий задачи состоит из следующих основных шагов:
Изменяемые ячейки В3:Е6. В эти ячейки будет записан оптимальный план перевозок - xij.
Ввести исходные данные задачи (рис.8).
В ячейку А3 ввести формулу =СУММ(В3:Е3). Скопировать её в ячейки А4, А5, А6.
В ячейку В7 ввести формулу =СУММ(В3:В6). Скопировать её в ячейки С7, D7, E7.
Выражение для вычисления значения целевой функции в ячейке В15 получено с помощью функции СУММПРОИЗВ(В3:Е6; В10:Е13).
После вызова Поиска решения курсор подвести в поле «Установить целевую ячейку» и ввести адрес: В15. Ввести направление целевой функции «минимальному значению». Поместить курсор в поле «Изменяя ячейки». Ввести адреса изменяемых ячеек В3:Е6. Далее следует добавить ограничения.
Рис. 8. Создание формы для ввода условий задачи.
Рис. 9. Введены зависимости из математической модели.
Все грузы должны быть перевезены, т.е.
Все потребности должны быть удовлетворены, т.е.
После ввода последнего ограничения вместо добавить вести ОК. на экране появится окно Поиск решения с введёнными ограничениями (см. рис. 9).
Решение задачи.
Решение задачи производится сразу же после ввода данных, когда на экране находится окно Поиск решения. С помощью окна Параметры можно вводить условия для решения оптимизационных задач. В нашей задаче следует установить флажок «неотрицательные значения» и флажок «линейная модель» (рис. 10). Нажать Ок, затем Выполнить.
Рис. 10. Установка параметров.
На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения и само решение. (рис.11)
Рис. 11. оптимальный план перевозок.
В результате решения получен оптимальный план перевозок:
|
Матрица перевозок (изменяемые ячейки) |
||||
|
80 320 100 50 |
0 200 0 50 |
0 0 100 2.13Е-14 |
80 70 0 0 |
0 50 0 0 |
|
550 |
250 |
100 |
150 |
50 |
Х13 = 80 ед. груза следует перевезти от 1-го поставщика 3-му потребителю;
Х21 = 200 ед. груза следует перевезти от 2-го поставщика 1-му потребителю;
Х23 = 80 ед. груза следует перевезти от 2-го поставщика 3-му потребителю;
Х24 = 50 ед. груза следует перевезти от 2-го поставщика 4-му потребителю;
Х32 = 100 ед. груза следует перевезти от 3-го поставщика 2-му потребителю;
Х41 = 50 ед. груза следует перевезти от 4-го поставщика 1-му потребителю;
Х42 = 0 ед. груза следует перевезти от 4-го поставщика 2-му потребителю.
Общая стоимость перевозок равна 3200.
Модель управления запасами используется для определения времени размещения заказов на ресурсы и их количества, а также массы готовой продукции на складах. Любая организация должна поддерживать некоторый уровень запасов во избежание задержек на производстве и в сбыте.
^ Цель данной модели – сведение к минимуму отрицательных последствий накопления запасов, что выражается в определённых издержках. Эти издержки бывают трех основных видов: на размещение заказов, на хранение, а также потери, связанные с недостаточным уровнем запасов. В этом случае продажа готовой продукции или предоставление обслуживания становятся невозможными, а также возникают потери от простоя производственных линий, в частности, в связи с необходимостью оплаты труда работников, хотя они не работают в данный момент.
Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь, обуславливаемых их нехваткой. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запасов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем “бумажной работы”. Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками типа расходов на хранение, перегрузку, выплату процентов, затрат на страхование, потерь от порчи, воровства и т.д.
Простейшей моделью управления запасами является однопродуктовая статическая модель. В ней спрос принимается постоянным во времени, а пополнение запаса - мгновенным. В данной модели предполагается отсутствие дефицита, а поэтому рассматривается лишь текущий запас, уровень которого колеблется от максимального, равного объему партии в момент ее поступления, до минимального, равного нулю.
Оптимизация текущего запаса заключается в выборе наиболее экономичного размера партии (заказа). При этом рассматриваются преимущества и недостатки поступления поставки потребителю крупными или мелкими партиями.
Для определения оптимального размера партии поставки все затраты, связанные с материально-техническим снабжением потребителя, следует разделить на две группы:
а) постоянные транспортно-заготовительные расходы в расчете на одну партию поставки (один заказ) продукции;
б) переменные затраты на хранение единицы продукции в запасе.
В некоторых случаях, например, когда предприятие одновременно является производителем и потребителем изделий, запасы пополняются постепенно, а не мгновенно. То есть, в данном случае одна часть производственной системы выполняет функцию поставщика для другой части этой системы, выступающей в роли потребителя.
Если темпы производства и потребления одинаковы, то запасы создаваться вообще не будут, поскольку весь объем выпуска сразу же используется. В этом случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп производства превышает темп потребления.
График движения запасов в такой системе будет иметь вид, соответствующий графику, представленному на рисунке 4.12. Приведем обозначения необходимых для дальнейшего анализа величин:
q - объем производимой партии, шт.;
- интенсивность потребления, шт./ед. времени;
- темп производства, шт./ед. времени; соответственно, - - темп прироста запасов (шт./ед. времени), на графике - тангенс соответствующего угла;
Zmax - максимальный уровень запасов;
b - расходы на хранение единицы продукции в единицу времени, ед. стоимости;
c0 - затраты на пуско-наладочные работы, ед. стоимости;
- продолжительность пуско-наладочных работ, иначе время упреждения заказа, ед. времени.
Рисунок 4.12 – Движение запасов в модели с постепенным пополнением
Из графика видно, что изделия производятся в течение только части цикла, потому что темп производства выше темпа потребления; потребление же происходит на протяжении всего цикла. Во время производственной стадии цикла создаются запасы. Их уровень равен разнице между уровнем производства и уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень запасов будет повышаться. Когда производство прекращается, уровень запасов начинает снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максимальным в момент завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет исчерпан, производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.
Когда компания сама производит изделия, то у нее нет как таковых расходов на заказ. Однако для каждой производственной партии существуют расходы на подготовку - это стоимость подготовки оборудования к данному производственному процессу: наладка, замена инструмента и т.п. По иному такие расходы называются затратами на пуско-наладочные работы. Стоимость подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не зависит от размера партии. Аналогично и использование этих величин при расчетах.
Перейдем к определению оптимальных параметров рассматриваемой модели. Для этого используем прием, уже примененный нами в разделе 6.1: составим выражение, показывающее зависимость затрат V от параметров модели, отыщем производную и приравняем ее нулю.
На этот раз включим в общие расходы всего два вида издержек: затраты на проведение пуско-наладочных работ и затраты на хранение продукции. Расходы, пропорциональные объему партии (компонент, включающий величину c1), в функцию включать не будем. Во-первых, как мы видели выше, это слагаемое никак не влияет на итоговые выражения для оптимальных параметров, во-вторых, в условиях, когда предприятие одновременно является и производителем, и потребителем продукции, такие затраты по сути не связаны с функционированием системы хранения запасов.
Итак, суммарные затраты V(t) за период времени [0,t]:
|
V(t) = c0n(t) + b∙Zср∙t → min. |
Используя соотношениe (4.6) и переходя к затратам в единицу времени (для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:
|
V = c0∙ + b∙ → min. |
Выразим Zmax через q (объем производственной партии). Это легко сделать, используя график движения запаса, представленный на рисунке 4.12, а именно, рассматривая некоторые треугольники и используя простейшие тригонометрические соотношения:
|
Zmax = ( - ), |
откуда:
|
V = c0∙ + ∙( - ) → min. |
Приравняем нулю производную:
Выразим q:
|
(4.12) |
Выражение (4.12) используется для определения оптимального размера партии с модели с постепенным пополнением запаса.
Оптимальное значение "точки заказа" S* в этом случае, как и для однопродуктовой статической модели, находится из соотношения (4.9):
|
S* = . |
"Точка заказа" в данном случае представляет собой уровень запаса, при котором следует начать пуско-наладочные работы.
Определим метод имитационного моделирования в общем виде как экспериментальный метод исследования реальной системы по ее имитационной модели, который сочетает особенности экспериментального подхода и специфические условия использования вычислительной техники.
В этом определении подчеркивается, что имитационное моделирование является машинным методом моделирования благодаря развитию информационных технологий, что привело к появлению этого вида компьютерного моделирования. В определении также акцентируется внимание на экспериментальной природе имитации, применяется имитационный метод исследования (осуществляется эксперимент с моделью). В имитационном моделировании важную роль играет не только проведение, но и планирование эксперимента на модели. Однако это определение не проясняет, что собой представляет сама имитационная модель.
В процессе имитационного моделирования (рис. 2.1 ниже в статье) исследователь имеет дело с четырьмя основными элементами:
• реальная система;
• логико-математическая модель моделируемого объекта;
• имитационная (машинная) модель;
• ЭВМ, на которой осуществляется имитация – направленный вычислительный эксперимент.
Исследователь изучает реальную систему, разрабатывает логико-математическую модель реальной системы. Имитационный характер исследования предполагает наличие логико - или логико-математических моделей, описываемых изучаемый процесс.
Выше, реальная система определялась как совокупность взаимодействующих элементов, функционирующих во времени.
Составной характер сложной системы описывает представление ее модели в виде трех множеств:
A, S, T, где
А – множество элементов (в их число включается и внешняя среда);
S – множество допустимых связей между элементами (структура модели);
Т – множество рассматриваемых моментов времени.
Особенностью имитационного моделирования является то, что имитационная модель позволяет воспроизводить моделируемые объекты:
• с сохранением их логической структуры;
• с сохранением поведенческих свойств (последовательности чередования во времени событий, происходящих в системе), т.е. динамики взаимодействий.
При имитационном моделировании структура моделируемой системы адекватно отображается в модели, а процессы ее функционирования проигрываются (имитируются) на построенной модели. Поэтому построение имитационной модели заключается в описании структуры и процессов функционирования моделируемого объекта или системы.
В описании имитационной модели выделяют две составляющие:
• статическое описание системы, которое по-существу является описанием ее структуры. При разработке имитационной модели необходимо применять структурный анализ моделируемых процессов.
• динамическое описание системы, или описание динамики взаимодействий ее элементов. При его составлении фактически требуется построение функциональной модели моделируемых динамических процессов.
Идея метода, с точки зрения его программной реализации, состоит в следующем. Что, если элементам системы поставить в соответствие некоторые программные компоненты, а состояния этих элементов описывать с помощью переменных состояния. Элементы, по определению, взаимодействуют (или обмениваются информацией), значит, может быть реализован алгоритм функционирования отдельных элементов, т.е., моделирующий алгоритм. Кроме того, элементы существуют во времени, значит надо задать алгоритм изменения переменных состояний. Динамика в имитационных моделях реализуется с помощью механизма продвижения модельного времени.
Отличительной особенностью метода имитационного моделирования является возможность описания и воспроизведения взаимодействия между различными элементами системы.
Таким образом, чтобы составить имитационную модель, надо:
• представить реальную систему (процесс), как совокупность взаимодействующих элементов;
• алгоритмически описать функционирование отдельных элементов;
• описать процесс взаимодействия различных элементов между собой и с внешней средой.
Ключевым моментом в имитационном моделировании является выделение и описание состояний системы. Система характеризуется набором переменных состояний, каждая комбинация которых описывает конкретное состояние. Следовательно, путем изменения значений этих переменных можно имитировать переход системы из одного состояния в другое. Таким образом, имитационное моделирование – это представле-ние динамического поведения системы посредством продвижения ее от одного состояния к другому в соответствии с определенными правилами. Эти изменения состояний могут происходить либо непрерывно, либо в дискретные моменты времени. Имитационное моделирование есть динамическое отражение изменений состояния системы с течением времени.
При имитационном моделировании логическая структура реальной системы отображается в модели, а также имитируется динамика взаимодействий подсистем в моделируемой системе.
Для описания динамики моделируемых процессов в имитационном моделировании реализован механизм задания модельного времени. Этот механизм встроен в управляющие программы системы моделирования.
Если бы на ЭВМ имитировалось поведение одной компоненты системы, то выполнение действий в имитационной модели можно было бы осуществить последовательно, по пересчету временной координаты.
Чтобы обеспечить имитацию параллельных событий реальной системы вводят некоторую глобальную переменную (обеспечивающую синхронизацию всех событий в системе) t0 , которую называют модельным (или системным) временем.
ABC-анализ — метод, позволяющий классифицировать ресурсы фирмы по степени их важности. Этот анализ является одним из методов рационализации и может применяться в сфере деятельности любого предприятия.
АВС–анализ это инструмент, который позволяет изучить товарный ассортимент, определить рейтинг товаров по указанным критериям и выявить ту часть ассортимента, которая обеспечивает максимальный эффект.
В его основе лежит принцип Парето — 20 % всех товаров дают 80 % оборота. Идея метода АВС анализа строится на основании принципа Парето: «за большинство возможных результатов отвечает относительно небольшое число причин», в настоящий момент более известного как «правило - 20 на 80».
XYZ–анализ - это инструмент, позволяющий разделить продукцию по степени стабильности продаж и уровня колебаний потребления.
Метод данного анализа заключается в расчете каждой товарной позиции коэффициента вариации или колебания расхода. Этот коэффициент показывает отклонение расхода от среднего значения и выражается в процентах.
В качестве параметра могут быть: объем продаж (количество), сумма продаж, сумма реализованной торговой наценки. Результатом XYZ –анализа является группировка товаров по трем категориям, исходя из стабильности их поведения:
• Категория Х, в которую попадают товары с колебанием продаж от 5% до 15%. Это товары, характеризующиеся стабильной величиной потребления и высокой степенью прогнозирования.
• Категория Y, в которую попадают товары с колебанием продаж от 15% до 50%. Это товары, характеризующиеся сезонными колебаниями и средними возможностями их прогнозирования.
• Категория Z, в которую попадают товары с колебанием продаж от 50% и выше. Это товары с нерегулярным потреблением и непредсказуемыми колебаниями, поэтому, спрогнозировать их спрос невозможно.
Совмещенный АВС/XYZ анализ
Сочетание АВС и XYZ анализов выявляет безусловных лидеров (группа АХ) и аутсайдеров (СZ). Оба метода хорошо дополняют друг друга. Если АВС-анализ позволяет оценить вклад каждого продукта в структуру сбыта, то XYZ–анализ позволяет оценить скачки сбыта и его нестабильность. Рекомендуется делать совмещенный анализ, где в АВС-анализе используются два параметра - объем продаж и прибыль.
Всего при проведении такого многомерного совмещенного анализа получается 27 групп товаров. Результаты такого анализа можно использовать для оптимизации ассортимента, оценки рентабельности товарных групп, оценки логистики, оценки клиентов оптовой компании.
Преимущества совмещенного АВС и XYZ – анализов
Использование совмещенного АВС и XYZ-анализов имеет ряд значительных преимуществ, к которым можно отнести следующие:
- повышение эффективности системы управления товарными ресурсами;
- повышение доли высокоприбыльных товаров без нарушения принципов ассортиментной политики;
- выявление ключевых товаров и причин, влияющих на количество товаров, хранящихся на складе;
- перераспределение усилий персонала в зависимости от квалификации и имеющегося опыта.
Формирование показателей ABC- И XYZ-анализов
Перед тем как совместить показатели ABC- И XYZ-анализов, необходимо провести ABC-анализ товаров по сумме полученного дохода или по количеству реализованной продукции за определенный учетный период, например, за год. Затем осуществляется XYZ-анализ этих товаров за этот же период, например, по количеству ежемесячной реализации за год. После этого результаты совмещаются. При совмещении определяется девять групп товаров:
|
AX |
BX |
CX |
|
AY |
BY |
CY |
|
AZ |
BZ |
CZ |
Выделение девяти групп товаров при совмещенном АВС и XYZ-анализе
1) Товары групп А и В обеспечивают основной товарооборот компании, поэтому необходимо обеспечивать постоянное их наличие. Как правило, по товарам группы А создается избыточный страховой запас, а по товарам группы В - достаточный. Использование XYZ-анализа позволяет точнее настроить систему управления товарными ресурсами и за счет этого снизить суммарный товарный запас.
2) Товары группы АХ и ВХ отличает высокий товарооборот и стабильность. Необходимо обеспечить постоянное наличие товара, но для этого не нужно создавать избыточный страховой запас. Расход товаров этой группы стабилен и хорошо прогнозируется.
3) Товары группы AY и BY при высоком товарообороте имеют недостаточную стабильность расхода, и, как следствие, для того чтобы обеспечить постоянное наличие, нужно увеличить страховой запас.
4) Товары группы AZ и BZ при высоком товарообороте отличаются низкой прогнозируемостью расхода. Попытка обеспечить гарантированное наличие по всем товарам данной группы только за счет избыточного страхового товарного запаса приведет к тому, что средний товарный запас компании значительно увеличится.
Поэтому по товарам данной группы следует пересмотреть систему заказов:
- перевести часть товаров на систему заказов с постоянной суммой (объемом) заказа;
- обеспечить по части товаров более частые поставки;
- выбрать поставщиков, расположенных близко к складу, тем самым снизив сумму страхового товарного запаса;
- повысить периодичность контроля;
- поручить работу с данной группой товаров самому опытному менеджеру компании и т. п.
5) Товары группы С составляют до 80% ассортимента компании. Применение XYZ-анализа позволяет сильно сократить время, которое менеджер тратит на управление и контроль над товарами данной группы
6) По товарам группы СХ можно использовать систему заказов с постоянной периодичностью и снизить страховой товарный запас.
7) По товарам группы CY можно перейти на систему с постоянной суммой (объемом) заказа, но при этом формировать страховой запас, исходя из имеющихся у компании финансовых возможностей.
8) В группу товаров CZ попадают все новые товары, товары спонтанного спроса, поставляемые под заказ и т. п. Часть этих товаров можно безболезненно выводить из ассортимента, а другую часть нужно регулярно контролировать, так как именно из товаров этой группы возникают неликвидные или труднореализуемые товарные запасы, от которых компания несет потери. Выводить из ассортимента необходимо остатки товаров, взятых под заказ или уже не выпускающихся, то есть товаров, обычно относящихся к категории стоков.
Широко используется в нормативном технологическом прогнозировании. Наибольшую известность приобрел метод критического пути, основанный на использовании сетевых графиков, отражающих различные стадии каждой части проекта, и анализирующий их с целью выбора оптимального пути между начальной и конечной стадиями. В качестве критерия выступают издержки или сроки. Сетевое моделирование использует в качестве вспомогательного инструмента дерево целей.
Сетевая модель представляет собой план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ (операций), заданного в специфической форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком.
Сетевой график - это конечный плоский ориентированный граф без контуров, дуги которого имеют одну или несколько числовых характеристик.
Отличительной особенностью сетевой модели является четкое определение всех временных взаимосвязей предстоящих работ.
В сетевом графике имеются два основных элемента: работа и событие. Работы соответствуют дугам графа, а события - вершинам. Работами называются любые процессы, действия, приводящие к достижению определенных результатов (событий). Продолжительность выполнения работ измеряется в единицах времени (часы, дни, недели, декады, месяцы и т.д.). Работы могут иметь и такие количественные показатели, как трудоемкость, стоимость, материальны ресурсы для их выполнения.
В сетевом графике может несколько разновидностей работ: действительная работа, ожидание и фиктивная работа (зависимость). Действительной называется работа, требующая затрат времени и ресурсов (например, сборка изделия, испытание прибора и т.п.). Каждая действительная работа должна быть конкретной, четко описанной и иметь ответственного исполнителя. Ожиданием называется работа, которая требует затрат времени, но не требует затрат ресурсов (например, процесс отвердения бетона, процесс сушки после покраски и т.п.). Фиктивная работа отражает логическую связь между работами и не требует затрат времени и ресурсов. Фиктивная работа указывает, что возможность начала одной работы непосредственно зависит от результатов другой (например, передача чертежей из конструкторского бюро в цех для изготовления определенных деталей и узлов). Действительные работы и ожидания изображаются на графике сплошными стрелками, фиктивные работы - пунктирными. Количественные показатели (время, стоимость и т.д.), характеризующие работу, проставляются над стрелками (рис.10.1). Продолжительность фиктивной работы принимается равной нулю.
Событием называется результат произведенной работы (работ): узел спроектирован, экзамен сдан, закладка фундамента окончена и т.п. Событие представляет собой только момент свершения работы (работ) и может быть отправным моментом для начала последующих работ. Отсюда двойственный характер события: для всех непосредственно предшествующих ему работ оно является конечным, а для непосредственно следующих за ним - начальным. При этом предполагается, что событие не имеет продолжительности и свершается как бы мгновенно. Поэтому каждое событие, включаемое в сетевую модель, должно быть полно, точно и всесторонне определено, его формулировка должна включать в себя результат всех непосредственно предшествующих ему работ. События изображаются кружками, внутри кружка - номер события (рис.1).
1
3 7
6
5 8
3 4
6 4 9 9
1 2 5 10 11
3
6 3 5
4 7 9
0
4
6
Рис.1
Говорят, что событие произошло, если все работы, которые отображаются дугами, входящими в соответствующую вершину, полностью завершены. Смысл графика состоит, прежде всего в том, чтобы указать все технологические связи, определяющие возможные последовательности работ. Общепринято работу обозначать номерами событий, соответствующих её началу и концу. Из рис.1 видно, что работа (3,7) может быть начата лишь после окончания работы (1,3), а работа (5,10) - лишь после окончания работ (2,5) и (4,5). Роль фиктивных работ будет показана ниже.
На сетевом графике выделяются два события: начальное и конечное. Начальное событие характеризуется тем, что в него не входит ни одна дуга - оно соответствует началу работ над проектом. Конечное событие характеризуется тем, что из него не выходит ни одной дуги - оно соответствует завершению всех работ (достижению поставленной цели).
Сетевые графики составляются на начальном этапе планирования. Вначале планируемый процесс разбивается на отдельные работы, составляется перечень работ и событий, продумываются их логические связи и последовательность выполнения, работы закрепляются за ответственными исполнителями. С их помощью оценивается длительность каждой работы. Затем составляется (сшивается) сетевой график. После упорядочения сетевого графика рассчитываются параметры событий и работ, определяются резервы времени и критический путь. Наконец, проводится анализ и оптимизация сетевого графика, который при необходимости вычерчивается заново с пересчетом параметров событий и работ.
При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.
a) Рис.2 б)
5. В сети не должно быть (кроме начального) «хвостовых» событий, т.е. событий, в которые не входит ни одна работа (событие 3 - на рис. 3а). Здесь работы, предшествующие событию 3, не предусмотрены. Поэтому событие 3 не может свершиться, а, следовательно, не может быть выполнена и следующая за ним работа (3,5). Обнаружив в сети такие события, необходимо определить исполнителей предшествующих им работ и включить эти работы в сеть.
2 5 2 5
1 3 7 1 3 7
4 6 4 6
а Рис.3 б
6. В сети не должно быть (кроме конечного) «тупиковых» событий, т.е. событий из которых не выходит ни одна работа (рис.3б). Здесь либо работа (2,3) не нужна и ее необходимо удалить, либо не замечена необходимость определенной работы, следующей за событием 3 для свершения какого-либо последующего события. В таких случаях необходимо тщательное изучение взаимосвязей событий и работ для исправления возникшего недоразумения.
7. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие. Если в составленной сети это не так (рис.4а), то добиться желаемого можно путем введения фиктивных событий и работ (рис.4б).
1 4 1 4
3 0 3 6
2 5 2 5
a) Рис.4 б)
Фиктивные работы и события необходимо вводить и в ряде других случаев. Один из них - отражение зависимости событий, не связанных с реальными работами. Например, работы А и Б (рис.5а) могут выполняться независимо друг от друга, но по условиям производства работа Б не может начаться раньше, чем окончится работа А. Это обстоятельство требует введения фиктивной работы С.
Другой случай - неполная зависимость работ. Например, работа С требует для своего начала завершения работ А и Б, но работа Д связана только с работой Б, а от работы А не зависит. Тогда требуется введение фиктивной работы Ф и фиктивного события 3»
Кроме того, фиктивные работы могут вводиться для отражения реальных отсрочек и ожидания. В отличие от предыдущих случаев здесь фиктивная работа характеризуется протяженностью во времени.
Система массового обслуживания (СМО) — система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на
системы с потерями, в которых требования, не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора, теряются;
системы с ожиданием, в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований, при этом ожидающие требования образуют очередь;
системы с накопителем конечной ёмкости (ожиданием и ограничениями), в которых длина очереди не может превышать ёмкости накопителя; при этом требование, поступающее в переполненную СМО (отсутствуют свободные места для ожидания), теряется.
Выбор требования из очереди на обслуживание производится с помощью так называемой дисциплины обслуживания. Их примерами являются FCFS/FIFO (пришедший первым обслуживается первым), LCFS/LIFO (пришедший последним обслуживается первым), random (англ.)(случайный выбор). В системах с ожиданием накопитель в общем случае может иметь сложную структуру.
Лучшей иллюстрацией области применения имитационного моделирования являются системы массового обслуживания. В терминах систем массового обслуживания описываются многие реальные системы: вычислительные системы, узлы сетей связи, магазины, производственные участки – любые системы, где возможны очереди и отказы в обслуживании. Системы массового обслуживания (СМО) отличаются высокой наглядностью отображения моделируемых объектов и вследствие этого сравнительной простотой перехода от реальных объектов к соответствующим СМО.
Основная цель разработки автоматизированной системы имитационного моделирования СМО – реализация современных подходов к проведению имитационного моделирования и обеспечение простой и доступной среды для проектирования имитационных моделей СМО.
Программа обеспечивает поддержку основных этапов имитационного моделирования:
- проектирование концептуальной схемы модели;
- настройка свойств отдельных элементов модели;
- планирование эксперимента с построенной моделью;
- запуск и выполнение эксперимента;
- оценка и интерпретация результатов эксперимента.
Конструирование модели СМО осуществляется в соответствии с принципами объектно-ориентированного проектирования. Для этого каждый элемент модели определяется, как некоторый объект, описывается каждая связь между элементами, определяются свойства объектов и связей. В целях формализации представления модели концептуальная структура СМО задается в виде ориентированного графа, вершины которого представляют множество возможных узлов обслуживания. Ниже приведены четыре типа узлов, реализованных в комплексе:
- генератор предназначен для моделирования входящего потока заявок. Он создает новые заявки и передает их в другие узлы модели;
- канал состоит из одного или нескольких обслуживающих устройств, которые работают параллельно и осуществляют обслуживание заявок;
- накопитель служит для организации очереди, в которой заявки ожидают обслуживания;
- сток предназначен для уничтожения заявок. Заявка, попавшая в сток, покидает систему.
Процесс создания концептуальной структуры модели состоит в определении узлов сети обслуживания и установлении связей между ними. При этом должны быть учтены следующие требования:
- модель обязательно должна содержать в своем составе хотя бы один генератор заявок;
- модель обязательно должна содержать в своем составе хотя бы один сток;
- генератор заявок не может быть приемником заявок ни для какого узла сети;
- сток не может быть источником заявок ни для какого узла сети.
Параметрическая настройка отдельных элементов сети состоит в определении свойств узлов и их связей. Каждый объект модели имеет определенный набор функций и параметров, которые в совокупности описывают логику и закономерности его поведения. Параметры узлов могут быть как общими для всех типов узлов (уникальное наименование, дисциплина выбора приемника), так и специфическими, определяемыми типом узла.
Процесс моделирования СМО представляет собой последовательность изменения состояния узлов сети, которые определенным образом реагируют на события и осуществляют передачу заявок в другие узлы модели, выполняя расчет своих статистических характеристик.
Разрабатываемый программный комплекс предназначен для функционирования под управлением операционных систем Windows и активного использования удобных диалоговых средств, предоставляемых графическим интерфейсом этих операционных систем.
Пользователь автоматизированной системы моделирования располагает возможностями абсолютного контроля над своей моделью, может варьировать по желанию любой параметр и судить о поведении модели по наблюдаемым результатам.
Использование среды моделирования позволяет избежать программирования имитационной модели в ручную, существенно повысить скорость создания моделей, легко модифицировать их в дальнейшем. Таким образом, пользователь получает возможность рассмотреть и проанализировать несколько моделей различных СМО и выявить специфику моделирования СМО в различных прикладных областях. С использованием среды моделирования можно быстро оценить адекватность той или иной программы, реализующей имитационную модель, что практически невозможно сделать на интуитивном уровне или с помощью аналитических методов.
Универсальность и гибкость моделей СМО обуславливает широкую область применения данного программного обеспечения: исследование производственных бизнес-процессов, анализ функционирования сетей связи, транспортных систем, различных организаций сферы обслуживания и т.д. Дальнейшее развитие данной системы моделирования связано с решением задач автоматического поиска оптимальных параметров исследуемых объектов и использование имитационных моделей в составе математического обеспечения автоматизированных систем обработки информации и управления.
В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли). [1]
Рассмотрим n стран S1,S2,...Sn, национальный доход каждой из которых равен соответственно x1,x2,...xn. Обозначим коэффициентами aIJ часть национального дохода, которую страна SJ тратит на покупку товаров у страны SI. Считаем, что весь национальный доход тратиться на закупку товаров либо внутри страны, либо у других стран.
Тогда ,приняв национальный доход за единицу, для частей этого дохода имеющихся у страны j имеем равенство
(j=1,2...n) (1)
Рассмотрим матрицу
-структурную матрицу торговли.
Сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1. Для любой страны SI (i=1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:
pi=ai1x1+ai2x2+...+ainxn.
Для наличия сбалансированной торговли необходима бездифицитность торговли каждой страны Si, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода [1]:
pi³xi (i=1,2,...,n),
а значит получаем систему неравенств
(2)
Сложив все неравенства системы (2), получим
x1(a11+a21+..+an1)+x2(a12+a22+..+an2)+..+xn(a1n+a2n+..+ann)x1+x2+...+xn.
Выражения в скобках равны единице, а поэтому мы приходим к неравенству
x1 + x2 +...+xn x1 + x2 +...+ xn,
которое выполняется только в случае равенства, а поэтому имеем систему
. (3)
Если вектор - вектор национальных доходов стран, то уравнение (3) можно записать в виде
Ax=x, (4)
т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l=1.
Современные модели рыночного равновесия. Рассмотренные выше модели общего равновесия на макроуровне отражают идеальное состояние экономической системы. В реальной действительности происходят постоянные нарушения рыночного равновесия, что демонстрируют ряд моделей установления рыночного равновесия.
1. Наиболее известной является паутинообразная модель, сущность ее заключается в том, что при отклонении цен от равновесного состояния происходит колебание цен и количества товара, реализуемого на рынке. В итоге колебания наступает такое положение, при котором устанавливается рыночное равновесие между спросом и предложением.
Графический анализ паутинообразной модели.
2. Невальрасова модель с жесткими ценами. Данная модель ценообразования основывается на допущениях гибкости цен. При рассмотрении рыночного равновесия можно предположить, что неравновесие устраняется либо путем изменения цен, либо посредством изменения количества предлагаемых для реализации товаров. Первое допущение характерно для вальрасовского подхода, второе – для кейнсианского.
Рассмотрим эти подходы на графике кривых спроса и предложения (рис. 7.4).
Начальное положение пересечения кривых спроса и предложения соответствует рыночному равновесию в точке Е1. Затем по каким-то причинам кривая спроса занимает положение D2D2 и при сохранении первоначальной цены создается избыточное предложение АЕ1. Вальрасовский вариант предполагает, что равновесие достигается путем снижения цены с Р1 до Р2. В результате равновесие наступает в точке Е2. Кейнсианский вариант предполагает сохранение цены на уровне Р1, а равновесие обеспечивается уменьшением предложения до уровня Хk.
В соответствии с данной моделью установление равновесного состояния может быть достигнуто не только путем изменения цен, но и за счет введения контроля в виде приспособления объема производства к спросу.
3. Модель очереди. В тех случаях, когда цены находятся под контролем государства, они могут не изменяться в течение длительного времени. В этом случае любые колебания спроса и предложения будут сопровождаться появлением дефицита или затоваривания. Рассмотрим рис. 7.5.
Предположим, что государство первоначально установило цену на уровне равновесной (пересечение кривых D1D1 и SS в точке А). Затем под воздействием какого-либо фактора спрос повысился. В результате произошел сдвиг кривой спроса D1D1 в положение D2D2. При неизменной цене возникает дефицит. В этом случае равновесие можно установить путем увеличения предложения или путем рационированного распределения дефицитного товара между потребителями посредством внедрения карточной системы либо рационирования в форме очереди, (т. е. установить рыночное равновесие с очередью). Очередь означает, что для потребителя затраты на приобретение товара складываются из двух частей: денежной фиксированной цены товара и потерь, связанных с пребыванием в очереди.
Оценка потерь может быть определена доходами, которые он мог бы получить за это время, если бы занимался полезной работой.
В этой связи возникает проблема оценки утверждения: «Высокие цены лучше, чем длинные очереди». Его сторонники добавляют: «Высокие цены сократят очереди». Противники же заявляют, что «повышение цен понизит уровень благосостояния». Данные высказывания допускают, что правы могут быть как первые, так и вторые. Основное здесь – критерий оценки. Для выбора такого критерия можно использовать идею А. Маршалла: «Разница между ценой, которую покупатель готов был бы уплатить, лишь бы не обойтись без данной вещи, и той ценой, которую он фактически за нее платит, представляет собою экономическое мерило его добавочного удовлетворения» (Маршалл А. Принципы политической экономии. – М.: Прогресс, 1983. – Т. 1, Книга III, Гл. VI. – С. 191).
4. Модель рыночного равновесия при вмешательстве государства (дополнение к модели очереди). Если в рыночных условиях государство фиксирует цену товара на неравновесном уровне, то неизбежно возникает избыток или дефицит (рис. 7.6).
Первый случай.
Цены фиксируются выше равновесных на уровне Р1. В результате создается избыток AB, который оседает на складах, что ведет к увеличению запасов, снижению реализации и уменьшению выручки от продаж. В этом случае государство вынуждено компенсировать дополнительные издержки фирмы, которые она несет за счет недополучения доходов.
Наиболее простой способ такой компенсации – закупка государством избыточных товаров.
В результате государство выступает в качестве дополнительного покупателя, и избыток в таком случае ликвидируется, наступает экономическое равновесие. Если обратиться к кривой спроса, то она займет положение D1D1, при котором цена Р1 превратится в равновесную, а в точке Е1 наступит равновесное состояние между спросом и предложением. При этом количество товаров Оq0 приобретают покупатели, а избыток q0 q1 – государство.
Второй случай.
Цена фиксируется ниже равновесной на уровне Р2. В результате наступит дефицит сd, означающий нарастание неудовлетворенного спроса. Во избежание негативных последствий государство вынуждено восполнить дефицит за счет собственных источников, например импорта. В этом случае государство выступает в качестве дополнительного поставщика товара. В случае устранения дефицита наступает экономическое равновесие. На графике кривая предложения сместится вправо, в положение S1S1 и в точке Е2установится равновесное состояние между спросом и предложением при цене р2. Объем спроса Оq2s покрывается фирмами, а недостаток q2sq2 – за счет госпоставок.
В теории равновесия имеются как общие положения, так и специфические концептуальные подходы представителей различных школ и направлений. Различия в подходах связаны с глубиной разработок, с изменениями самой экономической действительности. В той или иной степени они обычно отражают национальные особенности и конкретные ситуации отдельных стран. Анализ функциональных зависимостей между отдельными макропараметрами помогает понять ситуацию, уточните экономическую политику, но не дает универсальных решений.
Классическая модель макроравновесия в экономике
В классической (и неоклассической) модели экономического равновесия рассматривается прежде всего взаимосвязь сбережений и инвестиций на макроуровне. Прирост доходов стимулирует увеличение сбережений; превращение сбережений в инвестиции увеличивает объемы производства и занятости. В итоге вновь возрастают доходы, а вместе с тем и сбережения, и инвестиции. Соответствие между совокупным спросом (AD) и совокупным предложением (AS) обеспечивается через гибкие цены, механизм свободного ценообразования. Согласно классикам, цена не только регулирует распределение ресурсов, но и обеспечивает "развязку" неравновесных (критических) ситуаций. Согласно классической теории, на каждом рынке имеется одна ключевая переменная (цена Р, процент r, заработная плата W), обеспечивающая равновесность рынка. Равновесие на рынке товаров (через спрос и предложение инвестиций) определяет норма процента. На денежном рынке в качестве определяющей переменной выступает уровень цен. Соответствие между спросом и предложением на рынке труда регулирует величина реальной заработной платы.
Классики не видели особой проблемы в превращении сбережений домохозяйств в инвестиционные расходы фирм. Государственное вмешательство они считали излишним. Но между отложенными расходами (сбережениями) одних и использованием этих средств другими может возникнуть (и возникает) разрыв. Если часть доходов откладывается в форме сбережений, значит она не потребляется. Но чтобы потребление росло, сбережения не должны лежать без движения; они должны трансформироваться в инвестиции. Если этого не происходит, то тормозится рост валового продукта, значит, снижаются доходы, ужимается спрос.
Картина взаимодействия между сбережениями и инвестициями не столь проста и однозначна. Сбережения нарушают макроравновесие между совокупным спросом и совокупным предложением. Расчет на механизм конкуренции и гибкие цены при определенных условиях не срабатывает.
В результате, если инвестиции больше сбережений, возникает опасность инфляции. Если же инвестиции отстают от сбережений, то тормозится прирост валового продукта.
Кейнсианская модель
В отличие от классиков Кейнс обосновал положение, согласно которому сбережения являются функцией не процента, а дохода. Цены (включая заработную плату) не гибки, а фиксированы; точку равновесия AD и AS характеризует эффективный спрос. Рынок товаров становится ключевым. Уравновешивание спроса и предложения происходит не в результате повышения или понижения цен, а вследствие изменения запасов.
Кейнсианская модель AD - AS - базовая для анализа процессов выпуска товаров и услуг и уровня цен в экономике. Она позволяет выявить факторы (причины) колебаний и последствия.
Кривая совокупного спроса AD - количество товаров и услуг, которое способны приобрести потребители при сложившемся уровне цен. Точки на кривой представляют собой комбинации выпуска (Y) и общего уровня цен (Р), при которых рынки товаров и денег находятся в равновесии.
Совокупный спрос (AD) изменяется под влиянием динамики цен. Чем выше уровень цен, тем меньше запасы денег у потребителей и соответственно меньше количество товаров и услуг, на которое предъявляется платежеспособный спрос.
Между размерами совокупного спроса и уровнем цен существует и обратная зависимость: рост спроса на деньги влечет за собой повышение процентной ставки.
Кривая совокупного предложения (AS) демонстрирует, какое количество товаров и услуг может быть произведено и выброшено на рынок производителями при разных уровнях средних цен.
В краткосрочном периоде (два-три года) кривая совокупного предложения согласно кейнсианской модели будет иметь положительный наклон, близкий к горизонтальной кривой (AS1).
В долгосрочном периоде при полной загрузке мощностей и занятости рабочей силы кривая совокупного предложения может быть представлена в виде вертикальной прямой (AS2). Выпуск примерно одинаков при различном уровне цен. Изменения размеров производства и совокупного предложения будут происходить под-влиянием сдвигов производственных факторов, прогресса технологии.
Пересечение кривых AD и AS в точке N отражает соответствие равновесной цены и равновесного объема производства (рис. 25.3). При нарушении равновесия рыночный механизм будет выравнивать совокупный спрос и совокупное предложение; сработает, прежде всего, ценовой механизм.
В данной модели возможны следующие варианты:
1) совокупное предложение превышает совокупный спрос. Сбыт товаров затруднен, запасы нарастают, рост производства тормозится, возможен его спад; 2) совокупный спрос обгоняет совокупное предложение. Картина на рынке иная: запасы сокращаются, неудовлетворенный спрос стимулирует рост производства.
Экономическое равновесие предполагает такое состояние хозяйства, когда используются все экономические ресурсы страны (при наличии резерва мощностей и "нормальном" уровне занятости). В равновесной экономике не должно быть ни изобилия простаивающих мощностей, ни избыточной продукции, ни чрезмерного перенапряжения в применении ресурсов.
Равновесие означает, что общая структура производства приведена в соответствие со структурой потребления. Условием рыночного равновесия служит равновесие спроса и предложения на всех основных рынках.
Напомним, что согласно кейнсианским взглядам рынок не обладает внутренним механизмом, способным обеспечивать равновесие на макроуровне. Необходимо участие государства в этом процессе. Для анализа положения о равновесии при неполной занятости была предложена упрощенная модель Кейнса. Для исследования взаимосвязи процентной ставки и национального дохода на рынке товаров и рынке денег была разработана другая схема, объединившая анализ этих двух рынков.
26. IS-LM –модель, базовая модель современной рыночной экономики (отражающая взаимодействие финансового рынка и рынка товаров и услуг).
Проблема общего равновесия на рынке товаров и рынке денег проанализирована английским экономистом Джоном Хиксом в его труде «Стоимость и капитал» (1939 г.). В качестве инструмента анализа равновесия Хикс предложил модель IS—LM. IS означает «инвестиции — сбережения»; LM— «ликвидность — деньги» (L — спрос на деньги; М— предложение денег).
Кривая IS показывает соотношение между процентной ставкой (r) и уровнем дохода (Y), который определяется кейнсианским равенством: S = I. Сбережения (S) и инвестиции (I) зависят от уровня доходов и процентной ставки.
Кривая IS отображает равновесие на рынке товаров. Инвестиции находятся в обратной зависимости от нормы процента. К примеру, при низкой норме процента инвестиции будут расти. Соответственно увеличится доход (Y) и несколько вырастут сбережения (S), а норма процента снизится, чтобы стимулировать превращение S в I. Отсюда изображенный на рис. 25.4 наклон кривой IS.
Рис. 25.4, Кривая IS
Кривая LM (рис. 25.5) выражает равновесие спроса и предложения денег (при данном уровне цен) на денежном рынке. Спрос на деньги растет по мере увеличения дохода (Y), но при этом повышается процентная ставка (r). Деньги дорожают, «подталкивает» возрастающий спрос на них. Рост процентной ставки призван смерить этот спрос. Изменение нормы процента способствует достижению некоторого равновесия между спросом на деньги и их предложением. Если норма процента устанавливается на слишком высоком уровне, владельцы денег предпочитают приобретать ценные бумаги. Это «загибает» кривую LM вверх. Норма процента падает, постепенно вновь восстанавливается равновесие.
Равновесие на каждом из двух рынков — рынке товаров и рынке денег — устанавливается не автономно, а взаимосвязанно. Изменения на одном из рынков неизменно влекут за собой соответствующие сдвиги на другом.
27.Однопродуктовая фирма и функция предложения. Налоги и кривая Лоренца.
Однопродуктовые фирмы характеризуются тем, что у них на один продукт приходится более 95% общего объема продаж. Типичным примером такой компании является фирма «Тойота», выпускающая преимущественно легковые автомобили.
Предложение – это количество товаров (услуг), которое продавцы готовы продать на рынке. Как и спрос, оно зависит от ряда факторов и может быть формализовано. Функцию предложения также можно задать с помощью таблицы, которую легко перевести в график
Соединение точек на графике позволяет построить кривую предложения S, которая имеет восходящий вид.
Нало́г — обязательный, индивидуально безвозмездный платёж, взимаемый органами государственной власти различных уровней с организаций и физических лиц в целях финансового обеспечения деятельности государства и (или) муниципальных образований.
Кривая Лоренца — это графическое изображение функции распределения. Она была предложена американским экономистом Максом Отто Лоренцем в 1905 году как показатель неравенства в доходах населения.
Кривую Лоренца можно использовать для сравнения распределения доходов в различные периоды времени, в различных странах или между различными группами населения (например, между чернокожими и белыми), принимая во внимание доходы до и после вычета налогов и трансфертные платежи.
Концептуальная модель любого процесса динамики цен включает взаимодействие трех подсистем, которые можно условно назвать “товаропроизводитель”, “потребитель” и “рынок”.
При рассмотрении паутинообразной модели для моделирования динамики рыночных цен важно ввести некоторые допущения. Для этой модели требуется построить функцию предложения, которая, если допустить, что имеется один продукт, может изменяться только его цена, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на данный товар (цены на другие товары, основные производственные фонды, характер применяемой технологии, налоги и дотации, природно-климатические условия) остаются неизменными, зависимостью предложения Q от цены p: Q=S(p)
Эта модель — одна из исторически первых динамических моделей рынка, отражающих поведение участников. Она служит хорошей иллюстрацией применения метода моделирования при анализе экономических процессов.
28. Моделирование динамики рыночных цен.Моделированияе влияния налогооблажения на предложение товара и поведение производителя.
Моделирование динамики рыночных цен с помощью паутинообразных моделей
Проблема прогнозирования равновесной рыночной цены является одной из важных и наиболее сложных в экономической теории. Классическим и наиболее распространенным методом поиска ценового равновесия на рынке является анализ кривых спроса и предложения. Суть его заключается в анализе кривых спроса и предложения, для нахождения точки рыночного равновесия. Однако достижение точки равновесия еще не гарантирует устойчивости, в действительности само равновесие является исключением из правил. Чаще всего наблюдаются колебания уровня цен и объемов выпуска продукции. Таким образом, равновесная точка постоянно находится в подвижном состоянии, и статические графики оказываются бесполезными при составлении прогнозов.
Некоторым образом данную проблему позволяют решить, так называемые, паутинообразные модели. В общем виде паутинообразная
модель – это динамическая модель ценообразования, которая описывает траекторию корректировки цен и объема производства при движении от одного состояния равновесия к другому [1].
За последние два десятилетия паутинообразные модели претерпели значительных изменений. Сейчас анализируются нелинейные случаи, с возникающей рыночной нестабильностью и хаосом. Наиболее известными ученными, ведущими разработки с паутинообразными моделями, являются:
К. Шиарелла, К. Г. Гомес, Б. Финкендштат, А. Матсумото и другие. Среди отечественных исследователей можно выделить Чумаченко Н. В.,
Лысенко А. И., Шевченко В. В., Боровскую Т. М. и других.
Классическая модель является детерминированной и достаточно примитивна для переноса на действительный рынок. Поэтому были разработаны другие, более сложные, паутинообразные модели. Наиболее широкое применение получили паутинообразные модели с запаздыванием спроса и с запаздыванием предложения. В первой модели основной идеей является предположение о том, что спрос в прогнозируемом периоде зависит от предложения товара в предыдущем. Во второй – наоборот, товаропроизводитель рассчитывает объемы предложения товара на основе его прошлого спроса. Так реализацию последней модели в объем виде можно представить с помощью блок-схемы (рис. 1).
Рисунок 1 – Блок-схема реализации паутинообразной модели с
запаздыванием предложения
Отдельным направлением в анализе паутинообразной модели ценообразования является исследование ее хаотического поведения, состояний, при которых возникают бифуркационные колебания цен.
Так паутинообразную модель можно рассматривать как дискретную нелинейную систему. Как известно [2], такие системы подвержены хаотическому поведению при определенных параметрах. Такие системы являются очень чувствительными к начальным условиям. Чувствительность от начальных условий значит, что даже сколь угодно близкие траектории с течением времени расходятся на конечное расстояние, то есть прогноз траектории на длительное время оказывается невозможен. При этом каждая траектория остается ограниченной, что противоречит интуитивному пониманию неустойчивости, основанному на опыте работы с линейными системами [3]. На рис. 2 изображен пример паутинообразной модели, в которой в качестве кривых спроса и предложения были выбраны нелинейные (квадратичные) функции.
Рисунок 2 – паутинообразная модель с нелинейными функциями
спроса и предложения
Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Странные аттракторы появляются в как в непрерывных динамических системах (типа системы Лоренца), так и в дискретных (например, отображения Хенона). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру. Теорема Пуанкаре–Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы [3], [4].
Такая интерпретация паутинообразной модели позволяет максимально приблизить ее к действительности. При этом методы преобразования хаотического движения в периодическое, которые сейчас активно разрабатываются учеными всего мира [5], предоставляют возможность разработки стратегий регулирования и стабилизации цен на рынке с учетом множества, как внешних, так и внутренних факторов.
Сегодня изучение паутинообразной модели ушло далеко вперед от ее классического представления. Эта модель позволяет познать внутренний механизм ценообразования, определить основные параметры, влияющие на систему, и проанализировать ее поведение. Сейчас это не просто экономическая модель – это сложный математический анализ, позволяющий объяснить достаточно сложный и не до конца изученный, процесс изменения цены и вывести схему корректного управления ценами на рынке.
29Влияние монополизации на цены и предложение товаров.
В условиях свободной конкуренции цены формируются преимущественно под влиянием спроса и предложения. При монополистической конкуренции этот процесс приобретает более
сложный характер. В процессе преобладания монополий происходит сочетание стихийного рыночного регулирования с управлением, осуществляемым монополиями и государством.
Если монополия получает право на реализацию товаров, то она стремится как можно больше продать товаров и получить при этом максимальное количество прибыли. Однако продажа каждой дополнительной единицы товара по мере удовлетворения спроса приносит все меньше и меньше дохода. Для того чтобы продать эту дополнительную единицу, необходимо понизить цену, так как покупательная способность рынка имеет ограниченные возможности. При этом монополия будет продавать товары не по самой высокой цене, а по такой, которая обеспечивает оптимальное сочетание объема продажи и цены за единицу изделия и получение наивысшего общего объема прибыли.
Границы монопольных цен устанавливаются рыночной конкуренцией. Верхняя граница определяется соотношением уровня цен и объемов производства, которое обеспечивает монопольно высокую прибыль.
30.Методы моделирования и прогнозирования социально-экономических процессов.
По степени формализации методы экономического прогнозирования можно подразделить на интуитивные и формализованные.
Интуитивные методы базируются на интуитивно-логическом мышлении. Они используются в тех случаях, когда невозможно учесть влияние многих факторов из-за значительной сложности объекта прогнозирования или объект слишком прост и не требует проведения трудоемких расчетов. Такие методы целесообразно использовать и в других случаях в сочетании с формализованными методами для повышения точности прогнозов.
Среди интуитивных методов широкое распространение получили методы экспертных оценок. Они используются как в нашей стране, так и за рубежом для получения прогнозных оценок развития производства, научно-технического прогресса, эффективности использования ресурсов и т.п.
Применяются также методы исторических аналогий и прогнозирования по образцу. Здесь имеет место своеобразная экстраполяция. Техника прогнозирования состоит в анализе высокоразвитой системы (страны, региона, отрасли) одного и того же приближенного уровня, который теперь имеется в менее развитой аналогичной системе, и на основании истории развития изучаемого процесса в высокоразвитой системе строится прогноз для менее развитой системы. Практика свидетельствует, что такие аналогии можно использовать при определении путей развития новых отраслей и видов техники (производство ЭВМ, телевизоров и т.п.), структуры производства, потребления и т.д. Естественно, что полученный таким образом "образец" - лишь начальный пункт прогнозирования. К окончательному выводу можно прийти, лишь исследуя внутренние условия и закономерности развития.
К формализованным методам относятся методы экстраполяции и методы моделирования. Они базируются на математической теории.
Среди методов экстраполяции широкое распространение получил метод подбора функций, основанный на методе наименьших квадратов (МНК). В современных условиях все большее значение стали придавать модификациям МНК: методу экспоненциального сглаживания с регулируемым трендом и методу адаптивного сглаживания.
Методы моделирования предполагают использование в процессе прогнозирования и планирования различного рода экономико-математических моделей, представляющих собой формализованное описание исследуемого экономического процесса (объекта) в виде математических зависимостей и отношений. Различают следующие модели: матричные, оптимального планирования, экономико-статистические (трендовые, факторные, эконометрические), имитационные, принятия решений. Для реализации экономико-математических моделей применяются экономико-математические методы.
31.Математическое моделирование в задачах городской и региональной экономики.
Разработан модельный комплекс для анализа функционирования транспортной системы города и построения прогноза пассажирских и транспортных потоков в городских сетях.
Разработаны методы и модели для массовой экономической оценки городских территорий и иной городской недвижимости.
Создан модельно-информационный комплекс для исследования и сохранения архитектурно-исторического облика Санкт-Петербурга.
Разработанные методы и модели экономической оценки позволяют оценивать инвестиционный потенциал фрагментов городской территории и эффективность инвестиционных проектов, связанных с изменением функций землепользования при преобразовании старых территорий (например, бывших промышленных зон) или освоении новых.
Модель функционирования транспортной системы города позволяет учитывать комплексное влияние различных факторов (затрат времени, стоимости поездки и т.п.) на формирование пассажирских и транспортных потоков в городских сетях. Модель дает возможность проводить сравнительный анализ вариантов развития различных видов транспорта, выявлять «узкие места» в транспортной системе, осуществлять оценку эффективности мероприятий, направленных на снижение нагрузки на улично-дорожную сеть (строительство путепроводов, создание перехватывающих парковок, введение платных участков магистралей, платных парковок и т.п.).
Для всех создаваемых моделей разработаны их программные реализации и проведены практические расчеты.
Разработана диалоговая версия программного комплекса, реализующего модели функционирования транспортной системы.
Для совершенствования средств транспортно-градостроительного моделирования разработан метод и алгоритм формирования нагрузки в узлах транспортного графа. Цель разработки – согласование линейной структуры магистралей транспортной сети и территориально-распределенного характера систем мест расселения, мест приложения труда, объектов обслуживания. Указанные усовершенствования обеспечили возможность более точного расчета таких факторов местоположения как время доступности, объем пассажирооборота, людность территории.
Разработан модельно-программный комплекс для расчета максимально допустимых высот городской застройки, при которых не нарушается восприятие сложившейся исторической панорамы.
В рамках инициативного проекта, поддержанного Научной Программой СПбНЦ РАН «Использование суперкомпьютерных технологий в моделировании функционально-пространственного развития городов» разработаны новые версии моделей: «Формирование пассажирских и транспортных потоков в городской транспортной сети» и «Расчет допустимых высот застройки в системе исследования и сохранения архитектурно-исторического облика С-Петербурга» для программной реализации на суперкомпьютере (многопроцессорной вычислительной системе). Использование новых версий модели поможет не только улучшить результаты расчетов, но также рассматривать варианты, расчеты по которым до настоящего времени были практически не реализуемы.
32. Корреляционные и регрессионные модели социально-экономических процессов.
Как было сказано, геометрическая природа уравнения множественной регрессии определяет положение в пространстве плоскости соответствующих переменных х1, х2, х3 ^, хп и в Именно уравнения характеризует количественную связь между исследуемыми признаками и позволяет вычислить ожидаемые значением результативного признака под действием включенных в анализ признаков - факторов, связанных данным уравнениям.
важный вопрос корреляционно - регрессионного анализа является подбор типа аналитической функции при изучении множественных связей Насколько важно это положение свидетельствует развернутая еще в 60 - х годах прошлого с века сейчас идет дискуссия Например, известные американские эконометрики ЕХедди и ДДиллон считают, что для \"экономических явлений является невероятным, чтобы всем условиям наиболее соответствовал один тип функции К то го же разные люди могут привести в одинаковой степени обоснованные доказательства в пользу выбора того или иного типа функции \"Некоторые авторы утверждают, если теоретически невозможно обосновать тип функции то это можно сделать эмпирически, на основе графического анализа парных связей (Лукомский Яи, 1961) Такое утверждение следует считать неверным Экономические явления, как никакие другие, взаимосвязанные Итак, графический й анализ парных связей между функцией и аргументами мало, что дает для обоснования формы множественные связиня форми множинного зв'язку.
Отдельные экономисты и статистики предлагают использовать для построения корреляционных моделей, степенную функцию вида:
у = а0 - хи \"1 - х212 - o х \"п .
качестве аргумента выставляется то, что: удобной формой взаимосвязи экономических показателей является произведение показателей Это подтверждается всем комплексом существующих формул Показатели нормы амортизации, выработки, р рентабельности, цепные аналитические показатели - получают методом алгебраического умножения Понятие формы произведений облегчит также последующий анализ изменений норм выработки влияния различных объективных причинин 3.
ВПХайкин и другие, например, обосновывающие применение степенных моделей тем, что при планировании, главным образом, учитывают малейшие относительные отклонения фактических значений от расчетных, полученных их по уравнению регрессииії.
Подобная аргументация неубедительна Относительные отклонения можно получить, не используя логарифмической линейной формы связи, например, представляя исходные данные в виде индексов, приняв при этом гипотезу о линейной зависимости между результативным признаком и признаками - факторами Но дело в том, что применение корреляционного и регрессионного анализа эффективно лишь тогда, когда моделируемая совокупные во представлена ??широкой вариацией уровней показателей, входящих в модель При использовании относительных чисел это условие часто нарушаетсяься.
Несмотря на ряд преимуществ степенной функции (простота линеаризации, удобство интерпретации и тп), она имеет определенные недостатки Так, отдельные признаки - факторы, которые входят входящие в корреляционную модель (такие и, как уровень механизации уровень рентабельности и др.) могут оказаться равными нулю бы в данном случае выбрать тип функции в виде произведения факторов, то она в ряде случаев оказалась бы равной нул ю, а решения системы уравнений было бы связано со значительными вычислительными трудностями Так, при линеаризации приходится сталкиваться с тем, что в уравнениях ни один из членов не подвергается логарифмирование, ос кильки ^ 0 = - ° ° - °° .
Итак, математическая природа корреляционных моделей свидетельствует о том, что функция должна прежде обосновываться экономически Если этого сделать нельзя, то тип функции определяется эмпирически, т.е. путь хом построения ряда функций и оценки их адекватности определенными критериями.
ЕХедди и ДДиллон в данном случае указывают: \"Для эмпирического исследования недостаточно только логически обосновывать модель Она к тому же должна подвергаться математической обработке Исследователь должен уйти и на компромисс с теоретически идеальной моделью Во - первых, число рассматриваемых отдельных переменных должно быть определено с учетом как возможности получения данных, так и наличия ресурсов для проведения я расчетов Во - вторых, необходимо использовать такой функциональный выражение, статистически допустимый как при оценке, так и при испытании существенности Поэтому построение экономической модели данного эконом ичного явления зависит от проблем, связанных с получением данных их статистической оценки \"(Хедди Есть и Диллон Д, 1965 і Діллон Д., 1965).
Природа множественных корреляционных моделей и процесс их построения обязывают учитывать объективные особенности, например, сельскохозяйственных предприятий, где, как правило, рассматривают две группы факторе ей Первая из них связана с природными, вторая - с материальными условиями, которые являются продуктом деятельности людий.
Фактор природных условий существенно влияет на процесс производства, а вместе с ним и на процесс образования стоимости Действие этого фактора повышает или снижает уровень затрат на производство одного и того же объема потр подпиточной стоимостиі.
Ко второй группе относят факторы, вытекающие из производственно хозяйственной деятельности Это, прежде всего, направление и уровень специализации предприятий, размер и структура производственных фондов, объем производств ва и тп Данная группа факторов существенно влияет на эффективность производства и поэтому должна особенно учитываться при корреляционном моделированиинні.
Факторам - аргументам, отобранным для включения в регрессионную модель, предъявляются также, кроме основного требования об отражении объективных особенностей сельскохозяйственных предприятий, также и дея которые другие требования Прежде факторы должны быть количественно измеримые, поскольку корреляционные формулы по своей природе отражают связь только между количественно определенными признаками В случае включения в к ореляцийну модель качественных признаков им необходимо предоставить количественную определенность Это может быть сделано, например, с помощью балльной оценки, путем присвоения рангов и т т.д.
Проблема анализа еще более усложняется, когда качественно варирюе зависимая переменная величина Какие бы преобразования при этом не применялись, природа корреляции ориентирует здесь лишь на близость в отражении и исследуемых залежностей.
Природа корреляции требует, соблюдение условия, обязательной для подбора зависимой и независимой переменных Ни одна из переменных не должна находиться в функциональной зависимости от другого, или их группы С одной в стороны, это требование вытекает из того, что нет смысла искать корреляционную зависит там, где заранее известно существование функциональной зависимости С другой стороны, при существовании функциональных связей между вк люченимы в корреляционную модель показателями, которые образуются в ходе решения модели, система нормальных уравнений может выйти плохо или совсем не обусловленным, а полученные результаты - ненадежнымими.
Необходимо обратить внимание еще на один момент методологического порядка При построении корреляционных моделей в них нельзя включать группу факторов, линейная комбинация которых равна постоянной величине или бли изька к ней В этом случае система нормальных уравнений для определения коэффициентов регрессии или не имеет решения, или его получают в результате случайных отклонений В подобных случаях, если парный к оефициент корреляции между двумя признаками - факторами превышает 0,8 (с определенным доверительным уровнем), то включать в корреляционную модель можно один из факторерів.
Невозможно не заметить, что отбор исходных данных для расчетов корреляционного анализа требует большого внимания и осторожности Дело в том, что, с одной стороны, надежность корреляционных формул непосредственными ьо зависит от объема статистической совокупности Ведь в основу корреляционных расчетов положено усреднения - усередняються как характер влияния каждого учтенного фактора на зависимую переменную, так и обще ный влияние остальных, неучтенных причин Общеизвестно, что средние тем надежнее, чем за большим объемом данных они рассчитывалисьись.
С другой стороны, включение в корреляционную модель дополнительных данных, если оно было сделано без должного качественного отбора, может привести к тому, что формулой невозможно использовать Известно, что сэр Эдни только тогда имеют реальный экономический смысл, когда они основываются на качественно однородном материале Теория средних величин учит нас применять их для количественной характеристики только однородно й совокупноститі.
Как правило, экономические явления складываются под действием многих факторов Но желание учитывать их в корреляционной модели в возможно большем количестве довольно редко себя оправдывает Такая корреляционная модель зан слишком громоздка, причем влияние большой части факторов проявляется статистически несущественноим.
Таким образом, природа корреляции и регрессии вводит определенные ограничения в части практического использования корреляционно-регрессионного метода в анализе социально - экономических процессов Получение достоверных вы исновкив по результатам корреляционно-регрессионного анализа возможно только при соблюдении определенных, требований Последние вытекают из самой природы корреляции Назовем основные из них: определенность характера зависимость деятельности (прямолинейной, криволинейной), статистическая однородность изучаемой совокупности, количественное измерение признаков, достаточным объемом выборкирки.
Иногда исследователи с целью получения полезной практической информации пытаются выявить зависимости в идеальном их виде, когда очень высокие коэффициенты корреляции В результате имеет место такая серьезная п ошибка: одновременно рассматривается очень большое количество факторов, причем некоторые из них тесно связано между собой изменение одного фактора в таком случае безусловно вызовет изменение другого, в результате чего ва ЖКО отделить чистый влияние одного фактора от влияния другого и удовлетворить природу, на которой основывается теория множественной корреляции Поэтому введение в анализ большого количества факторов с целью изучим ения их влияния на результативный признак иногда совсем не так целесообразно, как это кажется с первого взгляда Методологическая будет более правильным отбирать те из них, которые являются основнымними.
Для успешного практического использования корреляционных моделей как объективного критерия наилучшего уравнения связи могут быть использованы коэффициент множественной корреляции и стандартная ошибка оценки уравнением множественной регрессии при удовлетворительной экономической интерпретации самой модели множественной регрессии частности, направление и сила влияния отдельных факторов на зависимую переменную, которая характеризуется параметра мы уравнения, должны соответствовать эмпирическим представлениям о влиянии, то есть кроме подтверждения уровня значимости наблюдаемой взаимозависимости статистическими методами необходимо тщательно изучить ее логическую обоснованностьь.
Учитывая, что взаимодействие одних и тех же факторов с учетом и без учета влияния других причин может проявляться по - разному, всевозможные выводы о возможном форму связи в многофакторной модели, с сделан на основании анализа парных зависимостей, не должны трактоваться как абсолютно вероятности, к ним следует относить очень осторожно В этом отношении предпочтения отдаются метода частичной ко реляцийї.
Применение данного метода в экономическом анализе носит в известной мере условный характер Причины, влияющие на изучаемые явления в отраслях народного хозяйства, очень разнообразны Поэтому необходимо в всегда помнить, если исключить влияние одного фактора оставшиеся несут на себи действие ряда других условий, не учтенных в исследовании И все же применение метода частичной корреляции имеет важное е значение при углубленном анализе множественных корреляцийції.
Существуют и другие принципиальные (и дискуссионные) вопросы теории, которые ориентируют на правомерность использования метода корреляционно-регрессионного анализа социально - экономических явлений Рассмотрение их исключено, в связ связи с целями и задачами данного пособия Тезиснисть изложения отдельных вопросов данного раздела обусловлена ??теми же причинамми.
33 Регрессионно-корреляционный анализ статистических данных. Характеристики регрессионной модели.
Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними; обнаружение ранее неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между параметрами, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии.
Регрессионный анализ предназначен для исследования зависимости исследуемой переменной от различных факторов и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной модели.
В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции f (X1, X2, X3, … Xm), где X1, X2, X3, … Xm - независимые (объясняющие) переменные, или факторы. В качестве зависимой переменной может выступать практически любой показатель, характеризующий, например, деятельность предприятия или курс ценной бумаги. В зависимости от вида функции f (X1, X2, X3, … Xm) модели делятся на линейные и нелинейные. В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии).
Связь между переменной Y и m независимыми факторами можно охарактеризовать функцией регрессии Y= f (X1, X2, X3, … Xm),которая показывает, каково будет в среднем значение переменной yi, если переменные xi примут конкретные значения.
Данное обстоятельство позволяет использовать модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования экономических явлений.
Под линейностью здесь имеется в виду, что переменная y предположительно находиться под влиянием переменной x в следующей зависимости:
,
где - постоянная величина (или свободный член уравнения), - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий изменение переменной , при изменении значения на единицу. Если - переменные и положительно коррелированные, если < 0 – отрицательно коррелированны; - независимые одинаково распределенные случайные величины – остаток с нулевым математическим ожиданием () и постоянной дисперсией (). Она отражает тот факт, что изменение будет неточно описываться изменением Х – присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели.
Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), который минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от модельных значений .
Согласно принципу метода наименьших квадратов, оценки и находятся путем минимизации суммы квадратов
по всем возможным значениям и при заданных (наблюдаемых) значениях. Задача сводится к известной математической задаче поиска точки минимума функции двух переменных. Точка минимума находится путем приравнивания нулю частных производных функции по переменным и . Это приводит к системе нормальных уравнений
решением которой и является пара , . Согласно правилам вычисления производных имеем
так что искомые значения , удовлетворяют соотношениям
Эту систему двух уравнений можно записать также в виде
Эта система является системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и может быть легко решена, например, методом подстановки. В результате получаем
(3.2) Такое решение может существовать только при выполнении условия
что равносильно отличию от нуля определителя системы нормальных уравнений. Действительно, этот определитель равен
Последнее условие называется условием идентифицируемости модели наблюдений , и означает, что не все значения совпадают между собой. При нарушении этого условия все точки , лежат на одной вертикальной прямой
Оценки и называют оценками наименьших квадратов. Обратим еще раз внимание на полученное выражение для .Нетрудно видеть, что в это выражение входят уже знакомые нам суммы квадратов, участвовавшие ранее в определении выборочной дисперсии
Для двух переменных теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом:
.
где - дисперсии случайных переменных , а их ковариация.
Парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными и обладает следующими основными свойствами:
Коэффициент корреляции принимает значение в интервале (-1,+1), или
|rxy| < 1.
Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения, т.е.
r (α1X+β; α2Y+β)= rxy,
где α1, α2, b - постоянные величины, причем α1>0, α2>0.
Случайные величины Х, Y, можно уменьшать (увеличивать) в α раз, а также вычитать или прибавлять к значениям одно и тоже число β - это не приведет к изменению коэффициента корреляции r.
При r = ±1 случайные величинысвязаны линейной зависимостью, т.е.
.
При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.
В практических расчетах коэффициент корреляции r генеральной совокупности обычно не известен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка – выборочный коэффициент корреляции r, так как выборочная совокупность переменных случайна, то в отличие от параметра r , r – случайная величина. Оценкой коэффициента корреляции являетсявыборочный парный коэффициент корреляции:
= , (3.3)
Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t - критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия определяется по формуле:
(3.4)
Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы.
Если tнабл > tкр, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (то есть нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.
Если значение близко к нулю, связь между переменными слабая. Если случайные величины связаны положительной корреляцией, это означает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Если случайные величины связаны отрицательно
34.Парная регрессия и корреляция. Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии.
Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – и , т. е. модель вида: , где – зависимая переменная (результативный признак); – независимая, или объясняющая, переменная (признак-фактор). Знак «^» означает, что между переменными и нет строгой функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном случае величина складывается из двух слагаемых: ,
где – фактическое значение результативного признака; – теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии; – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.
Случайная величина называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.
В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя методами:
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 1.1:
35.Линейная модель парной регрессии и корреляции.
Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида
или . (1.1)
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:
. (1.2)
Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):
Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров и и приравнять их к нулю. Обозначим через , тогда:
.
(1.3)
После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров и :
(1.4)
Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров и . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4):
, , (1.5)
где – ковариация признаков и , – дисперсия признака и
, , , .
Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности2.
Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.
Формально – значение при . Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла, т.е. параметр может не иметь экономического содержания.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по следующим формулам:
. (1.6)
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
, (1.7)
где , .
Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.
Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:
. (1.8)
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.
Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:
,
где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.
Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 ( – число наблюдений, – число параметров при переменной ).
Таблица 1.1
|
Компоненты дисперсии |
Сумма квадратов |
Число степеней свободы |
Дисперсия на одну степень свободы |
|
Общая |
|||
|
Факторная |
|||
|
Остаточная |
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:
. (1.9)
Фактическое значение -критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.
Для парной линейной регрессии , поэтому
. (1.10)
Величина -критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:
. (1.11)
В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: и .
Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
, (1.12)
где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.
Величина стандартной ошибки совместно с -распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.
Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение -критерия Стьюдента: которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака при увеличении признака-фактора (), уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора () или его независимость от независимой переменной () (см. рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.
Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра .
Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:
. (1.13)
Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется -критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.
Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :
. (1.14)
Фактическое значение -критерия Стьюдента определяется как .
Существует связь между -критерием Стьюдента и -критерием Фишера:
. (1.15)
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т.е. , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения :
,
где , а – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения:
.
36.Построение модели множественной регрессии, идентификация и оценка качества модели.
уравнение множественной регрессии
, где – зависимая переменная (результативный признак), – независимые, или объясняющие, переменные (признаки-факторы).
Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики.Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.
Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.
Если строится модель с набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как с соответствующей остаточной дисперсией .
Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:
37.Условия применения и ограничения корреляционно-регрессионного анализа.
Поскольку корреляционная связь является статистической, первым условием возможности ее изучения является общее условие всякого статистического исследования: наличие данных по достаточно большой совокупности явлений. По отдельным явлениям можно получить совершенно превратное представление о связи признаков, ибо в каждом отдельном явлении значения признаков кроме закономерной составляющей имеют случайное отклонение (вариацию). Например, сравнивая два хозяйства, одно из которых имеет лучшее качество почв, по уровню урожайности, можно обнаружить, что урожайность выше в хозяйстве с худшими почвами. Ведь урожайность зависит от сотен факторов и при том же самом качестве почв может быть и выше, и ниже. Но если сравнивать большое число хозяйств с лучшими почвами и большое число - с худшими, то средняя урожайность в первой группе окажется выше и станет возможным измерить достаточно точно параметры корреляционной связи.
Какое именно число явлений достаточно для анализа корреляционной и вообще статистической связи, зависит от цели анализа, требуемой точности и надежности параметров связи, от числа факторов, корреляция с которыми изучается. Обычно считают, что число наблюдений должно быть не менее чем в 5-6, а лучше - не менее чем в 10 раз больше числа факторов. Еще лучше, если число наблюдений в несколько десятков или в сотни раз больше числа факторов, тогда закон больших чисел, действуя в полную силу, обеспечивает эффективное взаимопогашение случайных отклонений от закономерного характера связи признаков.
Вторым условием закономерного проявления корреляционной связи служит условие, обеспечивающее надежное выражение закономерности в средней величине. Кроме уже указанного большого числа единиц совокупности для этого необходима достаточная качественная однородность совокупности. Нарушение этого условия можег извратить параметры корреляции. Например, в массе зерновых хозяйств уровень продукции с гектара растет по мере концентрации площадей, т.е. он выше в крупных хозяйствах. В массе овощных и овоще-молочных хозяйств (пригородный тип) наблюдается та же прямая связь уровня продукции с размером хозяйства. Но если соединить в общую неоднородную совокупность те и другие хозяйства, то связь уровня продукции с размером площади пашни (или посевной площади) получится обратной. Причина в том, что овощные и овоще-молочные хозяйства, имея меньшую площадь, чем зерновые, производят больше продукции с гектара ввиду большей интенсивности производства в данных отраслях, чем в производстве зерна.
Иногда как условие корреляционного анализа выдвигают необходимость подчинения распределения совокупности по результативному и факторным признакам нормальному закону распределения вероятностей. Это условие связано с применением метода наименьших квадратов при расчете параметров корреляции: только при нормальном распределении метод наименьших квадратов дает оценку параметров, отвечающую принципам максимального правдоподобия. На практике эта. предпосылка чаще всего выполняется приближенно, но и тогда метод наименьших квадратов дает неплохие результаты.
Однако при значительном отклонении распределений признаков от нормального закона нельзя оценивать надежность выборочного коэффициента корреляции, используя параметры нормального распределения вероятностей или распределения Стьюдента.
Еще одним спорным вопросом является допустимость применения корреляционного анализа к функционально связанным признакам. Можно ли, например, построить уравнение корреляционной зависимости размеров выручки от продажи картофеля, от объема продажи и цены? Ведь произведение объема продажи и цены равно выручке в каждом отдельном случае. Как правило, к таким жестко детерминированным связям применяют только индексный метод анализа. Однако на этот вопрос можно взглянуть и с другой точки зрения. При индексном анализе выручки предполагается, что количество проданного картофеля и его цена независимы друг от друга, потому-то и допустима абстракция от изменения одного фактора при измерении влияния другого, как это принято в индексном методе (см. гл. 10). В реальности количество и цена не являются вполне независимыми друг от друга.
Корреляционно-регрессионный анализ учитывает межфакторные связи, следовательно, дает нам более полное измерение роли каждого фактора: прямое, непосредственное его влияние на результативный признак; косвенное влияние фактора через его влияние на другие факторы; влияние всех факторов на результативный признак. Если связь между факторами несущественна, индексным анализом можно ограничиться. В противном случае его полезно дополнить корреляционно-регрессионным измерением влияния факторов, даже если они функционально связаны с результативным признаком.
38.Моделирование временных рядов в социально-экономических исследованиях.
Эконометрические модели начали использоваться для экономического прогнозирования в 60-е годы ХХ в. С этого времени структура экономики развитых стран и методы эконометрического анализа претерпели кардинальные изменения. В то же время проблема прогнозирования будущего состояния экономики остается нерешенной, что требует усовершенствования эконометрических моделей.
Специалисты сосредоточены на исследованиях, связанных с коинтеграцией (метод определения долговременной взаимосвязи в группе переменных динамичных рядов); на прогнозировании и оценке параметров, меняющихся во времени. В частности, разработка американским экономистом Р. Инглом проблемы коинтеграции меняет подход экономистов-практиков к изучению временных рядов.
Временные ряды - последовательность наблюдений за экономическими изменениями за одинаковые временные интервалы.
Анализ временных рядов - основной инструмент экономической науки и одна из самых плодотворных сфер анализа для экономистов. Временные ряды необходимы для анализа эволюции во времени экономических и социальных связей между переменными (например, эконометрическая модель поведения совокупной безработицы, которая базируется на временных рядах, может дать ценную информацию об ее эволюции во времени, хотя не дает сведений о структуре или продолжительности безработицы). Большая часть использующихся данных имеет вид временных рядов, массив которых постоянно расширяется.
Одним из известнейших исследователей в этой области является К. Грэнджер.
Грэнджер (Granger) Клив (также Клайв) (род в 1934) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (2003). Родился в г. Суонс (Уэльс, Великобритания). Учился в Ноттингемском университете, где в 1955 г. защитил бакалаврскую работу по математике, а в 1959 г. - докторскую диссертацию по статистике. Работал профессором Калифорнийского университета (г. Сан-Диего).
Он автор больше десяти книг, свыше двухсот научных статей.
К. Грэнджер - член Британской национальной академии наук, Американского эконометрического общества, Американской и Финской академий искусств и наук; заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный доктор Ноттингемского, Мадридского, Лафборского университетов и Стокгольмской школы экономики, заслуженный профессор Калифорнийского университета.
Ингл (Engle) Роберт (род. в 1942) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (2003). Родился в г. Сиракьюс (штат Нью-Йорк, США). Учился в Корнелльском университете. В 1969 г. защитил докторскую диссертацию по экономике. В течение 1969-1974 гг. работал ассистентом профессора Массачусетского технологического института; в 1975 г. - адъюнкт-профессор Калифорнийского университета г. Сан-Диего. Через два года занял должность профессора. На протяжении 1990-1994 гг. был деканом экономического факультета этого же университета, позже - профессор менеджмента финансового факультета Нью-Йоркского университета.
Р. Ингл - известный эксперт по анализу временных рядов в течение долгосрочных периодов на финансовых рынках. Его исследования посвящены таким инновационным статистическим методам, как ARCH-моделирование, коинтеграция, взаимосвязанные спектральные регрессии. В своих исследованиях использует методы финансовой эконометрии для проведения операций с акциями, валютными и процентными ставками, опционами.
Он член Американского эконометрического общества и Американской академии искусств и наук.
Разработка анализа временных рядов (и на его основе - прогнозирование и контроль) основала новое направление в методах прогнозирования, стала теоретической основой ARIMA-анализа, по которому определенный временной ряд моделируют лишь с помощью его прошлых значений и экзогенной случайной величины, и методологии, необходимым условием которой является стационарность рассматриваемого временного ряда. Такая методология является сравнительно новым поколением средств прогнозирования, основанных на анализе вероятностных (стохастических) особенностей временных рядов. При этом определенный временной ряд моделируется лишь с помощью его прошлых значений (лагов) и экзогенной случайной величины. Необходимым условием внедрения ARIMA-методологии является стационарность временного ряда - математического ожидания (среднее), дисперсия и автоковариация (в разных промежутках) которого не зависят от времени. Если он стационарный, то его можно смоделировать разными способами, в частности с помощью двух составляющих - авторегрессийной (AR) и скользящего среднего (MA). Соответственно сама модель является комбинацией этих двух составляющих.
Поскольку ARIMA-методология используется только для стационарных рядов, то первым шагом в идентификации процесса становится проверка временного ряда на стационарность. Необходимость того, чтобы временные ряды были стационарными при ARIMA-моделировании, обусловлена тем, что эти модели используются для прогноза, а прогнозировать можно поведение только тех процессов, основные характеристики которых (средняя, дисперсия и коэффициенты автоковариации) не зависят от времени. Невозможно предусмотреть поведение того процесса, в основе которого нестационарный временной ряд (математическое ожидание, дисперсия и автоковариация его меняются в зависимости от времени). В таком случае сложно найти постоянные средней и дисперсии, поэтому следует искать возможные преобразования ряда, которые могут свести его к стационарному. Такими преобразованиями и является операция различий.
Моделирование экономических процессов с помощью ARIMA-моделей дает возможность выявить динамическую связь между поточными и лаговыми значениями исследуемого показателя. Эти модели являются удобным инструментом кратко- и среднесрочного прогнозирования отдельных временных рядов. Однако современные исследования сосредоточены на разработке аппарата одновременного моделирования нескольких временных рядов с помощью системы динамических уравнений ARIMA-процессов, что дает возможность включать и исследовать взаимообратные связи между показателями и их лаговыми значениями.
Таким образом, VAR-модели (векторная авторегрессионная модель) является расширением концепции ARIMA-моделирования отдельного временного ряда. Термин «вектор» в этом случае указывает, что моделируются одновременно два или более временных ряда. Термин «авторегрессионная» означает включение лаговых значений зависимых переменных в правую часть каждого отдельного уравнения системы. Стабильность VAR-моделей является необходимым условием их практического использования. Она предусматривает, что последовательность внешних шоков для VAR-системы имеет конечный падающий эффект, то есть если шоки затухают со временем, то VAR-модель является стационарной.
В 90-е годы ХХ в. активно развивается новое направление моделирования с помощью моделей корректирования ошибки (error correction model - ECM). Эти модели являются структурной формой VAR-моделей, которая включает нестационарные переменные. Для оценки таких систем необходимы дополнительные знания, в частности коинтеграции временных рядов. Коинтеграция переменных дает возможность строить корректные модели даже в случае их нестационарности, не преобразуя временные ряды оператором различий в стационарные. Это важно для прикладных исследований, так как, используя оператор различий, утрачивается ценная «долгосрочная» информация о динамике поведения временного ряда. Поэтому преобразовывать ряды целесообразно только при необходимости.
Построение и корректное внедрение ЕСМ предусматривает определенную последовательность.
1. Проверка рядов на стационарность. Если они не стационарны, то необходимо определить порядок интеграции. При одинаковом порядке интеграции можно переходить к проверке рядов на коинтеграцию.
И только тогда, когда ряды коинтегрируют, можно строить ЕСМ (она является не чем иным, как VAR в структурной форме), и оценивать ее неизвестные параметры.
Именно Р. Ингл и К. Грэнджер предложили собственное понимание коинтеграции: если между рассматриваемыми переменными существует долгосрочная связь, то очевидно долгосрочное равновесие достигается, когда:
γ1Υ1t + γ2Υ2t + ... + γkΥkt = 0,
или в матричном виде:
γΥt = 0, где γt = {γ1, γ2, ..., γk}, Υt = {Υ1t, Υ2t, ..., Υkt}.
Отклонения от долгосрочного равновесия называют «ошибкой равновесия», что, соответственно, равняется et = γΥt.
Если равновесие есть, то необходимо, чтобы ошибка равновесия была стационарным процессом.
Исходя из приведенных формул, Р. Ингл и К. Грэнджер утверждают: компоненты вектора Υt = {Υ1t, Υ2t, ..., Υkt} являются коинтегрированными порядка d,b: ~ CI (d,b), если:
- все компоненты Υt имеют одинаковый порядок интеграции d;
- существует вектор коэффициентов γt = {γ1, γ2, ..., γk} такой, что линейная комбинация γ1Υ1t + γ2Υ2t + ... + γkΥkt является интегрированной величиной порядка (d - b), b > 0.
Вектор γ = {γ1, γ2, ..., γk} называют «коинтеграционным вектором». Очевидно, что если γt = {γ1, γ2, ..., γk} является коинтеграционным вектором, то для любого дополнительного Ø значения Øγ = {Øγ1, Øγ2, ..., Øγk} является также коинтеграционным вектором. Поэтому на практике одна из переменных используется для нормализации коинтеграционного вектора, то есть соответствующий коэффициент должен быть равен единице.
2. Проверка временных рядов на коинтеграцию. Есть несколько принципиально разных подходов к тестированию временных рядов на коинтеграцию. Р. Ингл и К. Грэнджер предложили сначала оценить уравнение долгосрочного равновесия, рассчитать избытки, то есть получить соответствующий временной ряд избытков, а потом, если излишки окажутся стационарным рядом, можно сделать вывод о коинтеграции.
На рубеже ХХ и ХХI в. в рамках теории валютного курса основные усилия ученых были направлены на изучение долгосрочных взаимосвязей относительных цен и валютных курсов. Они использовали современные методы эконометрического анализа: определение порядка интегрированности временных рядов и их тестирование на коинтеграцию.
Если два временных ряда коинтегрированы, то это означает, что их индивидуальные тренды взаимозависимы и не могут значительно отклоняться один от другого. Согласно разработке Р. Ингла и К. Грэнджера для коинтегрированных переменных существует ЕС-распределение (error correction representation). Этот механизм улавливает краткосрочное корригирование переменных относительно долгосрочного равновесия. То есть если номинальные валютные курсы и относительные цены коинтегрированы, то паритет покупательской способности является условием подобного равновесия валютных курсов, и они в своей долгосрочной динамике приближаются к нему.
В большинстве исследований, проводимых с использованием этой методологии, было установлено коинтеграцию валютных курсов и относительных цен. Однако в отношении разных групп стран эти результаты не были однозначными. Так, американские ученые К. Хабермайер и М. Месквита нашли подтверждение теории паритета покупательской способности для развитых стран, но не смогли доказать возможность ее использования развивающимися странами.
Значимыми являются также исследования Р. Ингла и К. Грэнджера и в сфере эконометрического прогнозирования. Известны разнообразные конкурирующие прогнозы с разными информационными множественностями и разными стратегиями моделирования. Эти прогнозы можно сравнивать с «прогностической способностью», то есть сопоставлять суммы квадратов ошибок прогнозирования. С помощью комбинирования разнообразных прогнозов также получают хорошие прогнозы. Такое комбинирование можно осуществить, рассчитывая регрессии фактических значений ряда от разнообразных прогнозов, константы и лаговых значений того же ряда. Прогноз, который не «вписывается» в такую регрессию, можно отбросить, поскольку над ним доминируют другие прогнозы.
Точечное прогнозирование имеет небольшую ценность для принятия решений без каких-либо указаний на неопределенность. Относительно большинства традиционных экономических прогнозов 95 %-ные интервалы вокруг прогнозированной точки необычайно велики, поэтому иногда рекомендуются 50 %-е интервалы. Еще одна проблема заключается в том, что дисперсии ошибок прогнозирования могут меняться во времени. Как и условная средняя fn,h, условная дисперсия может быть функцией использованной информационной множественности In:
h2n = E[(xn+h - fn,h)2|In].
Методы моделирования h2n менее разработаны, чем методы моделирования fn,h ошибки прогнозирования еп,1 = xn+1 - fn,1 часто являются белым шумом, но квадратичная ошибка может выявиться не такой, которая указывает на то, что условные дисперсии могут быть прогнозированными.
Обозначив через εt = xt - ft-1 одношаговые ошибки прогнозирования, Р. Ингл рассмотрел спецификацию:
и выявленный процесс назвал «авторегрессионным условным гетероскедастичным процессом» (такой, который предусматривает переменный разброс). Если дисперсия меняется во времени прогнозируемо, то преимущество ее моделирования заключается в том, что при учете гетероскедастичности удается достичь более точных оценок параметров в ft, а также получить более точные оценки интервалов вокруг прогноза средней.
Р. Ингл рассмотрел разные формы для ht, сделав вывод об их особенностях и методике оценки, а также использовав метод множителей Лагранжа для проверки авторегрессивной условной гетероскедастичности (построенные на основе этого подхода модели названы «ARCH-моделями»). Он использовал этот метод для анализа данных об инфляции в Великобритании и выявил четкие признаки прогнозируемости дисперсий: стандартное отклонение инфляции выросло за несколько лет с 0,6 до 1,5 % в меру движения экономики из предусматриваемых 60-х в хаотические 70-е годы.
Приведенное выше выражение для ht можно использовать для включения наблюдаемых управляющих переменных. Как пример К. Грэнджер исследовал связь между розничными и оптовыми ценами, причем в каждом уравнении дисперсии были специфицированы вышеописанным порядком, но с добавлением квадратичных лаговых значений моделированных и других цен, а также квадратичных ошибок прогнозирования других показателей. Обогащение спецификации ARCH обусловило появление лучших (по коэффициентам правдоподобности) моделей, а также более интересных интерпретаций моделей. Было выявлено, что и средние значения, и дисперсии оптовых цен влияют соответственно на средние значения и дисперсии потребительских цен. А квадраты потребительских цен не влияют на дисперсию оптовых цен. Если бы эти модели были построены без учета ARCH, то создавалась бы видимость влияния потребительских цен на оптовые цены. Однако с учетом ARCH эта причинная связь стала слабой.
Поскольку на практике дисперсии меняются во времени предсказуемо, то использование моделей ARCH можно рекомендовать для случаев, когда доверительным интервалам прогноза уделяется значительное внимание. Другие сферы анализа сосредотачиваются на тех отраслях экономической теории, где дисперсию используют как показатель риска (например, финансовая теория).
В последнее время инструментарий анализа временных рядов стремительно развивался. Но если брать для проверки на коинтеграцию две переменных, то лучше и далее использовать тест Ингла-Грэнджера (если проверять больше двух, то можно использовать технику Йохансена).
Исследование методов анализа экономических временных рядов в условиях изменчивости временной зависимости (ARCH) Р. Ингл и К. Грэнджер проводили на основе математической модели, которая дает возможность прогнозировать тенденции изменений ВВП, потребительских цен, процентных ставок, биржевого курса не только на следующий день, а даже на год вперед. Дело в том, что на финансовых рынках случайные отклонения показателей от постоянного значения (волатильность) являются необычайно важными, поскольку стоимость акций, опционов и других финансовых инструментов зависит от рисков. Отклонения могут значительно изменяться во времени: после периодов значительных перемен наступают периоды незначительных. Помимо того, что реальная волатильность изменчива, экономисты долгое время внедряли статистические методы, которые предусматривают ее постоянность.
И только выявленная в 1982 г. Р. Инглом авторегрессивная гетероскедастическая модель точно описывает множество временных рядов, которые встречаются в экономике.
Результаты исследования волатильности широко используют на практике, в частности:
а) с 1996 г. международные соглашения (так называемые Базельские правила) обязывают использовать показатели стоимости, поддающейся риску, при контроле необходимого капитала банков. Использование метода ARCH в этих и других ситуациях сделало его необходимым инструментом для оценки риска в финансовой сфере;
б) ими воспользовались эксперты для введения евро. Так, проект экономического и валютного союза, касающийся интересов ряда государств, был детально проанализирован академическими экономистами США и Великобритании.
Их интересовали вопросы, вырастут или уменьшатся флуктуации (случайные отклонения величины) параметров системы, то есть обменного курса, вследствие введения евро, вырастут или уменьшатся при переходе к единой валюте флуктуации платежного баланса, чего можно ожидать от курса доллар США/евро.
С помощью волатильности обменного курса было доказано, что флуктуаций станет меньше. Между странами-участницами Еврозоны они исчезнут вообще. А поскольку зона евро рассматривается как неизменное во времени творение, то будут равны нулю все форвардные премии и исчезнет разница в процентных ставках; останутся только ножницы в налоговых ставках и рисках дефолта. Содружество государств валютного союза станет великой зоной валютной стабильности.
Специалисты тоже пришли к выводу, что колебания платежных балансов при общей валюте станут меньшими, чем те, которые наблюдались при плавающих курсах. Исчезнут два источника нестабильности:
1) не будет колебаться обменный курс, движение которого стимулируют потоки капитала (спекулятивные потоки капитала исчезнут или существенно ослабнут);
2) в монетарной политике профициты платежных балансов, которые будут меньше или больше от желаемого уровня, автоматически будут корректироваться механизмом перелива резервов.
От платежных балансов внутри стран зоны евро не откажутся, но их корректировка будет программироваться ранее и окажется внешне не наблюдаемой за исключением экстраординарных случаев.
В отношении курса доллар США/евро отмечается, что он станет важнейшим ценовым фактором в мире. Некоторые считали, что этот курс должен иметь большие колебания, чем курс доллар США/немецкая марка, поскольку экономика Евросоюза более замкнута, чем объединенные в союз национальные экономики. Однако специалисты отклонили такое мнение. Если ориентироваться не на отношения импорта или экспорта к ВВП, а на общий баланс платежей, и прежде всего на движение капитала, то с устранением спекулятивных мотивов в зоне евро исчезнут и дестабилизирующие сдвиги от «более слабых» валют к «более сильным».
В целом сегодня уже невозможно изучать ключевые моменты в стабильности мировой денежной системы, не используя волатильности обменного курса. Кроме того, модель Ингла является незаменимой не только для ученых, но и для финансовых и рыночных аналитиков, которые используют ее при оценке собственности и рисков портфельных инвестиций.
Специалисты считают, что во многих аспектах экономические преобразования 90-х годов подобны преобразованиям первого десятилетия ХХ века. Эффект от осторожной финансовой политики одинаковый.
И все же, по мнению Р.-А. Манделла, мироустройство изменилось в худшую сторону: из-за постоянной изменчивости (волатильность) обменных курсов при отсутствии мировой валюты. От волатильности обменных курсов особенно страдают страны, которые стремятся поодиночке путем введения собственных масштабов и индексов достичь стабильности цен. Поэтому волатильность является мерилом тех изменений, которые претерпевают реальные обменные курсы, и отражает дисфункциональные перекосы внутреннего и международного развития отраслей, что еще больше усиливает свойственную финансовым рынкам нестабильность.
Последние разработки в области анализа нестационарных временных рядов уже влияют на методы прогнозирования. Р. Ингл и К. Грэнджер рассматривают свойства двух и большего количества объединенных переменных, каждая из которых является интегрированной первого порядка, в то время как их комбинация является стационарной (то есть интегрированной нулевого порядка). Такие переменные называются «коинтегрированными».
Коинтеграция играет важную роль в экономическом моделировании и прогнозировании. Во-первых, если переменные уравнения не коинтегрированы, то, поскольку ошибки не стационарны, связь между переменными может быть неправильно специфицирована (или получить в значительной мере достоверную оценку параметров будет сложно). Во-вторых, Р. Ингл и К. Грэнджер доказали, что если х и у являются интегрированными первого порядка, имеют постоянные средние и коинтегрированы, то существует механизм, который корректирует ошибки генерирования данных (модель корректировки ошибок), выражаемый аналитически следующим образом:
Δyt = -α1ut-1 + лаговые значения (Δy, Δx) + d(L)ε1t,
Δxt = - α2ut-1 + лаговые значения (Δy, Δx) + d(L)ε2t, (6.1)
где ut = yt - βxt, (6.2)
а Δ - оператор первых разниц. Здесь d(L) является конечным полиномом лагового оператора L, а εi - случайный процесс, причем
│α1│+│α2│ ≠ 0. (6.3)
Интерпретация (6.1) облегчается рассмотрением равновесной ситуации, при которой разницы в формуле (6.1) нулевые, и выражение (6.1) преобразовывается в (6.2) при иt = 0, то есть в равновесии в пропорциональный х. Отсюда, согласно выражению (6.2), и - это отклонение от равновесного значения, и поскольку и является стационарным с нулевой средней, то отклонение от равновесия в период t - 1 частично корректируется в период t. Значит, механизм корректировки ошибок в экономической интерпретации обеспечивает связь между структурными моделями и моделями временных рядов. Такой механизм корректировки ошибок является важнейшим для прогнозирования, поскольку он означает, что модель, включающая только различия переменных первого порядка, будет неправильно специфицирована по коинтегрированным переменным. Это может произойти, если, например, VAR-модель используется для аппроксимации данных, имеющих вид различий первого периода.
Ценность новаторских идей Р. Ингла и К. Грэнджера заключается не только в том, что они предложили новые методы моделирования экономических зависимостей, но и в том, что разработанные ими модели открыли новые сферы исследований. При этом нобелианты фундаментально обосновали использование таких моделей, доказали корректность эконометрической оценки их параметров в случае нарушения ряда классических прогнозов. Важно и то, что каждый из предложенных методов подтвердил теоретические результаты.
39.Характеристики временных рядов. Моделирование тенденции временного ряда.
Временно́й ряд (или ряд динамики) — собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки[1].
Содержание
[убрать]
1 Анализ временных рядов
1.1 Методика прогнозирования
2 Примеры временных рядов
3 Примечания
4 Литература
5 См. также
Анализ временных рядов[править | править исходный текст]
Ана́лиз временны́х рядо́в — совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.
Пример временного ряда
Временные ряды состоят из двух элементов:
периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;
числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.
Временные ряды классифицируются по следующим признакам:
по форме представления уровней:
ряды абсолютных показателей;
относительных показателей;
средних величин.
по количеству показателей, для которых определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;
по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени. Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможностисуммирования их уровней. Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;
по расстоянию между датами и интервалами времени выделяют равноотстоящие — когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами и неполные (неравноотстоящие) — когда принцип равных интервалов не соблюдается;
по наличию пропущенных значений: полные и неполные временные ряды;
временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции (ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины.
в зависимости от наличия основной тенденции выделяют стационарные ряды, в которых среднее значение и дисперсия постоянны, и нестационарные, содержащие основную тенденцию развития[1].
Методика прогнозирования[править | править исходный текст]
Прогнозные оценки с помощью методов экстраполяции рассчитываются в несколько этапов:
проверка базовой линии прогноза;
выявление закономерностей прошлого развития явления;
оценка степени достоверности выявленной закономерности развития явления в прошлом (подбор трендовой функции);
экстраполяция — перенос выявленных закономерностей на некоторый период будущего;
корректировка полученного прогноза с учётом результатов содержательного анализа текущего состояния.
Для получения объективного прогноза развития изучаемого явления данные базовой линии должны соответствовать следующим требованиям:
шаг по времени для всей базовой линии должен быть одинаков;
наблюдения фиксируются в один и тот же момент каждого временного отрезка (например, на полдень каждого дня, первого числа каждого месяца);
базовая линия должна быть полной, то есть пропуск данных не допускается.
Если в наблюдениях отсутствуют результаты за незначительный отрезок времени, то для обеспечения полноты базовой линии необходимо их восполнить приблизительными данными, например, использовать среднее значение соседних отрезков.
Корректировка полученного прогноза выполняется для уточнения полученных долгосрочных прогнозов с учётом влияния сезонности или скачкообразности развития изучаемого явления.
Примеры временных рядов[править | править исходный текст]
Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренд).
2.3. Моделирование тенденции
Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с
выявления наличия тенденции в целом. Для этой цели наиболее эффективны и дают хо-
рошие результаты такие методы как кумулятивный Т-критерий.
Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тен-
денции, но и ее математического выражения — тренда.
Выдвигается основная гипотеза (Но:) об отсутствии тенденции в исходном времен-
ном ряду.
Расчетное значение критерия определяется как отношение накопленной суммы
квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от их среднего
значения (∑ 2 Zn ) и самих отклонений по формуле:
2
y
n
2
n
p
Z
T
σ =
∑
, (2.5)
где:
Zn — накопленный итог отклонений эмпирических значений от среднего уровня исходно-
го временного ряда; РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ
30
2 σn — общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле:
y (y) n 2
n
2
t
2
n σ =∑ − ⋅ ;
yi — исходные значения признака;
y — средний уровень исходного ряда динамики;
n — длина временного ряда (число уровней).
Если анализируется достаточно длинный временной ряд, то для расчета значений
критерия можно использовать нормированное отклонение:
( ) 90
2n 1
n 2
6
n 1 T
t
p
p
− −
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛ + −
= . (2.6)
Расчетные значения кумулятивного Т-критерия и tp сравниваются с критическими
при заданном уровне значимости α. Если расчетное значение Tp или tp превышает кри-
тическое (табличное) значение критерия (Ткр), то гипотеза об отсутствии тренда отверга-
ется, следовательно в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая
трендом. В противном случае, если Тр < Ткр или tp < tкр, признается отсутствие тенденции
в ряду динамики.
Пример. Имеются следующие данные об объеме вложений в ценные бумаги фи-
нансовой компании за период январь — октябрь 2002 г. Необходимо выявить тенденцию в
изменении данного показателя.
Промежуточные расчеты реализации кумулятивного Т-критерия представлены в
следующей таблице 2.2.
Таблица 2.2.
Промежуточные расчетные значения слагаемых кумулятивного Т-критерия
Месяц yi у
2
i yi — y Ζn Z
2
n
Январь 78,4 6 146,56 -19,58 -19,58 383,38
Февраль 75,4 5 685,16 -22,58 -42,16 1 777,47
Март 76,1 5 791,21 -21,88 -64,04 4 101,12
Апрель 76,6 5 867,56 -21,38 -85,42 7 296,58
Май 85,1 7 242,01 -12,88 -98,30 9 662,89
Июнь 101,4 10 281,96 3,42 -94,88 9 002,21
Июль 110,6 12 232,36 12,62 -82,26 6 766,71
Август 117,9 13 900,41 19,92 -62,34 3 886,28
Сентябрь 126,2 15 926,44 28,22 -34,12 1 164,17
Октябрь 132,1 17 450,41 34,12 0,00 0,00
Итого 979,8 100 524,08 - - 44 040,81
y =
10
78,4+75,4+...+132,1
=
10
979,8 = 97,98;
σ2
y = 100 524,08 – (97,98)2
× 10 = 4 523,28. РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ
31
Соответственно, подставляя в формулу полученные значения, получаем:
Тр = 2
y
2
n
σ
∑Ζ
=
4523,28
44040,82 ≈ 9,74
Так как Тр (9,74) > Ткр (0,05; n=10; Tкр = 4,55), то гипотеза об отсутствии тенденции
отвергается, следовательно в ряду динамики объема вложений в ценные бумаги финансо-
вой компании тенденция существует.
Гипотезу о форме тренда также можно проверить с помощью кумулятивного
т-критерия, где:
Zi =Σ(yt -⎯yt) — накопленные суммы отклонений от тренда.
Фактическое значение Т сравнивается с критическим для соответствующей функ-
ции f(t). Критические значения табулированы для функций, линейных относительно t, и
для параболы второго порядка (приложение 5).
Расчет статистической характеристики критерия Т для проверки гипотезы о форме
тренда рассмотрим на примере линейной функции (табл. 2.3).
Для временного ряда валового надоя молока линейная функция равна ⎯yt=607,8-
10,2t. Согласно проведенным расчетам фактическое значение Т=4,48. Оно больше крити-
ческого T0.95(10)=1,48, следовательно, линейная функция не аппроксимирует тенденцию
изменения валового надоя молока.
Аналогично рассчитанное значение Т для параболы II порядка ⎯yt =594.93-
10.2t+0.39t2
=0,98, что заметно ниже критического значения. Это дает основание с вероят-
ностью 0,95 признать справедливой гипотезу о параболическом тренде исследуемого по-
казателя.
Таблица 2.3.
Расчет кумулятивного критерия для проверки гипотезы
о линейной форме тренда
Годы валовой надой
молока, тыс. тонн, Yt yt=a0+a1t εt =yt-⎯yt Zi Z2
i εt
2
1993 708 700 8 8 64 64
1994 690 679 11 19 361 121
1995 669 659 10 29 841 100
1996 632 638 -6 23 529 36
1997 599 618 -19 4 16 361
1998 586 598 -12 -8 64 144
1999 563 577 -14 -22 484 196
2000 547 557 -10 -32 1024 100
2001 545 536 9 23 529 81
2002 539 516 23 46 2116 529
Итого 6078 6078 0 - 6028 1732
Тенденция исходного ряда динамики может быть трех видов: тенденция среднего
уровня, дисперсии и автокорреляции.
Тенденция среднего уровня может быть выражена с помощью графического мето-
да. Аналитически тенденция выражается с помощью некоторой математической функ-
ции f(t), вокруг которой варьируют эмпирические значения исходного временного ряда РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ
32
изучаемого социально-экономического явления. При этом теоретические значения, то есть
значения, полученные по трендовым моделям в отдельные моменты времени, являются
математическими ожиданиями временного ряда.
Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений эм-
пирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравне-
нию тренда.
Тенденция автокорреляции выражает тенденцию изменения корреляционной
связи между отдельными, последовательными уровнями временного ряда.
Проверка на наличие тенденции среднего уровня и дисперсии может быть произведена
методом сравнения средних уровней временного ряда и методом Фостера-Стюарта.
40.Моделирование сезонных колебаний.
6 Моделирование сезонных колебаний
При наличии месячных или квартальных данных, обнаруживающих сезонные колебания П (t) , становится возможным в математическую модель неслучайной компоненты временного ряда включить периодическую функцию Неслучайную компоненту естественно представить в виде суммы тренда и сезонных колебаний, аддитивны будут и соответствующие им модели:
(2.20)
Периодическая функция может быть описана синусоидой:
а) для случая помесячных данных -
(2.21)
где u - число месяцев, на которое максимум сезонных колебаний, ближайший к первому месяцу, опережает этот месяц.
б) для случая поквартальных данных -
(2.22)
где u - число кварталов, на которое максимум сезонных колебаний, ближайший к первому кварталу
,опережает этот квартал; c – коэффициент, определяемый МНК.
Таким образом, к каждой испытываемой модели тренда мы прибавляем модель , применяя МНК для оценки параметров их суммы .
Пример 12. Ниже приводятся данные (трижды сглаженные) о среднедневном выпуске реализуемой продукции (в тыс. руб.) по Министерству местной промышленности МССР за период с мая 1980 г. по декабрь 1981 г.
|
Год |
Месяц |
t |
Год |
Месяц |
t |
||||
|
1980 |
У |
1 |
1223 |
1240 |
1981 |
Ш |
11 |
1327 |
1326 |
Для тренда выбрана модель для сезонных колебаний – модель а для всего временного ряда - модель :
(2.23)
Так как ближайший к маю месяцу 1980 г. максимум наблюдается в марте 1981 г., то u = 10. Параметры a, b, c найдены МНК.
В явном виде модель имеет вид:
(2.24)
На рис. 2.2 показаны трижды сглаженный временной ряд , модель и модель (расчетные по этой модели значения показаны в последнем столбце таблицы данных). Для модели получены следующие характеристики : i=0.944 ; i’=0.938; = 16.828 тыс.руб.
Рис. 2.2
Отметим, что в данном примере для иллюстрации применяемого методического приема модель (2,24) была получена для математического описания ряда , а не исходного . На практике сглаживание используется лишь при подборе вида модели, параметры же модели оцениваются МНК (или поиском экстремума) на основе уровней исходного временного ряда .
41.Моделирование тенденции временного ряда. Адаптивное прогнозирование.
Направления развития адаптивного подхода
Адаптивный подход развивается в трех направлениях. Первое из них ориентировано на усложнение адаптивных прогнозных моделей. Идея второго направления состоит в совершенствовании адаптивного механизма моделей прогнозирования. В третьем направлении реализуется подход совместного использования адаптивных принципов и других методов прогнозирования, в частности, имитационного моделирования. При этом оптимальность алгоритма и прибыльность системы трейдинга связана с качеством прогнозов.
Математическое описание рыночных связей можно рассматривать как динамическую модель рынка. В свою очередь математическая модель позволяет теоретическими методами прогнозировать поведение рынка – динамику рыночной цены – и на основе прогнозов формировать рыночные сделки оптимального объема в подходящий момент времени. Однако прогнозирование как алгоритм действий не должно подменяться использованием рыночных индикаторов или советников, которые дают косвенную и обычно неоднозначную информацию о динамике рыночной цены.
Набор аналитических методов, образующий торговую систему, позволяет вырабатывать правила покупки или продажи валют. Торговые системы, основанные на одном методе, называют индикаторами, а правила называют сигналами. К аналитическим методам относят методы, использующие фильтрацию или математическую аппроксимацию временных рядов. В техническом анализе в качестве базового временного ряда используются ряды значений цены за некоторый промежуток времени, объема торговли или числа открытых позиций. Цены валют являются основным объектом изучения технического анализа и поэтому выбор того или иного показателя в качестве базисного, не является «надуманным». Что же представляет собой тот или иной индикатор? Индикатор представляет собой набор функций от одного или нескольких базисных временных рядов с определенным временным «окном».
Математическое моделирование для поиска закономерностей состоит в разработке и реализации целостной концепции адаптивно-рационального прогнозирования финансовых рынков, согласно которой прогноз должен строиться с использованием фактических данных и с учетом субъективных ожиданий на основе принципа адаптивного распределения доверия к данным разной природы. В рамках предлагаемой концепции в отличие от существующих удается построить модели, позволяющие сформировать наиболее полное представление о реальности ожидаемых вариантов упреждающей динамики финансовых рынков. Математическое моделирование адаптивно-рациональным методом прогнозирования финансовых рынков строиться в соответствии с законом необходимого разнообразия и принципом внешнего дополнения и закладывает методологические основы отражения упреждающей действительности как результата адаптивного согласования объективных закономерностей и субъективных ожиданий. Для определения адаптивной составляющей прогнозных траекторий предлагается новый класс адаптивных моделей – модели с многоуровневой структурой адаптивного механизма.
42.Математические модели для оценки и улучшения инвестиционного потенциала городских территорий.
43.Математическое моделирование формирования экономических характеристик городских территорий и другой городской недвижимости.
44.Задачи размещения производства. Модели взвешивания, размещения с учетом полных затрат; модели, основанные на гравитационном методе.
ОТРАСЛЕВЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА [sectoral planning problems] — экономико-математические задачи расчета оптимальных направлений развития отраслей (в ряде случаев — подотраслей и производств). Наибольшее развитие получили в условиях т. н. отраслевой системы управления в СССР в 70— 80-х гг. При этом, как правило, достигался экономический эффект от 5 до 15% (для сопоставимых условий) по сравнению с традиционными методами. Эта работа опиралась на созданные усилиями ЦЭМИ, Института экономики и организации производства СО АН и СОПСа “Основные методические положения оптимизации развития и размещения производства” (1978 г.).
Методы решения отраслевых задач применимы (и действительно применяются во многих странах) при планировании деятельности крупных концернов, корпораций, фирм, при государственном программировании и планировании развития экономики. Решением задач отраслевой оптимизации достигаются следующие цели (они по-разному комбинируются в разных задачах): выбор наиболее экономичного варианта строительства, реконструкции и расширения новых предприятий, выбор их территориального размещения, расчет их оптимальных размеров, оптимальная специализация производства и установление кооперационных связей, выбор наиболее совершенной технологии и др. Важная область отраслевой оптимизации — выбор наилучшей номенклатуры выпускаемых изделий с учетом различий экономического эффекта от их применения для различных целей (задачи оптимизации структуры производства).
В качестве критерия оптимальности в большинстве отраслевых задач выступает минимум затрат на заданный объем конечного продуктарассматриваемой производственной системы. Применяются экономико-математические модели разных типов: динамические и статические,детерминированные и вероятностные, однопродуктовые и многопродуктовые, с дискретными и непрерывными переменными, производственные функции, производственно-транспортные задачи и, наконец, по характеру отображения хозяйственных связей — матричные и сетевые модели
45.Разработка методов анализа экономической эффективности крупных градостроительных мероприятий.
46.Модели регионального рынка труда.
Среди понятий рыночной экономики важное место занимает определение сущности и содержания рынка труда, его элементов и разновидностей. Во многом определение данной категории сложилось под влиянием ученых прошлого. За последнее десятилетие опубликовано большое число работ, посвященных изучению рынка труда. Сложились различные подходы и толкования, противоположные точки зрения, в том числе на определение понятия “рынок труда”, предмет купли-продажи. В большинстве определений рынка труда не учитывается ряд моментов. Помимо двух договаривающихся сторон (наемного работника и работодателя), на рынке труда очень важна роль государства и общественных организаций. Причем отношения между всеми субъектами рынка труда должны строиться на добровольной договорной основе, в рамках социального мира и согласия. Важную роль, большую по сравнению с другими рынками, играют на рынке труда неденежные факторы: условия труда, социальные гарантии, социальная защита и поддержка и др. Как представляется, рынок труда – это система правовых, социально-экономических и трудовых отношений, возникающих в рамках социального мира и согласия между работодателями и наемными работниками с участием государственных и общественных организаций на основе спроса и предложения по поводу оплаты и условий труда, социальных гарантий, социальной защиты и поддержки и т. п. Считаем важным подчеркнуть при этом, что отношения на рынке труда не ограничиваются только актом купли-продажи, они затрагивают все, что связано с системой социального партнерства и защиты, образования, профессиональной подготовки и переподготовки кадров, с управлением занятостью на предприятиях на федеральном и региональном уровнях. К основным элементам рынка труда относятся: субъекты рынка труда, правовые акты, правила и нормы, регламентирующие отношения субъектов на рынке труда, конъюнктура, спрос и предложение, конкуренция, мобильность на рынке труда, инфраструктура рынка труда. Важное теоретическое и практическое значение имеет выделение и характеристика различных видов рынка труда. Критерии классификации можно характеризовать по различным признакам, которые рассмотрены в статье. Анализ характера спроса и предложения на рынке труда в экономической литературе описывается с помощью ряда моделей: модель конкуренции, модель монопсонии, модели с учетом профсоюзов, модель двусторонней монополии. Государственная стратегия и региональная политика играют важную роль в регулировании всей системы рыночных отношений, в том числе и на рынке труда. В настоящее время идет активный процесс формирования рынка труда в России. Рынок труда – важнейший элемент в системе региональных рынков, обеспечивающих реализацию целевой направленности регионального воспроизводственного процесса. Для достижения более полной и эффективной занятости населения как в целом в стране, так и в отдельном регионе необходимо четкое разграничение функций. При разработке региональной политики занятости необходимо исходить из положений, рассмотренных в статье.
Смотрит
47.Моделирование процессов трансформации регионального рынка труда в условиях экономики переходного периода. ,
48.Моделирование процессов государственного регулирования регионального рынка труда.
Разработаны основы математической теории многомерного метрического шкалирования как непараметрического статистически обоснованного метода эконометрического моделирования. Созданы аналитические технологии применения указанных подходов в задачах государственного регулирования экономических систем уровня субъекта. Созданное математическое обеспечение прошло экспериментальную проверку в большом количестве прикладных исследований, проведенных по заданию органов государственной власти РФ (Минтруд РФ, Правительство и Законодательное собрание Санкт-Петербурга и др.).
Создан ряд моделей и баз данных для анализа и прогнозирования состояния рынка труда в Санкт-Петербурге; созданы модели, позволяющие описать с единой точки зрения взаимодействия работодателей и наемных работников, организаций, занятых подготовкой и переподготовкой кадров, посредничеством в трудоустройстве и т.д.
Последнее время разрабатывались математические модели распределения бюджетного ресурса на проведение мероприятий активной политики занятости населения между регионами–субъектами РФ. Цель управленческих технологий – «смягчение» наиболее острых проблем регионального рынка
Разработанные методические подходы внедрены в систему государственного планирования Санкт-Петербурга.
Разработаны основы математической теории и вычислительные методы многомерного метрического шкалирования как биквадратичных моделей анализа отношений сходства, предпочтений и т.п. Разработанные математические методы прошли экспериментальную проверку в рамках ряда исследований, проводимых совместно с научно-методическими группами научных центров в Санкт-Петербурге, Москве, Новосибирске для различных предметных областей.
Разработаны современные технологии государственного регулирования экономического и социального развития на субфедеральном уровне как единых научно-методических комплексов, включающие информационные технологии формирования и представления статистически легитимных данных об изучаемых процессах, математические методы формирования систем приоритетов и принятия решений по распределению государственных ресурсов на федеральном и субфедеральном уровнях для решения ключевых проблем экономического и социального развития страны.
Предложена система концептуальных моделей представления социально значимых сфер и отраслевых направлений экономики субъекта РФ (на примере Санкт-Петербурга) для сферы занятости, систем профессионального образования, социальной защиты и социального обслуживания, здравоохранения, сферы транспорта, демографии и молодежной политики и др.
Разработана система математических моделей для количественного и структурного оценивания степени сбалансированности спроса и предложения рабочей силы на региональном рынке труда в квалификационно-профессиональном разрезе.
49. Моделирование демографических и миграционных процессов.
Моделирование демографических процессов является важным звеном системного анализа сложных социально-экономических объектов. Исследование перспектив долгосрочного регионального развития не может быть проведено без тщательного анализа его демографического аспекта.
Выработан целостный взгляд на возрастно-половую структуру как фактор демографического развития, играющий инерционную и стабилизирующую роль в процессе воспроизводства населения.
Произведен всесторонний анализ прошлых тенденций и современного состояния процесса старения населений России и населения Санкт-Петербурга и их сопоставление с аналогичными показателями для ряда европейских стран. Исследована региональная дифференциация показателей старения населения России. Проведен анализ будущих тенденций старения населения России до 2050 года на основе перспективных расчетов ООН и вероятностного прогноза для России.
Проанализированы причины резкого подъема смертности в 1993?1994 гг. в Санкт-Петербурге, который сопровождался и ростом мужской сверхсмертности. Оценено влияние таких социально значимых событий, как антиалкогольная кампания 1985-86 гг. и финансовый кризис 1998 г. на продолжительность жизни.
Проанализирована смертность пожилого населения Санкт-Петербурга по причинам смерти в 1990-2006 гг. (структура смертности по причинам смерти, динамика возрастных коэффициентов смертности для мужского населения, для женского населения и для обоих полов).
В рамках расширенной модели Лесли воспроизводства населения, учитывающей миграцию, разработаны и реализованы методы и вычислительные алгоритмы нахождения объемов и возрастной структуры миграционных потоков, обеспечивающих заданный темп роста стабильного населения.
Для женского населения Санкт-Петербурга и России проведены расчеты соответствующих миграционных потоков (замещающей миграции). Рассмотрены различные варианты комбинаций возрастной структуры потоков миграции с величинами и структурами суммарных коэффициентов рождаемости. Для каждого варианта вычислено соответствующее стационарное население. Проанализировано влияние возрастных профилей рождаемости и миграции на величину сальдо замещающей миграции, суммарную численность стационарного населения и его возрастной состав.
50.Математические модели для анализа и прогнозирования на средне и долгосрочную перспективу демографических процессов в городе и регионе. Анализ, оценка и прогнозирование миграционные процессов.
Миграционные процессы, происходящие в России, являются непосредственны ч отражением особенностей современного этапа социально-политического и экономического развития страны и ее регионов. В настоящее время развитие миграционных процессов в России характеризуется следующими основными тенденциями:
продолжается процесс возврата населения с территорий европейского севера и северо-востока страны к прежнему месту жительства;
сокращается миграция из сельской местности в города;
растет приток населения в европейскую часть России за счет мигрантов из других частей бывшего СССР;
сохраняется значительная эмиграция россиян в развитые страны;
начался процесс во многом неконтролируемой иммиграции из стран дальнего зарубежья в Россию.
1. В современных условиях важнейшими потоками, влияющими на формирование миграционного прироста регионов, являются внутрироссийские миграции.
По данным Госкомстата Российской Федерации, за четыре истекших года общие объемы миграционных перемещений внутри России составили более 14 млн. чел. В 1993г. на долю миграционного оборота в границах России приходилось 7 8% совокупного числа прибывших и выбывших в стране.
До недавнего времени основной проблемой межрегиональных миграций в России была приживаемость новоселов в районах нового освоения. От ее решения зависела реализация крупномасштабных государственных программ развития северных и восточных территорий, где долгие годы интенсивно создавались рабочие места.
Сейчас в условиях свертывания производства, сокращения жилищного строительства и роста безработицы в этих районах они перестали притягивать население высокими заработками и другими льготами. По данным Госкомстата России, только за 1992-1993 гг. миграционные потери северных и приравненных к ним территорий превысили 430 тыс. чел.
О резкой смене направлений миграции свидетельствуют следующие данные. Если в 1979-1988 гг. миграционный прирост северных районов составлял в среднем 133 тыс. чел. в год, то в 1989-1993 гг. отмечен миграционный отток - 134 тыс. чел. в среднем за год. Данные о миграционном приросте (снижении) населения по отдельным регионам России приводятся в табл. 1.
Таблица 1
Миграционный прирост населения северных территорий
тыс. чел.
|
Cеверные районы |
1979-l988гг.(в среднем) |
1989г. |
1990г. |
1991г. |
1992 г. |
1993 г. |
|
Европейский север* |
6,1 |
-10,0 |
-13,8 |
-4171 |
-50,6 |
-43,1 |
|
Север Сибири** |
93,4 |
-3,5 |
-24,0 |
-69,8 |
-69,2 |
-20,1 |
|
Юго-восток*** |
19,2 |
8,7 |
5,1 |
-5,2 |
-36,8 |
-19,3 |
|
Северо-восток**** |
14,2 |
-8,9 |
-14.7 |
-60,9 |
-111,0 |
-80,4 |
* Республика Коми, Архангельская и Мурманская области.
** Республика Бурятия, Красноярский край. Томская, Тюменская, Иркутская и Читинская области.
*** Приморский и Хабаровский края. Амурская область.
**** Республика Саха (Якутия), Камчатская, Магаданская и Сахалинская области.
Из северных районов выезжают в основном лица трудоспособного возраста. Уже в ближайшие годы это приведет к значительным потерям трудового потенциала и нарушению возрастной структуры населения этих регионов. Поданным опроса, проведенного Центром демографии Института социально-политических исследований Российской Академии наук в 1992 г., часть северных территорий собираются покинуть 60% приезжего населения, причем почти 70% из них намерены уехать в другие регионы России, четвертая часть - в другие республики бывшего СССР.
В 1993 г. наблюдалось снижение оттока населения в 13 из 1 б северных территорий. Более всего отток населения уменьшился из Амурской области, в 3,8 раза, Читинской области, в 2,9 раза. В Тюменской области впервые за последние четыре года отмечен миграционный прирост населения. Положительное сальдо миграции по этой области сложилось в результате существенного сокращения оттока рабочих с нефтегазовых разработок на Украину и в регионы России, а также притока сюда беженцев и вынужденных переселенцев из Таджикистана, Грузии, Азербайджана и Чеченской Республики.
Население возвращается с Севера в основном в районы центральноевропейской части России, где впервые за послевоенный период сложился устойчивый миграционный прирост. Приток населения стал отмечаться даже в районах, ранее активно отдающих его: в Волго-Вятском, Центрально-Черноземном, Уральском. Продолжается активный приток населения в Поволжский и Северо-Кавказский экономические районы.
С точки зрения перспективы приток экономически активного населения в европейскую часть России можно рассматривать как позитивное явление, способствующее улучшению возрастной структуры населения этих районов. Здесь она была нарушена из-за значительного оттока молодежи в предыдущие десятилетия. С другой стороны, это создает дополнительные проблемы, связанные с трудоустройством и обеспечением жильем мигрантов в регионе.
По данным Госкомстата России, за три последних года приток населения составил:
в Северо-Кавказский, Поволжский, Центральный районы - почти 850 тыс. чел.;
в Центрально-Черноземный - 198 тыс. чел.;
в Волго-Вятский - 53 тыс. чел.;
в Уральский - 78 тыс. чел.
2. Основной отличительной чертой миграционных потоков между городом и селом на рубеже 80-90-годов стало сокращение оттока сельских жителей в города. Эта ситуация характерна в настоящее время для большинства территорий России. Во многом она вызвана значительным оттоком сельских жителей в город в течение предшествующих десятилетий, а также ухудшением в последние годы, особенно в городах, социально-экономической обстановки.
В 1992 г. миграционные потоки между городом и селом поменяли свою направленность: в сельской местности впервые за многие годы сложился положительный миграционный прирост. В целом по России число прибывших в сельскую местность превысило число выбывших из нее почти на 113 тыс. чел. Процесс переезда населения из городов на жительство в сельскую местность в последние годы в той или иной степени охватил большинство регионов России.
Вместе с тем сложившееся в последние годы положительное сальдо миграции в сельской местности - явление временное, вызванное особенностями переходного этапа в развитии страны и не отвечающее общему ходу урбанизационных процессов. Поэтому по мере улучшения социально-экономической ситуации в России можно ожидать отрицательного миграционного прироста сельского населения (прежде всего в промышленных областях), хотя он и не будет таким значительным, как в предыдущие десятилетия.
Положительный миграционный прирост сельского населения сменится на отрицательный в Уральском, Волго-Вятском и Западно-Сибирском экономических районах.
Сдерживающим фактором значительного оттока сельского населения в города может стать развитие новых организационно-правовых форм хозяйствования на селе (аренда, фермерство и т.д.). С другой стороны, в самих городах активизируются факторы, противодействующие притоку сельских жителей, - это рост безработицы, неразвитость рынка жилья и высокая его стоимость.
3. В миграционном обмене с республиками бывшего СССР Россия продолжает оставаться реципиентом. Положительное сальдо миграции в межреспубликанском обмене выросло в 1993 г. по сравнению с 1992 г. почти в 2 раза. Это вызвано в основном сокращением выезда населения из России (в 1,6 раза). Миграционный обмен России с республиками бывшего Союза характеризуется данными табл.2.
Таблица 2
тыс. чел.
|
Показатели |
1992 г. |
1993 г. |
|
Число прибывших в Россию из других республик |
|
|
|
всего |
893,8 |
922,9 |
|
на 100 тыс. чел. населения |
601 |
621 |
|
Число выбывших из России в другие республики: |
|
|
|
всего |
615,7 |
379,3 |
|
на 100 тыс. чел. населения |
414 |
255 |
|
Сальдо миграции: |
|
|
|
всего |
278,1 |
543,6 |
|
на 100 тыс. чел. населения |
187 |
366 |
В 1993 г., как и ранее, наибольшее число мигрантов прибыло из Средней Азии, Закавказья и Казахстана. Превышение числа прибывших из этих регионов в Россию над числом выбывших составило за два последних года почти 1 млн. чел. Наибольший миграционный прирост отмечался в результате обмена населением между:
Россией и Казахстаном - 133 тыс. чел. (24% общего миграционного прироста);
Россией и Киргизией - 86 тыс. чел. (16%). Сальдо миграции значительно возросло за счет обмена населением с Арменией (в 2,3 раза), Киргизией (в 1,7 раза), Литвой (в 1,6 раза); сократилось с Туркменией (в 2,1 раза), Эстонией и Молдавией (в 1,7 раза).
Отрицательное сальдо миграции сохранилось в межреспубликанском обмене населением у России лишь с Украиной и Белоруссией. При этом в 1993 г. наблюдалось сокращение выезда в эти государства, особенно на Украину, в 1,8 раза.
Русские составляют основу всех миграционных потоков из стран ближнего зарубежья. В период 1992-1993 гг. суммарное сальдо миграции русских в Россию составило почти 800 тыс. чел., или более 90% от общего межреспубликанского сальдо. При этом за счет Средней Азии оно было сформировано в объеме 329 тыс. чел., что составляет 12% общей численности проживающих там русских, Закавказья - 134 тыс. чел. (25%), Казахстана - 190 тыс. чел. (3%), Прибалтики - 92 тыс. чел. (6%).
Среди прибывающих в Россию увеличивается поток лиц, вынужденно покинувших места прежнего жительства. По данным Федеральной миграционной службы, число беженцев и вынужденных переселенцев к 1 января 1994 г. достигло почти 450 тыс. чел., а за семь месяцев 1994 г. их зарегистрировано более 120 тыс. чел.
Предпочтение в расселении беженцы, как и в предыдущие годы, отдают Ставропольскому, Краснодарскому краям и Ростовской области. Значительным стал их приток в области Поволжского и Центрально-Черноземного районов. Растет число беженцев и вынужденных переселенцев в регионы Центрального и Уральского районов, южные территории Сибири. Более всего среди беженцев и вынужденных переселенцев лиц, выехавших из Таджикистана (30%), Грузии и Абхазии (20%), Азербайджана (17%). В этом потоке более 60% приходится на долю русских, 9% - армян, 7% - татар.
Подавляющее большинство вынужденных переселенцев - жители крупных городов. Поэтому большинство из них пробует поселиться в городах. Так, по данным социологического опроса, проведенного ИСПИ РАН, 78% вынужденных мигрантов хотели бы жить в городах и 22% - в сельской местности (как правило, это люди предпенсионного возраста).
4. Эмиграция как массовый процесс - относительно новое явление в жизни страны. Современную эмиграцию из России составляют три основные группы россиян:
лица, уезжающие на постоянное место жительства;
граждане, выезжающие в поисках временной работы за границу, как правило, на контрактной основе и по истечении срока договора обязанные выехать из страны въезда;
лица, выезжающие за рубеж по частным приглашениям, на учебу, в туристические поездки, на отдых, часть из которых находит возможность остаться за границей.
После 1987 г. в связи с либерализацией процедуры выезда поток эмигрантов значительно возрос. Так, по данным МВД России, в 1993 г. в дальнее зарубежье на постоянное место жительства выехало россиян почти в 12 раз больше, чем в 1987 г.
О возросших масштабах миграционного обмена населением России со странами дальнего зарубежья в последние годы свидетельствуют данные табл. 3.
Таблица 3
тыс. чел.
|
Показатели |
1987 г. |
1992 г. |
1993 г. |
|
Выезд граждан России на постоянное место жительства за границу: |
|
|
|
|
всего |
9,7 |
102,9 |
115,9 |
|
на 100 тыс. чел. населения |
7 |
69 |
78 |
|
Въезд на постоянное место жительства в Россию иностранных граждан: |
|
|
|
|
всего |
0,4 |
3,1 |
2,4 |
|
на 100 тыс. чел. населения |
0,3 |
2,1 |
1,6 |
В современных условиях выезд населения за границу для России становится острой проблемой, поскольку среди выезжающих значительную часть составляют высоко квалифицированные специалисты разных профессий, ученые, творческая интеллигенция. Так, по данным Госкомстата Российской Федерации, за I полугодие 1994 г. более 20% эмигрантов имели высшее и незаконченное высшее образование. По социальному составу более 30% эмигрирующих - квалифицированные рабочие и почти пятая часть - высококвалифицированные специалисты, представители интеллигенции, студенчество.
За последние два года российские граждане выехали:
в Германию - около 140 тыс. чел., или 62% общего числа эмигрантов;
в Израиль - 43 тыс., или 20%;
в США - 28 тыс. чел., или 13%.
Среди покинувших страну более половины составили немцы, более четверти - русские, 15% - евреи. Этническая эмиграция наиболее характерна для немцев, так, 99,8 % эмигрировавших немцев выехали в Германию.
Среди выехавших на постоянное место жительства в дальнее зарубежье преобладали жители Омской области. Алтайского края, Москвы и Санкт-Петербурга, Краснодарского края. Волгоградской, Оренбургской, Новосибирской, Свердловской, Кемеровской и Саратовской областей, Республики Дагестан. Эмигранты их этих регионов составили 70% общего числа покинувших Россию.
В миграционном обмене населением со странами дальнего зарубежья Россия будет оставаться страной-донором. Наряду с эмиграцией набирает силу процесс иммиграции в Россию из стран дальнего зарубежья. При этом большая часть иммигрантов - жители Вьетнама, КНДР, Китая, приезжающие на заработки. Растет число иностранных граждан, въезжающих в Россию из Сомали, Эфиопии, Афганистана с нарушением установленных правил или пытающихся использовать ее территорию для въезда в другие страны.
Таким образом, современное состояние и перспективы развития миграционных потоков позволяют оценить возможный миграционный прирост населения России в период с 1994 по 2005 г. в 2.8 млн. чел. При этом сальдо миграции будет складываться за счет миграционного обмена населением с ближним зарубежьем, включая беженцев и вынужденных переселенцев в объеме 3,7 млн. чел., за счет выезда на постоянное место жительства в страны дальнего зарубежья - 0,9 млн. чел.
(Центр экономической конъюнктуры
2