Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания для выполнения семестровой работы
Волгоград 2011
УДК
Рецензент
А.Е. Годенко
Издаётся по решению редакционно-издательского отдела
Волгоградского государственного технического университета.
Неопределённые интегралы: Методические указания для выполнения семестровой работы / сост. В.И.Шушков, В.Н.Поляков.
Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011.-23с.
В пособии представлены рекомендации по изучению темы «Неопределённый интеграл». Изложен в кратком виде теоретический материал, необходимый для нахождения интегралов. Показаны разные методы нахождения интегралов. Дано много решённых примеров нахождения интегралов от различных классов функций. Рассмотрены решения одних и тех же интегралов различными методами.
Предназначено для студентов первого курса всех специальностей и всех форм обучения.
©Волгоградский государственный
Технический университет 2011.
§ 1 введение в интегралы
или подготовка к восприятию интегралов
Прежде чем приступить к изучению интегрального исчисления, необходимо повторить дифференциальное исчисление, ибо действие интегрирования является обратным по отношению к операции дифференцирования, а обратные действия являются более сложными. Так, например, извлечение корня (обратное действие по отношению к возведению в степень) более сложное действие, чем возведение в степень, действия с обратными тригонометрическими функциями также являются более сложными, чем действия с тригонометрическими функциями и т.д.
При интегрировании особо часто будем пользоваться понятием дифференциала функции, поэтому вспомним о том, что дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. дифференциал функции y=f(x) определяется формулой
dy=f′(x)dx (1)
если у=f(x) сложная функция вида y=f(u(x)), то согласно свойству инвариантности дифференциала (1) можно записать в виде
dy=f′(u)du (2)
Вспомним дифференциалы основных элементарных функций:
Таблица 1
ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНЦИЙ
1. d(um)=mum-1du. V1. d(ctgu)=- 1X. d(еu)= еu du
11. d(lnu)=. V11. d(arcsinu)= X. d(shu)=chudu
(11)*. d(logau)=. (V11)*. d(arccosu)=- X1. d(chu)=shudu
111. d(sinu)=cosu du V111. d(arctgu)= X11. d(thu)=
1V. d(cosu)=-sinudu (V111)*. d(arcctgu)= - X111. d(cthu)=-
V. d(tgu)= 1X. d(аu )= аu lnаdu X1V.
Но в интегральном исчислении чаще всего нам надо будет читать эти формулы справа налево. При этом будет искать такую функцию f(x), дифференциалом которой является выражение вида ψ(x)dx, т.е. чтобы соблюдалось равенство ψ(x)dx=df(x), а это уже действия обратные по отношению к нахождению дифференциала функции и они сложнее. Поэтому потренируемся выполнять такие действия на примерах.
Пример 1. Найти такие функции, дифференциалы которых описываются следующими выражениями: а) x2dx; b) sin(2x)dx; c) sin(x)cos(x)dx; d) ; e) ; f) ;
g) ; h) , t) .
Решение:
а) x2dx; замечаем, что по формуле (1) d(x3)=3x2dx, следовательно, x2dx= d(x3);
b) sin(2x)dx; подведём число 2 под знак дифференциала и, соответственно разделим на 2, получим sin(2x)dx=sin(2x)d(2x)=
=-dcos(2x) (смотри формулу 1V. табл.1), здесь функция u=2x.
c) sin(x)cos(x)dx; решим этот пример различными способами. В начале представим произведение sin(x)cos(x) по формуле двойного угла для синуса - получим sin(x)cos(x)dx=sin(2x)dx=-dcos(2x). Т.е. мы пришли к предыдущему примеру. Подведём теперь под знак дифференциа-
ла cos(x) получим sin(x)cos(x)dx= sin(x)dsin(x)=dsin2(x). Теперь функция u=sin(x). Можно подвести под знак дифференциала sin(x) получим sin(x)cos(x)dx= -cos(x)dcos(x)= -dcos2(x) .Здесь мы, как и в предыдущем варианте воспользовались формулой 1. табл.1 только теперь u=cos(x). Проанализировав результат, мы видим интересный факт sin(x)cos(x)dx=
=-dcos(2x)=dsin2(x)=-dcos2(x), а именно дифференциалы различных функций одинаковые, однако если воспользуемся основным тригоно- метрическим тождеством и формулами понижения степени для синуса или косинуса, то увидим, что все эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
d) . Подведём под знак дифференциала подкоренное выражение. d(1-x2) =-2xdx, следовательно, xdx= -d(1-x2) получим ==-d. Здесь мы воспользовались формулой X1V. табл. 1 при этом учли, что u=(1-x2).
e) . Заметим, что =d(arcsinx), получим =dln(arcsinx). В этом примере сработала формула X1. табл.1, где u=(arcsinx).
f)==(arcsin-2x)d(arcsinx)=-d(arcsinx)-1=-d.
Мы привели решение без пояснений оно на начальном этапе похоже на решение в предыдущем примере, лишь в конце воспользовались формулой 11. табл.1.
g) . Найдём дифференциал знаменателя d(cos2x + sinx)=
=(-2(cosx)(sinx)+cosx)dx=(cosx-sin2x)dx, следовательно, в числителе стоит дифференциал знаменателя, тогда имеем = ==dln(cos2x+sinx). (u=cos2x+sinx, формула 11. табл.1).
h) . Решение приведём без пояснений. d(5+3lnx)=, следовательно, =d(5+3lnx), тогда ==
=dln(5+3lnx). Здесь u=5+3lnx.
t) ==2.
Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос дифференциалы, каких функций описывают данные ниже выражения?
1); 2) tgxdx; 3) ctgxdx; 4) ; 5) xsin(x2)dx; 6) ;
7) ; 8); 9); 10).
Правильность решения проверьте дифференцированием.
§2 Первообразная функция и неопределённый интеграл
Потренировались немного, а теперь пeрейдём непосредственно к неопределённым интегралам. Во-первых, вспомним, что неопределённый интеграл от функции f(x) есть совокупность первообразных этой функции, а первообразной функции f(x) называется такая функция F(x) производная которой равна f(x), т.е. выполняется условие F′(x)= f(x). Это определение неопределённого интеграла. И ещё вспомним, что функция f(x) имеет множество первообразных, и все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое (теорема 1), поэтому в определении и фигурирует слово «совокупность». В справедливости теоремы мы уже убедились, решив пример 1с) на стр.5.
Перейдём теперь к теоремам, которые непосредственно указывают на взаимную обратимость действий интегрирования и дифференцирования.
Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен дифференцируемой функции F(x) плюс произвольная постоянная. Или-в символической записи теорема записывается так:
= F(x)+С. (3)
Очень полезная теорема. С помощью этой теоремы можно находить некоторые интегралы методом подведения под знак дифференциала. Далее мы в этом убедимся на примерах.
Теорема 3. Производная от интеграла по переменной интегрирования равна интегрируемой функции. В символической записи терема примет вид:
. (4)
Эта теорема позволяет нам проверять правильность нахождения интегралов, т.е. нахождения первообразных.
Осталось вспомнить свойства интегралов, которые определяются следующими двумя теоремами:
Теорема 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. Или в символах:
. (5)
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
(6)
Это и все свойства. Других нет.
Прейдём теперь к таблице интегралов от основных элементарных функций. Формулы 1.-X1V. получаются после интегрирования формул соответствующих номеров таблицы 1 и перемены местами правой и левой частей формул. Правильность остальных формул проверяется дифференцированием.
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
Таблица 2
1. , m# -1. 1X. .
11. (1X.)*
111. X.
1V. X1.
V. X11.
V1. Х111.
V11. = -arccosu+C X1V.
(V11.)* XV.
V111. =-arcctgu+C XV1.
(V111.)*= - +C
Здесь переменная u может быть независимой переменной или некоторой функцией от другой переменной, например, u=u(x). Формулы 1.-Х1V. непосредственно следуют после применения теоремы (2) к аналогичным номерам таблицы 1.
При применении табличных интегралов иногда бывает полезной формула . (7)
§3 НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Интегрирование подведением под знак дифференциала.
А теперь приступим непосредственно к нахождению первообразных функций или, иначе говоря, к интегрированию функций, т.е. к нахождению интегралов. Вначале будем пользоваться только формулами таблицы 2, теоремой 2, понятием дифференциала функции (формулы 1и 2) и естественно формулами таблицы 1, а также формулой (7). Будем преобразовывать подынтегральное выражение так, чтобы получился интеграл вида теоремы 2. Этот метод называется подведением под знак дифференциала. Подведением под знак дифференциала мы уже занимались, решая примеры на стр.3, 4.
Найти следующие интегралы:
Пример 1. Найти . Решение. Вспоминаем, что d, следовательно, интеграл можно переписать так =. Здесь мы воспользовались формулой V. таблицы 2, где u=.
Пример 2. Найти ; Решение. Рассмотрим несколько вариантов нахождения этого интеграла.
а) Заметим, что sinxcosxdx=sinxdsinx , cos2x=1-2sin2x, получим:
===
=
В обоих интегралах применялась формула 1. таблицы 2, где u=sinx.
б) Теперь вспомним, что sinxcosx=sin2x и sin2xdx=-dcos2x, получим = cos22x +C2.
в) Но, так как sinxcosx=sin2x, получаем = ===сos4x+С3. Получили различные первообразные. F1=, F2=cos22x +C2, F3= . Докажем, что они отличаются на постоянное слагаемое. F2=cos22x +C2= =(1-sin22x)+C2= sin22x+C2=F1+C2- -, следовательно С1=С2. F3==(1-2sin22x)+C3=sin22x+C3=F1+ C3
получили С1=C3. Справедливость теоремы 1 подтверждена рассмотренным примером. Можно сделать вывод и о том, что путей нахождения интегралов много. При нахождении интегралов открывается поле для творческой деятельности, но надо помнить, что всегда можно найти наиболее короткий путь решения поставленной задачи, а то, что он наиболее короткий постигается методом сравнения.
Пример 3. Решим без подробных пояснений. Найти ==ln|1+x2| +arcctg2x +C. В первом интеграле u=1+x2 во втором u=arcctgx и применялись формулы соответ-ственно 11. и 1. таблицы 2.
Пример 4. Найти Найдём d(xcosx)=(cosx-xsinx)dx, следовательно имеем == -(xcosx)-2+C=
=-+C. К последнему интегралу применили формулу 1. табл.2, где u=xcosx m= -3. Далее решим примеры без словесных комментариев.
Пример 5. Найти ==arcsin(lnx)+C.
Пример 6. Найти ==ln(arcsinx)+C.
Пример 7. Найти =-+C.
2. Интегрирование методом разложения подынтегральной функции.
Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций. Рассмотрим на примерах.
Пример 1. Найти . Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель, корни представим степенями, затем воспользуемся свойствами интеграла и табличным интегралом 1.
===
=x2+6-2+C.
Пример 2. Найти . Решение. Разложим sin2x=2sinxcosx, почленно разделим, воспользуемся свойствами интеграла, получим:
==-2cosx+x+C.
3. Метод замены переменной.
Если в можно найти такую функцию x=x(t) и dx=(t)dt, что после замены переменной = в правой части получаем более простой интеграл или табличный, то имеет смысл воспользоваться такой заменой.
Пример 1. Найти. Решение. Положим x=t2+1, тогда dx=2tdt, x-1=t2 =t. Получаем =+С. Перейдём к старой переменной х. Имеем t=, тогда =+С.
Пример 2. Найти . Решение. Пусть x=asint, тогда dx=acostdt, =. Эта подстановка позволяет нам освободиться от корня. Получаем == Здесь мы воспользовались формулой понижения для косинуса: cos2t=(1+cos2t). Выполним обратную замену. Так как x=asint, следовательно, sint=, t=arcsin, sin2t=2costsint, cost=, sin2t=2=2. Окончательно имеем =( arcsin+)+C.
В некоторых интеграла лучше найти такую функцию t=t(x), чтобы под знаком интеграла было выражение .
Пример 3. Найти . Решение. Возьмём функцию t=sinx, dt=cosxdx. Выполним замену переменной, получим ===+С. Выполним обратную замену, получим =
Успех при интегрировании методом замены переменной во многом зависит от того, насколько мы удачно выбрали функцию.
4. Интегрирование по частям.
Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные, то справедлива формула
, (8)
которая называется формулой интегрирования по частям. При этом в левом интеграле за u и v выбираются такие функции, чтобы в правой части получился интеграл, либо табличный, либо более простой, чем в левой части. С помощью этой формулы находятся, например, интегралы вида:
1.emxdx, sin(mx)dx, cos(mx)dx.
11. lnxdx, arcsinxdx, arccosxdx, arctgxdx, arcctgxdx.
111. cos(bx)dx, sin(bx)dx, где Р(х) во всех интегралах – многочлен степени n относительно переменной х . В интегралах 1 вида принимают u=P(x) за dv всё остальное. В интегралах 11 вида за dv принимают P(х)dx за функцию u оставшийся множитель. В интегралах 111 вида формулу придётся применять дважды. За функцию u принимается либо еах тогда за dv оставшееся выражение, либо принимают dv=eaxdx тогда за u оставшийся множитель.
. Найти следующие интегралы:
Пример 1. Найти . Решение. Интеграл 1. вида, следовательно, u=x2+3x, dv=sindx, тогда du=(2x+3)dx, v= -2 cos и по формуле (8) имеем =(x2+3x)(- 2 cos)-.
В правой части получили интеграл опять вида 1., но степень многочлена уменьшилась. Применим к нему опять формулу интегрирования по частям полагая за u=2x+3 за dv=cosdx, тогда du=2dx, v=2sin. Вынесем -2 за знак интеграла получим: =-2(x2+3x)cos+2(2x+3)2sin-
-). К последнему интегралу применим формулы (6), (7) и 1. таблицы 2. Получим окончательный результат=
=-2(x2+3x)cos+2((2x+3)2sin+8cos)+C=-2(x2+3x)cos+4(2x+3)sin+
+16cos+C.
Пример 2. Найти. Решение. Имеем интеграл вида 11., поэтому положим u=arcsinx, dv=xdx, тогда du=, v= по формуле (8) по-лучим: = arcsinx-.(*) Найдём последний интеграл отдельно. К нему можно также применить формулу интегрирования по частям, хотя он и не похож ни на один из трёх видов интегралов, указанных выше. Положим за u=x, а за dv=, тогда du=dx, v==-=-.Следовательно=x+ +dx. Под знаком интеграла, в правой части равенства, умножим и разделим на , а затем числитель почленно разделим на этот же корень получим: = -x+dx= -x+-= -x+arcsinx-. В правой части получили тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его в левую часть, сложим и разделим на 2 обе части равенства, получим: =(-x+arcsinx)+C1. Подставим полученный интеграл в (*) положим С=-С1 получим окончательный результат. =arcsinx-(-x+arcsinx)+C.
Пример 3. Найти. Решение. Интеграл вида 111.. Полагая u=e3x, dv=cosdx тогда du=3e3xdx, v=2sin, применим формулу (8), вынесем постоянные множители за знак интеграла, получим: =e3x2sin-6. В правой части интеграл того же вида. Положим опять u=e3x, за dv=sindx, имеем du=3e3xdx, v=-2cos, следовательно, получаем:=2e3xsin-6(e3x(-2cos) +6) =2e3xsin+ +12e3xcos-36. В правой части имеем тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его, вместе с коэффициентом, в левую часть сложим с левым интегралом, разделим на полученный коэффициент обе части равенства, предварительно вынесем общие множители за скобку, получим окончательный результат. =e3x(sin+6cos)+С.
§4 Интегрирование некоторых классов функци
1. Интегрирование рациональных функций
Частное от деления двух многочленов называют рациональной функцией или просто рациональной дробью, которая обычно обозначается R(x). Согласно определению
R(x)=, (1)
где Pm(x)-многочлен степени m, а Qn(x) - многочлен степени n. При этом дробь называется правильной, если m < n и неправильной, если m ≥ n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части дроби) и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель, т.е. в виде
R(x)==Lr(x)+, (2)
где Lr(x)- многочлен степени r = m-n (частное от деления), рk(х)- многочлен степени k<n (остаток от деления).
Пример 1. Представить неправильную дробь R(x)= в виде сум- мы многочлена и правильной дроби. Решение. Разделим числитель на знаменатель.
x3+5x-4 |x-1
x3-x2 x2+x+6
x2+5x
x2-x
6x-4
6x-6
2
Следовательно, R(x)== x2+x+6+.
Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы, так называемых, простейших дробей, указанных ниже четырёх видов:
1. ; 11. ; 111. ; 1V. , где n=2,3,…, и квадратный трёхчлен x2+px+q имеет отрицательный дискриминант. Рас-смотрим интегрирование первых трёх видов простейших дробей.
1. =Aln(x-a)+C. 11. +C=
=+C. 111. dx. В данном интеграле в начале выделим в числителе производную знаменателя, т.е. выражение 2х+p, затем разделим числитель на знаменатель, почленно, получим два интеграла. В первом интеграле 2х+p подведём под знак интеграла, получим табличный интеграл 11. таблицы 2. Во втором интеграле выделим в знаменателе полный квадрат суммы вида x2+px+q=x2+px+-+q=(x+)2+q-, сделаем замену выражений, x+=t dx=dt, так как x2+px+q имеет отрицательный дискриминант то q->0 обозначим q-=a2, получим тоже табличный интеграл V111. таблицы 2.
dx=+
+(N-)=+(N--)= =ln(x2+px+q)+arctg+C=ln(x2+px+q)+arctg+C.
Рассмотрим теперь разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Вспомним, что, согласно теореме Гаусса, количество корней всякого многочлена равно показателю его наивысшей степени и многочлен можно, по теореме Безу, разложить на множители следующим образом:
Qn(x)=Aoxn+A1xn-1+A2xn-2+…+An-1x+An=Ao(x-x1)(x-x2)…(x-xn), (3)
где х1, х2, …, xn - корни многочлена среди которых могут быть кратные и комплексные, а каждому комплексному корню соответствует сопряжённый ему, тогда каждой паре комплексно спряжённых корней xj,, xj+1 в разложении (3) будет отвечать квадратный трёхчлен x2+pjx+qj c отрицательным дискриминантом. Если некоторый корень, например, xi повторяется k раз, то в разложение (3) войдёт множитель (x-xi)k, а если комплексный корень, например, xl повторяется r раз то в разложение (3) войдёт множитель (x2+plx+ql)r. Перепишем разложение (3) с учётом сказанного.
Qn(x)=Aoxn+A1xn-1+…+An-1x+An=Ao(x-x1)…(x-xi)k…(x2+pjx+qj) …(x2+plx+ql)r…(x-xn). (4) Если знаменатель правильной дроби (2) разложен на множители вида (4), то её можно представить в виде суммы простейших дробей, при этом каждому простому множителю вида (х-х1) соответствует простейшая дробь вида 1. , множителю вида (x-xi)k - сумма простейших дробей вида ++…+, множителю x2+pjx+qj дробь вида,а каждому множителю вида (x2+plx+ql)r –сумма дробей ++…+. Рассмотрим разложение правильной дроби на простейшие в примерах.
Пример 2. Разложить правильную дробь на простейшие.
Решение: Знаменатель дроби разложим на множители. x4+x3+x+1=x3(x+1)+x+1=(x+1)(x3+1)=(x+1)2(x2-x+1) и дробь представим в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами
==++ Коэффициенты A,B,C,D найдём методом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях. Приведём дроби к общему знаменателю.
=. Дроби равны, знаме-натели равны, следовательно, равны и числители. Приравняем числители и одновременно раскроем скобки.
3x2+4x-2=Ax2-Ax+A+Bx3+B+Cx3+2Cx2+Cx+Dx2+2Dx+D. Многочлены равны, следовательно, равны коэффициенты при одинаковых степенях. Приравняем их.
При: х3 В+C=0,
x2 A+2C+D=3,
x -A+C+2D=4,
x0 A+B+D = -2. Получили систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными. Из первого уравнения В=-С. Подставим в четвёртое получим систему трёх уравнений.
Решив систему получим: A=-1, B=-5/3, C=5/3 D=2/3, следовательно имеем искомое разложение.
=++.
Пример 3. Разложить правильную дробь на простейшие.
Решение: Найдём корни знаменателя, разложим знаменатель на множители, приведём дроби к общему знаменателю и приравняем числители.
===
=. x2+4=A(x-2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-2).
Найдём неизвестные коэффициенты другим методом, который называется методом произвольных значений х. Этим методом удобно пользоваться, когда корни многочлена вещественные и различные. Дадим значения переменной х равные корням многочлена знаменателя и подставим их в последнее равенство получим: при х=0 A=2/3, при х=2 получаем В=-4, при х=3 – С=13/3. Искомое решение примет вид:
=.
На основании выше изложенного составим алгоритм нахождения интеграла от рациональной дроби.
Пример 4. Найти . Решение. Под знаком интеграла дробь неправильная. Запишем отдельно дробь. В числителе выделим знаменатель и почленно разделим.
==1-. Целая часть многочлена равна единице. Полученную правильную дробь разложим на простейшие. ====
====
=. Приравняем числители.
А(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)2=2.
Найдём коэффициенты методом произвольных значений х. Дадим значения переменной х равные -2; 1, получим: С=2/9, А=2/3, при х=0 получаем 2А-2В-С=2, 4/3-2В-2/9=2 отсюда В=4/9. Получаем:
=1-.
Найдём окончательное выражение интеграла.
==x+-ln|x-1|-
-ln|x+2|+C.
2 .Интегрирование тригонометрических функций.
Если в интеграле вида функция R(sinx,cosx)-рациональная относительно синуса и косинуса, то можно применить подстановку tg=t. Найдём замену для sinx и cosx. Воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса разделим их на тригонометрическую единицу, затем числитель и знаменатель разделим на cos2, получим:
sinx=2sincos===. (1)
сosx=cos2-sinx2===. (2)
Так как tg=t то =arctgt, dx=.
Получили окончательные формулы для универсальной тригонометрической подстановки.
tg=t, sinx=, cosx.=, dx=. (1)
После подстановки получаем интеграл от рациональной функции относительно переменной t, решение которого рассмотрели выше.
=.
Перед применением универсальной подстановки надо помнить, что она является, как и любое универсальное устройство более громоздким и сложным, по сравнению со специальным устройством. Поэтому вначале надо поискать другие методы нахождения интеграла. Рассмотрим несколько частных случаев.
1). Интеграл вида решается различными способами в зависимости от чисел m и n.
а) Если хотя бы одно из чисел m или n нечётное натуральное применяется подстановка
sinx=t, cosxdx=dt если n начётное число и cosx=t, –sinxdx=dt если m нечётное число.
б). Если m и n чётные натуральные, то применяются формулы пони-жения степени.
sin2x=(1-cos2x), cos2x=(1+cos2x), sinxcosx=sin2x. (3)
Рассмотрим несколько примеров для понимания сущности рассмо-тренных приёмов.
Пример 1. Найти . Решение. Так как нечётная степень при cosx, то делаем замену sinx=t, cosxdx=dt, получаем:
==
=.
Выполним обратную замену.
=.
Пример 2. Найти . Решение. В этом примере нечётная положительная степень при sinx, следовательно, принимаем cosx=t, тогда –sinxdx=dt. Имеем: === +=-t= -cosx+C.
Пример 3. Найти . Решение. Так как обе степени чётные, то для решения применим формулы (1). Тогда =
==(x-sin4x)+C.
2). Интегралы вида , , решаются с помощью формул:
sinmx cosnx=[sin(m+n)x+ sin(m-n)x], (4)
sinmx sinnx=-[cos(m+n)x-cos(m-n)x], (5)
cosmx cosnx=[cos(m+n)x+cos(m-n)x]. (6)
Пример 4. Найти . Решение. Применим формулу (4) получим == -cos8x+cos2x+C.
Пример 5. Найти . Решение. К данному интегралу не подходит ни один из выше изложенных частных случаев. К нему, безусловно, можно применить универсальную тригонометрическую подстановку. Попробуем найти другой приём. Умножим и разделим подынтегральную функцию на sinx , затем в числителе sinx подведём под знак дифференциала, а к знаменателю применим основное тригонометрическое тождество, получим табличный интеграл ХV. таблицы 2.
== -=-ln+C=ln+C.
Решим тот же интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Положим tg=t, sinx=, dx=. Получим
===ln|t|+C=ln|tg|+C. Если мы вспомним формулу половинного угла для тангенса tg=, то убеждаемся в равенстве первообразных, независимо от метода её нахождения при этом ещё раз убеждаемся в том, что один и тот же интеграл можно найти различными методами.
Пример 6. Найти . Решение. Пожалуй, в этом интеграле не обойтись без универсальной тригонометрической подстановки. Положим tg=t, sinx=, cosx.=, dx=. Получим ==-2=. Разложим подынтегральную дробь на простейшие.
==. Приравняем числители. А(t-5)+
+В(t-1)=1. Отсюда: А=-1/4, В=1/4. Имеем: =. Тогда
==-1/4=-1/4ln|t-1|+1/4ln|t-5|+C=
=-1/4ln|tg-1|+1/4|tg-5|+C.
3. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
1. Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов решаются подстановкой x=tk k-наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей.
Пример 1. Найти , Решение. Полагаем x=t6, тогда dx=6t5dt, t3, t2, получаем === =
=6 =6(t-arctgt)+C= =6(x1/6+arctgx1/6)+C.
2. Интегралы вида, если R рациональная функция своих аргументов, решаются подстановкой=tk, где k-наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей.
Пример 2. Найти . Решение. Полагаем x-1=t4, тогда dx=4t3dt, =t, =t2,получаем =. Последний интеграл является интегралом от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть. Отнимем и прибавим в числителе единицу. Сгруппируем, почленно разделим, двучлен х4-1 разложим как разность квадратов, сократив, получим
====4(+t+
+C =4/3+2ln|+C.
3. Интегралы вида: 1. , 11., 111., где R-рациональная функция своих аргументов, решаются с помощью тригонометрических подстановок: 1. x=, 11.
x=atgt, 111. x=asint, которые приводят к рациональным функциям относительно sint и cost.
Пример 3. Найти . Решение. Интеграл 111. вида. Положим x=sint, dx=costdt, =cost, получим ===
== (t-sin2t)+С=(t-sintcost)+C =(arcsinx-x)+C.
Этот интеграл решён в примере 2 (*) §3 п3. методом интегрирования по частям. Мы ещё раз убедились в том, что путей нахождения интегралов много и в этом плане нахождение интегралов является более интересным, чем дифференцирование функций.
4. Интегралы вида выделением под корнем полного квадрата приводятся к интегралам 1., 11., 111. пункта 3.. Покажем это на примере.
Пример 4. Найти . Выделим в подкоренном выражении полный квадрат. 4x2+4x-15=4(x2+x+1/4-1/4-15/4)=4((x+1/2)2-4). Выполним замену переменной. Положим x+1/2=t, тогда x=t-1/2 , dx=dt, получим ==. Сделаем новую замену t=, dt=, =2tgz. Получим ==4=2=2=
=2-2=2-2sinz=2-2sinz=2-2sinz= =ln-2sinz+C. (Смотри формулу XV. таблицы 2)
Выполним обратную замену. Так как t=, то cosz=, z=arccos, где t=x+1/2. Получим
= ln-2sinz+C= ln-2+C=
=ln++C=ln+
++C.
§5 ИНТЕГРАЛЫ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИЕСЯ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Известно, что всякая непрерывная на [a, b] функция f(x) имеет первообразную, т.е. существует такая функция F(x),что F′(x)=f(x). Однако не всякую первообразную F(x) можно выразить через элементарные функции. Так при нахождении интегралов вида их первообразные выражаются через элементарные функции только в трёх случаях:
Во всех остальных случаях данный интеграл не выражается через элементарные функции.
Приведём примеры интегралов, которые не выражаются через элементарные функции, каждый из которых имеет определённое название:
- интеграл Пуассона,
- интегральный синус,
- интегральный косинус,
- интегральный логарифм,
- интегралы
- Френкеля,
- эллиптический интеграл первого рода,
dx – эллиптический интеграл второго рода.
С некоторыми из этих интегралов познакомимся позже.
Литература
У ч е б н о е и з д а н и е
Владимир Иванович Шушков
Виктор Николаевич Поляков
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания пособие для выполнения семестровой работы
Темплан 2011г. (учебно-методическая литература) Поз. №
Подписано в печать Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. Печ. л.
Волгоградский государственный технический университет.
400131, Волгоград, просп. В.И.Ленина, 28, корп.1.
Отпечатано в типографии ИУНЛ ВолгГТУ
400131, Волгоград, просп. В.И.Ленина, 28, корп.7.