тематика и эконометрика С

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Кафедра «Прикладная математика и эконометрика»

С.Д. Прозоровская, Т.А. Черняк, А.В. Сайфудинова

СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ И СТАТИСТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

курсА «МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА»
для студентов заочного отделения

Санкт-Петербург

2012

Одобрено на заседании кафедры «Прикладная математика и эконометрика»

протокол № ___ от ________ 2012 г.

Сборник заданий по математике и статистике. Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «Математика и статистика» для студентов заочного отделения. – СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2012. – 106 с.

Сборник содержит задачи контрольных работ по математике и статистике для студентов заочного отделения направления 031600.62, предусмотренные учебной программой в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом III поколения, и перечень вопросов для подготовки к экзаменам. Задания и методические указания могут быть использованы в курсах математических дисциплин всех направлений и специальностей СПб ГУСЭ.

Составители: канд. пед. наук, доцент С.Д. Прозоровская;

старший преподаватель Т.А. Черняк;

ассистент А.В. Сайфудинова

Рецензент: доктор технических наук, профессор Н.П.Михайлов

2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Требования к оформлению контрольных работ………..……..….…4
Формирование исходных данных к задачам………………….…..…4
Рекомендуемая литература…………………….……………………..5
Контрольная работа № 1. Линейная алгебра……………………..…6
Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии……………………………………………………26
Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной……………………………………………………….….37
Контрольная работа № 4. Интегральное исчисление функции одной переменной…………………………………………………..….53
Контрольная работа № 5. Элементы теории вероятностей……………………..………………………………………….….61
Контрольная работа № 6. Элементы математической статистики……….………………………………………………………….….78
Краткое содержание (программа) курса…………………….…101
Приложение 1. Значения функции Лапласа…………………...104

Требования к оформлению контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать: название института Университета; название кафедры; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице следует оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.

3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номера задач по данному сборнику. В условия задач следует сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, после чего выполняется их решение.

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.

Формирование исходных данных к задачам

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.

Числовые значения параметров т и п определяются по двум последним цифрам личного шифра (А – предпоследняя цифра, В – последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п – из таблицы 2. Числа т и п следует подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра т)

А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
т	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5

Таблица 2 (выбор параметра п )

В	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
п	3	5	4	2	1	5	4	1	3	2

Например, если шифр студента 1604 – 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 2. Полученные т = 4 и п = 2 подставляются в условия всех задач контрольной работы студента.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие – М.: Высшая школа, 2003.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие – М.: Высшее образование, 2006.

Высшая математика для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2006.

Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. Пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2005.

Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.

Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1, 2. – М.: Наука, 1988.

Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003.

Практикум по высшей математике для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2004.

Контрольная работа № 1. Элементы линейной алгебры

Найти значение матричного многочлена , если , , .
1. Вычислить определитель двумя способами, по правилу треугольника и разложением по строке (или столбцу): .
2. Найти матрицу обратную к матрице и проверить выполнение равенства .
3. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса: .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач

1.1. Матрицы и действия над ними

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей размера m  n; здесь m – число строк, n – число столбцов.

Числа (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i означает номер строки, второй j – номер столбца.

Если число строк и столбцов матрицы одинаковое , то матрица называется квадратной, порядка n.

Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, например .

Прямоугольная матрица, в которой каждая строка заменена столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к данной матрице, обозначается . Например, если , то .

Очевидно, что .

Действия над матрицами

Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.

А = В, если = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.

А + В = С, если + = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Пример 1

Произведением матрицы А на число α называется матрица αА или Аα, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.

Пример 2

Матрица называется противоположной матрице А.

Умножение матриц.

Пусть дана матрица А размера m  n и матрица В размера n  p.

Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:

С = А · В , где С есть матрица размера m  p,

если , где (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,p).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй и полученные произведения сложить.

Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.

Пример 3

Произведение двух матриц НЕ подчиняется переместительному (коммутативному) закону

в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.

В частных случаях, когда матрицы называются перестановочными.

Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

А Е = Е А = А.

Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.

Пример 4

Найти значение матричного многочлена , если , , .

Решение

1.2. Определители 2-го и 3-го порядков

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а11, а22 составляют главную диагональ, а элементы а21, а12 – побочную диагональ.

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число , которое определяется выражением:

Элементы а11, а22, а33 – расположены на главной диагонали, элементы а13, а22, а31 – на побочной диагонали.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка

Определитель 2-го порядка вычисляется по определению:

Пример 1

Для вычисления определителя 3-го порядка можно воспользоваться следующими правилами:

Правило Саррюса: дописать справа к элементам определителя сначала 1-й столбец, затем 2-й (можно внизу дописать первую и вторую строки), (рис.1), произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «плюс», а произведение элементов побочной диагонали и двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «минус» (рис. 1). Сумма этих шести произведений дает определитель 3-го порядка, соответствующий матрице А.

   + + +

Рис. 1

Пример 2

Вычислить .

Решение

– – – + + +

таким образом:

Правило треугольника: одно из трех слагаемых, со знаком «плюс» есть произведение элементов главной диагонали определителя, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла определителя, слагаемые со знаком «минус» строятся так же, но относительно побочной диагонали (рис.2).

(+) ()

Рис. 2

Пример 3

Вычислить определитель по правилу треугольника: .

Решение

Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.

Рассмотрим определитель:

Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пресечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора .

Пример 4

Минор элемента а12: .

Определение. Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения Аij.

Пример 5

Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Пример 6

Вычислим определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:

Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.

Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).

Свойство 4. Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.

Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.

Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:

Свойство 9. Если к элементам некоторого столбца (или строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.

Пример 7

Вычислим определитель:

при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.

Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.

1.3. Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

По определению

А · = · А = Е.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле

где - определитель матрицы А, - союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица

для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица

Пример

Для матрицы найти обратную.

Решение

Обратную матрицу находим по формуле

Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

Тогда обратная матрица имеет вид

1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений

(СЛАУр)

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (1)

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называется неоднородной. Если же , то такая система называется однородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

Матричный метод решения СЛАУр

Запишем систему линейных уравнений в матричной форме. Введем обозначения:

, , .

А – матрица коэффициентов системы,

Х – вектор-столбец неизвестных,

В – вектор-столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно кратко записать в матричной форме

Умножим обе части равенства слева на матрицу получим

, но

следовательно,

Последняя формула дает решение системы (1) в матричной форме.

Пример 1

Решить систему матричным методом.

Решение

Матрица этой системы

обратная матрица имеет вид

Применяя формулу , получим

Следовательно, , , .

Формулы Крамера для решения СЛАУр

Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид

где

В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

Пример 2

Решить систему по формулам Крамера.

Решение

Формулы Крамера: . Вычислим определители:

, тогда

, , .

Итак, , , .

Ранг матрицы

Пусть дана матрица .

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.

Очевидно, – меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:

Вычеркивание нулевой строки.
Умножение какой либо строки на число.
Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.
Перестановка двух столбцов или двух строк.

Теорема 1. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Рассмотрим матрицу специального вида

в которой все «диагональные элементы» отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.

Теорема 2. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема 3. Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.

Пример 3

Найти ранг матрицы .

Решение

 

На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.

Метод Гаусса решения СЛАУр

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)

Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.

На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.

Пусть дана матрица системы .

Рассмотрим расширенную матрицу системы

Теорема Кронекера – Капелли.

СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:

или .

Замечание

Если и , где n – число неизвестных, то система определенна; если , то система неопределенна, если же , то система несовместна.

Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.

Выписывают расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.

Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:

– система совместна и определенна,

– система совместна и неопределенна,

– система несовместна.

Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:

С  , ,

следовательно, система определенна, имеет единственное решение,

С  ,

следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,

если какая-либо строка матрицы С имеет вид , то система несовместна (решений нет).

Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).

Пример 4

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения и .

 

 ,

Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.

Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:

 .

Таким образом, .

Пример 5

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

 

Так как , следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).

Последней матрице соответствует система:



где и – произвольные параметры.

Пример 6

Исследовать и решить СЛАУр:

Решение

 

Так как , то система несовместна (решений нет).

Пример 7

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Таким образом, .

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках и найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

3) координату точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

6) площадь треугольника.

Даны вершины треугольной пирамиды , . Найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС;

5) угол между ребром SC и гранью АВС;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач

2.1. Прямая на плоскости

Уравнение вида

называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида

называется уравнением прямой с угловым коэффициентов, здесь , - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох, b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Пусть даны две точки прямой и . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении, определяемом угловым коэффициентом k , имеет вид

Условие параллельности двух прямых

Две прямые параллельны в том и только в том случае, когда составляют равные углы с осью Ох, следовательно или .

Условие перпендикулярности двух прямых

Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, когда угол  между ними равен , т.е. .

Координаты точки , делящей отрезок АВ в данном отношении , где , , можно вычислить по формулам

В частности, если , то , т.е. М – середина отрезка АВ, то формулы примут вид

Если уравнение прямой дано в общей форме: , то расстояние точки до этой прямой находится по формуле:

Площадь треугольника с вершинами , можно вычислить по формуле

Пример

Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

3) координату точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

6) площадь треугольника.

Решение

Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Подставив координаты точек , получим

- общее уравнение прямой АВ, из которого находим уравнение прямой с угловым коэффициентом , .

Медиана, проведенная из вершины С делит противолежащую сторону АВ треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны (рис.1):

, т.е. , . Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, получим - общее уравнение прямой СЕ.

Точка М делит каждую медиану в отношении , считая от вершины. Таким образом, ее координаты можно найти по формулам:

В нашем случае

откуда .

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно прямой из уравнения . Найдем угловой коэффициент прямой АС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки и :

- уравнение АС.

Угловой коэффициент прямой АС равен , тогда, используя условие перпендикулярности двух прямых , получим

- уравнение высоты.

Длину высоты можно найти, как расстояние от точки до прямой АС по формуле . В нашем случае уравнение прямой АС: , следовательно,

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении и условие параллельности двух прямых. Известно, что угловой коэффициент прямой АВ равен , следовательно,

- уравнение искомой прямой.

Площадь треугольника находится по формуле: , в нашем случае

у А(4;6)

В(-4;0) М

0 1 х

С(-1;-4)

Рис. 1

2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

Векторные величины (векторы) – это такие величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлением.

Для изображения векторных величин служат геометрические векторы. Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются проекции вектора на оси координат. Запись означает, что вектор имеет координаты .

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами точек его начала и конца надо найти разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. если задан вектор , где , то

Тогда модуль вектора находится по формуле

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначают: () или . По определению

, где .

Пусть векторы заданы аналитически:

Выражение скалярного произведения через координаты перемноженных векторов:

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом или , определяемый условиями:

модуль этого вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е.

;

этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости, определяемой этими векторами;
направлен по перпендикуляру к этой плоскости так, что векторы и составляют правую тройку (т.е. если при наблюдении с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки.)

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях – в этом состоит геометрический смысл модуля векторного произведения:

Пусть даны два вектора и . Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е. .

Если векторы заданы своими прямоугольными координатами , то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на 3-х некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения

Тогда объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, находится по формуле

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Если , три данные точки, не лежащие на одной прямой, а произвольная точка плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства имеет вид

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

где коэффициенты выбирают из канонических уравнений прямой

и общего уравнения плоскости

где - вектор нормали к плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Пример

Даны вершины треугольной пирамиды Найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

5) угол между ребром и гранью ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение

А4

А2

А1 А3

Рис. 2

1) Угол между ребрами и находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле

найдем координаты векторов

тогда косинус угла между векторами

2) Площадь грани находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора , тогда площадь треугольника находим по формуле

Найдем векторное произведение векторов

модуль векторного произведения равен

откуда находим площадь треугольника

3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

так как выше найдены координаты векторов

подставим координаты векторов в формулу, получим

4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины на грань применим формулу

откуда находим

5) Уравнение прямой находим по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки :

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение плоскости, проходящей через три точки

Подставим координаты точек в уравнение, получим

или

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

в нашем случае

6) Общее уравнение плоскости :

нормальный вектор плоскости .

Уравнение высоты : .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

В нашем случае , тогда уравнение высоты имеет вид

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной

Вычислить предел
1. Вычислить предел .
2. Вычислить предел .
3. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва.
4. Найти производную функции .
5. Найти производную функции
6. Найти производную функции , применяя метод логарифмического дифференцирования.
7. Найти производную функции, заданной неявно: .
8. Найти производную функции, заданной параметрически: .
9. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач

3.1. Раскрытие неопределенности вида .

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида. Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.

Пример 1

так как при каждая из дробей стремится к нулю.

Пример 2

Пример 3

Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен , если степень числителя больше степени знаменателя.

3.2. Раскрытие неопределенности вида

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример

Вычислить предел .

Решение

При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни:

тогда,

Таким образом, получим:

3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела

Одна из форм записи второго замечательного предела

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .

Пример

Вычислить предел .

Решение

Предел основания , а показатель степени при , т.е. имеет место неопределенность вида . Выделим целую часть основания степени

и применим второй замечательный предел:

, учитывая, что .

3.4. Непрерывность функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она имеет предел в точке и этот предел равен – значению функции в точке :

Таким образом, для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно выполнение трех условий:

функция должна быть определена в точке ;
должны существовать пределы функции при как слева, так и справа, т.е. и ;
эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции в точке , т.е. .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке и точку называют точкой разрыва функции .

Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.

Классификация точек разрыва

Определение. Если в точке функция имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке

или функция не определена, то точка называется точкой устранимого разрыва функции .

В этом случае функцию можно доопределить в точке так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить

Определение. Если в точке функция имеет конечные пределы слева и справа, причем , то точка называется точкой разрыва функции 1-го рода.

При переходе через точку значение функции претерпевает скачок, измеряемый разностью .

Определение. Точка называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен .

Пример

В точках и для функции установить характер точек разрыва.

Решение

Область определения функции . Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек и , которые не входят в область определения функции.

Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то , тогда предел слева ,

если , то , тогда предел справа .

Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).

Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то , тогда ,

если , то , тогда .

Так как односторонние пределы равны , то в точке функция имеет разрыв 2-го рода.

3.5. Правила дифференцирования

Определение. Производной функции в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при , если он существует.

По определению

Таблица производных

№		№
1	,	10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17
9		18

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю: .

Теорема. Если каждая из функций и дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии ) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

1) ,

2) ,

3) .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Пример

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции .

Решение

3.6. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция где или .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем

или

Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если , или и существуют производные , то .

Пример

Найти производную функции .

Решение

Здесь ,

, тогда .

3.7. Метод логарифмического дифференцирования

Метод логарифмического дифференцирования удобен для нахождения производной показательной функции , показательно – степенной функции , а также, если функция представляет собой выражение вида . Этот метод состоит в следующем: данное выражение сначала логарифмируют по основанию е, а затем дифференцируют как тождество, получая уравнение для нахождения производной.

Пример

Найти производную функции применяя метод логарифмического дифференцирования.

Решение

Здесь основание и показатель степени зависит от х. Логарифмируем обе части равенства по основанию е:

применяя свойства логарифмов, получим

Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:

умножим обе части равенства на у и подставим вместо у его выражение , получим

3.8. Производная функции, заданной неявно

Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.

В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.

Пусть функция задана неявно уравнением и известно, что существует решение этого уравнения в виде ; подставив это решение в уравнение, получим тождество .

Продифференцировав по х, получим уравнение для нахождения производной .

Пример

Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение

Продифференцируем обе части данного уравнения по аргументу х:

3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрически уравнениями

- параметр.

Требуется найти производную .

Имеет место формула

или .

Пример

Найти производную функции, заданной параметрически: .

Решение

Найдем производные функций х и у по переменной t:

Согласно формуле , получим

3.10. Исследование функций и построение графиков функций

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:

Найти область определения функции.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Определить четность, нечетность, периодичность функции.
Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.
Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
Построить график функции.

Пример

С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Решение

Область определения функции находится из условия: , т.е. .
Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оу, , точка ,

с осью Ох, , точка .

Четность, нечетность, периодичность функции.

Функция называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.

В нашем случае, , следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.

Функция непериодическая.

Исследование функции на экстремум.

Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель к нулю:

, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.

_ _ _

-6 6 у

Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка:

Необходимое условие точки перегиба: или не существует. Равенство выполняется при , следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.

_ + _ +

-6 0 6 у

Так как при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты .

Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

1) Вертикальные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов

или

равен или . Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.

Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода и , так как

, ,

следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты и .

2) Наклонные асимптоты. Пусть прямая является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:

Аналогично находится асимптота при .

Так как , то наклонных асимптот нет.

3) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:

Если эти пределы конечны и различны, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то не существуют и соответствующие асимптоты.

Так как

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

Построение графика функции.

Для уточнения построения графика функции можно найти ряд вспомогательных точек

х	-9	-4	4	9
у	-1,4	1,4	-1,4	1,4

после чего строим график функции.

Контрольная работа № 4. Интегральное исчисление функции одной переменной

Найти интеграл .
Найти интеграл .
Найти интеграл .
Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

, .

Вычислить интеграл или установить его расходимость .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач

4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала

Функция называется первообразной для функции на интервале , конечном или бесконечном, если в любой точке этого интервала функция дифференцируема и имеет производную .

Совокупность всех первообразных для функции , определенных на интервале , называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом

Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.

Пусть дан интеграл . Справедливо равенство

где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция.

Таблица интегралов

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.
15.

При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:

В общем случае

Пример 1

Найти интеграл.

Так как , то

Пример 2

Найти интеграл .

Так как , то

Пример 3

Найти интеграл .

Так как , то

Пример 4

Найти интеграл .

Так как, то

4.2. Метод интегрирования по частям

Пусть дан интеграл вида , где - непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям

Таким образом, вычисление интеграла приводится к вычислению интеграла , который может оказаться более простым или табличным.

Пусть - многочлен степени n. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:

1 группа:	2 группа:

Пример

Найти интеграл .

Решение

Положим , найдем , . Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем . Применим формулу интегрирования по частям

4.3. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл вида где R – рациональная функция своих аргументов.

Универсальная подстановка сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, при этом

, , .

Итак:

Пример

Найти интеграл .

Решение

Применим универсальную подстановку

получим

4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пусть функция определена и непрерывная на отрезке и пусть, для определенности,

Разобьем отрезок на n частей произвольным образом точками деления: . Выберем на каждом частичном промежутке произвольным образом точки .

Обозначим Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через Перейдем к пределу при .

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные и выбора на них точек , то он и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Если – любая первообразная для функции , то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1

Если то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой ,

прямыми и осью ох:

Если меняет знак конечное число раз на отрезке , то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, где и отрицателен, где :

Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми , тогда при условии имеем

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение

у=х+3

у=х2+1 3

–3 –1 0 2 х

Найдем точки пересечения: ,

4.5. Несобственные интегралы 1-го рода

Пусть дана функция , которая определена и непрерывна на промежутке . Пусть интеграл существует для любого конечного b и пусть

Предел интеграла при называется несобственным интегралом 1-го рода от функции на и обозначается символом .

Итак, .

Если этот предел конечен, то говорят, что интеграл сходится, а функцию называют интегрируемой на Если предел бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он расходится.

Вычислить несобственный интеграл 1-го рода можно по определению.

Пример

Вычислить интеграл или установить его расходимость .

Решение

, интеграл сходится.

Аналогично определяются еще два вида несобственных интегралов 1-го рода: и , с – любое число.

Контрольная работа № 5. Элементы теории вероятностей

В коробке находится синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных карандашей.
На склад поступили ящиков, в которых содержится по годных деталей и бракованных и ящиков, в которых содержится по годных деталей и бракованных. Наудачу выбирается ящик и из него наудачу извлекается деталь. Найти вероятность того, что вынутая деталь является годной.
Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производится выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.
Ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

			0
	0,2	0,1	0,2

Найти вероятности , если математическое ожидание . Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти: а) параметр а;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал

;

г) математическое ожидание и дисперсию .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 5 и решение типовых задач

5.1. Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.

Вероятность события А обозначается . В соответствии с определением

где – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Это определение вероятности называют классическим. При вычислении вероятностей событий с использованием классического определения, могут быть использованы формулы комбинаторики.

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

Число возможных перестановок из n элементов обозначают через , это число равно n!:

где по определению полагают, что

Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всевозможных размещений определяется формулой

или

Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m определяется формулой

Число перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством

В приведенных формулах предполагалось, что все n элементов различны.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример 1

В ящике находятся 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров. Наудачу выбирают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара (событие А)?

Решение

В ящике всего 30 шаров. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара из 15 можно выбрать способами, два синих шара из 9 можно выбрать способами, один зеленый из 6 – способами. Следовательно (в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событию А, будет .

По формуле находим искомую вероятность

Пример 2

На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?

Решение

Из пяти различных элементов можно составить перестановок

Значит, всего равновозможных исходов будет 120, а благоприятствующих данному событию – только один. Следовательно,

Пример 3

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помнил лишь, что эти цифры различные. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение

Событие А – набраны три нужные цифры. Вероятность , – число исходов, благоприятствующих событию А, – число всех возможных вариантов набора, поэтому искомая вероятность

5.2. Формула полной вероятности

Пусть имеется n попарно несовместных и единственно возможных событий Hi, i=1,2,…,n и пусть событие А может осуществиться в результате реализации одного из событий Hi, которые называют гипотезами.

Пусть вероятности Р(Нi) наступления случайных событий Hi известны и известны условные вероятности Р(А/Нi) случайного события А по каждому из событий Нi .

Требуется найти вероятность Р(А) случайного события А, которая называется полной вероятностью события А, она определяется по формуле

Следует обратить внимание на то, что , так как гипотезы образуют полную группу событий.

Пример

Имеются две коробки, в которых находятся по 8 красных карандашей и 4 синих и четыре коробки, в которых находятся по 5 красных карандашей и 7 синих. Наудачу выбирается коробка и из нее наудачу извлекают карандаш. Найти вероятность того, что вынутый карандаш красный.

Решение

Событие А – вынут красный карандаш.

Возможны следующие гипотезы:

– выбрана коробка, в которой 8 красных и 4 синих карандаша,

– выбрана коробка, в которой 5 красных и 7 синих карандашей.

Вероятности гипотез равны: .

Условные вероятности события А при этих гипотезах равны: , .

По формуле полной вероятности

5.3. Формула Бернулли и ее следствия

Пусть проводится n последовательных независимых одинаковых испытаний (экспериментов), в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью p и не появиться с вероятностью . Вероятность появления события в каждом опыте не зависит от того, появилось или нет это событие в других экспериментах (т.к. испытания независимые).

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится ровно m раз , выражается формулой Бернулли

, где .

Из формулы Бернулли вытекает ряд важных следствий, широко используемых на практике, в частности, при контроле качества изделий, в теории стрельбы, в теории связи и т.д.

Следствия формулы Бернулли

Вероятность того, что в серии из n опытов событие А появится хотя бы один раз вычисляется по формуле: .
Вероятность того, что в серии из n опытов событие А появится не менее k раз (k и больше) находится по формуле:.
Вероятность того, что в серии из n опытов событие А появится не более k раз (k и меньше) находится по формуле: .
Число опытов необходимых для того, чтобы событие А появилось хотя бы один раз с вероятностью не менее заданной Р находится по формуле: , где Р – заданная вероятность, р – вероятность появления события А в каждом опыте.
Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз. Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами np-q и np+p .

Пример 1

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение

Поскольку , то . По условию , , по формуле Бернулли получим

Пример 2

Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а имеется их десять. Вероятность невыхода каждой машины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

Решение

Автобаза будет работать нормально (событие D), если на линию выйдет или восемь (событие А), или девять (событие В), или все десять (событие С) автомашин.

По теореме сложения вероятностей

Каждое слагаемое найдем по формуле Бернулли. Поскольку вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1, то вероятность выхода автомашины на линию будет равна 0,9, т.е. . Из условия следует, что . Следовательно,

Пример 3

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.

Решение

Воспользуемся неравенством

Поскольку , , то . Вероятность находим по формуле Бернулли:

Пример 4

Вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная . Найти вероятность того, что среди 5 деталей будет не более двух нестандартных (событие А).

Решение

Искомую вероятность находим, используя следствие из формулы Бернулли:

5.4. Дискретные случайные величины

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате испытания (опыта) может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно – какое именно.

Условимся обозначать случайные величины прописными буквами:

X, Y, Z,…,

а их возможные значения строчными буквами: .

Законом распределения СВ называют любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.

Дискретная СВ (ДСВ) – это величина, множество возможных значений которой дискретно, т.е. состоит из отдельных, изолированных точек, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности. ДСВ принимает свои возможные значения с определенными вероятностями.

Рядом распределения ДСВ Х называется таблица, в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения СВ Х: , а в нижней – вероятности этих значений: , где – вероятность того, что в результате опыта СВ Х примет значение .

Ряд распределения записывается в виде таблицы:

Х			…		…
р			…		…

Так как в одном испытании СВ принимает одно и только одно возможное значение, то события несовместны и образуют полную группу. Следовательно, сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда распределения, равна 1:

Пусть ДСВ принимает бесконечную последовательность значений (множество значений ДСВ бесконечно, счетно). Тогда ряд распределения ДСВ примет вид:

Х			…		…		…
р			…		…		…

В этом случае ряд, составленный из чисел , сходится и его сумма равна единице.

Такой способ задания закона распределения ДСВ (в виде ряда распределения) называется табличным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: на оси абсцисс откладывают возможные значения СВ, на оси ординат – вероятности этих значений, таким образом, получаем точки . Полученные точки (пусть из будет четыре), для наглядности, соединяют отрезками прямых (рис. 1).

Рис. 1

Этот способ задания закона распределения ДСВ называют графическим.

Можно также задавать закон распределения ДСВ аналитически. Например, формула Бернулли: аналитически задает закон распределения, называемый биномиальным.

Функцией распределения СВ Х называется функция , , которая определяется формулой

(т.е. вероятность того, что СВ Х примет значение меньше наперед заданного значения х, где х любое вещественное число).

В случае ДСВ:

где суммирование проводится по всем значениям , которые строго меньше х.

Функцию распределения называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Числовые характеристики ДСВ

Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

Обозначение математического ожидания:

М.О. .

Таким образом:

Дисперсией СВ Х называется МО квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

Дисперсия ДСВ, принимающей конечное число значений, определяется формулой

Замечание. Дисперсию также можно находить, используя свойство дисперсии, по формуле

Среднее квадратическое отклонение случайной величины находится по формуле

Пример

Ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

			0	2	4
	0,1	0,2	0,3

Решение

Сумма вероятностей ряда распределения . В нашем случае

Математическое ожидание находится по формуле , в нашем случае

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения и :

решая которую находим

Тогда ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

			0	2	4
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Построим многоугольник распределения, для этого в прямоугольной системе координат строим точки , , , , , затем соединяем эти точки отрезками прямых. Ломаная является многоугольником распределения данной случайной величины.

0,3 М3 М4

М2 0,2

М1 0,1 М5

0 2 4

Для нахождения функции распределения ДСВ Х используем формулу :

при ,

при

Итак,

График функции распределения :

0,9

0,6

0,3

0,1

0 2 4 х

Дисперсия дискретной случайной величины находится по формуле , в нашем случае

Среднее квадратическое отклонение находится по формуле , в нашем случае

5.5. Непрерывные случайные величины

Непрерывная СВ (НСВ) – это величина, множество возможных значений которой – непрерывное множество, т.е. сплошь заполняет некоторый промежуток (определение не строгое). Можно показать, что вероятность отдельного значения НСВ равна нулю. Из этого не следует, что событие невозможное. Это означает, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Универсальным законом распределения, пригодным как для ДСВ, так и для НСВ, который полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, является функция распределения .

Свойства функции распределения

Функция распределения , что следует из определения функции распределения, как вероятности события , а вероятность любого события .
Функция распределения неубывающая функция своего аргумента, т.е. если , то .
Вероятность попадания СВ в промежуток равна приращению функции распределения на этом интервале

Если возможные значения СВ принадлежат интервалу , то

1) при , 2) при .

Если возможные значения НСВ расположены на всей оси Ох, то

, .

Функция непрерывна слева, т.е.. Для непрерывной СВ функция распределения непрерывна всюду.

Замечание. Так как вероятность каждого отдельного значения НСВ равна нулю, то для НСВ справедливы равенства

Плотностью распределения (или плотностью вероятности, или плотностью) НСВ Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке:

График плотности распределения называется кривой распределения. Плотность распределения существует только для НСВ.

Плотность распределения называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

Свойства плотности распределения

Плотность распределения – неотрицательная функция, т.е. .
Вероятность попадания СВ с плотностью распределения в данный интервал выражается формулой:

Функция распределения выражается через плотность распределения формулой:

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице (свойство нормированности):

Замечание. Если функция не удовлетворяет свойству 4, то она не может быть плотностью распределения какой-либо случайной величины.

Числовые характеристики НСВ

Математическое ожидание для НСВ, все значения которой принадлежат отрезку определяется формулой:

Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат промежутку , то математическое ожидание определяется формулой:

если несобственный интеграл сходится абсолютно

Дисперсия НСВ, все значения которой принадлежат отрезку , определяется формулой

Если непрерывная случайная величина принимает значения, принадлежащие промежутку , то ее дисперсия определяется формулой

если несобственный интеграл сходится абсолютно.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины находится по формуле

Пример

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид

Найти: параметр А, функцию распределения , вероятность попадания случайной величины Х в интервал , математическое ожидание и дисперсию .

Решение

Для определения значения А воспользуемся условием . Вычислим интеграл

плотность распределения случайной величины Х примет вид

Для того, чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой .

При получаем ,

при находим

при : .

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид

Вероятность попадания СВ Х в интервал найдем по формуле , она будет равна

Математическое ожидание находим по формуле :

Дисперсию найдем по формуле :

тогда .

Контрольная работа № 6. Элементы математической статистики

Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:

i	1	2	3	4	5	6	7	8

	4	7	13			16	6	3

где i – номер интервала, – границы интервала, , , – частота.

6.1.1. Найти функцию распределения выборки и построить ее график.

6.1.2. Построить гистограмму относительных частот.

6.1.3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию .

6.1.4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .

6.1.5. С помощью критерия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей:


2	3	–	–	–	5
3	8	2	–	–	13
–			–	–
–	–			–
–	–	9	10	–	19
–	–	3	6	1	10
–	–	–	1	2	3
5				3

где , .

6.2.1. Найти выборочные средние и выборочные дисперсии .

6.2.2. Построить уравнение линии регрессии Y на Х в виде .

6.2.3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 6 и решение типовых задач

6.1. Выборка из одномерной генеральной совокупности

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения .

Совокупность всех значений СВ Х называют генеральной совокупностью.

Случайной выборкой ( или выборочной совокупностью) объема n, отвечающей случайной величине Х с функцией распределения , называется последовательность наблюдаемых значений СВ Х, соответствующих n независимым повторениям эксперимента.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

Статистическим рядом распределения называется последовательность пар , которые записывают в виде таблицы; в первой строке – элементы в возрастающем порядке, одинаковые значения записывают один раз, во второй строке – их частоты (сколько раз встретился элемент).

Относительной частотой называется отношение абсолютной частоты к объему выборки.

Очевидно, что , .

При большом объеме выборки ее элементы (варианты) объединяют в группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на k частичных непересекающихся интервалов, чаще имеющих одинаковую длину , где W – размах выборки (разность между максимальным и минимальным элементами выборки). После этого определяют частоты – количество элементов выборки, попавших в i-тый интервал (элемент, совпадающий с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу).

Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группированной выборки так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте (относительной частоте ).

Если длины всех интервалов одинаковы и равны , то высоты прямоугольников гистограммы частот равны , для гистограммы относительных частот .

Гистограмма относительных частот – прообраз плотности распределения. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

Оценкой для функции распределения СВ Х по случайной выборке служит эмпирическая функция распределения или функция распределения выборки, которая определяется формулой:

где – число вариант, меньших х, n – объем выборки.

Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот

где – число вариант, меньших х.

Числовые характеристики выборки

Выборочное среднее – среднее арифметическое всех значений выборки, находится по формуле

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле

Выборочное СКО вычисляется по формуле

Исправленная выборочная дисперсия вычисляется по формуле

Исправленное выборочное СКО вычисляется по формуле

Для группированной выборки формулы примут вид:

, , ,

где – средняя точка интервала группированного ряда.

Доверительным интервалом называют интервал , который покрывает неизвестный параметр а с заданной вероятностью ; здесь – оценка параметра а, концы и – доверительные границы (они оценивают возможную погрешность), число  – доверительная вероятность или надежность. Число характеризует точность оценки.

Доверительный интервал для математического ожидания при большом объеме выборки и неизвестном среднем квадратическом отклонении выражается формулой

где – функция, обратная функции Лапласа (приложение 1), т.е. такое значение аргумента в таблице функции Лапласа, для которого функция Лапласа равна .

Замечание. Если использовать таблицу значений функции Лапласа , то точность оценки находится по формуле .

Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона

Постановка задачи. Относительно некоторой генеральной совокупности Х высказывается гипотеза Н (о возможных значениях числовых характеристик, о виде закона распределения…) которую называют статистической гипотезой. Из этой генеральной совокупности извлекается выборка . Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по каждой данной выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.

Нулевой гипотезой (основной) называют основную выдвигаемую гипотезу .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой гипотезе .

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, которая рассчитывается по экспериментальной выборке, точное или приближенное распределение которой известно. Эту случайную величину К называют статистическим критерием.

Зная закон распределения К можно определить вероятность попадания К в любой интервал, т.е. для любых значений а и b.

Обозначим: .

Уровнем значимости  называют условное достаточно малое значение вероятности , соответствующее практически невозможному событию . При этом область называют критической областью.

Областью допустимых значений считают область , так как достаточно велика при малых .

Итак: при выбранном значении  для данной гипотезы известна критическая область , в которую с вероятностью критерий К попасть не должен.

Если вычисленный по выборке критерий К оказался в критической области , говорят о несоответствии гипотезы фактическим данным, т.е. об отсутствии оснований принять гипотезу . Если критерий К оказался вне критической области , говорят о соответствии гипотезы фактическим данным, т.е об отсутствии оснований отвергать гипотезу .

При статистической проверке правильности выдвигаемой гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов: ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза отвергнута, а она верна; ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принята, а она не верна.

Критерием согласия называют критерий проверки статистической гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения СВ.

Критерий согласия Пирсона (критерий ).

Пусть выдвигается простая гипотеза , полностью определяющая вид функции распределения исследуемой СВ Х. При этом имеется выборка достаточно большого объема, которой соответствует определенный статистический ряд.

В качестве критерия проверки справедливости гипотезы выбирается СВ:

где – теоретические относительные частоты появления величины , вычисленные в предположении гипотезы по известной плотности распределения вероятностей ; – теоретические абсолютные частоты появления .

Эта величина при распределена по закону с r степенями свободы

где s – число различных значений СВ Х (количество интервалов группированной выборки), l – число параметров предполагаемого закона распределения.

Распределение не обладает симметрией, поэтому критическая область выбирается односторонней , значение полностью определяются по уровню значимости  и данному значению по таблице распределения (приложение 2).

Критерий использует тот факт, что случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному . Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех интервалов группированного статистического ряда выполнялось условие . Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединять с соседними. Так как после объединения остается меньше интервалов, то число степеней свободы следует вычислять, используя число вновь полученных интервалов.

Пример

Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
	3	8	14	27	20	16	7	5

1. Найти функцию распределения выборки и построить ее график.

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию .

4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .

5. С помощью критерия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .

Решение

Объем выборки , длина интервала . Для нахождения эмпирической функции распределения , построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .

Таблица 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
	3	8	14	27	20	16	7	5
		2,25	4,75	7,25	9,75	12,25	14,75	17,25
	0,03	0,08	0,14	0,27	0,2	0,16	0,07	0,05
	0,03	0,11	0,25	0,52	0,72	0,88	0,95	1
	0,012	0,032	0,056	0,108	0,08	0,064	0,028	0,02

1. Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы 1. Эта функция имеет скачки в точках – серединах интервалов группированного статистического ряда.

Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид:

График эмпирической функции распределения изображен на рис. 1.

0,95

0,88

0,72

0,52

0,25

0,11

0,03

-0,25 2,25 4,75 7,25 9,75 12,25 14,75 17,25 х

Рис. 1

2. Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в седьмой строке таблицы 1. График гистограммы изображен на рис. 2.

0,108

0,08

0,064

0,056

0,032 0,028

0,02

0,012

-1,5 1 3,5 6 8,5 11 13,5 16 18,5

Рис. 2

3. Найдем числовые характеристики выборки. Выборочное среднее находим по формуле , в нашем случае

Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле , в нашем случае

4. При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

Используя таблицу значений функции Лапласа (приложение 1) находим .

Вычислим , тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

или

5. Выдвигаем простую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. В качестве критерия проверки справедливости гипотезы выбирается случайная величина

где находятся по формуле вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе

где – функция Лапласа.

Замечание. Если использовать таблицу значений функции Лапласа , то вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе распределения находится по формуле .

Для соблюдения условия полагают , .

Для вычисления критерия составим расчетную таблицу:

Таблица 2

I	1	2	3	4	5	6	7	8
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
	3	8	14	27	20	16	7	5
		2,25	4,75	7,25	9,75	12,25	14,75	17,25
	1	3,5	6	8,5	11	13,5	16
		1	3,5	6	8,5	11	13,5	16
					0,5803	1,1849	1,7895
						0,5803	1,1849	1,7895
					0,438	0,764	0,926	1
						0,438	0,764	0,926
	0,033	0,0755	0,1565	0,2255	0,2285	0,163	0,081	0,037
	3,3	7,55	15,65	22,55	22,85	16,3	8,1	3,7
		10,85	15,65	22,55	22,85	16,3	11,8
		0,15		4,45			0,2
		0,0225	2,7225	19,8025	8,1225	0,09	0,04
		0,0020	0,1739	0,8781	0,3554	0,0055	0,0033

Находим сумму элементов 11-ой и 12-ой строк таблицы 2, получаем .

Критерий равен сумме элементов последней строки таблицы 12:

Находим критическую область . Так как уровень значимости по условию, число степеней свободы , то согласно таблице распределения - , критическая область имеет вид .

Так как критерий не попал в критическую область , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

6.2. Выборка из двумерной генеральной совокупности

Системой случайных величин (СВ) называют совокупность СВ, характеризующих состояние рассматриваемой системы или исход данного опыта.

Обозначение:

– n-мерная СВ.

Каждую из величин называют составляющей или компонентой.

Различают дискретные и непрерывные многомерные СВ: дискретные – если составляющие этих величин дискретны, и непрерывные – когда составляющие этих величин непрерывны.

Полной характеристикой ССВ является ее закон распределения, который может иметь разные формы: функция распределения, плотность распределения, таблица вероятностей отдельных значений случайного вектора и т.д.

Рассмотрим двумерную СВ , возможные значения которой – пары чисел .

Закон распределения дискретной двумерной СВ может быть задан таблицей распределения (матрицей распределения) (таблица 3), элемент которой, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, равен вероятности того, что двумерная случайная величина имеет значение :

Таблица 3

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

События при образуют полную группу, поэтому сумма всех вероятностей равна единице:

Зная матрицу распределения двумерной ДСВ можно найти законы распределения каждой из составляющих. Чтобы найти вероятность того, что одномерная случайная величина Х или Y примет значение или , следует сложить все вероятности , стоящие в строке с номером i или столбце с номером j.

Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина. В противном случае величины Х и Y называются зависимыми.

При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики одномерных составляющих Х и Y - математические ожидания и дисперсии: . Также рассматриваются условные математические ожидания и условные дисперсии. Например, условным математическим ожиданием одной из случайных величин, входящих в систему , называется ее математическое ожидание, вычисленное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условное математическое ожидание случайной величины Y при заданном , т.е. функция

называется функцией регрессии случайной величины Y относительно случайной величины Х (у на х). График этой функции называется линией регрессии у на х.

Аналогично определяется функция регрессии х на у,

Числовые характеристики системы не исчерпываются числовыми характеристиками случайных величин, входящих в систему. Может иметь место взаимная связь между случайными величинами, составляющими систему. Для ее описания вводят в рассмотрение числовую характеристику – корреляционный момент.

Корреляционным моментом (или ковариацией) случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонения этих величин от своих математических ожиданий:

Эта характеристика помимо рассеяния величин Х и Y описывает еще и связь между ними. Если случайные величины Х и Y независимы друг от друга, то корреляционный момент равен нулю. Обратное утверждение неверно, т.е. из равенства нулю корреляционного момента не следует независимость случайных величин Х и Y.

Формула для вычисления корреляционного момента дискретных случайных величин:

Для характеристики связи между величинами Х и Y в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике - коэффициенту корреляции случайных величин Х и Y:

где и – средние квадратические отклонения величин Х и Y.

Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

Если случайные величины Х и Y независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю.

Случайные величины, для которых корреляционный момент, а значит и коэффициент корреляции, равен нулю, называется некоррелированными (несвязанными).

Две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Обратное утверждение не всегда верно, могут быть случаи, когда случайные величины являются некоррелированными, но зависимыми.

Если , где n – число двумерных случайных величин, то связь между случайными величинами Х и Y достаточно вероятна.

Рассмотрим выборку из двумерной генеральной совокупности, отождествляемой с системой двух случайных величин . В результате n независимых наблюдений получили n пар чисел:

Статистический материал сводят в корреляционную таблицу (таблица 4):

Таблица 4

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
							n

где - частоты наблюденных пар значений признаков , , n – объем выборки.

Если по данным корреляционной таблицы построить законы распределения для каждой компоненты X и Y, то числовые характеристики выборки можно найти по формулам:

выборочные средние значения компонент

, ;

выборочные дисперсии компонент

или

, ;

выборочный корреляционный момент

или

;

выборочный коэффициент корреляции

;

условные средние компонент

, ,

где усреднение ведется в 1-ой формуле лишь по тем , которые появились совместно с данным у, а во 2-ой формуле лишь по тем , которые появились совместно с данным х.

Функция регрессии имеет важное значение при статистическом анализе зависимостей и может быть использована для прогнозирования значений одной из СВ, если известны значения другой СВ. Точность такого прогноза определяется условной дисперсией. Однако возможности практического применения функции регрессии весьма ограничены, так как для ее использования необходимо знать аналитический вид двумерного распределения . Поэтому идут на упрощение и вместо корреляционной зависимости рассматривают статистическую зависимость, которая устанавливает функциональную связь между значениями одной из величин и условным средним другой величины, например

эта функция называется эмпирической функцией регрессии, а ее график – эмпирической линией (кривой) регрессии. На практике получают лишь оценку кривой регрессии, так как число значений величины Х в выборке конечно.

Функция регрессии обладает замечательным свойством – она дает наименьшую среднюю погрешность оценки прогноза, т.е. величина

является минимальной именно для функции

На этом свойстве построен метод наименьших квадратов для определения неизвестных параметров функции регрессии.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в выборе линии регрессии таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от теоретических была наименьшей.

Для иллюстрации метода рассмотрим частный случай линейной регрессии

По данным выборки требуется определить параметры а и b.

Строим функцию :

Используя корреляционную таблицу функцию можно записать в виде

Составляем необходимые условия экстремума:

После упрощения система примет вид:

Последнюю систему называют нормальной, решая ее получаем значения неизвестных коэффициентов а и b.

Уравнение регрессии можно также найти путем вычисления коэффициента регрессии. Уравнение регрессии у на х можно записать в виде

Число называют коэффициентом регрессии у на х.

Пример

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей:

Таблица 5

Y X	3	4,2	5,4	6,6	7,8
1,2	2	3	–	–	–	5
3	3	8	2	–	–	13
4,8	–	14	18	–	–	32
6,6	–	–	10	8	–	18
8,4	–	–	9	10	–	19
10,2	–	–	3	6	1	10
12	–	–	–	1	2	3
	5	25	42	25	3	100

1. Найти выборочные средние и выборочные дисперсии .

2. Построить уравнение линии регрессии у на х в виде .

3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

Решение

1. Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:

	1,2	3	4,8	6,6	8,4	10,2	12
	5	13	32	18	19	10	3

	3	4,2	5,4	6,6	7,8
	5	25	42	25	3

Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:

;

выборочные дисперсии:

2. Найдем уравнение линии регрессии у на х по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов а и b:

выше при вычислении числовых характеристик было найдено:

, .

Используя корреляционную таблицу каждому варианту признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е.

результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 6).

Таблица 6

	1,2	3	4,8	6,6	8,4	10,2	12
	3,72	4,10769	4,875	5,9333	6,03157	6,36	7,4

Вычислим:

Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим

Решим систему по формулам Крамера:

тогда

Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид:

Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии

Найдем:

, ,

выборочный корреляционный момент найдем по формуле

в нашем случае

выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле

в нашем случае

Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим :

следовательно, связь достаточно вероятна.

Подставим найденные значения в уравнение

получим

после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х

3. Изобразим корреляционное поле и построим прямую (рис. 3).

Рис. 3

Краткое содержание (программа) курса

1. Элементы линейной алгебры

Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными.

2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Линейные операции над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Скалярные и векторные величины. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Геометрический смысл линейных неравенств и их систем. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве. Преобразование координат. Полярная система координат.

3. Предел и производная функции одной переменной

Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции, их свойства. Замечательные пределы. Непрерывность функции, точки разрыва функции и их классификация.

Производная функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность. Геометрический и механический смысл производной. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производная функций заданных неявно и параметрически. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование функций на возрастание и убывание. Исследование функций на экстремум. Исследование функций на выпуклость и вогнутость, нахождение точек перегиба. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Общий план исследования функции и построения графика функции.

4. Интегральное исчисление функции одной переменной

Первообразная. Неопределенный интеграл, простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций.

Интегральная сумма и определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям. Замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.

5. Теория вероятностей

Элементы комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки). Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей. Следствия из аксиом теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Следствия из формулы Бернулли. Формула Пуассона.

Понятие случайной величины (СВ) и ее закона распределения. ДСВ и НСВ. Ряд распределения. Многоугольник распределения. Функции распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее свойства. Числовые характеристики СВ (математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, СКО). Начальные и центральные моменты СВ. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения и его параметры. Вероятность попадания СВ, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Функция Лапласа. Дискретные и непрерывные системы случайных величин (ССВ). Система 2-х СВ, матрица распределения. Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Числовые характеристики ССВ. Корреляционный момент, коэффициент корреляции, корреляционная матрица. Закон больших чисел. Предельные теоремы.

6. Математическая статистика

Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистический ряд распределения. Группированный статистический ряд. Полигон частот и относительных частот. Гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики выборки. Понятие точечной оценки. Критерии качества точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Основные этапы решения задачи о статистической проверке гипотез. Критерий согласия (Пирсона). Выборка из двумерной генеральной совокупности, ее характеристики. Функция регрессии. Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров функции регрессии.

Приложение 1

Значения функции Лапласа

х	(х)	х	(х)	х	(х)	х	(х)
0,00	0,0000	0,30	0,2358	0,60	0,4515	0,90	0,6319
0,01	0,0080	0,31	0,2434	0,61	0,4581	0,91	0,6372
0,02	0,0160	0,32	0,2510	0,62	0,4647	0,92	0,6424
0,03	0,0239	0,33	0,2586	0,63	0,4713	0,93	0,6476
0,04	0,0319	0,34	0,2661	0,64	0,4878	0,94	0,6528
0,05	0,0399	0,35	0,2737	0,65	0,4843	0,95	0,6579
0,06	0,0478	0,36	0,2812	0,66	0,4907	0,96	0,6629
0,07	0,0558	0,37	0,2886	0,67	0,4971	0,97	0,6680
0,08	0,0638	0,38	0,2961	0,68	0,5035	0,98	0,6729
0,09	0,0717	0,39	0,3035	0,69	0,5098	0,99	0,6778
0,10	0,0797	0,40	0,3108	0,70	0,5161	1,00	0,6827
0,11	0,0876	0,41	0,3182	0,71	0,5223	1,01	0,6875
0,12	0,0955	0,42	0,3255	0,72	0,5285	1,02	0,6923
0,13	0,1034	0,43	0,3328	0,73	0,5346	1,03	0,6970
0,14	0,1113	0,44	0,3401	0,74	0,5407	1,04	0,7017
0,15	0,1192	0,45	0,3473	0,75	0,5467	1,05	0,7063
0,16	0,1271	0,46	0,3545	0,76	0,5527	1,06	0,7109
0,17	0,1350	0,47	0,3616	0,77	0,5587	1,07	0,7154
0,18	0,1428	0,48	0,3688	0,78	0,5646	1,08	0,7199
0,19	0,1507	0,49	0,3759	0,79	0,5705	1,09	0,7243
0,20	0,1585	0,50	0,3829	0,80	0,5763	1,10	0,7287
0,21	0,1663	0,51	0,3899	0,81	0,5821	1,11	0,7330
0,22	0,1741	0,52	0,3969	0,82	0,5878	1,12	0,7373
0,23	0,1819	0,53	0,4039	0,83	0,5935	1,13	0,7415
0,24	0,1897	0,54	0,4108	0,84	0,5991	1,14	0,7457
0,25	0,1974	0,55	0,4177	0,85	0,6047	1,15	0,7499
0,26	0,2051	0,56	0,4245	0,86	0,6102	1,16	0,7540
0,27	0,2128	0,57	0,4313	0,87	0,6157	1,17	0,7580
0,28	0,2205	0,58	0,4381	0,88	0,6211	1,18	0,7620
0,29	0,2282	0,59	0,4448	0,89	0,6265	1,19	0,7660
х	(х)	х	(х)	х	(х)	х	(х)
1,20	0,7699	1,50	0,8664	1,80	0,9281	2,50	0,9876
1,21	0,7737	1,51	0,8690	1,81	0,9297	2,55	0,9892
1,22	0,7775	1,52	0,8715	1,82	0,9312	2,60	0,9907
1,23	0,7813	1,53	0,8740	1,83	0,9328	2,65	0,9920
1,24	0,7850	1,54	0,8764	1,84	0,9342	2,70	0,9931
1,25	0,7887	1,55	0,8789	1,85	0,9357	2,75	0,9940
1,26	0,7923	1,56	0,8812	1,86	0,9371	2,80	0,9949
1,27	0,7959	1,57	0,8836	1,87	0,9385	2,85	0,9956
1,28	0,7995	1,58	0,8859	1,88	0,9399	2,90	0,9963
1,29	0,8029	1,59	0,8882	1,89	0,9412	2,95	0,9968
1,30	0,8064	1,60	0,8904	1,90	0,9426	3,00	0,9973
1,31	0,8098	1,61	0,8926	1,91	0,9432	3,10	0,9981
1,32	0,8132	1,62	0,8948	1,92	0,9451	3,20	0,9986
1,33	0,8165	1,63	0,8969	1,93	0,9464	3,30	0,9990
1,34	0,8198	1,64	0,8990	1,94	0,9476	3,40	0,9993
1,35	0,8230	1,65	0,9011	1,95	0,9488	3,50	0,9995
1,36	0,8262	1,66	0,9031	1,96	0,9500	3,60	0,9997
1,37	0,8293	1,67	0,9051	1,97	0,9512	3,70	0,9998
1,38	0,8324	1,68	0,9070	1,98	0,9523	3,80	0,9999
1,39	0,8355	1,69	0,9090	1,99	0,9534	3,90	0,9999
1,40	0,8385	1,70	0,9109	2,00	0,9545	4,00	0,9999
1,41	0,8415	1,71	09127	2,05	0,9596	4,42	1-10-5
1,42	0,8444	1,72	0,9146	2,10	0,9643	4,89	1-10-6
1,43	0,8473	1,73	0,9164	2,15	0,9684	5,33	1-10-7
1,44	0,8501	1,74	0,9181	2,20	0,9722
1,45	0,8529	1,75	0,9199	2,25	0,9756
1,46	0,8557	1,76	0,9216	2,30	0,9786
1,47	0,8584	1,77	0,9233	2,35	0,9812
1,48	0,8611	1,78	0,9249	2,40	0,9836
1,49	0,8638	1,79	0,9265	2,45	0,9857

Прозоровская Светлана Дмитриевна

Черняк Татьяна Анатольевна

Сайфудинова Анна Владимировна

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ И СТАТИСТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

курса «МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА»
для студентов заочного отделения

	Подп. к печати	Формат 6084 1/16
Усл. печ. л. 6,63	Уч.-изд. л.	Тираж экз.
Изд. № 001	Заказ №

РИО СПбГУСЭ, лицензия ЛР № 040849

Член Издательско-полиграфической Ассоциации университетов России

Государственный регистрационный номер 2047806003595 от 06.02.2004 г.

СПб государственный университет сервиса и экономики

191015, г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7

1. Введение 02
2. I Норманнская теория в XX веке
3. вспомогательного процесса в ходе которого закрепляется теоретические знания на производстве
4. методологические и организационные вопросы сбора информации
5. О классификаторах используемых для заполнения таможенных деклараций
6. Хафиз Абу Бакрибн Абу адДунья Под редакцией и с толкованиями-Мусида АбдульХамида Мухаммада асСаадани
7. ТЕМА- Третьи лица в гражданском процессе
8. реферату- Перестріч гайовий перстач білий перстач гусячийРозділ- Біологія Перестріч гайовий перстач біли
9. правовая норма- понятие виды структура Понятие и признаки административноправовых отношений
10. ТЕМА- Что нужно знать проходя испытания Проблемы которые мы встречаем
11. лабораторная работа 5 Использование невизуальных компонентов в среде Borlnd Delphi по дисциплине ИНФОРМА
12. Курсовая работа- Амортизация и амортизационная политика
13. Реферат- Шпаргалки з курсу Теорія і методіка журналістської творчості ГЕК.html
14. Вятский государственный гуманитарный университет ВятГГУ Филиал ВятГГУ в г
15. кишечного тракта заболеваниях верхних дыхательных путей так как обладают ветрогонным спазмолитическим ба
16. 1Суверенитет означает наличие верховной политической власти от имени которой в стране принимаются все влас
17. Реферат- Защита информации в компьютерных системах
18. Историография Столыпинской аграрной реформы в Беларуси
19. Содержательные характеристики PR-кампании
20. Тема- Создание запросов Цель- Научиться создавать различные типы запросов

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе


2	3	–	–	–	5
3	8	2	–	–	13
–			–	–
–	–			–
–	–	9	10	–	19
–	–	3	6	1	10
–	–	–	1	2	3
5				3

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
							n


2	3	–	–	–	5
3	8	2	–	–	13
–			–	–
–	–			–
–	–	9	10	–	19
–	–	3	6	1	10
–	–	–	1	2	3
5				3

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
							n


2	3	–	–	–	5
3	8	2	–	–	13
–			–	–
–	–			–
–	–	9	10	–	19
–	–	3	6	1	10
–	–	–	1	2	3
5				3

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
							n