Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство РФ по связи и информатизации
ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
Уральский технический институт связи и информатики (филиал)
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине информатика
Тема: Визуализация численных методов.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Вариант 14
Факультет Телекоммуникации Выполнил: студент группы ТЕ-81
Кафедра Физики, прикладной Кошкарёва Е.В. математики и информатики
Проверил: доцент кафедры ИСиТ,
Дата защиты__________ кандидат педагогических наук
Оценка___________ Минина Е.Е.
Екатеринбург
2009
Содержание
Введение
Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.
Если решить сложно или совсем невозможно, используют численные методы, то есть приближенные вычисления. В числовых методах обязательно используют начальные условия, чтобы исключить константу.
Численные методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки и интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В данной работе используется одношаговый метод.
Для визуализации численных методов используются языки программирования. Программирование в наши дни очень сильно развивается. Оно нужно для создания программ, расчета функций. Численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчетов.
В данной работе поставлена задача решить дифференциальное уравнение с помощью двух методов: метода Эйлера и метода Эйлера модифицированного. Требуется написать программу на языке Visual Basic для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе будут сравниваться эти методы и оценятся погрешности и правильность решения.
1 Постановка задачи
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши:
Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую указанному уравнению и начальному условию.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Геометрический смысл задачи: - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке к оси ОХ, - угловой коэффициент.
Рисунок 1 - Геометрический смысл задачи Коши
Необходимо решить методами Эйлера и Эйлера модифицированным задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке с шагом и начальным условием .
Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:
|
... |
... |
... |
... |
где , – решения, полученные различными численными методами,
– точное решение дифференциального уравнения.
Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.
Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков. Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента , используемого в общем решении.
2 Описание используемых методов
2.1 Метод Эйлера
Этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.
Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.
Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:
1) строим оси координат;
2) отмечаем точку A(0; 4) – первую точку интегральной кривой;
3) ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4) строим касательную AB в точке А под углом ;
5) находим по формуле , где – шаг интегрирования:
;
6) проводим прямую до пересечения с прямой AB, отмечаем точку ;
7) ищем :
Из прямоугольного треугольника ABC -
Следовательно, точка B имеет координаты (0.05; 4).
Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:
Рисунок 2 - Метод Эйлера
2.2 Метод Эйлера модифицированный
Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет также следующие названия: метод Эйлера - Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:
1) строим оси координат;
2) отмечаем точку А(0; 4) – первую точку интегральной кривой;
3) ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4) строим касательную AB в точке А под углом ;
5) находим по формуле , где – шаг интегрирования:
;
6) делим шаг интегрирования на два отрезка и отмечаем , проводим прямую из этой точки до прямой AB, отмечаем точку ;
7) ищем координаты точки В:
Следовательно, точка B имеет координаты (0.025; 4).
8) ищем угол наклона касательной к графику в точке B:
9) строим касательную BC в точке B под углом ;
10) проводим прямую до пересечения с прямой BC, отмечаем точку C с координатами (x1; y1);
11) ищем :
Следовательно, точка C имеет координаты (0.05; 4.0049).
Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции: .
Рисунок 3 - Метод Эйлера модифицированный
3 Блок-схемы основных процедур
3.1 Решение методом Эйлера
3.2 Решение методом Эйлера модифицированным
3.3 Общая блок - схема
3.4 Блок - схема дифференциального уравнения
4 Виды формы проекта
4.1 Исходный вид формы программы
4.2 Итоговый вид формы программы
5 Листинг программы на языке Visual Basic.
Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single
Private y0 As Single
Private x0 As Single
Private xk As Single
Private C As Single
Function f(х As Single, y As Single) As Single
f = 2 * x * y / x + 1
End Function
Private Sub Command2_Click()
x0 = Val(Text1.Text)
xk = Val(Text2.Text)
y(0) = Val(Text4.Text)
h = Val(Text3.Text)
p(0) = y(0)
z(0) = y(0)
n = Round((xk - x0) / h)
C = (y(0) * (x0 + 1) ^ 2) / Exp(2 * x0)
MSFlexGrid1.Rows = n + 2
MSFlexGrid1.Cols = 4
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"
Max = y(0)
Min = y(0)
For i = 1 To n
x(i) = x0 + i * h
p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)), 4)
y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)
z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h, 4)
If y(i) > Max Then Max = y(i)
If y(i) < Min Then Min = y(i)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))
Next i
Picture1.Cls
kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)
ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)
Label4.Caption = Str(Min)
Label5.Caption = Str(Max)
Label6.Caption = Str(x0)
Label7.Caption = Str(xk)
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)
z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)
z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)
z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)
z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)
Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8), vbRed
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbGreen
Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6), vbBlue
Next i
End Sub
End
6 Решение задачи в MathCAD
Заключение
Литература
Eiler ()
tg (α) = f(x,y)
i=0,…,N-1
end
end
i=0,…, N-1
EilerM()
End
α
xi+1
α
Label7
Label6
Label5
Command1
Command2
PictureBox
MSFlexGrid
Text4
Text3
Text2
Text1
Label4
Label3
Label2
Label1
хi
0
x
yi
h
yi+1
y=y(x)
B
А
y
α1
α
ε
ε1
xi+1
xi
h
h/2
В
С
А
0
y=y(x)
x
y
f(x, y)