Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Функция – это соответствие между двумя множествами Х и У, при котором каждому элементу множества Х найдется единственный элемент множества У.
Способы задания функции:
Область определения функции – это множество значений переменной Х, при которых функция принимает действительные значения (обозначается D(f)).
Область изменения функции – это множество значений, которые принимает сама функция (обозначается E(f)).
Предел функции в заданной точке - это такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
lim f(x) = a
1 Теорема:
Предел суммы есть сумма пределов.
lim (f(x) + u(x)) = lim f(x) + lim u(x)
2 Теорема:
Предел произведения есть произведение пределов.
lim f(x)*u(x) = lim f(x) * lim u(x)
3 Теорема:
Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
4 Теорема:
Предел функции равен функции в предельной точке аргумента.
lim f(x) = f (limx)
Односторонние пределы функции:
Это предел числовой функции , подразумевающий "приближения" к предельной точке с одной стороны. Чтобы функция имела предел необходимо существование односторонних пределов, они должны быть равны и конечны.
lim f(x) = f (x0) при х->x0
lim (дельта)y = 0
(дельта)y = y*(x0+(дельта)x) – y(x0) – приращение функции
(дельта)х – приращение аргумента
f (x0-0) = f (x0+0) = f (x0) < бесконечность - условия непрерывности функции в точке
Классификация разрывов функции:
Точка разрыва функции – это точка Х0, в которой нарушаются условия непрерывности функции (3).
Точка Х0 называется точкой неустранимого разрыва I рода, если существуют односторонние пределы функции, они конечны, но не равным между собой.
f (x0-0) НЕ равно f (x0+0) < бесконечность
б = | f (x0-0) – f (x0+0) | - скачок
Точка Х0 называется точкой устранимого разрыва I рода, если существуют конечные, односторонние пределы функции, они равны между собой, но не равны значения функции в этой точке.
f (x0-0) = f (x0+0) НЕ равно f (x0)
Замечание: устранимый разрыв 1 рода можно искусственно устранить. Для этого надо значение функции f(X0) прировнять к значению.
f (x0) = f (x0+0)
Точка X0 называется точкой разрыва II рода, если хотя бы 1 из односторонних пределов функции или оба не существуют или равны бесконечности.
f (x0-0) = бесконечность
f (x0+0) = бесконечность
f (x0+0) = бесконечность
Правила:
lim = (0\0) = 1 x->0
lim = (0\0) = 1 x->0
lim (1+X)^ = (1∞) = e x->0
lim (1+ )x = (1∞) = e x->∞
Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом.
y| = = lim = lim ⧍x->0
Задача Ньютона:
Найти скорость неравномерного прямолинейного движения точки в каждый момент времени t.
Решение:
Vср=
Vмгн = lim = lim = S| (t) = = S (t) ⧍t->0
Механический смысл:
v(t) = = S| (t)
a = = S|| (t)
I (t) = = Q| (t)
Геометрический смысл производной:
y| = = lim = lim ⧍x->0
Уравнение нормали:
y-y0 = (1\y| (x0)) *(x-x0)
Уравнение касательной:
y-y0 = y|(x0)(x-x0)
(u(v))| = u|(v)*v|
Сначала находим производную внешней функции u|(v)
F (x;y) = 0
yx| - ?
x|=1; y|=y|
x2 - y3 = Sin (x-y)
2x – 3y2*y| = Cos (x-y)(1-y|)
2x – 3y2*y| = Cos (x-y) – Cos (x-y)*y|
Cos (x-y)*y| - 3y2*y| = Cos (x-y) – 2x
y|*(Cos (x-y) – 3y2) = Cos (x-y) – 2x
y| =
yx’ = yt’ \ xt’
yxx” = (yx’)t’ \ xt’
Дифференциал – это главная часть приращения функции. Линейная относительно ⧍Х и обозначается dy.
dy = y'(x)*⧍x = y’(x)*dx - рабочая формула для вычисления дифференциала функции
dx = x'(x)*⧍x = ⧍x
Для того, чтобы найти дифференциал функции, надо производную функции умножить на дифференциал независимой переменной.
Если существует отношение 2-ух бесконечно малых или 2-ух бесконечно больших функций, то существует и предел их отношения, и он равен пределу отношений их производных, равен пределу отношения их вторых производных и т.д. (0\0; ∞\∞).
lim = lim = lim
Производные:
y” = (y’)’
y’’’ = (y”)’
y(n) = (y(n-1))’
Дифференциалы:
dy = y’(x) dx
dny = y(n)(x) dxn
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Экстремумы функции:
Экстремум – это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале, если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Точка перегиба - это точка графика функции, в которой меняется направление выпуклости графика (выпуклый - вогнутый), а вторая производная меняет свой знак.
Обычно находится следующим образом:
1) находим вторую производную
2) приравниваем ее к нулю и решаем уравнение. Полученные корни называются КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ ВТОРОГО РОДА
3) на оси Ох отмечаем эти точки и определяем знаки второй производной на каждом из полученных интервалов
4) как только при переходе через критическую точку вторая производная поменяла знак-вот Вам и точка перегиба...
Асимптота – это так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
А) Вертикальная.
х=а, где точка х=а является точкой разрыва 2-ого рода, т.е. lim f(x) = ∞; x->a+0
Б) Наклонная.
y=kx+b
k=lim x->∞
b=lim (y-kx) x->∞
В) Горизонтальная.
y=b
b=lim f(x) x->∞
Если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение.
Если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F'(x)=f(x)
Неопределенный интеграл – это совокупность всех первообразных для данной функции.
∫f(x) dx = F(x) + C
Свойства неопределенного интеграла:
( ∫f(x) dx )’ = f(x)
d ( ∫f(x) dx ) = f(x) dx
dy = y’(x) dx
∫ d (F(x)) = F(x) + C
∫ (f(x) + u(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫u(x) dx
∫ C*f(x) dx = C ∫ f(x) dx
∫ f(x) dx = ∫ f(u) du
Тождественное преобразование подинтегрального выражения и приведения его к табличному виду.
Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций, то справедливы формулы:
∫ u dv = uv - ∫ v du
Заключается во введении новой переменной интегрирования.
∫ f(x) dx = ∫ f(u(t)) * u’(t) dt
Найти: Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями.
⧍Xi = Xi – Xi-1
Sпроизв = f (Si)*⧍Xi
S = lim
Определенный интеграл – это число, равное пределу N-ой интегральной суммы, когда наибольший из частичных отрезков разбиения стремится к нулю при N->∞.
Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b.
Свойства:
Справедливо для любого конечного числа разбиения числа A-B.
a∫b f(x) dx = F(b) – F(a)
Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
a∫b f(x) dx = t1∫t2 f(u(t)) * u’(t) dt
a∫b u dv = uva|b - a∫b v du
А) Четная.
-a∫a f(x) dx = 2 0∫a f(x) dx
Б) Нечетная.
-a∫a f(x) fx = 0
Найти кривую, проходящую через начало координат tg угла наклона касательной и который равен удвоенной абсциссе
Решение:
Tgα = y’ = 2x
y’ = 2x
y(0) = 0 - начальное условия
y’ = = 2x
dy = 2x dx
∫ dy = ∫ 2x dx
y = 2 + C
y = x2 + C - общее решение
0 = 02 + C => C = 0
y = x2 - частное решение
Диф. Уравнение – уравнение вида F (x, y, y'….y(n)), где F зависит от независимой переменной, функции этой переменной, ее производных и дифференциалов различных порядков.
Порядок диф. Уравнения – это наивысший порядок производной, входящий в данное уравнение.
Y = u(x, C0) - частное решение
Ф (x, y, c) = 0 - общий интеграл
Ф (х, у, с) = 0 – частный интеграл
Задача Коши:
Нахождение частного решения диф. Уравнения F (x, y, c) = 0 удовлетворяющего начальному условию.
y (x0) = y0
Диф. Уравнение с разделенными переменными – уравнение вида:
f (x) dx + u (y) dy = 0
∫ f(x) dx + ∫ u (y) dy = C
F(x) + Ф(y) = C - общий интеграл
Диф. Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:
f1(x) * u1(y) dx + f2(x) * u2(y) dy = 0
Решение:
Разделим переменные.
+ = 0
+ = 0
Линейные диф. Уравнения 2ого порядка с постоянными коэф. – это уравнение вида:
a0*y” + a1*y’ + a2*y = f(x)
f(x) 0 – неоднородное
f(x) = 0 – однородное
a0*k2 + a1*k + a2 = 0 - характерное уравнение
Структура общего решения уравнения имеет вид:
y = C1*y1 + C2*y2
Комбинаторика – это математическая наука, изучающая вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условием, можно составить.
Размещениями из N по M элементов называют такие соединения, в каждом из которых по M элементов и различаются такие соединения друг от друга только самими элементами и их порядками.
Anm = n (n-m+1)
=
Перестановками из N элементов называются такие соединения, в каждом из которых по N элементов U отличаются такие соединения только порядком самих элементов.
Pn = = = = n!
Pn = n!
Сочетаниями из N элементов по M называются такие соединения, в каждом из которых по M элементов и отличаются такие соединения только самими элементами.
=
Свойство сочетания:
=
Виды событий:
Выстрел.
Осечка.
Попадание и промах.
Попадание при 1 выстреле, не исключает промах при 2 выстреле.
Попадание при 1 выстреле исключает промах при 1 выстреле.
Кубик кидают, 1 из 6.
Попадание и промах.
Как и в полной группе.
Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятствующих исходов данного испытания к общему числу всех равновозможных несовместных исходов испытания образующих полную группу.
P(A) =
Свойства:
Статистическая вероятность случайного события А – это постоянное число, около которого группируются относительные частоты этого события, по мере увеличения числа испытаний.
Пусть на плоскости имеется некоторая область D с известной площадью SD. В этой области есть область d с площадью Sd.
В область D наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка попадет в область d.
P(A) =