Примеры структурных констант
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Программа курса алгебры,
221 – 224 группы
Алгебры
- Определение алгебры, типы алгебр, изоморфизм алгебр, примеры ( алгебра с делением, алгебра ЛИ, не ассоциативной алгебры )
- Структурные константы алгебры, изоморфизм. Примеры структурных констант.
- Алгебра кватернионов, определение и доказательство
возможности деления.
- Скалярная и векторная часть кватерниона, норма. Выражение произведения кватернионов со скалярным и векторным произведением векторов
- Теорема о норме произведения кватернионов
- Изоморфизм алгебры кватернионов в подалгеброй алгебры комплексных чисел.
- Группа единичных кватернионов. Связь с унитарными матрицами.
- Группа внутренних автоморфизмов алгебры кватернионов
- Совпадение группы автоморфизмов с группой внутренних автоморфизмов.*
- Ортогональные преобразования пространства и связь с группой внутренних автоморфизмов*
- Алгебра Грассмана
- Внешняя алгебра, свойства внешнего произведения.
- Теорема о связи линейной независимости векторов с внешним произведением.
- Независимость ( с точностью до изоморфизма) внешней алгебры от выбора базиса пространства.
- Теория определителей , построенная на внешней алгебре, Определение, линейность определителя по строке,
- Теорема об определителе произведения матриц
- Теорема о ступенчатом определителе
- Теорема Бине-Коши *
- Внешняя алгебра евклидова пространства. Матрица Грамма
- Гомоморфизм алгебр, ядро , теорема о связи с идеалами.
Тензорное произведение
1. Сопряженные пространства, изоморфизм с ( неканонический ) с исходным пространством.
2. Изоморфизм пространства и двойственного сопряжённого.
3. Тензорное произведение пространств. Основные свойства .
4. Размерность тензорного произведения пространств.
5. Тензорное произведение конечного числа пространств.
6. Универсальное свойство тензорного произведения.
7. Определение модуля над кольцом, свойства, гомоморфизм модулей, операции над модулями
8. Тензорное произведение модулей, свойства.
9. Подъём поля скаляров, комплексификация пространства.
Базисы Groebner’a
1. Теорема Гильберта о нулях, доказательство для линейных многочленов
2. Упорядочение на кольце многочленов от нескольких переменных. Теорема о свойствах лексикографического упорядочения со следствием.
3. Определение старшего члена многочлена, мультистепени, свойства старшего члена произведения многочленов и мультистепени.
4. Теорема о делении с остатком. Неоднозначность остатка. Примеры.
5. Определение базиса Грёбнера. Доказательство эквивалентности определений вместе с теоремой Гр.1
6. Критерий базиса Грёбнера
7. Теорема о существовании базиса Грёбнера.
8. Идеология алгоритма Buchberger’a. S-многочлены. Критерий Бухбергера.
9. Алгоритм Бухбергера, доказательство конечности процессаю
10. Упрощённый алгоритм Бухбергера
11. Исключение переменных.
12. Минимальные базисы Грёбнера.
Коллоквиум
Операторы в евклидовых и унитарных пространствах
- Сопряжённые операторы, существование, единственность, матрица.
- Свойства сопряжённого оператора.
- Нормальный оператор, свойства.
- Теорема о критерии нормального оператора в унитарном пространстве.
- Самосопряжённый оператор, собственные числа и векторы.
- Критерий самосопряжённого оператора.
- Теорема о симметрической вещественной матрице.
- Оператор изометрии, критерий.
- Свойства оператора изометрии , равносильные определению.
- Алгебраическая структура множества операторов изометрии.
- Лемма о линейных операторах в вещественном пространстве.
12.Лемма об инвариантных минимальных подпространствах для ортогонального оператора
13. Канонический базис и матрица для ортогонального оператора в евклидовом пространстве.
14. Положительный оператор, свойства.
15. Квадратный корень из положительного оператора.
- Полярное разложение.
Введение в теорию Галуа
- Алгебраические расширения полей. Теорема о степени башни полей
- Теорема о присоединении корня неприводимого многочлена.
- Минимальный многочлен элемента, Существование, единственность и неприводимость
- Теорема о степени простого расширения и степени неприводимого многочлена соответствующего элемента
- Теорема об конечном расширении. Эквивалентные условия.
- Поле разложения
- Алгебраическое замыкание
- Группа автоморфизмов поля, подгруппа относительных автоморфизмов
- Теорема о порядке группы относительных автоморфизмов. Определение группы Галуа расширения
- Понятие нормального и сепарабельного расширения. Теорема о расширении Галуа как нормального сепарабельного расширения ( формулировка). Препятствия к расширению Галуа. Примеры.
- Формулировка основной теоремы теории Галуа.
- Основные свойства полей Галуа ( конечных полей) Формулировки
- Теорема о конечной группе мультипликативной группы поля.
- Существование и единственность конечного поля порядка p^n
- Существование неприводимого многочлена любой степени над конечным полем.
- Автоморфизм Фробениуса, свойства. Группа автоморфизмов конечного поля
- Теорема о подполях конечного поля
- Соответствие Галуа для конечных полей, Теорема Галуа.