Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
7. Задача числ.дифф-ния.Диф. интерполяц. мн-лена Ньютона. Производной ф-ии называется предел отношения Обычно для вычисления производных, не используют ф-лу (1). Однако в численных расчетах на ЭВМ из использование всегда удобно. В частности ф-ия может быть задана в виде таблицы значений. В таких случаях производную находят, опираясь на (1). Значение шага полагают равным некоторому конечному числу и для вычисления значения производной получают приближенное равенство Это соотношение наз-ся аппроксимацией (приближением) производной с помощью отношения конечных разностей. (значения в (2) конечные, в отличие от их бесконечно малых значений в (1)). Рассмотрим аппроксимацию производной для ф-ии , заданной в табличном виде: при . Пусть шаг – разность м/у соседними значениями аргумента – постоянный и равен . Запишем выражения для производной при В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаем разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке: С помощью левых разностей: С помощью правых разностей: С помощью центральных разностей. Выражение для старших производных. Т.о. по (2) можно найти приближенные значения производных для любого порядка. Но тогда возникает вопрос о точности полученных значений. Для хорошей аппроксимации производной нужно использовать значения ф-ии во многих узлах, а в (2) это не предусмотрено. Аппроксимируем некоторой ф-ией : В качестве можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную ф-ию. - погрешность аппроксимации. может быть использована для приближенного вычисления производной ф-ии . Дифференцируя равенство (7) необходимое число раз, можно найти значения производных В качестве приближенного значения производной порядка ф-ии можно принять соответствующее значение производной ф-ии т.е. . Величина Характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, наз-ся погрешностью аппроксимации производной. |
8. Задача численного интегрирования. Формула трапеции. Пусть на [a,b] задана ф-ия С помощью точек разобьем его на элементарных отрезков причем на каждом из этих отрезков выберем произвольную точку и найдем произведение значения ф-ии в этой точке на длину элементарного отрезка Составим сумму всех этих произведений: Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от ф-ии на [a,b] наз-ся предел: Если ф-ия на [a,b] непрерывна, то предел интегральной суммы существет и не зависит ни от выбора точек ни от способа разбиения отрезка [a,b] на элементарные отрезки. Обычно интеграл считают по ф-ле Ньютона-Лейбница: На практике этой ф-лой часто не пользуются из-за: 1.Первообразную нельзя выразить в элементраных ф-иях 2.Значения ф-ии заданы только на фиксированном конечном множестве точек , т.е. ф-ия задана в виде таблицы. В этих случаях используют методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной ф-ии некоторыми более простыми выражениями, например многочленами. Один из способов – представление подынтегральной ф-ии в виде степенного ряда (ряда Тейлора). Это позволяет свести вычисление интеграла от сложной ф-ии к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда. Но более универсальными методами, пригодными для обоих случаев, являются методы численного интегрирования, основанные на аппроксимации подынтегральной ф-ии с помощью интерполяционных многочленов. Это позволит приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой (24). В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол, и др.). Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график представляется в виде ломанной, соединяющей точки . В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций. |
9. Задача численного интегрирования. Формула Симпсона. Пусть на [a,b] задана ф-ия С помощью точек разобьем его на элементарных отрезков причем на каждом из этих отрезков выберем произвольную точку и найдем произведение значения ф-ии в этой точке на длину элементарного отрезка Составим сумму всех этих произведений: Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от ф-ии на [a,b] наз-ся предел: Если ф-ия на [a,b] непрерывна, то предел интегральной суммы существет и не зависит ни от выбора точек ни от способа разбиения отрезка [a,b] на элементарные отрезки. Обычно интеграл считают по ф-ле Ньютона-Лейбница: На практике этой ф-лой часто не пользуются из-за: 1.Первообразную нельзя выразить в элементраных ф-иях 2.Значения ф-ии заданы только на фиксированном конечном множестве точек , т.е. ф-ия задана в виде таблицы. В этих случаях используют методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной ф-ии некоторыми более простыми выражениями, например многочленами. Один из способов – представление подынтегральной ф-ии в виде степенного ряда (ряда Тейлора). Это позволяет свести вычисление интеграла от сложной ф-ии к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда. Но более универсальными методами, пригодными для обоих случаев, являются методы численного интегрирования, основанные на аппроксимации подынтегральной ф-ии с помощью интерполяционных многочленов. Это позволит приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой (24). В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол, и др.). Разобьем отрезок интегрирования на четное число равных частей с шагом . На каждом отрезке подынтегральную ф-ию заменим интерполяционным многочленом второй степени: Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен лагранжа 2й степени, проходящий ч/з точки : |