Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий
Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то определение теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка, например [a; ) его нельзя разбить на п частей конечной длины , которая к тому же с увеличением количества отрезков стремилась бы к нулю. В случае же неограниченной в некоторой точке с[a; b] нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать =с, поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют несобственными.
Определение.
Пусть функция определена на промежутке [a; ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a; b], т.е. существует для любого b > a. Предел вида называют несобственным интегралом первого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают .
Таким образом, по определению, =.
Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции по промежутку (–; b]:
=.
А несобственный интеграл от функции по промежутку (–; +) определяется как сумма введенных выше интегралов:
=+,
где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.
С геометрической точки зрения, интеграл , , определяет численное значение площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева – прямой , снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла означает существование конечной площади такой трапеции и равенство ее пределу площади криволинейной трапеции с подвижной правой стенкой .
На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница:
= = F(+) – F(a),
где F(+) = . Если этот предел существует, то интеграл сходится, в противном случае – расходится.
Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.
Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.
Определение
Пусть функция определена на промежутке [a; b), неограниченна в некоторой окрестности точки b, и непрерывна на любом отрезке , где >0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е. существует). Предел вида называется несобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается .
Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению
=.
Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Аналогично можно определить несобственный интеграл от функции имеющей бесконечный разрыв в точке а:
=.
Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке с, то несобственный интеграл определяется следующим образом
=+ = +.
Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.
С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:
Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.
Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости. Признаки сходимости несобственных интегралов:
1) Признак сравнения.
Пусть для всех х . Тогда, если сходится, то сходится и , причем . Если расходится, то расходится и .
2) Если сходится , то сходится и (последний интеграл в этом случае называется абсолютно сходящимся).
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.
Примеры решения задач.
Пример 1.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
а) ; б) ; в)
г) ; д).
Решение.
а) По определению имеем:
,
Следовательно, данный интеграл сходится и равен .
б) Аналогично
.
Следовательно, данный интеграл сходится и равен .
в) По определению =+, причем, а – произвольное число. Положим в нашем случае , тогда получим:
.
Данный интеграл сходится.
г)
Значит, данный интеграл расходится.
д) Рассмотрим. Чтобы найти первообразную подынтегральной функции, необходимо применить метод интегрирования по частям. Тогда получим:
Поскольку ни , ни не существуют, то не существует и
.
Следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 2.
Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п.
Решение.
При имеем:
.
Если , то и . Следовательно, интеграл расходится.
Если , то , а , тогда
,
= ,
Следовательно, интеграл сходится.
Если , то
,
следовательно, интеграл расходится.
Таким образом,
Пример 3.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а) Интеграл является несобственным интегралом второго рода, поскольку подынтегральная функция не ограничена в точке . Тогда, по определению,
.
Интеграл сходится и равен .
б) Рассмотрим. Здесь также подынтегральная функция не ограничена в точке . Поэтому, данный интеграл – несобственный второго рода и по определению,
.
Следовательно, интеграл расходится.
в) Рассмотрим . Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в двух точках: и , первая из которых принадлежит промежутку интегрирования . Следовательно, данный интеграл – несобственный второго рода. Тогда, по определению
= =
.
Следовательно, интеграл сходится и равен .
а
b
у
у= f (x)
а
b
х
у
у=f (x)