Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
жиынының кез келген элементі үшін теңдігін қанағаттандыратын жиынының элементін қарама-қарсы элемент д.а.
жиынының кез келген элементі үшін теңдігін қанағаттандыратын жиынының элементін кері элемент д.а.
Қосу және көбейту байланысы:
Қосу операциясы арқылы көбейту операциясы дистрибутивті, яғни жиынының кез келген , элементтері үшін
теңдігі орындалады.
Реттік қатынас:
Теңдеулерін қанағаттандыратын өрісті реттелген өріс д.а.
4. Санның абсолюттік шамасы. Үшбұрыш теңсіздігі. Оның салдары.
Кез келген саны үшін
Функциясы арқылы анықталған санды санының модулі н/е абсолют шамасы д.а.
Абсолют шаманың қасиеттері:
Үшбұрыш теңсіздігі:
Кез келген сандары үшін .
Салдары:
Егер , онда ,
Дәлелдеуі: -ның орнына қойсақ, , онда
орнын алмастырсақ, Демек,
Демек,
5. Жиынның жоғарғы жағы. Жоғарыдан шенелген жиын. Супремум.
Кез келген болса, онда берілген жиынының жоғарғы жағы (шекарасы).
Егер жиынының барлық сандары үшін шартын қанағаттандыратын нақты саны табылса, онда жиынын жоғарыдан шектелген н/е жоғарыдан шенелген жиын д.а. саны жиынының жоғарғы жағы (мажоранты) д.а.
жиынының жоғарғы жағының ең кішісі бар болса, жиынының супремумы деп атайды да, н/е арқылы жазады. Сөйтіп, супремум н/е жиынының барлық элементтерінің супремумы деп оқиды.
6. Жиын супремумының қасиеттері туралы теорема.
1-теорема. Егер кез келген саны және барлық болса, онда
Дәлелдеуі. Теорема шарты бойынша саны жиынының жоғарғы жағы. Сондықтан
2-теорема. Неғұрлым жиын кең болса, соғұрлым оның супремумы үлкен, яғни , онда
Дәлелдеуі. және болғандықтан . Демек, 1-теорема бойынша
3-теорема. Егер сандар жиынының кез келген элементі сандар жиыныныңкез келген элементінен аспаса, онда
Дәлелдеуі. 1-теорема бойынша және бұл теңсіздік кез келген үшін орындалатын болғандықтан
4-теорема. нақты сандар жиыны берілсін. , яғни сандық жиындарда н/е астынан минус таңбасын шығарғанда, олар қарама-қарсы символға көшеді.
Дәлелдеуі. болсын, онда Енді осы теңсіздіктерді -1-ге көбейтіп жазайық:
, яғни әрі Сонда супремумның анықтамасы бойынша
Енді егер болса, онда Сондықтан яғни демек,
7. Архимед қасиеті. Жиынның тығыздылығы.
Теорема. Егер және оң сандар болса, онда қандай да бір бүтін n саны үшін болады.
Дәлелдеуі. келесі жиынның жоғарғы жағы болсын.
супремумға ие болады.
үшін
жоғарғы жақ.
қайшылық.
Жиын тығыздығы.
үшін кез келген ашық интервалы –мен ортақ элементке ие болса, онда -де тығыз жиын д.а.
Теорема. рационал сандар жиыны нақты сандар жиынында тығыз орналасқан, яғни үшін болатын саны табылады.
8. Рационал сандар және иррационал сандар жиындарының нақты сандар жиынындағы тығыздығы.
Анықтама,1.5. Д R-дің ішкі жиыны үшін кез-келген ашық (a,b)интервалына Д мен ортақ элементке ие болса,онда Д тығыз жиыны деп аталады.
1)a<0,b>0 a+b
a)a+b>0
│a+b│=a+b=-│a│+│b│<│a│+│b│
2)a+b<0
│a+b│=-b-a=│a│-│b│<│a│+│b│
Теорема,1.1.6.Рационал сандар жиыны Q нақты сандар жиыны R-ден тығыз орналасқан яғни,кез-келген а,б жатады R, a <b үшін а<p/q<b болатын p/q жатады Q саны табылады
Кез-келген P(ро);ἐ>0 табылады n жатады Z;nἐ>P(ро)
P(ро)=1 ,ἐ=б-а ,табылады q жатады Z;q(b-a)>1
ἐ=1. P(ро)=qa ,табылады j жатады Z;j>qa
j-кез-келген сан
Теорема1.1.7.Ирроционал сандар жиыны нақты сандар жиынында тығыз ;
Кез-келген а,b,а<b жатады R үшін а<+<b болатындай t ирроционал саны табылады
a<r1+r2<b табылады r1,r2 жатады Q;r-рационал кез-келген сан
t=r1+1/(r2-r1)
a<r1<t<r2<b
a<t<b
9. Төменгі жақ. Төменнен шенелген жиын.Инфимум .
барлық үшін теңсіздігі орындалатын нақты сан табылуы керек, яғни Мұндай саны жиынының төменгі жағы деп аталады.
Егер шарты орындалса , яғни әрбір нақты сан үшін одан кіші жиынының элементі бар болса, онда төменнен шенелмеген не шектелмеген жиын болады.
Егер жиыны жоғарыдан да,төменнен де шенелген болса, яғни шарты орындалса, онда -ні төменнен шенелген не шектелген жиын деп атайды.
Әрине, Е шенелген жиын болуы белгілі бір саны мен барлық үшін теңсіздігі орындалуымен пара-пар .
E жиынының ең үлкен төменгі шекарасы инфимум деп аталады да, немесе символдарымен белгіленеді.
Сонымен, саны Е жиынының инфимумы болуы үшін келесі екі шарт орындалуы керек:
Инфимумның анықтамасы кванторлар тілінде былай жазылады:
cанынан үлкен болатын кез-келген саны түрінде бейнеленеді, сондықтан 2) шарты былай да жазылады:
Әрине, Е жиынының ең кіші элементі бар болса, онда ол Е-нің инфимумы болады.
10.Жиынның инфимумы қасиеттері туралы теорема.
Жиынның инфимумы
R нақты сандар жиыны берілсін
X R жиынының төменгі шекаралар жиынының ең үлкен элементі Х жиынының дәл төменгі шекарасы деп аталады да, infX немесе inf{x} арқылы белгіленеді және инфимумХ деп окылады (лат: infimum – ең төменгі).
Сонымен, саны X жиынының супремумы болуы үшін келесі екі шарт орындалуы керек:
теңсіздігі орындалатын саны табылады.
Супремумның анықтамасы кванторлар тілінде былай жазылады:
1.
2.
санынан кіші болатын кез келген саны түрінде бейнеленеді, сондықтан, 2 шартты былай жазуға да болады:
Әрине, R жиынының ең кіші элементі бар болса онда ол R–дің инфимумы болады.
11. Нақты сандар жиынының кеңеюі. Анықталмағандықтар.
1. Натурал сандар
Натурал сандар деп мына сандарды атаймыз 0, 1, 2, 3, 4,…
Барлық натурал сандар жиының N символымен белгіленеді. Белгілі бір a санының натурал сан екенің көрсету үшін a ∈ N деп белгілейміз. Мысалы 1 ∈ N, 5 ∈ N, 3 ∈ N.
2. Бүтін сандар
Бүтін сандар деп оң және теріс таңбасымен алынған барлық натурал сандар жиынынан құралған сандар жиының атаймыз.
Яғни бүтін сандар 0, 1, 2, 3, 4,… және -1, -2, -3, -4,… сандар жиындарының бірігуінен құралған. Бүтін сандар жиының P символымен белгілейміз.
Тұжырым.
N жиынына еңетің кез келген сан P жиынына да еңеді. Бұндай жағдайда N жиыны P жиынына еңеді дейді, және N ⊆ P деп жазады.
Рационал сандар деп a/b (a ∈ P, b ∈ P, b ≠ 0) сандарын атаймыз. Мысалы 1/3 , 10/7. Рационал сандар жиының R деп белгілейміз.
Кез келген бүтін c саны рационал жиынына еңеді да, яғни рационал саны да болып табылады. Өйткені , соңдықтан P ⊆ R.
4. Иррационал сандар
Иррационал сан деп π = 3,141592… немесе = 1,4… сандары тәрізді бөлшек бөлігі шексіз, периодты емес цифрлардан құралған сандарды атаймыз.
Иррационал сандар жиының Q деп белгілейміз.
5. Нақты сандар
Нақты сандар жиыны деп барлық- натурал, бүтін, рационал және иррационал сандардан құралған сандар жиының атаймыз. Және бұл жиынды Z әрпімен белгілейміз.Негізгі анықталмағандықтарға мыналар жатады:
, ,
12. Пиано постулаттары және математикалық индукция принципі.
натурал сандар жиыны.
(А)
(В) Әрбір натурал санымен байланысқан төркіні болатын жалғыз ғана сан табылады.
(С) 1-дің төркіні жоқ.
N –нің төркіні жоқ.
(D) Егер
Егер төркіндері әртүрлі болса, онда олардың сандары да әртүрлі болады.
(Е) Төркіні жоқ санды немесе бүкіл төркінді қамтитын натурал сандар.
Натурал сандар жиынының анықтамасынан салдар ретінде математикалық дәлелдеулердің маңызды әдістерінің бірі – математикалық индукция әдісі шығады.
Әрбір натурал үшін тұжырымы айтылған болсын. Әрине,кейбір –дер үшін орындалып, кейбір -дер үшін орындалмауы да мүмкін. Бірақ, егер:
Расында да, орындалатын сандарынан құрылған жиынды А әрпімен белгілесек, онда және шарттары орындалады. Сондықтан, натурал сандардың анықтамасы бойынша А натурал сандар жиынының дәл өзі болады, яғни тұжырымы кез-келген үшін орындалады.
Барлық натурал сандар туралы теореманы дәлелдеген сайын, яғни тұжырымы әрбір натурал саны үшін орындалатынын дәлелдеу үшін, әрқашан да келесі, математикалық индукция әдісі деп аталатын әдісті қолдану керек : 1) мен 2) шарттарының орындалатынын тексеру керек.
(а) бойынша, және b бойынша, M n болғанда. M=N.
13.Ішкі жиын, жиындар теңдігі. Жиындарға алу, бірігу және қиылысу амалдары. Толықтауыш.
Өзара бөлек заттарды біріктіріп , бүтін бір заттай қарастыруға болады . Сол жаңа зат жиын деп, ал оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементі деп аталады.
Егер Р әрпімен белгілі бір қасиетті қабылдайтын заттардың бәрінен құрылған жиын
(1) символымен белгіленеді.
Егер Р қасиетін бірде-бір зат қабылдамаса, онда (1) жиынын бос жиын дейді де, символымен белгілейді.
Жиындардың теңдігі. Кірістіру символы бойынша жиындардың теңдігі анықталады. Егер Е және F жиындары үшін және кірістірулері бірдей орындалса, яғни бірінің кез-келген элементі екіншісінде жатса, онда Е және F жиындары тең дейді де, E=F символымен белгілейді.
Жиындардың қиылысуы. Е және F жиындарының қиылысуы деп жиынын, яғни Е мен F жиындарында бірдей жататын x элементтерінен құрылған жиын аталады. Егер ондай элементтер болмаса, онда
Жиындарды бірігуі. Е және F жиындардың біріктіруі деп жиынын, яғни Е және F жиындарының кемінде біреуінде жатқан элементтерінен құрылған жиынды атайды (бұған Е және F–те қатар жататын элементтер де кіреді)
Жиындардың айырымы. Е және F жиындарының айырымы деп жиыны, яғни Е жиынында жатып, F жиынында жатпайтын x элементтерінің жиыны аталады. Әрине, болған жағдайда жиын болады.
14.Маңай, ішкі нүкте, жиынның іші. Ашық жиын.
ашық интервал
Маңай: - нүктесінің маңайы. нүктесі өзінің қандай да бір маңайымен бірге S-ке тиісті болса, онда S жиынының ішкі нүктесі.
R ішкі жиынының барлық нүктелері, ішкі нүктелері болса, онда S ашық жиын деп аталады.
S R-дің ішкі жиыны, барлық нүктелері ішкі нүктелер болса S ашық жиын деп аталады.
Кез-келген х жатады S нүктесі үшін табылады ἐ>0; (х-ἐ,х+ἐ)ішкі жиыны S-тің
a<y<x<z<b
ἐ=min{x-y,z-x}
ἐ=min{x-a,b-x}
Теорема,Ашық жиындардың бірігуі ашық жиын болады.Тұйық жиындардың қиылысуы тұйық деп аталад G-ашық жиындардың жиыны
G={g ішкі нүктесі ;g-ашық}
S=бірігуі g g жатады G
Кез-келген х жатады S табылады g жатады G;табылады ἐ>0;(x-ἐ,x+ἐ)
x S-тің ішкі нүктесі ;S-ашық жиын
15. Ашық жиындардың бірігуі туралы теорема.
S R-дің ішкі жиыны, барлық нүктелері ішкі нүктелер болса S ашық жиын деп аталады.
Кез-келген х жатады S нүктесі үшін табылады ἐ>0; (х-ἐ,х+ἐ)ішкі жиыны S-тің
a<y<x<z<b
ἐ=min{x-y,z-x}
ἐ=min{x-a,b-x}
Теорема,Ашық жиындардың бірігуі ашық жиын болады.Тұйық жиындардың қиылысуы тұйық деп аталад G-ашық жиындардың жиыны
G={g ішкі нүктесі ;g-ашық}
S=бірігуі g g жатады G
Кез-келген х жатады S табылады g жатады G;табылады ἐ>0;(x-ἐ,x+ἐ)
x S-тің ішкі нүктесі ;S-ашық жиын
16. Тұйық жиын. Тұйық жиындардың қиылысуы туралы теорема.
Егер S-тің толықтауышы ашық болса,онда S тұйық жиын деп аталады.
[a,b]ᶜ=(-∞,a)бірігуі (в,∞)-ашық ,ендеше[а,в]тұйық жиын ;[a,b) x=a кез-келген ἐ>0 (х-ἐ,х+ἐ)ішкі жиыны емес[a,b)ашық емес.
Теорема,Тұйық жиындырдың қиылысуы тұйық болады.Ашық жиындардың бірігуі ашық жиын болады.
F-тұйық жиын
F={f R-дің ішкі жиыны, f-тұйық жиын}
f F-тің ішкі жиыны
Sᶜ=(бірігу f)ᶜ=бірігу fᶜ -ашық
Sᶜ=ашық,S-тұйық
G-ашық жиындардың жиыны
G={g ішкі нүктесі ;g-ашық}
18. Ашық жабу. Гейне-Борель теоремасы.
H={h тиісті R};Sтиісті R
S тиісті бірігу ,онда h титисті H
H S тің жабуы
S=[2,3]
H={(1,2),(2,2,5),(2,5,3)}
S тиісті h, Uh2Uh3U…Uh4
H={h1,h2,hn} Sтің жабуы
Ашық жабу H={h R/h ашық жиын }
Егер H Sтің жабуы болса,онда H ашық жабу
Теорема. Егер Hтұйық шенелген нақты сандардың Sжиынының ашық жабуы болса,ондаS арқылы мөлшерлі(Sарқылы)H ашық жабушыға ие болады.
Гейне анықтамасы
а нүктесі қандай болмасын (c,d) маңайында анықталған f функциясын қарастырайық.
Анықтама: Егер а саны жинақталатын кез келген {} тізбегі үшін f функциясы мәндерінің сәйкес { f {}} тізбегі А санына жинақталатын болса, онда А санын f функциясының х-тің а-ға ұмтылғандағы шегі деп аталады A=lim┬(n→∞)f(x).Символдар арқылы жазатын болсақ (A=lim┬(n→∞)〖f(x)〗⟺∀{}, ≠a|x_n→a⇒f()→A, nϵN)
Анықтама: ( Гейне бойынша) Егер – ге жинақталатын -ден өзгеше Х аргументінің мәндерінің бірінші тізбегі сәйкесінше функция мәндерінің екінші тізбегі а санына жинақталса, онда а саны f(x) функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады. lim┬(х→)〖f(x)=a〗
19) Больцано-Вейерштерн теоромасы:
Әрбір шенелген ақырсыз нақты сандар жиыны ең болмағанда бір шектік нүктеге ие. Әрбір шенелген шектік нүктеге ие емес жиын арқылы. Вейерштрастың бiрiншi теоремасы
Егер f(x) [a, b]-да анықталған және үзіліссіз болса, онда ол шектеледі. Яғни, тұрақты және шектеулі m және M табылып, am f(x) M болады.
Д/у: Кері жорып, f [a;b] шектелмесін. Онда[a;b] nN болатындай хn нүктесі табылады |f(хn)|n (1)болатындай. Енді осы хn тізбектен бөліп алуға болады және оның шегі =
және ab болады. f үзіліссіз болғандықтан =, ал бұл мүкін емес, себебі (1) теңсіздік бойынша ,Яғни кері жорығанымыз дұрыс емес. Теорема дәлелденді. Вейерштрастың екiншi теоремасы
Егер f(x) [a, b]-да анықталған және үзіліссіз болса, онда ол бұл аралықта өзінің дәл жоғарғы және дәл төменгі шекарасына жетеді.
Дәлелдеу. f(x) [a, b] –да үзіліссіз болғандықтан, Вейерштрастың 1-теоремасы бойынша ол шенелген, яғни сәйкесінше f(x)-тің [a, b]-да дәл жоғарғы M және дәл төменгі m шекаралары болады. M-нің бар болатынын көрсетейік. x[a, b], f(x1) = M.
Кері жориық.
[a, b]-да M-ге тең f(x)-тің ешбір мәні табылмасын: x[a, b], f(x) M. Онда кез келген x[a, b] үшін f(x) M орынды. [a, b]-да кез келген F(x) = барлық аралықта оң. F(x) рационал болып табылады. Бұл жағдайда f(x) шенелген, яғни x[a, b] үшін µ>0 және F(x) µ , бұдан f(x) M – 1/ µ . Сонымен M – 1/ µ саны M-нен кіші және [a, b]-да f(x)-тің жоғарғы шекарасы болып табылады. Бірақ бұл M саны дәл жоғарғы нүкте екендігіне қайшы бұл қайшылықтан f(x1) = M болатындай x1[a, b] бар болатындығы дәлелденеді. Ұқсасынша f(x) [a,b]-да өзінің дәл төменгі шекарасына жететіндігі дәлелденеді. Үзіліссіз f(x)-тің (a, b)-дағы дәл жоғарғы және дәл төменгі шекаралардың айырмасы ω = M – m f(x)-тің осы аралықтағы тербелісі деп аталады.
20.Жиындардың декарттық көбейтіндісі. Сәйкестік, кері сәйкестік. Сәйкестіктер суперпозициясы.
f;R→R
N,M-жиындар
N жатады n;M тиісті m
FтиістіN*M,F N жиынынан М жиынына қарай анықталған сәйкестік
Сәйкестік-баратын жиын мен шығатын жиынның тік көбейтіндісінің қандайда бір ішкі жиыны
F=N*M-универсал сәйкестік
N=M,F iшкі жиыны N*M-N жиынында анықталған екі орынды қатынас
F ішкі жиыны N. F-бір орынды қатынас
G*F={(m,k)тиісті N*K│табылады m жатады M(n,m);тиісті F(m,k)тиістіG}-супер позизицисы
F сәйкестігі мен Gсәикстігініңсупер позициясы
Үш сәйкестіктің суперпозициясы ассоциативті заңға бағынады
Егер (n1n2)(m1m2)F болғанда m1=m2 болса,онда F функционалды сәйкестік
Д(F)=Nболса,онда F ішкі жиын N*Mфункциональды сәикестігі функция деп аталады
Егер n1→f(n1)f(n2)болса онда f:N→M функциясы иньюктивті
f:N→M функциясы сюрьективті деп аталады
f:N→M функциясы бір мезгілде иньективті және сюрективті болса,онда f биективті
21.Функционалдық сәйкестік. Функция,анықталу облысы, мәндер жиыны.
сәйкестік
Егер , болғанда болса, онда F функционалды сәйкестік.
Берілген х айнымаланың әрбір мәніне белгілі заң немесе ереже бойынша у айнымалысының анықталған бір-ақ мәні сәйкес келіп отырса, у шамасы х айнымалысының функциясы д.а. х – тәуелсіз айнымалы н/е аргумент, у – тәуелді айнымалы н/е функция.
Функция белгіленуі:
,, , , т.б.
Мұндағы ,… аргумент -тің берілген мәні бойынша -тің сәйкес мәні қалай табылатынын көрсететін заңды немесе ережені бейнелейді.
Е және F жиындары берілсін. Е жиынының әрбір элементіне F жиынының бір ғана элементін сәйкес қоятын ереже функция д.а. Бұл ережені сәйкестік, тәуелділік деп те атайды.
Жиындардың элементтерін белгілеу үшін символдар қолданылады. Е жиынының кез – келген элементін бейнелейтін символ тәуелсіз айнымалы немесе функцияның аргументі д.а. Осыған орай, тәуелсіз айнымалыға н/е аргументке сәйкес элементті белгілейтін символ тәуелді айнымалы д.а.
Функция анықталған және ақырлы нақты мәндер қабылдайтын тәуелсіз айнымалының барлық мәндерінің жиыны сол функцияның анықталу облысы, ал тәуелді айнымалының барлық мәндерінің жиыны функцияның мәндер жиыны д.а.
Е – функцияның анықталу облысы, ал F – функцияның мәндер жиыны.
Егер F – нақты сандардан құралған жиын болса (Е – кез-келген жиын), онда функциясын нақты мәнді н/е санды функция д.а.
Егер жиындар теңдігі орындалса, яғни жиынының әрбір элементі функциясынынң мәні болса, онда - сюрьективті функция д.а. Мысалы, үшін болғанда функциясы сюрьективті болады да, функциясы сюрьективті емес.
Егер болса, үшін бос н/е бір элементті болса, онда -ті иньективті функция д.а.
Егер , болса, онда функциясы иньективті д.а.
Егер функциясы үшін әрбір элементі функциясының мәні болып, тек қана бір нүктеде қабылданса, онда биективті функция д.а. Әрине, биективті болу үшін, ол сюрьективті және иньективті болуы қажетті және жеткілікті.
және g функциялары бойынша анықталған сәйкестігі, яғни әрбір элементіне бойынша сәйкес келетін элементіне g тәртібін қолданудың нәтижесін сәйкес қоятын ереже, және g функцияларының композициясы н/е күрделі функция д.а. да, н/е символдарымен белгіленеді.
22. Функциялардың шектері. Анықтамасы және қасиеті.
Функцияның нүктедегі сол жақты шегі.
Х жиынының шектік нүктесі а нақты саны болсын .
шегінің анықтамасында саны нүктесінің қ ай жағында орналасқаны туралы ештеңе айтылған жоқ; ол нүкте үшін теңсіздіктерінің әрқайсысы да орындалуы мүмкін.
Мұндай шек жай немесе екі жақты деп аталады.
Егер шектің анықтамасына қосымша х шартын енгізетін болсақ , онда сәйкес оң немесе сол жақты шектің анықтамасына келеміз.
Сонымен, ƒ функциясы Х жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктксі болсын. Егер белгілі бір саны мен кез келген оң саны үшін
Шарттарын қанағаттандыратын кез келген х саны үшін │ теңсіздігі орындалатын (саны табылса, онда ға оң жағынан ұмтылғанда ƒ(x) функциясының оң жақты нақты мәнді шегі бар және b санына тең дейді де,немесе, қысқаша ƒ символдарымен белгілейді.
Мысалы, sgnx функциясы үшін
Әрине а=0 нүктесі sgnx функциясы анықталған ( жиынының оң және сол жақтық нүктесі болады .
Функцияның нүктедегі оң жақты шегі
Х жиынының шектік нүктесі а нақты саны болсын .
шегінің анықтамасында саны нүктесінің қ ай жағында орналасқаны туралы ештеңе айтылған жоқ; ол нүкте үшін теңсіздіктерінің әрқайсысы да орындалуы мүмкін.
Мұндай шек жай немесе екі жақты деп аталады.
Егер шектің анықтамасына қосымша х шартын енгізетін болсақ , онда сәйкес оң немесе сол жақты шектің анықтамасына келеміз.
Сонымен, ƒ функциясы Х жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктксі болсын. Егер белгілі бір саны мен кез келген оң саны үшін.
Шарттарын қанағаттандыратын кез келген х саны үшін │ теңсіздігі орындалатын (саны табылса, онда ға оң жағынан ұмтылғанда ƒ(x) функциясының сол жақты нақты мәнді шегі бар және b санына тең дейді де,немесе, қысқаша ƒ символдарымен белгілейді.
Мысалы, sgnx функциясы үшін
Әрине а=0 нүктесі sgnx функциясы анықталған ( жиынының оң және сол жақтық нүктесі болады .
Функцияның нүктедегі оң жақты шегі
Х жиынының шектік нүктесі а нақты саны болсын .
шегінің анықтамасында саны нүктесінің қ ай жағында орналасқаны туралы ештеңе айтылған жоқ; ол нүкте үшін теңсіздіктерінің әрқайсысы да орындалуы мүмкін.
Мұндай шек жай немесе екі жақты деп аталады.
Егер шектің анықтамасына қосымша х шартын енгізетін болсақ , онда сәйкес оң немесе сол жақты шектің анықтамасына келеміз.
Сонымен, ƒ функциясы Х жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктксі болсын. Егер белгілі бір саны мен кез келген оң саны үшін
Шарттарын қанағаттандыратын кез келген х саны үшін │ теңсіздігі орындалатын (саны табылса, онда ға оң жағынан ұмтылғанда ƒ(x) функциясының сол жақты нақты мәнді шегі бар және b санына тең дейді де,немесе, қысқаша ƒ символдарымен белгілейді.
Мысалы, sgnx функциясы үшін
Әрине а=0 нүктесі sgnx функциясы анықталған ( жиынының оң және сол жақтық нүктесі болады.
23.Функцияларға арифметикалық амалдар. Бүтін және рационал функциялар
f,g : R→R
Df, Dg – анықталу облыстары
Егер Df∩ Dg ≠Ø, онда
f+g: R →R
f-g: R →R
f*g: R →R
f/g: R →R
Егер x∈ Df∩ Dg
1. (f+g)(x) = f(x)+g(x)
2. (f-g)(x) = f(x)-g(x)
3.(f*g)(x) = f(x)*g(x)
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x)≠0
1,2,3 – сақиналық амалдар
1,2,3,4 – арифметикалық амалдар
α€R (αf)(x)=α*f(x)
((f+g)h)(x)=(f(x)+g(x))h(x)=f(x)*h(x)+g(x)*h(x)=(f*h+g*h)(x)
(f, Df, Ef) (g, Dg, Eg)
(f+g, Df+g, Ef+g)
(f-g, Df-g, Ef-g)
(f*g, Df*g, Ef*g)
(f/g, Df/g, Ef/g)
(αf, Dαf, Dαg)
24. Бір жақты шектер және олар туралы теорема. f функциясы (с,d] жарты интервалда (мүмкін а (с,d] нүктесінде де) анықталған дейік.
Анықтама 1: Егер а санына жинақталатын кез келген {xn}, мұндағы xn <a, n€N, тізбегіне f функциясы мәндерінің сәйкес {f(xn)} тізбегі А санына жинақталатын болса, онда А саны х-тің а-ға ұмтылғандағы f функциясының сол жақты шегі деп аталады және былай жазылады:
A=
(Символдар арқылы: A=хn<a (n€N) xn →a→A )
Анықтама2: Егер кез келген үшін оған тәуелді саны табылып , a- теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны х-тің а-ға ұмтылған f функциясының сол жақты шегі деп аталады және былай жазылады А=
1 және 2 – анықтамалардың мәндестігін 1-пунктегідей дәлелдеуге болады. Жоғарыда келтірілген анықтамаларға ұқсас түрде х-тің а-ға ұмтылғандағы f функциясының оң жақты шегінің 1 және 2 анықтамаларын тұжырымауға болады. Ол шекті арқылы белгілеп, символдар арқылы жазып көрсетейік.
Егер а=0 болса , онда х орнына х деп, ал х→0+0 орнына х→+0 деп жазады.
25. Монотонды функциялар және олардың шектері
f(x)=x²- монотонды функцияға жатпайды.
Егер x1<x2 болғанда f(x1)≤ f(x2) болса, онда f функциясы кемімелі емес.
Егер x1<x2 болғанда f(x1)≥f(x2) болса, онда f функциясы өспелі емес.
x1< x2 => f(x1)< f(x2) => f – өспелі.
x1< x2 => f(x1)> f(x2) => f – кемімелі. Осылардың бәрі монотонды функиялар.
Теорема 2.1.9. (а, b) интервалында f функциясы монотонды болсын және α=inff(x), β=sup f(x), a<x<b.
(a) Егер f кемімелі емес болса, онда f(а+)=α және f(b-)=β
(b) Егер f өспелі емес болса, онда f(а+)= β және f(b-)= α
a+=-∞, егер а=-∞
b-=+∞, егер b=+∞
(c)Егер а<x0<b болса, онда f(x0+) және f(x0-) табылады және олар арқылы: Сонымен бірге f функциясы кемімелі емес болса, онда f(x0-)≥ f(x0) ≥ f(x0+), ал өспелі емес болса, онда f(x0-)≥ f(x0) ≥ f(x0+).
26. Шенелген функциялар. Төменгі және жоғарғы шектер.
f функциясы шенелген деп атаймыз, егер ∀ х ∈ Df үшін │f(x)│<М болатындай М< ∞ табылса.
-M≤ f(x)≤М
[a, x0), x0< ∞, x0= ∞, x∈ [a, x0), Sf(x; x0)=supf(t), x≤t≤x0
[a x t ) X0
Sf: x=>supf(t), x≤t<x0
If(x;x0)=inf f(t), x≤t<x0
(0-жоғарғы шек)
(0-төменгі шек)
Шенелген функциялар. Төменгі және жоғарғы шектер
f:S→ R, S≤R
ƎM∈R, M< ∞ және ∀x∈S үшін │f(x)│≤М, онда f функциясы S жиынында шенелген.
Анықтама:2.1.10. f функциясы [а,х0) аралығында шенелсін, x0≤∞
∀x€ [a,x0); Sf(x,x0)=supf(t); x≤t≤x0
өспейтін функция монотонды
If(x,x0)=inf f(t), x≤t<x0
Кемімейтін функция монотонды
Теорема 2.1.11 (жоғарғы шек үшін)
Егер f функциясы [a, x0) аралығында шенелген болса, онда β=
саны Ǝ және ол келесі қасиеттерге ие жалғыз ғана нақты сан.
(а) Егер ε>0, онда а1<x<x0 болғанда f(x)<β+ε болатындай a1∈ [a, x0) саны табылады.
(b) Егер ε>0 және a1∈ [a, x0), онда қандай да бір х∈ [a, x0) үшін f(x)>β-ε
Теорема 2.1.12 (төменгі шек үшін )
Егер f функциясы [a, x0) аралығында шенелген болса, онда α= саны табылады және ол келесі қасиеттерге ие жалғыз ғана нақты сан.
(а) Е>0 a1≤x< x болғанда f(x)>α-ε болатындай а1 саны Ǝ.
(b) Егер ε>0 және a1∈ [a, x0) онда қандай да бір x∈ [a, x0) үшін f(x)<α+ε.
27. Үзіліссіздіктің маңайлар бойынша анықтамасы. Біржақты үзіліссіздіктер
1-теорема. Егер және нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл нүктеде
функциялары да үзіліссіз.
Дәлелдеуі. Дәлелдеуі үзіліссіз функция анықтамасы мен III-тараудың 4-параграфының 1-теоремасынан шығады.
2-теорема. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда функциясы шенелген болатын а нүктесінің маңайы табылады.
Дәлелдеуі. функциясы а нүктесінде үзіліссіз болғандықтан, , яғни енді санын тиянақтап алып, оған сәйкес болғанда орындалатын санының табылатынын көреміз. Демек, функциясы маңайында шенелген.
3-теорема. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз және болса, онда а нүктесінің маңайы табылып, бұл маңайда функция өз таңбасын сақтайды.
Дәлелдеуі. Анықтылық үшін болсын. Функцияның а нүктесінде үзіліссіздік анықтамасы бойынша саны үшін болғанда , яғни
4-теорема (күрделі функция үзіліссіздігі). Егер функциясы а нүктесінде үзіліссіз, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда күрделі функциясы а нүктесінде үзіліссіз.
Дәлелдеуі. функциясы нүктесінде үзіліссіз болғандықтан, ,
ал функциясы а нүктесінде үзіліссіз болғандықтан ῃ>0 саны үшін .
Сонда десек, болғанда , яғни күрделі функциясы а нүктесінде үзіліссіз. Теорема дәлелденді.
Ескерту. Айталық а Е жиынының шектік нүктесі болсын. Сонда күрделі функцияның а нүктесінде үзіліссіздігінен теңдігі шығады, мұны деп жазуға болады, өйткені функциясы а нүктесінде үзіліссіз, демек Сонымен, шекке көшу операциясы мен үзіліссіздік функция амалы операциясы орны ауыспалы.
28. Кесек үзіліссіздік. Үзілістілік, айырым (секіру). Жойылатын үзілістіліктер.
Теорема,2.2.5.Егер f және g функциялары S жиынында үзіліссіз болса онда осы жиында f+g,f-g,f*g функциялары да үзіліссіз болады.Егер g функциясы f(x)0 нүктесінде үзіліссіз болса онда f/g функцияларыда осы нүктеде үзіліссізболады.
Жоиылатын үзілістік,f функциясы х нүктесін қандаида бір аластатылған аимағында анықталсын және х нүктесінде үзілісті болсын .Егер бар болса онда f функциясы х нүктесінде жоиылатын үзілістікке ие.
Құрама үзіліссіз функциялар
f функциясы [a,b)аралығында құрама үзіліссіз деп аталады.Егер:
(a)f(x)x[a,b)
(b)f(x)x [a,b)
(c)f(x)=f(x+)=f(x-)теңдігі арқылы нүктелер жиыны үшін ғана орындалады
Анықтама ,Егер f(a-) f(a) f(b-)f(b),болса онда f секіруге ие болады
Жойылатын үзіліс .Егер ,бар болып және х нүктесінде f функциясы не анықталмағанне болмаса f(x)болса онда х нүктесі f функциясының жойылатын үзіліс нүктесі деп аталады.Мысалы,х=0нүктесі f(x)=функциясыныңжойылатын үзіліс нүктесі болады.
Анықтама,егер f функциясы бүкіл[a,b]кесіндісінде анықталған болып және кесіндінің саны шектеулі нүктелерден басқа барлық ішкі нүктелерінде үзіліссіз болса,мұныменқоса а нүктесінде оң жақты үзіліссіз ,ал б нүктесінде сол жақты үзіліссіз болса онда f функциясы [a,b]кесіндісінде бөлік-бөлік үзіліссіз деп аталады
Мысалы,f(x)=sinx функциясы бүкіл сандық осьте бөлік-бөлік үзіліссіз функция болады.
29) Үзiлiссiз функцияларға қолданылатын арифметикалық амалдар
Теорема1 f(x)^g(x) x0 нүктесінде үзіліссіз болсын, онда f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)g(x) егер g(x) функциясы да осы нүктеде узілліссіз.
Дәлелдеу: функциялар х0 нүктесінде узіліссіз болғандықтан олардың осы нүктеде шектері бар және олар f(x0 ) және g(x0) тең.
Онда функция шегі туралы теоремадан шығатыны f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)g(x) шектері бар және ол мынаған тең:
f(x0)g(x0), f(x0)g(x0), f(x0)g(x0).
Бірақ бұл өлшенгенде функцияның сәйкес мәнінде тең. Ендеше сәйкес формулалар х0 нуктесінде үзіліссіз.
30)Монотонды функцияның үзіліссіздігі. Керi функция ұғымы
Егер f(x) функ. [a;b] кесіндісінде үзіліссіз және өспелі (кемімелі) болса, онда оның [f(a);f(b)] ([f(b);f(a)]) кесіндісінде үзіліссіз және өспелі (кемімелі) x=φ(t) кері функциясы бар.
Дәлелдеу: f(x) функ-н [a;b] кес-е өспелі деп ұйғарайық. Үзіліссіз функ-ң мәндер жиыны [f(a);f(b)] кесіндісі болады, өйткені Ɏхϵ[a;b] (f(a)≤ f(x)≤f(b)) және Кошидің 2-теоремасы бойынша f(x) функ. [f(a);f(b)] кесіндісіндегі кез-келген мәнін ең болмағанда бір рет қабылдайды. Ал f(x) функ. [a;b] кесіндісінде өспелі болғ. Мәндер жиыны [a;b] болатын [f(a);f(b)] кес-е анықталған x=φ(у) кері функ.бар. Бұл функ. φ(у) кес-н у1<y2 болатын у1, у2 нүкт-і табылады деп ұйғарсақ , онда f(φ(у1))> f(φ(у2)) , яғни у1≥у2 теңсіздігіне қайшы.
Теорема: Егер f(x) функ. [a;b] кесіндісінде монотонды және оның мәндер жиыны кесінді болса, онда f(x) функ. [a;b] кес-е үзіліссіз
Сонда , теор.бой-ша φ(у) функ. [f(a);f(b)] кесіндісінде үзіліссіз. Теорема дәлелденді.
31. Үзіліссіздік және бірқалыпты үзіліссіздік.
F : E→R функциясы E⊂R жиынында бірқалыпты үзіліссіз деп аталады, егер кез келген ε>0 саны бойынша │x’’-x’│<𝛿(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық x’, x’’ ∈ E сандары үшін │f(x’’)-f(x’)│<ε теңсіздігі орындалатын 𝛿(ε) оң саны табылса.Логикалық символикалар арқылы бұл анықтаманы былай жазуға болады: f :E→R функциясы E жиынында бірқалыпты үзіліссіз:
∀ε>0Ǝ𝛿(ε)>0∀x’’∈E∀x’∈E(│x’’-x’│<𝛿(ε)=> │f(x’’)-f(x’)│<ε). Енді осы анықтаманы талқылап көрсек:
10. Егер функция жиында бірқалыпты үзіліссіз болса, онда ол жиынның кез келген нүктесінде үзіліссіз.
20. Үзіліссіздік-функцияның бір ғана нүктеде анықталатын төңіректік (локальдік) ұғым болса, ал бірқалыпты үзіліссіздік функцияны бүкіл жиында анықталатын шартараптық (глобальдік) ұғым.
30. Үзіліссіздіктен жалпы жағдайда бірқалыпты үзіліссіздік шықпайды.
Функциялардың шектері.Анықтамасы және қасиеттеріФункцияның дербес шегі. Анықтама: f функциясы Х жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын, α – нақты сан, +∞ немесе -∞-тің бірі болсын, яғни α∈[-∞,+∞].
xn∈X, xn≠a, xn→(n→∞) шарттарын қанағаттандыратын белгілі бір {xn}n≥1 тізбегі мен оған сәйкес {f(xn)} тізбегі үшін теңдігі орындалса, онда α-ны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі деп атайды.
33.Туынды және оның интерпретациясы. Жанама.
функциясының графигін, яғни жазықтықта жатқан түріндегі нүктелер жиынын қарастырайық (оны қисығы не жай қисық деп те атайды).
Біздің мақсатымыз белгілі бір ( нүктесінде қисыққа «тығыз орналасқан» түзуді сызу. Қисықта жатқан басқа нүктесін алып, сол екі нүктеден түзу өткізейік. Оның теңдеуі:
болады. Әрбір ( нүктесінен өтетін және -тер осіне параллель емес түзудің теңдеуі түрінде жазылады, демек, нақты санына тәуелді болады.
Әрине, белгілі бір мағынада екі түзудің жақындығын оларды анықтайтын сандарының жақындығы арқылы түсінуге болады.
Сондықтан, -ді -ге ақырсыз жақын алған сайын, белгілі бір санына ақырсыз жақындаса, онда теңдеуі болатын түзуді бізге керекті «қисыққа тығыз орналасқан» түзу ретінде алуға болады.
Сонымен, егер: нүктесінде нақты мәнді шегі бар болса, онда түзуі қисығының нүктесіндегі жанамасы деп аталады.
Материялық нүкте түзу бойымен белгілі бір бағытта қозғалып келе жатсын. Оның түзу бойындағы белгілі бір нүктеден мезгіліндегі ара қашықтығы болсын. Әуелі болсын, яғни нүкте бірқалыпты қозғалсын. Онда кез келген мен мезгілдері арасында нүкте жолын жүреді, ал қатынасы сол қозғалыстың жылдамдығы деп аталады да, тұрақты болып, санына тең болады.
Егер нүктенің қозғалысы бірқалыпты болмаса, онда қатынасы тұрақты болмай мен мезгілдеріне тәуелді болады. Ол мен мезгілдері арасындағы материялық нүктенің қозғалысының орташа жылдамдығы деп аталады. Орташа жылдамдықтың мағынасы мынада: егер нүкте сол арада бірқалыпты қозғалса, онда мезгілінде жолын жүру үшін оның жылдамдығы орташа жылдамдыққа тең болуы тиіс.
Егер -ді -ге ақырсыз жақындатқанда, оған сәйкес орташа жылдамдығы белгілі бір нақты санға ақырсыз жақындаса, онда сол санды мезгіліндегі нүктенің жылдамдығы түрінде алған жөн.
Егер нақты мәнді шегі бар болса, онда оны тәртібі арқылы бейнеленген қозғалыстың нүктесіндегі жылдамдығы деп атайды.
Бұл амалдың өзін функцияны дифференциалдау, ал оның нәтижесін, яңни шектің мәнін функцияның туындысы дейді.
Сөйтіп, функциясы І аралығында анықталсын. Егер үшін нақты мәндә шегі бар болса, онда функциясын нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнін функциясын нүктесіндегі туындысы дейді де, символымен белгілейді.
Туындының анықтамасын шекті белгілейтін символдарды пайдаланып былай жазуға болады:
,
,
,
,
сандары функцияның аргументінің немесе тәуелсіз айнымалының өсімшесі деп аталады.
34) Дифференциялдау және арифметикалық амалдар.
y=f(x)-сы нүктесінде дифференциалдансын, яғни бұл нүктеде өсімшесі формуласы түрінде жазылады. қосылғышы -ге ұмтылғанда -пен бірдей ретті ақырсыз аз болады. . Сонымен 1-қосылғыш ) y=f(x)-сының бас бөлігі д.а. , -бас бөлігі.
Анық: y=f(x)-ның х0 нүктесіндегі дифференциалы деп -ке сызықты қатысты осы нүктедегі функцияның өсімшесінің бас бөлігі аталады және оны былай белгілейді: .
Th-1: y=f(x)-сы нүктесінде дифференциалдануы үшін берілген нүктеде функцияның ақырлы туындысы болуы қажетті және жеткілікті. Осыныескерсек. Айталық f(x)=xболсын, онда формула бойынша
- функцияның дифференциалдық аргументіне қатынасы.
35. Күрделі функцияның туындысы. Кері функцияның туындысы.
Күрделі функцияның туындысы.
функциясының сегментінде анықталып, оның мәндерінің жиыны функциясы анықталған сегментінің жиыншасы болсын. Онда күрделі функциясы сегментінде анықталған болады.
Теорема. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар болып, функциясының нүктесінде туындысы бар болса, онда күрделі функциясының нүктесінде туындысы бар болып, (1) болады.
Дәлелдеуі. Алдымен болсын. Онда 0-дің белгілі бір ойылған маңайындағы барлық сандары үшін функцияның мәндері шектің мәнін сақтайтыны туралы теорема бойынша теңсіздігі орындалады. Сондықтан, болғанда шегін табу керек болатын
өрнегін түрінде бейнелеуге болады. Бұдан (1) теңдігі шығады, өйткені функциясы нүктесінде, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болғандықтан, үшін
теңдігі орындалады.
Енді болсын. үшін туындының анықтамасы бойынша
болады, демек, функциясы 0 нүктесінде локальді шенелген болады, яғни шарты орындалатын және С оң сандары табылады. теңсіздігін қанағаттандыратын саны берілсін. Онда
және
болғандықтан (2) және (3) шарттары орындалатын және сандары табылады. Егер саны үшін (4) шарты орындалатынын дәлелдесек, онда біздің мақсатымыз болатын
теңдігі де дәлелденген болады.
Сонымен (4)-ні дәлелдейік. болсын. Алдымен үшін болсын. Онда
болады, яғни сондай үшін (4) орындалады. Ал болғанда үшін (2) бойынша (5) теңсіздігі орындалады.
Сонымен, (3) және (5) бойынша болады, яғни (4) бұл жағдайда да орындалады.
Теорема толық дәлелденді.
Кері функцияның туындысы.
функциясы сегментінде өспелі және үзіліссіз болсын. Онда оның сегментінде анықталған және үзіліссіз болатын кері функциясы бар болады.
Кемімелі функция туралы да дәл осыны айтуға болады.
Теорема. Егер функциясы сегментінде өспелі және үзіліссіз болып, нүктесінде нольге тең емес туындысы бар болса, онда кері функциясының да нүктесінде туындысы бар болып, теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі. болсын. Кері функцияның анықтамасы бойынша әрбір саны үшін (1) теңдіктерін қанағаттандыратын саны бар және жалңыз болады. үзіліссіз болғандықтан (2) шарты орындалады. Сондықтан (1) және (2) бойынша
Теорема толық дәлелденді.
36. Біржақты туындылар. Туындының бар болуы.
,
,
,
Егер -дегі шектерді оң жақты және сол жақты шектреге өзгертсек, онда функциясының нүктесіндегі сәйкес оң және сол жақты туындыларының анықтамаларына келеміз. Оң жақты туындыны , ал сол жақ туындыны символдарымен белгілейді. Сонымен,
сегментінде анықталған функциясының нүктесінде тек қана оң жақты, ал нүктесінде тек қана сол жақты туындылары туралы айтуға болады. Әрине, функциясының нүктесінде жай туындысы бар болуы үшін, оның сол нүктеде оң және сол жақты туындылары бар болып, олар өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.
Егер -дегі өрнектердің жай, оң немесе сол жақты ақырсыз шегі бар болса, онда функциясының нүктесінде сәйкес жай, оң немесе сол жақты ақырсыз туындысы бар дейді.
Шек ұғымы арқылы функцияның екі қасиетін анықталады – ол үзіліссіз болуы мен туындысы бар болуы.
функциясы І аралығында анықталып, болсын.
Теорема. Егер функциясының нүктесінде жай, оң немесе сол жақты ақырлы туындысы бар болса, онда сол нүктеде сәйкес жай, оң немесе сол жақты үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі. функциясының нүктесінде жай туындысы бар болсын. Әрбір үшін болады, демек, көбейтіндінің шегі туралы теорема бойынша , яғни функциясының нүктесінде үзіліссіз.
Мұның ешқандай теоремаға сүйенбейтін тіке дәлелдеуін де беруге болады. Расында да, саны берілсін. Онда шектің анықтамасы бойынша теңсіздігін қанағаттандыратын барлық сандары үшін (1) теңсіздігі орындалатын оң саны табылады. Аталған сандары үшін(1)-тен келесі теңсіздік шығады. Сондықтан, болса, онда шарты орындалады, ал бұл функциясының нүктесіндегі үзіліссіздігінің дәл өзі болады.
Біржақты туындылар жағдайында да теорема дәл осылай дәлелденеді.
Салдар. Егер нүктесін функциясының үзіліссіз нүктесі болса, онда сол нүктеде -тің ақырлы туындысы болмайды.
37. Функцияның экстремум мәндері. Олардың қажетті шарты.
Функцияның экстремум нүктелері. Экстремумның жеткілікті шарттары. Функцияның кесіндідегі экстремум мәндері.
Анықтама. Егер (x0,y0) нүктесі үшін V(x,y)ЄU(x0,y0), f(x,y)≤f(x0,y0) (f(x,y)≥f(x0,y0)) теңсіздігі орындалатындай U(x0,y0) маңайы табылса, онда z= f(x,y) функциясының (x0,y0) нүктесінде локальдік(төңіректік) максимумы(минимумы) бар дейді. (x0,y0) нүктесін локальдік максимум(миинмум) нүктесі, ал функцияның осы нүктеге сәйкес мәнін функцияның максимум(минимум) мәні деп атайды. Локальдік максимум мен минимум мәндері – локальдік экстремум деп аталады. Экстремум анықтамасынан (x0,y0) нүктесінің жеткілікті кішкене маңайында Δf= f(x,y)- f(x0,y0) өсімшесінің таңбасы өзгермейтінін көреміз:
Локальдік максимум үшін: Δf≤0;
Локальдік минимум үшін: Δf≥0.
Экстремумның жеткілікті шартын жалпы жағдайда былай тұжырымдауға болады: P0(x0,y0) нүктесі z=f(x,y) функциясының стационар нүктесі, ал функция P0 нүктесінің қандай да бір маңайында екі рет дифференциалданып, P0 нүктесіндегі барлық екінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болсын. Онда:
1) егер екінші ретті d2z(P0,Δx,Δy) дифференциал Δx,Δy өсімшелерінің функциясы ретінде бір мезгілде нөлге тең емес және Δx,Δy-тің барлық мәндерінде тұрақты таңба сақтаса, онда z=f(x,y) функциясының P0 нүктесінде экстремумы бар, атап айтқанда, d2z(P0,Δx,Δy)<0 болса, P0- максимум нүктесі, d2z(P0,Δx,Δy)>0 болса, P0-минимум нүктесі;
2) егер d2z(P0,Δx,Δy) функциясы Δx,Δy шамаларының таңба айнымалы функциясы болса, онда P0 нүктесінде функцияның экстремумы жоқ;
3) егер d2z(P0,Δx,Δy)≥0 немесе d2z(P0,Δx,Δy)≤0 болып, екінші дифференциал нөлге тең болатындай Δx,Δy мәндер жиынтығы бар болса (Δx,Δy – бір мезгілде нөлге тең емес), онда екіден жоғарғы дифференциалдар арқылы қосымша зерттеу қажет.
Мысал. z=2x2+8x+y2 функциясын экстремумге зерттеу керек.
Стационар нүктелері:
{zx’=4x+8=0, <=> {x=-2,
{zy’=2y=0 {y=0. P0=(-2,0).
Екінші дифференциал
d2z=zxx’’dx2+2 zxy’’dxdy+ zyy’’dy2 =4*dx2+2*dy2>0 болғандықтан, функция P0=(-2,0) нүктесінде минимум мәнін қабылдайды:
zmin(-2,0)=2*(-2)2+8*(-2)+0=-8.
Функцияның кесіндідегі экстремум мәндері. y=f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болсын. Олай болса, Вейерштрастың екінші теоремасы бойынша f функциясы бұл кесіндіде өзінің ең үлкен M және ең кіші m мәндері міндетті түрде қабылдайды.
Енді M=maxf(x) мәнін табуға тоқталайық. f функциясы өзінің ең үлкен M мәнін [a,b] кесіндісінің не ішкі нүктесінде қабылдайды(онда мәні функцияның жергілікті экстремумының бірімен дәл келеді), не кесіндінің шеткі нүктелерінің бірінде қабылдайды. Бұдан мынадай ереже шығады: f функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең үлкен мәнін табу үшін, оның барлық жергілікті максимум нүктелеріндегі мәндерін a мен b нүктелеріндегі мәндерімен салыстырып, олардың ең үлкенін таңдап алу керек.
Осы табылған сан функцияның ең үлкен M=maxf(x) мәні болады. Осылайша
f функциясының жергілікті минимум мәндерін кесіндінің шеткі нүктелеріндегі мәндерімен салыстырып, оның ең кіші m=minf(x) мәндерін табамыз.
38. Ролль теоремасы.
Теорема. функциясы сегментінде үзіліссіз болып, интервалында дифференциалдансын. Егер сегменттің шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндері өзара тең болса, яғни теңдігі орындалса, онда шартын қанағаттандыратын кемінде бір саны табылады.
Дәлелдеуі. Егер тұрақты болса, яғни болса, онда болады, демек, бізге қажетті ретінде интервалының әрбір нүктесін алуға болады.
Енді тұрақты болмасын. Онда шартын қанағаттандыратын саны табылады. Анықтық үшін болсын. үзіліссіз болғандықтан, Вейерштрасс теоремасы бойынша барлық үшін теңсіздігі орындалатын саны табылады. Расында, саны сегментінің ішкі нүктесі болады, яғни интервалында жатады, өйткені үшін , демек, саны мен -дан өзге.
Енді болса, онда 1) , яғни -ның -маңайында функциясы анықталған, 2) әрбір үшін демек, анықтама бойынша максимум нүктесі, ал бар болғандықтан, Ферма теоремасы бойынша мақсатымыз болатын теңдігіне келеміз. Теорема дәлелденді.
Ролль теоремасы
[а,b] аралығында f(х) анықталған сондай-ақ:
Онда f ’ (c) =0 болатындай с € (a,b) табылады.
Дәлелдеу: f(x) функциясы [а,b] аралығында үзіліссіз болсын. Вейер – Штрасстың теоремасы бойынша бұл кесінді де максималды, минималды (M,m) арқылы болады.(Вейер-Штрасс теоремасы: Егер f(х) функциясы [а,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болса, онда бұл аралықта өзінің дәл төменгі шекарасына жетеді. Ең үлкен және ең кіші мәндері бар болады).
2 жағдай болуы мүмкін :
1-жағдай бойынша f(х) = const; m=M, онда f ‘ (х)=0
2-жағдай бойынша f(a)= f(b) болсын. m,Mмәндерінің біреуі [а,b] ұштарында емес, яғни f(с)= m және f(с)=M. Бұл жағдайда f ‘(с)=1 , f ‘(с)=0 табылады.
39. Туындының аралық мәні туралы теорема.
Теорема. 1) функциясы аралығыныда дифференциалданса;
2) болсын;
3) саны мен -ның арасында жатсын
Сонда, болатындай саны табылады.
Дәлелдеуі. болсын – үзіліссіз, дифференциалданады.
-экстримум нүктесі болса, онда
Локальды экстремум нүктесі
40-41-43. Аралық мән туралы жалпыланған теорема.
Tеорема: Егер f функциясы интервалында үзіліссіз болып болсын арасында жатсын сонда )= болатындай с
Дәлелдеуі: болсын S={} S шенелген с=supS
S кері жоримыз
c-да f үзіліссіз с-<x<c үшін болатындай олай болса с- S жиынының жоғарғы жағы с-ның таңдауына қайшы.
с<b c жоғарғы жақ емес с=supS
Үзіліссіз функцияның аралық мәні туралы
1-теорема (Больцано-Коши). Егер кесіндіде үзіліссіз функцияның кесінді ұштарындағы мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда осы кесіндіден функция мәні нөлге айналатын нүкте табылады.
Бұл теореманы логикалық символика арқылы былай жазар едік:
Дәлелдеу. кесіндісін екіге бөлейік. Егер бөлген нүктеде функция нөлге тең болмаса, онда алынған екі кесіндінің біреуінің ұштарында функция әртүрлі таңбалы мән қабылдайды. Оны тағы екіге бөліп, осы процесті жалғастыра береміз. Сонда белгілі бір қадамнан соң болатын нүктесіне түссек теорема дәлелденген болады. Немесе нөлге ұмтылатын енгізілген кесінділер тізбегін аламыз. Бұл жағдайда Коши-Кантор енгізілген принципі бойынша осы алынған кесінділердің бәріне ортақ жалғыз нүктесі табылады. Құрғанымыз бойынша кесіндісінің ұштарынан түзілген болатын және болатын екі тізбегін алдық әрі бұл тізбектер шектері Тізбек шегінің қасиеті мен үзіліссіздік анықтамасынан және Сонымен Теорема дәлелденді.
2-теорема (Коши). Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және болса, онда және сандарының арасындағы кез келген С саны үшін болатын ең болмағанда бір нүктесі табылады.
Бұны да логикалық символика арқылы былай жазуға болады:
Дәлелдеуі. болғандықтан Теорема дәлелденді.
42. Лопиталь ережесі. Анықталмағандықтар.
Теорема. және функциялары ашық аралығында дифференциалдансын және осы аралықта функциясы болсын. Сонымен бірге
Дәлелдеуі. Негізгі мән туралы жалпыланған теоремадан
Негізгі мән туралы теоремадан
Теорема дәлелденді.
Анықталмағандықтар.
түріндегі анықталмағандық болатын
Шектерін зерттеуге келтіріледі. Мысалы,
2. Егер болса, онда түріндегі анықталмағандық болатын шегінің зерттеуі түріндегі анықталмағандық болатын
шегін зерттеуге келтіріледі.
3. түріндегі анықталмағандықтар түрлендіруі арқылы түріндегі анықталмағандыққа келтіріледі.
43) Тейлор теоремасы
Егер y=f(x) функциясы (a,b) интервалында анықталған болып, € (a,b) нүктесінде n-ге дейінгі (n—ді қоса) барлық ретті туындылары бар болса, онда мына теңдік орындалады:
(1)
мұндағы 0() функциясы x→ жағдайда мен салыстырғанда , жоғары ретті ақырсыз кіші шама.(1) формула f функциясы үшін жазылған нүктесі маңайындағы Тейлор формуласы деп аталады.
44. Тейлор теоремасын локальді экстремумға қолдану. (негізі: Тейлордың локальдық формуласын экстремумға қолдану)
Теорема 2.5.3. нүктесінде n-ші ретті туындыға ие болып, шарттары орындалсын.
Дәлелдеу. Тейлордың локальді формуласы:
Осы формулаға сәйкес егер болса
болады ().
Бірақ делінген еді. Олай болса,
Сонымен қатар
Ендеше, нүктесінің маңайында мен таңбалас болады, басқаша айтқанда: егер болса, маңайындағы барлық үшін:
яғни,
Демек, - функция -тің максимумы. Егер болса, маңайындағы барлық үшін:
яғни,
Демек, шамасы функциясының минимумы.
46.Дифференциалданатын функцияның үзіліссіздігі. Дифференциалданбайтын фукцияның үзіліссіздігі.
Егер сегментінде анықталған функциясының ол сегменттің белгілі бір нүктесінде туындысы болса, ол функция сол нүктеде үзіліссіз болады.
Теорема. функциясы нүктесінде үзіліссіз болу үшін функцияның сол нүктеде ақырлы туындысы болуы жеткілікті.
Дәлелдеу. функциясының нүктесінде ақырлы туындысы бар деп есептейік, яғни (1)
ақырлы шама делік. Мұндағы аргумент -тің кез-келген өсіишесі ж/е ол өсімше
шартын қанағаттандырады, ал - берілген функцияның аргумент өсімшесіне сәйкес өсімшесі.
Функция туындысының анықтамасына сәйкес (1) теңдіктен келесі (2)теңдік шығады.
Мұндағы -да шама және ол шама барлық үшін анықталған.
(2) формуладан:
формуласы шығады (-да деп ұйғарамыз.)
-да , яғни берілген функциясы нүктесінде үзіліссіз.
Теорема дәлелденді.
48. Монотонды функцияның үзіліссіз болуы туралы критерий.
Теорема. Егер I аралығында анықталған монотонды функциясының мәндер жиыны байланысты жиын болса, онда функциясы үзіліссіз болады. (Егер нақты сандар жиынының кез келген екі элементінің арасындағы барлық сандар да сол жиында жатса, яғни арты орындалса, онда байланысты жиын д.а.)
Дәлелдеуі. Кері жорып, үзілісті делік. Анықтық үшін функциясы кемімейтін болып, нүктесінде оң жақты үзілісті болсын, яғни . Онда саны -тің I аралығындағы мәні бола алмайды, яғни барлық үшін Расында да, біріншіден, барлық , үшін екіншіден, монотонды функцияның шегі туралы теорема бойынша әрбір , үшін
.
Сонымен, саны функциясының екі мәнінің арасында жатып (әрбір ), өзі -тің мәні болмайды. Бұл функциясының мәндерінің жиыны байланысты екеніне қайшы келеді, демек, -тің бірде-бір үзіліс нүктесі жоқ.
49. Үзіліссіз және бірқалыпты үзіліссіз емес функцияның мысалы
Үзіліссіз ф-я мысалы:
1-мысал. -нің үзіліссіз функция екенін дәлелдеу керек.
Шынында, берілген функция сандар осінің кез-келген нүктесінде анықталған. деп шенелмеген интервалынан кез-келген бір нүкте белгілейік.Сонда, біріншіден:
екіншіден,
Демек,
яғни, қарастырылып отырған функция нүктесінде үзіліссіз болып шықты. Ал деп интервалының кез-келген нүктесін белгілегенбіз. Сондықтан функция көрсетілген интервалдың барлық нүктелерінде үзіліссіз.
2-мысал. функ-н үіліссіздікке зерртеу.
Шешу. Функцияның анықталу облысы . Кез-келген нүктесін аламыз.
Сонда:
және
яғни,
Олай болса, ункциясы сандар осінің кез келген нүктесінде үзіліссіз.
Бірқалыпты үзіліссіз емес функция мысалы:
1-мысал. Егер функциясы белгілі бір нүктесінің кез келген маңайында шектелмеген болса, онда бұл функция бірқалыпты үзіліссіз емес.
Шынында да кез келген саны үшін нүктесінің маңайынан болғанымен болатын нүктелері табылады.
2-мысал. функциясы бүкіл жиынында үзіліссіз, бірақ ол бұл жиында бірқалыпты үзіліссіз емес. Шынында да, , сондықтан . Ал
.
Сондықтан және кез келген үшін болғанымен болатын нүктелері табылады.
50. Үзіліссіз функциялар үшін кері функцияның бар болуы туралы теорема.
Теорема. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және өспелі (кемімелі) болса, онда оның кесіндісінде үзіліссіз және өспелі (кемімелі) кері функциясы бар.
Дәлелдеуі. Анықтық үшін функциясын кесіндісінде өспелі деп есептейік. Үзіліссіз функцияның мәндер жиыны кесіндісі болады, өйткені және Коши теоремасы бойынша функциясы кесіндісіндегі кез-келген мәнін ең болмағанда бір ретқабылдайды. Ал функциясы кесіндісінде өспелі болғандықтан мәндер жиыны болатын кесіндісінде анықталған кері функциясы бар. Бұл функция , шынында да, теңсіздігін қанағаттандыратын кесіндісіндісінен нүктелері табылады деп ұйғарсақ, онда , яғни теңсіздігіне келер едік. Ал бұл теңсіздігіне қайшы.
функциясы кесіндісінде үзіліссіз. Теорема дәлелденді.
Туынды
Шек
Анықталу облысы
Үзіліссіздік
Тейлор
Туынды
Шек
Анықталу облысы
Үзіліссіздік
Тейлор