Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Высший государственный колледж связи
ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
Экзамен
II курс (1 семестр)
Содержание
|
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
[39]
[40]
[41]
[42]
[43]
[44]
[45]
[46] |
Электрическое поле — особый вид материи, в которой происходит взаимодействие электрических зарядов.
Силовой характеристикой электрического поля является напряжённость.
Пусть заряд создаёт электрическое поле. Поместим маленький пробный заряд :
Под действием электрического поля заряд будет двигаться, т. к. на него действует сила.
Напряжённость численно равна силе, которая действует на единичный заряд, помещённый в данную точку поля.
Напряжённость — векторная величина. Её направление совпадает с направлением действия силы на положительный заряд.
Изображается электрическое поле электрическими положительными линиями. Линии начинаются на положительном и заканчиваются на отрицательном заряде.
Напряжённость направлена по касательной к электрической силовой линии. Если поле создаётся несколькими зарядами, то напряжённость в каждой точке равна векторной сумме напряжённостей отдельных полей.
Электрическое напряжение и потенциал — энергетические характеристики электрического поля. Так как под действием электрического поля заряд движется, => поле совершает работу, т. е. обладает энергией.
Электрический потенциал — работа, совершаемая силами поля по перемещению единичного заряда из данной точки поля в бесконечность.
Электрическое напряжение — работа, совершаемая силами поля по перемещению единичного заряда из одной точки поля в другую.
Электрический ток — направленное движение электрических зарядов под действием электрического поля. Для того чтобы шёл ток, нужна замкнутая цепь, которая состоит из источников электрической энергии, приёмников электроэнергии и соединительных проводов.
За направление тока принимают направление движения положительного заряда. Поэтому во внешней цепи ток направлен от зажима “+” к зажиму “–”, внутри источника — наоборот.
Сила тока — количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за 1 секунду.
— для постоянного тока
— для переменного тока (ток равен скорости изменения заряда)
Плотность тока:
Работа и мощность тока
При прохождении тока проводник нагревается и совершается работа:
— работа тока
— мощность тока
Электрическую энергию получают путём преобразования химической, механической и других видов энергии.
Устройство, которое даёт в цепь энергию, называется источником.
Различают источник напряжения и источник тока.
Источник напряжения — источник, ЭДС которого не зависит от сопротивления нагрузки.
Батареи, аккумуляторы, сеть — примеры источников напряжения.
Схемное изображение источника напряжения:
Источник тока — источник, ток которого не зависит от сопротивления нагрузки.
Источниками тока являются электронные лампы, транзисторы.
Схемное изображение источника тока:
На практике источник тока можно получить, если к источнику напряжения подключить очень большое внутренне сопротивление.
Можно при расчётах преобразовать источник напряжения в эквивалентный источник тока, если ток источника тока рассчитать по формуле
и внутренне сопротивление источника напряжения, включенное последовательно, включить к источнику тока параллельно.
Схема с источником напряжения:
Схема с эквивалентным источником тока:
Классификация электрических сигналов:
Периодические сигналы повторяются через определённый промежуток времени.
Непериодические сигналы появляются один раз и больше не повторяются.
Детерминированные сигналы — сигналы, которые можно описать с помощью функции времени.
Случайные сигналы — сигналы, мгновенные значения которых заранее не может быть предсказано.
Простые сигналы — сигналы, токи и напряжения которых имеют одну частоту (синусоида).
Сложные сигналы — сигналы, которые состоят из суммы токов и напряжений нескольких частот.
Способы представления сигнала:
— уравнение гармонического сигнала
Дискретный (линейчатый) спектр — спектр, который порождается периодическими сигналами.
Сплошной (непрерывный) спектр — спектр, порождаемый непериодическими сигналами.
Основные параметры детерминированных периодических сигналов:
Все приборы показывают действующие значения. Для гармонического сигнала максимальные и действующие значения связаны формулой:
Примеры периодических сигналов разной формы:
Изменяется по закону косинуса или синуса
— длительность импульса
Скважность:
(безразмерная величина)
Скважность — отношение периода к длительности импульса.
Двухполюсник — участок цепи, который имеет 2 зажима:
Четырёхполюсник — участок цепи, который имеет 2 входных и 2 выходных зажима:
Коэффициент передачи по напряжению — отношение напряжения на выходе к напряжению на входе четырёхполюсника:
Коэффициент передачи по току — отношение тока на выходе к току на входе четырёхполюсника:
Коэффициент передачи по мощности — отношение мощности на выходе к мощности на входе четырёхполюсника:
Коэффициент передачи по напряжению может измеряться в логарифмических единицах:
Сигнал, который поступает в цепь, называется воздействие, а который получается в результате воздействия, называется отклик.
Пассивными называются элементы, которые ни при каких условиях не могут отдать во внешнюю цепь энергию, большую той, которая была подведена к данному элементу. К ним относятся: резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности.
Электрическое сопротивление (резистор) — участок цепи, в котором происходит процесс необратимого преобразования электрической энергии в тепловую.
Резистор — элемент, который обладает сопротивлением:
Проводимость — способность тела проводить электрический ток.
Индуктивность — способность тела накапливать энергию магнитного поля.
— потокосцепление катушки
Элемент, который обладает индуктивностью, называется катушкой индуктивности.
Индуктивность:
— магнитная постоянная
— относительная магнитная проницаемость
Энергия магнитного поля:
Электрическая ёмкость — способность тела накапливать энергию электрического поля.
Элемент, который обладает ёмкостью, называется конденсатор. Это две металлические пластины, разделённые слоем диэлектрика.
Рассчитывается ёмкость плоского конденсатора:
— электрическая постоянная
— относительная диэлектрическая проницаемость
Энергия электрического поля:
Элементы называются активными, если энергия в выходной цепи четырёхполюсника больше, чем энергия во входной цепи. Это электронные лампы, транзисторы, операционные усилители (ОУ).
Транзистор является одним из основных усилительных элементов в технике связи.
Имеет три вывода:
Операционный усилитель (ОУ) представляет собой элемент, изготовленный на основе микроэлектронной технологии, в котором находится много транзисторов (до 30), резисторов и конденсаторов. Получает питание от источника постоянного напряжения 10 – 15 В. Имеет 8 выводов: 2 входных, 1 выходной, 1 заземлённый, 2 для источника питания и 2 для регулировки. На схеме ОУ изображается треугольником с тремя выводами:
Достоинства ОУ: очень большой коэффициент усиления: — , большое входное сопротивление: и выше, маленькое выходное сопротивление.
Положительным (неинвертируемым) входом ОУ называется такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение такой же полярности.
Отрицательным (инвертируемым) входом ОУ называется вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение другой полярности.
Схема включения ОУ без обратной связи (без ОС):
Понятие об обратной связи
Обратная связь — участок цепи, через который часть напряжения с выхода четырёхполюсника снова подаётся на его вход.
Различают отрицательную обратную связь (ООС) и положительную обратную связь (ПОС).
ООС — напряжение с выхода четырёхполюсника подаётся на вход со знаком, противоположным знаку входного напряжения.
ПОС — напряжение с выхода четырёхполюсника подаётся на вход с тем же знаком, что и знак входного напряжения.
Схема включения ОУ с обратной связью (с ОС):
ОУ устроен так, что напряжение на его выходе не может превышать напряжение источника питания, поэтому если ОУ работает без обратной связи, то напряжение на его выходе всегда будет прямоугольной формы и равно напряжению источника питания. Это используют для получения сигналов прямоугольной формы.
Пусть
Так как на выходе должен получиться сигнал очень большой по величине, то на уровне (напряжения источника питания) его стороны будут практически перпендикулярны к оси времени, и сигнал получится прямоугольной формы.
Если ОУ работает с ООС, то при маленьком коэффициенте передачи, напряжение на выходе будет синусоидально, а по мере роста коэффициента начнут появляться искажения, и сигнал превратиться в сигнал прямоугольной формы.
ОУ обычно работает с глубокой ООС, что резко уменьшает коэффициент передачи цепи по напряжению, но зато улучшает ряд других свойств ОУ.
Электрической цепью называется совокупность элементов и устройств, образующих путь или пути для прохождения электрического тока.
Элементы соединяются проводниками (проводами), и при расчетах сопротивление проводов равно нулю.
Классификация электрических цепей:
Разветвленная цепь — цепь, в которой есть точки, где сходятся не менее трех токов.
Нелинейная цепь — цепь, в которой параметры зависят от приложенного напряжения или проходящего тока.
Пассивная цепь — цепь, которая содержит только пассивные элементы (R, L, c).
Инерционные цепи — цепи, в которых мгновенное значение на выходе устанавливается с опозданием по времени по сравнению с мгновенным значением напряжения на входе (линии задержки).
Если цепь пропускает постоянный ток на вход цепи, то это цепь с открытым входом, если нет — цепь с закрытым входом.
Электрическая схема — упрощённое, наглядное изображение связи между отдельными элементами электрической цепи.
Цепь — реальное устройство, а схема — графическое изображение цепи.
Закон Ома справедлив для всех значений.
Закон Ома для участка цепи:
— для мгновенных значений
— для действующих значений
— для максимальных значений
— для размаха
Закон Ома для замкнутой цепи:
— для мгновенных значений
— для действующих значений
— для максимальных значений
— для размаха
,
где — напряжение на зажимах источника,
— внутренне падение напряжение источника.
Напряжение на зажимах источника меньше ЭДС на величину внутреннего падения напряжения.
Чтобы измерить ЭДС источника, надо на его зажимы включить вольтметр, а внешнюю цепь разомкнуть:
— мощность источника
— мощность нагрузки
— мощность потерь внутри источника
— уравнение баланса мощностей
КПД источника:
Режимы работы источника:
Чтобы получить режим холостого хода, надо цепь разомкнуть.
— максимум тока
Чтобы получить режим КЗ, нужно цепь перемкнуть проводом:
Последовательное соединение резисторов
Последовательным называется такое соединение, когда элементы соединяются один вслед за другим, без разветвлений:
Свойства последовательного соединения:
Входное сопротивление равно сумме сопротивлений участков
Если последовательно соединяются несколько источников напряжения, то общая ЭДС равна сумме ЭДС отдельных источников, а общее внутреннее сопротивление — сумме внутренних сопротивлений источников:
Параллельное соединение
Параллельным называется такое соединение, когда все начала элементов соединяются в одну общую точку, а все концы во вторую общую точку, и к этим точкам подводится напряжение:
Свойства параллельного соединения:
При параллельном соединении резисторов общее сопротивление меньше меньшего.
Если параллельно соединяются два резистора, то:
Если известен общий ток, то при параллельном соединении двух резисторов токи ветвей можно найти по формулам:
Задача
Дано:
Рассчитайте все токи и направьте их
В задачах такого типа используются свойства последовательного и параллельного соединения, законы Ома, формулы нахождения мощностей:
— закон Ома для участка цепи
— закон Ома для замкнутой цепи
— мощность источника
— мощность нагрузки
— мощность потерь внутри источника
Находим входное сопротивление:
Находим общий ток (который идёт через источник):
Не забудьте направить токи!
Иногда в задаче просят проверить себя, записав уравнение баланса мощностей:
В данной задаче пусть по условию: , а , тогда:
— уравнение баланса мощностей
(если уравнение ложно, то в решении задачи есть ошибка!)
Пусть сопротивление R изменяется от до .
Построение зависимости тока, напряжения, КПД в функции от сопротивления
Выводы:
Выводы:
Вывод:
Пусть сопротивление R изменяется от до .
Построение зависимости мощности источника и мощности нагрузки в функции от сопротивления
Мощность источника максимальна в режиме короткого замыкания.
Если исследовать функцию на экстремум, то оказывается, что максимальная мощность выделяется в нагрузке в согласованном режиме, и хотя , этот режим широко используется в технике связи, т. к. для слаботочных цепей КПД не имеет значения.
Потенциалом точки цепи называется напряжение между данной точкой и заземлённой.
Рассмотрим контур:
Пусть
Чтобы найти ток в контуре с несколькими источниками, надо сложить все ЭДС, направленные в одну сторону, вычесть все ЭДС, направленные в другую сторону, и разделить на сумму всех сопротивлений цепи. Ток направлен в сторону большей суммы ЭДС:
Источник работает в режиме генератора, если ток и ЭДС совпадают по направлению, или в режиме потребителя, если не совпадают.
В данном случае: — генератор, — потребитель.
1) При переходе через источник в режиме генератора потенциал повышается на величину ЭДС минус падение напряжения внутри источника:
2) При переходе через резистор потенциал понижается на величину падения напряжения в нём:
3) При переходе через источник в режиме потребителя потенциал понижается на величину ЭДС и величину падения напряжения внутри источника:
Потенциальная диаграмма — график зависимости потенциалов точек цепи от сопротивления.
Порядок расчёта:
Задача
Дано:
Найти общий ток и направить его; построить потенциальную диаграмму.
Рассчитываем ток и направляем его:
Рассчитываем потенциалы точек цепи:
Строим потенциальную диаграмму:
Вывод: при переходе через источник в режиме генератора потенциал резко повышается, в режиме потребителя — резко понижается. При переходе через резистор идёт плавное понижение потенциала.
Если имеется 3 сопротивления, образующих 3 узла, то такое сопротивление составляет пассивный треугольник, а если имеется только один узел, то сопротивления составляют пассивную звезду.
пассивный треугольник
пассивная звезда
Эти схемы можно эквивалентно заменить одна другой, если все токи в ветвях не подвергнутся преобразованию (то есть то, что за пределами штриховой линии не изменится). Из этих предпосылок получим следующие формулы преобразования:
(преобразование треугольника в звезду):
Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к той же вершине, что и луч звезды, делённое на сумму всех сопротивлений сторон треугольника:
(преобразование звезды в треугольник):
Сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений лучей звезды, примыкающих к тем же вершинам, что и сторона треугольника, плюс произведение этих сопротивлений, делённое на сопротивление третьего луча звезды:
Преобразование треугольника в звезду применяется в мостовых схемах, которые представляют собой 4 резистора, соединённых четырёхугольником, в одну диагональ которого ставится источник, во вторую — измерительные приборы. Найти входное сопротивление таких схем без предварительного преобразования невозможно.
Задача
Дано:
Найти все токи и направить их.
Выполним преобразование треугольника ABC в эквивалентную звезду:
Рассчитаем входное сопротивление и ток:
Найдём напряжение на разветвлённом участке OD и токи в его ветвях:
В первоначальной схеме направим токи, ток направим произвольно.
Для треугольника, который не заменяли, составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:
Чтобы найти токи и , составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов B и C:
B:
С:
Узел — точка, в которой сходятся не менее 3-х токов.
Ветвь — участок цепи, по которому течёт один и тот же ток.
Контур — любой замкнутый путь в схеме.
Первый закон Кирхгофа
Для любого узла сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, отходящих от узла.
Для любого узла электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. Ток, который притекает к узлу, берётся со знаком “+”, который оттекает — со знаком “–”.
Второй закон Кирхгофа
Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на участках этого контура.
Порядок составления контурных уравнений:
Задача
Составить контурные уравнения для решения сложной электрической цепи.
Метод контурных токов позволяет решать меньшее количество уравнений, чем при расчёте сложных электрических цепей методом уравнений Кирхгофа.
Порядок расчёта:
Если в ветви течёт один контурный ток, то действительный ток равен контурному току. Если два и более — то действительный равен их алгебраической сумме и направлен в сторону большего.
Задача
Найти и направить все токи в электрической цепи методом контурных токов.
Используя алгоритм, составляется система уравнений:
Пусть при решении получили контурные токи:
Тогда можно рассчитать действительные токи:
Рассмотрим метод узловых напряжений (двух узлов) на примере.
Задача
Определить токи ветвей и направить их.
Порядок расчёта:
:
В формулу E входит со знаком “+”, если она направлена к узлу А; если от узла — то со знаком “–”.
Методом эквивалентного генератора находят ток в одной ветви. Особенно удобно, если сопротивление этой ветви изменяется.
Согласно теореме об эквивалентном генераторе, любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентной ЭДС () и эквивалентным внутренним сопротивлением (). То, что обведено пунктиром на схеме 1, — активный двухполюсник:
|
Схема 1А |
Схема 1Б |
Чтобы найти , надо разомкнуть ветвь АБ и найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви. Оно будет равно :
Чтобы найти , надо разомкнуть ветвь АБ, убрать все источники, оставив их внутренние сопротивления. Далее необходимо рассчитать сопротивление цепи по отношению к зажимам АБ. Это и будет .
Если известны и , то:
Задача
Дано (для схемы 1А):
Найти ток в цепи (методом эквивалентного генератора).
Разомкнутая цепь приведена на схеме:
Находим ток холостого хода:
Найдём :
Обходим контур по второму закону Кирхгофа так, чтобы он замкнулся через напряжение (лучше взять такой контур, где меньше элементов):
Находим :
Далее можно выразить искомый ток:
Метод наложения основан на принципе наложения, согласно которому ток в каждой ветви может быть найден как алгебраическая сумма токов от действия каждой ЭДС в отдельности.
Порядок расчёта:
Например:
Пусть , тогда .
Делитель напряжения — четырёхполюсник, у которого коэффициент передачи меньше единицы ().
Различают Г-образный делитель напряжения и делитель напряжения с плавной регулировкой (его называют потенциометр).
Г-образный делитель напряжения
Чтобы найти , надо:
Сопротивление цепи по отношению к входным зажимам, называется входным, а по отношению к выходным — выходным.
Вывод: для Г-образного делителя напряжения коэффициент передачи равен отношению выходного сопротивления к входному.
Делитель напряжения с плавной регулировкой
изменяется от 0 до 1.
В нижнем положении движка , т. к. (снимаем с провода). В верхнем положении , т. к. .
Отношение характеризует положение движка потенциометра. Наибольшее значение .
Начертим зависимость (см. следующую страницу).
Если нет нагрузки, цепь разомкнута (ХХ), то зависимость коэффициента передачи от положения движка потенциометра будет линейной.
При подключении нагрузки схема принимает вид:
При подключении нагрузки в том же положении движка, что было при ХХ, сопротивление участка, с которого снимаем , уменьшается, т. к. параллельно . Крайние точки и останутся неизменными, и характеристика становится нелинейной.
Вывод: для того, чтобы характеристика делителя приближалась к линейной, нагрузку надо брать высокоомную.
Расчёт цепи с источниками тока производится так же, как и с источниками напряжения. Особенность расчёта в том, что при наличии источника тока число уравнений по второму закону Кирхгофа уменьшается, т. к. ток в контуре, где имеется источник тока, уже известен и равен току источника тока.
Расчёт рассмотрим двумя методами: методом контурных токов и методом двух узлов.
Метод контурных токов
Метод двух узлов
Напряжение между двумя узлами:
,
где — это сумма токов источников тока, где ток берётся со знаком “+”, если стрелка источника тока направлена к узлу А; и со знаком “–”, если от узла А.
Независимым называется источник, ЭДС которого (в источнике напряжения) и ток (в источнике тока) не зависят от напряжений, токов в любых ветвях цепи.
Зависимым называется источник, ЭДС которого (в источнике напряжения) и ток (в источнике тока) зависят от напряжений, токов в любых ветвях цепи.
Зависимые источники бывают четырёх видов:
|
ИНУН |
ИТУН |
|
ИНУТ |
ИТУТ |
, , , — коэффициенты управления
Расчёт цепи с зависимыми источниками производится так же, как и с независимыми, только расчёт производится многократно для разных значений коэффициента пропорциональности.
Рассмотрим расчёт цепи с зависимыми источниками:
Запишем уравнение по законам Кирхгофа:
Пусть
Обычно рассчитывают эту схему в общем виде, а затем, задаваясь значениями , находят токи.
Эквивалентные схемы замещения ОУ
Напряжение на выходе ОУ не может быть больше :
Если , то и . На практике не равно , но величина очень большая, поэтому существует, но эта величина очень маленькая, её почти невозможно измерить. Исходя из этого, существует две схемы замещения ОУ:
ОУ как преобразователь сигнала
Напряжение на выходе ОУ не может быть больше, чем , поэтому ОУ используют для ограничения сигнала, т. е. получения сигнала прямоугольной формы.
Подадим на вход ОУ три сигнала с разной амплитудой. После прохождения через ограничитель все сигналы станут прямоугольной формы одинаковой амплитуды. Ограничитель сигнала используют в буквопечатающих устройствах, телевизорах, приёмниках.
Сумматор
Сумматор — это активно-резистивная цепь, которая позволяет складывать напряжение различных сигналов в любой момент времени. Мгновенное напряжение на выходе сумматора пропорционально сумме мгновенных напряжений на его выходе.
Напряжение на выходе сумматора рассчитывается по формуле:
,
где — коэффициент передачи ОУ с ОС. Знак “–” говорит о том, что напряжение на выходе сумматора меняет полярность по сравнению с напряжением на входе.
Конвертор отрицательных сопротивлений (КОС)
Отрицательным называется сопротивление, которое, будучи подключенным последовательно с обычным резистором, не увеличивает, а уменьшает входное сопротивление цепи.
Природой таких сопротивлений не создано, поэтому для их получения используют ОУ с двумя ОС (ПОС и ООС):
Доказано, что входное сопротивление такого конвертера рассчитывается по формуле:
Если , то , т. е. входное сопротивление этой схемы имеет знак, противоположный знаку сопротивления нагрузки, значит оно отрицательно.
Используют КОС для уменьшения потерь мощности.
Колебания, которые изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.
Получают синусоидальную ЭДС с помощью явления ЭМИ (электромагнитной индукции).
Рамку помещают в магнитное поле и равномерно вращают вокруг своей оси. Она пересекает магнитные линии, и на её концах образуется ЭДС ЭМИ:
Угол, на который поворачивается рамка за одну секунду, называется угловой скоростью или угловой частотой ().
— циклическая частота
, где — период колебаний (см. вопрос 5)
За время рамка повернётся на угол , тогда:
Начальная фаза — угол, под которым рамка находится к положительному направлению горизонтальной оси в нулевой момент времени. Может быть положительной и отрицательной.
, , — начальные фазы тока, напряжения и ЭДС соответственно
Общее уравнение гармонических колебаний (математическая модель):
Фаза определяет значение переменной в любой момент времени, а начальная фаза — в нулевой момент времени.
Гармонический сигнал имеет действующее значение. Оно характеризует энергетические свойства сигнала, его показывают приборы. Для гармонического сигнала максимальное и действующее значения связаны формулой:
Угол сдвига фаз — разность начальных фаз двух переменных:
Та переменная, которая раньше достигает положительного максимума, опережает по фазе, которая позже — отстаёт по фазе:
Если две переменные одновременно проходят максимум и 0, то они совпадают по фазе:
Если угол сдвига фаз равен 180°, то переменные находятся в противофазе:
Временная диаграмма — график зависимости переменной от времени или угла . Если начальная фаза положительна, она откладывается влево от начала координат, если отрицательна — вправо.
Построим временную диаграмму для следующих данных:
Временная диаграмма имеет вид:
Векторная диаграмма
Любой гармонический сигнал можно изобразить вектором, длина которого равна максимальному или действующему значению, и расположен он под углом, равным начальной фазе к положительному направлению горизонтальной оси. Если начальная фаза положительна, вектор откладывается вверх от оси, если отрицательна — то вниз.
Векторная диаграмма для предыдущего примера имеет вид (используем тот же масштаб):
Угол между векторами равен углу сдвига фаз между ними:
— в цепи с R закон Ома справедлив для всех значений
Построим напряжение и ток на временной диаграмме:
Построим напряжение и ток на векторной диаграмме:
В цепи с резистором напряжение и ток совпадают по фазе, => .
Энергетический процесс в цепи с резистором
Мгновенная мощность равна произведению мгновенного напряжения на мгновенный ток:
Перемножим напряжение и ток на временной диаграмме:
В цепи с резистором мгновенная мощность всегда положительна. Это значит, что в любой момент времени происходи необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Средняя скорость этого преобразования называется активная мощность ().
Чтобы её найти, надо просуммировать все мгновенные мощности за период (т. е. проинтегрировать) и разделить на время, равное периоду:
При расчётах учли, что интеграл от гармонической функции за период равен 0.
, где — действующее значение напряжения на резисторе.
Сопротивление резистора в комплексной (символической) форме
Зададимся напряжением
— закон Ома в комплексной форме
В резисторе:
Вывод: в цепи с резистором комплексное сопротивление .
Гармонические колебания в цепи с идеальной катушкой индуктивности
Пусть по катушке течёт ток .
В цепи возникает ЭДС самоиндукции:
По второму закону Кирхгофа напряжение уравновешивает эту ЭДС:
, тогда
|
— формула, которая связывает мгновенные значения напряжения и тока в цепи с идеальной катушкой |
Вывод: в цепи с L напряжение опережает ток на угол 90°, поэтому ЭДС самоиндукции, которая уравновешивает напряжение, отстаёт от тока на угол 90°.
Начертим временную диаграмму:
— потокосцепление катушки
Вывод: в цепи с идеальной катушкой ток, магнитный поток и потокосцепление совпадают по фазе.
Закон Ома в цепи с идеальной катушкой
— индуктивное сопротивление
← законы Ома →
Вывод: в цепи с идеальной катушкой закон Ома справедлив для максимальных и действующих значений, но не справедлив для мгновенных.
( — для мгновенных значений)
С ростом частоты индуктивное сопротивление растёт, поэтому катушка хорошо пропускает токи нижних частот и плохо токи верхних частот. Катушка — фильтр нижних частот.
На постоянном токе , поэтому вместо катушки в схеме замещения надо ставить провод.
Энергетический процесс в цепи с идеальной катушкой
Перемножим напряжение и ток на временной диаграмме:
Первую и третью четверть напряжение и ток имеют одинаковые знаки. Источник работает в режиме генератора. Энергия поступает в магнитное поле катушки. Мгновенная мощность положительна. Вторую и четвёртую четверть напряжение и ток имеют разные знаки, источник работает в режиме потребителя. Энергия возвращается обратно к источнику. Мгновенная мощность отрицательна.
Вывод: в цепи с идеальной катушкой индуктивности катушка и источник обмениваются энергией. Энергия из цепи не уходит. Мерой этого обмена является реактивная мощность :
Сопротивление идеальной катушки в комплексной (символической) форме
Зададимся напряжением
— закон Ома в комплексной форме
В идеальной катушке индуктивности:
Вывод: в комплексной форме сопротивление идеальной катушки индуктивности .
|
— формула, связывающая мгновенные значения напряжения и тока в цепи с конденсатором |
Тогда .
Вывод: в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол 90°.
Построим напряжение и ток на временной и векторной диаграмме:
Закон Ома:
— емкостное сопротивление
|
закон Ома |
закон Ома |
Вывод: в цепи с конденсатором закон Ома справедлив для максимальных и действующих значений, но не справедлив для мгновенных.
( — для мгновенных значений)
С ростом частоты емкостное сопротивление уменьшается, поэтому конденсатор хорошо пропускает токи верхних частот, и плохо токи нижних частот. Конденсатор — фильтр верхних частот.
На постоянном токе , а это значит, что в схеме замещения на постоянном токе вместо конденсатора надо ставить разрыв цепи.
Конденсатор не пропускает постоянный ток.
Энергетический процесс в цепи с конденсатором
Мгновенная мощность:
Перемножим напряжение и ток на временной диаграмме:
В первой и третьей четверти напряжение и ток имеют одинаковые знаки, источник работает в режиме генератора. Конденсатор заряжается от источника, мгновенная мощность положительна. Вторую и четвёртую четверть напряжение и ток имеют разные знаки. Источник работает в режиме потребителя, и конденсатор разряжается на источник. Мгновенная мощность отрицательна.
Вывод:
В цепи с конденсатором источник и конденсатор обмениваются энергией. Мерой этого обмена является реактивная мощность .
Сопротивление конденсатора в комплексной (символической) форме
Зададимся напряжением
— закон Ома в комплексной форме
В идеальной катушке индуктивности:
Вывод: в комплексной форме сопротивление конденсатора .
Цепь RL при гармоническом воздействии
В реальной катушке происходит процесс нагревания, поэтому в схеме замещения реальной катушки появляется резистивное сопротивление.
Пусть ток изменяется по закону
— активная составляющая напряжения
— индуктивная составляющая напряжения
(Вместо можно писать — резистивная составляющая напряжения)
(формула справедлива для мгновенных, векторных и комплексных значений)
Сложим напряжения участков на векторной диаграмме:
В цепи RL напряжение опережает ток на угол , меньший 90°.
Треугольники напряжений и сопротивлений
Разделим все стороны диаграммы напряжений на , получим треугольник напряжений для действующих значений:
— полное сопротивление цепи RL
— закон Ома для цепи RL
Разделим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (стрелки уже не ставятся):
Умножим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник мощностей:
— полная мощность цепи (вся мощность, которую выдаёт генератор)
В цепи RL происходит два энергетических процесса:
— коэффициент мощности
Чем ближе к 1, тем лучше используется мощность генератора.
Формулы мощностей:
Сопротивление цепи RL в комплексной (символической) форме
Вывод: в комплексной форме при последовательном соединении сопротивления участков просто складываются.
Цепь RС при гармоническом воздействии
В реальном конденсаторе происходит процесс нагревания, поэтому в схеме замещения реального конденсатора появляется резистивное сопротивление.
Пусть ток изменяется по закону
— активная составляющая напряжения
— емкостная составляющая напряжения
(Вместо можно писать — резистивная составляющая напряжения)
(формула справедлива для мгновенных, векторных и комплексных значений)
Сложим напряжения участков на векторной диаграмме:
В цепи RС ток опережает напряжение на угол , меньший 90°.
Треугольники напряжений и сопротивлений
Разделим все стороны диаграммы напряжений на , получим треугольник напряжений для действующих значений:
— полное сопротивление цепи RС
— закон Ома для цепи RС
Разделим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (стрелки уже не ставятся):
Умножим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник мощностей:
— полная мощность цепи (вся мощность, которую выдаёт генератор)
В цепи RС происходит два энергетических процесса:
— коэффициент мощности
Чем ближе к 1, тем лучше используется мощность генератора.
Формулы мощностей:
Сопротивление цепи RС в комплексной (символической) форме
При рассмотрении сопротивления цепи RL в комплексной форме в предыдущем вопросе был сделан вывод о том, что в комплексной форме при последовательном соединении сопротивления участков просто складываются. Исходя из этого, для цепи RC:
Это можно доказать:
Вывод (к вопросам 33 – 34): модуль комплексного сопротивления есть полное сопротивление цепи Z. Действительная часть — активное (резистивное) сопротивление R, мнимая часть — реактивное сопротивление (xL или xc). Аргумент — угол — угол сдвига фаз между напряжением и током.
Пусть ток изменяется по закону
Это справедливо для мгновенных, векторных и комплексных значений.
Возьмём случай:
— реактивная составляющая напряжения
— полное сопротивление цепи RLC
— закон Ома для цепи RLC
Разделим все стороны диаграммы напряжений на ток, получим диаграмму сопротивлений (стрелки уже не ставятся):
— реактивное сопротивление цепи RLC
Если , то — цепь носит индуктивный характер.
Если , то — цепь носит емкостной характер.
Умножим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник мощностей:
Построим векторную диаграмму напряжений, когда :
Запишем сопротивление цепи в комплексной (символической) форме:
Параллельные цепи RL и RC при гармоническом воздействии
Для параллельных цепей начинаем строить векторную диаграмму с вектора напряжений.
отстаёт от напряжения на угол , т. к. цепь RL.
опережает напряжение на угол , т. к. цепь RС.
Общий ток равен векторной сумме этих токов:
Чтобы найти общий ток, существует специальный метод расчёта — метод составляющих токов.
Разложим ток на две составляющие:
— активная составляющая, совпадает по фазе с напряжением;
— индуктивная составляющая, отстаёт от напряжения на угол 90°.
Разложим ток на составляющие:
— активная составляющая, совпадает по фазе с напряжением;
— емкостная составляющая, опережает напряжение на угол 90°.
Из треугольника ABC:
Проводимости при гармоническом воздействии
Отношение активной составляющей тока к напряжению, называется активной проводимостью:
Отношение индуктивной (емкостной) составляющей тока к напряжению, называется реактивной проводимостью:
Отношение тока ветви (общего тока) к напряжению называется полной проводимостью:
Разделим все стороны диаграммы токов на напряжение, получим диаграмму проводимостей:
Если параллельно соединяется по одному элементу, то формулы проводимостей упрощаются. Проводимость будет обратно пропорциональна сопротивлению:
Чтобы записать входное сопротивление цепи в комплексной (символической) форме, используют обычную формулу сопротивления при параллельном соединении, только вместо сопротивлений подставляют их комплексные выражения:
В числитель подставляем в показательной форме, в знаменатель — в алгебраической.
Выражение тока и напряжения в комплексной (символической) форме
Рассмотрим перевод комплексных чисел из алгебраической формы в показательную.
Дано:
Определить:
Если мнимая часть отрицательна, то угол также отрицателен.
Рассмотрим перевод обратно:
Дано:
Определить:
Если угол отрицателен, то мнимая часть будет отрицательной.
Примеры:
Выражают ток и напряжение в показательной форме. Модуль равен максимальному или действующему значению, аргумент равен начальной фазе:
Например:
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
— закон Ома в комплексной форме, где — комплексное сопротивление
— первый закон Кирхгофа в комплексной форме
— второй закон Кирхгофа в комплексной форме
Комплексная мощность
Сопряжённым называется комплекс, который по модулю равен комплексному выражению, но противоположен по знаку аргумента, например:
Комплексная мощность — произведение комплекса напряжения на сопряжённый комплекс тока.
Модуль комплексной мощности — полная мощность цепи S.
Действительная часть — активная мощность P.
Мнимая часть — реактивная мощность Q.
Пример:
Неразветвлённая цепь с произвольным числом резистивных и реактивных элементов (L и C)
Воспользовавшись данными, найдём входное сопротивление этой цепи; построим векторную диаграмму напряжений:
|
Дано: |
||
|
Z – ? |
Любой двухполюсник можно заменить эквивалентным последовательным двухполюсником с параметрами: и .
Задача
Дано:
Найти: , и ; нарисовать схему замещения.
Следовательно:
Нарисуем схему эквивалентного четырёхполюсника (т. к. , то цепь носит индуктивный характер):
схема 1 схема 2
Фазосдвигающими цепями называются четырехполюсники, у которых фаза выходного напряжения сдвинута относительно фазы входного напряжения .
Четырехполюсники, у которых можно в широких пределах изменять разность начальных фаз, называются фазовращателями.
Пассивная фазосдвигающая цепь — это цепь RC
Обозначим угол сдвига фаз между входным и выходным напряжениями .
Из векторной диаграммы видно, что для первой схемы, и для второй схемы.
Используют фазосдвигающие цепи в RC-генераторах в цепях обратной связи. Там необходимо повернуть фазу выходного напряжения на 180° и затем подать это напряжение на вход усилителя (ПОС). Эта задача решается с помощью трёхзвенной фазосдвигающей цепи. Каждое звено осуществляет сдвиг фаз на 60°.
(схема 1)
(схема 2)
Обычно выбирают .
Такой сдвиг фаз обеспечивается на частотах:
(для первой схемы)
(для второй схемы)
Эти частоты и будут определять частоту автоколебаний генератора.
Подбор R и с в произведении не имеет жестких ограничений. Надо только, чтобы входное сопротивление фазосдвигающей цепи было в 5 – 10 раз больше выходного сопротивления усилителя.
Активная фазосдвигающая цепь
Недостатком пассивной фазосдвигающей цепи является низкий коэффициент передачи (). Поэтому используют активную фазосдвигающую цепь, построенную на основе ОУ, где на любой частоте.
Рассчитано, что угол сдвига фаз между входным и выходным напряжениями
,
поэтому регулировку фазы можно осуществлять изменением резистора . Изменяя сопротивление от 0 до , фаза изменяется от 0° до .
Входные амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ)
Цепь первого порядка — цепь, в которой есть или одна катушка, или один конденсатор.
Отношение комплексного напряжения на входе к комплексному току на входе называется комплексным входным сопротивлением:
Зависимость модуля комплексного входного сопротивления от частоты, называется входной АЧХ.
— входная АЧХ
Зависимость аргумента комплексного входного сопротивления от частоты, называется входной ФЧХ.
— входная ФЧХ
Частота, на которой действительная и мнимая часть комплексного входного сопротивления равны, называется граничной ( или ).
Входные характеристики цепи RL
— формула граничной частоты цепи RL
Порядок построения характеристик:
— формула входной АЧХ цепи RL
— формула входной ФЧХ цепи RL
Выводы:
Построение входных характеристик качественно
Для сложных электрических цепей характеристики можно строить только с помощью вычислительной техники. Можно построить характеристики качественно, рассмотрев цепь на двух частотах: и .
Надо помнить:
Построим качественно АЧХ для цепи:
Построим качественно ФЧХ для той же цепи:
Т. к. цепь RL, то угол — положителен, и если при и , то где-то есть максимум :
Понятие входных АЧХ и ФЧХ, граничной частоты, а также порядок построения характеристик рассмотрены в предыдущем вопросе (см. вопрос 40).
Входные характеристики цепи RC
Используем порядок построения характеристик:
— формула граничной частоты цепи RC
— формула входной АЧХ цепи RС
Вывод:
С ростом частоты входное сопротивление цепи RC уменьшается.
— формула входной ФЧХ цепи RС
Вывод:
В цепи RC входная ФЧХ имеет линейный участок на частотах от до .
Вывод (к вопросам 40 – 41): на граничной частоте в цепях первого порядка
, .
Построим качественно входные характеристики для цепи:
Т. к. цепь RС, то угол — отрицателен, и если при и , то где-то есть максимум :
Поверхностный эффект
Поверхностный эффект (ПЭ) заключается в том, что плотность переменного тока оказывается наибольшей у поверхности проводника, а по мере удаления от поверхности вглубь сечения проводника она убывает. Это связано с различной индуктивностью внешних и внутренних слоёв проводника (внутри индуктивность больше). Вытеснение тока к поверхности проводника равносильно уменьшению сечения, а т. к. , значит увеличивается сопротивление.
ПЭ при переменном токе выражается тем резче, чем выше частота колебаний и чем больше диаметр провода.
При промышленной частоте 50 Гц ПЭ существенно влияет, когда диаметр провода выше 1 см. На высоких частотах (ВЧ) часто применяют вместо проводов трубки, т. к. внутри провода тока нет.
Передаточные АЧХ и ФЧХ
Отношение комплексного напряжения на выходе к комплексному напряжению на входе называется комплексным коэффициентом передачи:
Зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты — передаточная АЧХ:
— передаточная АЧХ
Зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи от частоты — передаточная ФЧХ:
изменяется от 0 до 1.
Передаточные характеристики зависят от того, какой элемент стоит на выходе.
Передаточные характеристики цепи RL
(чтобы выделить действительную и мнимую часть, умножили числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателю число)
(разделим на )
Граничная частота цепи RL:
Воспользовавшись формулой , получим передаточную АЧХ цепи RL:
— формула передаточной АЧХ цепи RL с L на выходе
— формула передаточной ФЧХ цепи RL с L на выходе
Зададимся:
Построим качественно передаточную АЧХ для RL цепи c R на выходе:
Понятие передаточных АЧХ и ФЧХ рассмотрено в предыдущем вопросе (см. вопрос 42).
Передаточные характеристики цепи RC
Воспользовавшись формулой , получаем передаточную АЧХ цепи RC с конденсатором на выходе:
— формула передаточной АЧХ цепи RC с C на выходе
— формула передаточной ФЧХ цепи RC с C на выходе
Зададимся:
Вывод: передаточная ФЧХ цепи RC имеет линейный участок на частотах от до .
Вывод (к вопросам 42 – 43): на граничной частоте в цепях первого порядка
, .
Возьмём две катушки и расположим их близко одна около другой. По первой катушке пропустим переменный ток:
Часть магнитного потока () пронизывает витки второй. Это поток взаимоиндукции. Этот поток наводит на концах второй катушки ЭДС, которая называется ЭДС взаимной индукции. От этой ЭДС потечёт ток взаимной индукции.
Явление возникновения ЭДС во второй катушке при изменении тока в первой называется явлением взаимной индукции. Обозначим:
— потокосцепление взаимной индукции;
— коэффициент взаимной индукции.
— основной закон ЭМИ
ЭДС взаимоиндукции во второй катушке пропорциональна скорости изменения тока в первой.
Трансформатор — статическое устройство, которое служит для преобразования тока, напряжения и сопротивления. Трансформатор не преобразует мощность.
Трансформатор состоит из ферромагнитного сердечника и двух или более обмоток. Обмотка, которая включается в сеть, называется первичной, а в которую включается нагрузка — вторичной.
Работа трансформатора основана на явлении взаимной индукции. Когда по первичной обмотке течёт ток, в сердечнике возникает основной магнитный поток. Этот поток пронизывает обмотки и наводит в первичной обмотке ЭДС самоиндукции и во вторичной — ЭДС взаимоиндукции .
— коэффициент трансформации
Если , , трансформатор понижающий по напряжению.
Если , , трансформатор повышающий по напряжению.
Запишем комплексную мощность первичной и вторичной обмоток:
— уравнение баланса мощностей для трансформатора
Вывод: если трансформатор повышает по напряжению, то он понижает по току.
Небольшая часть магнитного потока замыкается по воздуху. Это потоки рассеивания.
Магнитное поле, пересекающее сердечник наводит в сердечнике ЭДС, которая вызывает в сердечнике токи. Они называются вихревыми. От этих токов сердечник нагревается. Чтобы уменьшить эти токи, надо увеличить электрическое сопротивление сердечника. Для этого:
Согласным называется такое включение, когда потоки само- и взаимоиндукции направлены в одну сторону, встречным — когда в разные стороны.
(согласное включение)
и — собственные магнитные потоки первой и второй катушек (потоки самоиндукции).
Направление потоков определяем по правилу охвата правой руки.
— магнитный поток первой катушки, который пронизывает витки второй (поток взаимной индукции).
— магнитный поток второй катушки, который пронизывает витки первой (поток взаимной индукции).
Получилось согласное включение.
От каждого из потоков в катушке возникает ЭДС само- и ЭДС взаимоиндукции:
На концах обеих катушек будет действовать сумма ЭДС, т. к. катушки соединены последовательно:
— индуктивность при согласном включении двух катушек
Чтобы получить встречное включение, надо поменять начало и конец одной из обмоток.
(встречное включение)
Получили встречное включение.
— индуктивность при встречном включении двух катушек
Согласное и встречное включение используют для расчёта коэффициента взаимной индукции M:
Используют согласное и встречное включение в устройствах для плавного изменения индуктивности (вариометр). Он состоит из двух катушек, одна подвижная, а другая — неподвижная. При вращении подвижной катушки направление магнитных потоков изменяется от согласного до встречного, поэтому индуктивность меняется в пределе .1
1омпьютерная печать: Байков Дмитрий, группа ПО-811