Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ Российской Федерации
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.М.Шаповалов
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
РПК "Политехник"
Волгоград 2000
УДК 62-50:54+66(075)
Рецензенты: А.Ф.Крюков, В.В.Староверов
Шаповалов В.М. Лабораторный практикум по математическому моделированию процессов переноса: Учебное пособие/ВолгГТУ,Волгоград,2000.- 49 с.
ISBN 5-230-03812-8
Представлено подробное описание лабораторных установок в соответствии с последовательностью изучаемого теоретического курса и практических занятий по математическому моделированию процессов переноса. Структура и методическое содержание пособия соответствует разделам программы. Для отдельных задач даны математические модели процессов переноса тепла, массы. Уделено внимание простоте, наглядности и доступности экспериментальной части работ. Автор признателен сотрудникам кафедры Леонидовой С.А. и Харитонову В.Н. за выполнение иллюстраций.
Учебное пособие предназначено для студентов дневной формы обучения по направлению 5518 “Технологические машины и оборудование”.
Ил. 7. Табл.1. Библиогр: 10 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета.
Волгоградский
государственный
технический
университет,2000
Работа №1
1. Изучить применение закона Бернулли для анализа процесса слива маловязкой жидкости.
2. Учет влияния сил вязкого трения на продолжительность слива.
3. Зависимость коэффициента расхода от числа Рейнольдса.
4. Экспериментально определить продолжительность слива.
3. Теоретическая часть.
Определим расход маловязкой жидкости при ее истечении через круглое отверстие в тонком днище открытого сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень H жидкости (рис. 1, а).
а б
Рис. 1. Истечение жидкости из сосуда:
а – при постоянном уровне; б – при переменном уровне.
Выбрав плоскость сравнения 0-0 параллельной днищу сосуда, напишем уравнение Бернулли (считая жидкость идеальной) для сечения 1-1, соответствующего верхнему уровню жидкости в сосуде, и сечения 2-2, плоскость которого проходит через самое узкое сечение вытекающей струи
.
Для открытого сосуда ; кроме того, при постоянном уровне жидкости скорость ее . Пренебрегая небольшим расстоянием самого узкого сечения струи от дна, можно принять, что . Отсюда
.
Получим формулу Торичелли для идеальной жидкости
.
Скорость истечения жидкости не зависит от формы сосуда, а определяется только высотой столба жидкости над отверстием.
При истечении реальной жидкости часть напора Н теряется на трение и преодоление сопротивления, обусловленного внезапным сужением потока в отверстии. Поэтому скорость реальной жидкости
где поправочный коэффициент (<1), называемый коэффициентом скорости, который учитывает потери напора при истечении через отверстие.
Кроме того, вследствие сжатия струи на выходе из отверстия от сечения S0 до S2, скорость w0 жидкости в отверстии должна быть меньше, чем w2. Тогда
, ( 1 )
где коэффициент сжатия струи, коэффициент расхода. Коэффициент расхода определяют опытным путем, его значение зависит от критерия Re.
Объемный расход жидкости Vсек равен произведению ее скорости на площадь сечения S0 отверстия
( 2 )
Из уравнения ( 2 ) следует, что расход жидкости, вытекающей через отверстие в тонком днище, зависит от высоты уровня жидкости над отверстием и размера отверстия, но не зависит от формы сосуда. Это уравнение применимо также для определения расхода жидкости, вытекающей через отверстие в тонкой боковой стенке сосуда, если считать Н расстоянием от верхнего уровня жидкости до оси отверстия.
Для жидкостей, по вязкости мало отличающихся от воды, можно принять в первом приближении . При истечении жидкости через короткий цилиндрический патрубок (насадок) происходит дополнительная потеря напора на входе и выходе жидкости, что приводит к снижению . Вместе с тем, струя при входе в патрубок после некоторого сжатия снова расширяется и вытекает, заполняя все его сечение, т.е. можно считать . В итоге, коэффициент расхода жидкости при истечении через насадок оказывается большим, чем при истечении через отверстие, и для воды может быть принят .
Теперь рассмотрим истечение через отверстие в тонком днище при переменном уровне жидкости в сосуде, с целью определения времени опорожнения сосуда.
При таком истечении жидкости (рис. 1,б) ее уровень Н снижается во времени и, согласно уравнению ( 1 ), уменьшается также скорость истечения . Следовательно, процесс истечения носит нестационарный характер.
Определим время, за которое уровень жидкости в сосуде опустится от первоначальной высоты Н1 до некоторой высоты Н2 . За бесконечно малый промежуток времени , в соответствии с уравнением ( 2 ), через отверстие в днище вытекает элементарный объем жидкости
где площадь поперечного сечения отверстия.
За тот же промежуток времени уровень жидкости в сосуде понизится на бесконечно малую величину dH, и при постоянной площади поперечного сечения S сосуда убыль жидкости в нем составит
.
Знак минус указывает на уменьшение высоты жидкости в сосуде с ростом времени.
Приравнивая, согласно уравнению неразрывности потока, эти объемы, получаем дифференциальное уравнение первого порядка
откуда, разделяя переменные, имеем
(3)
Проинтегрируем это выражение для начального условия 1, принимая, что коэффициент расхода постоянен, т.е. не зависит от скорости истечения:
,
выполнив интегрирование степенной функции в правой части, находим время
.
Таким образом, время опорожнения сосуда, имеющего постоянное поперечное сечение, от высоты H1 до высоты H2 составляет
. (4)
В случае полного опорожнения резервуара H2 = 0 и уравнение ( 4 ) принимает вид
. (5)
При решении задачи о времени опорожнения сосуда, площадь поперечного сечения которого изменяется по высоте (например, при истечении из конических резервуаров, цистерны и др.) в процессе интегрирования должна быть учтена зависимость площади сечения S от уровня H жидкости.
Рассмотрим сосуд конической формы, расчетная схема которого представлена на рис.2.
Первоначальный уровень жидкости H1 . Соответствующий диаметр свободной поверхности D1. На текущей высоте H диаметр сосуда D. Требуется найти время истечения, т.е. время, по истечении которого уровень жидкости будет составлять H2, а диаметр сосуда D2 – соответственно.
Предварительно найдем зависимость D(H). Из условия геометрического подобия прямоугольных треугольников, можем записать
где x – неизвестное расстояние от дна сосуда до вершины конуса.
Рис.2. Схема слива жидкости из конического сосуда
Из первого равенства находим x
.
Далее из первого и последнего выражения с учетом x, получим для D линейную зависимость
Найдем площадь сечения сосуда для текущей высоты, т.е. функцию S(H)
.
Подставив это выражение в дифференциальное уравнение (3) и проинтегрировав его левую часть, можем записать
.
Учитывая , что
,
а также используя формулу Лейбница для определенных интегралов, имеем
В случае полного слива жидкости H2=0 расчетное уравнение упрощается
( 6 )
Полученные расчётные зависимости пригодны исключительно для маловязких жидкостей, когда силы вязкого трения незначительны и справедливо исходное уравнение Бернулли.
Рассмотрим истечение жидкости значительной вязкости при переменном уровне. При выводе формулы ( 4 ) использовалось допущение const , т.е. коэффициент расхода принимался не зависящим от напора. В действительности коэффициент расхода зависит от числа Рейнольдса , где d – диаметр отверстия, а следовательно и от напора. В широком диапазоне значений коэффициент расхода изменяется незначительно, поэтому, используя формулу (4) или (5), при среднем значении 0,635 не следует ожидать значительной погрешности. При Re<50, т.е. при истечении жидкостей большой вязкости, коэффициент расхода с уменьшением Re начинает падать; в подобных случаях допущение const , а следовательно и формула (4), не дают правильных результатов. Для малых Re примем следующую зависимость для коэффициента расхода
. (7)
Рассмотрим истечение жидкости из отверстия в дне вертикального призматического сосуда при отсутствии притока (рис. 1,б). Используя, как получено выше, условие равенства элементарных расходов за время , дифференциальное уравнение (3) и формулу для (7), можем записать.
.
Проинтегрируем это выражение в пределах от H1 до H2 (используя начальное условие 1)
.
В результате для времени истечения имеем
.
Или для цилиндрического сосуда, диаметром D, и круглого отверстия
. (8)
Уравнение (8) в отличие от уравнения (4) учитывает влияние вязкости жидкости на продолжительность истечения; из (8) следует, что время истечения прямо пропорционально вязкости. Из формулы ( 7 ) следует, что время полного опорожнения призматических сосудов стремиться к бесконечности ().
В случае, если давление на свободной поверхности жидкости больше атмосферного (для закрытого сосуда), формула (8) принимает вид
, (9)
где p – избыточное давление на поверхности жидкости в сосуде. Из этой формулы следует, что время истечения жидкостей большой вязкости можно сократить, повышая избыточное давление или снижая её вязкость.
Пределы применимости уравнений (8), (9) определяются пределами применимости исходного уравнения ( 7 ), которое справедливо при условии
. (10)
Видно, что ограничения накладываются на напор H, а именно, его максимальное значение. При очень малых напорах (<2) заметное влияние получают силы тяжести (подток жидкости по дну к отверстию, прорыв воздухом воронки), и уравнение ( 7 ), а следовательно, и формула ( 8 ) не дают правильных результатов.
4. Описание лабораторной установки.
Для экспериментального определения продолжительности слива используется призматический сосуд. В качестве маловязкой жидкости применяется вода, а высоковязкой – масло.
Уровень жидкости контролируется метками на стенке прозрачного сосуда или установленной рядом линейкой. Необходимо контролировать температуру жидкости, поскольку она существенно влияет на вязкость. Продолжительность слива определяется секундомером.
5. Методика проведения эксперимента и обработка опытных данных.
5.1. Работа выполняется в следующей последовательности:
5.2. Обработка экспериментальных данных.
6. Содержание отчета
Отчет должен содержать схему установки, расчеты продолжительности слива маловязкой и высоковязкой жидкостей, расчет числа Рейнольдса.
Должны быть даны выводы о правомерности применения расчетных формул из их соответствия числу Рейнольдса.
7. Контрольные вопросы
Литература
Работа №2
Измерение коэффициента фильтрации зернистого слоя
I. Цель работы
Экспериментальное определение коэффициента проницаемости неподвижного зернистого слоя, уяснение физической сущности закона Дарси.
2. Содержание работы
1. Ознакомиться с основными геометрическими характеристиками зернистого слоя.
2. Физическая сущность закона Дарси и границы его применимости.
3. Связь между коэффициентом фильтрации , коэффициентом проницаемости и удельным сопротивлением осадка.
4. Ознакомиться с классическими методиками измерения сопротивления зернистого слоя.
5. Экспериментально измерить коэффициент фильтрации зернистого слоя.
3. Теоретическая часть
Во многих процессах химической технологии имеет место движение жидкостей или газов через неподвижные слои материалов, состоящих из отдельных элементов. Движение потока через зернистый слой используется в различных технологических процессах (фильтрование, газоочистка, промывка, экстрагирование и др.).
Форма и размеры элементов зернистых слоев весьма разнообразны: мельчайшие частицы слоев осадка на фильтрах, гранулы, таблетки и кусочки катализаторов и адсорбентов, крупные насадочные тела (в виде колец, седел и т.п.), применяемые в абсорбционных и ректификационных колоннах. При этом зернистые слои могут быть монодисперсными или полидисперсными в зависимости от того, одинаковы или различны по размеру частицы слоя.
При движении жидкости через зернистый слой, когда поток полностью заполняет свободное пространство между частицами слоя, можно считать, что жидкость одновременно обтекает отдельные элементы слоя и движется внутри каналов неправильной формы, образуемых пустотами и порами между элементами.
Основные геометрические характеристики зернистого слоя: удельная поверхность, пористость и эквивалентный диаметр каналов.
Удельная поверхность а(м2м3) представляет собой суммарную поверхность частиц материала, занимающих 1 м3. Чем меньше размер частиц тем больше удельная поверхность слоя.
Доля свободного объема, или пористость , выражает объём свободного пространства между частицами в единице объёма, занятого слоем. Если V общий объём, занимаемый зернистым слоем, и Vо - объём, занимаемый самими частицами, то
=(VVо)V.
Пористость зависит от формы частиц и не зависит от их размера. При =0 поры в объёме V отсутствуют (сплошное тело); при =1 поры занимают весь объём V , т.е. жидкость занимает весь объём V. В зернистых слоях изменяется в пределах от 0,25 до 0,9. Например, для частиц сферической формы 0,4.
Эквивалентный диаметр каналов в зернистом слое определяется
Он может быть выражен также через размер частиц
где d диаметр шара, имеющего тот же объём, что и частица; Ф фактор формы (для куба Ф=0,806, для шарообразных частиц Ф=1).
Значения Ф,,а для различных материалов приводятся в справочной литературе. Величина может зависеть от соотношения между диаметром d частиц и диаметром D аппарата, в котором находится слой. Это связано с так называемым пристеночным эффектом: пористость слоя у стенок всегда выше, чем в центральной части слоя. Пристеночный эффект вызывает неравномерность распределения скоростей потока: скорости у стенок, где доля свободного объёма слоя больше и сопротивление ниже, превышает скорость в центральной части аппарата.
Первые эксперименты по фильтрации воды были поставлены Дарси в 1854г. Он исследовал фильтрацию воды в вертикальной трубе, заполненной песком. В результате им было установлено, что количество фильтрующейся воды, проходящей через единицу площади поверхности, пропорционально потере напора. Эта экспериментальная зависимость была названа законом Дарси.
В дифференциальной форме зависимость Дарси имеет вид
v = k1 , (1)
где k1 коэффициент фильтрации, H=P/g+z напор, P давление, плотность жидкости, z высота рассматриваемой точки над плоскостью сравнения, v скорость движения жидкости в направлении s. Знак минус указывает на то, что движение жидкости направлено в сторону уменьшения напора.
Разница в давлениях Р не обязательно является причиной движения воды. Например, в стакане с водой есть разность давлений по высоте, но нет движения воды, так как напоры Н по высоте слоя воды одинаковы. Однако в технологических аппаратах при движении газа или жидкости сквозь плотный слой зернистого материала часто именно давление Р является движущей силой фильтрации, а гидростатической составляющей напора можно пренебречь.
Полагая dH/ds=1, находим, что |v| = k1, т.е. коэффициент фильтрации (в мс) численно равен скорости фильтрации при градиенте напора, равном единице.
а) б)
Рис.1 Прибор Дарси (а) и трубка Каменского(б) для измерения коэффициента фильтрации зернистого материала: 1слой зернистого материала; 2пьезометры; 3сетка; 4мерный сосуд.
Коэффициент фильтрации определяют в лабораторных условиях путем замера расхода воды и разности напоров в основном по двум схемам. В первой схеме (прибор Дарси)(рис.1,а) по торцам вертикального образца с помощью сливов устанавливают постоянную разность напоров и у нижнего слива непосредственным отбором профильтрованной воды определяют расход Q. Тогда, зная площадь поперечного сечения трубки прибора F и длину образца и используя зависимость (1), получим
,
откуда
.
Можно также измерять разности напоров по пьезометрам, установленным на расстоянии , при этом
.
Во второй схеме (рис.1,б) о расходе воды можно судить по скорости снижения уровня воды в цилиндре. Согласно закону Дарси (1)
,
где скорость должна удовлетворять уравнению неразрывности Q=Fv. Расход воды через образец с поперечным сечением F будет
,
где h текущая высота столба жидкости. За период времени dt объём выходящей воды из образца Qdt должен быть равен уменьшению объёма воды в трубке Fdh. Поэтому уравнение неразрывности потока воды можно представить в виде
.
Интегрируя это уравнение в пределах от h 1 до h2, получим для коэффициента фильтрации
, (2)
где t1 время снижения уровня воды в цилиндре от h1 до h2.
Коэффициент фильтрации различных зернистых материалов меняется в широком диапазоне. Например, для чистых песков k1 меняется от 104 до 102 м/с.
Коэффициент фильтрации k1 зависит не только от свойств зернистого материала, но и от свойств фильтрующейся жидкости, именно зависит от вязкости , которая, в свою очередь, зависит от температуры. Таким образом, коэффициент фильтрации k1 характеризует и слой частиц, и жидкость, которая фильтруется. Вследствие этого, рассматривая фильтрацию различных жидкостей, целесообразно придать закону Дарси (1) другой вид, а именно ввести в этот закон в явном виде коэффициент вязкости жидкости :
v = (k/) gradH, (3)
где k коэффициент проницаемости слоя. Из сопоставления (1) и (3) следует связь коэффициента проницаемости и коэффициента фильтрации
k = k1/g.
В качестве примера зависимости k от пористости можно указать формулу Козени вида
k = 8,4(1,275 1,5)2 d2 3/(1)2,
где d диаметр частиц (эффективный).
Верхний предел применимости закона Дарси определяется тем, что при относительно больших скоростях фильтрации нарушается линейная зависимость между потерей напора и расходом. Можно указать верхний предел применимости закона Дарси. Он справедлив при числах Рейнольдса Re = vd . Закон Дарси применим для мелкозернистых материалов и малых скоростей фильтрующейся жидкости.
В теории фильтрования при течении различных жидкостей через слой осадка широко используется следующая форма уравнения Дарси
(4)
где P гидравлическое сопротивление осадка высотой h, ro удельное сопротивление осадка. Из сопоставления (3)и (4) получим связь между коэффициентом проницаемости слоя k и удельным сопротивлением осадка ro:
k = 1/ro.
Рекомендуется следующая формула для ориентировочного расчета удельного сопротивления осадка
ro 150(1)2/(32d2) ,
где d диаметр шара, имеющего тот же объём, что и частица, Ф=Fш/F фактор формы, Fш поверхность шара равного объёма с частицей, F поверхность частицы. Для шара Ф=1, для куба Ф=0,806.
Для расчета гидравлического сопротивления зернистого слоя при любом режиме течения жидкости (как ламинарном, так и турбулентном) используется уравнение
,
Величина коэффициента сопротивления зависит от критерия Рейнольдса
=133/Re + 2,34 ,
где Re = 4v/a.
Коэффициент проницаемости используется при решении различных задач фильтрации. Задачей расчета фильтрации является определение зависимости расхода жидкости от перепада давления, а также характер распределения давления и скорости в зернистом слое. В качестве примера рассмотрим фильтрационное движение жидкости через плоскую стенку. Пусть имеем плоскую пористую стенку, толщиной . Ось х направлена по нормали к поверхности стенки. Размер стенки ВхН. Расход жидкости Q. Давление на входе Р1, на выходе P0. Течение стационарное, изотермическое. Жидкость вязкая.
Для решения задач фильтрации используется уравнение неразрывности и закон Дарси. Течение в направлениях y и z отсутствует, поскольку нет соответствующих перепадов давления, поэтому можем положить vy=vz=0. Таким образом, уравнение неразрывности для этой задачи имеет вид
dvx/dx=0.
Следовательно vx=const.
С другой стороны компоненту скорости vx можно определить пользуясь законом Дарси
(5)
Граничные условия для давления имеют вид
x=0, P=P1, (6)
x=, P=P0, (P1>P0). (7)
В уравнении (5) разделим переменные и проинтегрируем с учетом условия (6) и vx=const
Выполнив интегрирование, получим линейную зависимость для распределения давления в стенке
(8)
Неизвестную скорость фильтрации vx найдем, используя граничное условие (7). Имеем
откуда
(9)
Найдем объемный расход жидкости
Q=vxHB,
или
Таким образом, найдена зависимость расхода жидкости от перепада давления.
Если в выражение (8) подставить величину vx из (9), то получим следующее выражение для распределения давления в стенке
Следовательно распределение давления по толщине стенки линейно.
Аналогично может быть решена задача фильтрации в цилиндрической стенке.
4. Описание лабораторной установки
Для определения коэффициента фильтрации используется трубка Каменского (см.рис.1,б). В качестве исследуемого зернистого материала используется песок. Высота слоя песка . Для предотвращения высыпания песка в нижней части трубки установлена сетка 3. Уровень жидкости контролируется линейкой. Поскольку вязкость воды меняется с температурой необходимо контролировать её температуру. Трубка должна располагаться строго вертикально и достаточно устойчиво.
5. Методика проведения эксперимента и обработка опытных данных
5.1. Работа выполняется в следующей последовательности:
1) измеряется высота слоя песка в трубке ;
2) избегая появления пузырей воздуха в слое песка (пузыри могут существенно исказить результаты измерений), трубка заполняется водой до уровня h1 (указывается преподавателем);
3) включается секундомер и измеряется продолжительность снижения мениска жидкости в трубке t1 от уровня h1 до h2;
4) полагая, что температура воды равна комнатной, занести в протокол значение температуры;
5) значения величин h1, h2, , t1, To заносятся в протокол.
5.2. Обработка экспериментальных данных
1. Значение коэффициента фильтрации k1 определяется по формуле (2).
2. Пользуясь справочными данными, находятся плотность и вязкость воды, соответствующие её температуре.
k=k1/g.
ro = 1/k.
5. Предполагая, что частицы песка имеют кубическую форму (Ф=0,806), а пористость песка =0,2 , используя формулу
,
найдем средний диаметр частиц
d= [(1)/()].
Re = v d,
где v=(h1h2)/t1.
Список контрольных вопросов
1. В каких процессах имеет место течение Среды через зернистый слой?
2. Что такое удельная поверхность?
3. Что такое пористость?
4. Что такое эквивалентный диаметр каналов в зернистом слое?
5. Сущность закона Дарси.
6. Физический смысл коэффициента фильтрации.
7. Устройство экспериментальных установок для измерения коэффициента фильтрации.
8. Как связан коэффициент фильтрации с коэффициентом проницаемости.
9. Граница применимости закона Дарси.
10. Как рассчитывается сопротивление зернистого слоя при любом режиме движения жидкости?
11. Устройство экспериментальной установки.
12. Методика проведения лабораторной работы.
ЛИТЕРАТУРА
1.Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. М.:Высшая школа,1991. 447с.
2. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа,1972. 368с.
Работа №3
Теплофизические измерения методом регулярного теплового
режима
1. Цель работы: экспериментальное определение коэффициента теплопроводности и коэффициента теплоотдачи методом регулярного теплового режима.
2. Содержание работы.
3. Теоретическая часть.
Переходным между стационарным и нестационарным режимами является регулярный тепловой режим. Теория регулярного режима может быть применена при решении таких практических задач, как определение времени прогрева (охлаждения) тел, определение теплофизических параметров вещества, коэффициента теплоотдачи, коэффициента излучения и термических сопротивлений. Достоинство метода заключается в простоте техники эксперимента, достаточной точности получаемых результатов и малой продолжительности эксперимента.
Анализ решений нестационарных задач теплопроводности для тел различной формы показывает, что они имеют одинаковую структуру. Например, для неограниченной пластины температурное поле описывается рядом
где безразмерная температура, T0 начальная температура, Tс температура среды, n корни уравнения , число Био, коэффициент теплоотдачи, полутолщина пластины, коэффициент теплопроводности пластины, коэффициент температуропроводности, x координата, t время, .
В этом уравнении постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (не зависящий ни от координат, ни от времени). Множитель является функцией только координаты x и его можно обозначить Un. Экспонента будет убывать пропорционально времени . Комплекс представляет собой постоянное вещественное положительное число, оторое можно обозначить mn , причем m будет изменяться в зависимости от номера индекса так же, как и , т.е.
(1)
где n=1, 2, 3...
С учетом сказанного выражение для пластины можно представить как
(2)
Для тел других геометрических форм температурное поле также будет описываться уравнением вида (2). Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей An и Un . Для тел одной и той же формы различным начальным распределением температуры будут соответствовать различные совокупности числе An .
При малых значениях от =0 до 1 распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур. В этих условиях поле температур в теле будет определяться не только первым, но и последними членами ряда (2).
Это первый период охлаждения, при котором скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры, называют неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания). Благодаря неравенству (1) с увеличением времени последующие члены ряда (2) будут быстро убывать, т.е. ряд становится быстросходящимся.
Начиная с некоторого момента времени 1, начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами. Температурное поле описывается первым членом ряда (2)
. (3)
Это соотношение показывает, что изменение избыточной температуры как в пространстве, так и во времени не зависит от начального распределения температуры. Логарифмируя последнее уравнение и опуская индексы, получаем
или
. (4)
Из уравнения (4) следует, что натуральный логарифм избыточный температуры для всех точек тела изменяется во времени по линейному закону. Графическая зависимость между и временем будет иметь вид прямой (рис.1). При длительном охлаждении ( или, что то же F0) все точки тела в конце концов принимают одинаковую температуру, равную Тс (наступило стационарное состояние).
Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить на три стадии.
Первая стадия (неупорядоченного) режима характеризуется большим влиянием начального распределения температуры, и зависимость между и описывается уравнением (2).
Вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом, и зависимость между и описывается уравнением (3).
Третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды (имеет место тепловое равновесие).
Остановимся более подробно на рассмотрении второй стадии охлаждения.
После дифференцирования обеих частей уравнения (4) по времени получим;
(5)
В левой части уравнения (5) стоит выражение для относительной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянной величине m, не зависящей ни от координат, ни от времени.
Величина m измеряется в 1/с и называется темпом охлаждения. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для всех точек тела. Темп охлаждения, как это следует из уравнения (5), характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела.
Если экспериментально определить изменение температуры во времени и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то из рис.1 следует, что темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется так
(6)
При (практически ) или, что то же, , темп охлаждения m становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности тела a, [м2/с]
(7)
Коэффициент пропорциональности k зависит только от геометрической формы и размеров тела.
Так, для шара
, (8)
для параллелепипеда
,
для цилиндра конечной длины
,
где r радиус шара или цилиндра, длина цилиндра, ,, стороны параллелепипеда.
Таким образом, для измерения коэффициента температуропроводности необходимо экспериментально измерить изменение температуры образца в виде, например, шара при интенсивном охлаждении его поверхности. По формуле (6) найти темп охлаждения, и далее используя формулы (7), (8) вычислить a.
Также можно использовать в исследованиях режимы с малыми интенсивностями охлаждения . При этом очевидно, скорость процесса определяется соотношением теплоёмкости объекта и интенсивности теплообмена с окружающей средой. При для пластины, цилиндра и шара уравнения для средней температуры тела запишутся соответственно:
(9)
Рассмотрим охлаждение шара
.
Сопоставляя в (9) с (3), найдем темп охлаждения
(10)
Здесь учитывалось , где плотность, с теплоемкость.
Таким образом, используя формулу (6) находим из экспериментальных данных, полученных при низкой интенсивности охлаждения, величину m. Далее по формуле (10) можно найти либо коэффициент теплоотдачи на поверхности образца, если известна его теплоемкость
(11)
Либо теплоемкость материала образца, если известен коэффициент теплоотдачи
Недостатками методов регулярного теплового режима являются:
а) трудность определения всех теплофизических характеристик из одного опыта;
б) трудность осуществления опыта для выявления зависимости теплофизических характеристик материала от давления;
в) ведение опыта при перепаде температур порядка 100С не позволяет определить истинное значение теплофизических характеристик материала и отнести их к определенной температуре;
г) трудность соблюдения условий ведения опытов: что может привести к значительным ошибкам при определении m и теплофизических характеристик материала.
4. Описание лабораторной установки.
В качестве исследуемого образца используется резиновый шарик. Контроль его температуры осуществляется ртутным термометром. Нагрев шарика при высоком коэффициенте теплоотдачи осуществляется в стакане с кипящей водой. Теплообмен с низкой интенсивностью теплоотдачи реализуется при его охлаждении на воздухе в естественных условиях. Необходим секундомер.
5. Методика проведения эксперимента и обработка опытных данных.
Первая часть:
формулу (6) можно упростить следующим образом
(12)
с помощью формулы (7) находится коэффициент температуропроводности;
все измеренные и рассчитанные величины заносятся в протокол.
1) шарик с термометром извлекается из стакана с водой, удаляются с его поверхности остатки воды, и термометр закрепляется в штативе так, чтобы шарик находился в воздухе;
2) необходимо обеспечить постоянство коэффициента теплоотдачи, для чего желательно отсутствие сквозняков;
3) контролируется температура шарика, и когда она достаточно будет мала (например, на 10-150С отличаться от окружающей), снимают показания термометра T1 и T2 для двух моментов времени 1 и 2;
4) по формуле (12) находится темп охлаждения, учитывая, что Тс в данном случае - это температура воздуха;
5) по формуле (11) находится коэффициент теплоотдачи (для резинового шарика можно принять r=17x10-3 м, =1200 кг/м3, С=1380 Дж/кг.К);
6) результаты заносятся в протокол.
Перечень контрольных вопросов.
Литература.
Содержание работы
1. Ознакомиться с первым и вторым законами Фика.
2. Изучить способ построения математической модели нестационарной диффузии неограниченной пластины.
3. Экспериментально определить коэффициент диффузии в воде и сопоставить его с расчетным.
4. Измерение коэффициента диффузии в воде.
В природе повсюду можно встретить явления массопередачи, которые имеют важное значение во всех отраслях науки и техники. Перенос массы происходит, чтобы ни протекала химическая реакция, будь то промышленный реактор, биологическая система или исследовательская установка. Реагенты должны встретиться, чтобы реакция происходила, и реакция замедляется, если не удаляются ее продукты.
Важны факторы, определяющие скорость межфазного переноса. Размеры и стоимость массообменного оборудования обратно пропорциональны плотности потока массы через поверхность раздела фаз.
Массопередачу условно можно разделить на четыре области: молекулярная диффузия в неподвижной среде, диффузия в жидкостях при ламинарном течении, турбулентная диффузия и массопередача между двумя фазами.
В пределах одной фазы перенос осуществляется молекулярной диффузией, турбулентной диффузией или с помощью обоих механизмов. Молекулярная диффузия обусловлена тепловым давлением молекул. Молекулы движутся с большими скоростями, но проходят короткие расстояния, поскольку сталкиваются с другими молекулами и отклоняются в случайных направлениях. В результате обычной диффузии градиенты концентрации имеют тенденцию к исчезновению.
Молекулярная диффузия может происходить под воздействием концентрационных, температурных градиентов (термодиффузия) или градиентов давления (бародиффузия), или же в том случае, когда на смесь накладывается направленный внешний электрический или иной потенциал. В совершенно неподвижной газовой или жидкостной смеси неизбежно возникает градиент концентрации в направлении заданного температурного градиента («эффект Соре»). Например, в двух соединенных между собой колбах, содержащих смесь из 35,6 % водорода и 64,4 % неона, установится разница концентраций, равная 6,9 %, если одну колбу поддерживать при 290,4 К, а другую – при 90,2 К. Этот процесс, известный под названием термодиффузии, применялся для разделения урана и других изотопов. Градиент вязкостных касательных напряжений в жидкой смеси создает стационарный концентрационный градиент. В живой ткани диффузия может происходить в направлении отрицательного концентрационного градиента. Такое явление <<активного переноса>> объясняется, по-видимому, подводом свободной энергии, необходимой для концентрирования, которая заставляет растворенное вещество диффундировать в гору. Если этот процесс окажется понятным, он может получить распространение в промышленности. Действительно, были попытки использовать бактерии для концентрирования руд.
Молекулярная диффузия описывается первым законом Фика, согласно которому количество вещества dM, продиффундировавшего за время d через элементарную поверхность dF (нормальную к направлению диффузии) пропорционально градиенту концентрации dc/dn этого вещества:
или
где q=M/F плотность потока массы через нормальную площадку.
Коэффициент пропорциональности D в выражении закона Фика называется коэффициентом диффузии. Знак минус указывает на то, что молекулярная диффузия всегда протекает в направлении уменьшения концентрации. Коэффициент диффузии имеет размерность
Коэффициент диффузии является физической константой и зависит от свойств распределяемого вещества, свойств среды, температуры и давления. Для измерения коэффициента диффузии в воде, например, используют ячейку с диафрагмой. Ячейка представляет собой цилиндрический стеклянный сосуд, разделенный пористым стеклянным диском на две камеры. Нижняя камера заполняется водным раствором исследуемого вещества, а верхняя - равным объёмом воды. Растворенное вещество диффундирует через пористый диск, при этом концентрация в обеих камерах стремится выравниться. При этом расчетный коэффициент диффузии занижен вследствие того, что путь диффузии вдоль извилистой поры больше, чем по нормали к поверхности. Эффективный коэффициент диффузии можно определить так
D=Di,
где Di измеренный коэффициент диффузии через пористую диафрагму, коэффициент извилистости каналов диафрагмы (>1. определяется экспериментально).
Вторым законом Фика называют дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентраций в пространстве и во времени. Рассмотрим одномерный случай, когда концентрация зависит лишь от x.
Вычислим потоки вещества через две плоскости, находящиеся на расстоянии x (рис.1). Через левую плоскость поток равен DF(c/x), а через правую DF(c/x)|x+x.
В результате за время в объёме Fx прибавиться количество вещества
Взяв два первых члена разложения последнего слагаемого в ряд Тэйлора
получим
Это элементарное количество вещества приведет к увеличению его концентрации во времени. Следовательно
q=(c/)Fxd.
Таким образом, приравнивая q , получим одномерное дифференциальное уравнение нестационарной диффузии
(1)
Рассмотрим процесс нестационарной диффузии в бесконечной пластине конечной толщины (рис.2). На левой поверхности пластины задана концентрация co распределяемого вещества. Правая сторона пластины свободна, т.е. поток массы отсутствует q=D(c/x)=0 при x=. В начальный момент времени распределяемого вещества нет в пластине, т.е. =0, с=0. Глубину проникновения вещества в пластину обозначим как (). Найдем, используя интегральный метод, время необходимое для достижения диффундирующим веществом левой поверхности пластины. При бесконечном времени процесса концентрация по сечению пластины становится однородной и соответствует со.
С учётом принятых допущений, задача описывается уравнением (1), дополненного начальным и граничными условиями:
=0, с=0, (2)
x=0, c=co, (3)
x=, c/x=0, (4)
x=, c=0, c/x=0. (5)
Условия (5) даны для переднего фронта проникновения (см.рис.2). Введем безразмерные переменные и параметры:
.
С учетом безразмерных переменных система уравнений (1)-(5) примет вид
(6)
Fo=0, C=0, (7)
X=0, C=1, (8)
X=1, C/X=0, (9)
X=, C=0, C/X=0. (10)
Усредним уравнение (6) по глубине проникновения, для чего умножим его на dX и проинтегрируем по X от 0 до (Fo)
Для левой части используем формулу интегрирования Лейбница
откуда
Но согласно условию (10) С()=0. Следовательно, имеет
(11)
Здесь учитывалось условие (10) C/X=0 при X=.
В правой части (11) стоит неизвестный градиент концентраций на левой стенке.
Пусть распределение концентраций описывается квадратичной зависимостью. Методом неопределенных коэффициентов, с учётом условий (10), для распределения концентраций принимаем параболическое приближение
(12)
Подставляя (12) в (11) получим дифференциальное уравнение для
Разделяя переменные и интегрируя с учётом начального условия для
Fo=0, =0,
имеем
2=12Fo .
Отсюда находим число Фурье, соответствующее моменту достижения веществом правой стороны пластины. При этом =1 и Fo*=1/12.
Следовательно, для коэффициента диффузии можем записать(Fo*=D*/)
(13)
где * время достижения молекулами диффундирующего вещества правой стороны пластины (см.рис.1)
4. Описание лабораторной установки
Для экспериментального измерения коэффициента диффузии в водном растворе используется пористая стеклянная пластина, толщиной 2 мм. Она предотвращает конвективный перенос массы.
Кроме того необходимо приготовить секундомер, раствор кислоты, лакмусовую бумагу, пипетку.
5. Методика проведения эксперимента и обработка опытных данных
5.1. Работа выполняется в следующей последовательности:
1) пористая стеклянная пластина (предварительно хорошо промытая от остатков кислоты) пропитывается дистиллированной водой;
2) с одной стороны пластины укрепляется, предварительно намоченная в воде, лакмусовая бумага;
3) на противоположную сторону пластины: посредством пипетки, наносится капля соляной кислоты и одновременно включается секундомер;
4) продолжительность нестационарной диффузии определяется периодом времени необходимым для изменения цвета индикатора;
5) толщина пластины и продолжительность диффузии заносятся в протокол.
5.2. Обработка экспериментальных данных
1. Численное значение экспериментального коэффициента диффузии рассчитывается по формуле (13) с учетом извилистости каналов
,
где для коэффициента извилистости можно положить .
2. Теоретическое значение коэффициента диффузии находится из табл. 1.
Коэффициенты диффузии некоторых газов в воде при 200 С
|
Газ |
, м/с |
|
Азот Аммиак Водород Диоксид углерода, оксид азота Кислород Хлор, сероводород Хлористый водород (при 120 С) |
1,9 1,8 5,3 1,8 2,1 1,6 2,3 |
|
При других температурах |
Или с помощью формулы
.
Здесь D – коэффициент диффузии, ; М – мольная масса растворителя (для воды М=18); Т – температура; М – динамический коэффициент вязкости растворителя, мПас; - параметр, учитывающий ассоциацию молекул растворителя (для воды ); - мольный объем диффундирующего вещества, определяемый как сумма атомных объемов элементов, входящих в газ (атомные объемы некоторых элементов и мольные объемы некоторых газов приведены в табл. 2).
Таблица 2
|
Атомный объем, |
Мольный объем, |
||
|
В С Н О в кислотах О в соединениях с S, P, N S |
27,0 14,8 24,6 3,7 12,0 8,3 25,6 |
I |
37,0 |
|
14,3 |
|||
|
25,6 |
|||
|
31,2 |
|||
|
Воздух |
20,9 |
||
|
СО |
30,7 |
||
|
34,0 |
|||
|
44,8 |
|||
|
25,8 |
|||
|
32,9 |
|||
|
48,4 |
3. Сопоставляем экспериментальный и теоретический коэффициенты диффузии.
Контрольные вопросы
1. По каким механизмам осуществляется молекулярный перенос в пределах одной фазы?
2. Под воздействием чего может происходить молекулярная диффузия?
3. Сущность первого закона Фика.
4. Второй закон Фика.
5. Методика измерения коэффициента диффузии <<ячейкой с диафрагмой>>.
6. Какие приняты допущения при составлении модели нестационарной диффузии бесконечной пластины?
7. Указать граничное условие для переднего фронта проникновения диффузионного потока.
8. Методика проведения эксперимента по определению коэффициента диффузии.
Литература
П Р И Л О Ж Е Н И Е
Список рекомендуемых задач по курсу "Математическое моделирование процессов переноса"
Задача1
Цилиндрический открытый сосуд высотой 0,1м и диаметром 0,1м за полнен глицерином (вязкость 10 Пас, плотность 1200 кг/мз). За какое время вытечет половина жидкости, если диаметр отверстия в дне 1 мм?
Задача 2
Водосточная труба диаметром 0,1м. Каков расход воды если равно мерная толщина слоя воды на внутренней стенке 2 мм? Вязкость воды 0,001Пас, плотность 1000 кг/мз.
Задача 3
Экструдируется резиновая трубчатая заготовка посредством кольцевой головки. Диаметр отверстия головки 20 мм, стержня 10 мм, длина формующей части 5 см. Скорость экструзии 10 см/с. Вязкость резины 10000 Пас. Каково давление в головке?
Задача 4
Посредством кольцевой головки формуется из расплава полиэтилена заготовка диаметром 0,1 м. Протяженность губок 20 мм. Зазор 1 мм. Вязкость расплава 1000 Пас. Скорость экструзии 0,03 м/с. Каково давление в головке?
Задача 5
Процесс нанесения расплава полимера на проволоку диаметром 1 мм. Диаметр отверстия в головке 1,1 мм. Скорость движения проволоки 0,1 м/с. Длина отверстия 1 см. Вязкость расплава 1 Пас. Какое должно быть давление в головке чтобы толщина покрытия составляла 0,2 мм?
Задача 6
Посредством плоского ножа состав наносится на поверхность. Высота зазора на входе 5 мм, на выходе 0,5 мм. Какова толщина наносимого покрытия?
Задача 7
В ротационном вискозиметре (диаметр наружного цилиндра 4 см, внутреннего 3 см, высота 0,1 М) находится жидкость вязкостью 10 Пас. Какова величина крутящего момента на валу внутреннего цилиндра, если его скорость вращения 30 об/мин?
Задача 8
Цилиндрический открытый сосуд высотой 0,1м и диаметром 0,1м наполнен глицерином (вязкость 10 Пас, плотность 1200 кг/мз). За 30с вытекло половина объема жидкости. Каков диаметр отверстия в дне?
Задача 9
Водосточная труба диаметром 0,1м. Каков расход воды если равномерная толщина слоя воды на внутренней стенке 4 мм? Вязкость воды 0,001Пас, плотность 1000 кг/мз.
Задача 10
Экструдируется резиновая трубчатая заготовка посредством кольцевой головки. Диаметр отверстия головки 10 мм, стержня 5 мм, длина формующей части 3 см. Скорость экструзии 10 см/с. Вязкость резины 10000 Пас. Каково давление в головке?
Задача 11
В плоскощелевой формующей головке процесс соэкструзии двух полимеров: полиэтилена, вязкостью 100 и полипропилена, вязкостью 1000 Пас. Расходы полимеров идентичны. Зазор между губками головки 1 мм. Каково соотношение толщин полимеров в зазоре?
Задача 12
В производстве рукавной пленки посредством кольцевой головки формуется из расплава полиэтилена заготовка диаметром 0,05м. Протяженность формующей части губок 30мм. Зазор 2 мм. Вязкость расплава 1000 Пас. Скорость экструзии 0,05 м/с. Каково давление в головке?
Задача 13
Процесс нанесения лака на проволоку диаметром 0,1 мм. Диаметр отверстия в головке 0,11 мм. Скорость движения проволоки 0,1 м/с. Длина отверстия 1 см. Вязкость лака 0,10 Пас. Какое должно быть давление в головке чтобы толщина покрытия составляла 0,02 мм?
Задача 14
Посредством плоского ножа состав наносится на поверхность. Высота зазора на входе 3 мм, на выходе 0,05 мм. Какова толщина наносимого покрытия?
Задача 15
В ротационном вискозиметре (диаметр наружного цилиндра 4 см, внутреннего 3 см, высота 0,1 М) находится жидкость. Какова вязкостью жидкости если величина крутящего момента 0,1 н.м, а скорость вращения внутреннего цилиндра 30 об/мин?
СОДЕРЖАНИЕ
с..
2. Измерение коэффициента фильтрации зернистого слоя...................................13
3. Теплофизические измерения методом регулярного теплового режима...........24
5. Приложение………………………………………………………………………..44
Темплан 2002 г., позиция _______
Лабораторный практикум по математическому моделированию
Шаповалов Владимир Михайлович
Редактор, ответственный за выпуск ___________
Подписано в печать _______________
Формат 84х108 1/32 Бумага газетная. Гарнитура литературная. Высокая печать. Печ.л.усл. 2,3 Уч.-изд.л.2,0
Тираж 500. Заказ _______. Цена___________
Типография издательства “Волгоградская правда”, г. Волгоград - Привокзальная площадь.
Волгоградский государственный университет, 2002г.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ Российской Федерации
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА “ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МАШИНЫ И ОБОРУДОВАНИЕ”
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Волгоград 2000
Рис.1. Зависимость EMBED Equation.2 от времени при охлаждении (нагревании) тел; x=0 центр тела, x=1 поверхность.
l
g
q
2
l
g
q
1
t
II
I
x=0
x=1
l
g
q
0
EMBED Equation.3
Рис.1. Схема одномерной диффузии.
EMBED Word.Picture.8
Рис.2. Процесс одномерной нестационарной диффузии в пластине толщиной EMBED Equation.3 .
EMBED Word.Picture.8
Рис.3. Схема экспериментального определения коэффициента диффузии: 1кислота; 2пористая пластина; 3индикатор (лакмусовая бумага).