тематически это выражается в том что случайные величины ошибок различных измерений в регрессионной модели

Работа добавлена на сайт samzan.net:

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ (ГЛОССАРИЙ)

Автокорреляция — наличие зависимости между последующими и предшествующими уровнями динамического ряда; корреляционная зависимость между последовательными значениями уровней временного ряда.

Авторегрессия – при рассмотрении регрессионных моделей временных рядов может оказаться, что существует механизм влияния результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих. Математически это выражается в том, что случайные величины ошибок различных измерений в регрессионной модели не оказываются независимыми. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции. На практике ими оказываются именно временные ряды, т.к. в случае пространственной выборки отсутствие автокорреляции постулируется.

Адекватная модель – модель, для которой ряд возмущений будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа.

Адекватность модели – соответствие построенной модели моделируемому реальному экономическому объекту или процессу.

Алгебраическое дополнение элемента aij, – произведение соответствующего минора , умноженного на минус единицу в степени (i+j), где i – номер строки матрицы, j – номер столбца матрицы.

Алгоритм – система правил, определяющая содержание и последовательность операций, переводящих исходные данные в конечный результат; свойства алгоритма — детерминированность, результативность и массовость.

Альтернативная (конкурирующая) гипотеза – гипотеза, которая является логическим отрицанием нулевой гипотезы.

Априорный этап – начальный этап эконометрического моделирования, на котором проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной (известной до начала моделирования) информации.

База данных – объективная форма представления и организации совокупности данных, систематизированных таким образом, чтобы эти данные могли быть найдены и обработаны с помощью электронных вычислительных машин; совокупность специальным образом организованных данных и связей между ними.

«Белый шум» – простейший пример временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибки некоррелированы. Возмущения (ошибки) в классической линейной регрессионной модели образуют «белый шум», а в случае нормального распределения — нормальный (гауссовский) «белый шум».

Вариация – изменение значений признака внутри изучаемой совокупности.

Вариационный ряд – групповая таблица, построенная по количественному признаку, сказуемое которой показывает число единиц в каждой группе.

Вариации размах – разность между максимальным и минимальным значениями признака ряда распределения случайной величины.

Вектор – упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x1, x2, … , xn), где xi – i-я компонента вектора x.

Вероятностная (стохастическая или статистическая) зависимость – зависимость между двумя случайными величинами, причем каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой.

Вероятность Р(А) события А – численная мера степени объективной возможности появления события А', отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу равновозможных исходов (классическое определение вероятности).

Вероятность условная – вероятность события при условии наступления в данном испытании другого события; обозначается Р(А/В).

Взвешенный метод наименьших квадратов – применяется для отыскания параметра b и представляет собой обобщенный метод наименьших квадратов для модели с гетероскедастичностью, когда ковариационная матрица возмущений есть диагональная матрица.

Временные ряды – это данные, характеризующие один и тот же объект в различные моменты времени (временной срез). Например, еженедельные данные по объему продаж фирмы или ежеквартальные данные по инфляции.

Временной (динамический) ряд, или ряд динамики – выборка наблюдений, в которой важны не только сами наблюдаемые значения случайных величин, но и порядок их следования друг за другом. Чаще всего упорядоченность обусловлена тем, что экспериментальные данные представляют собой серию наблюдений одной и той же случайной величины в последовательные моменты времени. В этом случае динамический ряд называется временным рядом. При этом предполагается, что тип распределения наблюдаемой случайной величины остается одним и тем же (например, нормальным), но параметры его меняются в зависимости от времени. В экономике под временным рядом подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

Выборка – совокупность объектов, случайным образом отобранная из генеральной совокупности с целью исследования.

Выборка из генеральной совокупности – совокупность результатов, полученная при непосредственном проведении испытаний; часть единиц генеральной совокупности, подлежащей непосредственному наблюдению. Число элементов выборки является конечным и называется объемом выборки.

Выборочная дисперсия – характеристика рассеяния случайной величины для выборочной совокупности. Исправленная выборочная дисперсия является состоятельной, несмещенной и эффективной точечной оценкой генеральной дисперсии.

Выборочная доля – доля единиц выборочной совокупности, обладающих заданным значением признака. Выборочная доля – состоятельная, несмещенная и эффективная точечная оценка генеральной доли.

Выборочный частный коэффициент корреляции – отношение алгебраического дополнения Aij, умноженного на минус единицу, к корню квадратному из произведения алгебраических дополнений элементов rij, и rji матрицы выборочных коэффициентов корреляции.

Генеральная совокупность – совокупность всех мыслимых результатов наблюдения, которые могут быть получены в данных условиях. Различают конечные, содержащие конечное число элементов, и бесконечные, содержащие бесконечное число элементов, генеральные совокупности.

Гетероскедастичность – нарушение равенства дисперсий ошибок регрессии.

Гетероскедастичность модели – свойство дисперсии остатков ε, когда для каждого значения фактора xi остатки ε имеют различную дисперсию; приводит к смещенности оценок коэффициентов регрессии, «портит» многие результаты статистического анализа и, как правило, требует устранения; неравенство дисперсий возмущений (ошибок) регрессии: .

Гипотеза статистическая – различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Гистограмма – график статистической плотности распределения случайной величины.

Гомоскедастичность – свойство постоянства дисперсий ошибок регрессии.

Гомоскедастичность модели – свойство постоянства дисперсий ошибок регрессии ε для каждого значения xi, равенство дисперсий возмущений (ошибок) регрессии: .

Градиент функции в точке М – вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М; указывает направления наискорейшего роста функции и максимальную скорость роста, равную модулю градиента.

Группировка – расчленение, при котором группы образуются из элементов, качественно однородных в определенном отношении.

Групповая средняя – средняя, вычисленная для группы объектов.

Диверсификация – 1) разнообразие, разностороннее развитие; 2) инвестирование денег в различные ценные бумаги или вклад финансов в различные производства с целью уменьшения среднего риска.

Дисконтирование – приведение экономических показателей разных лет к сопоставимому по времени виду с помощью коэффициентов дисконтирования, основанных на вычислении сложных процентов.

Дискретная случайная величина – множество возможных значений случайной величины, число которых конечно или счетно.

Дисперсия D(X) случайной величины X – математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания. Дисперсия характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений случайной величины относительно среднего значения.

Дисперсионный анализ – статистический метод для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Дисперсия – характеристика рассеяния, разброса, вариации значений случайной величины относительно среднего значения. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.

Доверительная вероятность – достоверность (надежность) определения неизвестного значения параметра с помощью оценки параметра.

Доверительный интервал (при интервальной оценке неизвестного параметра генеральной совокупности) – числовой интервал, который с заданной доверительной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра.

Зависимая переменная – в регрессионной модели некоторая переменная Y, являющаяся функцией регрессии с точностью до случайного возмущения.

Задача — предписанная работа, совокупность работ или часть работы, которые должны быть выполнены заранее установленным способом в установленные сроки.

Задача эконометрики – построение экономических моделей, оценка их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей, установление видов их взаимосвязей.

Задачи регрессионного анализа – установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Закон больших чисел – общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н.Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Закон распределения случайной величины – всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Значимость на уровне a – для коэффициента уравнения регрессии это означает, что гипотезу о равенстве его нулю надо отбросить на уровне значимости a.

Идентификация временного ряда – построение для ряда остатков адекватной ARMA-модели, т.е. такой ARMA-модели, в которой остатки представляют собой «белый шум», а все регрессоры значимы. Такое представление не единственное, например, один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью AR-модели, и с помощью МА-модели. В этом случае выбирается наиболее простая модель.

Идентифицируемый структурный параметр – структурный параметр, который может быть однозначно оценен с помощью косвенного метода наименьших квадратов. Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.

Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, пространстве или по сравнению с планом; показатель изменения уровня результативной величины под влиянием изменений индексируемой величины, т.е. той величины, изменение которой изучается в данном конкретном случае с помощью индекса.

Индекс базисный – получают путем сопоставления с уровнем какого-либо одного периода, принятого за базу сравнения.

Индекс Доу-Джонсона – обобщающий ежедневный показатель деловой активности и рыночной конъюнктуры, рассчитываемый фондовой биржей как математическое ожидание курсов акций и других ценных бумаг ведущих компаний.

Интервальной оценкой параметра называют числовой интервал (доверительный интервал), который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение оцениваемого параметра.

Интервальная оценка дает представление о точности и надежности точечной оценки параметра генеральной совокупности.

Интервальная оценка параметра – числовой интервал (,), который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра . Интервал (,) называется доверительным, а вероятность – доверительной вероятностью, или надежностью оценки.

Интерполяция – нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри данного периода.

Информация – факты, данные, наблюдения, расширяющие знания о предмете; сведения, которыми обмениваются люди, люди и технические устройства, технические устройства между собой; обмен сигналами в животном и растительном мире; передача признаков от клетки к клетке, от организма к организму.

Испытание – наблюдение того или иного явления (события) при осуществлении определенного комплекса условий (наблюдение того же явления в других условиях считается другим испытанием).

Исследование операций – 1) научная дисциплина, объединяющая разнообразные задачи, связанные с проблемой принятия решений, и использующая общую методологию анализа этих задач; 2) применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях человеческой деятельности.

Квантиль уровня q (или q-квантиль) – такое значение xq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q.

Квартиль – значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части.

Классификация – 1) научный метод, заключающийся в дифференциации всего множества объектов и последующем их объединении в определенные группы на основе какого-либо признака; 2) единообразное распределение явлений и объектов по группам и классам.

Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии — модель, в которой зависимая переменная возмущения и объясняющие переменные удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа и предпосылке о невырожденности матрицы значений объясняющих переменных.

Ковариация (корреляционный момент) двух случайных величин – математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий.

Концепция – 1) определенный способ понимания, трактовки какого-либо предмета, явления, процесса, основная точка зрения на них, руководящая идея для их систематического освещения; 2) ведущий замысел, конструктивный принцип различных видов деятельности.

Коррелированность – наличие линейной зависимости между двумя случайными величинами. Случайные величины X и Y называются коррелированными, если коэффициент корреляции отличен от нуля и некоррелированными в противном случае. Из независимости случайных величин X и Y следует их некоррелированность (равенство нулю коэффициента корреляции), но из некоррелированности не следует их независимость, т.е. равенство нулю коэффициента корреляции указывает на отсутствие линейной связи между переменными, но не на отсутствие связи между ними вообще.

Коррелограмма – график выборочной автокорреляционной функции.

Корреляция (от лат. «correlatio» – соотношение, взаимосвязь) – корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляции теория – математико-статистическая теория, изучающая зависимости вариации признака от окружающих условий.

Корреляционная статистическая зависимость – соотношение, соответствие, зависимость между двумя случайными переменными, при этом каждому значению одной случайной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой.

Корреляционный анализ – раздел математической статистики, изучающий взаимную зависимость случайных величин.

Косвенный метод наименьших квадратов – применяется, если разрешить систему уравнений относительно У, так, чтобы в правых частях уравнений оставались только экзогенные переменные X, после чего к полученным уравнениям применяется обычный метод наименьших квадратов для получения оценки некоторых выражений от исходных параметров, из которых затем можно найти оценки и самих параметров.

Коэффициент авторегрессии – коэффициент корреляции между соседними возмущениями или коэффициент автокорреляции.

Коэффициент вариации – показатель относительной колеблемости признака, отношение среднего квадратического отклонения случайной величины к ее математическому ожиданию.

Коэффициент детерминации – одна из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мера качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации показывает, какая часть вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные. Если коэффициент детерминации равен единице, то эмпирические точки лежат на линии регрессии и между переменными X и Y существует линейная функциональная связь. Если коэффициент детерминации равен нулю, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс. В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции двух случайных величин – отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин. Коэффициент корреляции определяет тесноту линейной связи двух случайных величин. Чем ближе коэффициент корреляции по модулю к единице, тем теснее линейная связь. В случае равенства нулю коэффициента корреляции линейная корреляционная связь отсутствует и линия регрессии параллельна оси абсцисс.

Коэффициент корреляции двух случайных величин – величина, рассчитываемая по наблюдениям над двумя случайными величинами и характеризующая степень их связи; отношение ковариации двух случайных величин к произведению их средних квадратических отклонений: .

Коэффициент частной эластичности – предел отношения относительного частного приращения функции к относительному приращению этой переменной.

Критерий эффективности – инструмент определения степени достижения цели системой управления; правило, позволяющее сопоставлять стратегии, характеризующиеся различной степенью достижения цели, и осуществлять направленный выбор стратегий из множества допустимых. Существует три вида критериев: пригодности, оптимизации и адаптивизации.

Лаг – смещение во времени изменения одного показателя по сравнению с изменением другого.

Лаг временной – направление и продолжительность отставания уровней одного из взаимосвязанных временных рядов от уровней другого ряда.

Лаговые переменные – переменные, взятые в предыдущий момент времени и выступающие в качестве эндогенных и экзогенных переменных.

Линейное программирование – раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации в планировании и управлении.

Линии регрессии (кривые регрессии) – графики функций регрессии, или просто регрессии У по X и X по У.

Линии регрессии нормально распределенных случайных величин – прямые линии, т.е. нормальные регрессии случайных величин всегда линейны.

Логарифмически нормальное распределение – распределение непрерывных случайных величин, логарифм которых подчинен нормальному закону распределения.

Логистика – наука о планировании, организации, управлении, контроле и регулировании движения материальных и информациональных потоков в пространстве и во времени от их первичного состояния до конечного потребителя.

Модель – идеальный объект, который заменяет реальный объект в процессе его познания, сохраняет его существенные черты и позволяет получить новые знания об объекте исследования.

Маржинальные (предельные) величины – величины, соответствующие экстремальному (максимальному или минимальному) своему значению (например, MR – предельный доход при прогрессивной системе налогообложения).

Математическая модель – представляет реальный объект определенными математическими структурами – функциями, уравнениями, неравенствами и т.п.

Математическое ожидание – важнейшая числовая характеристика случайных величин. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности.

Математическая статистика – прикладная наука, занимающаяся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений (испытаний) с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая t строк и n столбцов. Различают следующие виды матриц: вектор-столбец, вектор-строка, квадратная, диагональная, нулевая, единичная, обратная и транспонированная.

Медиана – среднее значение ранжированного ряда распределения. Положение медианы определяется ее номером , где n – число единиц совокупности.

Метод наименьших квадратов – метод обработки статистических наблюдений, основанный на гипотезе нормальности ошибок измерения; применяется в корреляционном и регрессионном анализе; неизвестные параметры b0 и b1 выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений yi от значений , найденных по уравнению регрессии , была минимальной:

Метод скользящих средних – метод выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайной составляющей. Основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Метод уменьшения мультиколлинеарности – из двух объясняющих переменных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8), одну переменную исключают из рассмотрения. При этом, какую переменную оставить, а какую – удалить из анализа, решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменных нельзя отдать предпочтение, то оставляют ту из двух переменных, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной. Другой метод устранения или уменьшения мультиколлинеарности заключается в переходе от несмещенных оценок, определенных по методу наименьших квадратов, к смещенным оценкам, обладающим, однако, меньшим рассеянием относительно оцениваемого параметра.

Минор элемента aij – определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-и строки и j-ro столбца.

Множественная регрессия – модель зависимости некоторого выходного экономического показателя (объясняемой переменной) от набора входных показателей (объясняющих переменных).

Многомерная (n-мерная) случайная величина (система случайных величин, n-мерный вектор) – упорядоченный набор Х = (X1, X2, ..., Хn) случайных величин.

Многоугольник, или полигон, распределения вероятностей — ломаная, получаемая соединением точек, которые соответствуют значениям случайной величины (ось абсцисс) и их вероятностям (ось ординат).

Мода – значение случайной величины, которому соответствует максимум функции вероятности или плотности распределения; наиболее часто встречающееся значение признака в ряде распределения.

Моделирование имитационное – воспроизведение с помощью ЭВМ поведения исследуемой системы и ее описание по результатам процесса имитации.

Модели временных рядов – к этому классу моделей относятся модели тренда и модели сезонности.

Модель сезонности – характеризует устойчивые внутригодовые колебания уровня показателя.

Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева, модель «затраты–выпуск») – объем конечной продукции каждой отрасли (Y) равен произведению разности единичной матрицы и матрицы прямых материальных затрат (Е - А) на матрицу валовой продукции каждой отрасли (X): Y = (Е - А)Х.

Мощность (функция мощности) критерия – вероятность не допустить ошибку второго рода, т.е. принять нулевую гипотезу, когда она неверна.

Мультиколлинеарность – высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных; может проявляться в функциональной (явной) и стохастической (скрытой) формах.

Мультипликативность – свойство отдельных эффектов системы оказывать умножающее воздействие положительной обратной связи на выходную величину управляемой системы.

Неаддитивность – появление нового качества системы, возникающее в результате интеграции отдельных элементов или подсистем в единое целое.

Неидентифицируемые параметры – параметры, бесконечное множество возможных значений которых приводит к одной и той же приведенной форме.

Неидентифицируемый структурный параметр – структурный параметр, значение которого невозможно получить, даже зная точные значения параметров приведенной формы.

Нелинейные регрессионные модели – производственные функции (зависимости между объемом производственной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т.п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и др.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, функция распределения которой непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек; множество возможных значений случайной величины бесконечно или несчетно.

Несмещенная оценка параметра – оценка параметра при условии, что ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. M () = .

Неэластичный спрос – спрос, имеющий тенденцию оставаться неизменным, несмотря на небольшое изменение цены.

Нормальное распределение – случайная величина X распределена по нормальному закону распределения (закону Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности (дифференциальная функция распределения) имеет вид: .

Обобщенная регрессионная модель – модель, в которой ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными.

Обратная матрица – матрица, умноженная на исходную матрицу, в результате дающая единичную.

Объект изучения статистики – общество во всем многообразии его форм и проявлений. Но общество, а также протекающие в нем процессы и закономерности развития изучают и другие общественные науки – экономическая теория (политическая экономия), экономика промышленности, сельского хозяйства, социология и др. При этом каждая из наук находит в объекте свой специфический аспект изучения – предмет познания.

Объясняемая и объясняющая переменные – см. Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной – возникает, например, в случае, когда при каждом фиксированном значении неслучайной независимой переменной соответствующие значения случайной переменной подвержены случайному разбросу за счет действия ряда неконтролируемых факторов. При этом зависимую переменную называют функцией отклика, объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным признаком, а независимую переменную – объясняющей, входной, предсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком.

Операция – совокупность целенаправленных действий, объединенных единым замыслом и направленных на достижение определенных целей.

Определитель (детерминант) квадратной матрицы n-го порядка – число, обозначаемое и определяемое по специальным правилам в зависимости от порядка матрицы. Определитель квадратной матрицы n-гo порядка может быть вычислен с помощью разложения по элементам строки или столбца согласно теореме Лапласа.

Оценка параметра – всякая функция результатов наблюдений над случайной величиной X (иначе статистика), с помощью которой судят о значениях параметра .

Оценка несмещенная – оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению искомого параметра.

Оценка эффективная – несмещенная оценка, имеющая минимальную дисперсию.

Оценка состоятельная – оценка, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру с увеличением числа испытаний.

Парето-оптимальное решение – лучшим инвестиционным проектом является тот, для которого не существует другого проекта, не уступающего рассматриваемому по всем показателям, а хотя бы по одному превосходящему его.

Парная регрессия – зависимость между переменными в генеральной совокупности вида: Y=F(X)+e, X – неслучайная величина, Y, e – случайные величины. Наиболее распространенный вид парной регрессии – линейная парная регрессия.

Планирование эксперимента – математическая теория экстремальных экспериментов, позволяющая выбирать оптимальную стратегию исследования при неполном знании процесса.

Плотность вероятности (плотность распределения или просто плотность) непрерывной случайной величины X – производная ее функции распределения.

Плотность вероятности (плотность распределения или совместная плотность) непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) – вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

Показатель – обобщенный количественный параметр социально-экономических явлений и процессов в единстве с их качественными характеристиками.

Предикторная переменная – см. Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Предмет статистики – размеры и количественные соотношения качественно определенных социально-экономических явлений, закономерности их связи и развития в конкретных условиях места и времени. Свой предмет статистика изучает методом обобщающих показателей.

Предсказывающая переменная – см. Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Пространственные данные (пространственная выборка) – в экономике под пространственной выборкой понимают набор показателей экономических переменных, полученных в данный момент времени. В эконометрике о пространственной выборке имеет смысл говорить в том случае, если все наблюдения получены примерно в неизменных условиях, т.е. представляют собой набор независимых выборочных данных из некоторой генеральной совокупности.

Процедура сглаживания экспериментальных данных – состоит их двух этапов:

1) определяется параметрическое семейство, к которому принадлежит искомая функция Мx(У) (рассматриваемая как функция от значений объясняющих переменных X). Это может быть множество линейных функций, показательных функций и т.д.; 2) находятся оценки параметров этой функции с помощью одного из методов математической статистики.

Ранг матрицы – наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля.

Регрессия (Y по X) – зависимость условного математического ожидания Mx(Y) случайной величины Y (при X=x) от x; аналогично, регрессия (X по Y) – зависимость условного математического ожидания My(Y) случайной величины X (при Y=y) от y.

Регрессии уравнение – уравнение линии, вокруг которой группируются точки корреляционного поля; указывает основное направление и тенденцию связи.

Регрессионный анализ – 1) раздел математической статистики, изучающий характер связи между случайными переменными; 2) совокупность статистических методов обработки результатов экспериментов, позволяющих в условиях стохастической зависимости выходной переменной от входных параметров определить данную зависимость.

Регрессор – см. Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Результирующая переменная, или результативный признак – см. Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Репрезентативность (представительность) выборки – достаточно полное отражение свойств генеральной совокупности. Должна удовлетворять следующим требованиям: 1) элементы генеральной совокупности выбираются случайным образом; 2) независимость результатов испытаний в выборке; 3) определенный (правильный) подбор объема выборки.

Распределение (хи-квадрат) с k степенями свободы – распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону.

Ряд динамики – числовые значения статистического показателя, представленные во временной последовательности; ряд, расположенный в хронологической последовательности значений статистических показателей.

Сверхидентифицируемый структурный параметр – структурный параметр, которому косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок. Можно также сказать, что это параметр, для которого существует несколько способов выражения через коэффициенты приведенной формы.

Сглаживание – выравнивание рыночной конъюнктуры путем проведения небольших регулярных интервенций.

Сетевой график – 1) полная графическая модель комплекса работ, направленных на выполнение единого задания, в которой (модели) определяется логическая взаимосвязь; 2) последовательность работ и взаимосвязь между ними! Элементами сетевого графика являются работа и событие.

Симплекс-метод – метод решения канонических задач линейного программирования, заключающийся в нахождении исходного базисного решения с последующим улучшением до достижения оптимального решения.

Система – 1) целенаправленный комплекс взаимосвязанных элементов любой природы и отношений между ними; 2) взаимодействующий информационный комплекс, характеризующийся многими причинно-следственными взаимодействиями (К. Уотт); 3) сущность, которая состоит из взаимосвязанных частей (Р. Акофф).

Система регрессионных уравнений и тождеств – система, особенностью которой является то, что каждое из уравнений системы, кроме своих объясняющих переменных, может включать объясняемые переменные из других уравнений. Таким образом, мы имеем не одну зависимую переменную, а набор зависимых (объясняемых) переменных, связанных уравнениями системы. Такую систему называют также системой одновременных уравнений, подчеркивая тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые в других.

Система управления – 1) совокупность действий, необходимых для согласованной деятельности людей; 2) совокупность звеньев, осуществляющих управление, и связей между ними. Звенья С.у.: линейные, функциональные, линейно-функциональные, функционально-линейные. К числу показателей, по которым можно оценить С.у. или проектировать ее преобразование, следующие: состав и структура функций дифференциации управленческой деятельности, звенья С.у. и их распределение по ступеням иерархии, величины звеньев, распределение полномочий, информационное обеспечение управления, связи и их информационная нагрузка, квалификационные требования.

Системы одновременных уравнений – системы уравнений, связывающие не одну, а несколько зависимых переменных с объясняющими переменными. Название подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые в других.

Системный анализ – совокупность приемов и методов, направленных на выдвижение альтернативных вариантов решения сложных экономических задач. Предполагает рассмотрение проблемы с наличия цели и самой системы, согласование целей подсистем с общей целью системы.

Системный подход – метод, рассматривающий связи и целостность сложных систем. Три этапа С.п.: 1) определяется сфера, уточняются область и масштабы деятельности субъекта управления, устанавливаются адекватные сферы, области и масштабы деятельности, информационные потребности; 2) проводятся необходимые исследования (системный анализ); 3) разрабатываются альтернативные варианты решения определенных проблем и осуществляется выбор оптимального варианта по каждой задаче с использованием экспертных оценок, в том числе независимой экспертизы). Управление на основе С.п. призвано обеспечивать и совершенствовать структурное и функциональное единство системы, вскрывать и устранять препятствия на пути к цели, ассимилировать или нейтрализовать возмущающие воздействия как внутри системы, так и вне ее.

След квадратной матрицы – сумма ее диагональных элементов.

Случайная величина – переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает заранее неизвестное числовое значение из множества своих возможных значений.

Случайная компонента – отражает влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Случайная ошибка – составляющая общей ошибки, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Событие – результат испытания, который регистрируется как факт.

Событие достоверное – событие, которое обязательно наступает в данном испытании: P(U) = 1.

Событие невозможное – событие, заведомо не наступающее в данном испытании: P(V) = 0.

События независимые – факт наступления или ненаступления одного из них не изменяет вероятность другого, т.е. Р(А/В) = Р(А/) = Р(А).

События противоположные – два несовместных события, составляющих полную группу.

Совместимость – взаимосвязанность элементов и подсистем одной системы с элементами и подсистемами других систем.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение, или стандарт) σх случайной величины X – арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии. Характеризует степень рассеивания возможных значений случайной величины не хуже дисперсии, а его размерность совпадает с размерностью соответствующей случайной величины.

Среднее линейное отклонение – отношение суммы модуля разности между текущим значением индивидуального признака и средней арифметической этого признака к количеству значений индивидуальных признаков.

Статистика – данный термин в настоящее время употребляется в четырех значениях:

1. Комплекс учебных дисциплин, обладающих определенной спецификой и изучающих количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественным содержанием – учебный предмет в высших и средних специальных учебных заведениях.

2. Отрасль практической деятельности («статистический учет») по сбору, обработке, анализу и публикации массовых цифровых данных о самых различных явлениях и процессах общественной жизни; эту деятельность на профессиональном уровне осуществляет государственная статистика – Государственный комитет по статистике Российской Федерации и система его учреждений, организованных по административно-территориальному признаку, а также ведомственная статистика (на предприятиях, в объединениях, ведомствах, министерствах).

3. Совокупность цифровых сведений, характеризующих состояние массовых явлений и процессов общественной жизни; статистические данные, представляемые в отчетности предприятий, организаций, отраслей экономики, а также публикуемые в сборниках, справочниках, периодической прессе, которые являются результатом статистической работы.

4. Статистические методы (в том числе методы математической статистики), применяемые для изучения социально-экономических явлений и процессов.

Статистика как наука представляет собой целостную систему научных дисциплин, включающую теорию статистики, экономическую статистику и ее отрасли, социально-демографическую статистику и ее отрасли.

Итак, статистика – комплекс учебных дисциплин, обеспечивающих овладение методологией статистического исследования массовых социально-экономических явлений и процессов с целью выявления закономерностей их развития в конкретных условиях места и времени.

Статистическая вероятность – относительная частота (частость) W (А) появления события А в n произведенных испытаниях.

Статистическая гипотеза – любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распределения.

Статистический критерий, или статистический тест – правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается.

Стационарный временной ряд – временной ряд, вероятностные свойства которого не изменяются во времени.

Точечная оценка (неизвестного параметра генеральной совокупности) – любая функция результатов наблюдений над случайной величиной (иначе – статистика), с помощью которой судят о значении неизвестного параметра. Точечная оценка параметра задается одним числом. Чтобы оценка была «хорошей», она должна удовлетворять требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности.

Теорема Гаусса – Маркова – определяет условия (основные предпосылки множественного регрессионного анализа), при выполнении которых оценка метода наименьших квадратов для параметров классической линейной модели множественной (или парной) регрессии является наиболее эффективной, т.е. обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.

Теория (от греч. theoria – рассмотрение, исследование) – высшая форма научного мышления, система понятий, категорий, законов, отражающая существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений действительности; составляет основной структурный элемент науки, связывая в единое целое факты, проблемы, гипотезы, методы познания и др.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явления массового характера независимо от их конкретной природы. Методы теории вероятностей являются дополнением детерминистского метода, значительно расширяют возможности наук, позволяют изучать явления с учетом присущих им элементов случайности.

Теория статистики – наука о наиболее общих принципах и методах статистического исследования социально-экономических явлений; разрабатывает понятийный аппарат и систему категорий статистической науки, рассматривает методы сбора, сводки, обобщения и анализа статистических данных, т.е. общую методологию статистического исследования массовых общественных процессов.

Тест Бреуша – Пагана – тест на гетероскедастичность регрессионной модели; применяется в тех случаях, когда предполагается, что дисперсии ошибок зависят от некоторых дополнительных переменных.

Тест Гольдфельда – Куандта – тест на гетероскедастичность регрессионной модели; применяется, как правило, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибок от величины некоторой объясняющей переменной, входящей в модель.

Тест Дарбина – Уотсона – тест для обнаружения автокорреляции первого порядка, т.е. проверки некоррелированности не любых, а только соседних величин ошибок (отклонений) – соседних по времени (при исследовании временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной.

Тест (критерий) Чоу – проверка двух выборок пар значений зависимой и объясняющей переменных на однородность в регрессионном смысле. Тест Чоу позволяет ответить на вопрос, можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х.

Тренд, линия тренда – устойчивое изменение уровня показателя в течение длительного времени.

Трехшаговый метод наименьших квадратов – процедура одновременного оценивания уравнений как внешне несвязанных. При достаточно большом числе итераций оценки трехшагового метода наименьших квадратов совпадают с оценками максимального правдоподобия.

Управление – процесс целенаправленного воздействия на объект, в результате которого происходит переход объекта в требуемое (целевое) состояние.

Управление операциями – действия по разработке и реализации общей стратегии и направлений операционной деятельности организации; разработке и внедрению операционной системы; планированию и контролю текущего финансирования системы.

Уровень значимости – малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки; обычно принимают равным 0,05 или 0,01.

Уровень значимости критерия – вероятность a допустить (при статистической проверке гипотез) ошибку первого рода, т.е. отвергнуть гипотезу Hо, когда она верна. Вероятность допустить ошибку второго рода, т.е. принять гипотезу Hо, когда она неверна, обычно обозначают b. При оценке значимости коэффициентов уравнения регрессии в эконометрике используются, как правило, F-Критерий Фишера и t-критерий Стъюдента.

Уровень ряда динамики – статистический показатель, характеризующий изучаемый объект.

Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (X, У) – закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).

Фиктивные (манекенные) переменные – в качестве манекенных переменных обычно используются дихотомические (бинарные, булевы) переменные, которые принимают всего два значения: «0» или «1» (например, значение такой переменной Z1 по фактору «пол»: Z1 = 0 – для работников-женщин и Z1 = 1 – для мужчин).

Функциональная зависимость – каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой (например, скорость свободного падения в вакууме в зависимости от времени и т.д.).

Функция отклика – см. Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Функция правдоподобия – функция, выражающая плотность вероятности (вероятность) совместного появления результатов выборки x1, x2, … , xn:

или

Функция производственная – функция, выражающая зависимость объема выпуска от затрат ресурсов. Функция Кобба – Дугласа , где – постоянные коэффициенты; К – производственные фонды, отражающие затраты капитала; L – людские ресурсы, отражающие затраты труда.

Функция распределения случайной величины X – функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х. Функция распределения n-мерной случайной величины (X1, Х2, … , Хn) – функция F(x1, x2, … , xn), выражающая вероятность совместного выполнения n неравенств

т.е.

Функция регрессии, или просто регрессия, У по X – функция от х, которая представляет собой условное математическое ожидание случайной величины У при Х= х, т.е. Мх(у).

Функция регрессии, или просто регрессия, Х по Y – функция от у, которая представляет собой условное математическое ожидание случайной величины X при У = у, т.е. МY(Х).

Целевая функция – функция в экстремальных задачах, минимум или максимум которой необходимо найти.

Целочисленное программирование – раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна.

Цель – осознанный образ предвосхищаемого результата, на достижение которого направлены действия человека; ожидаемый результат экономической операции в будущем.

Частота наступления событий (частость) – отношение числа N(A) испытаний, в которых оно имело место, к общему их числу N.

Число степеней свободы – в общем виде равняется разности числа независимых наблюдаемых случайных величин и числа связей, ограничивающих свободу их изменения.

Числовые характеристики – числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения случайной величины.

Экзогенные переменные – переменные, задаваемые извне; см. также Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Экстраполяция – нахождение значения признака за пределами анализируемого периода.

Эластичность функции, или коэффициент эластичности Ех(у) – предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при .

Эндогенные переменные – переменные, которые формируются внутри функционирования объекта; см. также Односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной.

Эконометрика – раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными. Эконометрика объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математико- статистического инструментария придавать количественные выражения качественным зависимостям. Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Эконометрическая модель – позволяет объяснить поведение эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных (иначе — в зависимости от предопределенных, т.е. заранее определенных, переменных).

Экспертные оценки – основанные на суждениях спекулянтов количественные или порядковые оценки процессов и явлений, не поддающиеся непосредственному измерению.

Эмерджентность (интегративность) – появление у системы свойств, которые не присущи ни одному из составляющих ее элементов.

Эмпирический закон – полученное в результате статистического наблюдения математическое выражение, связывающее исследуемые экономические показатели.

Эффект – показатель (результат), характеризующий величину выгодности применения систем управления.

Эффективная оценка параметра – несмещенная оценка параметра , имеющая наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема n; степень соответствия полученного результата экономической операции.

Эффективность – сопоставление эффекта от реализации инвестиций в системы управления с величиной затрат, необходимых для их внедрения; степень соответствия реального результата экономической операции требуемому.

ХРЕСТОМАТИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

1. "КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК"

1. Случайная величина

П л а н: 1.1.Случайная величина

1.2. Функция распределения

1.3. Дискретная случайная величина

1.4. Непрерывная случайная величина

1.5. Плотность распределения

1.1. Случайная величина

Случайной величиной (переменной) называется величина, которая в результате испытаний под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел.

Случайные величины принято обозначать большими латинскими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми.

Случайная величина считается заданной, если известен ее закон распределения, т.е. известно соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Универсальным способом задания случайной величины Х является задание ее функции распределения.

1.2. Функция распределения

Универсальным способом задания случайной величины Х является задание ее функции распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что величина Х принимает значение меньше, чем некоторое число х, т.е.

Свойства функции распределения:

1. .

2. .

3. F(x) – неубывающая функция.

4. , .

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

1.3. Дискретная случайная величина

Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения. Число возможных значений дискретной случайной величины конечно или счетно.

Дискретную случайную величину удобнее задавать не в виде функции распределения, а в виде ряда распределения. При табличном задании ряда распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая – соответствующие им вероятности, т.е.

где .

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие им вероятности, то получаемая (соединением точек) ломанная называется полигоном распределения вероятностей.

1.4. Непрерывная случайная величина

Непрерывной называется случайная величина, множество значений которой непрерывно заполняет некоторый числовой промежуток. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно, поэтому ее задают функцией распределения или плотностью распределения вероятностей .

1.5. Плотность распределения

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется производная от функции распределения, т.е. = .

Из определения производной вытекает вероятностный смысл плотности распределения:

т.е. предел отношения вероятности попадания случайной величины Х в интервал к длине этого интервала при равен значению плотности распределения вероятностей .

Свойства плотности распределения:

1. при любых .

2. .

3. .

График плотности распределения (или плотности вероятности) называется кривой распределения.

Для любой случайной величины важную роль помимо ряда или функции распределения играют числовые характеристики ее распределения, отражающие его наиболее существенные черты.

2. Числовые характеристики распределения

В основе математической статистики лежат понятия генеральной и выборочной совокупностей.

П л а н:

2.1. Генеральная совокупность

2.1.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

2.1.2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

2.1.3. Свойства математического ожидания

2.1.4. Теоретическая (генеральная) дисперсия

2.1.5. Стандартное отклонение случайной величины

2.1.6. Квантиль уровня q

2.2.Выборочная совокупность (выборка)

2.2.1. Выборочная средняя

2.2.2. Выборочная дисперсия (вариация)

2.2.3. Свойства выборочной дисперсии

2.2.4. Нормальное распределение случайной величины

2.1. Генеральная совокупность – это множество всех значений (исходов) случайной величины, которые она может принять в процессе наблюдения. Например, данные о доходах всех жителей страны.

2.1.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.

где суммирование осуществляется по всем возможным значениям случайной величины.

2.1.2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется выражением

где интегрирование осуществляется на всем интервале, в котором определена .

Математическое ожидание случайной величины – это среднее ее значение по генеральной совокупности, обозначается .

2.1.3. Свойства математического ожидания (a, b – константы; X, Y – случайные величины):

М(а) = а.
.
.
.
.

Математическое ожидание функции определяется выражением

, где суммирование осуществляется по всем возможным значениям .

В частности, если , то .

Определение. Случайные величины X, Yназываются независимыми, если

для любых значений х, у.

Следствие. Если случайные величины X, Y независимы, то

и .

2.1.4. Теоретическая (генеральная) дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X относительно ее средней, т.е.

= D(X) = M(X-)2.

Замечание. Если ясно, о какой переменной идет речь, нижний индекс в или можно не указывать.

Для вычисления дисперсии часто используется другое выражение, получаемое из определения дисперсии:

Дисперсия является мерой рассеяния случайной величины относительно средней (центра). Размерность дисперсии не совпадает с размерностью случайной величины.

2.1.5. Стандартным отклонением случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии, т.е.

Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем отклоняется случайная величина в совокупности относительно средней (центра).

2.1.6. Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т.е.

100q% -ой точкой называется квантиль .

2.2. Выборочная совокупность (выборка) – это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности.

Пусть из генеральной совокупности с распределением извлекается выборка объема п. Считаем, что выборочные наблюдения x1, x2, ..., xп независимы и имеют одинаковые распределения.

2.2.1. Выборочной средней называется среднее арифметическое значений случайной величины в выборке, т.е.

2.2.2. Выборочной дисперсией (вариацией) называется среднее арифметическое квадратов отклонения случайной величины от среднего значения, т.е.

var, var.

2.2.3. Свойства выборочной дисперсии:

l. var(а) = 0.

2. var(bX) = b2var(X).

3. var(a+bX) = b2var(X).

Значения , var(Х) являются числовыми характеристиками выборочной совокупности.

Для разных выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, выборочные средние и выборочные дисперсии будут различны, т.е. выборочные характеристики являются случайными величинами.

Из условия, что выборочные наблюдения x1, x2, ..., xn независимы и имеют одинаковые распределения, вытекают следующие соотношения:

M, D

Центральная предельная теорема закона больших чисел устанавливает, что распределение средней выборочной при достаточно большом п является нормальным, т.е.

при этом

2.2.4. Нормальное распределение случайной величины Х характеризуется лишь двумя параметрами: средним значением , и дисперсией . Это обозначается как Х ~N(;).

График плотности нормального распределения имеет колоколообразный симметричный вид (см. рисунок) и задается функцией

Максимум этой функции находится в точке х = , а разброс относительно этой точки определяется параметром . Чем меньше значение , тем более острый и высокий максимум .

Вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от среднего по модулю меньше , есть

где Ф(t) – функция Лапласа.

Кроме нормального распределения наиболее часто используются также биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, логнормальное распределение, распределение (хи-квадрат), распределение Стьюдента и распределение Фишера-Снедекора (F-распределение).

3. Точечные оценки

3.1. Несмещенность оценок

3.2. Эффективность оценок

3.3. Состоятельность оценок

3.1. Несмещенность оценок

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. .

Если это не так, то оценка называется смещенной, а разность - смещением.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней , так как . Тем не менее оценка не единственная возможная несмещенная оценка .

Выборочная дисперсия var(X) является смещенной оценкой генеральной дисперсии , при этом

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия)

для которой M(S2) = .

Величина S называется стандартным отклонением случайной величины в выборке.

3.2. Эффективность оценок

Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными несмещенными оценками, вычисленных по выборкам одинакового объема.

Предположим, что имеются две оценки параметра , рассчитанные на основе одной и той же информации (см.рисунок). Оценка А является более эффективной, чем оценка В.

Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней, т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

3.3. Состоятельность оценок

Оценка называется состоятельной, если при п она стремится по вероятности к оцениваемому параметру , т.е

Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

На рисунке показано, как при различном объеме выборки может выглядеть распределение вероятностей (состоятельная оценка, смещенная на малой выборке).

Теорема Чебышева закона больших чисел утверждает, что

т.е. выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней .

4. Ковариация и корреляция

4.1.Выборочная ковариация двух переменных х, у

4.2. Свойства ковариации

4.3. Теоретическая ковариация случайных величин X, Y

4.4. Выборочный коэффициент корреляции

4.5. Теоретический коэффициент корреляции

4.6. Проверка гипотезы о корреляции случайных величин

4.1. Выборочной ковариацией двух переменных х, у называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т.е.

cov(x,у) =, или cov(x,y)=, где – выборочные средние переменных х, у.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

Пусть данные наблюдений переменных х, у представлены в виде точечного графика – диаграммы рассеяния наблюдений (см.рисунок).

Точка () на диаграмме является центром рассеяния переменных х, у.

Вертикальная и горизонтальная прямые, проведенные через точку (), разделяют диаграмму рассеяния на четыре области.

Наблюдения в областях I, III дают положительный вклад в ковариацию, а в областях II, IV – отрицательный

Если положительные вклады преобладают над отрицательными, то ковариация будет положительной, в противном случае она будет отрицательной. Положительной ковариации отвечает положительная связь, а отрицательной – отрицательная.

При положительной (прямой) связи с увеличением одной переменной другая переменная в среднем также увеличивается, и наоборот при отрицательной (обратной) связи.

Заметим, что cov(x, х) = = var(X).

4.2. Свойства ковариации:

cov (х, и + v) = cov (х, и) + cov (х, v).
cov(x, a) = 0, если a = const.
cov(x, bu) = b cov(x, и), если b = const.
cov(u, v) = cov(v, u).
var(u, v) = var(u) + var(v) + 2 cov(u, v).

4.3. Теоретической ковариацией случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих средних значений, т.е.

pop.cov(X, Y) = М[(Х-)(Y-)], I

где= M(Y), = M(Y).

В записи pop.cov(X, Y) символ pop указывает на то, что cov(X, Y) рассматривается по генеральной совокупности.

Заметим, что pop.cov (X, X) = М(Х - )2 = .

Свойство. Если случайные величины X, Y независимы, то теоретическая ковариация равна нулю, т.е. pop.cov (X, Y) = 0.

Пусть выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности и отражает ее свойства.

Если случайные величины X, Y независимы, то ковариация равна нулю и выборочные точки на диаграмме рассеяния наблюдении можно заключить в окружность с центром в точке ().

Если X, Y зависимы, то ковариация отлична от нуля и выборочные точки можно заключить в эллипс с центром в точке ()при этом положение большей полуоси эллипса будет указывать направление связи (положительная или отрицательная).

4.4. Выборочный коэффициент корреляции определяется выражением

он является безразмерной величиной и показывает степень линейной связи двух переменных.

На рисунке отражен геометрический смысл коэффициента корреляции. На рисунке а и б случайные величины X и Y коррелированы (r > 0 или r < 0), на рисунке в и г – некоррелированы (r= 0). Если r = 0, случайные величины могут быть как зависимыми (см. рисунок в), так и независимыми (см. рисунок г).

Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной.

4.5. Теоретический коэффициент корреляции определяется выражением

где – средние квадратичные отклонения случайных величин X, Y.

Теоретический коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи двух случайных величин:

ρ > 0 при положительной связи и ρ = 1 при строгой положительной линейной связи;
ρ < 0 при отрицательной связи и ρ = – 1 при строгой отрицательной линейной связи;
ρ = 0 при отсутствии линейной связи.

Определение. Случайные величины X, Y называются некоррелированными, если ρ = 0, и коррелированными, если ρ 0.

Свойства. Если случайные величины X, Y независимы, то они некоррелированы (ρ = 0), но из некоррелированности не следует их независимость, т.е. равенство ρ = 0 указывает на отсутствие линейной связи между переменными, но не на отсутствие связи между ними вообще.

Если ρ = 0 для генеральной совокупности, это необязательно означает, что r = 0 для выборочной совокупности.

4.6. Проверка гипотезы о корреляции случайных величин. Пусть по данным выборки объема п получен выборочный коэффициент корреляции r 0. Требуется проверить гипотезу о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции, т.е.

В качестве критерия проверки гипотезы H0 принимается случайная величина

Величина t при справедливости гипотезы H0 имеет распределение Стьюдента (t-статистика) с v=п–2 степенями свободы.

Сравнивая наблюдаемое значение критерия t с критическим значением tкр, определяемым по таблице по заданному уровню значимости и по числу степеней свободы, получим, что:

если < tкр, то Н0 принимается, т.е. нет линейной связи между переменными;
если >tкр, то Н0 отвергается, т.е. имеется линейная связь между переменными.

Замечание. Выборочный коэффициент корреляции можно получить, используя пакет анализа Excel (программа «Корреляция»).

5. Проверка статистических гипотез

5.1. Статистическая гипотеза

5.2. Статистический критерий

5.1. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0, а конкурирующей (альтернативной) – гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.

Проверку статистической гипотезы выполняют на основе результатов выборки. Поскольку выборка имеет ограниченный объем, то появляется возможность принятия ошибочного решения.

Вероятность того, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, называется уровнем значимости.

Выбор, например, 5%-го уровня значимости означает, что в пяти случаях из ста верная гипотеза будет отвергнута. Стремление к уменьшению ведет в то же время к уменьшению вероятности отвергнуть гипотезу, когда она является ложной.

5.2. Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы. В качестве статистического критерия выбирается такая случайная величина, точное или приближенное распределение которой известно.

Наблюдаемым значением называется значение критерия, вычисленное по данным выборки.

Множество значений критерия разбивают на две непересекающиеся области: критическую и область принятия гипотезы.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых гипотеза H0 отвергается. Различают одностороннюю и многостороннюю критические области.

Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых гипотеза H0 принимается.

Критическими точками tкр называются точки, отделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Критические точки tкр определяются по таблицам известного распределения выбранного критерия t при заданном уровне значимости и числе степеней свободы.

Сравнивая наблюдаемое значение критерия с критическими точками, можно принять или отвергнуть нулевую гипотезу.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Таблица 1. Значения функции Лапласа

Целые и десятые доли х	Сотые доли х
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,0000	0,0080	0,0160	0,0239	0,0319	0,0399	0,0478	0,0558	0,0638	0,0717
0,1	0,0797	0,0876	0,0955	0,1034	0,1113	0,1192	0,1271	0,1350	0,1428	0,1507
0,2	0,1585	0,1633	0,1741	0,1819	0,1897	0,1974	0,2051	0,2128	0,2205	0,2282
0,3	0,2358	0,2434	0,2510	0,2586	0,2661	0,2737	0,2812	0,2886	0,2960	0,3035
0,4	0,3108	0,3182	0,3255	0,3328	0,3401	0,3473	0,3545	0,3616	0,3686	0,3759
0,5	0,3829	0,3899	0,3969	0.4039	0,4108	0.4177	0.4245	0,4313	0,4381	0,4448
0,6	0,4515	0,4581	0,4647	0,4713	0,4778	0,4843	0,4907	0,4971	0,5035	0,5098
0,7	0,5161	0,5223	0,5285	0,5346	0,5407	0,5467	0,5527	0,5587	0,5646	0,5705
0,8	0,5763	0,5821	0,5878	0,5935	0,5991	0,6047	0,6102	0,6157	0,6211	0,6265
0,9	0,6319	0,6372	0,6424	0,6476	0,6528	0,6579	0,6629	0,6679	0,6729	0,6778
1,0	0,6827	0,6875	0,6923	0,6970	0,7017	0,7063	0,7109	0,7154	0,7199	0,7243
1,1	0,7287	0,7330	0,7373	0,7415	0,7457	0,7499	0,7540	0,7580	0,7620	0,7660
1,2	0,7699	0,7737	0,7775	0,7813	0,7850	0,7887	0,7923	0,7959	0,7984	0,8029
1,3	0,8064	0,8098	0,8132	0,8165	0,8198	0,8230	0,8262	0,8293	0,8324	0,8355
1,4	0,8385	0,8415	0,8444	0,8473	0,8501	0,8529	0,8557	0,8584	0,8611	0,8688
1,5	0,8664	0,8690	0,8715	0,8740	0,8764	0,8789	0,8812	0,8836	0,8859	0,8882
1,6	0,8904	0,8926	0,8948	0,8969	0,8990	0,9011	0,9031	0,9051	0,9070	0,9090
1,7	0,9109	0,9127	0,9146	0,9164	0,9181	0,9199	0,9216	0,9233	0,9249	0,9265
1,8	0,9281	0,9297	0,9312	0,9327	0,9342	0,9357	0,9371	0,9385	0,9392	0,9412
1,9	0.9426	0,9439	0,9451	0,9464	0,9476	0,9488	0,9500	0,9512	0,9523	0,9533
2,0	0,9545	0,9556	0,9566	0,9576	0,9586	0,9596	0,9606	0,9616	0,9625	0,9634
2,1	0,9643	0,9651	0,9660	0,9668	0,9676	0,9684	0,9692	0,9700	0,9707	0,9715
2,2	0,9722	0,9729	0,9736	0,9743	0,9749	0,9756	0,9762	0,9768	0,9774	0,9780
2,3	0,9786	0,9791	0,9797	0,9802	0,9807	0,9812	0,9817	0,9822	0,9827	0,9832
2,4	0,9836	0,9841	0,9845	0,9849	0,9853	0,9857	0,9861	0,9865	0,9869	0,9872
2,5	0,9876	0,9879	0,9883	0,9886	0,9889	0,9892	0,9895	0,9898	0,9901	0,9904
2,6	0,9907	0,9910	0,9912	0,9915	0,9917	0,9920	0,9922	0,9924	0,9926	0,9928
2,7	0,9931	0,9933	0,9935	0,9937	0,9939	0,9940	0,9942	0,9944	0,9946	0,9947
2,8	0,9949	0,9951	0,9952	0,9953	0,9955	0,9956	0,9958	0,9959	0,9960	0,9961
2,9	0,9963	0,9964	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972
3,0	0,9973	0,9974	0,9975	0,9976	0,9976	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980
3,1	0,9981	0,9981	0,9982	0,9983	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986
3,2	0,9986	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,3	0,9990	0,9991	0,9994	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,4	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995	0,9995
3,5	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997	0,9997
3,6	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998	0,9998	0,9998
3,7	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,9	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
4,0	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999

Таблица 2. Значения критерия Стьюдента

Число степеней свободы k	Вероятность g
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
1	0,16	0,32	0,51	0,73	1,00	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66
2	14	29	44	62	0,82	06	34	1,89	2,92	4,30	6,96	9,92
3	14	28	42	58	76	0,98	25	64	35	3,18	4,54	5,84
4	13	27	41	57	74	94	19	53	13	2,78	3,75	4,60
5	13	27	41	56	73	92	16	48	01	57	36	03
6	0,13	0,26	0,40	0,55	1,72	1,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
7	13	26	40	55	71	90	12	41	89	36	00	50
8	13	26	40	55	70	89	11	40	86	31	2,90	35
9	13	26	40	54	70	88	10	38	83	26	82	25
10	13	26	40	54	70	88	09	37	81	23	76	17
11	0,13	0,26	0,40	0,54	0,70	0,88	1,09	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11
12	13	26	39	54	69	87	08	36	78	18	68	05
13	13	26	39	54	69	87	08	35	77	16	65	01
14	13	26	39	54	69	87	08	34	76	14	62	2,98
15	13	26	39	54	69	87	07	34	75	13	60	95
16	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,07	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92
17	13	26	39	53	69	86	07	33	74	11	57	90
18	13	26	39	53	69	86	07	33	73	10	55	88
19	13	26	39	53	69	86	07	33	73	09	54	86
20	13	26	39	53	69	86	06	32	72	09	53	84
21	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,06	1,32	1,72	2,08	2,52	2,83
22	13	26	39	53	69	86	06	32	72	07	51	82
23	13	26	39	53	68	86	06	32	71	07	50	81
24	13	26	39	53	68	86	06	32	71	06	49	80
25	13	26	39	53	68	86	06	32	71	06	48	79
26	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,86	1,06	1,31	1,71	2,06	2,48	2,78
27	13	26	39	53	68	85	06	31	70	05	47	77
28	13	26	39	53	68	85	06	31	70	05	47	76
29	13	26	39	53	68	85	05	31	70	04	46	76
30	13	26	39	53	68	85	05	31	70	04	46	75
40	0,13	0,25	0,39	0,53	0,68	0,85	1,05	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70
60	13	25	39	53	68	85	05	30	67	00	39	66
120	0,13	0,25	0,39	0,53	0,68	0,84	1,04	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62
	13	25	38	52	67	84	04	28	64	96	33	58

Таблица 3. Значения критерия Пирсона

Число степеней свободы k	Вероятность a
	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
1	0,00	0,00	0,00	0,02	0,06	0,15	0,45	1,07	1,64	2,71	3,84	5,41	6,64
2	0,02	0,04	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3,22	4,60	5,99	7,82	9,21
3	0,11	0,18	0,35	0,58	1,00	1,42	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82	9,84	11,3
4	0,30	0,43	0,71	1,06	1,65	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,7	13,3
5	0,55	0,75	1,14	1,61	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,1	13,4	15,1
6	0,87	1,13	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,6	12,6	15,0	16,8
7	1,24	1,56	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,0	14,1	16,6	18,5
8	1,65	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,0	13,4	15,5	18,2	20,1
9	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,7	12,2	14,7	16,9	19,7	21,7
10	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9,34	11,8	13,4	16,0	18,3	21,2	23,2
11	3,05	3,61	4,58	5,58	6,99	8,15	10,3	12,9	14,6	17,3	19,7	22,6	24,7
12	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,3	14,0	15,8	18,5	21,0	24,1	26,2
13	4,11	4,76	5,89	7,04	8,63	9,93	12,3	15,1	17,0	19,8	22,4	25,5	27,7
14	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,8	13,3	16,2	18,1	21,1	23,7	26,9	29,1
15	5,23	5,98	7,26	8,55	10,3	11,7	14,3	17,3	19,3	22,3	25,0	28,3	30,6
16	5,81	6,61	7,96	9,31	11,1	12,6	15,3	18,4	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0
17	6,41	7,26	8,67	10,1	12,0	13,5	16,3	19,5	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4
18	7,02	7,91	9,39	10,9	12.9	14,4	17,3	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8
19	7,63	8,57	10,1	11,6	13,7	15,3	18,3	21,7	23,9	27,2	30,1	33,7	36,2
20	8,26	9,24	10,8	12,4	14,6	16,3	19,3	22,8	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6
21	8,90	9,92	11,6	13,2	15,4	17,2	20,3	23,9	26,2	29,6	32.7	36,3	38,9
22	9,54	10,6	12,3	14,0	16,3	18,1	21,3	24,9	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3
23	10,2	11,3	13,1	14,8	17,2	19,0	22,3	26,0	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6
24	10,9	12.0	13,8	15,7	18,1	19,9	23,3	27,1	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0
25	11,5	12,7	14,6	16,5	18,9	20,9	24,3	28,2	30,7	34,4	37,7	41,7	44,3
26	12,2	13,4	15,4	17,3	19,8	21,8	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6
27	12,9	14,1	16,1	18,1	20,7	22,7	26,3	30,3	32,9	36,7	40,1	44,1	47,0
28	13,6	14,8	16,9	18,9	21,6	23,6	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3
29	14,3	15,6	17,7	19,8	22,5	24,6	28,3	32.5	35,1	39,1	42,6	46,7	49,6
30	14,9	16,3	18,5	20,6	23,4	25,5	29,3	33,5	36,2	40,3	43,8	48,0	50,9

Таблица 4. Значения критерия Фишера-Снедекора

k1 k2	a = 0,05
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120
1	161	200	216	225	230	234	237	239	240	242	244	246	248	249	250	251	252	253	254
2	18,5	19,0	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4	19,4	19,4	19,4	19,4	19,4	19,4	19,5	19,5	19,5	19,5	19,5
3	10,1	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79	8,74	8,70	8,66	8,64	8,62	8,59	8,57	8,55	8,53
4	7,71	6,94	6.59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,91	5,86	5,80	5,77	5,75	5,72	5,69	5,66	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74	4,68	4,62	4,56	4,53	4,50	4,46	4,43	4,40	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,00	3,94	3,87	3,84	3,81	3,77	3,74	3,70	3,67
7	5,59	4,74	4.35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64	3,57	3,51	3,44	3,41	3,38	3,34	3,30	3,27	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35	3,28	3,22	3,15	3,12	3,08	3,04	3,01	2,97	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14	3,07	3,01	2,94	2,90	2,86	2,83	2,79	2,75	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98	2,91	2,85	2,77	2,74	2,70	2.66	2,62	2,58	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85	2.79	2,72	2,65	2,61	2,57	2,53	2,49	2,45	2,40
12	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75	2,69	2,62	2,54	2,51	2,47	2,43	2,38	2,34	2,30
13	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67	2,60	2,53	2,46	2,42	2,38	2,34	2,30	2,25	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2.65	2,60	2,53	2,46	2,39	2,35	2,31	2,27	2,22	2,18	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54	2,48	2,40	2,33	2,29	2,25	2,20	2,16	2,11	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,42	2,35	2,28	2,24	2,19	2,15	2,11	2,06	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49	2,45	2,38	2,31	2,23	2,19	2,15	2,10	2,06	2,01	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41	2,34	2,27	2,19	2,15	2,11	2,06	2,02	1,97	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42	2,38	2,31	2,23	2,16	2,11	2,07	2,03	1,98	1,93	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35	2,28	2,20	2,12	2,08	2,04	1,99	1,95	1,90	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32	2,25	2,18	2,10	2,05	2,01	1,96	1,92	1,87	1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30	2,23	2,15	2,07	2,03	1,98	1,94	1,89	1,84	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,44	2,37	2,32	2,27	2,20	2,13	2,05	2,01	1,96	1,91	1,86	1,81	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36	2,30	2,25	2,18	2,11	2,03	1,98	1,94	1,89	1,84	1,79	1,73
25	4,24	3,39	2,99	2,76	2,60	4,49	2,40	2,34	2,28	2,24	2,16	2,09	2,01	1,96	1,92	1,87	1,82	1,77	1,71
26	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22	2,15	2,07	1,99	1,95	1,90	1,85	1,80	1,75	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25	2,20	2,13	2,06	1,97	1,93	1,88	1,84	1,79	1,73	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19	2,12	2,04	1,96	1,91	1,87	1,82	1,77	1,71	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18	2,10	2,03	1,94	1,90	1,85	1,81	1,75	1,70	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16	2,09	2,01	1,93	1,89	1,84	1,79	1,74	1,68	1,62
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08	2,00	1,92	1,84	1,79	1,74	1,69	1,64	1,58	1,51
60	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99	1,92	1,84	1,75	1,70	1,65	1,59	1,53	1,47	1,39
120	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,09	2,02	1,96	1,91	1,83	1,75	0,66	1,61	1,55	1,50	1,43	1,35	1,25
¥	3,84	3,00	3,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,83	1,83	1,75	1,67	1,57	1,52	1,46	1,39	1,32	1,22	1,00
k1 k2	a = 0,01
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120
1	4052	4999,5	5403	5625	5764	5859	5928	5982	6022	6056	6106	6157	6209	6235	6261	6287	6313	6339	6366
2	98,50	99,00	99,17	99,25	99,30	99,33	99,36	99,37	99,39	99,40	99,42	99,43	99,45	99,46	99,47	99,47	99,48	99,49	99,50
3	34,12	30,82	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,35	27,23	27,05	26,87	26,69	26,60	26,50	26,41	26,32	26,22	26,13
4	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,55	14,37	14,20	14,02	13,93	13,84	13,75	13,65	13,56	13,46
5	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,46	10,29	10,16	10,05	9,89	9,72	9,55	9,47	9,38	9,29	9,20	9,11	9,02
6	13,75	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,72	7,56	7,40	7,31	7,23	7,14	7,06	6,97	6,88
7	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	6,99	6,84	6,72	6,62	6,47	6,31	6,16	6,07	5,99	5,91	5,82	5,74	5,65
8	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,18	6,03	5,91	5,81	5,67	5,52	5,36	5,28	5,20	5,12	5,03	4,95	4,86
9	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,61	5,47	5,35	5,26	5,11	4,96	4,81	4,73	4,65	4,57	4,48	4,40	4,31
10	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,20	5,06	4,94	4,85	4,71	4,56	4,41	4,33	4,25	4,17	4,08	4,00	3,91
11	9,65	7,21	6,22	5,67	5,32	5,07	4,89	4,74	4,63	4,54	4,40	4,25	4,10	4,02	3,94	3,86	3,78	3,69	3,60
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,64	4,50	4,39	4,30	4,16	4,01	3,86	3,78	3,70	3,62	3,54	3,45	3,36
13	9,07	6,70	5,74	5,21	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	3,96	3,82	3,66	3,59	3,51	3,43	3,34	3,25	3,17
14	8,86	6,51	5,56	5,04	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,80	3,66	3,51	3,43	3,35	3,27	3,18	3,09	3,00
15	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,67	3,52	3,37	3,29	3,21	3,13	3,05	2,96	2,87
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,55	3,41	3,26	3,18	3,10	3,02	2,93	2,84	2,75
17	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,46	3,31	3,16	3,08	3,00	2,92	2,83	2,75	2,65
18	8,29	6,01	5,09	4,58	4,25	4,01	3,84	3,71	3,60	3,51	3,37	3,23	3,08	3,00	2,92	2,84	2,75	2,66	2,57
19	8,18	5,93	5,01	4,50	4,17	3,94	3,77	3,63	3,52	3,43	3,30	3,15	3,00	2,92	2,84	2,76	2,67	2,58	2,49
20	8,10	5,85	4,94	4,43	4,10	3,87	3,70	3,56	3,46	3,37	3,23	3,09	2,94	2,86	2,78	2,69	2,61	2,52	2,42
21	8,02	5,78	4,87	4,37	4,04	3,81	3,64	3,51	3,40	3,31	3,17	3,03	2,88	2,80	2,72	2,64	2,55	2,46	2,36
22	7,95	5,72	4,82	4,31	3,99	3,76	3,59	3,45	3,35	3,26	3,12	2,98	2,83	2,75	2,67	2,58	2,50	2,40	2,31
23	7,88	5,66	4,76	4,26	3,94	3,71	3,54	3,41	3,30	3,21	3,07	2,93	2,78	2,70	2,62	2,54	2,45	2,35	2,26
24	7,82	5,61	4,72	4,22	3,90	3,67	3,50	3,36	3,26	3,17	3,03	2,89	2,74	2,66	2,58	2,49	2,40	2,31	2,21
25	7,77	5,57	4,68	4,18	3,85	3,63	3,46	3,32	3,22	3,13	2,99	2,85	2,70	2,62	2,54	2,45	2,36	2,27	2,17
26	7,72	5,53	4,64	4,14	3,82	3,59	3,42	3,29	3,18	3,09	2,96	2,81	2,66	2,58	2,50	2,42	2,33	2,23	2,13
27	7,68	5,49	4,60	4,11	3,78	3,56	3,39	3,26	3,15	3,06	2,93	2,78	2,63	2,55	2,47	2,38	2,29	2,20	2,10
28	7,64	5,45	4,57	4,07	3,75	3,53	3,36	3,23	3,12	3,03	2,90	2,75	2,60	2,52	2,44	2,35	2,26	2,17	2,06
29	7,60	5,42	4,54	4,04	3,73	3,50	3,33	3,20	3,09	3,00	2,87	2,73	2,57	2,49	2,41	2,33	2,23	2,14	2,03
30	7,56	5,39	4,51	4,02	3,70	3,47	3,30	3,17	3,07	2,98	2,84	2,70	2,55	2,47	2,39	2,30	2,21	2,11	2,01
40	7,31	5,18	4,31	3,83	3,51	3,29	3,12	2,99	2,89	2,80	2,66	2,52	2,37	2,29	2,20	2,11	2,02	1,92	1,80
60	7,08	4,98	4,13	3,65	3,34	3,12	2,95	2,82	2,72	2,63	2,50	2,35	2,20	2,12	2,03	1,94	1,84	1,73	1,60
120	6,85	4,79	3,95	3,48	3,17	2,96	2,79	2,66	2,56	2,47	2,34	2,19	2,03	1.95	1,86	1,76	1,66	1,53	1,38
∞	6,63	4,61	3,78	3,32	3,02	2,80	2,64	2,51	2,41	2,32	2,18	2,04	1,88	1,79	1,70	1,59	1,47	1,32	1,00

k1- число степеней свободы для большой дисперсии, k2 — для меньшей дисперсии.

Таблица 5. Значения dH и dB критерия Дарбина—Уотсона на уровне значимости a = 0,05

(n — число наблюдений, р — число объясняющих переменных)

n	р=1	р=2	р=3	р=4	р=5
	dH	dB	dH	dB	dH	dB	dH	dB	dH	dB
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
16	1,10	1,37	0,98	1,54	0,86	1,73	0,74	1,93	0,62	2,15
17	1,13	1,38	1,02	1,54	0,90	1,71	1,78	1,90	0,67	2,10
18	1,16	1,39	1,05	1,53	0,93	1,69	0,82	1,87	0,71	2,06
19	1,18	1,40	1,08	1,53	0,97	1,68	0,85	1,85	0,75	2,02
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68	0,90	1,83	0,79	1,99
21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,67	0,93	1,81	0,83	1,96
22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,99
25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89
26	1,30	1,46	1,22	1,55	1,14	1,65	1,06	1,76	0,98	1,88
27	1,32	1,47	1,24	1,56	1,16	1,65	1,08	1,76	1,01	1,86
28	1,33	1,48	1,26	1,56	1,18	1,65	1,10	1,75	1,03	1,85
29	1,34	1,48	1,27	1,56	1,20	1,65	1,12	1,74	1,05	1,84
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83
31	1,36	1,50	1,30	1,57	1,23	1,65	1,16	1,74	1,09	1,83
32	1,37	1,50	1,31	1,57	1,34	1,65	1,18	1,73	1,11	1,82
33	1,38	1,51	1,32	1,58	1,26	1,65	1,19	1,73	1,13	1,81
34	1,39	1,51	1,33	1,58	1,27	1,65	1,21	1,73	1,15	1,81
35	1,40	1,52	1,34	1,58	1,28	1,65	1,22	1,73	1,16	1,80
36	1,41	1,52	1,35	1,59	1,29	1,65	1,24	1,73	1,18	1,80
37	1,42	1,53	1,36	1,59	1,31	1,66	1,25	1,72	1,19	1,80
38	1,43	1,54	1,37	1,59	1,32	1,66	1,26	1,72	1,21	1,79
39	1,43	1,54	1,38	1,60	1,33	1,66	1,27	1,72	1,22	1,79
40	1,44	1,54	1,39	1,60	1,34	1,66	1,29	1,72	1,23	1,79
45	1,48	1,57	1,43	1,62	1,38	1,67	1,34	1,72	1,29	1,78
50	1,50	1,59	1,46	1,63	1,42	1,67	1,38	1,72	1,34	1,77
55	1,53	1,60	1,49	1,64	1,45	1,68	1,41	1,72	1,38	1,77
60	1,55	1,62	1,51	1,65	1,58	1,69	1,44	1,73	1,41	1,77
65	1,57	1,63	1,54	1,66	1,50	1,70	1,47	1,73	1,44	1,77
70	1,58	1,64	1,55	1,67	1,52	1,70	1,49	1,74	1,46	1,77
75	1,60	1,65	1,57	1,68	1,54	1,71	1,51	1,74	1,49	1,77
80	1,61	1,66	1,59	1,69	1,56	1,72	1,53	1,74	1,51	1,77
85	1,62	1,67	1,60	1,70	1,57	1,72	1,55	1,75	1,52	1,77
90	1,63	1,68	1,61	1,70	1,59	1,73	1,57	1,75	1,54	1,78
95	1,64	1,69	1,62	1,71	1,60	1,73	1,58	1,75	1,56	1,78
100	1,65	1,69	1,63	1,72	1,61	1,74	1,59	1,76	1,57	1,78

1. ru Все книги автора Эта же книга в других форматах Приятного чтения Чарльз Паллисер Квинканк
2. Рекламная стратегия мясокомбината
3. Адміністративно-правові норми
4. Преподаватели- Создать базу данных и в объекте Таблицы и выбрать Создание таблицы в режиме констру.html
5. Статья- Говорящие жесты (невербальное общение с аудиторией)
6. Облікова політика
7. Тема 2 ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ МЕНЕДЖМЕНТА Цель лекции- усвоение студентами основных категорий менеджмента
8. Религия папуасов и меланезийцев
9. такое зеленовато ~голубое было похоже на океан
10. Диагностика и профилактика инвазионных заболеваний рыб
11. совокупность свойств и характеристик продукции которые придают ей способность удовлетворять обусловленны
12. 8
13. ТЕМАТИЧНОЇ ТА СПЕЦІАЛЬНОЇ ПІДГОТОВКИ МАЙБУТНІХ ЕКОНОМІСТІВ У ВИЩИХ АГРАРНИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛА
14. тематический независимый и документируемый процесс получения свидетельств аудита и объективного их оценив
15. Тема 7 Українська культура і духовне життя на початку XX ст
16. Геномная дактилоскопия
17. задание по физике для групп 6О105Б 106Б 110Б 111Б 10104Б 1 семестр Кинематика
18. Быть всегда управляющим а не погонщиком Погонщик Управляющий
19. Сущность понятия социокультурный эталон здоровь
20. Поняття склад та рух трудових ресурсів Трудові ресурси це найважливіший фактор розвитку економіки ч

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе