Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет 1
1)
Реальное явление – Представление человека об этом явлении - Модель явления –Предсказание - Сравнение с экспериментом – Уточнение модели
Модель - искусственный объект, созданный человеком, заменяющий реальный объект.
Если модель заменяет объект с достаточной точностью, то она адекватна. Адекватность инженерных моделей зависит от инжен-го опыта, интуиции и подготовки специалистов. Основная задача модел-ия – построение таких моделей, которые позвол. Выполнять исследования на них, а не на реальных объектов.
2) Этот метод получил широкое распространение при создании программных комплексов анализа динамических систем. В дальнейшем будем пользоваться терминологией, характерной для электрических подсистем. Будем использовать для узловых базисных координат перемещений типа узловых потенциалов. В качестве топологических уравнений используем уравнения Кирхгофа I рода в виде: , где - вектор переменных типа узлового потенциала; - вектор переменных типа тока.
Покажем, как могут быть получены эти уравнения на основе полученных ранее:
(1)
(2)
Введем в граф объектов фиктивные ветви, связывающие все узлы схемы с базовым узлом. Будем считать, что проводимости этих ветвей равны 0 и значит в этих ветвях токи отсутствуют. Очевидно, что полученное множество ветвей образует дерево.
Построим теперь так называемую матрицу инциденции без учета базового узла и сравним ее с М-матрицей. При этом учтем, что фиктивные ветви оказались деревом во вновь полученном графе.
В соответствии с рассмотренным выше правилом, построим матрицу для этого графа:
М-матрица
|
к |
л |
м |
о |
н |
р |
|
|
а |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
б |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
в |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
г |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
д |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
е |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
ж |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
|
з |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
и |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
А – матрица инциденции
|
а |
б |
в |
г |
д |
е |
ж |
з |
и |
|
|
1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
Сравнивая матрицы М и А, заметим, что выполняется отношение: (3). Для графа на рисунке введенные фиктивные ветви являются ветвями дерева: (токи отсутствуют), а реальные ветви являются хордами. Таким образом, второе из топологических уравнений с учетом примет вид:
(4)
- вектор токов в реальных ветвях графа.
Используя уравнение 1, можно получить уравнение, связывающее базовые переменные ( - потенциалы в небазовых узлах или точках, вектор разности потенциалов между небазовыми узлами и базовыми) с переменными разности потенциалов на реальных ветвях дерева.
,
- разность потенциалов между i-ым небазовым узлом и базовым.
(5)
Для того чтобы учесть компонентные уравнения распределим ветви по их природе на резисторные (ветви типа R) , емкостные (ветви типа C) и индуктивные (ветви типа L) . В соответствии с этим разделением введем подвекторы: ,, - токи; ,, - падения напряжений.Очевидно, матрицу инциденции в соответствии с этим разделением можно разбить на подматрицы: . Будем теперь использовать диагональные матрицы для задания параметров соответствующих ветвей. Покажем, как можно получить результирующие уравнения математической модели системы на примере следующей электрической схемы:
Построим матрицу инциденции для этого графа:
|
1 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
-1 |
|
2 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
-1 |
+1 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
-1 |
+1 |
0 |
-1 |
+1 |
0 |
(6)
Добавим теперь к этим топологическим уравнениям компонентные:
(7)
(8)
(9)
Подставим (7), (8), (9) в (6), начинаем объединять компонентные уравнения с топологическими, в результате получим:
(11)
Как видно, (11) оказывается системой интегрально-дифференциальных уравнений. Покажем один из возможных способов сведения этой системы за счет дискретизации к системе алгебраических уравнений.
Используем для дискретного представления производной аппроксимацию Эйлера:
, где h – шаг по времени.
Тогда компонентные уравнения модно переписать в виде:
(12)
Подставляя (12) в уравнение (10), получим:
(14)
Заметим, что от природы слагаемого существенно зависит природа системы (14):
Последовательность этапов решения следующая:
Билет 2
1)
Виды мод-ия:
2)
Обычно используют так называемую М-матрицу, которую строят на основании ориентированного графа эквивалентной схемы. Дерево – это подграф исходного графа, не имеющего циклов и содержащий все вершины. Хордой графа называется такая ветвь, которая не вошла в дерево графа. Процедура формирования М-матрицы состоит в следующем:Каждая хорда графа поочередно включается в дерево. При этом образуется замкнутый контур.
Один их узлов выбирается в качестве базового. Обычно это тот узел, к которому подключено наибольшее количество ветвей. Мы выберем в качестве базового узел 3.
Нарисуем М-матрицу, столбцами которой будут ветви дерева, а строками – хорды.
|
б |
г |
д |
е |
ж |
|
|
а |
-1 |
0 |
0 |
+1 |
-1 |
|
в |
+1 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
|
к |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
|
и |
0 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
При подключении хорды «а» образуется цикл «а-в-е-ж».
Запишем уравнения вида: , где индексы «вд» соответствуют векторам, в которых собраны падения напряжения на ветвях дерева:
Распишем векторно-матричные соотношения по векторной формуле:
Эти уравнения представляют собой выражения II закона Кирхгофа:
Билет 3
1)
Реальный объект(1) - Представление исследователя об объекте(2) - Упрощающее предположение(3) - Построение расчетной схемы (4) - Выбор уравнений для описания(5) - Выбор методов решения уравнений(6) - Выбор программ для реализации(7)- Готовая комп. модель(8)
1-2 неправильное представление исследователя,
2-3 необоснованное упрощающее предположение,
3-4 неправильное отображение взаим-ия объекта с внешней средой,
4-5 неправильный выбор уравнений для описания,
5-6 некот. уравнения требуют особые методы решения,
6-7 нужно правильно выбрать программную среду,
7-8 могут возникать семантические ошибки
Тестирование : 1) сравнение рез-ов расчета с рез. Натурного экспер-та
2)
Будем использовать элемент «масса» при этом один полюс должен быть соединен с так называемым базовым узлом. Применительно такой инерциальной системой является поверхность Земли. Второй полюс элемента представляет собой собственно массу. Через него осуществляется взаимодействие с окружающей средой.
Элемент «трение» включается между контактирующими телами. Если два тела соединены упругой связью, то между ними включается упругий элемент.Внешнее усилие, приложенное к механической системе, отображается элементом «источник силы» F, которая подключается между базовым узлом и тем узлом, к которому подключен полюс «масса», подвергающийся внешнему усилию.
Эквивалентная схема для активного звена автомобиля без учета расположенного на нем груза:
Для автомобиля с массой, расположенной на нем:
Для прицепа с учетом груза:
Окончательная схема выглядит следующим образом:
Билет 4
1)
MATHCAD простой графич-ий интерфейс, понятный инженеру, если после нек-го времени возвратится к работе, то быстро адаптиреушся, невозможность создания exe модулей, слабая возможность связи с другими программами.
MATHLAB имеет 50 лет истории, включает в себя все нароботки в FORTRAN в виде открытых текстов. Есть возм-ть создания exe модулей, посредством перевода на C, FORTRAN.
2)
Часто объекты состоят из элементов, которые можно сгруппировать по определенному признаку в описывающие их уравнения. Эти элементы имеют одинаковую природу и отличаются только параметрами. Например, для рассмотренных систем группами таких элементов могли быть упругие элементы (пружины), демпфирующие элементы и массивные элементы. Такое же выделение различных групп можно выполнить и для других типов систем – электрических, гидравлических, тепловых и т.п. Каждая группа элементов в математическом плане описывается одинаковыми по структуре уравнениями. Элементы же называются компонентами, а описывающие их поведение, уравнения – компонентными. Из таких элементов различной природы, как из кубиков, можно собрать систему. Таким образом, если несколько систем состоят из одинаковых типов элементов, то они отличаются друг от друга только способом соединения этих элементов между собой, т.е. структурой. Иногда говорят о топологии системы, понимая под этим структуру. Оказывается, что в математическом плане эту структуру можно описать соответствующими уравнениями, основанными на законах сохранения, в разных типах систем эти законы имеют разную физическую природу, а уравнения, реализующие эти законы, называются топологическими.
Рассмотрим примеры элементов и, описывающие эти элементы, уравнения на примере электрической подсистемы, описывающей поступательное движение.
Элемент типа R (сопротивление). Его компонентное уравнение:
Элемент типа С (электрическая емкость). Его компонентное уравнение:
Элемент типа L (электрическая индуктивность). Его компонентное уравнение:
Элемент типа R – это элемент вязкого трения.
Уравнение массы:
Уравнение упругого элемента (пружины):
Как видно, если ввести соответствия , то уравнение вязкого затухания в механической системе окажется по форме совпадающим с элементом R в электрической подсистеме. Уравнение массы эквивалентно уравнению электрической индуктивности. Уравнение упругого элемента оказывается таким же как уравнение конденсатора.
Приведем таблицу соответствия различных типов элементов для подсистем различной природы.
|
Тип подсистемы |
Фазовые переменные |
Компоненты |
|||
|
Типа I |
Типа U |
Типа R |
Типа С |
Типа L |
|
|
Электрическая |
Ток |
Падение напряжения |
Сопротивление |
Емкость |
Индуктивность |
|
Механическая поступательная |
Скорость |
Сила |
Трение (демпфер) |
Упругий элемент (пружина) |
Масса |
|
Механическая вращательная |
Угловая скорость |
Момент |
Трение |
Крутильная пружина |
Момент инерции |
|
Гидравлическая |
Давление |
Расход |
Гидравлическое трение |
Гидравлическая емкость |
Гидравлическая индуктивность |
|
Тепловая |
Tемпература |
Тепловой поток |
Тепловое сопротивление |
Теплоемкость |
----------- |
Билет 5
1)
Во многих случаях при моделировании механических систем приемлемы предположения о том, что масса системы сосредоточена лишь в конечном числе точек, соединенных между собой элементами типа пружин (элементы, накапливающие потенциальную энергию) и типа "демпфер" (элемент, рассеивающий энергию), в этом случае математическая модель, описывающая повеление рассматриваемой системы представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Рассмотрим следующий пример.
x1(t) и x2(t) – смещение относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы; C1 и C2 - жесткости пружин
x2(t)
x1(t)
C2
C1
M2
M1
По гладкой плоскости без трения под действием внешней силы, изменяющейся во времени по закону P(t), движутся два груза (рис.1).
Для построения математической модели следует воспользоваться уравнениями Лагранжа 2-го рода, которые приводят к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [1].
Здесь x1(t) и x2(t) - смещения относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы;
- скорости смешений относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы, где t - время;
Т - кинетическая энергия системы; П - потенциальная энергия системы.
В качестве 1 - й и 2- й степеней свободы примем x1 и x2.
Выполнение этого этапа базируется на использовании знаний курса теоретической механики. Подробности можно найти в книгах [1,2]. Результатом выполнения этого этапа являются уравнения. движения механической системы.
Системы с рассредоточенными параметрами- в этой ситуации неизвестные величины(напр. Перемещение точек) являются уже функ-ми нескольких переменных. Поведение таких систем чаще всего описывается ДУЧП.
Виды:
1)Метод граничных элементов
2)Метод конечных элементов
3) Метод сеток.
2)
В зависим-ти от степени детализации разделяют микроуровень, макроуровень, метроуровень. На макроур математические модели явл-ся моделями с сосредеточ-ми параметрами,системы мысленно разделяют на мелкие подсистемы-элементы и рассматривают взаимод-ие этих элементов,при этом мы пренебрегаем некоторыми связями между различными точками разных элементов, считая что сами элементы контактируют лишь в ограниченном числе точек, поэтому ур-ия описывающие их поведение ОДУ(если поведение зависит от времени), или системами трансцендентных (если не зависят от времени), описание моделей микроуровня происх с пом ДУЧП, (МКЭ, МГЭ, метод конечных разностей, метод граничных интегральных условий)
Билет 6
1)
m*X''+C*X'+r*X=P(t)
x(t0)=x0
x'(t0)=x'0
введем новую систему функций: z1=x z2=x'=z'
старшую производную уединяем в правой части X''=(P(t)-C*X'-r*X)/m
получаем систему: z2'=(P(t)-C*X'-r*X)/m
z1'=z2
начальные условия z1(t0)=x0 x2(t0)=x'0
если есть система ОДУ из r уравнений порядка n1 n2 n3… nr, то ее можно свести к системе нормализованной форме Коши, кот. Будет содержать n1+n2+n3+…nr уравнений 1-го порядка
2)
Для эрмитова сплайна если в Е[a,b], f(r) r=1,2,3… имеют разрывы 1-го рода ,то 1. Следует включить точку Е в число узлов 2. Соседние с этим узлы выбрать так, чтобы они были достаточно близки к Ею
при вычислении эрмитова сплайна при наличии ошибок в исходных данных нельзя строить слишком густые сетки.
Эрмитов и кубический сплайн дефекта 1 имеют плохое свойство асцилляции, чтобы уменьшить ее нужно выбирать в точках излома близкие узлы. При использовании параметрического рационального сплайна 1. Для прямоль\инейного участка p=q=103 104 в этом случае достаточно по 1-му узлу на концах участка 2. Для дуги вкружности p=q=-0.29
Билет 7
1)Процедуры решения ДУ в среде MATHCAD. Примеры соответствующих документов MATHCAD.
m+kx=0 <=> = ((-k)/m)*x <=> с-ма подготовленная к решению
y0=x(t) y1=(t) t-независимая переменная x(t) – неизвестная ф-я
M: = 1 k:=5 tbegin:=0 tend:=10
h:=0,2 шаг по времени N:=(tend-tbegin)/h - количество шагов
D(t, y):=() – определили ф-ю с именем (дельта (написать значек ;) ) от 2-х параметров,описывающих с-му ур-ий.
y-вектор t- должен стоять переметр описыв. Независим вектор.
y0- первая компонента вектора y; y1- вторая компонента вектора y;
yBEGIN:=() – вектор начальных условий; -5 -> x в момент времени t0; 4,5 -> x в момент времени t1
S:Rkadapt(YBEGIN,tBEGIN,tEND,N,D), Rkadapt – имя встроенной процедуры для решения с-мы ур-ий методом Ронгекута с адаптацией шага.
Для вывода значений S пишем «S=» правее или ниже S:=Rkadapt(…..)
Для того чтобы отобразить реш в виде графиков:
S<1>
S<2>
S<0>
Изменения перемещ. к скорости в завти от времени; rfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом
2)Рациональный сплайн – разновидность обобщенных кубических сплайнов. Эти сплайны позволяют более эффективно учитывать точки излома ф-ции, отслеживать большие градиенты в исходной кривой, хорошо учит-ть выпуклости и вогнутости кривой эти сплайны позволяют исключить асцилляции на прямолинейных участках.
Рац сплайн - это ф-ция Sr(x) которая
1. На каждом [xi xi+1] имеет вид
Sr(x)=Ait+Bi(1-t)+Cit3 /(1+p(1-t))+Di(1-t)3/1+qit p,q – заданные параметры сплайна
2. Sr(x)=C2[ab] непрерывна вместе со своей второй производной на ab
Чтобы определить S(x) нужно определить A B C D. Сплайн называется интерполяционным если Sr(x)=fi , i=0,N. Для построения рац сплайна нужно задать краевые условия, далее выражают A B через C D, используя условие непрерывности сплайна слева и справа от точки, далее чтобы найти C D используют условие непрерывности производной первой и второй в точках слева и справа, найдя ABCD строим сплайн.
Билет 8
1)
q1,q2 обобщенные перемещения. Считаем что они отсчитываются от неподвиж. Поверхности, соответствующей статическому равновесию системы.
Выражаем удлинения пружин и скор удлинения демпферов
Составляем выражения для кинетической энергии системы
Составляем выражение для потенциальной энергии системы
Составляем выр-ие для диссипативной функции
Вычисляем частные производные уравнений лагранжа dT/dq, dT/dq' dП/dq dФ/dq'
Подставляем их в ур-ие лагранжа dT/dq'=Q(t)- dП/dq- dФ/dq'
Устанавливаем начальные условия.
2)
Обобщенный кубический сплайн –сплайн, кот при определенных значениях входящих в него параметров переходит в обычный кубический. При этом многие задачи интерполирования решаются с их помощью лучше. Одно из достоинств этих сплайнов простота реализации на ЭВМ. Например рациональный сплайн при p=q=0 превращается в кубический, а полученные системы относительно m переходят в соответствующие системы для кубического сплайна.
Билет 9
1)
шаговые методы решений
Интервал интегрирования разбивают на подинтервалы с каким-то шагом. Шаг может менятся или быть постоянным. Если разработать способ получения решения в конце заданного шага, по известному значению решения в нач шага, то можно использовать его в цикле по шагам. Поэтому вся задача сводится к получению решения для шага. Но при этом будет существовать локальная погрешность она будет зависеть от метода построения приближ-го решения и от величины шага. у(с волной)+О(hn+1)=y(x1). О- величина того-же порядка что hn+1 величина n зависит от метода построения решения и называется порядком метода. Существуют след методы метод эйлера(усовершенствованный МЭ,метод рунге-кутта, метод одной шестой)
2)
Этот сплайн представляет собой совокупность двух Эрмитовых сплайнов.
(7)
- производная по S от x(S) в точке Si.
Для возможности вычисления по формуле (7) необходимо определить .
Поскольку в реальных задачах информация о наклонах обычно отсутствует, то, как и в случае обычного Эрмитова сплайна , заменим их приближенными значениями.
Поскольку точное значение параметра вычислить невозможно, то будем строить Эрмитов сплайн близкий к сплайну 7 в некотором смысле.
Во-первых, для описания сплайна введем параметризацию по суммарной длине хорд.
где
Во-вторых, точные значения производных заменим по приближенным разностным формам.
(8)
(9)
(10)
где
Эти формулы используются в том случае, если кривая не замкнута. Если кривая замкнута, то вместо формул 8 и 10 используем:
(11)
Рекомендации по выбору узлов:
1. Следует выбирать узлы так, чтобы (то есть, чтобы длины звеньев были практически одинаковы);
2. В точках излома кривой следует вводить по два близких узла. В этом случае будет снижена асцилляция кривой, заключающаяся в том, что сплайн сильно уклониться от истинной кривой.
Билет 10
1)
Метод Эйлера и его модификации для решения ОДУ
Если заменить площадь криволинейной трапеции, представляющей собой величину этого интергала, например, на площадь прямоугольника
y0
X
y=y(x)
Y
- Ф-ла Эйлера реализующая метод Эйлера. Можно показать, что локальная погрешность этой ф-лы , т.е. метод Эйлера является методом 1-го порядка точности.
X0
X1
α0
h
Δy
y(x1)
Модификации метода Эйлера
h
α0
α1
y0
x0
x1
x
y
y0
Можно показать, что погрешность этой ф-лы – – метод 2-го порядка. Точность увеличивается на порядок, но приходится ещё раз обращаться к правой части ДУ
Усовершенствованный метод Эйлера
α0
α1
x0
x1
y0
Сначала вычислим
Метод с погрешностью
2)
Интерполяция кривых локальными сплайнами.
Пусть имеем кривую, известны только координаты точек . В этом случае уже не выполняется условие упорядоченности абсцисс, которое было обязательным при построении приближающих полиномов или сплайнов для обычной функции. Однако и в этом случае можно развить аппарат интерполяции сплайнами плоских или пространственных кривых.
Поступим следующим образом, введем естественную параметризацию кривой.
S – в данном случае это длина дуги, отсчитываемая от точки . Тогда углу будет соответствовать единственное значение .
- общая длина кривой. Рассмотрим интерполяционный сплайн первой степени.
(1)
где
Геометрически такой сплайн представляет собой ломаную, состоящую из кривых, соединяющих между собой точки:
Из условия (1) можно получить
(2)
где , а производная взята по параметру t. Как видно, это отношение представляет собой тангенс угла наклона звена сплайна:
В этом случае, если звено сплайна параллельно оси y.
t - безразмерный параметр, который изменяется от 0 до 1.
Отметим интересное свойство сплайна, которое заключается в том, что тангенс угла наклона не зависит от S. Положение точки определяется параметром t , изменяя значение которого от 0 до 1 можно получать промежуточные значения на звене сплайна.
Как видно на этом примере (формула 1) параметрический сплайн первой степени в случае плоской кривой представляет собой пару обычных сплайнов. Один для координаты x,а второй для координаты у. В качестве независимой переменной выступает S. Если кривая пространственная, то добавится такая же формула для координаты z.
t=(S-Si)/li
Билет 11
1)
Методы типа Рунге-Кутта для решения ОДУ
Интервал интеграла [x, x+h] t ϵ [0;1] t=x+αh
x
t
x
x+h
0
t
1
введем 3 набора параметров:
α1 α2 α3… αq
β10
β20,β21
⁞
βq0,...βq,q-1
A0, A1, …, Aq
ф0=hf(x,y)
ф1=hf(x+ α1h;y+ β10 ф0)
ф2=hf(x+ α2;y+ β20 ф0+ β21 ф1)
⁞
фq=hf(x+ αqh;y++ βq0 ф0+ βq1 ф1+ βq,q-1 фq-1)
Каждая из ф вычисляется на основе предыдущих ф. заметим
Погрешность этой замены
далее разложив это выражение по формуле Тейлора в окрестности 0,
будем добиваться равенства (*) для как можно большего числа j. В этом случае погрешность будет определятся остаточным членом . Добиваться этого можно варьируя наборы А,α,β, при этом чем больший набор мы возьмём, тем большее кол-во равенств (*) удовлетворим. При этом величина k в остаточном члене - порядок точности метода.
Метод 1-го порядка точности:
q=0, тогда А0=1, тогда , тогда получилась формула Эйлера.
Метод 2-го порядка точности:
q=1, α1, β10, A0, A1 получаем след систему
пусть А1 =0,5, тогда А0=0,5 α1=1 β10=1 и ф-лы для
и получаем
это усоверш метод Эйлера, при выборе А1 =1 мы придем к модифиц методу Эйлера.
2)
(начертить кривую от а до b разбить ее на подинтервалы, дальше записать)
=0.5
=0.5
Билет 12
1)
Метод 1-6
2)
Кубический сплайн дефекта 2 (или сплайн Эрмита).
Сплайн на интервале является кубическим полиномом
(2)
и на всем интервале имеет непрерывную производную.
Для определения коэффициентов в формуле (2) используем условие прохождения сплайна через узлы, то есть
(3)
Добавим к ним условия непрерывности в узлах:
(4)
где - тангенс угла наклона сплайна.
Условия (3) и (4) образуют систему линейных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов . Если решить эту систему и подставить значения коэффициентов в формулу (2), то получим следующий вид:
(4)
где - длина интервала, а - полиномы Эрмита.
Как видно из формулы (5) необходимо знать кроме значений и наклон в узле. В практических задачах наклоны обычно неизвестны. В этом случае поступают так: эти наклоны предварительно вычисляют по формулам приближенного дифференцирования.
Без вывода приведем формулы для вычисления этих наклонов. Во внутренних точках интервала формулы имеют вид:
(6)
где
Для крайних точек формулы имеют вид:
(7)
(8)
где (9)
Билет 13
1)
Граничные задачи это когда условия задаются на границах, например для левого конца балки задано перемещение на 1, а для правого угол поворота 45.
в отличие от других задач сдесь условия задаются не только при х=0, но и при х=L.
Метод стрельбы:
αтек
α
h1
0
L
hтек
h
x
y
Пусть есть задача: на высоте h расположено орудие, выстрел из которого должен попасть в точку на высоте h2 на расстоянии L от орудия, усли считать что траектория описывается ф-ей y(x), то y(0)=h1, y(L)=h2. Если y(x) решение ДУ, то мы имеем граничную задачу для этого ДУ. Располагая орудие под разными углами, мы будем изменять hтек. Тогда идея для метода пристрелки в том, чтобы подобрать угол, чтобы выполнилось необх условие. Меняя углы мы будем подбирать такой угол. y(L)=h2 эквивалентно y'(x) (при х=0)=tgα
И тогда мы граничную задачу заменим начальной. В этом и заключается идея метода пристрелки.
2)
Интерполирование сплайнами.
Классическая полиномиальная интерполяция имеет следующие недостатки:
От этих недостатков свободна интерполяция с помощью сплайнов. Термин сплайн появился следующим образом. При создании чертежей кораблей на английских верфях чертежники для того, чтобы провести плавную линю через заданные точки использовали тонкие гибкие рейки, подвешивая к ним грузы так, чтобы рейки прошли через систему точек. Эти рейки наз. сплайнами. Поэтому сама идея, переложенная на матем. язык, наз. теорией сплайнов.
Фактически выполнялась интерполяция таблицы с помощью полинома третьей степени.
Действительно, как известно из курса сопротивления материалов , дифференциальное уравнение изогнутой балки (в нашем случае гибкой рейки) имеет вид:
(1)
Если к балке приложены силы, то .
Интегрируя дважды уравнение (1), получим кубический полином:
где индексы у коэффициентов соответствуют номеру участка. Выходит, что на каждом участке уравнение изогнутой линии – это кубический полином со своими коэффициентами. При этом в точках сочленения участков, в силу того, что сплайн непрерывен и загибается без заломов, полиномы сгибаются по значениям и углам наклона. Этот факт был положен в основу идеи полиномиальной интерполяции.
Дадим определение сплайну. Функция называется сплайном степени n дефекта (n и - целые числа) если:
Кусочные полиномы на каждом интервале называются звеньями сплайна, а условия непрерывности производных называются условиями стыковки звеньев.
- непрерывная кусочно-линейная функция.
- количество независимых производных;
(1)
где , а - длина интервала.
Сплайн первой степени относится к так называемым локальным сплайнам. Это означает, что для построения сплайна на участке достаточно информации о значении функции.
Билет 14.
1)
Пусть задана балка с
у0=1 смещение левого конца
у1=0 угол повороты левого конца
у2=0 смещение левого конца
у3=0 угол поворота левого конца
предварительные начальные условия для левого конца балки (3 и 4 условия)
невязка пробного вектора решений
начальные условия на левом конце балки. у0,у1 – заданные
v0,v1 - подбираемые
вектор правой части системы ДУ
обращение к процедуре подбора недостающих условий
вектор начальных условий на левом конце балки
REZ:=rkfixed(begY,a,b,N,D) (отображаем по OX – REZ<0>, а по OY – REZ<1>)
0
REZ<0>
1
REZ<1>
1
2) Алгоритм прогонка состоит из двух частей: прямого и обратного хода. В прямом ходе сначала задаются начальные данные (например p q для рационального сплайна), затем по формулам вычисляют прогоночные коэффициенты pi qi .
В обратном ходе по формулам вычисляют «моменты» сначала Мn а потом по цепочке все остальные, а по этим моментам на каждом интервале уже можно построить сплайн для каждого участка. Метод прогонки не приводит к накоплению ошибок округления при вычислениях, такие методы называются численно-устойчивыми.
Билет 15.
1)
Оценка погрешности решения ОДУ. Способ Рунге для оценки такой погрешности.
При численном решении любой задачи возникает 2 вопроса:
Чем большей точности требуется достигнуть, тем большее количество времени придется потратить на вычисление. Сущ. Определенные задачи, для которых приемлимая точность не может быть получена некоторыми классами методов.
Приемлемо к ДУ, проверить точность полученного решения можно с использованием некоторых способов:
Способ Рунге для оценки такой погрешности.
Предполагает, что на зад. интервале решение выполняется с постоянным по величине шагом, а затем решение выполняется с удвоенным по величине шагом H=2h. Пусть при этом используется метод m-го порядка точности. Тогда на отдельном шаге h величина локальной погрешности составит: .
Предполагаем, что c шагом h выполняется 2n шагов, тогда Н→n.
Предположение на котором основан метод Рунге заключается в том, что на отдельном шаге погрешность равна:
- приближенное решение в конечной точке tk после 2n шагов величины h.
- приближенное решение в точке tk после n шагов величиной H=2h.
Y2n – неизвестное решение.
Считая на каждом шаге погрешность одинаковой, можно записать:
При вычислении с удвоенным шагом:
Система двух уравнений с двумя неизвестными A и Y2n. Решая, получим:
В частности для более распространенного метода Рунге-Кутта 4-го порядка (m=4):
На этом подходе основаны алгоритмы с адаптацией шага:
Решение меняется быстро, а область медленно. Для того, чтобы с достаточной точностью отследить быстрое изменение решения на 1 участке потребуется достаточно малый шаг. При выходе на 2 участок такой малый шаг уже не нужен, т.к. решение меняется гораздо медленнее. Управление величиной шага можно поручить программе, которая должна по истечению нескольких шагов отслеживать точность решения и если погрешность достаточно мала, увеличивать шаг(например вдвое), если велика дробить шаг.
Критерием будет:
2)
Сплайны. История возникновения. Понятие о звене сплайна.
При создании чертежей кораблей чертежники для того, чтобы провести плавную линию через заданные точки использовали тонкие гибкие рейки подвешивая к ним грузы, так чтобы рейки прошли через эту систему точек. Рейки назывались сплайнами. Сама идея переложения на математический язык называется теорией сплайнов.
Недостаток алгебраического интерполирования заключается в том, что при увеличении количества узлов – увеличивается степень интерполирования полинома, соответственно увеличивается время затрачиваемое на вычисление. Кроме того за счет большого количества операций умножения и сложения может накапливаться вычислительная погрешность. От этих недостатков свободно интерполирование с помощью сплайн. При этом на каждом подинтервале приближение проводится с помощью полинома фиксированной степени.
Вид каждого из таких полиномов отличается друг от друга (у низ разные коэффициенты), но эти полиномы должны стыковаться в одних точках подинтервалов имея одинаковые значения и может быть одинаковые производные до некоторого порядка включительно.
Т.о. при ьтаком подходе возникают следующие преимущества: 1) степень полинома не зависит от числа узлов 2) можно показать, что увеличения числа узлов приводит к стремлению погрешности к нулю.3) при низкой степени полинома время интерполирования уменьшается. Такой способ интерполяции называется кусочно-пономиальным.
Касочные полиномы образующие сплайн называются звеньями. Условие непрерывности в произвольных узлах – условие нестыковки звеньев.
Билет 16
1)
Понятие о жестких дифференциальных уравнениях. Процедуры для решения таких уравнений в среде MATHCAD.
Существует ситуации, когда в соответствии с физическим содержанием задачи в решении присутствует несколько составляющих, имеющих существенно различные временные const в том смысле, что одни составляющие быстро изменяются по сравнению с другими.
Видно, что во 2-ой зоне вклад в решение 2-ой и 3-ей составляющей незначителен. Но для того, чтобы правильно отследить эти составляющие в 1-ой зоне потребуется достаточно мелкий шаг на всем интервале наблюдения. Такие задачи накладывают жесткие ограничения на величину шага интегрирования.
Рассмотрим следующую систему уравнений:
Через небольшое время наблюдения:
Если попытаться решить эту задачу методом Эйлера:
h=0.01 t=t0+h=0.01
u1=1+0.01(998+1998) = 30.96
v1=1+0.01(-999-1999) = -28.98
Если продолжить процесс интегрирования для следующих шагов, то расхождения окажутся еще больше. Этот пример показывает, что существуют задачи, для которых стандартные методы решения не подходят. Это пример жестких ДУ. Для решения этих задач разраб. специальные методы Гира И Пурлиж-Штерна.
2)
Использование обратного интерполирования для решения уравнений.
Пусть корень f(x)=0 уединен на [a, b]. Предположим f(x)=0 – монотонная на [a, b]. Ну если это так , то к ней существует обратная x=F(y).
Если на [a, b] задана таблица для y=f(x),
|
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
y1 |
y2 |
… |
yn |
то таблица
|
y1 |
y2 |
… |
yn |
|
x1 |
x2 |
… |
xn |
будет соответственно таблицей для x=F(y), тогда по второй таблице можно построить интерполируемый полином x=Ln-1(y). Тогда подставим и получим приближенное значения искомого корня x=Ln-1(0).
Билет 17
1)
Классификация методов решения ОДУ.
Рассмотрим наши методы относительно к так называемым шаговым (пошаговым) методам интегрирования ОДУ.
Шаг интегрирования может быть постоянным или переменным. Мы рассмотрим такие методы, где для получения решения в очередной момент времени нам требовалось знать решение только в предыдущий момент времени. Такие методы называются одношаговые.
Существуют методы, в которых для построения решения в данный момент времени нужно знать решение задачи в нескольких предшествующих моментах.
Многошаговый метод:
Многошаговый метод не может начать работу по известному лишь в одной точке начальному условию. То есть для его разгона требуется предварительно запустить какой-то одношаговый метод и с его помощью подготовить решение в нескольких точках. Эти методы еще называются несамостартующими или несаморазгоняющими.
В рассмотренных нами методах значение неизвестного решения выражалось в явном виде через решение в предшествующих точках. Поэтому такие методы называются явными.
Существуют и другие методы, где yi+1 – неизвестное решение – является решением какого-то уравнения, чаще всего нелинейного, связанного с видом правой части ОДУ, т.е. неизвестное решение неявно входит в какую-то зависимость. Такие методы называются неявными. В них дополнительно дополнительно придется решать дополнительное уравнение, в общем случае трансцендентное. Обычно такие уравнения решаются методом Ньютона. Такие методы имеют повышенную точность и соответственно позволяют значительно увеличить шаг по независимой переменной.
2)
Метод Мюллера для решения трансцендентных уравнений.
Пусть исходная функция f(x) задана аналитически на интервале [a,b] и её значения могут быть вычислены в нужных точках. Пусть f(x)=0 – корень этого уравнения уединен на интервале [a,b], тогда по значениям этой функции в узлах строят интерполяционный полином, находят его корень на этом интервале и считают, что он приблизительно равен корню уравнения на этом интервале.
Обобщением этого метода является метод Мюллера, где на [a,b] берутся три узла и по ним строится полином второй степени:
Если корней 2, то в качестве х4 выберем тот, который ближе к х2. Через точки х2, х4, х1, как через узлы проводим другую параболу. х5 – очередное приближение формул. Продолжаем операцию до тех пор, пока
Билет 18
1)
Понятие о методах типа Монте-Карло.
В 1943г. в исследовательских лабораториях Лос- Анджелесе при разработки ядерной бомбы возникла задача об определении глубины проникновения электронов в заданное вещество. Решить её не удалось. Тогда Станислав Улом и Ждон фон Нейманом предложили подход основную стратегию, которую используют игроки при игре в кости. Эта стратегия была стратегия была основана на поведении случайных величин. По имени города- это метод получил название Монте – Карло. В дальнейшим по традиции многие методы стали называться метод Монте – Карло.
Изобразим схему метода.
Заметим, что этот подход может использоваться, как для моделирования явлений имеющих в своей основе поведение случайных величин (такие величины называются - стохастическими) так и для явлений процессов, где случайные величины не присутствуют (детерминированные).
2)
Области использования интерполирования.
У нас задачи интерполирования заключались в том, чтобы в узлах совпадало только значение функции. Понятно, что аналогичную задачу можно сформулировать выдвигая требования, чтобы в узлах совпадали ешё и значения производных. Если говорить только о первых производных, то задача решается с помощью полином Эрмита, которые будут аналогами базисных функций. Кроме того в некоторых ситуациях нужно выполнять интерполяцию для функции нескольких переменных.
Идея интерполирования лежит в основе многих методов приближенных вычислений:
1) приближенные вычисления функции
2) численное интегрирование
Т.е. подинтегрированную функцию f(x) заменяют интерполяционным полиномом, а затем от него вычисляется определенный интеграл. Операция приближенного интегрирования основана на этом подходе достаточна точна.
Тоже справедливо и для функций заданных таблично:
3) Численное дифференцирование
К сожалению эта операция имеет приближенную точность:
4) Численное решение алгебраических и тангенциальных уравнений:
Пусть исходная функция f(x) задана аналитически на интервале [a,b] и её значения могут быть вычислены в нужных точках. Пусть f(x)=0 – корень этого уравнения уединен на интервале [a,b], тогда по значениям этой функции в узлах строят интерполяционный полином, находят его корень на этом интервале и считают, что он приблизительно равен корню уравнения на этом интервале.
Билет 19
1)
Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.
В 18в. француз Граф Бюффон прадложил для вычисления с произволбным количеством знаков использовать наблюдение за следующим процессом.
Тонкая игла длинной 2l бросается случайным образом на поверхность разлинованную с шагом 2d.
Тогда ситуация пересечение иглы с линией будет соответствовать тому, что точка с координатой () будет лежать в заштрихованной области.
Рассмотрим углы от 0 до в силу симметричности.
Таким образом рассмотрим прямоугольную область .
И рассмотрим область лежащая ниже , то вероятность возникновения пересечения будет равна отношению . В математическом плане если выбираем без предпочтения координату от 0 до и координату y из интервала , то это соответствует произвольной точки , и если выполняется условие , то точка будет находиться в точке.
Величины:
=
=
Тогда .
Как известно при увеличении следует что: , где есть частота появления события.
При увеличении n получаем значение с большим количеством знаков.
Реализация в Mathcad: runif(a,b,N) – выдаёт n случайных величин с равномерном законом распределения. На отрезке от 0 до W – rnd(W).
Алгоритм:
1.Задать число экспериментов n и ограничить цикл от 0 до n(что будет соответствовать n опытов).
2.Обращаемся к функции runif(0,,N).
3.Генерировать случайные величины от 0 до t.
4.Проверить выполнения неравенства . Если выполняется то n+1.
5.После проверки используем функцию
2)
Тригонометрическая интерполяция.
Алгебраическая интерполяция в качестве базисных функций использует мономы. Если же интерполируемая функция является периодической, то уместно в качестве базисных функций выбирать периодические функции. Будем рассматривать ситуацию, когда f(x), которую следует приблизить является периодической на интервале [a,b]. Пусть узлы являются равностоящими, т.е.:
В качестве базисных функций используем: cos 0x, sin 0x, cos 1x, sin 1x,………cos kx, sin kx.
Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполируемого полинома вида *(1) , удовлетворяющего условию:. Можно показать, что коэф-ты интерполяционного полинома
Удовлетворяют условию *(2) вычисленных по формулам:
Достаточно строгого класса функции, чтобы утверждать, что при увеличении N ошибка интерполирования стремится к нулю. Формулы *(4) можно распространять и на функции интерполирования на случаи периодической функции на отрезке [a,b] с периодом
Билет 20
1)
Вычисление площадей и объемов с использованием случайных величин.
Подход использованный в задаче Бюффона можно распространить на вычисление площадей и объемов произвольных областей.
В этом подходе по умолчанию подразумевается возможность:
Приведем пример документа Mathcad
ФайлMathcad
Задаем число экспериментов:
Изобразим обращение к этой процедуре:
2) О наилучшем выборе узлов интерполирования.
зависит от расположения узлов на интервале интерполирования. Для сравнения приведем значения и соответствующей таблицы: ln(2,5)=0,9163. Пусть f(x) – интерполируемая функция. Заменим эту функцию полиномом Лагранжа: f(x)=Ln-1+R(f,x). R(f,x) – остаточный член формулы Лагранжа, который представляет собой погрешность метода интерполяции. При выполнения вычисления, результаты отдельных арифметических операций округляются или отсекаются из разряда, поэтому при построении интерполяционного полинома кроме погрешности метода будет присутствовать еще вычислительная погрешность. Можно доказать следующие утверждение: если функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполирования x1, x2, …., xn, то такая что , где wn(x)=. Пусть Mn=, . Понятно, чтобы использовать эту теорему нужно иметь возможность взять производную . Интерполяционный полином можно построить единственным образом по данным таблицы. Остаточный член R(f,x) всегда имеет один и тот же вид. Возникает вопрос: Можно ли выбрать такое количество узлов на интервале интерполирования, чтобы wi(x) имело наименьшее максимальное значение на интервале (a,b) из всех возможных? Чебышев доказал, что наилучшим выбором узлов будет следующий:
В этом случаи:Узлы хi не являются равностоящими, а сужаются у концов интервала интерполирования
Билет 21
1)
О выборе количества экспериментов для получения заданной степени точности при использовании случайных величин.
В наших рассуждениях мы считали, что количество N позволяет обеспечить достаточную степень точности. Сколько же таких экспериментов нужно провести:
Для применении на практике нужно задать определить m и рассчитать вероятность p.
Если эта вероятность устраивает, то можно гарантировать, что подходит. Если не устраивает, то увеличиваем n.
О генераторах СВ. Пока что считали, что у нас имеются такие программные средства, позволяющие генерировать СВ с заданным законом распределения. На самом деле такие СВ могут быть получены только аппаратным путем (например, с использованием датчика, считающего кол-во α-частиц, вылетевших в единицу времени из радиоактивного образца).
В настоящее время в вычислительных машинах такие физические датчики отсутствуют. Они заменены специальными программами, которые генерируют псевдослучайные последовательности, т.е. цепочки чисел, начиная с определенного номера, повторяются. Вопрос лишь в том, насколько длинными они являются.
2)Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.
Интерполяционная формула Лагранжа это один из наиболее распространенных способов построения интерполяционного полинома. Пусть имеем функцию:
зависит от расположения узлов на интервале интерполирования. Для сравнения приведем значения и соответствующей таблицы: ln(2,5)=0,9163. Пусть f(x) – интерполируемая функция. Заменим эту функцию полиномом Лагранжа: f(x)=Ln-1+R(f,x). R(f,x) – остаточный член формулы Лагранжа, который представляет собой погрешность метода интерполяции. При выполнения вычисления, результаты отдельных арифметических операций округляются или отсекаются из разряда, поэтому при построении интерполяционного полинома кроме погрешности метода будет присутствовать еще вычислительная погрешность. Можно доказать следующие утверждение: если функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполирования x1, x2, …., xn, то такая что , где wn(x)=. Пусть Mn=, . Понятно, чтобы использовать эту теорему нужно иметь возможность взять производную . Интерполяционный полином можно построить единственным образом по данным таблицы. Остаточный член R(f,x) всегда имеет один и тот же вид.
Билет 22
Ω
U(X,Y,Z)
1)
Метод Судзуо-Какутани для решения граничных задач теории потенциалов
Понятие граничных задач:
Пусть имеется некоторая область Ω. Поведение сплошной среды внутри этой области описывается какими-то уравнениями, чаще всего это ДУ в частных произв. Неизвестн в этих уравнениях явл функция U(x,y,z). При этом на границе области известны либо значения самой функции либо производные от нее или какие-то их комбинации. Совокупность ДУ в частн производн кот-ым подчин неизвестн функция и граничн усл-я наз-ся граничной задачей.
Решением граничной задачи наз-ся такая ф-я кот удовлетв и ДУ и граничн усл-ям.
Связь методов решения граничных задач со сложностью границ области.
|
Сложность границы |
Методы решения |
|
Границы простейшие (прямоугольник, круг) |
Аналитические |
|
«Стандартные» гран. Состоящие из плоскостей, цилиндрич поверхностей, конических |
Метод конечных эл-ов, метод конечных разностей, метод граничных эл-ов, метод сеток |
|
Запутанные границы |
Методы типа Монте Карло, Судзуо-Какутани |
(x2,y2)
h
h
(x0,y0)
(x1,y1)
Понятия о случайных блужданиях:
Рассм след процесс:
Из произвольной точки (x0,y0) в случайном направл выполн шаг заданной величины. Из вновь получ точки опять в случайном направлении выполн шаг такой же величины и т.д. Если рассм много шагов такого проуесса, то появляется картина так назыв случайн блужданий. Такими процессами описыв бройновское движение частиц и др физических явлений.
Оказывается что расст А от точки блужд до текущей заваисит от кол-ва шагов по закону
A(h)=C Это означает что с цыеличением кол-ва шагов рано или поздно будет достигнуто любая сколь угодно удаленная от начала блуждания. Обратите внимание что здесь присутствует закон квадратного корня.
Понятие о граничных задачах теории потенциала:
Предположим что неизвестная функция в граничн задаче должна подчиняться уравнению:
Оказывается что ф-ии подчин этим ур-ям (они наз-ся гармоническими) обладают след св-ом.
Решение в U(x0,y0) будет средним значением по любому замкнутому контуру Гε при малых диаметрах Гε окрестности. Такие ф-ии наз-ся потенциальными, они описывают задачу о распределении эл. Заряда в какой-то области. К тому типу задач относится следующее:
1-задача о распределении температур в теле при заданных значениях температуры (или конвекции тепла на пов-ти).
(x0,y0)
гε
Ω
2-задача о перемещении точек сеч-я стержня при кручении
3-задача о распределении заряда.
Особенность этих решений задач теориипотенциала и положенного в основу метода случайных блужданий обоснованным японским математиком Судзуо-Какутани. Поясним ее на примере плоской пластины на краях которой температуры известны, а температуру в произв точке пластины нужно найти.
T1(x0,y0)
T(x,y) – неизвестная функция распределения температур внутри пластины.
T2(x0,y0)
(x0,y0)
Ω
ГΩ
ɥ(x,y)
T(x0,y0)-?
T(x0,y0)=
Рассмотрим получение координат конца очередного шага
y0
(x0,y0)
α
h
(x1,y1)
y1=y0+hsinα
hcosα
y1
Угол альфа выбирается случайно по случайному закону распределения из интервала от нуля до 2-х пи.
2)
Интерполяционная ф-ла Лагранжа – один из наиболее распространенных способов построения интерполяционного полинома.
Введем предварительно в рассмотрение так называемые полиномы влияния .
Этот полином должен удовлетворять следующим условиям:
Очевидно, что полином степени (n-1) , равный нулю во всех узлах кроме i- того, имеет вид:
Остается определить константы С из условия
Полином Лагранжа обычно обозначают .
Очевидно, что
Рассмотрим два частных случая полинома Лагранжа:
Тогда интерполирующий полином будет выглядеть
Это так называемый случай линейной интерполяции, поскольку данное уравнение - это уравнение прямой.
Такое приближение называется параболическим или квадратическим (так как данное уравнение- уравнение параболы).
Рассмотрим пример.
Пусть задана таблица
Билет 23
1)
Понятие о конкурирующих стратегиях
Рассмотрим след. ситуацию.
В начале дня на маршрут выходит автобус, он полностью исправен, при выполнении рейса может возникнуть незначительная поломка при этом эту поломку можно устранить но для этого придется пропустить рейс а можно авпустить автобус в рейс с незначительной поломкой но приэтом может возникнуть критическая поломка когда автобус не сможет выполнять рейсы до конца дня. Пусть вероятность маленькой поломки «a», а критической «b».
Предположим в день запланировано n рейсов и всего должно быть m дней. Возникает вопрос какая из стратегий эксплуатации автобуса окажется лучшей, в том смысле что средн кол-во рейсов в день будет больше.
Эти стратегии называются конкурирующими. Очевидно что подобную задачу можно сформулировать и для др. объектов, напр, для метеллообр станка. Впервые такая задача была сформулирована Крайзоном и Марзаном. С помощью сложных математических выкладок им удалось получить аналогичн решение этой задачи. Однако при небольшом усложнении условий или др формулир стратегий получать аналогичные решения практически не удается. В тоже время козе понятно что можно легко сформулир алгоритм и составить соотв прогр для моделирования этих стратегий на компьютере.
– среднее число рейсов в день при первой стратегии
N – число запланированных рейсов
a – вер-ть незначительной поломки
– среднее число рейсов при 2-й стратегии
N –число запланированных рейсов
a – вероятность незначительной поломки
b – вероятность критической поломки
2)
Алгебраическое интерполирование.
Алгебраическое интерполирование – это вид приближения, если приближенную функцию обозначить , то для таблицы из n точек , необходимо потребовать выполнения условия:
Понятно, что в такой общей постановке решением задачи может оказаться бесконечное решение функций, поэтому, чтобы сделать задачу определенной, необходимо сузить класс подбираемых функций. Как было рассмотрено выше, при наличии определенной информации следует подбирать приближенную функцию так, чтобы она согласовывалась с приближаемыми данными.
Если же такой информации нет, то одним из способов выбора является выбор полинома в качестве приближаемой функции. В этом случае интерполяцию называют алгебраической.
Будем искать интерполянт в виде полинома степени не выше(n-1).
(1)
Тогда условие (1) примет вид:
(2)
Понятно, что вид интерполирующего полинома полностью определяется набором коэффициента.
Рассмотрим следующее утверждение:
Пусть в n попарно-различных точках заданы числа, тогда существует единственный полином степени не выше (n-1), удовлетворяющий условию (*).
Доказательство:
Запишем это условие в каждой точке
Здесь - неизвестные, а правые части известны:
(4)
Эта матрица специального вида - матрица Вандерманда. Для нее легко показать, что определитель этой матрицы отличен от нуля, но если это так, то система (4) имеет единственное решение.
Следствием этого утверждения является то, что вид интерполирующего полинома не зависит от способа его построения. А сам ход рассмотренных рассуждений дает один из способов построения такого полинома.
Рассмотренный способ называется классическим, т.к. в силу единственности интерполяционного полинома, каким бы способом его не строили, результат будет один и тот же.
Билет 24
1)
Моделирование систем массового обслуживания (СМО)
Рассмотрим несколько примеров:
Во всех примерах имеется нечто общее. Можно выделить так называемые заявки, которые образуют поток. Первый пример – автомобили, подвозящие контейнеры, во втором – партии деталей, в третьем – телефонные звонки.
Обслуживающий аппарат (ОА) называется каналом. В первом примере – это портовый кран, во втором - цех, в третьем – стойка на телефонной станции.
В зависимости от соотношения производительности обслуживающего аппарата и интенсивности потока заявок может образовываться очередь. В простейшем случае эту ситуацию можно изобразить следующим образом:
Выход
Обслуживающий аппарат
Очередь
Поток заявок
Рис. Схема простейшей системы массового обслуживания
Заметим, что СМО могут быть достаточно сложными: в них могут присутствовать несколько ОА–каналов. Обслуживание может вестись с учетом приоритетов заявок.
Основными показателями СМО являются:
Понятно, что можно определенным образом построить модель, позволяющую вычислить эти характеристики. Основная задача при моделировании СМО – определить типы и количество обслуживающих аппаратов, а также их связь между собой (структуру СМО). Так, чтобы обеспечить максимальную требуемую производительность системы массового обслуживания при выполнении заданных ограничений (например, стоимость ОА).
Построение алгоритмической модели простейшей СМО
Введем следующие обозначения:
- момент поступления i-той заявки на вход очереди;
- время пребывания i-той заявки в очереди;
- время обслуживания i-той заявки ОА;
- момент выхода i-той заявки из ОА;
- интервал времени между поступлением i+1 и i-той заявок на вход в очередь.
На следующем рисунке представлены две возможные ситуации для момента поступления i+1 заявки:
а) Ситуация 1 ni= ti+1 – ti
б) Ситуация 2
Рис. Функционирование СМО
Разница в этих ситуациях заключается в том, что в ситуации а) ОА занят при поступлении i+1 заявки, а в ситуации б) - ОА свободен и значит, i+1 заявка сразу начнет обрабатываться.
Отдельно представляют алгоритмическую модель для вычисления СМО. При реализации этой модели на ЭВМ следует организовать цикл для перебора моделируемого количества заявок, ввести начальные заявки.
Найти
Моделирование количества заявок
- характеристики нормального закона.
- характеристики для закона генерации заявок.
Входные параметры: Загрузка, производительность, средняя и максимальная длительность очереди.
Если - при этом будет образовываться очередь.
В реальности часто встречаются ситуации, когда поток заявок является простейшим и подчиняется дискретному распределению Пуассона, а время обслуживания задается экспоненциальным законом распределения. Для таких систем массового обслуживания могут быть использованы модели, описываемые распределением Колмогорова. Входящий поток является простейшим, если вероятность того или иного числа требований зависит только от протяженности этого интервала и не зависит от его расположения на оси времени (стационарность). Причем требования поступают поодиночке (ординарность) и независимо друг от друга (отсутствие последовательности). Можно показать, что простейшие потоки описываются дискретным распределением Пуассона:
,
- где определяет среднее значение числа требований, поступивших за время t, - среднее число требований в единицу времени.
Экспоненциальное распределение для времени обслуживания задается плотностью, при этом среднее время обслуживания выражается математическим ожиданием и равно :
2)
Разложение аппроксиматора по системе базисных функций.
Возникает естественный вопрос, за счет чего же можно изменить значения критерия при аппроксимации. Очевидно, должна зависеть от параметров, варьируя которыми мы и будем менять ее вид.
Если представить график функции в виде проволоки, то изменяя эти параметры, мы будем по-разному изгибать эту проволоку.
Одним из естественных предположений для выбора функции является следующее:
- подбираемые варьируемые константы;
- набор неизменяющихся функций, называемых базисными.
Пусть мы имеем , тогда требование близости в среднеквадратическом смысле примет вид:
где
Найдем это выражение:
Получена система линейных уравнений:
где - симметричная матрица.
(1)
Уравнение (1) представляет собой функцию-аппроксиматор.
Необходимо определить на интервале , а в качестве критерия близости выбираем:
(2)
(3)
Введем обозначения:
(**)
(4)
(5)
Если сравнить (**) с формулой (*) (смотрите ранее), то заметим, что суммирование по точкам заменено интегрированием по отрезку. Понятно, что в программной реализации в лабораторной работе по точечному среднеквадратичному приближению достаточно заменить (*) на формулу (**).
Рассмотрим пример:
Пусть мы имеем функцию на интервале . Необходимо приблизить функцией .
Тогда система уравнений (4) примет вид:
Билет 25
1)
Приближение инженерных данных.
В различных областях при проведении эксперимента инженер получает таблицу данных, эти дискретные данные необходимо обработать таким образом, чтобы можно было восстановить незамеренные значения в промежуточных точках или может быть подобрать зависимость, которая приближенно воспроизводит закон, позволяя вместо дискретных данных использовать непрерывные зависимости.
Рисунок 1.
Для того, чтобы рассчитать прочность и жесткость, необходимо знать геометрические характеристики: площадь, моменты инерции .
В этом случае необходимо знать зависимости и .
В реальности можно выполнить замеры на кромках. Таким образом, получим таблицу данных:
|
X |
X1 X2 X3 Xn |
|
Y |
Y1 Y2 Y3 … Yn |
Возникает вопрос: как по этой таблице восстановить значения ?
Существуют различные способы приближения. Одним из таких методов является интерполирование. Здесь требуют, чтобы приближающая функция совпадала с приближаемыми значениями, то есть если обозначить как приближающую функцию, а приближающие значения , то получим
, .
Эти точки называются ее узлами. Чаще всего полученная таблица содержит не точные значения, а замеры, полученные с некоторой погрешностью. Поэтому требовать совпадения с табличными значениями приближенной функции неуместно. Имеет смысл использовать другие критерии близости.
Рисунок 1.
Иногда возникает задача о приближении не табличных данных, а функции других функций. Пусть приближаемая функция (является известной функцией), а приближающая (подбираемая функция).
Аналогом приближения, рассматриваемого на рисунке 1, в этом случае будет непрерывное приближение в среднеквадратическом смысле.
Непрерывное приближение в среднеквадратичном смысле.
Рисунок 1.
Такое приближение может использоваться в том случае, если исходная функция очень сложно или долго вычисляется, при этом ее заменяют другой функцией, которая известна.
Понятно, что равномерное распределение выдвигает самое жесткое требование.
2)
Реальное явление – Представление человека об этом явлении - Модель явления –Предсказание - Сравнение с экспериментом – Уточнение модели
Модель - искусственный объект, созданный человеком, заменяющий реальный объект.
Если модель заменяет объект с достаточной точностью, то она адекватна. Адекватность инженерных моделей зависит от инжен-го опыта, интуиции и подготовки специалистов. Основная задача модел-ия – построение таких моделей, которые позвол. Выполнять исследования на них, а не на реальных объектов.
Билет 1.
Билет 2.
Билет 3.
Билет 4.
Билет 5.
Билет 6.
Билет 7.
Билет 8.
Билет 9.
Билет 10.
Билет 11.
Билет 12.
Билет 13.
Билет 14.
Билет 15.
Билет 16.
Билет 17.
Билет 18.
Билет 19.
Билет 20.
Билет 21.
Билет 22.
Билет 23.
Билет 24.
Билет 25.