Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§7. Определители
10. Определение.
Пусть − коммутативное кольцо с единицей.
Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядка с элементами из называется элемент кольца :
==det = = ,
где сумма берется по всем перестановкам множества из элементов, () – знак перестановки.
Таким образом, из элементов составляются всевозможные произведения из сомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно .
Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц.
Иногда вместо определитель используют термин детерминант (по латыни).
Примеры.
1. Если , то матрица состоит из одного элемента, т.е. . Тогда .
2. Если , то =. Формула для определителя в этом случае содержит 2!=2 слагаемых, соответствующих тождественной перестановке e=, ()=1, и перестановке =, ()=-1. Получаем
.
3. Если , то =. В этом формула для определителя содержит 3!=6 слагаемых, соответствующих перестановкам 0=, (0)=1, 1=, (1)=-1, 2=, (2)=1, 3=, (3)=-1, 4=, (4)=1, 5=, (5)=-1. Получаем
т.е.,
.
Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,
Примеры.
1) =14−3(-2)=10
2) =
=3−8+6−2=−1
3) =111=1 => det En=1 n
4) =
5) =?
6) =
7) =
Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.
20. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.
Пусть =.
Определение 2. Матрица = называется транспонированной к матрице , если она получается следующим образом: -й столбец матрицы состоит из элементов -ой строки матрицы , расположенных в том же порядке.
Операция называется транспонированием.
Пример: А= => AT=
Свойства операции транспонирования матриц.
Доказательство свойств 1-3 − самостоятельно.
Доказательство: АКm,n BКn,p=>ABКm,p=> (AB)TКp,m
Легко видеть, что ВТКр,n,ATКn,m => AT BTКp,m
Пусть - элемент матрицы (AB)T,стоящий в i-й строке и j-том столбце =>=cji ,где cji – элемент j-ой строки и i-того столбца матрицы АВ =>
=cji = ,где аjkA, bkiB
Но аjk=, bki= , где и - элементы АТ и ВТ, соответственно =>, где последняя сумма – произведение элементов i-й строки ВТ на j-й столбец АТ,те -элемент ВТАТ =>(АВ)Т= ВТАТ чтд.
(А1…АК)Т =А1Т …. АКТ
Def 4: если квадратная АКn,n : AT=A, то А называется симметричной, тогда аij=aji , если AT= -A, те аij=-aji ,то А – называется кососимметричной (антисимметричной).
Свойство 10:определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы,те detA=detAT
Доказательство:пусть А=(аij), AT=(),тк detA и detAТ имеют одинаковое количество членов(n!),то достаточно показать,что член detA является членом detAТ и наоборот.
Все члены detA имеют вид: и составлены из членов,находящихся в разных строках и столбцах=>этот же член является членом detAТ.верно и обратное => члены определителя одни и те же, осталось разобраться со знаками.
Знак равен ().Этот член входит в detAТ как и имеет знак (-1)(см свойство 2 перестановок).=>т.к. (-1)= () => определители detAТ и detА являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками=> detAТ= detA. чтд
Следствие:всякая теорема об определителе остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот.
Свойство 20.Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю.
Доказательство: на самом деле, пусть i-я строка нулевая,тк в каждый член определителя входит один её элемент => все члены нулевые=>detA=0 чтд
Свойство 30.Если матрица BКn,n получена из АКn,n перестановкой каких-либо двух строк,то detB=-detA
Доказательство: пусть А=, В=(i),(j)-строки
Если входит в А,то все его члены и в В остаются в разных столбцах и строках=> он входит и в detB.Для знак (),а в detB надо считать знак перестановки = эта перестановка получается из транспозицией в верхней строке =>она имеет противоположную четность, те ()=(i,j)()= -()=>все члены detA входят в detB с противоположным знаком=> detB=-detA чтд.
Свойство 40:Определитель,содержащий две одинаковые строки,равен нулю
Доказательство:Пусть detA= и i,j-строки равны=>после их перестановки определитель равен -,но тк переставлены одинаковые строки=>он тот же самый=> =-=>=0.
Свойство 50:Если В получена из А умножением некоторой строки на К, то detB=detA
Доказательство: В===detA
Свойство 60:Если А содержит две пропорциональные строки,то detA=0
Доказательство:Пусть j-я строка равна i –строка => можно вынести из j-й строки(свойство 5)=>по свойству 4=>detA=detB=*0=0.чтд
Свойство 70: Если все элементы -строки матрицы АКn,n представлены в виде двух слагаемых:, то detA=, где , имеют все строки,кроме -ой,как в А,а -я строка состоит из ,а - из ,те
Доказательство:detA== ==det+det чтд
Следствие: тоже самое, когда ,те сумма h слагаемых
Свойство 80:Если одна из строк определители есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.
Доказательство: Если -ая строка есть линейная комбинация остальных s строк 1sn-1, тоэлемент -ой строки –сумма s элементов=>по следствию к свойству 70 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых -ая строка пропорциональна одной из строк=>они равны 0. чтд
Свойство 90:Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.
Доказательство: Если к i-ой строке прибавляется j-ая строка, умноженная на ,то в новом определители i-ая строка равна аik+ajk.тогда на основании 70 этот определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен ,а второй содержит две пропорциональные строки=>равен 0. чтд
Следствие:Определитель не менятся,если к одной его строке добавляется линейная комбинация других строк.
30.Миноры и алгебраические дополнения.
Пусть АКm,n .выберем k номеров строк i1,….,ik, и k номеров столбцов j1,…..,jk: i1<i2<…< ik j1<j2<…< jk
Def5:минором порядка k матрицы А называется определитель матрицы порядка k,образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.
Обозначение:
Примеры: А=, ,
Def 6: Если А – квадратная порядка n,то каждому минору порядка к можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка n-k,элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов . Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к .
Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на :
Если mij=aij =>aij=(-1)i+j
Пример: => А22=(-1)2+2 =9
Теорема 1(о разложении определителя)
Если АКn,n и n>1,то detA равен сумме произведений элементов любой строки матрицы А на их алгебраические дополнения,те detA=ai1Ai1+…+ainAin, i=1,…n.
Доказательство: Пусть
A=.Тогда , выбрав i-ю строку, определитель А можно представить как сумму: detA=, где i-я строка
Покажем, что =Aij. Переставляя n-j раз столбцы и n-i раз строки, получим :
Лемма 1: А=
Доказательство: detA====.
Рассмотрим Sn-1: . Очевидно,что ()=,так что число инверсий в и одно и тоже и значит detA== = чтд
Вернемся к доказательству теоремы: =
=(-1)i+j=aij. чтд
Следствие(разложение по чужой строке)
Сумма произведений всех элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Доказательство: Пусть А= (aij)Кn,n .рассмотрим матрицу , получающуюся из А заменой i-ой строки на j-ю,оставляя j-ю прежней=>detA=0. Напишем разложение по i-ой строке: 0=det== = тк алгебраические дополнения к элементам i-ой строки у матрицы А и совпадают. чтд
Пример:
Следующая теорема обобщает теорему 1.
Теорема 2(теорема Лапласа)
Пусть матрице А порядка n произвольно выбраны k строк,1kn-1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i1,…ik – выбранные строки, то detA=(1),
где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j1,….jk, 1j1j2…jnn
Формула (1) называется формулой разложения определителя по k-й строке i1,…ik.
Доказательство: см Ильин, Поздяк стр 27
Примеры:
1)
2)
3)
Определитель Вандермонда.
Вычитая первый столбец из всех остальных, получаем:
4°. Определитель суммы и произведения матриц.
Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает:
Теорема 1: Если A, B Є Kn, n, то det(A+B) равен сумме определителей матриц порядка n, каждая из которой получается следующим образом: часть строк (столбцов) берутся совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы A, а остальные – совпадающие с соответствующими строками (столбцами) матрицы B.
Иллюстрация, A,B Є K2, 2.
Теорема 2: Если A, B Є Kn, n, то det(AB)=det A·det B
Док-во: Рассмотрим матрицу D порядка 2n:, где On – нулевая квадратная матрица порядка n,
Из примера 1 пункта 3° имеем, что det D=det A·det B.
Преобразуем теперь матрицу D. (n+1) строку умножим на a11, (n+2) – на a12, …, 2n-ую –на a1n и сложим с первой строкой. Тогда первая строка имеет вид: (0, …, 0, ¦ a1kbk1 … a1kbkn). Аналогично к i-ой строке прибавим (n+1), умноженную на ai1, (n+2) – на ai2, …, 2n-ую на ain. Имеем:
(0, …, 0, ¦ a1kbk1 … a1kbkn). Т.о., первые n строк принимают вид:
При таких преобразованиях определитель не меняется
где . Но Т.о. доказано, что
det C=det A·det B.
Следствие 1: Если A1, …, Ak Є Kn, n
Следствие 2: Из
5°. Обратная матрица. Пусть A – квадратная матрица порядка n над полем P.
Def1:Матрица В Є Pn, n называется обратной для A, если AB=En.
Def2: Квадратная матрица А называется невырожденной (или неособой), если
и вырожденной (особой), если detA=0.
Из теоремы 2 пункта 4° произведение матриц, одна из которых вырождена, будет вырожденной матрицей, а произведение двух невырожденных матриц дает невырожденную матрицу.
Def3: Матрицей присоединенной к матрице A, называется матрица
,
где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.
Лемма: Для матриц A и AV справедливо
A·AV=AV·A=(detA)·En
Док-во: Пусть C= A·AV. Тогда
Итак, A·AV=detA·En. Аналогично AV·A=A·AV= (detA)·En
Теорема 1: Для того, чтобы для матрица A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Док-во:
Пусть для матрицы A
Замечание: итак
Пример:
Свойства обратных матриц: Пусть A, B Є Pn, n
Тогда
1° (A-1)-1=A
2°. (A-1)T=(AT)-1
3°. (A-1)K=(AK)-1
4°. det(A-1)=(detA)-1
5°. (AB)-1=B-1·A-1
§8. Теорема о базисном миноре матрицы.
1°. Линейная зависимость строк матрицы.
Пусть P – поле.
Def1 Будем говорить, что строка B=(b1, …, bn) bi Є P является линейной комбинацией строк A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,), aij Є P, если для некоторых α1,…, αk Є P справедливо
bj=α1aij + … + αkj, j=1, …, n. (1)
Это равенство удобно записать в матричном виде:
B=α1A1+ … + αkAk. (1’)
Def2 Строки A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,) назовем линейно зависимыми, если такие одновременно не равные нулю, такие что
Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, A1, …, Ak – линейно независимы, если равенство возможно лишь когда
Теорема 1: Строки A1, …, Ak – линейно зависимы одна из этих строк является линейной комбинацией остальных.
Док-во:
но
2°. Теорема о базисном миноре.
Рассмотрим матрицу A Є Pm, n, где P-поле матрицы размера m·n
Def3 Число r 0 называется рангом матрицы A, если
1) минор порядка r, отличный от нуля.
2) Все миноры (r+1)-го порядка равны нулю.
Т.о., рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.
Минор r-го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.
Теорема 2(теорема о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).
Док-во (Рассуждение для строк):
Покажем, что базисные строки линейно независимы
Если первая, например, строка – линейная комбинация остальных, то вычитая в базисном миноре из первой строки линейную комбинацию остальных, получим нулевую строку базисный минор нулевой – противоречие.
Докажем, что строка A является линейной комбинацией остальных. Т.к. при переменах строк и столбцов определитель сохраняет свойство равенства (неравенства) нулю, то будем считать, что базисный минор составлен из первых r строк и r столбцов.
Рассмотрим определитель (r+1) порядка
Здесь Если то две одинаковые строки или столбца и определитель равны нулю. то это минор порядка r+1 равен нулю. Итак определитель равен нулю k и j.
Разложим его по r+1 столбцу. Отметим, что
и коэффициенты Aij не зависят от выбора j, т.е.
что означает, что k-ая строка является линейной комбинацией первых r.
Теорема 3 (необходимое и достаточное условие равенству нулю определителя)
Определитель n-го порядка равен нулю его строки (столбцы) линейно зависимы.
Док-во:
базисный минор имеет порядок < n хотя бы одна строка не базисная (по т.2) она линейная комбинация базисных строк все остальные строки можно включить с нулями одна строка линейная комбинация остальных.
Свойства определителей.
54