Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Завдання на зимові канікули для групи Е-13
Алгебра.
(теорія - підручник п.20-25)
Означення: Модуль (абсолютна величина) числа – це саме число , при , та протилежне до нього -, при , тобто
Приклад 1. Розкрити модуль: а); б) (оскільки під модулем міститься від’ємне число, міняємо знак на протилежний);
в) (, тому, отже, знак міняємо на протилежний);
г) (для довільного справедливо, що , тоді , отже, знак міняємо на протилежний).
Геометрична інтерпретація: Нехай задано координати на числовій прямій, початок координат – точка , точки та мають координати та відповідно. Тоді – це відстань від точки до початку координат, – відстань між точками та .
Властивості: Для довільних дійсних чисел та справедливі твердження.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. для .
6. .
7. (нерівність трикутника), причому рівність досягається тоді і тільки тоді, коли числа та одного знаку.
Зауваження: Якщо числа та різних знаків, то нерівність трикутника є строгою.
|
Область визначення . Область значень . Графік знаходиться у верхній півплощині і є симетричним відносно осі Оу. |
Графік функції
Лінійні рівняння та нерівності з модулем.
Нехай – деяке задане дійсне число, – функції від . З означення модуля є справедливими наступні схеми розв’язання рівнянь із модулями.
1. Рівняння
(1)
при не має розв’язку, при еквівалентне сукупності
Очевидно, що при остання сукупність еквівалентна рівнянню .
Приклад 2. Розв`язати рівняння: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ; є) .
Дані рівняння є рівняннями вигляду (1). Розв’яжемо їх запропонованим вище методом.
а) рівняння не має розв’язку, оскільки -7<0, а модуль х за означенням число додатнє.
б) рівняння має розв’язки або .
в) рівняння еквівалентне сукупності розв’язки якої або .
г) рівняння еквівалентне сукупності розв’язки якої або .
д) рівняння еквівалентне сукупності розв’язки якої або .
е) рівняння спочатку зводимо до еквівалентного рівняння вигляду (3): . Останнє рівняння, в свою чергу, еквівалентне сукупності розв’язки якої або .
э) рівняння розв’яжемо, знімаючи модулі по черзі. Воно еквівалентне сукупності тобто сукупності двох рівнянь з модулями розв’язки якої або .
2. Рівняння
(2)
еквівалентне системі
Приклад: 3. Розв`язати рівняння .
Дане рівняння є рівняннями вигляду (4). Розв’яжемо його. Рівняння еквівалентне системі Розв’язуючи сукупність у системі одержимо Кожне зі значень та може бути розв’язком рівняння, якщо задовольнятиме умову Перевіримо її. Для виконується , для виконується . Таким чином, – сторонній корінь; рівняння має єдиний розв’язок .
3. Рівняння (3)
еквівалентне сукупності
4. Нерівність (4)
при не має розв’язку, при еквівалентна системі
5. Нерівність (5)
еквівалентне системі
6. Нерівність (6)
при має розв’язком множину всіх чисел, при еквівалентна сукупності
7. Нерівність (7)
еквівалентне сукупності
Контрольні запитання. 1. Що таке модуль числа?
2. Чи існує таке число , що ? ? ?
3. Чи правильне твердження ? Чому?
4. Чи завжди виконується рівність ? Відповідь обґрунтувати.
5. Яким є графік функції ? Область визначення? Множина значень?
6. Як знайти розв`язки рівняння ? рівняння ? рівняння ?
7. Як знайти розв`язки нерівності ? нерівності ? нерівності? нерівності?
8. Суть методу інтервалів.
(теорія - підручник п.17-19)
Відоме означення степеня із натуральним показником. Його можна узагальнити наступним чином.
Означення: , де – натуральне, , зокрема .
Властивості степеня з натуральним показником будуть справедливі і для степеня з від’ємним показником. Згадаємо ці властивості.
Властивості: Для довільних ненульових , , та будь-яких цілих , виконуються твердження:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Приклад 1. Обчислити а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) .
За властивостями 1-5:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
Графік функції
|
Область визначення . Область значень . Графік має дві вітки, які розміщені в першій та третій четвертях. Графік не перетинає координатні осі, а лише наближається до них. Графік є симетричним відносно початку координат.. Криву, що є графіком даної функції називають гіперболою. |
Приклад 2. Задано функцію . Знайти значення функції, якщо аргумент дорівнює -3; значення аргументу при якому функція дорівнює 36.
Якщо , то . Якщо , то розв’язуючи рівняння
одержимо, що .
Приклад 3. Не будуючи графік функції , укажіть, через які точки він проходить: , .
Якщо , , то рівність виконується. Отже, точка належить графіку функції. Якщо , , то рівність не виконується. Отже, точка не належить графіку функції.
Приклад 4. Подайте у вигляді дробу вираз .
.
Приклад 5. Виконати дії та подати відповідь у вигляді виразу, що не містить від’ємного степеня: .
.
Приклад 6. Спростити вираз .
.
Приклад 7. Порівняти значення виразів та .
.
Контрольні запитання. 1. Як визначаються степені , ?
2. Чому дорівнюють ? ? ? ? ?
3. Яким є графік та властивості функції ?
Завдання для самостійної роботи ( оформлюється на окремих листочках):
1.№1.049 (збірник задач під редакцією Сканаві)
2.№1.050
3.№2.040
4.№2.058
5. Розв’яжіть рівняння
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6. (метод інтервалів, можна використати геометричний зміст)
5.7. ( метод інтервалів, можна використати геометричний зміст)
5.8. (метод інтервалів)
6. Побудуйте графік функції (метод інтервалів, або використовуючи точки зламу)
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
7. Розв’яжіть нерівність
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9. (метод інтервалів)
7.10. (метод інтервалів)
Геометрія
Знати теорію з підручника (п.п. 10-14)
Вміти розв’язувати задачі із збірника задач з відповідних тем (варіант 1).
Корегування оцінки за семестр – 8 та 9 січня з 10.00
А(а)
О
В(b)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
х
у
О
EMBED Equation.3
х
у
О