Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа № 5
Математический маятник
Цель работы: Изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.
Оборудование: лабораторная установка.
Теоретическое введение
Период малых колебаний физического маятника (см. работу № 6) равен:
(1)
где Io – момент инерции маятника относительно оси ОО качаний, m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, а – расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С.
В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т.е. когда масса маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.
Исследуемый в лабораторной
установке маятник схематически изо-
бражен на рис. 1. Он представляет со-
бой стальной шарик радиусом r на би-
филярном подвесе: тонкая нить пропу-
щена через центр шарика, концы нити
закреплены на стойке. Длина подвеса
может регулироваться в пределах от
нескольких сантиметров до примерно
25 см. Период колебаний с высокой
(до 10-4с) точностью измеряется с
помощью электронного секундомера.
Рис. 1.
Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси ОО в виде:
Io = Iс + ma2 = 2mr2/5 + ma2 (2)
Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса-Штейнера, если учесть, что момент инерции Iс однородного шара радиусом r и массой m относительно оси, проходящей через центр шара, равен
Iс = 2mr2/5
Рассмотрим случай, когда радиус шара мал по сравнению с длиной подвеса (случай математического маятника): r a. Тогда в (2) можно пренебречь слагаемым Iс = 2mr2/5 по сравнению с ma2 и положить:
Io ma2 (3)
В этом приближении Io определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью
Iсист /Io = (2mr2/5)/(ma2 ) = (2r2)/(5a2 ) (4)
которую в условиях эксперимента легко оценить (она равна, примерно, 0,5%).
С учетом (3) период колебаний маятника может быть записан в виде:
(5)
Он, как должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого равна а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:
g = 42a/T2 (6)
Измерения
Соотношение (6) позволяет опытным путем определить значение ускорения свободного падения в нашей лаборатории. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний Т маятника и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (6) и оценить точность полученного значения.
Однако прежде чем перейти к определению g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.
Дело в том, что выражение (1) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:
Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3-5о) и большой (30-45о) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать, измеряя период колебаний маятника при различных значениях амплитуды в пределах от 2-3о до 10-15о.
Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки Т к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.
В этом случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости V его движения:
Fтр = - bV
где b 0 – коэффициент пропорциональности.
Период T колебаний маятника несколько увеличивается, а частота
= 2/T колебаний уменьшается по сравнению с частотой o = 2/To колебаний маятника без трения:
(7)
а их период
(8)
где
Здесь - коэффициент затухания, который выражается через число колебаний N (обычно это достаточно большое число), за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз:
= 1/(NT) 1/(NTo) (9)
Из соотношений (7) – (9) находим
(10)
(11)
Откуда
T/T = (T – To)/T 1/(82N2) (12)
Видно, что уже при N 10 эта поправка меньше, чем 10-3 (т.е. меньше 0,1 %) и ею можно пренебречь.
Таблица 1.
|
|
||||||||||
|
Т() |
2. Определите по формуле (12) влияние затухания на период колебаний. Для этого найдите число N колебаний, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается примерно в три раза.
3.Вычислите наименьшую длину подвеса маятника амин, при которой с точностью до 0,5 % можно считать момент инерции маятника равным Io = ma2. Для этого в соотношении (4) примите Iсист /Iо = 0,005 и вычислите амин.
4. Проверьте, подтверждается ли на опыте линейная зависимость Т 2 = 42а/g
между квадратом периода колебаний Т 2 и длиной подвеса а. (см. (6)). Для этого измерьте период колебаний маятника для пяти - семи длин подвеса в пределах от амин до амакс .
При измерениях амплитуда колебаний должна быть малой, т.е. находиться в найденном выше диапазоне изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 2.
Таблица 2.
а, м |
|||||
|
Т(а), с |
|||||
|
Т2(а), с2 |
По результатам измерений постройте график зависимости Т 2 от а в осях координат а, х = у = Т 2.
5. Определите ускорение свободного падения g. Для этого измерьте период колебаний маятника с необходимой точностью при наибольшем значении длины подвеса а = амакс, чтобы уменьшить относительную погрешность а/a. Вычислите g с помощью формулы (6 ) при найденных значениях Т и а.
Оцените погрешность g и запишите полученный результат в виде:
g = gср g = …
Контрольные вопросы.
1. Основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух. На шар радиусом R, движущийся со скоростью V, действует сила трения Fтр = 6RV , где - коэффициент вязкости. Вязкость воздуха при нормальных условиях = 1,710-5 Пас. Оцените максимальную силу трения, действующую на шар, например, при а = 25 см, R = 1 см и = 15о.
О
а