Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Тольяттинский государственный университет»
Кафедра «Промышленное и гражданское строительство»
Контрольная работа по дисциплине:
«Численные методы»
Вариант 10, 9
Проверил: к.т.н., доцент Булгаков В.И.
Выполнил: Николаева М.В.
Группа: ПГСЗ – 0842
Тольятти 2013
Задание 1
Определить прогиб плиты, имеющей длину а и ширину b, в точке с координатами xM и yM (табл.1). Толщина плиты равна hпл , к которой приложена равномерно распределенная нагрузка Принять коэффициент Пуассона µ равным 0,25, модуль деформаций материала плиты .
При выполнении задания использовать метод конечных разностей. Задаться шагом сетки h, указанным в табл.1. Условия опирания плиты принять по табл.1.
Таблица 1
Характеристики плиты
|
№ варианта |
а, м |
b, м |
, м |
, м |
, м |
, м |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
10 |
4,5 |
6 |
0,22 |
0,75 |
2,25 |
3 |
з |
з |
з |
з |
з – жесткая заделка
Рис.1. Схема плиты
Плита разбивается прямоугольной сеткой с равным шагом в каждом из двух взаимно перпендикулярных направлений соответственно и (рис.1).
Определение цилиндрической жесткости D по формуле:
(1.1)
D=2∙107∙0,223/12(1-0,252)=18,929,78 кН/м
Плита симметрична относительно осей, проходящих через центр, следовательно, прогибы в симметричных узлах равны.
При жесткой заделке плиты прогибы по контуру во всех узлах, расположенных на контуре и в предконтурных узлах, отстоящих на один шаг от контура, равны нулю. Следовательно, узлы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 17,18 – нулевые, а узлы:11, 12, 15, 16 , 19, 20 – ненулевые узлы (рис.2).
Рис.2. Схема плиты с нумерацией узлов
|
1 |
||||
|
2 |
-8 |
2 |
||
|
1 |
-8 |
20 |
-8 |
1 |
|
2 |
-8 |
2 |
||
|
1 |
Рис.3. Шаблон
Пользуясь шаблоном (рис.3), составим систему конечноразностных уравнений для узлов: 11, 12, 15, 16 , 19, 20
Узел 11: 20W11 – 8W12 −8W15 +2W16 + W19 +W11 = q/D
21W11-8W12-8W15+2W16+W19= q/D
Узел 12: 20W12-8W11-8W11-8W16+4W15+W20=q/D
-16W11+20W12+4W15-8W16+W20= q/D
Узел 15: 20W15-8W11-8W19-8W16+2W20+2W12+W15= q/D
-8W11+2W12+21W15-8W16-8W19+2W20= q/D
Узел 16: 20W16-8(W12+W20+2W15)+2(2W11+2W19)+W16= q/D
4W11-8W12-16W15+21W16+4W19-8W20= q/D
Узел 19: 20W19-8(2W15+W20)+4W16+2W11+W19= q/D
2W11-16W15+4W16+21W19-8W20= q/D
Узел 20: 20W20-8(2W16+2W19)+8W15+2W12= q/D
2W12+8W15-16W16-16W19+20W20= q/D
|
W |
W |
W |
W |
W |
W |
|
21 |
-8 |
-8 |
2 |
1 |
0 |
|
-16 |
20 |
4 |
-8 |
0 |
1 |
|
-8 |
2 |
21 |
-8 |
-8 |
2 |
|
4 |
-8 |
-16 |
21 |
4 |
-8 |
|
2 |
0 |
-16 |
4 |
21 |
-8 |
|
0 |
2 |
8 |
-16 |
-16 |
20 |
h4∙q/D=0,754∙8/18929,78=0,000134 м
Составленную систему алгебраических уравнений можно решить различными способами. Рассмотрим способ, основанный на матричном представлении полученной системы в виде:
,
(1.2)
где – квадратная матрица, составленная из коэффициентов при
неизвестных в конечно-разностных уравнениях;
– матрица-столбец, включающая все неизвестные прогибы;
– матрица-столбец, включающая правые части конечно-разностных уравнений
Решение уравнения (1.2) можно получить в виде:
, (1.3)
где – обратная матрица.
Составим и решим матрицу с помощью программы Microsoft Excel:
Задание 2
Применяя метод наименьших квадратов, определить параметры аппроксимирующей функции, заданной в виде
(2.1)
Координаты точек приведены в таблице 2.
Таблица 2
Координаты точек
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
9 |
50 |
111 |
192 |
293 |
414 |
В общем случае аппроксимирующая функция может быть записана в виде:
(2.2)
Для нахождения значений коэффициентов ai составляется система уравнений, которая может быть представлена в матричной форме
(2.3)
где A – квадратная матрица, для определения элементов которой используются значения абсцисс точек xi:
(2.4)
q – матрица-столбец, в состав которой входят неизвестные коэффициенты ai:
(2.5)
b – матрица-столбец, элементы которой определяются с использованием значений координат точек:
(2.6)
Решением матричного уравнения служит результат умножения обратной матрицы A-1 на матрицу-столбец b:
(2.7)
График 1. Функция у(х) = 10х2 + 11 - 12
Задание 3
Определить усилия в заданном элементе плоской рамы (рис.4) с использованием электронных таблиц. Сечение стоек , сечение ригелей . Пролеты равны 6м, высота этажа – 4м. Модуль деформации .
Рис.4. Расчетная схема
Система статически неопределимая, количество неизвестных. Составим систему канонических уравнений:
(3.1)
Система уравнений может быть представлена в матричной форме:
, (3.2)
где A – матрица, составленная из коэффициентов rij;
– матрица-столбец, включающая неизвестные … ;
– матрица-столбец, включающая величины Ri
Решение может быть получено путем умножения обратной матрицы
A-1 на матрицу-столбец (-R):
(3.3)
Определение погонной жесткости элементов рамы:
; (3.4)
; (3.5)
Определение значений элементов матриц и .
Рис.2. Эпюры моментов от единичного поворота сечения в узле 2.
Рис.3. Эпюры моментов от единичного поворота сечения в узле 3.
Рис.4. Эпюры моментов от единичного поворота сечения в узле 6.
Определяем значения элементов матриц А и Rp
r22=8ic+4ip , r23=2ic , r25=2ip , r26=0 , r27=0 , r28=-6ic/H .
r33=4ic+4ip , r35=0 , r36=2ip , r37=6ic/H , r38=-6ic/H .
r66=4ic+4ip , r67=6ic/H , r68=-6ic/H.
По аналогии определяются другие элементы матрицы А:
При составлении уравнений воспользуемся эпюрами М, построенными для всех единичных и внешних воздействий на элемент. При этом эпюры от единичных воздействий корректируются путем умножения значений моментов на соответствующие значения перемещений. Сумма указанных значений М в любом сечении соответствует действующему в данном сечении изгибающему моменту.
Mx=-6icz2x/Lc+4icz2-6icz3x/Lc+2icz3 -12icz7x/(Lc)2+6icz7/Lc+12icz8x/(Lc)2-
-6icz8/Lc -p(Lc)2/12+ p(Lc)x/2- px2/2
При помощи электронных таблиц Excel определяем значения моментов в произвольных сечениях стойки:
Сопоставив внешнюю нагрузку и реакции, можно сказать, что вся система в целом (рама) также находится в равновесии: проекции всех сил и реакций на горизонтальную и вертикальную оси равны нулю, а также равны нулю моменты указанных факторов относительно опорных узлов.
|
сечения для стойки |
||||||||
|
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
-2,824 |
-0,074 |
2,176 |
3,926 |
5,176 |
5,926 |
6,176 |
5,926 |
5,176 |
|
2,824 |
0,074 |
-2,176 |
-3,926 |
-5,176 |
-5,926 |
-6,176 |
-5,926 |
-5,176 |
|
- |
растянутые волокна |
|||||||
|
+ |
сжатые волокна |
b
4
3
1
а
yм
xм
M
y