Аналитическая геометрия и линейная алгебра на факультете радиофизики и компьютерных технологий 1 курс
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Задания для письменной части экзамена по курсу
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
на факультете радиофизики и компьютерных технологий
1 курс, 1 семестр 2013-2014 уч.год.
преподаватель Березкина Л.Л.
- В параллелепипеде известны векторы . Найдите сумму .
- Заданы точки . Найдите координаты вектора и координаты середины отрезка .
- Задана точка и вектор . Найдите координаты точки .
- Заданы векторы . Найдите скалярное и векторное произведения векторов и , а также смешанное произведение векторов , и
- Найдите момент равнодействующей сил относительно точки , если эта равнодействующая приложена к точке , а также работу этой равнодействующей при перемещении ее точки приложения из положения в положение .
- Задан треугольник , где . Найдите длину стороны , косинус внутреннего угла , а также площадь этого треугольника (методами векторной алгебры).
- Найдите объем треугольной пирамиды , если , , , .
- Заданы векторы , , . Проверьте, являются ли эти векторы компланарными и образуют ли они базис в пространстве. Если векторы некомпланарны, определите ориентацию тройки .
- Заданы вершины треугольника . Составьте:
а) параметрические уравнения стороны ;
б) канонические уравнения средней линии, параллельной ;
в) общее уравнение высоты, проведенной из вершины ;
г) уравнение медианы, проведенной из вершины , с угловым коэффициентом.
- Даны точки и прямые Составьте:
а) общее уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;
б) общее уравнение плоскости, проходящей через точку А и прямую ;
в) общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и ;
г) общее уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой ;
д) общее уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой .
- Найдите расстояние между параллельными плоскостями и .
- (3.2.) Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если:
2) расстояние между фокусами равно 8 и малая полуось равна 3;
3) большая полуось равна 5 и точка лежит на эллипсе.
- (3.3.) Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:
2) расстояние между фокусами равно 12 и большая полуось равна 13;
3) эксцентриситет эллипса равен 0,8, а уравнение одной из директрис .
- (3.4.) Составьте уравнение гиперболы, если
2) фокусы симметричны относительно начала координат, эксцентриситет равен , а уравнение одной из директрис ;
3) гипербола проходит через точку , а ее вершины находятся в точках и .
- (3.5.) Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:
2) расстояние между фокусами равно 10, а эксцентриситет ;
3) уравнение одной из асимптот , а действительная полуось равна 6;
4) эксцентриситет равен 2,6, а расстояние между директрисами равно .
- (3.6.) Составьте уравнение параболы, если
1) ее вершина совпадает с началом координат, а фокус находится в точке ;
2) ветви направлены вверх, а фокальный параметр равен 4;
3) уравнение директрисы , а фокус находится в точке ;
4) ее вершина совпадает с началом координат, парабола проходит через точку и ось абсцисс является осью параболы.
- (3.54.) Определите вид и расположение линии второго порядка:
1); 2);
3); 4);
5); 6);
7); 8);
9); 10);
11); 12).
- (3.56.) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
1); 2) ; 3) ; 4); 5) ; 6) .
- (3.57.) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9) 10)
- (4.22.) Определите вид поверхности второго порядка и ее расположение относительно начальной системы координат, используя преобразование параллельного переноса, если эта поверхность задана уравнением:
1); 10);
2); 11);
3); 12);
4); 13);
5); 14);
6); 15);
7); 16);
8); 17);
9); 18).
- (4.25.) Определите вид поверхности и нарисуйте эту поверхность, если ее уравнение имеет вид:
1); 2); 3); 4);
5) ; 6); 7) ; 8).
- (4.26.) Нарисуйте множество точек пространства, удовлетворяющих системе следующих неравенств:
1) 3) 5)
2) 4) 6)
- Заданы матрицы и . Найдите те из произведений , , , , , , , , которые существуют.
- Вычислите определители 4-го и 5-го порядков с помощью элементарных преобразований. Например, , .
- Для матрицы третьего порядка вычислите обратную при помощи алгебраических дополнений (например, для матрицы ).
ЗАДАЧИ ДЛЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА по аналитической геометрии
и линейной алгебре
(числа в экзаменационных задачах будут изменены)
Все задачи решались на практических занятиях, либо предлагались в качестве домашнего задания
Номера задач, для которых условия не приведены, даны по учебному пособию: Н.Г. Абрашина-Жадаева и др. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.
Номера примеров и упражнений – по учебному пособию: Л.Л. Березкина. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
ТИПЫ ЗАДАЧ, которые необходимо уметь решать
для получения оценки «четыре» или «пять»
Кроме задач, предложенных для письменной части экзамена, необходимо уметь выполнять все операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц, находить степени квадратной матрицы и вычислять многочлен от матрицы, а также определять взаимное расположение пар плоскостей или прямых на плоскости по их общим уравнениям.
ТИПЫ ЗАДАЧ, которые необходимо уметь решать
для получения оценки «шесть» или «семь»
Кроме задач, предложенных для письменной части экзамена и необходимых для получения оценки «четыре» или «пять», следует уметь решать следующие типы задач:
Векторы и линейные операции над ними. Например:
- В четырехугольнике точки и – середины диагоналей и соответственно. Найдите разложение вектора по векторам , и .
- В треугольнике известны векторы и . Найдите какой-либо вектор, задающий направление биссектрисы внутреннего угла при вершине .
- 1.34; 1.19; 1.20; 1.26.
- – треугольная пирамида. Докажите, что . Верно ли это утверждение для произвольных четырех точек?
- Даны векторы , , и .Требуется найти вектор, полученный в результате проектирования вектора параллельно вектору на плоскость, определяемую векторами и , отложенными от одной точки.
- В треугольной пирамиде – точка пересечения медиан грани . Представьте вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
- Докажите, что равновесие материальной точки невозможно под действием а) двух неколлинеарных сил; б) трех некомпланарных сил.
- Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и заданы две точки и . Найти координаты середины отрезка (вывести формулу).
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Например:
- 1,4; 1.48 (); 1.53; 1.60; 1.57; 1.59; 1.66 (в); 1.50; 1.55.
- Убедитесь, что векторы и , отложенные от одной точки, могут служить ребрами куба, и найдите вектор третьего ребра.
- 1.83; 1.87.
- Докажите, что если ненулевые векторы и коллинеарны. то векторы , , и компланарны.
- Докажите, что если для трех неколлинеарных векторов , и имеет место равенство , то .
- 1.3; 1.5; 1.6; 1.77 – 1.81; 1.88;1.91.
Составление уравнений прямой на плоскости и в пространстве по различным данным, например
- 2.38 (условие: – не начальная точка); 2.39, 2.42; 2.48 (можно в координатной форме).
- 2.6; 2.43; 2.62 (можно в координатной форме).
- Каковы особенности расположения плоскости относительно прямоугольной декартовой системы координат, если:
а) , б) ; в) ; г) ;
д) ; е)?
- 2.74.
- Составьте уравнение плоскости проведенной, через точку параллельно плоскости, проходящей через точки , , .
- 2.100; 2.102 (канонические уравнения), 2.103 (в виде пересечения плоскостей).
- Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .
- Даны вершины треугольной пирамиды , , , . Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через ребро и середину ребра .
- 2.71; 2.101; 2.122, 2.125.
- Выясните взаимное расположение плоскости и прямой в зависимости от параметра .
- 2.135: 2.82.
- Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые и .
- Выясните взаимное расположение плоскости и прямой в зависимости от значений параметров и .
Линии второго порядка. Уметь решить любую из задач, предназначенную для письменной части экзамена.
Определители.
- Вычислите определители:
а); б).
- Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований .
- Вычислить определитель при помощи правила прямоугольников .
Матрицы и операции над ними.
- Вычислить .
- Найдите f(A), если:
2) f(x)=x2-5x+10, A=;
3) f(x)=(2x5-4x2+7)(x2-5x+10)+x+5, A=.
ТИПЫ ЗАДАЧ, которые необходимо уметь решать
для получения более высокой оценки (кроме тех, которые необходимо уметь решать для получения оценки «четыре» – «семь»)
Операции над векторами.
- 1.46; 1.52*.
- Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .
- 1.13; 1.32; 1.68; 1.78; 1.89; 1.90; 1.92; 1.93; 1.96, 1.97.
Прямая и плоскость
- Составьте уравнение катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, зная уравнение его гипотенузы и координаты одной из вершин .
- 2.6; 2.43; 2.62.
- Зная уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника и , составьте уравнение его третьей стороны, при условии, что она проходит через точку .
- 2.103 (в виде пересечения плоскостей), 2.131.
- Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .
- 2.122; 2.134 (уравнение прямой , решение в векторном виде); 2.135 (уравнение плоскости , решение в векторном виде); 2.136(1).
Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие всех задач: выясните взаимное расположение прямых в пространстве. В случае пересечения найдите точку пересечения.
- и ;
- и ;
- и ;
- и ;
- и .
- Найдите расстояние от точки до прямой .
- 2.82.
- Напишите уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями и .
- Составьте уравнение биссектрисы угла между прямыми (на плоскости) и , смежного с тем, которому принадлежит точка .
- Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые и .
- Выясните взаимное расположение плоскости и прямой в зависимости от значений параметров и .
- 2.140; 2.141, 2.33.
- Напишите уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние, равное 7.
- Составьте уравнение множества точек, каждая из которых равноудалена от двух параллельных прямых (на плоскости) и .
Линии второго порядка. Поверхности второго порядка.
- 3.9; 3.10; 3.18; 3.21, 3.24-3.28; 3.32, 3.41, 3.42, 3.54; 3.56, 3.57.
- 4.22; 4.25; 4.30, 4.26; 4.28(3); 4.37.
Вычисление определителей на основании их свойств, например:
- Числа 24026, 40262, 02624, 26240, 62402 делятся на 41. Докажите, что на 41 делится определитель .
- Методом рекуррентных соотношений вычислите определитель Вандермонда .
- Вычислить следующие определители:
а) ; б) ;
в) .
- Про матрицу известно, что , а . Докажите, что
.
- Докажите, что при условии AB=BA имеют место равенства:
- (A+B)2=A2+2AB+B2
- (A+B) (A-B)=A2-B2
- An-Bn=(A-B)(An-1+An-2B+…+ABn-2+Bn-1)
- (A+B)n=An+ An-1B+An-2B2+…+Bn
Для получения оценки девять или десять могут быть предложены более сложные задачи, например, упражнения и примеры из пособия Л.Л.Березкиной «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Преподаватель Л.Л.Березкина
Зав. кафедрой ВМ и МФ Н.Г.Абрашина-Жадаева