Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
Электростатическое поле кванта в вакууме q=eN – любой заряд. e=1,6*10 (с.-13) К – наименьший заряд электрона. В электрически замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов – есть величина постоянная Σqi=const. ЗАКОН КУЛОНАF=q1 q2 / 4π ε0 r (c.2); В этой форме закон Кулона справедлив только для точечного заряда. Точечный зарядны – это заряд, размером которого можно пренебречь. ε0 – диэлектрическая постоянная = 8,85*10 (c.-12) Ф/м. Закон Кулона в векторной форме: F(вектор) = (1/4πε0)*(q1 q2 r (вектор)/ r (c.3)) *1----*2 q1,q2 – заряды, r – расстояние между ними. F(в)12= q1 q2 r(в)12/4πε0 r12(c.3); F(в)21=q1 q2 r21(в)/4πε0 r21(c.3); это справедливо для точечного заряда. Поскольку часто приходится иметь дело с заряженными телами, размерами которых принебречь нельзя, необходимо учесть распределения зарядов по этому телу. Если тело одномерно (заряженная нить) можно ввести линейную плотность заряда. τ =dq/dl. Двухмерный случай (поверхносная плотность заряда): δ=dq/dS. Трехмерный: заряд единицы объема. ρ=dq/dV δ=δ(x,y), ρ=ρ(x,y,z) НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯF=q q0/ 4πε0 r (c.2) – можно описать поле с зарядом q или точечным зарядом, который создает поле (+). q0 – пробный заряд другого знака. E=F(вектор)/q0. [E(в)]=В/м. F(в)=qE(в). E=q/4πε0 r (c.2). E(в)=qr (в)/4πε0 r (c.2); За направление вектора E принимают направление силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в это поле. Будем изображать электрическое поле с помощью силовых линий – линий, проведенных в поле так, что касательная с ними в каждой точке совпадает по направлению с вектором E. Силовые линии нигде не пересекаются. Они имеют начало и конец, т.е. они разомкнуты. Такими свойствами обладают силовые линии электростатическоо поля, которое являются потенциальными. Поттенциальное поле – не зависит от траектории. Принцип суперпозиции – принцип независимости действия электрических полей. Напряженность поля системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности. Т.е. E(в)=E1(в)+E2(в)+…+En(в). E(в)=1/4πε0 Σqi ri(в)/ri (с.3) – эта формула справедлива для системы точечных зарядов, т.е. когда заряды распределяются дискретно в пространстве. E(в)=1/4πε0 ∫[по Q] dQ r (в)/ r(c.3) – в случае непрерывного распределения зарядов в пространстве. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДИПЫ+q *-------* -q {l – это не единица, а ЭЛ!!!!!!} Производная величины заряда на расстояние между ними называется дипольным моментом. p(в)= l (в) q; E(в)=E+ + E-; E=E- + E+; E-=q/4πε0 (r – l/2) (c.2); E+=q/4πε0 (r + l/2) (c.2); E=qE/4πε0 = qrl / 2πε0 r (c.4) (1{единица} – l (c.3/4r (c.2)) (c.2) = p/2πqε0. Рассмотрим случай r>>l {ЭЛ} En=p/2πε0 r (c.3). Найдем поле на перпендикуляре к этому дипу: r+=r-; |E(в)+|=|E(в)-|; E+=q/4πε0 r+(c.2); E/l=E-/r+; E=l E-/r+; E=ql/4πε0 r+(c.2) r+=p/4πε r+(c.3); En=p/2πε0 r (c.3); E_|_=p/4πε0r (c.3); Eθ=p√3cos(c.2)θ+1(еди- ница)]/4πε0r Из этих формул видно, что электрическое поле убывает пропорцианально 1(единица)/4πε0 r (c.3), т.е. быстрее чем напряженность поля точечного заряда. ПОТОК НАПРЯЖЕННОСТИ. ТЕОРЕМА ГАУССА. dФ=E(в) dS(в)=En dS; n – нормаль. dФ – поток напряженности – число линий, пронизывающих данную площадку S. Поток вектора E через замкнутую поверхность S будет Ф=замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в)= замкнутый ∫ [по S] En dS. Рассчитаем поток вектора E электрического поля через сферическую поверхность, в центре которой находится положительный точечный заряд. E=q/4πε0r (c.2); dФ=E(в) dS=q dS/4πε0r (c.2); Ф=замкнутый ∫ [по S] dФ=замкнутый ∫ qdS/4πε0 r (c.2)=q/4πε0 r (c.2) * замкнутый ∫ [по S] dS=q4πr (c.2) / 4πε0 r (c.2)=q/ε0; Ф=замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в)=q/ε0 – ТЕОРЕМА ГАУССА Этот вывод справедлив для поверхности любой формы, поэтому в общем случае теорему гауса можно сформулировать так: Поток вектора E через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленное на ε0. С помощью этой формулировки можно расчитать электрическое поле заряженных тел различной формы. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССАПоле в бесконечно заряженной плоскости. При таком выборе пов.S нормальная составляющая S через торцы этого цилиндра. En=E. Через боковую повехность цилиндра En=0. Теорема Гаусса: замкнутый ∫ E(в) dS(в)=Σqi/ε0. Замкнутый ∫E(в)dS=замкнутый ∫ [по S]En dS=dSE+dSE=2dSE=1/ε0 ∫ [по S’]δdS=δ dS/ε0, где S’ – поверхность, вырезанная цилиндром из бесконечной плоскости. δ=dq/dS – поверхностная плоскость. 2dSE=δ dS/ε0; E=δ/2ε0; Второй случай (поле в 2-х разноименных заряженных плоскостях): Т.к. |+δ|=|-δ|, то |E-(в)|=|E+(в)|. Видно, что вне этих плоскостей поля вычитаются и следовательно вне плоскостей напряженность электрического поля будет равно нулю. Eвнеш=E- + E+=0. В пространстве между плоскостями суммируются Eвнутр=E+ + E- = δ/ε0. E=δ/ε0 – для разноименных плоскостей. Третий случай – случай заряженной проводящей сферической оболочки . Выберем повехность интегрирования S в теореме гаусса в виде сферы, центр которой совпадает с центром оболочки. Замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в)=E замкнутый ∫ [по S] dS=E4πr (c.2)=1*0/ε0 E=0 при r<R. При r>=R, замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в)=4π r (c.2) E=q/ε0 E=q/4πε0 r (c.2). См. график зависимости E от r. Четвертый случай: поле объемно заряженной сферы. ρ=const=dq/dV. Замкнутый ∫ [по S] E dS=4π r (c.2) E= 1/ε0 замкнутый ∫ [по V] ρdV=ρ/ε0 ∫ [по V] dV=ρ 4 π r (c.3)/ ε0 3; 4πr (c.2) E= =4πr (c.3)ρ/3ε0; E=ρr/3ε0; ρ=q/V0=q/(4/3)*πR(c.3); E=qr/4πε0R(c.3) когда r<R. Если же r>=R: замкнутый ∫ [по S] E(в) dS=4πr (c.2) E=q/ε0; E=q/4πε0r (c.2); Пятый случай: поле бесконечно длинного равномерно заряженого цилиндра (τ – линейная плотность заряда). τ = dq/dE. Если поверхность интегрирования S выбрать в виде цилиндра (параллельного), то En=E=const. Для боковой поверхности цилиндра и En=0. Для верхней и нижней торцовых повехностей этого цилиндра: замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в)=E2πr l = 1/ε0 ∫[по l] τdl= τ l / ε0; E= τ/2πε0r – справедливо для нити. РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ. dA=F(в) dl(в)=F dl cosα; dl cosα=dr; dA=Fdr; F=q q0 / 4πε0r (c.2); dA=q q0 dr / 4πε0 r (c.2); A = ∫ [r1 – r2] q q0 dr/4πε0r s (c.2)=(q q0 / 4πε0) * ∫ [r1 - r2] dr/r (c.2)=∫q q0 (1/r1 – 1/r2) \ /4πε0; A=q q0 (1/r1 – 1/r2)/ 4πε0; Из этой формулы видно, что работа не зависит от формы траектории, по которой мы перемещаем заряд q0, а зависит только от начального и конечного положения. Из этой формулы видно, что если r1=r2, т.е. если заряд q0 перемещается по замкнутой траектории, то работа A=0. Замкнутый ∫ dA=0; F=qE(в); A=Fdl(в). dA=qE(в)dl(в); Замкнутый ∫dA= замкнутый ∫ q E(в) dl(в)=0 замкнутый ∫E(в)dl(в)=0; Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Поля, обладающие такими свойствами называются потенциальными. ПОТЕНЦИАЛA=q q0 (1/r1 – 1/r2) / 4πε0; Возьмем r1=∞; A= - q q0 / 4πε0 r (c.2); φ=A/q0= =q/4πε0r; φ=q/4πε0r Если поле создается несколькими зарядами, то используя принцип суперпозиции получаем: φ=φ1+φ2…+φn; φ –потенциал. φ=Σ(qi/ri)/4πε0; В случае непрерывного распределения зарядов: φ=(1/4πε0)*(∫[по Q] dQ/r); Потенциал энергии заряда в электрическом поле: dA=qEdr= - dWп; Wп= - ∫Edr= - (q q0 / 4πε0r) + const; A=q(φ1 – φ2); Wп=qφ; |
СВЯЗЬ ПОТЕНЦИАЛА С НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ dAx=q Ex dX; dAx/q=ExdX; - dφ=ExdX; Ex= - dφ/dX; Ey= - dφ/dY; Ez= - dφ/dZ; E(в)=Ex i(в) + Ey j(в) +Ez k(в)= - (∂φ/dX i (в) + ∂φ/dY j(в) + ∂φ/dZ k(в))= - grad φ= - перевернутый треугольник φ; dφ= - E(в)dr; ∫ (1 - 2) dφ=∫Edr; φ1 – φ2 = ∫ [r1 – r2] E dr Электростатическое поле в веществеТИПЫ ДИЭЛЕКТРИКОВ. ВИДЫ ПОЛЯРИЗАЦИИДиэлектрики – вещества, которые при обычных условиях не проводят электрический ток, в диэлектриках нет свободных электрических зарядов. Молекулы диэлектриков электрически нейтральны. Диэлектрики делятся на 3 типа: неполярные, полярные, ионные. У неполярных диэлектриков дипольные моменты молекул в отсутствии внешнего электрического поля равны нулю – H2, N2, C6H6. У поляризованных диэлектриков молекулы обладают постоянным дипольным моментом и без внешнего электрического поля – H20. Ионные диэлектрики – это вещества, молекулы которых имеют ионное строение. В кристаллах этих веществ нельзя выделить отдельные молекулы, их можно рассматривать как систему 2х вставленных друг в друга ионных решеток – одна заряжена положительно, другая отрицательно – NaCl, KCl. При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле, он поляризуется. На поверхности диэлектрика появляются связанные заряды. В соответствии с 3мя типами диэлектриков различают поляризацию неполяризованных, полярных и ионных диэлектриков. В результате действия кулоновских сил электронная оболочка молекул деформируется и появляется наведенных дипольный момент. В полярном диэлектрике поляризация обусловлена в основном ориентацией молекулярных диполей по полю. Видно, что и в этом случае на поверхности диэлектрика появляются связанные заряды. Ионная поляризация: Во внешнем электрическом поле под действием кулоновских сил происходит смещение подрешеток относительно друг друга и появляется наведенный дипольный момент, что также приволит к появлению связанных зарядов на поверхности диэлектрика. Независимо от того, какой тип диэлектрика во внешнем электрическом поле, происходит его поляризация. Из приведенных рисунков видно, что поле связанных зарядов противоположно внешнему электрическому полю, вследствии этого внешнее электрическое поле диэлектриком всегда ослабляется. ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬКоличественной мерой поряризации диэлектрика служит вектор P, называемый поляризованностью и равный P(в) = (1/ ∆V) n Pэл=n0 Pэл. Если молекулы дип. диэл., то эту формулу можно преобразовать к виду: P(в)=(1/∆V) n Pэл (в); n0=n/∆V; Pэл(в)=ql; Напряженность электрического поля объемно заряженного шара: E=qr/4πε0R(c.3), r=l; Из этой формулы: ql=4πε0R(c.3)E(в)=Pэл(в) – поляризуемость молекул. α=4πR(c.3); (R – эффективный радиус сферы, внутри которой происходит поляризация отдельной молекулы). Pэл(в)=αε0E(в); P(в)=n0 α ε0 E(в); X=n0α – диэлектрическая восприимчивость вещества; P(в)=Xε0E(в). ПЛОСКИЙ КОНДЕНСАТОР С ДИЭЛЕКТРИКОМ. СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ СРЕДЫ. E(в)=E0(в)+E’(в); E=E0 - E’поскольку связанные заряды на поверхности диэлектрика можно рассматривать как 2 разноименно заряженные плоскости, то E’=δ’/ε0; E=E0 – δ’/ε0; Поляризованность всей пластины диэлектрика, имеющей объем будет: Pv=PV=PSd Pv=q’d; q’=δ’S; Pv=q’d\δ’Sd; Сравнивая выражения, получаем: P=δ’. E=E0 – δ`/ε0=E0 – P/ε0=E0 – XE E=E0/1+X; E=E0/ε; ε=E0/E=Fвых/Fвх; n=√ε; 1,33=√ε ε<4; ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ. Замкнутый ∫ E(в) dS(в)=q/ε0; В диэлектриках электрическое поле будет определятся внешними свободными зарядами, так и внутренними связанными, поэтому теорему гаусса для поля в диэлектриках можно записать в виде: замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в) = (1/ε0) (q своб + q связ) Это выражение мало пригодно для расчета поля в диэлектрике, т.к. величина связанных зарядов зависит от E(в). Т.к. молекулы диполя электрически нейтральны, то вклад q связ. дают только те диполи, которые передаются поверхн. S (поверхность интегрирования). Т.к. δ’=P; dq связ.=δ’dS=P(в)dS(в); q связ.= - замкнутый ∫ [по S] P(в)dS(в); Подставим это выражение в теорему гаусса: замкнутый ∫ E(в)dS(в)=(1/ε0)*(q связ – замкнутый ∫ P(в)dS(в); замкнутый ∫ [по S] (ε0E(в) + P(в))dS(в)=q своб. P(в)=ε0Хε(в); замкнутый ∫ [по S] (ε0E(в) + ε0ХE(в))dS(в)=замкнутый ∫ ε0 ε E(в) dS(в)=q связ.; ε0E(в) + P(в)=ε0εE(в)=D(в); замкнутый ∫ [по S] D(в) dS(в)=q своб.; ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ НА ГРАНИЦЕ 2х ДИЭЛЕКТРИКОВРассмотрим границы 2х диэлектриков с проницаемостями ε1 и ε2. Воспользуемся теоремой о циркуляции векторной напряженности электрического поля. Замкнутый ∫E(в) dl=0; Замкнутый ∫ E(в) dl(в)=E1n*a + E1τ*ЭЛ – E1n*a – E2n*b – E2τ*ЭЛ + E2n*ЭЛ=0; ЭЛ*(E1τ – E2τ)=0; E1τ=E2τ; E1τ = D1 τ2/ε0 ε1; E2τ = D2 τ/ε0 ε2; D1τ / D2τ =ε1/ε2; E1τ=E2τ; Замкнутый ∫ [по S] δ dS(в)=q своб Замкнутый ∫ [по S] δ dS=замкнутый ∫ [по S] Dn dS=∆S D1n – - ∆S D2n =0; В этом выражении учтено, что нормальная составляющая вектора δ через боковую поверхность цилиндра равна нулю и следовательно поток вектора δ равен нулю. Кроме этого внутри замкнутой поверхности S нет свободных зарядов (q своб=0). D1n=D2n; ε0 ε1 E1n=ε0ε2 E2n; E1n/E2n=ε2/ε1; tgα2=E2τ/E2n; tgα1=E1τ/E1n; tgα1/tgα2=E1τ*E2n/E1n*E2τ=E2n/E1n=ε1/ε2 tgα1/tgα2=ε1/ε2 ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕВ металлических проводниках имеются свободные заряды (электроны проводимости), которые могут перемещаться по всему объему проводника под дейстивем внешнего электрического поля. В отсутствии внешнего эл. поля, поля электронной проводимости и атомных остатков (положительных ионов металла) взаимно-компенсируются и поле в проводнике отсутствует. При размещении проводника в свободном электрическом поле свободные заряды начинают перемещаться под действием кулоновских силы. В результате проходит разделение зарядов. Положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные против. Это явление называется электростатической индукцией. Возникающие при этом заряды численно равны друг другу по величине и противоположны по знаку. Разделенные заряды создают в проводнике свое поле. Перемещение зарядов в проводнике будет происходить до тех пор, пока созданное этими зарядами поле полностью не скомпенсирует внешнее электрическое поле. В результате этого внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю. Заряды исчезают, как только исчезает внешнее электрическое поле. УСЛОВИЕ НА ГРАНИЦЕ. ПРОВОДНИК. ВАКУУМ. Из рисунка видно, что под действием нормальной составляющей свободный заряд смещается к поверхности проводника. Под действием тангенсальной составляющей происходит разделение положительных и отрицательных зарядов, которое будет происходить до тех пор, пока эти разделенные заряды своим полем полностью не скомпенсируют тангенсальную составляющую внешнего электрического поля. Таким образом электрическое поле вблизи поверхности проводника (вне его) имеется только нормальная составляющая, т.е. напряженность электрического поля входит перпендикулярно в поверхность проводников. эл. поля выполняется следующее условие – 1) внутри проводника E(в)=0, у поверхности проводника E(в)=En (Eτ =0); 2) Весь объем проводника эквипотенциален (потенциал везде одинаков). Ex= - dφ/dx=0; dφ= - Ex*dx; ∆φ= - ∫ [x1 – x2] Ex dX=0; dφ=0 φ=const; 3) Поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью, Eτ =0; Eτ = - dφ/dl=0 dφ=0, φ=const; 4) Нескомпенсированные заряды располагающиеся в проводнике располагаются лишь на его поверхности: замкнутый ∫ [по S] D(в) dS(в)=q= =замкнутый ∫ [по S] ε0 ε E(в) dS(в)=0, если поверхность S находится внутри проводника, т.к. внутри проводника E=0; Замкнутый ∫ [по S] D(в) dS(в)=q; В данном случае поверхность S выбрана так, что она пересекается поверхностью проводника и часть лежит внутри проводника, а часть вне его. Т.к. внутри и вне проводника нескомпенсированных зарядов нет, то: |
q=δ ∆S=∫δdS; замкнутый ∫ D(в)dS(в)=замкнутый ∫ DndS=∫δdS; Dn=δ; Dn=ε0 ε En (в)=δ; En=δ/ε0ε, где ε – диэлектрическая проницаемость среды; En= - dφ/dr; - dφ/dr=δ/ε0ε; δ= - ε0ε (dφ/dr) ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКА φ~q; q=C*φ; C=q/φ; Электроемкость уединенного проводника зависит от диэлектрических свойств среды и не зависит от матерьяла проводника, а также формы, размера полости внутри проводника. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ ШАРА: φ=q/4πε0εr; электроемкость уединенного шара: C=4πε0εr; E= - dφ/dr; dφ= - Edr; ∆φ= - ∫[r1 – r2] Edr; C=q/∆φ; Видно, что в том случае, когда к заряженному проводнику поднесен незаряженный, то поле в точке A будет меньше, т.к. оказывает влияние разделение зарядов на незаряженном проводнике. ∆φ’= - ∫[r1 – r2] E’dr; ∆φ’<∆φ; C’=q/∆φ’; C<C’; Видно, что электроемкость уединенного проводника всегда меньше, чем теплоемкость неуединенного. КОНДЕНСАТОРЫКонденсатор – 2 проводника, разделенные диэлектриком. C=q/(φ1-φ2); φ1,φ2 – потенциалы проводников, из которых образуется конденсатор. 1) ПЛОСКИЙ КОНДЕНСАТОР E=δ/ε0ε=Ex= - dφ/dX; dφ= - Ex*dX=δdX/ε0ε; ∫[1 - 2] dφ= = - (δ/ε0ε)(∫dX); φ1-φ2=δd/ε0ε; q=δS; C=q/(φ1 – φ2)=γSε0ε/γd; C=ε0εS/d; 2) СФЕРИЧЕСКИЙ КОНДЕНСАТОР Er=q/4πε0εr (c.2)= - dφ/dr; dφ= - qdr/4πε0εr (c.2); φ1 – φ2=q(1/R1 – 1/R2)/4πε0ε=q(R2 - R1)/4πε0εR1R2; C=q/(φ1 – φ2)=4πε0ε([r2 – r1]/r1r2); 3) ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КОНДЕНСАТОР Er=τ /2πε0εr= - dφ/dr; τ – линейная плотность. ∫dφ= - (τ/2πε0ε)* (∫[R1 – R2] dr/r); φ1 – φ2= τ*ln(R2/R1)/2πε0ε C=2πε0εl/ln(R2/R1); ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯq=q1=..=qn; U=U1 + U2…+Un; 1/C=1/C1+..+1/Cn; 1/C=Σ1/Ci; В случае параллельного соединения – U=U1=U2..=Un q=q1+q2…+qn; C=Σci; ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯРассмотрим плоский конденсатор с диэлектриком: W=CU(c.2)/2; C=ε0εS/d; U=Ed; W=½ ε0ε (S/d) E(c.2) d(c.2)= =½ ε0εE(c.2)V; V=Sd; ω=W/V=½ ε0εE(c.2)=½ ε0ε*E*E= =½D(в)E(в); ω=½D(в)E(в); - плотность энергии электростатического поля. Эта формула справедлива, когда поля являются вихревыми.Постоянный токПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ. Электрический ток – это упорядоченное движение заряженных частиц или макроскопических заряженных тел. Различают 2 вида тока – токи проводимости и конвинциальные токи. Токи проводимости обусловлены движением свободных заряженных частиц. Конвинкциальные токи обусловлены движением макроскопических тел. Токи проводимости возникают под действием электрического поля. Ток проводимости – это упорядоченное движение в веществе или в вакууме свободных заряженных частиц под действием внешнего электрического поля. Для возникновения электрического тока, необходимо выполнение следующих условий: 1) наличие свободных зарядов в среде 2) наличие электрического поля в этой среде. За направление тока принимают направление движения положительно заряженных частиц. Для поддержания в проводнике электрического тока необходим источник электрического тока – устройство, в котором осуществляется преобразование какого-либо вида энергии в энергию электрического тока. Величина тока: I=dQ/dt измеряется в амперах. Плотность тока: j=dI/dS [A/м(c.2)]. dI=jdS; I=∫[по S] j(в)dS(в) – если j меняется. Если не меняется I=Q/t; j=J/S; j=dI/dS; dQ=Idt=n0 e <v> dt dS e – заряд электрона. Подставим: j=n0 e <v>(в) ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА (ЭДС). НАПРЯЖЕНИЕ. Если в цепи на носители тока действуют только силы электрического поля, то происходит перемещение свободных носителей (положительных) от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. В результате этого происходит выравнивание потенциалов во всех точках цепи и электрическое поле исчезает. Для того, чтобы сохранить разность потенциалов, необходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы сил неэлектрического взаимодействия (т.к. электростатические силы не могут перенести положительный заряд от точек с меньшим потенциалом к точкам с большим потенциалом, т.к. одноименно заряженные заряды отталкиваются). Такие силы называются сторонними силами. Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. A/Q0=ε – электродвижущая сила. Отношение работы сторонних сил, сов. при перемещении заряда Q0 к величине этого заряда называется ЭДС. dA=Fст(в) dl(в); A=замкнутый ∫Fст(в) dl(в)= =замкнутый ∫[поL] Q0 Eст(в) dl(в)=Q0 замкнутый ∫Eст(в) dl(в)<>0; Fст(в)=Q0 Eст(в); замкнутый ∫[по L]Eст(в) dl(в)<>0; ∫[по L]E(в) dl(в)=0; Видно, что циркуляция вектора E по замкнотому контуру не равна нулю в отличие от электростатического поля, для которого циркуляция вектора E по замкнутому контуру равна нулю. A/Q0=ε – ЭДС; ε = замкнутый ∫[по L] Eст(в) dl(в); В общем случае в электрической цепи на заряд Q0 электрические и сторонние силы: F(в)=Fст(в)+Fe(в). Работа по перемещению заряда Q0 между точками 1 и 2 электрической цепи может быть расчитана по формуле: dA12=F(в)dl(в)=(Fст(в)+Fe(в))dl(в)=(Q0 Eст(в)+ +Q0 E(в)) dl(в); A12=∫[1 -2] Q0 (Eст(в) + E(в))dl(в)=Q0 ∫[1 – 2] Eст dl +Q0 ∫[1 –2]E(в)dl=Q1 [ε12 + (φ1 – φ2)] Напряжение между точками 1 и 2: U12=A12/Q0=ε12 +(φ1 – φ2) ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИИ. Напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует ЭДС, т.е. сторонние силы отсутствуют. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ. Однородный участок цепи – участок, не содержащий ЭДС. J=U/R – интегральная форма закона Ома. I=jS; U=E – ЭЛ; Сопротивление R=ρ (удельное сопротивление) ЭЛ / S; ρ=ρ0 (единица+αt); jS=E ЭЛ S/ρ ЭЛ; j(в)=E(в)/ρ; единица/ρ – удельная проводимость. ρ=δE(в). ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕQ=I(c.2)R t = (U/R) (c.2) R t = U (c.2) t / R; Q/t=dQ/dt=U(c.2)/R; U=Edl; R=ρ (dl/dS); N=dQ/dt=E(c.2) dl(c.2) dS/ρ dl=E(c.2)dldS/S; W=dN/dV=E(c.2)/S =δE(c.2) ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИИспользуем выражение, полученное ранее. U12 + (φ1 – φ2) подставим его в закон Ома в интегральной форме: I=U12/R=[ε12 + (φ1 – φ2)]/R. В этой формуле ε12 может браться как со знаком “+” (ЭДС способствует движению положительных зарядов), так и со знаком “-”. Если на данном участке цепи ЭДС отсутствует, то в обычной форме. Если цепь замкнута, то φ1=φ2 и I=ε/R. Здесь под R понимаются все сопротивления, включенные в эту цепь. I=ε/(R+r); R – сопротивление внешней части цепи, r – внутреннее сопротивление источника ЭДС. ПРАВИЛА КИРХГОФАПозволяет упростить расчет сложных электрических цепей. 1)алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Узел - – точки схемы, в которых сходятся не менее 3х проводников. I1 + I2 – I3=0; ΣIi=0; 2)алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре равна алгебраической сумме произведений сил токов и сопротивлений каждого из участков этого контура. Выбирается напряжение обхода замкнутого контура, это напряжение должно соблюдаться во всех остальных участках схемы. ε1 – ε2 + ε3= I1R1 – I2R2 +I3R3 +I4R4 Аналогичные уравнения записываются для всех остальных участков схемы, дополняя их уравнениями, записанными по первому правилу Кирхгофа, получаем систему линейных уравнений, решая которую, можно пределить токи во всех участках схемы. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДИМОСТИ МЕТАЛЛОВ. Носителями тока в металлах являются свободные электроны. Свободные электроны в металлах появляются при образовании из отдельных атомов твердого тела. Когда от нейтрального атома отрывается один или несколько электронов, он превращается в положительно заряженный ион, поэтому в металлах кристаллическая решетка представляет из себя упорядоченно расположенные положительно заряженные ионы. Между этими ионами хаотически движутся свободные электроны, которые можно рассматривать как своеобраный электронный газ, обладающий свойствами идеального газа. |
|
Электроны проводимости при движении сталкиваются с ионами решетки. В результате чего устанавливается термо-динамическое равновесие между ионами. Согласно теории электро проводимости Друде-Лоренца, электроны проводимости обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы идеального газа. Средняя скорость молекул теплового движения: <u>=√8kT/πm]; Если эту формулу применить к тепловому движению электро-проводимости, то можно оценить среднюю скорость: T=300K, m=9,11*10(c.-31)кг, <u>~10(c.5)м/с. Когда к проводнику приложить внешнее электрическое поле, на электро-проводник начинает действовать кулоновская сила и электроны начинают упорядоченно двигаться. На среднюю скорость теплового движения накладывается скорость упорядоченного движения электронов. j=ne<v>; <v>=j/ne; j меди =10(c.7)А/м(c.2); n=8,8*10(c.28) 1/м(c.3); e=1,6*10(c. –19) кл. Если подставить эти величины в выражение для средней скорости упорядоченного движения, то получается <v>~7,8*10(c. –4) м/с. Видно, что скорсть теплового движения больше или равна скорости упорядоченного движения <u>>=<v> ЗАКОН ОМАПусть к проводнику приложна постоянная электрического поля E(в)=const. Ускорение, которое получает эл.: a=Fл/m=eE/m; <v>=a<τ >/2, где <τ > - среднее время свободного пробега электронов. <v>=eE<τ >/ 2m; j=n e (c.2) E <τ>/2m; <τ >=<λ>/<u>; В этой формуле учтено, что <u> >> <v>; j(в)=n e (c.2) <λ> E(в)/2m<u>=n e (c.2) <λ> √πm] E(в)/2m √8kT]; j=δE(в); δ= n e (c.2) <λ> √πm]/2m√8kT]; - электро-проводимость. ρ=1/δ ~ √T]; Видно, что элементарная классическая теория электро-проводимости дает зависимость удельного сопротивления от T, вида ρ ~ T; Но дает правильные значение лишь качественно, количественного согласия нет. Правильную количественную зависимость дает квантовая теория. РАБОТА ВЫХОДА ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА. Работа, которую необходимо совершить для удаления электрона из металла в вакуум называется работой выхода. Причин появления работы выхода две. В месте, которое покинул электрон возникает избыточный положительный заряд и электрон притягивается к нему. Второе: над поверхностью металла создается электронное облако на расстоянии порядка размеров атома. Оно образует с наружным слоем положительных ионов двойной электрический слой, поле которого, подобно полю конденсатора. Толщина этого слоя равна нескольким межатомным расстоянием. Этот слой не создает электрического поля во внешнем пространстве, но препятствует выходу электронов из металла. При вылете из металла электрон должен преодалеть эл. поле. задерж. поля. Т.к. при вылете электрона из металла потенциал металла возрастает, на границе металл-вакуум появляется скачок потенциала, называемый поверхностным скачком потенциала, которым и определяется работа выхода электронов из металла. ∆φ=A/e; Т.к. поле вне двойного жлектрического поля отсутствует, то потенциал вакуума равен нулю, а потенциал металла “+” и равно ∆φ. Электрон в металле имеет “-” – значение энергии и его можно рассматривать как частицу, находящуюся в потенциальной яме. Глубина этой ямы равна работе выхода. В различных материалах изменяется от 4 до 25 ЭВ и зависит от химической природы металла и чистоты его поверхности. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ (ТЭЭ) Если сообщить электрическую энергию, равную работе выхода, то электрон может покинуть металл. Это явление называется электронной эмиссией. Эту энергию можно сообщить. Испускание электронов нагретыми металлами называется ТЭЭ. Ia=BUa (c.3/2). Значение зависит от конструкции лампы. ТОК В ГАЗАХПри обычных условиях газ является хорошим изолятором. Для того, чтобы газ стал проводником необходимо, чтобы часть молекул превратилось в ионы. Для этого нужно внешнее воздействие. Таким ионизатором является ультра-фолетовое излучение, электрический разряд, γ-излучение и т.д. Энергия ионизации – энергия, необходима для отрыва иона от нейтральной молекулы или атома газа. Несамостоятельный газовый разряд – разряд в газе, происходящий под действием внешнего воздействия. ПлазмаПОНЯТИЕ О ПЛАЗМЕПлазма – сильно-ионизированное состояние газа. Число “+” и “-“ примерно одинаково. Низкотемпературная, газоразрядная, высокотемпературная. 1) незначительный процент ионизации 10(с.3)К 2) несколько процентов 10(с.4)-10(с.5)К 3) 100% 10 (с.7) – 10(с.8) К. ПЛАЗМЕННАЯ ЧАСТОТАВ плазме существует сильное коллективное взаимодействие частиц, поэтому в ней могут располагаться продольные, упругие волны. Пусть слой площадью S в какой-то мометн времени произвольн смещает положительные и отрицательные заряды на величину . x. Тогда q=n e S x; n – концентрация, e – заряд электрона. Как плоский конденсатор: q=CU=ε0 (S/x) E x; n e x S=ε0 S E; E=n e x/ε0; Fк=eE; a=Fu/m=eE/m=n e(c.2) x/ ε0 m; d2 x/dt(c.2) + n e(c.2) x / ε0m=0. Из этого уравнения видно, что: ω=√ne(c.2)/ε0m]; - плазменная частота. зависит от концентрации зарядов и массы частиц. и примерно =10(c.8)Гц. ДЕБАЕВСКАЯ ДЛИНАУсловием существования плазмы является некоторая минимальная концентрация заряженных частиц, начиная с которых можно говорить о плазме. Эта концентрация может быть определена из условия: L>>D, где L – размер области пространства, в которой находится заряженная частица. D – дебаевский радиус (длина). Радиус – размер области пространства, в которой происходит экранирование электрического поля, создаваемого зарядом одного знака, созданием зарядов другого знака. D=√ε0 n T/2n0 e (c.2)] ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПЛАЗМЫЭлектропроводность определяется упорядоченным движением как положительных, так и отрицательных заряженных частиц, поэтому полученную ранее формулу для плотности тока в проводнике (j=ne(c.2)<τ >E/2m) в случае плазмы можно записать в виде: j={([n+* q+(c.2) *<τ+>]/2m+) + ([n- * q- (c.2) * <τ ->)]/2m -)}*E Магнитное полеМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ. ВЕКТОР МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ В пространстве, окружающем токи и постоянные магниты существует силовое поле, называемое магнитным полем. Важной особенностью магнитного поля является то, что оно действует только на движующиеся заряды. При исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур, размеры которого малы по сравнению с областью пространства, в которой существует магнитное поле. Магнитное поле оказывает ориентированное действие на рамку с током. Ориентирование рамки с током в пространстве будем задавать с помощью вектора нормали к плоскости рамки. Положительное направление нормали выбирают по правилу Буравчика. За направление магнитного поля принимают направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке. За направление магнитного поля может быть также принято напряжение силы, действующей на северный полюс с постоянным магнитом, помещенным в магнитное поле. Вращательный момент M=Fa’*a*sinα=IBbasinα; Fa’=IBb Mmax=IBab=ISB; ab=S. Магнитный момент рамки с током: Pm=IS; Mвращ=Pm*B; B=Mmax/Pm; Эти выводы, полученные для прямоугольника, справедливы для плоской рамки любой произвольной формы. По аналогии с электрическим полем, магнитное поле изображается с помощью силовых линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с напрвлением вектора магнитной индукции B. В отличие от электрического поля силовые линии магнитного поля всегда замкнуты и охватывают проводники тока. До сих пор мы рассматривали магнитные поля, создаваемые токами проводимости (макротоками). Согласно гипотезе Ампера, в любом веществе существуют микротоки, обусловенные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микротоки также создают свое магнитное поле, поэтому магнитное поле в веществе является суммой магнитных поле макро и микро токов. Вектор магнитной индукции B описывает результирующее макро и микро токов. Магнитное поле макротоков описывается вектором H – вектором напряженности магнитного поля. Векторы B и H связаны соотношением B(в)=μ0 μ H(в); μ0 – магнитная постоянная μ0=4π*10(c. -7); μ – магнитная проницаемость вещества, безразмерная величина, показывающая во сколько раз поле макротока усиливается по сравнению с микротоком. |
ЗАКОН АМПЕРА. МАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКАНа помещенный в поле проводник с током действует сила, величина которой тоже будет определяться по формуле: dF(в)=I[dl (в),B(в)]; dF=IdlBsinα, α – угол между l и B. Рассмотрим 2 перпендикулярных бесконечно длнных проводника, по которым в одном направлении текут токи. Видно, что проводники с током притягиваются друг другом. R=1м, I1=I2=1A; dF/dl=2*10(c. –2) H/м. ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСАДля проводника с током I элемент катушки dl …. вектор индукции dB может быть вычислен по формуле: dB(в)=μ0 μ J[dl(в); r (в)] / 4πr (c.3); dB=μ0 μ J dl sinα / 4πr (c.2); ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙЕсли B некоторая область пространства, магнитное поле создается некоторыми токами, то результирующее магнтное поле можно найти по формуле: B(в)=B1(в)+…+Bn(в); B=ΣBi(в) МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ТОКАdl=r dα/sinα; r = R/sinα; dB=μ0 μ I r dα sinα sin(c.2)α / / 4π sinα R(c.2) = μ0 μ I sinα dα / 4πR; B=(μ0 μ I / 4πR)*∫[0 - π] sinαdα=μ0 μ I / 2πR; Второй случай: Магнитное поле в центре кругового тока dB=μ0 μ I dl / 4πR(c.2); B=(μ0 μ I / 4πR(c.2))*∫[0 – 2πR] dl = = μ0 μ I / 2R; ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА (ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА МАГ. ПОЛЯ) Замкнутый ∫[по L] B(в) dl(в); Для того, чтобы определить циркуляцию вектора рассмотрим прямолинейный проводник с током. Выберем контур l в виде окружности, в центре которой находится проводник с током. Замкнутый ∫B(в)dl(в)= =B*замкнутый ∫[по L]dl=μ0 μ I 2 π R / 2 πR=μ0μ I; Эта формула справедлива для контура L любой формы, охватывающего проводник с током. Из этой формулы можно сделать 2 вывода: 1)магнитное поле прямлинейного тока является вихревым – циркуляция вектора B вдоль линии магнитной индукции. 2)циркуляция вектора B магнитного поля прямого тока в вакууме (μ=1) одинаково вдоль всех линий магнитной индукции и равна μ0*I. Рассмотрим контур, неохватывающий проводник с током. Найдем циркуляцию вектора В по этому контуру: Замкнутый ∫[по L] B(в)dl(в); B(в)dl(в)=Bdlcosα dlcosα=rdφ; Замкнутый ∫[по L] B(в)dl(в)= =∫[по 1-a-2]B(в)dl(в) + ∫[2-b -1] B(в) dl; B=μ0 I/2πr ; B(в)dl=Br dφ=μ0 I r dφ / 2πr = μ0 I dφ/2π; (μ0 I/ 2π)*(∫[по 1-a-2] dφ + ∫[2-b-1] dφ)=(μ0 I / 2π)*(∫[φ1 – φ2]dφ + ∫[φ2 – φ1]dφ)=0; Замкнутый ∫B(в)dl(в)=0; Циркуляция вектора B по замкнутому контуру неохватывающая проводник с током равна нулю. Замкнутый ∫[по L] B(в) dl(в)=μ0 Σji=μ0 Jохв; Циркляция вектора В вдоль произвольного замкнутого контура равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром, т.е. на электрический ток через поверхность S, натянутую на этот контур Замкнутый ∫[по L] B(в)dl(в)=μ0 ∫[по S] jdS(в) МАГНИТНЫЙ ПОТОК. ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ МАГ. ПОЛЯdФm=B(в)dS(в); Фm=∫[по S]B(в)dS(в); Линии индукции магнитного поля замкнуты. Рассмотрим замкнутую повехность S и линию индукции, пронизывающую эту поверхность. Т.к. линия индукции замкнута, то каждая из них будет пронизываться замкнутой поверхностью дважды, один раз входя, другой раз выходя. В результате этого она войдет в выражение для потока вектора В через замкнутую поверхность дважды с противоположными знаками. В результате этого суммарный поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность будет равен нулю, поэтому теорема гаусса для магнитного поля имеет вид: Замкнутый ∫[по S] dS(в)=0; Эта формула отражает тот факт, что в природе не существует магнитных зарядов, т.е. источника, на котором могли бы начинаться и заканчиваться линии индукции магнитного поля. Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потоком сцепления этого контура ψ. Например потокосцепление рамки и катушки из N витков: ψ=NФ; Ф – магнитный поток через каждый виток. Потокосцепление контура обусловлена магнитном полем тка в самом контуре называется потокосцеплением самоиндукции. Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в другом контуре, называется потокосцеплением взаимоиндукции. РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ На проводник с током в магнитном поле действует сила ампера. Если проводник не прикреплен, то под действием этой силы ток будет перемещаться и совершает работу. Вычислим ее: Fa=IBl; dA=Fa dx=IBldx=IBdS; dS=ldx; dS=ldx; BdS=dФm; dA=IdФm; A12=∫[1 - 2] IdФm; Если при перемещении проводника y=const, то A12=J(Ф2 – Ф1). Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕРассмотрим замкнтуый контур с током, перемещающийся в магнитном поле. Пусть в положении С – ψ, а в положении С’ – ψ+dψ. Воспользуемся теоремой Гаусса. Покок В через замкнутую поверхность равен нулю. ψ+dФm – (ψ+dψ)=0; dФm=dψ => изменение магнитного потока равно изменению магнитного сцепления при перемещении в магнитном контуре; dA=Idψ; A12=∫[1 -2] Idψ; Если при перемещении контура I=const, то A12=I ∫[1 –2 ] dψ=I(ψ2 – ψ1)=I∆ψ. Работа сил ампера при перемещении в магнитном поле замкнутого контура, электрический ток, который поддерживает постоянство равен произведению силы тока в контуре на изменение его потокосцепления. СИЛА ЛОРЕНЦАСила, действующая на заряженные частицы, двигающиеся в магнитном поле, называется силой Лоренца: F=q[v(в), B(в)]; Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости и следовательно направлению перемещения, поэтому она работы не совершает. Сила Лоренца может изменять только направление движения частицы, но не может изменять ее кинетическую энергию. Если на движующуюся частицу действует не только магнитное поле, но и электрическое, то результирующую силу можно расчитать по формуле: F=qE(в)+q[U(в)B(в)] – обобщенная сила Лоренца. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРО-МАГ. ИНДУКЦИИ. ПРАВИЛО ЛЕНЦА. Явление электромагнитной индукции заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемой этим контуром возникает электрический ток, называемый индукционным потоком. Эксперементально установленно, что величина индукции тока не зависит от способов изменения магнитного потока, а определяет лишь скорость изменения. Индукционный ток в проводнике может возникнуть только под действием ЭДС. ЭДС, возникшая в проводнике при изменении магнитного потока, называется ЭДС-индукции. Согласно закону Фарадея: ε инд=k dФm/dt. Направление индукции тока определяется по правилу Ленца. При всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность натянутую на замкнутый контур, в нем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле препятствует изменению магнитного потока. С учетом правила Ленца закон Фарадея имеет вид: ε инд = - dФm/dt; Поскольку для замкнутого контура dФm=dψ, то ε инд = - dψ/dt ВЫВОД ЗАКОНА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ИЗ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ. εIdt=I(c.2)Rdt+dA; dA=IdФm; εIdt=I(c.2)Rdt+IdФm; I=(ε – dФm/dt)/R=(ε+ε инд)/R; Согласно закону Фарадея возникающая ЭДС индукции, возникает не только в движущемся проводнике, но и в неподвижном. Появление ЭДС индукции в движущемся проводнике можно объяснить действием силы Лоренца на свободные заряды, движущиеся в магнитном поле вместе с проводником. Однако такое объяснение не подходит для неподвижных зарядов. Сила Лоренца на неподвижные заряды не действует. Для объяснения появления ЭДС индукции в неподвижных проводниках Максвел предположил, что всякое перемещене магнитного поля порождает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновеня ЭДС индукции. Циркуляция вектора E электрического поля по замкнутой поверхности контура и есть ЭДС индукции, т.е. ε инд = замкнутый ∫[по L]E(в) dl(в)= - dФm/dt. Это электрическое поле является вихревым (для потенциального поля циркуляция вектора E по замкнутому контуру равна нулю). ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ. ИНДУКТИВНОСТЬ. Электрический ток, текущий в замкнутом контуре создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого по закону Био-савара-Лапласа пропорциональна току, поэтому сцепленный с контуром магнитный поток будет также пропорционален току в этом контуре. Коэффициентом пропорциональности является величина L – индуктивность.Фm=LI; L=Фm/I Если ток в контуре будет изменяться, то будет изменяться и сцепленный с контуром магнитный поток, поэтому в нем будет ЭДС, возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении силы тока в нем назы- |
вается самоиндукцией. ε инд = - dФm/dt= - (L[dI/dt]+J[dl/dt]); L зависит от формы проводника и магнитной проницаемости среды, в которой он находится. Обычно величина L не зависит от силы тока в контуре, поэтому L=const, поэтому ε инд= - L (dI/dt) ЯВЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ Рассмотрим 2 неподвижных контура, в которых текут 2 тока I1 и I2; Ф12=L12 I2; Ф21=L21 I1; ε1= - L12 *(dI2/dt)= =dФ12/dt; ε2= - dФ21/dt. Видно, что при изменении тока в одном контуре, в другом контуре наводится ЭДС – явление взаимной индукции, а ЭДС – ЭДС взаимной индукции. Расчеты показывают, что L12=L21 ИНДУКТИВНОСТЬ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОГО СОЛИНОЙДА. Найдем индуктивность магнитного поля внутри солинойда. Замкнутый ∫[по L]B(в)dl(в)=μ0 ΣIab; Замкнутый ∫ [по L] B(в)dl(в)=∫[по AB]B(в)dl(в)+ +∫[по CB]B(в)dl(в) + ∫[CD]B(в)dl(в)+∫[по DA]B(в)dl(в); Интеграл по участку AB равен нулю, т.к. вне солинойда поле практически отсутствует. Интегралы по участку CD и DA равны по величине и противоположны по знаку => их сумма равна нулю; Замкнутый ∫B(в)dl(в)=∫[по CD]B(в)dl(в). B и dl совпадают по направлению и кроме этого внутри солинойда B=const (т.к. солинойд бесконечно длинный). Если длина CD=ЭЛ, то замкнутый ∫B(в)dl(в)=Bl=μ0 N J; N – число витков, охватывающих контур. B=μ0 N I / l; Ф1=BS, S – площадь поперечного сечения солинойда; ψ=NФ1=NBS – магнитный поток; ψ=N S μ0 μ (N/l) I=μ0μ (N(c.2)/ l )SI; L=μ0 μ (N(c.2)/ l ) S; МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ТОКА. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. Рассмотрим контур индуктивностью L по которому течек ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток Ф=LI. При изменении тока в контуре на dI, dФ=LdI. При этом совершается работа dA. dA=IdФ; A=∫[0 - I]ILdI=LI(c.2)/2 – энергия магнитного поля. A=W=LJ(c.2) / 2; W=½ μ0 μ N(c.2) S B(c.2) l (c.2)/ l N(c.2) μ0 (c.2) μ (c.2)= =½ B(c.2)l S / μ0 μ; lS=V; W=ω/V=½ S(c.2) / μ0 μ = ½ μ0 μ H(c.2)=½ BH – плотность энергии магнитного поля. Магнитное поле в веществеМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТОКИ. МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ АТОМОВ. Все вещества, помещенные в магнитное поле намагничиваются. Согласно гипотезе ампера, в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением атомов и молекул. Будем считать, что электроны в атоме движутся по круговой орбите. Такое движение электронов можно уподобить круговому току. Такой круговой ток будет обладать магнитным моментом Pm(в)=ISn(в); I=eν; ν – частота вращаюгося по орбите электрона; Pm=eνS; Момент импульса: Le=mvr= =m2πνr*r=2mνS; ν=Le/ 2mS; Pm= - e S Le / 2mS= - e Le / 2m; g= - e/2m – гиромагнитное отношение. Гиромагнитное отношение впервые было измерено в опытах Эйнштена и де Гааза. Эксперементально было получено значение g= - e/m, т.е. в 2 раза больше, чем дает теория. Для того, чтобы объяснить такой результат, имевший большое значение для развития физики, было предположено, что кроме орбит магнитное взаимодействие электрона обладает собственным механическим и магнитным моментом – Les, Pms, называется спинным электроном. Эксперементально установлено, что если электрон помещен во внешнее магнитное поле, то собственный магнитный момент Pms= + - e h (в) / 2m; h(в)=h/2π, h – постоянная; eh/2m=μ б – магн. бора. Pms= gs Les; Таким образом магнитный момент атома в общем случае будет складываться из Pa(в)=ΣPm(в) +ΣPms(в); В этой форме не учтены магнитный момент ядра атома, т.к. он на несколько поядков меньше. ТИПЫ МАГНЕТИКОВВсякое вещество является магнетиком, т.е. способно намагничиваться под действием магнитного поля. Пусть электрон в атоме двигается по круговой орбите, которая ориентирована произвольным образом по отношению к внешнему магнитному полю. Оказалось, что во внешнем магнитном поле орбита, по которой движется электрон начинает совершать вращательные движения вокруг вектора В, такое, что угол α остается постоянным. Такое движение называется прецессией. Таким образом электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля своершают процессионное движение, которое эквивалентно круговому току. Т.к. этот ток индуцирован внешнем магнитным полем, то согласно правилу Ленца у атома появляется составное магнитное поле, направленное против внешнего магнитного поля. В результате внешнее магнитное пое ослабляется. Этот эффект полкчил название диамагнетического эффекта, а вещество намагниченное во внешнем магнитном поле против этого поля – диамагнетик.. Т.к. диамагнетический эффект обусловлен взаимодействием внешнего магнитного поля с электронами в атоме, то диамагнетизм присущ всем веществам. Наряду с диамагнетиками существуют парамагнетики – вещества, намагничеснные во внешнем магнитном поле по направлению к полю. У парамагнетика при отсутствии внешнего магнитного поля, магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга и атомы парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. При отсутствии внешнего магнитного поля эти моменты ориентированы хаотично и парамагнетик ненамагничен. Во внешнем магнитном поле магнитный момент ориентирован по полю и внешнее поле парамагнетиком усиливается. Если магнитные моменты атомов и молекул велики, парамагнетические свойства вещества преобладают над диамагнетическими и вещество в целом является парамегнетиком. НАМАГНИЧЕННОСТЬ. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ И ПРОНИЦАЕМОСТЬ. Для количественного описания намагниченного вещества введем векторную величину j (в) – намагниченность магнитных молекул единицы объема веществаl I (в)=Pm(в) / V=(1/V) *(ΣPm(в)). Вектор B характеризует результирующее поле, обусловленное как внешними макротоками, так и внутренними микротоками. B(в)=B0 (в) + В’ (в); B0 (в)=μ0 (в) μ (в); B’(в) – магнетик обусловленный микротоками. Рассмотрим магнетик в виде цилиндра. Пусть этот магнетик помещен во внешнее магнитное поле, индукция которого направлена вдоль оси этого цилиндра. Из этого рисунка видно, что внутри магнетика в каждой его точке микротоки направлены в различных направлениях и слудовательно их поля компенсируют друг друга. Нескомпенсированными остаются только те токи, которые выходят на поверхность. Эти токи можно представить как макроток, текущий по поверхности магнетика. B’ (микроток) = μ0 I’/ l ; Pm=IS; I’/ l – ток, приходящийся на единицу длинны магнетика. I=I’ l / l; Pm=I’ l S / l; V=l S; j = Pm(в)/V=I’/ l; B’(в)=μ0 I (в). В не очень сильных магнитных полях намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля J(в)=ХH(в); X – магнитная восприимчивость. В(в)=B0 (в) + +B’(в)=μ0 H(в) + μ0 Х H(в)=μ0 (1 + X) H(в); 1+X=μ – магнитная проницаемость магнетика. H(в)=B(в)/μ0(1+Х); Для диамагнетика Х<0, μ<1; Для парамагнетика Х>0, μ>1; Для феромагнетика X>>0, μ>>1. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВЕЗакон полного тока для магнитного поля в вакууме: замкнутый ∫[по L]B(в)dl (в)=μ0 Σ Ii. Обобщая это выражение на случай магнитного поля в веществе можно записать: Замкнутый ∫ [по L] B(в) dl (в)=μ0 (I+I’); I – алгебраическая сумма макротоков. I’ – сумма микротоков, охватываемых контуром L. Вектор B характеризует в данном случае результирующее поле, созданное как макротоками в проводнике, так и микротоками в магнетике. Можно доказать, что циркуляция вектора I по замкнутомы контуру L= ∫I(в)dl (в)=I ' B(в)=B0 (в) + B’ (в)=μ0 H+μ0 J(в); (B(в)/μ0) – g(в)=H(в); Замкнутый ∫B(в)/μ0=I+I’=I+∫Jdl(в); Замкнутый ∫[по L] ((B(в)/μ0) - j) dl (в)=I; Замкнутый ∫[по L] H(в) dl (в)=I; Циркуляция вектора H по замкнутомы контуру L равна алгебраической сумме токов проводника, охватываемого этим контуром – это закон полного тока для магнитного поля в вещстве. УСЛОВИЕ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА 2х МАГНЕТИКОВ. Рассмотрим условие, налагаемое на векторы B и H на границе 2х магнетиков: Замкнутый ∫[по S]B(в)dS(в)=0; Из рисунка видно, что поток вектора В через боковую поверхность цилиндра равен нулю (т.к. линии индукции 1 раз входят и 1 раз выходят из замкнутой поверхности). Замкнутый ∫[по S] B(в)dS(в)=∆S B1n - ∆S B2n=0; B1n=B2n; B1n=μ0 μ1 H1n; B2n=μ0 μ2 H2n; H1n/H2n=μ2/μ1; Согласно закону полного тока для поля в веществе: Замкнутый ∫[по L]H(в) dl(в)=J Т.к. в данном случае токов проводимости в магнетике нет, то этот интеграл равен нулю; Замкнутый ∫[по L]Hdl=∫[AB]Hdl+∫[BC]Hdl+∫[CD]Hdl+∫[DA]Hdl Из рисунка видно, что ∫[BC]Hdl+∫[DA]Hdl=0, Замкнутый ∫Hdl=∫[AB]Hdl+∫[CD]Hdl= =H1τ l – H2τ l =0 => H1τ = H2τ; B1τ = μ0 μ1 H1τ; H1τ = B1τ/μ0 μ1; H2τ = B2τ / μ0 μ2; B1τ /μ1=B2τ/μ2; => B1τ / B2τ = μ1 / μ2 – Выражение на границе |
|
tgα1/tgα2=(H1τ/H1n)/(H2τ/H2n)=H2n/H1n=μ1/μ2 ФЕРОМАГНЕТИКИ И ИХ СВОЙСТВАДиа и паро магнетики проявляют слабые магнитные свойства. Феромагнетики – сильные магнитные вещества. Отличительной особенностью феромагнетиков является наличие в них областей, обладающих спантанной намагниченностью, т.е. они намагничиваются даже в отсутствии внешнего магнитного поля. Для слабомагнитных веществ зависимость j от H внешнего магниотного поля линейна, для феромагнетиков эта зависи- мость нелинейна. По мере увеличения H увеличивается степень ориентации магнитных молекул магнитного момента и по достижении определенного уровня магнитного момента будут оринтироваться по полю. Дальнейшее увеличение H не приводит ни к чему и наступает насыщение. Магнитна индукция B=μ0(H+j) в слабых магнитных полях растет преимущественно за счет увеличения степени ориентации магнитного момента. В сильных магнитных полях, когда намагниченность достигает насыщения и в дальнейшем не изменяется, индукция магнитного поля возрастает только за счет увеличения H и эта зависимость становится линейной. B(в)=μ0 (H(в)+j(в)); В связи с этим H изменяется в зависимости от направленности внешнего магнитного поля. μ=B/μ0 H; Для феромагнетиков характерен гистерезис. Иными словами значение j зависит от предыстории процесса. КОЭРУНТИВНАЯ СИЛАПри перемещении феромагнетика в переменное внешнее магнитное поле, дважды за период он будет перемагничиваться (вектор j меняет направление на противоположное). При перемагничивании восершается работа. Эта работа определяется площадью петли гестерезиса. В зависимости от остальной намагниченности и коэруктивные силы делятся на магнито-мягкие и магнито-жесткие. У магнито-мягких феромагнетиков остаточная намагниченность и коэруктивные силы малы, у магнито-жестких велики. Согласно современным исследованием свойства феромагнетиков объясняются тем, что в них есть микроскопические области спантанного намагничивания до насыщения. Эти области называются доменами. Размеры доменов достигают 100 микрон. Внутри домена магнитный момент отдельных атомов и молекул ориентированы строго в одном направлении. Домен намагничен до насыщения – однако магнитные моменты ориентированы хаотично, поэтому в отсутствии внешнего магнитного поля феромагнетики в цепи не намагничиваются. При помощи феромагнетиков во внешнем магнитном поле, магнитные моменты некоторых доменов постепенно оринтируются по полю, кроме этого смещаются границы доменов. При нагревании феромагнетика до некоторой температуры Tк, феромагнетик скачком теряет свои феромагнетические свойства, превращаясь в обычный парамагнетик.Эта температура называется точкой Кюрн. Т.к. магнитные моменты отдельных атомов в домене ориентированы по направлению, то должны существовать силы, действующие между атомами и молекулами феромагнетика, которые бы удерживали эти магнитные моменты в строго параллельном положении. Согласно современным представлениям они имеют обменный характер. В настоящее время установлено, что магнитные свойства феромагнетиков определяются спинным магнитным моментом электронов. Установлено также, что феромагнетическими свойствами могут обладать только вещества, в атомах которых имеются недостроенные внутренние оболочки с нескомпенсированными спиннами некоторых электронов. В таких кристаллах могут возникнуть силы, которые выстраивают спинновые магнитные моменты электронов, что приводит к возникновению областей. Эти силы имеют обменный характер. ФЕРРИТЫФерриты – это полупроводниковые ферромагнетики, которые представляют из себя химические соединения вида MeOFeO3 (Me – Mn, Hg, Cu..). Отличительной особенностью ферритов является то, что эти вещества ферромагнитными свойствами и большим удельным сопротивлением (в 10 раз больше, чем у Me). ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР. Wc=CUmax(c.2)/2; Wэл=LImax(c.2); Uэл+Uc=0 на основании 2го закона Кирхгофа. Uэл=L (dI/dt)=L (d2q/dt(c.2)); Uc=q/C; L (d2q/dt(c.2))+ +q/C=0, разделим на L; (d2 q / dt(c.2))+q/LC=0; (d2 q/dt(c.2))+Wq=0; Решением этого уравнения является q=q0 cos(ω0 t); СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯНа основе 2го закона Кирхгофа имеем Uc=Uэр+Uэл=0; Uэл=L (d2 q/ dt(c.2)); L(d2 q/dt(c.2)) + R (dq/dt) + q/C=0; Введем обозначение: R/L=2β; 1/LC=ω0 (c.2); (d2 q / dt(c.2)) + 2β(dq/dt)+ω0(c.2) q=0; Это дифференциальное уравнение описывает колебательный контур с активным сопротивлением. Решение этого уравнения будет иметь вид q=q e (c. λt); Подставим это решение в каждое дифференциальное уравнение: q0 e(c.λt) λ(c.2) + 2β q0 e(c.λt) λ + ω0(c.2) q0 e(c.λt)=0; λ(c.2)+2∞λ+ω0(c.2)=0 – характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения; λ=(- 2β + - √4β(c.2) – 2 ω0(c.2)])/2= - β + - √β(c.2) – ω0(c.2)]; Подставим это значение в выражение для заряда q (пусть будет “+”); q=q0 e (c. – βt) e(c.√β(c.2) – ω0(c.2)]t); Формула Эйлера: e(c.iφ)=cosφ+isinφ; 1) Видно, что если β>=ω0, то никаких колебаний в этом колебательном контуре не возникает. R/2L=ω0=1/√LC]; Rк=2√L/C] – критическое сопротивление. Если активное сопротивление больше или равно Rк, то процесс разрядки конденсатора носит апериодический характер. 2) В том случае, если β<ω0, то это выражение можно переписать в виде q=q0 e(c. – βt) e(c. i√ω0(c.2) – β(c.2)]t); Видно, что в этом случае в колебательном контуре возникают колебания, частота которых ω=√ω0(c.2)-β(c.2)], q=q0 e(c. – βt) e(c.iωt); Если воспользоваться формулов Эйлера и взять действительную часть этого уравнения, то получим q=q0 e(c. –βt) cosωt. Это выражение представляет из себя затухающие колебания, амплитуда которых A=q0 e(c. – βt); где β – коэффициент затухания. Из выражения ω=√ω0(с.2) – β(c.2)] видно, что частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих ω<ω0. С увеличением активного сопротивления частота затухающих колебаний уменьшается и при R=Rкр становится равной нулю. Видно, что этот процесс носит апериодический характер. Напряжение на конденсаторе будет Uc=q/C=q0 e(c. –βt) cosωt / C; U=q0/C; Uc=U e(c. –βt) cosωt; I=dq/dt=q0 e(c. –βt) (-β) cosω0t +q0 e(c.-βt) ω(-sint); I= - q0 e(c.-βt) [βcosωt+ωsinωt]= - q0 ω0 e(c.-βt)*[(β/ω0)cosωt+(ω/ω0)sinωt]; cosψ= - β/ω0; sinψ=ω/ω0; ω=√ω0(c.2) – β(c.2)]; I=q0 ω0 e(c. –βt) [- cosωt cosψ+sinωt sinψ]=q0 ω0 e(c. –βt) cos(ωt+ψ); Видно, что при наличии активного сопротивления в контуре сила тока опережает по фазе напряжение на контуре(более чем на I/2);π/2<φ<π;λ=ln(A(t)/A(t+T)) - логарифмический декремент; λ=ln(q0 e(c.-βt) / q0 e(c. –β(t+T))=βt; λ=βt; β=R/2L; ω≈ω0; T=2π √LC]; λ=R 2π √LC]/2L=R√C/L]=πR√C/L=πR√C/L]; λ=πR√L/C; Добротность колебательного контура Q=2πω/ω0; ω – запасенная энергия, ∆ω – убыль энергии за один период; q=q0 e(c. –βt) cosωt; ω=q(c.2)/2C=q0(c.2) e(c.-2βt)/2C; dω=(q0(c.2) e(c.-2β)/2C)*(-2β)dt; ∆ω=(q0(c.2) e(c. –2β)/2C)*(-2β)dT; Q=2π(q0(c.2) e(c.-2βt) / 2C) / [(q0(c.2) e(c.-2βt) / 2C) ((+2β)T)]=2π/2βT=π/λ; Q=π/λ=π/(πR√L/C])=(1/R)√L/C]; ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ ЦЕПЕЙДля получения незатухающих колебаний в реальной колебательной системе необходимо компентсировать потери эенргии. Это можно сделать с помощью периодического воздействия на колебательную систему. В случае колебательного контура таким воздействием может быть измеряющееся по гармоническому закону ЭДС или переменное напряжение. Согласно 2му закону Кирхгофа имеем: Uэл+Uc+Uэр=U0 cosωt; L(d2 q/dt(c.2))+R(dq/dt)+q/C=U0cosωt; (d2 q / dt(c.2)) + 2β(dq/dt)+ω0(c.2) q=(U0/L)cosωt – это неоднородное дифференциальное уравнение описывает вынужденные колебания в колебательном контуре. Общим решением неоднородного дифференциального уравнения является сумма частного решения и общего. Общее решение было получено ранее, частное решение: |
q’=qm cos(ωt – ψ), где qm=U0/ω(√R(c.2)+(1/ωC - ωL)(c.2)]; tgψ=RωC-ωL. Таким образом общее решение неоднородного дифференциального уравнения будет выражение вида: q=qm cos(ωt – ψ) + q0 e(c.-βt) cosωt. С течением времени второе слагаемое в этом выражении обращается в ноль. Следовательно устанавливающиеся вынужденные колебания будут записывать выражением вида: q=qm cos(ωt-ψ). Продифференцировав это выражение по времени можно получить силу тока: I=dq/dt= - qm ω sin(ωt-ψ). Это выражение можно преобразовать к виду I=Imax(cosωt-ψ); Imax=Im=qmax ω / √R(c.2)+(ωL-1/ωC)(c.2)]; tgφ= - (ωL-1/ωC)/R; Uc=q/C; Видно, что если ωL>1/ωC ток отстает по фазе от напряжения, если ωL<1/ωC, то опережает. МАКСИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЗАРЯДА При Частоте ω=√ω0(c.2) – 2β(c.2)]=√(1/√LC]) – (2R(c.2)/4L(c.2))]= =√(1/LC) - - (R(c.2)/2L(c.2))]; ω<=ω0; МОДУЛИРОВАННОЕ КОЛЕБАНИЕS=Asin(ωt+φ0) – общее уравнение гармонических колебаний. Модулированные колебания – это колебания, в которых какой-либо параметр (A, ω, t) изменяется по определенному закону. Рассмотрим простой вид модуляции – 1) амплитудная моделяция, когда модулирующая функция представляет гармонические колебания. Меняется “A”. 2) Частотная модуляция, меняется “ω”. AM/FM. 3) фазовая “(ωt+φ0)”. АМПЛИТУДНАЯ: 1) A=A0+A0 b(t); b(t)=b0 cos(Ωt); Пусть φ0=0; S=Asin(ω0t)= =A0(1+b0 cos(Ωt)*sin(ω0t)= =A0sin(ω0t)+A0 b0 cos(Ωt) sin(ω0t)= =A0 sin(ω0t)=(A0 b0 / 2)*sin(ω0 – Ω)t + (A0 b0 / 2) sin(ω0+Ω)t; УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛА. ФАРАДЕЕВСКАЯ И МАКСВЕЛСКАЯ ТРАКТОВКИ ЯВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРО-МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. ТОК СМЕЩЕНИЯ. Согласно закону электро-магнитной индукции Фарадея, изменение магнитного поля приводит к появлению электро-магнитного поля ε= - dФ/dt – ЭДС. Максвел выдвинул гипотезу, что верно и обратное утверждене, изменение электрического поля должно сопровождаться возникновением магнитного поля. Он обобщил закон полного тока: замкнутый ∫ [по L] H(в) dl(в)=j(в), предположив, что переменное электрическое поле также как и электрический ток является источником магнитного поля. Для количественного описания магнитного действия и переменного электрического поля, он ввел понятие тока смещения. Согласно теореме Гаусса Фe=замкнутый ∫ D (в) dS(в)=q; Фe – поток электрического смещения; I=dq/dt=dФe/dt=(d/dt)*замкнутый ∫[по S] D(в) dS(в); Если поверхность S неподвижна (не меняется со временем), то производную по времени можно внести под знак интеграла и переписать выражение в виде: I=замкнутый ∫[по S] (∂D(в)/∂t) dS(в) – ток смещения; плотность тока j=I/S; I=∫[по S] jdS(в). Видно, что плотность тока смещения j см = ∂D(в)/∂t КАЧЕСТВЕННОЕ ОБЪЯСНЕНИЕИзвестно, что цепи постоянного тока должны быть замкнутыми. Для переменного тока это условие не является обязательным (конденсатор) при заряде и разряде конденсатора, ток протекает по проводам, соединяющим обкладки и не проходит через диэлектрик между обкадками, т.е. цепь замкнута. С точки зрения Максвела, цепи в любых непостоянных токах тоже замкнуты. Закнутось таких цепей обеспечивается токами смещения, которые протекают в тех участках, где нет проводников (между обкладками конденсатора). D(в)=ε0 E(в) + P(в); ∂D(в)/∂t=ε0(∂E(в)/∂t) + ∂P(в)/∂t; ∂P(в)/∂t – поляризационность тока; ε0*(∂E(в)/∂t) – плотность тока смещения в вакууме. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМАХ. Математическим выражением теории Максвела служат 4 уравнения, которые принято записывать в 2х формах. В интегральной форме они выражаются соотношением справедливым для проведения магнитным полем поверхностей и контуров. В дифференциальной форме они показывают, как связаны между собой характеристически электромагнитные поля в плотности зарядов токов в каждой точке поля. Дифференциальное уравнение Максвела получается из интегральной формы с помощью двух теорем векторного анализа. ТЕОРЕМА ГАУССА И СТОКСАФ=замкнутый ∫[по S] a(в) dS(в); diva(в)=lim[V0] Ф/V=|дивергенция вект. a|= =lim[V0] (1/V) замкнутый ∫[по S] a(в)dS(в); ∫[V] diva(в)dV=замкнутый ∫[S] a(в) dS(в) – т. ГАУССА diva(в)=(∂ax/∂x) + (∂ay/∂y) + (∂az/∂z) ТЕОРЕМА СТОКСАrot a(в)=lim[S0] Ca / S=|ротор вектора а|=|Ca=замкнутый∫[L] a(в)dl(в)|= =lim[S0] (1/S) замкнутый ∫[L] a(в)dl(в); ∫[S]rot a(в)dS(в)= замкнутый ∫[L] a(в)dl(в) – т. СТОКСА rot a(в)=| i(в), j(в), k(в); ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z; ax, ay, az | ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛАПервое уравнение Максвела является обобщением закона электро-магнитной индукции Фарадея. Замкнутый ∫[L] E(в)dl(в) = - dФ/dt; Ф=∫[S]B(в)dS(в); Замкнутый ∫ E(в)dl(в) = - ∫[S] dB(в) dS(в) / dt – первое уравнение Максвела в интегральной форме. Чтобы перейти от интегральной в дифференциальную форму воспользуемся теоремой Стокса: замкнутый ∫[L] E(в)dl(в)=∫[S] rotE(в)dS(в)= - ∫[S] ∂B(в) dS(в)/∂t; rotE(в) = - ∂B(в)/∂t – первое уравнение Максвела в дифференциальной форме. ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛАВторое уравнение является обобщением закона полного тока: замкнутый ∫[L]H(в)dl(в)=I+Iсмещ = ∫[S] j(в)dS(в) + ∫[S] jсм dS(в)= =∫[S](j+∂D(в)/∂t)dS(в) – второе уравнение максвела в интегральной форме. Использовав теорему Стокса можно получить: замкнутый ∫[L]H(в)dl(в)= =∫[S] rotH(в)dS(в)=∫[S](j+∂D(в)/∂t)dS; rot H(в) = j(в) + ∂D(в)/∂t – второе уравнение Максвела в дифференциальной форме. Если в пространстве нет проводника, то плотность мккротока j=0 и второе (и первое) уравнение Максвела примен вид: rot H(в)=∂D(в)/∂t; rotE(в)= - ∂B(в)/∂t; Видно, что в этом случае электрическое и магнитное поля симметрично входят в уравнения Максвела. Из этого следует очень важный вывод о том, что переменное электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электрическое поле. Второе уравнение Максвела является обобщением теоремы Гаусса для электростатического поля. Он предположил, что эта теорема справедлива для любого поля, как постоянного, так и переменного. Замкнутый ∫[S]D(в)dS(в) = ∫[V] ρdV – третье уравнение Максвела в интегральной форме. Используя теорему Гаусса можно получить дифференциальную форму этого уравнения. Замкнутый ∫[S]D(в)dS(в)=замкнутый∫[V]divD(в)dV=замкнутый ∫[V]ρdV; ρ – плотность свободного заряда. divD(в)=ρ – третье уравнение Максвела в дифференциальной форме. ЧЕТВЕРТОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛАЗамкнутый ∫[S]B(в)dS(в)=0 – интегральная форма четвертого уравнения Максвела. divB(в)=0 – дифференциальная форма четвертого уравнения Максвела. Итак 1 уравнение Максвела является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея. 2 – обобщение закона полного тока (или закона Ампера). 3 – закон кулона (по сути). 4 – невозможность существования максимальных зарядов. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА. Уарвнение Максвела инвариантно относительно преобразований Лоренца. Их вид не меняется от перехода от одной системы отсчета к другой. Хотя величины, описывающие электро-магнитное поле (E,D,H,B) преобразуются по определенному правилу. Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрических и магнитных полей имеет относительный смысл. Ток, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды являются неподвижными……………. сист. отсч. движутся относительно другой системы отсчета => создано не только переменное электрическое поле, но и магнитное. Аналогично неподвижный относительно одной инвариантной системы отсчета возб. постоянное магнитное поле движущееся относительно других инвариантных систем отстчета и созданное им магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. |
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. Волновое уравнение в общем виде имеет вид: ∂2S/∂x(c.2) + ∂2S/∂y(c.2) + + ∂2S/∂z(c.2)=∂2S/v∂t(c.2); v – фазовая скорость распространения волны. Принято кратко записывать это уравнение в виде: ∆S=(1/v(c.2))*(∂2S/∂t(c.2)); Решением этого уравнения является волна вида: S=Aexp[i (ωt – kr +φ0)], r – радиус вектор. Физический смысл имеет только действительная часть этого уравнения, т.е. S=Acos(ωt – kr +φ0). В этих уравнениях S=S(x,y,z,t)=S(r,t). В случае плоской волны S=S(x,t). Волновое уравнение принимает вид: ∂2S/∂x(c.2)=∂2S/v(c.2)∂t(c.2). Можно показать, что для однородной изотопной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвела следует, что E, H перпендикулярного электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям: ∆E=(1/v(c.2)*(∂2E/∂t(c.2); ∆H=(1/v(c.2))*∂2H/∂t(c.2); Всякая функция, удовлетворяющая этим уравнениям описывает некоторую волну, следовательно электро-магнитные поля могут существовать в виде электро-магнитных волн. Фазовая скорость распределения этих волн выражается формулой: v=1*1/ √ε0 ε] * √μ0 μ]. ε0, μ0 – диэлектрическая и магнитная постоянная, ε, μ – диэлектрическая и магнитная проницаемость среды. Поскольку C=1/ √ε0μ0], то v=C/ √εμ]; √εμ]=n – абсолютный показатель преломления среды. Поскольку для большинства сред μ=1, то n=√ε]. В случае плоской электромагнитной волны эти уравнения имеют вид: ∂2E/∂y(c.2)=(1/v(c.2))*(∂2E/∂t(c.2)); ∂2H/∂x(c.2)=(1/v)*(∂2H/∂t(c.2)). Следствием уравнений Максвела является поперечность электромагнитных волн. ∂2Ey/∂z(c.2)=(1/v(c.2))*(∂2Ey/∂t(c.2)); ∂2Hx/∂z(c.2)=(1/v(c.2))*(∂2Hx/∂t(c.2)); Это уравнения плоской электро-магнитной волны вдоль оси z. Решением этих уравнений являются плоские мохроматические волны. Ey=E0 cos(ωt – kz + φ0); Hx=H0 cos(ωt – kz + φ0); Следствием уравнений Максвела является то, что E,H,v образуют правовинтовую систему, кроме этого E и H колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенное значение удовлетворяет условию: √ε0ε]E=√μ0μ]H ВЕКТОР ПОИНТИНГАЭлектромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность энергии элетро-магнитной волны будет складываться из объемной плотности энергии электрического и магнитного поля, т.е.: ω=ω эл + ω м Ранее было получено: ω эл = ε0 ε E(c.2)/2; ω м = μ0 μ H(c.2)/2; ω=(ε0 ε E(c.2) / 2) + (μ0 μ H(c.2) / 2). Учитывая, что √ε0 ε]*E=√μ0 μ]*H, ω эл= ω м; H=(√ε0 ε]/√μ0 μ])*E; ω=(ε0 ε E(c.2) / 2) + (μ0 μ ε0 ε / μ0 μ)*E(c.2)= =ε0 ε E(c.2); ω=ε0εE(c.2)=√ε0ε]*E*√ε0ε]*E=√ε0 ε]E√μ0 μ]H=√ε0 μ0]√ε μ]EH Плотность потока энергии электромагнитной волны S (энергия, переносимая волной за единицу вермени через единичную площадку 1 м(с.2), расположенную перпендикулярно распространения) можно найти ω на скорости распространения электро-магнитной волны. S=ω*v. Учитывая, что v=(1/√ε0 μ0]√ε μ]), имеем: S(в)=E(в)xH(в)=[E(в), H(в)]. Вектор S называется вектором поинтинга (вектор Умова-пойнтинга). Он показывает какая энергия переносится за единицу времени через площадку в 1 м(с.2), расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. ИЗЛУЧЕНИЕ ДИПОЛЯПростешим излучателем электро-магнитных волн является электрический диполь, дипольный момент которого изменяется по гармоническому закону: v=v0 cosωt. Из т. Максвела следует, что всякая заряженная частица, двигающаяся с ускорением, излучает электро-магнитную волну. Т.к. полная энергия гармонического осциллографа пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность электромагнитной волны будет пропорциональна квадрату амплитуды. Электромагнитная волна рассматривается вдали от породившего диполя (L>>λ) пространство вып-ся. В каждой точке E и H колеблются по закону cos. Амплитуда (H0, E0) будет пропорциональна sin(ψ)/r, r – расстояние от диполя до точки наблюдения. Угловое распределение излучения диполя будет определено функцией вида (sin(c.2)(ψ))/r. С помощью модели диполя хорошо описывается взаимодействия электро-магнитного излучения с веществом, в частности процесса поглощения, излучения и рассеяния света. Вы скачали эту шпору с сайта ее автора http://karatel.nm.ru/ Также на сайте находится постоянно обновляемая коллекция абсолютно бесплатных шпор УГАТУ. Набор текста на шпоры по рукописным лекциям – быстро и недорого (г.Уфа), обращайтесь на karatel@yandex.ru |