Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1)Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной.
Определение: Производной функции ƒ в точке хₒ называется предел отношения приращения функции Δу в точке хₒ к вызвавшему его приращению аргумента Δх при условии, что последнее стремиться к нулю
замечание: производная, как предел некоторой функции в некоторой точке, может и не существовать.
Физический смысл: производная функция, выражающая зависимость пройденного пути от времени, является мгновенной скоростью движения.
Док- во
Геометрический смысл: производная равна угловому коэффициенту касательной
Док-во:
Уравнение касательной: у - ƒ(хₒ) = ƒ′(хₒ)(х – хₒ).
3)Дифференцирование суммы, произведения, частного.
Пусть функции и(х) и v(х) дифференцируемы в точке хₒ. Тогда функция h(x) = u(x) + v(x) также дифференцируема в точке хₒ, и при этом h′(xₒ) = u′(xₒ) + v′(xₒ).
Док-во: пусть Δх – приращение аргумента. Ему соответствуют приращения функций Δu, Δν, Δh, так что
Пусть функции и(х) и v(х) дифференцируемы в точке хₒ. Тогда функция h(x) = u(x)v(x) также дифференцируема в точке хₒ, и при этом h′(xₒ) = u′(xₒ)v(xₒ) + u(xₒ)v′(xₒ).
Док-во:
Пусть функции и(х) и v(х) дифференцируемы в точке хₒ, и v(х) ≠ 0. Тогда функция h(x) = u(x)/v(x) также дифференцируема в точке хₒ, и при этом
Поскольку из дифференцируемости функции следует ее непрерывность, то . По свойствам предела:
5)дифференцирование обратной функции
Определение Пусть функция ƒ строго монотонна и непрерывна на интервале (а, в). Пусть, далее, хₒ ϵ (а, в), уₒ = ƒ(хₒ), ƒ дифференцируема в точке хₒ, и ƒ′(хₒ) ≠ 0. Тогда обратная функция φ = ƒ-1 дифференцируема в точке уₒ и при этом φ′(уₒ) = 1/ƒ′(хₒ).
Доказательство
По теореме о пределе композиции имеем:
Замечание: правило дифференцирования обратной функции записываются в виде: у′х=1/х′у
7) Дифференцирование сложной функции
Определение Если функция φ дифференцируема в точке хₒ, функция ƒ дифференцируема в точке tₒ = φ(xₒ), то их композиция h дифференцируема в точке хₒ и h′(хₒ) = ƒ′(tₒ)φ′(xₒ).
Доказательство
тогда равенство можно рассматривать как равенство функций аргумента Δx, справедливое при всех, достаточно малых Δх ≠ 0. поделив обе части на Δх , получаем
Замечание правило дифференцирования сложной функции схематично записывают в виде у′х = у′t ∙ t′x или у′(х) = у′(t) ∙ t(х).
9) Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала.
Определение Дифференциалом dy функции ƒ в точке хₒ называется линейная функция аргумента Δх вида dy = ƒ′(хₒ)Δх, определенная для всех Δх ϵ R.
Замечание: дифференциал dy, как функция аргумента Δх, является при Δх→0 бесконечно малой величиной:
lim dy = lim( ƒ′(xₒ) ∙ Δx) = ƒ′(xₒ) ∙ lim(Δx) = ƒ′(xₒ) ∙ 0 = 0
Геометрический смысл дифференциала
11) Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл второй производной.
Определение: Производная (ƒ′(х))′ функции ƒ′(х) называется производной второго порядка, или второй производной, исходной функции у = ƒ(х).
Замечание: для единства формулировок принято считать исходную функцию производной нулевого порядка; тогда формула
справедлива и при n = 1
13) Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Определение: функция у(х) называется параметрически заданной с помощью зависимостей
х = φ(t), y = ψ(t)
15)теорема Роля:
Пусть функция ƒ удовлетворяет трем условиям:
Тогда существует внутренняя точка с ϵ (a, b), в которой производная равна нулю: ƒ′(с) = 0.
Замечание: геометрически утверждение теоремы означает, что при изменении аргумента от a к b касательная в некоторой точке становиться параллельной оси абсцисс
Такой точкой также является любая из точек экстремума функции.
Доказательство
17)применение производных к раскрытию неопределенностей (правило Лопиталя).
Теорема 1 (о неопределенности 0/0 в конечной точке). Пусть функции ƒ и g удовлетворяют четырем условиям:
Тогда
Док-во:
Положим дополнительно ƒ(а) = g(a) = 0. Тогда ƒ и g непрерывны на [a, b) .выберем какую-либо точку х ϵ (a, b). функции ƒ и g на отрезке [a,x] удовлетворяют условиям теоремы Коши, следовательно
где а < с < х .положение точки с зависит от х, то есть с = с(х). при х→а + 0 имеем с(х) →а + 0.
Поэтому
Замечание: аналогично формируется и доказывается теорема для левостороннего предела и, тем самым для двустороннего предела.
Теорема 2( о неопределенности 0/0 на бесконечности). Пусть функции ƒ и g удовлетворяют четырем условиям:
Тогда
Доказательство
19)точки экстремума функции. Необходимое условие экстремума.
21)наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Пусть функция ƒ непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема во всех его точках, за исключением, может быть конечного их числа. По теореме Вейерштрасса в некоторых точках отрезка функция принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти точки могут оказаться как граничными, так и внутренними точками отрезка.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке достаточно сравнить между собой значения функции на концах отрезка ƒ(а), ƒ(b), а также в тех критических точках, которые лежат внутри отрезка
23)точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия перегиба.
Определение. Если функция ƒ на интервалах () и () имеет противоположные направления выпуклости, то хₒ называется точкой перегиба функции ƒ. Соответствующая точка графика функции Мₒ(хₒ ; ƒ(хₒ)) называется точкой перегиба графика функции.
Замечание. При переходе аргумента через точку перегиба хₒ направление выпуклости меняется, и, значит, в точке нрафика Мₒ касательная переходит с одной его стороны на другую.
Теорема (достаточный признак точки перегиба). Пусть функция ƒ дважды дифференцируема на интервале (a, b), и хₒ ϵ (a, b). Если на интервалах (a, хₒ) и (хₒ, b) вторая производная ƒ′′ имеет разные знаки, то хₒ - точка перегиба.
Доказательство. Различие знаков ƒ′′ слева и справа от точки хₒ влечет за собой противоположность направлений выпуклости графика функции ƒ.
Замечание. «Подозрительными на перегиб» являются критические точки первой производной (в частности, ее стационарное точки, т.е. корни уравнения ƒ′′(х) = 0); для решения вопроса о существовании перегиба нужно исследовать знак второй производной слева и справа от каждой подозрительной точки.
25)вектор. Модуль вектора. Линейные операции над векторами и их свойства.
Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.
Модуль вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a |. В частности, | 0 | = 0.
Если , то его модуль равен .
Линейные операции ?
Свойства линейных операций:
1) ;
2) ;
3) ; ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ; ;
27)разложение вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме. Направляющие косинусы вектора. Условие коллинеарности векторов.
29)векторное произведение двух векторов. Свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.