Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
ГЛАВА VII.СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ.
1.СУЩНОСТЬ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН.
Теоретическое обоснование важности расчета средней величины совокупности дал бельгийский ученый Адольф Кетле (1796-1874). Согласно его теории все процессы и явления происходят под влиянием в основном двух групп причин:
1) общие причины, связанные с сущностью изучаемого явления, определяющие общее состояние процесса, которые формируют типичный уровень для единиц статистической совокупности;
2) индивидуальные причины, не связанные с природой (сущностью) изучаемого явления. Это случайные причины, которые ведут к отклонению численного значения единицы совокупности от ее типичного уровня в положительную или отрицательную стороны.
При большом количестве наблюдений исчисление средней величины приводит к взаимопогашению случайных причин, и средняя величина начинает выражать общие свойства присущие всем единицам совокупности. А. Кетле, после множества таких расчетов пришел к выводу, что исчисленная статистически средняя величина представляет собой не просто результат математического метода измерения, а категорию объективной реальности, то есть истины, очищенной от всяких случайных наслоений.
В этом и заключается сущность того, что средние величины используются для выявления закономерностей, происходящих в социально-экономических процессах, вызванных общими причинами.
Обучающимся следует обратить внимание еще на то, что важным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности, например, средняя зарплата одинаковой категории работников. Следует учесть, что нельзя, например, рассчитать среднюю зарплату в месяц 3-х лиц 30 тыс руб. (бизнесмен), 3 тыс. руб. (работник торговли на рынке), 1,5 тыс.руб (рабочий), так как обследованные лица относятся к разным категориям работников. Вышесказанное является методологической основой использования средних величин для выражения объективной истины. Кроме того, с помощью средних величин проводятся сравнения различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений, процессов в природе и обществе.
2. ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН.
В статистике различают две категории средних величин: средние степенные( гармоническая , геометрическая, арифметическая и т.д.) и средние структурные величины ( мода, медиана, квартили, децили).
Средние степенные.
Наиболее широкий круг свойств совокупности описывается общей формулой степенной средней:
Степенная средняя, в зависимости от степени «Z» равной (-1), 0, 1, 2, 3, 4 , может представлять собой различные виды средних величин.
При «Z»=-1 получаем среднюю гармоническую (Xg), которая часто используется для расчетов средней цены товара на рынках при данных выручки и объеме продаж:
где Xi, - количественное значение признака каждой единицы совокупности;
п - число единиц совокупности.
При «Z»=0 получаем среднюю геометрическую (Xq), которая часто используется в сберегательных банках при расчетах среднего процента:
При «Z»=+1 получаем среднюю арифметическую (Xa), которая используется при анализе социально- экономических явлений:
При изучении явлений с помощью средних величин большое место отводится средней арифметической. Это объясняется тем, что средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, раскрывающими ее сущность. Эти свойства широко используются при расчетах.
Используя эти свойства средней арифметической в статистике можно применять более простую формулу для расчета средней:
а- любое значение.
Данный способ расчета называется пособом “условного нуля” или способом “моментов”.
При «Z»=+2 получаем среднюю квадратическую (Xkb):
При «Z»=-3 получаем среднюю кубическую (Xкуб):
При «Z»=+4 получаем среднюю биквадратическую (Х.бикв):
В расчетах используется средняя антигармоническая (Xag)
Замечено, что численное значение средних величин с повышением у определяющей функции показателя «Z» возрастает. Это свойство в статистике названо «правилом мажорантности», которое можно выразить математическим неравенством нижеследующего вида:
Все выше приведенные формулы статистических величин носят название простых так как они могут быть рассчитаны только при трех условиях если:
1) вариационный ряд короткий;
2) значения признака не сгруппированы;
3) варианты встречаются одинаковое число раз.
Если варианты встречаются неодинаковое число раз, то средние величины рассчитывают не как простые, а взвешенные по формулам представленным в таблице №1
где
fi- частота вариантов;
Хi1 - варианты осредненного признака, рассчитываемые в вариационном ряду по формуле:
где Xin начальное значение признака в интервале,
Xib - конечное значение признака в том же интервале.
Таблица № 7.1
Методы расчета средних величин
№ п/п |
Наименование величины |
Обозначение |
По простому ряду |
По вариационному ряду |
1 |
Средняя арифметическая |
Xa |
||
2 |
Средняя гармоническая |
Xg |
||
3 |
Средняя антигармоническая |
Xag |
||
4 |
Средняя геометрическая |
Xq |
||
5 |
Средняя квадратическая |
Xk |
||
6 |
Средняя кубическая |
Xkub |
||
7 |
Средняя биквадратическая |
Xb |
Для характеристики структуры совокупности применяются особые средние величины, которые называют структурными средними. К таким величинам относятся мода и медиана.
Модой (Мо) называется чаще всего встречающийся вариант, или типичное значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений. Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса , регистрации цен и определяется по формуле:
;
где
Xmo- минимальное значение модальной строки. Сама модальная строка определяется по наибольшей частоте;
- численное значение частоты в модальной строке;
- численное значение частоты в предмодальной строке;
- численное значение частоты в послемодальной строке.
В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, т. е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (fi). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой. Мода всегда бывает несколько неопределенной и зависит как от величины групп, так и от точного положения границ этих групп.
Мода -это именно то число, которое в действительности встречается чаще всего и в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).
Медиана (Ме) -это величина, которая делит численность упорядоченного ранжированного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая - большие. В вариационном ряду с нечетным количеством единиц совокупности медиана определяется по формуле:
где
Xme- нижнее значение медианной строки;
S-1-численной значение накопленной частоты в передмедианной строке;
Fme - частота медианной строки;
n- количество единиц совокупности.
При четном количестве единиц совокупности медиана рассчитывается по формуле:
Делают это для того, что бы избежать слишком сложных расчетов с дробными числами.
Медианную строку определяют по ее номеру (N) N =( n+1) /2 или n / 2 и сравнивают с накопленной частотой (S), ели по численному значению такой величины нет, то за медианную строку принимают значение приближенное к номеру медианы
Следует иметь в виду, что в статистическом анализе используется еще много видов средних величин, но наиболее часто из них исследователи прибегают еще к «средней антигармонической», рассчитываемой отношением суммы квадратов значений элементов в совокупности к сумме самих значений.
Выбор вида средней зависит от характера и сущности изучаемого явления, а также от логико-содержательной сути осредняемого показателя, выражаемого логической формулой.
3. ТЕХНИКА РАСЧЕТА СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН.
Сначала поставим перед собой первую задачу- рассчитать основные средние величины ряда чисел.
1,2,3,4,5,6
Данный ряд простой, поэтому применяем формулы расчета средних величин для простого ряда.
1. Средняя гармоническая (Xcpq)
2. Средняя геометрическая (Xcpg)
=3,2
3. Средняя арифметическая (Xcpa)
= 3,5
4. Средняя квадратическая (Xcpk)
5. Средняя антигармоническая (Xcpag)
Расчет средних показывает, что с увеличением степени числовое значение средней увеличивается.
Задача.
Для расчета средних величин по вариационной таблице используем следующие данные об урожайности гороха по 60 фермерским хозяйствам области ( ц/га)
10,0; 10,3; 10,2; 10,4; 11,0; 11,2; 12,0; 11,8; 11,5; 11,6; 9,4; 9,2; 9,4; 9,8; 8,0; 8,1; 8,7; 10,8; 21,4; 22,0; 18,2; 18,4; 19,8; 19,4; 16,8; 16,4; 17,0; 17,9; 17,1; 18,0; 16,8; 12,1; 12,9; 12,7; 12,3; 12,5; 12,1; 12,9; 12,3; 13,0;13,1; 13,9; 13,8; 13,2; 10,7; 10,3; 11,8; 11,2; 14,1; 14,9; 14,2; 14,4; 14,7; 14,3; 15,1; 15,7; 15,3; 15,7; 15,8; 16,0
На основании вышеприведенных данных следует построить вариационную таблицу Для этого проранжируем первичный ряд (табл.7.2) и величину интервала:
R= Xmax-Xmin R = 22 - 8 = 14, K= 1+3,32* lg N, K= 7
Кружками в таблице обозначим номера фермерских хозяйств с предельным уровнем урожайности для каждой из 7 групп хозяйств.
На основании анализа таблицы составим вариационную таблицу № 7.2, с необходимыми расчетами для определения средних взвешенных величин.
Таблица 7.2
Ранжирование урожайности гороха по фермерским хозяйствам.
№ п/п |
Урож |
№ п/п |
Урож |
№ п/п |
Урож |
№ п/п |
Урож |
|
8 |
|
11,2 |
|
13 |
|
15,8 |
|
8,1 |
|
11,2 |
|
13,1 |
|
16 |
|
8,7 |
|
11,5 |
|
13,2 |
|
16,4 |
|
9,2 |
|
11,6 |
|
13,8 |
|
16,8 |
|
9,4 |
|
11,8 |
|
13,9 |
|
16,8 |
|
9,4 |
|
11,8 |
|
14,1 |
|
17 |
|
9,8 |
|
12 |
|
14,2 |
|
17,1 |
|
10 |
|
12,1 |
|
14,3 |
|
17,9 |
|
10,2 |
|
12,1 |
|
14,4 |
|
18 |
|
10,3 |
|
12,3 |
|
14,7 |
|
18,2 |
|
10,3 |
|
12,3 |
|
14,9 |
|
18,4 |
|
10,4 |
|
12,5 |
|
15,1 |
|
19,4 |
|
10,7 |
|
12,7 |
|
15,3 |
|
19,8 |
|
10,8 |
|
12,9 |
|
15,7 |
|
21,4 |
|
11 |
|
12,9 |
|
15,7 |
|
22 |
Таблица 7.3
№ п/п |
Xi |
Fi |
X′i |
Si |
Fi/X′i |
Fi*Xi |
Xi2 |
Xi2*Fi |
Xi3 |
Xi3*Fi |
Xi4 |
Xi4*Fi |
1 |
8-10 |
8 |
9 |
8 |
0,89 |
72 |
81 |
648 |
729 |
5832 |
6561 |
52488 |
2 |
10-12 |
14 |
11 |
22 |
1,27 |
154 |
121 |
1694 |
1331 |
18634 |
14641 |
204974 |
3 |
12-14 |
13 |
13 |
35 |
1 |
169 |
169 |
2197 |
2197 |
28561 |
28561 |
371293 |
4 |
14-16 |
12 |
15 |
47 |
0,80 |
180 |
225 |
2700 |
3375 |
40500 |
50625 |
607500 |
5 |
16-18 |
7 |
17 |
54 |
0,41 |
119 |
289 |
2023 |
4913 |
34391 |
83521 |
584647 |
6 |
18-20 |
4 |
19 |
58 |
0,21 |
76 |
361 |
1444 |
6859 |
27436 |
130321 |
521284 |
7 |
20-22 |
2 |
21 |
60 |
0,09 |
42 |
441 |
882 |
9261 |
18522 |
194481 |
388962 |
Сумма |
60 |
- |
- |
4,58 |
812 |
- |
11588 |
- |
173876 |
- |
2731148 |
Расчет видов средних простых и взвешенных величин по данным таблицы .
взвешенная;
простая.
2. Средняя геометрическая при Z= 0
3. Средняя арифметическая при Z=+1
; взвешенная
- простая
. ; взвешенная
- простая
5. Средняя биквадратическая при Z= - 4
6. Средняя антигармоническая
Расположив все рассчитанные значения степенных средних в таблице 4, мы увидим, что значение средних увеличивается с увеличением значения степени. Это явление в статистике и называется свойством “мажорантности”.
Таблица 7.4
Значения разных видов средних величин, расчитанных по данным об урожайности гороха в фермерских хозяйствах.
№ п/п |
Вид средней |
Значе- ния степени |
Значение срдней |
% откло- нений |
|
Перв.ряд |
Вариац.ряд |
||||
1 |
гармоническая |
-1 |
12,67 |
12,85 |
0,93 |
2 |
геометрическая |
0 |
12,73 |
12,94 |
1,62 |
3 |
арифметическая |
+1 |
13,55 |
13,53 |
0,15 |
4 |
квадратическая |
+2 |
13,8 |
13,9 |
0,72 |
5 |
биквадратическая |
+4 |
14,48 |
14,61 |
0,89 |
6 |
антигармоническая |
- |
14,34 |
14,27 |
0,49 |
Кроме того, по данным таблицы 7.4 видно, что существуют отклонения в численных значениях по первичному и вариационному ряду, которые колеблятся в пределах от 0,15% до 1,62%, что в статистике допустимо, особенно по средней арифметической. Эти отклонения объясняются тем, что в реальной действительности внутригрупповые средние значения Хi по первичному ряду и Хi , рассчитанные как ( Хmax+Хmin) / 2 не совпадают ( таблица 7.5)
Таблица 7.5
Расчетные данные внутригрупповых средних урожайности гороха по фермерским хозяйствам.
№ п/п |
Число хозяйств в группе |
Сумма по урожаю в группе |
Средняя урожайность |
Отклонения от первичного ряда |
||
По первичному ряду |
По вариационному ряду |
Абсо-лютное |
% |
|||
1 |
8 |
72,6 |
9,08 |
9 |
-0,08 |
-0,89 |
2 |
14 |
154,8 |
11,06 |
11 |
-0,06 |
-0,55 |
3 |
13 |
166,1 |
12,78 |
13 |
+0,22 |
+1,69 |
4 |
12 |
180,2 |
15,02 |
15 |
-0,02 |
-0,13 |
5 |
7 |
120 |
17,14 |
17 |
-1,14 |
-0,82 |
6 |
4 |
75,8 |
18,95 |
19 |
+0,05 |
+0,26 |
7 |
2 |
43,4 |
21,70 |
21 |
-0,7 |
-3,33 |
ср |
60 |
812,9 |
13,55 |
13,53 |
-0,02 |
-0,15 |
Среднегрупповые отклонения и явились причиной незначительных отклонений численных значений различных видов степенных средних по первичному и вариационному ряду.
Средние численные значения Моды и Медианы по данным таблицы 7.2 будут равны:
PAGE 131