Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
БИЛЕТ №7
Движение тела переменной массы. Реактивное движение.
Реактивное движение - движение тела, при котором от тела отделяется и движется какая-то его часть, в результате чего само тело приобретает противоположно направленный импульс.
Дифференциальное уравнение реактивного движения
Реактивное движение основано на третьем законе Ньютона, в соответствии с которым "сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия". Горячие газы, вырываясь из сопла ракеты, образуют силу действия. Сила реакции, действующая в противоположном направлении, называется силой тяги. Эта сила как раз и обеспечивает ускорение ракеты.
Пусть начальная масса ракеты равна m, а ее начальная скорость составляет v. Через некоторое время dt масса ракеты уменьшится на величину dm в результате сгорания топлива. Это приведет к увеличению скорости ракеты на dv. Применим закон сохранения импульса к системе "ракета + поток газа". В начальный момент времени импульс системы равен mv. Через малое время dt импульс ракеты будет составлять
а импульс, связанный с выхлопными газами, в системе координат относительно Земли будет равен
где u − скорость истечения газов относительно Земли. Здесь мы учли, что скорость истечения газов направлена в сторону, противоположную скорости движения ракеты (рисунок 1). Поэтому, перед u поставлен знак "минус".
В соответствии с законом о сохранении полного импульса системы, можно записать:
|
Рис.1 |
Преобразуя данное уравнение, получаем:
В последнем уравнении можно пренебречь слагаемым dmdv, рассматривая малые изменения этих величин. В результате уравнение запишется в виде
Разделим обе части на dt, чтобы преобразовать уравнение в форму второго закона Ньютона:
Данное уравнение называется дифференциальным уравнением реактивного движения. Правая часть уравнения представляет собой силу тяги T:
Конечно, это дифференциальное уравнение описывает идеальный случай. Оно не учитывает силу тяжести и аэродинамическую силу. Их учет приводит к значительному усложнению дифференциального уравнения.
Формула Циолковского
Если мы проинтегрируем выведенное выше дифференциальное уравнение, то получим зависимость скорости ракеты от массы сгоревшего топлива. Результирующая формула называется идеальным уравнением реактивного движения или формулой Циолковского.
Чтобы получить указанную формулу, удобно переписать дифференциальное уравнение в следующем виде:
Разделяя переменные и интегрируя, находим:
Заметим, что dm обозначает уменьшение массы. Поэтому, возьмем приращение dm с отрицательным знаком. В результате, уравнение принимает вид:
где v0 и v1 − начальная и конечная скорость ракеты, а m0 и m1 − начальная и конечная масса ракеты, соответственно.
Полагая v0 = 0, получим формулу, выведенную Циолковским:
Данная формула определяет скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы по мере сгорания топлива. С помощью этой формулы можно грубо оценить запас топлива, необходимый для ускорения ракеты до определенной скорости.