Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Саратовский государственный аграрный университет им. Н.И. Вавилова»
Методические указания к выполнению расчётно-графической работы для студентов специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика и управление на предприятии АПК», «Менеджмент организации»
Саратов 2010
Статистика: Методические указания к выполнению курсовых проектов для студентов экономических специальностей /Сост. Стрелин Б.В., Шарикова И.В., Шибайкин В.А.; ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ». Саратов, 2010.
Описывается методика выполнения расчётно-графической работы (РГР) по статистике с помощью электронных таблиц Excel, её структура, излагаются требования к содержанию расчётно-графической работы, правила оформления.
Предназначены для студентов специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Экономика и управление на предприятии АПК».
Составители:
Стрелин Борис Васильевич
Шарикова Ирина Викторовна
Шибайкин Владимир Анатольевич
Методические указания к выполнению расчётно-графической работы для студентов специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика и управление на предприятии АПК», «Менеджмент организации»
|
Оглавление |
|
|
Введение |
|
|
1.Оформление расчётно-графической работы |
|
|
2. Построение и графическое изображение вариационных рядов |
|
|
2.1 Порядок построения вариационных рядов и их графическое изображение |
|
|
2.2. Методика построения вариационных рядов и их графиков с помощью электронных таблиц Excel |
|
|
3. Статистические характеристики рядов распределения |
|
|
3.1. Показатели центра распределения |
|
|
3.2. Показатели колеблемости признака |
|
|
3.3. Показатели формы распределения |
|
|
3.4.Расчёт статистических характеристик рядов распределения с помощью Excel |
|
|
3.5. Статистические оценки параметров распределения |
|
|
3.6. Проверка гипотезы о законе нормального распределения |
|
|
3.7.Проверка гипотезы о законе нормального распределения по критерию Пирсона с помощью табличного процессора Excel |
|
|
4.Корреляционно-регрессионный анализ |
|
|
4.1.Определение параметров уравнения регрессии и показателей тесноты корреляционной связи |
|
|
4.2. Оценка значимости уравнения регрессии и параметров тесноты связи |
|
|
4.3.Корреляционно-регрессионный анализ в Excel |
Расчетно-графическая работа (РГР) предполагает применение основных приемов статистики для обработки массовой социально–экономической информации. Работа считается творческим модулем в модульно–рейтинговой системе оценке знаний студентов.
Программное обеспечение современных персональных компьютеров позволяет автоматизировать процесс статистических расчетов. Наиболее эффективно использовать для этой цели табличный процессор Microsoft Excel.
Excel предлагает широкий диапазон средств для анализа статистических данных. Такие встроенные функции, как СРЗНАЧ, МЕДИАНА, МОДА, могут быть полезны для проведения несложного анализа. Если встроенных статистических функций недостаточно, то можно обратиться к Пакету анализа.
Пакет анализа, являющийся надстройкой, содержит коллекцию функций и инструментов, расширяющих встроенные аналитические возможности Excel. В частности, его можно использовать для создания гистограмм, ранжирования данных, проведения регрессионного анализа, получения основных статистических характеристик статистической совокупности, генерации случайных чисел с различным распределением и для многих других расчетов. Методические указания являются руководством для студентов к выполнению расчетно-графической работы (РГР) по теории статистики. Они определяют содержание и методику выполнения РГР. Весь программный материал курса разбит на разделы. Перед началом работы студент получает от преподавателя исходные данные. По мере переработки теоретического материала по учебникам и конспекту лекций студент поэтапно обрабатывает данные своего индивидуального плана.
1.Оформление расчётно-графической работы
Расчётно-графическая работа печатается на компьютере шрифтом Times New Roman 14 размера с полуторным междустрочным интервалом, при наборе таблиц используется шрифт 12 размера с одинарным интервалом.
Текст располагается на одной стороне листа бумаги формата А4 (210х297 мм). Размеры полей следующие: верхнее 2 см, нижнее 2 см, левое 3 см, правое 1,5 см.
В тексте не допускаются сокращения слов, кроме общепринятых. К общепринятым относятся такие сокращения как: то есть – т.е., и так далее – и т.д., и тому подобное – и т. п., и другие – и др., год (годы) – г. (гг.), тысячи – тыс., миллионы - млн., миллиарды – млрд. Сокращенно пишутся единицы измерения: единицы массы – тонна – т, центнер – ц, килограмм - кг, грамм – г, миллиграмм – мг; единицы расстояния – километр - км, метр – м, сантиметр - см, миллиметр - мм; единицы площади – квадратный километр – км2, квадратный метр – м2, квадратный сантиметр – см2, гектар – га; единицы объема – кубический километр - км3, кубический метр – м3; трудовые единицы – человеко-час – чел.-ч, человеко-день – чел.-д.; денежные единицы – рубль – руб. Общеизвестные аббревиатуры не расшифровываются, например, РФ, АПК; при пользовании узкоспециализированными сокращениями сначала дается их полное описание, а в скобках указывается аббревиатура, которая в дальнейшем и используется, например: расчётно-графическая работа (РГР), корреляционно-регрессионный анализ (КРА).
РГР открывается титульным листом (форма дана в приложении), после которого помещают оглавление. В оглавлении указываются номера и названия глав и разделов (параграфов), а также номера страниц, с которых они начинаются. Главы и разделы (параграфы) нумеруются арабскими цифрами. Номера разделов (параграфов) состоят из двух цифр, разделенных точкой: первая цифра – номер главы, вторая – номер раздела (параграфа) в главе. В тексте номера и названия глав печатаются прописными (заглавными) буквами жирным шрифтом, а номера и названия разделов (параграфов) строчными буквами жирным шрифтом.
После оглавления идёт содержание РГР, которое начинается таблицей исходных данных.
Оглавление, каждая глава, список использованной литературы печатаются с новой страницы, разделы (параграфы) – после окончания предыдущего раздела. Заголовки отделяются от текста тремя интервалами.
Все страницы РГР нумеруются сквозной нумерацией. Номер страницы проставляется в центре нижней части листа. Титульный лист включается в общую нумерацию, но номер на нем не ставится, т.е. следующая за титульным листом страница с оглавлением будет иметь номер 2.
Таблицы и графики оформляются в соответствии с требованиями, предъявляемыми к статистическим таблицам и графикам. Таблица или график располагается сразу после ссылки на нее (на него) или на следующей странице, если не помещается на данной, при этом оставшаяся часть листа заполняется текстом – комментарием содержания таблицы или графика. При ссылке указывается сокращенное слово «таблица», «рисунок» и номер, например, табл. 1, рис.1. Не рекомендуется разрывать таблицу. Если она не помещается на целой странице, то оставшуюся часть переносят на другую страницу, и перед ней пишут слова «Продолжение таблицы» с указанием ее номера. При этом в оставшейся части таблицы названия граф не повторяют, а отдельной строкой проставляют лишь номера граф. В первой части таблицы графы также должны быть пронумерованы.
Для записи математической формулы выделяется отдельная строка. После формулы ставится запятая, а на следующих строчках, начиная со слова «где» даются пояснения символов и числовых коэффициентов в той последовательности, в которой они размещены в формуле. Формулы нумеруются арабскими цифрами сквозной нумерацией. Номер в круглых скобках указывается справа от формулы.
Работа должна быть подписана исполнителем с указанием даты выполнения.
2. Построение и графическое изображение вариационных рядов
2.1 Порядок построения вариационных рядов
и их графическое изображение
Составление вариационных рядов рассмотрим на следующем примере. Имеем статистическую совокупность из 30 сельскохозяйственных организаций, охарактеризованных двумя признаками: урожайностью озимой пшеницы и затратами труда на 1 ц зерна.
Таблица 1
Урожайность озимой пшеницы и затраты труда на 1 ц зерна (трудоёмкость) в сельскохозяйственных организациях района
|
№ п/п |
Урожай-ность, ц/га х |
Затраты труда на 1 ц зерна, чел.-ч у |
№ п/п |
Урожай-ность, ц/га х |
Затраты труда на 1 ц зерна, чел.-ч у |
№ п/п |
Урожай-ность, ц/га х |
Затраты труда на 1 ц зерна, чел.-ч у |
|
1 |
30,0 |
0,7 |
11 |
25,7 |
1,2 |
21 |
26,5 |
1,1 |
|
2 |
26,6 |
0,9 |
12 |
24,6 |
1,2 |
22 |
26,0 |
1,4 |
|
3 |
25,4 |
1,2 |
13 |
20,0 |
1,5 |
23 |
26,4 |
1,1 |
|
4 |
28,2 |
1,0 |
14 |
20,1 |
1,4 |
24 |
24,7 |
1,2 |
|
5 |
24,5 |
1,1 |
15 |
30,0 |
0,8 |
25 |
29,4 |
0,9 |
|
6 |
26,7 |
1,0 |
16 |
26,3 |
1,1 |
26 |
25,5 |
1,1 |
|
7 |
25,2 |
1,3 |
17 |
21,0 |
1,5 |
27 |
23,2 |
1,1 |
|
8 |
26,8 |
0,9 |
18 |
29,1 |
1,0 |
28 |
22,3 |
1,3 |
|
9 |
24,3 |
1,3 |
19 |
25,0 |
1,4 |
29 |
28,5 |
0,8 |
|
10 |
27,0 |
1,0 |
20 |
28,3 |
1,0 |
30 |
29,5 |
0,9 |
Дискретный вариационный ряд следует построить по результативному (зависимому) признаку (обозначим его у), интервальный - по факторному (независимому) - х. Факторный – это признак, который оказывает влияние на связанный с ним результативный признак. Результативный – это признак, подвергающийся влиянию факторного, зависящий от него. В результате логического рассуждения приходим к выводу, что зависимым, результативным признаком в данном случае будет трудоёмкость – затраты труда на 1 ц зерна, независимым, факторным – урожайность озимой пшеницы. При неизменной технологии затраты труда на 1 га посевной площади будут примерно одинаковы у всех сельскохозяйственных предприятий, так как выполняется определенный перечень работ: лущение стерни, вспашка, боронование, культивация и др. Предположим, что на возделывание 1 га посевной площади озимой пшеницы затрачивается 15 чел.-ч. При этом, если будет получена урожайность 20 ц/га, то затраты труда на 1 ц составят 15:20=0,75 чел.-ч, а при урожайности 30 ц/га 15:30=0,5 чел.-ч. Таким образом, зависимость здесь обратная: чем выше урожайность, тем ниже трудоёмкость – затраты труда на 1 ц продукции.
Следовательно, в соответствии с заданием дискретный вариационный ряд строим по результативному признаку – затратам труда на 1 ц зерна, интервальный вариационный ряд – по факторному признаку – урожайности озимой пшеницы.
Для того чтобы составить дискретный вариационный ряд, необходимо расположить значения признака в порядке возрастания, т.е. произвести ранжирование статистических данных, а затем подсчитать частоты (сколько раз встречается то или иное значение признака).
Для графического изображения дискретного ряда служит многоугольник (полигон). При его построении на оси абсцисс откладываются варианты, на оси ординат - частоты.
Для построения интервального вариационного ряда:
K=1+3,32*lg(n), (1)
где К - число групп (интервалов); n - число единиц наблюдения;
(2)
где хmax – максимальное значение признака; xmin – минимальное значение признака;
Графически интервальный ряд изображают с помощью гистограммы. На оси абсцисс берутся отрезки, соответствующие величине интервала. На каждом отрезке строят прямоугольник, длина второй стороны которого соответствует частоте.
2.2. Методика построения вариационных рядов и их графиков
с помощью электронных таблиц Excel
Построим дискретный вариационный ряд по затратам труда на 1 ц зерна.
Открываем лист Excel, в ячейку А1 записываем условное обозначение результативного признака – у, а в ячейки А2:А31 значения затрат труда на 1 ц зерна. В ячейки В2:В3 введём наименьшее и следующее за ним значения признака 0,7 и 0,8; выделим обе ячейки (В2 и В3). Щёлкнем мышью правый нижний угол выделительной рамки и потянем вниз до значения 1,5 (наибольшее значение признака). В ячейках В2:В10 получим варианты признака в ранжированном порядке. Для определения частот проделаем следующие шаги:
1.Поставим курсор в ячейку С2.
2.Выберем Вставка, Функция.
Выберем в категории Статистические функции функцию Частота и нажмём ОК.
3.В поле данных укажем ячейки А2:А31, а в поле интервалов В2:В10.
4.Нажмём кнопку ОК.
5.Выделим ячейки С2:С10.
6.Нажмём F2, а затем комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.
В ячейках С2:С10 появятся частоты.
Вычислим накопленные частоты, которые потребуются для дальнейших расчётов, путём последовательного суммирования локальных частот (нарастающим итогом). Так, первая плюс вторая частоты дают накопленную частоту второго варианта (1+2=3); прибавляя к ней третью частоту, получим накопленную частоту третьего варианта (3+4=7) и т.д.
Скопируем полученный в Excel вариационный ряд и построим таблицу.
Таблица 2
Дискретный вариационный ряд распределения затрат труда на 1 ц зерна
|
Варианты |
Частоты |
Накопленные частоты |
|
0,7 |
1 |
1 |
|
0,8 |
2 |
3 |
|
0,9 |
4 |
7 |
|
1,0 |
5 |
12 |
|
1,1 |
6 |
18 |
|
1,2 |
4 |
22 |
|
1,3 |
3 |
25 |
|
1,4 |
3 |
28 |
|
1,5 |
2 |
30 |
Построим полигон распределения частот с помощью Мастера диаграмм. Выберем точечную диаграмму, соединим полученные точки отрезками, а крайние точки с осью абсцисс в точках, отстоящих от крайних на расстоянии шага.
Рис. 1. Полигон распределения сельскохозяйственных предприятий по затратам труда на 1 ц зерна
Рассмотрим построение интервального вариационного ряда.
Рис. 2. Построение интервального вариационного ряда
На листе Excel в ячейку А1 записываем условное обозначение факторного признака – х, в ячейки А2:А31 – значения факторного признака – урожайности озимой пшеницы. Произведём сортировку данных, для чего выделяем диапазон данных, выбираем Данные – Сортировка и в появившемся окне «Сортировка диапазона» указываем «по возрастанию», нажимаем ОК. Данные в ячейках А2:А31 расположатся в ранжированном порядке по возрастанию признака. По формуле Стерджесса определяем количество групп (интервалов). Для вычисления десятичного логарифма lg30 выбираем Мастер функций – Математические – LOG10. В появившемся окне в поле Число записываем число 30, десятичный логарифм которого необходимо найти. Нажатием ОК получаем этот логарифм 1,477121. . Подставляя числовые данные в формулу (1), получим число групп (интервалов) 5,9, округляем до 6. По формуле (2) определяем величину интервалов – шаг с такой же точностью, с которой даны исходные данные (в данном случае с точностью до десятых: (30-20)/6≈1,7. Следовательно, совокупность надо разбить на 6 интервалов. . По формуле (2) определяем величину интервалов – шаг с такой же точностью, с которой даны исходные данные (в данном случае с точностью до десятых): (30-20)/6≈1,7. Получаем шаг 1,7. Озаглавим следующие столбцы в Excel словами «Интервалы», «Частоты», «Накопленные частоты», «Середины интервалов». В ячейку В2 вписываем минимальное значение признака Хmin=20, в ячейку В3 формулу =В2+1,7, т.е. минимальное значение плюс шаг. Копируем эту формулу на 5 строк вниз. В результате в этих шести строках (В3:В8) получим верхние границы всех интервалов. Нижними границами интервалов будут данные в соседних верхних ячейках, т.е. для первого интервала нижней границей будет содержание ячейки В2, для второго В3 и для шестого В7.
Для расчёта частот выберем Сервис - Анализ данных – Гистограмма и нажмём ОК. В появившемся окне «Гистограмма» в поле «Входной интервал» копируем исходные данные (ячейки А2:А31), в поле «Интервал карманов» - верхние границы интервалов (ячейки В3:В8), в поле «Выходной интервал» ячейки частот (С3:С8), нажимаем ОК. В ячейки D3:D8 будут записаны частоты для всех шести интервалов. Накопленные частоты подсчитываем нарастающим итогом.
Для построения диаграммы необходимо найти середины интервалов. Для этого вводим формулу расчёта середины интервала: , рассчитаем середину первого интервала. Копируем формулу для остальных пяти групп.
Для построения диаграммы выделяем массив частот и середин интервалов.
Далее в Мастере диаграмм выбираем вид диаграммы - гистограмму определённого вида. Нажимаем кнопку Далее. В появившемся окне выбираем вкладку Ряд, удаляем ряд 1, а в поле «Подписи оси х» копируем середины интервалов. Нажимаем далее, в появившемся окне выбираем вкладку Заголовки. В поле «ось х (категорий)» вписываем название факторного признака (в данном случае урожайность, ц/га), в поле «Ось у (значений)» вписываем частоты. Нажимаем Далее, Готово. Появится диаграмма, состоящая из столбиков, отделённых друг от друга некоторым зазором. Щёлкаем правой кнопкой мыши на одном из столбиков диаграммы. В раскрывающемся списке элементов щёлкаем по кнопке Формат рядов данных. В появившемся диалоговом окне активизируем вкладку Параметры и в поле Ширина зазора устанавливаем значение 0. Нажимаем ОК, в результате чего гистограмма принимает стандартный вид.
3. Статистические характеристики рядов распределения
3.1. Показатели центра распределения
К показателям центра распределения относятся средняя арифметическая, мода и медиана.
Под средней величиной понимают обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень признака и рассчитанный на единицу однородной совокупности.
Средняя арифметическая вычисляется по формулам:
простая ; взвешенная ,
где - среднее значение признака; - варианты; - частоты; - численность совокупности.
Мода - величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.
В дискретных рядах распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.
В интервальном ряду мода определя6ется по формуле:
,
где - нижняя граница интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота послемодального интервала.
Медианой называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда.
Если ряд дискретный имеет нечётное число единиц, то медианой будет варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда и её порядковый номер. Если ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант с порядковыми номерами: и .
В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:
где - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; -частота медианного интервала. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или больше полусуммы всех частот.
3.2. Показатели колеблемости признака
Для измерения колеблемости признака применяются следующие показатели вариации.
Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями изучаемого признака.
R = xmax-xmin
Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая из модулей абсолютных отклонений вариантов от их среднего значения.
Дисперсия - это средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии.
Коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
.
3.3. Показатели формы распределения
Зависимость распределения частот от вариации изучаемого признака есть закономерность распределения. Эмпирическое распределение – распределение, полученное в результате обработки данных статистического наблюдения (эмпирического материала). Теоретическое распределение – это распределение частот в гипотетическом вариационном ряду с бесконечно большим числом единиц совокупности и бесконечно малой величиной интервала.
Теоретическая кривая распределения выражает общую закономерность распределения в чистом виде при исключении влияния случайных факторов.
В статистике широко известны различные виды распределений - нормальное распределение, биноминальное, распределение Пуассона и др. Наибольшее распространение в социально-экономических явлениях имеет нормальное распределение, выражающее закономерности взаимодействия случайных величин. Оно служит удачной моделью, с которой сравнивают анализируемое эмпирическое распределение. Если расхождения не велики, то их объясняют действием случайных факторов и считают данное распределение близким к нормальному. В противном случае делают вывод о несоответствии рассматриваемого распределения нормальному.
В практике статистического исследования встречаются различные типы нормального распределения: 1) одновершинные и многовершинные; 2) симметричные и асимметричные; 3) островершинные и плосковершинные.
К одновершинным относят распределения, в которых одна центральная варианта имеет наибольшую частоту. Многовершинные – это распределения с несколькими максимумами частот.
Симметричные – это распределения, в которых частоты вариант, равностоящих от центра, равны между собой. В асимметричных распределениях частоты убывают от центра вправо и влево с разной скоростью (не равны между собой).
Островершинные – эмпирические распределения, максимальная ордината которых больше максимальной ординаты теоретического распределения. В плосковершинных максимальная ордината эмпирического распределения меньше максимальной ординаты теоретического.
Эмпирические распределения, как правило, асимметричны, то есть смещены по отношению к центру распределения влево или вправо. Для определения направления и величины этого смещения применяется коэффициент асимметрии. Он может быть рассчитан по формулам:
где m3 – центральный момент третьего порядка;
Положительная величина коэффициента указывает на правостороннюю асимметрию, отрицательная - на левостороннюю.
Островершинность распределения характеризуется с помощью коэффициента эксцесса Ех:
где m4 – центральный момент четвертого порядка:
Этот коэффициент положителен при островершинности и отрицателен при плосковершинности.
3.4.Расчёт статистических характеристик рядов распределения с помощью Excel
Большинство параметров ряда распределения вычисляется с помощью функции Описательная статистика.
Откроем лист Excel, скопируем в ячейки А1:А31 данные по урожайности вместе с условным обозначением показателя – х, в ячейки В1:В31 данные по затратам труда на 1 ц зерна.
Справа от исходных данных получим основные характеристики изучаемой совокупности. Уменьшаем разрядность до разумных пределов с помощью кнопки 0 00 (уменьшить разрядность). Копируем эти данные и переносим их в РГР в виде таблицы.
Таблица
Показатели центра, вариации и формы распределения
|
Урожайность озимой пшеницы, ц/га
|
Затраты труда на 1ц зерна, чел.-ч у
|
||
|
Название показателя |
Размер |
Название показателя |
Размер |
|
Среднее |
25,9 |
Среднее |
1,11 |
|
Стандартная ошибка |
0,49 |
Стандартная ошибка |
0,04 |
|
Медиана |
26,2 |
Медиана |
1,1 |
|
Мода |
30 |
Мода |
1,1 |
|
Стандартное отклонение |
2,71 |
Стандартное отклонение |
0,21 |
|
Дисперсия выборки |
7,34 |
Дисперсия выборки |
0,045 |
|
Эксцесс |
0,005 |
Эксцесс |
-0,65 |
|
Асимметричность |
-0,53 |
Асимметричность |
0,12 |
|
Интервал |
10 |
Интервал |
0,8 |
|
Минимум |
20 |
Минимум |
0,7 |
|
Максимум |
30 |
Максимум |
1,5 |
|
Сумма |
776,8 |
Сумма |
33,4 |
|
Счет |
30 |
Счет |
30 |
|
Уровень надежности (95,0%) |
1,01 |
Уровень надежности(95,0%) |
0,079 |
В данной таблице представлены показатели центра распределения – средняя арифметическая, мода и медиана, показатели вариации – дисперсия и среднее квадратическое отклонение, показатели формы распределения – коэффициенты асимметрии и эксцесса. Среднее – это средняя арифметическая величина, стандартная ошибка – это средняя ошибка выборки, стандартное отклонение – среднее квадратическое отклонение, эксцесс и асимметричность – коэффициенты эксцесса и асимметрии, интервал – разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности, минимум – минимальное значение признака, максимум – максимальное значение признака, сумма – сумма всех значений признака, счёт – число единиц совокупности.
На основе приведенных в таблице данных вычислим коэффициент вариации.
Для урожайности:
Для затрат труда:
На основе данных таблицы формулируем выводы.
Выводы. В данной совокупности сельскохозяйственных предприятий средняя урожайность озимой пшеницы составляет 25,9 ц/га, средние затраты труда на 1 ц зерна 1,11 чел.-ч.
Медиана Ме=26,2 показывает, что половина сельскохозяйственных предприятий совокупности имеет урожайность озимой пшеницы меньше 26,2 ц/га, а половина – больше 26,2 ц/га; медиана Ме=1,1, что половина сельскохозяйственных предприятий имеет затраты труда на 1 ц зерна меньше 1,11 чел.-ч, а половина – больше 1,11 чел.-ч.
Мода Мо=30 показывает, что наиболее часто в данной совокупности встречается урожайность 30 ц/га, мода Мо=1,1, что затраты труда 1,1 ц/га имеет наибольшее число хозяйств.
Коэффициенты вариации свидетельствуют о слабой вариации обоих признаков – урожайности озимой пшеницы и затрат труда на 1 ц зерна, так как оба коэффициента меньше 20%.
Коэффициенты эксцесса показывают, что распределение хозяйств по урожайности является островершинным (Ех>0), распределение по затратам труда на 1 ц зерна – плосковершинным (Ex<0).
По коэффициентам асимметрии можно сделать вывод о том, что распределение хозяйств по урожайности имеет левую асимметричность (As<0), распределение по затратам труда на 1 ц зерна – правую асимметричность (As>0).
3.5. Статистические оценки параметров распределения
Изучаемую совокупность можно считать выборкой из генеральной совокупности, состоящей из большого множества сельскохозяйственных предприятий. На основе показателей, рассчитанных по выборке, дают статистическую оценку параметров генеральной совокупности.
Статистической оценкой называется специальная функция, вычисляемая на основании выборочных данных для приближенной замены неизвестного параметра распределения или самого распределения. Различают оценки смещённые и несмещённые, точечные и интервальные.
Возможное расхождение между выборочными и генеральными характеристиками составляет ошибку выборки.
Стандартная ошибка выборочной средней определяется по формуле:
Точечной оценкой генеральной средней является выборочная средняя .
Для определения интервальной оценки необходимо найти доверительный интервал , ,
где - предельная ошибка выборочной средней; - коэффициент доверия, который определяют по таблице распределения Стьюдента по заданным и при малой выборке n <= 30 (приложение 4).
Для нахождения доверительного интервала в Excel выбираем Статистические функции – Доверит, ОК, в появившемся окне заполняем поля: Альфа - уровень значимости (α = 0,05 или 0,01 для социально-экономических явлений); Стандартное отклонение – среднее квадратическое отклонение; Размер – объём выборки (в нашей работе n=30). Нажимаем ОК, появляется значение функции. Так, для урожайности озимой пшеницы в поле Альфа ставим уровень значимости α = 0,05; в поле Стандартное отклонение – 0,4947, в поле Размер – объём выборки 30. При нажатии ОК видим значение 0,177. Это предельная ошибка выборки, С её помощью строим доверительный интервал для генеральной средней:
Вывод: с вероятностью 0,95 мы можем утверждать, что генеральная средняя не выйдет за пределы от 25,7 до 26,1 ц/га.
Аналогичные действия выполним для затрат труда на 1 ц зерна. В соответствующие поля введём уровень значимости, среднее квадратическое отклонение, объём выборки: 0,05; 0,04; 30. Щёлкаем ОК и получаем 0,014. Строим доверительный интервал:
Вывод: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средние затраты труда на 1 ц зерна находятся в интервале от 1,096 до 1,124 чел.-ч.
3.6. Проверка гипотезы о законе нормального распределения
Для объективной оценки степени соответствия эмпирического распределения теоретическому используется ряд особых показателей, называемых критериями согласия. На их базе проверяется гипотеза о законе нормального распределения. Это критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Смирнова и др. Мы рассмотрим критерий Пирсона.
Критерий Пирсона (хи-квадрат) определяется по формуле:
,(1)
где (хи-квадрат) – критерий Пирсона; ni – эмпирические частоты; nt – теоретические частоты.
Теоретические частоты вычисляются по формуле:
,(2)
где – теоретические частоты; - фактические частоты; - шаг (величина интервала); - нормированные отклонения; - значения функции плотности стандартизированного нормального распределения (даны в приложении 2).
Вычисления выполняются в следующей последовательности.
1)Определяются нормированные отклонения:
(3)
2)При рассчитанных значениях t по таблице плотности нормального распределения (значений дифференциальной функции
отыскиваются значения функции плотности стандартизированного нормального распределения.
3)Вычисляется выражение .
4)По приведённой выше формуле (1) рассчитывается критерий Пирсона.
4)Подставляя в формулу значения φ(t) и , определяют теоретические частоты.
Рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным при соответствующем числе степени свободы и заданном уровне значимости. Если расчетное значение χ2 меньше табличного, то делается вывод о несущественности расхождений между эмпирическим и теоретическим распределением (т.е. нулевая гипотеза о том, что распределение подчиняется закону нормального распределения, принимается). В противном случае утверждается, что исследуемое эмпирическое распределение имеет отличный от теоретического закон распределения.
Возможен вариант проверки гипотезы соответствия эмпирического распределения теоретическому с помощью таблиц определения вероятности Р(χ2). В таблице распределения Пирсона (приложение 9) по рассчитанной величине χ2 и числу степеней свободы ν=к-1 находим вероятность Р(χ2). При Р>0.5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределения близки. В остальных случаях делается вывод о несовпадении эмпирического и теоретического распределений.
3.7.Проверка гипотезы о законе нормального распределения по критерию Пирсона с помощью табличного процессора Excel
Вместо заполнения большого количества таблиц можно воспользоваться статистическими функциями.
Проверку гипотезы о законе нормального распределения выполним на примере интервального вариационного ряда, построенного в пункте 2.2, и статистических характеристик ряда из пункта 3.4.
Рис. 3. Хи тест
Полученную в пункте 5 фактическую значимость критерия Пирсона «p» сравниваем с установленным уровнем значимости «α». Если αфакт<α=0,05, то утверждаем, что эмпирическое распределение сходно с теоретическим и нулевая гипотеза отвергается. Далее, если нужно, мы находим фактическое значение критерия по значимости «α» и числа степеней свободы.
4.Корреляционно-регрессионный анализ
4.1.Определение параметров уравнения регрессии и показателей тесноты корреляционной связи
Социально-экономические явления находятся между собой в сложной взаимосвязи, зависимости. По характеру зависимости статистика различает два вида связей:
1)функциональную;
2)корреляционную.
Корреляционная связь характеризуется тем, что между изменением независимой переменной (факторного признака) и зависимой переменной нет полного соответствия: каждому значению факторного признака может соответствовать распределение значений результативного.
Корреляционная связь проявляется лишь в массе случаев – в совокупности достаточно большого объема. При этом изменение независимой величины ведет к изменению среднего значения зависимой переменной.
По направлению различают прямые и обратные связи. При прямой связи с увеличением факторного признака увеличивается результативный. При обратной связи с ростом факторного признака значения результативного уменьшаются.
По аналитическому выражению связи делятся на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные). Линейная связь выражается линейной функцией (уравнением прямой), нелинейная – криволинейной в виде параболы, гиперболы, показательной кривой и т.д.
Функция, отображающая корреляционную связь между признаками, называется уравнением регрессии. Уравнение регрессии выражается функцией у = f(х1,х2,…, хn).
Уравнения регрессии могут иметь следующую форму.
Уравнение гиперболы:
Уравнение параболы второго порядка:
Показательное уравнение
Многофакторная корреляционная связь чаще всего описывается линейным уравнением множественной регрессии:
Параметр α1 в уравнении прямой называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного на единицу. При прямой корреляционной связи коэффициент регрессии имеет положительный знак, при обратной – отрицательный.
Количественная характеристика корреляционной связи дается с помощью ряда статистических показателей – коэффициентов корреляции, регрессии и т.д.
Наиболее распространенным и совершенным методом изучения корреляционных связей является корреляционно-регрессионный анализ.
В процессе корреляционно-регрессионного анализа (КРА) решаются следующие задачи:
определение формы и направления связи, ее количественное выражение в виде уравнения регрессии;
характеристика тесноты связи.
определение значимости, существенности выборочных характеристик тесноты корреляционной связи;
Параметры уравнения регрессии находятся способом наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров уравнения, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии, минимальна. Он дает систему нормальных уравнений, решая которую определяют параметры уравнения регрессии.
Для уравнения парной линейной регрессии ух=α0+α1х система нормальных уравнений следующая: следующая::
Для гиперболы:
Для параболы второго порядка:
Параметры уравнения множественной регрессии при большом числе факторов рассчитываются на ЭВМ.
Для характеристики тесноты парной корреляционной связи используются в основном два показателя:
линейный коэффициент корреляции и соответствующий ему коэффициент детерминации;
корреляционное отношение и соответствующий ему индекс детерминации.
Для измерения тесноты парной линейной связи вычисляется линейный коэффициент корреляции. Статистика разработала ряд формул линейного коэффициента корреляции:
где σх- среднее квадратическое отклонение по факторному признаку;
σу – среднее квадратическое отклонение по результативному признаку.
Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до плюс единицы. Положительный коэффициент корреляции указывает на прямую корреляционную связь, отрицательный – на обратную. Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии. Принята следующая условная градация коэффициента корреляции: r<0,3 – связь слабая, r=0,3 – 0.7 – связь средней силы, r>0.7 – связь тесная.
Квадрат коэффициента корреляции носит название коэффициента детерминации. Он показывает долю факторного признака в вариации результативного.
Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь при линейной форме зависимости. Для характеристики тесноты связи любой формы используется корреляционное отношение. Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:
где δ2 – факторная дисперсия – дисперсия теоретических значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;
σ2 – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.
Указанные дисперсии исчисляются по формулам:
где ух – теоретические значения результативного признака;
ỹ - среднее значение результативного признака в совокупности;
у – фактические (эмпирические) значения результативного признака.
При линейной связи корреляционное отношение и коэффициент корреляции равны.
Корреляционное отношение может принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе данный показатель к единице, тем теснее связь между изучаемыми признаками.
Параметры уравнения регрессии и коэффициент корреляции могут быть рассчитаны с помощью табличного процессора Excel. Для этого на лист Excel копируем исходные данные. В меню Сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкаем по кнопке OK, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака, в поле Входной интервал Х вводим значения факторных признаков. Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK. На рабочем листе появляются результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии.
4.2. Оценка значимости уравнения регрессии и параметров тесноты связи
Для оценки существенности, значимости коэффициента корреляции используется t-критерий Стьюдента.
Находится средняя ошибка коэффициента корреляции по формуле:
На основе ошибки рассчитывается t-критерий:
Рассчитанное значение t-критерия сравнивают с табличным, найденным в таблице распределения Стьюдента при уровне значимости 0,05 или 0,01 и числе степеней свободы n-1. Если расчетное значение t-критерия больше табличного, то коэффициент корреляции признается значимым.
При криволинейной связи для оценки значимости корреляционного отношения и уравнения регрессии применяется F-критерий. Он вычисляется по формуле:
или
где η – корреляционное отношение; n – число наблюдений; m – число параметров в уравнении регрессии.
Рассчитанное значение F сравнивается с табличным для принятого уровня значимости α (0,05 или 0,01) и чисел степеней свободы к1=m-1 и k2=n-m. Если расчетное значение F превышает табличное, связь признается существенной.
Значимость коэффициента регрессии устанавливается с помощью t -критерия Стьюдента, который вычисляется по формуле:
где σ2аi - дисперсия коэффициента регрессии.
Она вычисляется по формуле:
где к – число факторных признаков в уравнении регрессии.
Коэффициент регрессии признается значимым, если ta1≥tкр. tкр отыскивается в таблице критических точек распределения Стьюдента при принятом уровне значимости и числе степеней свободы k=n-1.
4.3.Корреляционно-регрессионный анализ в Excel
Проведём корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи урожайности и затрат труда на 1 ц зерна. Для этого открываем лист Excel, в ячейки А1:А30 вводим значения факторного признака – урожайности зерновых культур, в ячейки В1:В30 значения результативного признака – затрат труда на 1 ц зерна. В меню Сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкаем по кнопке OK, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака (выделяя ячейки В1:В30), в поле Входной интервал Х вводим значения факторного признака (выделяя ячейки А1:А30). Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK. На рабочем листе появляется таблица «ВЫВОД ИТОГОВ», в которой даны результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии.
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
||||||||
|
Регрессионная статистика |
||||||||
|
Множественный R |
0,853301 |
|||||||
|
R-квадрат |
0,728123 |
|||||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,718413 |
|||||||
|
Стандартная ошибка |
0,112121 |
|||||||
|
Наблюдения |
30 |
|||||||
|
Дисперсионный анализ |
||||||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|||
|
Регрессия |
1 |
0,942676 |
0,942676 |
74,9876 |
2,09E-09 |
|||
|
Остаток |
28 |
0,351991 |
0,012571 |
|||||
|
Итого |
29 |
1,294667 |
|
|
|
|||
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
|
Y-пересечение |
2,836242 |
0,200011 |
14,18042 |
2,64E-14 |
2,426538 |
3,245947 |
2,426538 |
3,245947 |
|
Переменная X 1 |
-0,06654 |
0,007684 |
-8,65954 |
2,09E-09 |
-0,08228 |
-0,0508 |
-0,08228 |
-0,0508 |
В данной таблице «Множественный R» - это коэффициент корреляции, «R-квадрат» - коэффициент детерминации. «Коэффициенты: Y-пересечение» - свободный член уравнения регрессии 2,836242; «Переменная Х1» – коэффициент регрессии -0,06654. Здесь имеются также значения F-критерия Фишера 74,9876, t-критерия Стьюдента 14,18042, «Стандартная ошибка 0,112121», которые необходимы для оценки значимости коэффициента корреляции, параметров уравнения регрессии и всего уравнения.
На основе данных таблицы построим уравнение регрессии: ух=2,836-0,067х. Коэффициент регрессии а1=-0,067 означает, что с повышением урожайности зерновых на 1 ц/га затраты труда на 1 ц зерна уменьшаются на 0,067 чел.-ч.
Коэффициент корреляции r=0,85>0,7, следовательно, связь между изучаемыми признаками в данной совокупности тесная. Коэффициент детерминации r2=0,73 показывает, что 73% вариации результативного признака (затрат труда на 1 ц зерна) вызвано действием факторного признака (урожайности зерновых).
В таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора найдём критическое значение F-критерия при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы к1=m-1=2-1=1 и k2=n-m=30-2=28, оно равно 4,21. Так как рассчитанное значение критерия больше табличного (F=74.9896>4,21), то уравнение регрессии признаётся значимым.
Для оценки значимости коэффициента корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента:
В таблице критических точек распределения Стьюдента найдём критическое значение t-критерия при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы n-1=30-1=29, оно равно 2,0452. Так как расчётное значение больше табличного, то коэффициент корреляции является значимым.
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Выполнил студент … курса ….. группы
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(ф.и.о.)
“_ _” _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 20_ _ г.
Саратов 20_ _ г
Таблица значений функции
|
Z |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
|
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
|
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
|
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3725 |
3712 |
3697 |
|
0,4 |
3683 |
3658 |
3652 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
|
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
|
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
|
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3034 |
ЗОН |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
|
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2756 |
2732 |
2709 |
2685 |
|
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
|
1,0 |
2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
|
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
|
1,2 |
1942 |
19196 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
|
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
|
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
|
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
|
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
|
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
|
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
|
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
|
2,0 |
0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
|
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
|
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
|
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
|
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
|
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
|
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
ОНО |
0107 |
|
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
|
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
|
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0046 |
|
3,0 |
0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
|
4,0 |
0001 |
0001 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
Приложение 3
Таблица значений функции Лапласа
|
Z |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0000 |
0041 |
0080 |
0120 |
0160 |
0199 |
0239 |
0279 |
0319 |
0359 |
|
0,1 |
0398 |
0438 |
0478 |
0517 |
0557 |
0596 |
0636 |
0675 |
0714 |
0753 |
|
0,2 |
0793 |
0832 |
0871 |
0910 |
0948 |
0987 |
1026 |
1064 |
1103 |
1141 |
|
0,3 |
1179 |
1217 |
1255 |
1293 |
1331 |
1368 |
1406 |
1443 |
1480 |
1517 |
|
0,4 |
1554 |
1591 |
1628 |
1664 |
1700 |
1736 |
1772 |
1808 |
1844 |
1879 |
|
0,5 |
1915 |
1950 |
1985 |
2019 |
2054 |
2088 |
2123 |
2157 |
2190 |
2224 |
|
0,6 |
2257 |
2291 |
2324 |
2357 |
2389 |
2422 |
2454 |
2486 |
2517 |
2549 |
|
0,7 |
2580 |
2611 |
2642 |
2673 |
2703 |
2734 |
2764 |
2794 |
2823 |
2852 |
|
0,8 |
2881 |
2910 |
2939 |
2967 |
2995 |
3023 |
3051 |
3078 |
3106 |
3133 |
|
0,9 |
3159 |
3186 |
3212 |
3238 |
3264 |
3289 |
3315 |
3340 |
3365 |
3389 |
|
1,0 |
3413 |
3438 |
3461 |
3485 |
3508 |
3531 |
3554 |
3577 |
3599 |
3621 |
|
1,1 |
3643 |
3665 |
3686 |
3708 |
3729 |
3749 |
3770 |
3790 |
3810 |
3830 |
|
1,2 |
3849 |
3869 |
3888 |
3907 |
3925 |
3944 |
3962 |
3980 |
3997 |
4015 |
|
1,3 |
4032 |
4049 |
4066 |
4082 |
4099 |
4115 |
4131 |
4147 |
4162 |
4162 |
|
1,4 |
4192 |
4207 |
4222 |
4236 |
4251 |
4265 |
4279 |
4292 |
4306 |
4177 |
|
1,5 |
4332 |
4345 |
4357 |
4370 |
4382 |
4394 |
4406 |
4418 |
4429 |
4319 |
|
1,6 |
4452 |
4463 |
4474 |
4484 |
4495 |
4505 |
4515 |
4525 |
4535 |
4441 |
|
1,7 |
4554 |
4564 |
4573 |
4582 |
4591 |
4599 |
4608 |
4616 |
4625 |
4545 |
|
1,8 |
4641 |
4649 |
4656 |
4664 |
4671 |
4678 |
4686 |
4693 |
4699 |
4633 |
|
1,9 |
4713 |
4719 |
4726 |
4732 |
4738 |
4744 |
4750 |
4756 |
4761 |
4706 |
|
2,0 |
4772 |
4778 |
4783 |
4788 |
4793 |
4798 |
4803 |
4808 |
4812 |
4767 |
|
2,1 |
4821 |
4826 |
4830 |
4834 |
4838 |
4842 |
4846 |
4850 |
4854 |
4817 |
|
2,2 |
4861 |
4864 |
4868 |
4875 |
4875 |
4878 |
4881 |
4884 |
4887 |
4857 |
|
2,3 |
4893 |
4896 |
4898 |
4904 |
4904 |
4906 |
4909 |
4911 |
4913 |
4890 |
|
2,4 |
4918 |
4920 |
4922 |
4927 |
4927 |
4929 |
4931 |
4932 |
4934 |
4916 |
|
2,5 |
4938 |
4940 |
4941 |
4945 |
4945 |
4946 |
4948 |
4949 |
4951 |
4936 |
|
2,6 |
4953 |
4955 |
4956 |
4959 |
4959 |
4960 |
4961 |
4962 |
4963 |
. 4964 |
|
2,7 |
4965 |
4966 |
4967 |
4969 |
4969 |
4970 |
4971 |
4972 |
4973 |
4974 |
|
2,8 |
4974 |
4975 |
4976 |
4977 |
4977 |
4978 |
4979 |
4979 |
4980 |
4981 |
|
2,9 |
4981 |
4982 |
4982 |
4984 |
4984 |
4984 |
4985 |
4985 |
4986 |
4986 |
|
3,0 |
4987 |
4987 |
4987 |
4988 |
4988 |
4989 |
4989 |
4989 |
4990 |
4990 |
|
3,1 |
4990 |
4991 |
4991 |
4992 |
4992 |
4992 |
4992 |
4992 |
4993 |
4993 |
|
3,2 |
4993 |
4993 |
4994 |
4994 |
4994 |
4994 |
4995 |
4994 |
4995 |
4995 |
|
3,3 |
4995 |
4995 |
4995 |
4996 |
4996 |
4996 |
4996 |
4996 |
4996 |
4997 |
Критические точки распределения Стьюдента
|
Число степеней свободы |
Уровень значимости |
Число степеней свободы |
Уровень значимости |
||||
|
0,10 |
0,05 |
0,01 |
0,10 |
0,05 |
0,01 |
||
|
1 |
6,3138 |
12,706 |
63,657 |
18 |
1,7341 |
2,1009 |
2,8784 |
|
2 |
2,9200 |
4,3027 |
9,9248 |
19 |
1,7291 |
2,0930 |
2,8509 |
|
3 |
2,3534 |
3,1825 |
5,8409 |
20 |
1,7247 |
2,0860 |
2,8453 |
|
4 |
2,1318 |
2,7764 |
4,6041 |
21 |
1,7207 |
2,0796 |
2,8314 |
|
5 |
2,0150 |
2,5706 |
4,0321 |
22 |
1,7171 |
2,0739 |
2,8188 |
|
6 |
1,9432 |
2,4469 |
3,7074 |
23 |
1,7139 |
2,0687 |
2,8073 |
|
7 |
1,8946 |
2,3646 |
3,4995 |
24 |
1,7103 |
2,0639 |
2,7969 |
|
8 |
1,8595 |
2,3060 |
3,3554 |
25 |
1,7081 |
2,0595 |
2,7874 |
|
9 |
1,8331 |
2,2622 |
3,2498 |
26 |
1,7056 |
2,0555 |
2,7787 |
|
10 |
1,8125 |
2,2281 |
3,1693 |
27 |
1,7033 |
2,0518 |
2,7707 |
|
11 |
1,7959 |
2,2010 |
3,1058 |
28 |
1,7011 |
2,0484 |
2,7633 |
|
12 |
1,7823 |
2,1788 |
3,0545 |
29 |
1,6991 |
2,0452 |
2,7564 |
|
13 |
1,7709 |
2,1604 |
3,0123 |
30 |
1,6973 |
2,0423 |
2,7500 |
|
14 |
1,7613 |
2,1448 |
2,9768 |
40 |
1,6839 |
2,0211 |
2,7045 |
|
15 |
1,7530 |
2,1315 |
2,9467 |
60 |
1,6707 |
2,0003 |
2,6603 |
|
16 |
1,7459 |
2,1199 |
2,9208 |
120 |
1,6577 |
1,9799 |
2,6174 |
|
17 |
1,7393 |
2,1098 |
2,8982 |
>120 |
1,6449 |
1,9600 |
2,5758 |
Приложение 5
Критические точки распределения
|
Число степеней свободы |
Уровень значимости |
||||||
|
0,500 |
0,250 |
0,100 |
0,050 |
0,025 |
0,010 |
0,005 |
|
|
1 |
0,45 |
1,32 |
2,71 |
3,84 |
5,02 |
6,63 |
7,88 |
|
2 |
1,39 |
2,77 |
4,61 |
5,99 |
7,38 |
9,21 |
10,60 |
|
3 |
2,37 |
4,11 |
6,25 |
7,81 |
9,35 |
11,34 |
12,84 |
|
4 |
3,36 |
5,39 |
7,78 |
9,95 |
11,14 |
13,28 |
14,86 |
|
5 |
4,35 |
6,63 |
9,24 |
11,07 |
12,83 |
15,09 |
16,75 |
|
6 |
5,35 |
7,84 |
10,64 |
12,59 |
14,45 |
16,81 |
18,55 |
|
7 |
6,35 |
9,04 |
12,02 |
14,07 |
16,01 |
18,48 |
20,28 |
|
8 |
7,34 |
10,22 |
13,36 |
15,51 |
17,53 |
20,09 |
21,96 |
|
9 |
8,34 |
11,39 |
14,68 |
16,92 |
19,02 |
21,67 |
23,59 |
|
10 |
9,34 |
12,55 |
15,99 |
18,31 |
20,48 |
23,21 |
25,19 |
|
11 |
10,34 |
13,70 |
17,28 |
19,68 |
21,92 |
24,72 |
26,76 |
|
12 |
11,34 |
14,85 |
18,55 |
21,03 |
23,34 |
26,22 |
28,30 |
|
13 |
12,34 |
15,98 |
19,81 |
22,36 |
24,74 |
27,69 |
29,82 |
|
14 |
13,34 |
17,12 |
21,06 |
23,68 |
26,12 |
29,14 |
31,32 |
|
15 |
14,34 |
18,25 |
22,31 |
25,00 |
27,49 |
30,58 |
32,80 |
|
16 |
15,34 |
19,37 |
23,54 |
26,30 |
28,85 |
32,00 |
34,27 |
|
17 |
16,34 |
20,49 |
24,77 |
27,59 |
30,19 |
33,41 |
35,72 |
|
18 |
17„34 |
21,60 |
25,99 |
28,87 |
31,53 |
34,81 |
37,16 |
|
19 |
18,34 |
22,72 |
27,20 |
30,14 |
32,85 |
36,19 |
38,58 |
|
20 |
19,34 |
22,83 |
28,41 |
31,41 |
34,17 |
37,57 |
40,00 |
Приложение 6
Критические точки распределения Фишера Снедекора при уровне значимости =0,05
|
- степени свободы для меньшей (внутри-групповой) дисперсии |
- степени свободы для большей (межгрупповой) дисперсии |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,75 |
19,30 |
19,33 |
19,36 |
13,97 |
19,38 |
|
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
|
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
3,53 |
4,39 |
4,78 |
4,71 |
4,15 |
4,10 |
|
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
|
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
|
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,77 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
|
12 |
4,75 |
3,88 |
3,40 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,92 |
2,85 |
2,80 |
|
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,77 |
2,70 |
2,65 |
|
16 |
4,49 |
3,63 |
3,74 |
3,01 |
7,85 |
7,74 |
7,66 |
7,59 |
7,54 |
|
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2,66 |
2,59 |
2,51 |
2,46 |
|
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,52 |
2,45 |
2,40 |
|
24 |
4,96 |
3,40 |
3,01 |
7,78 |
7,67 |
7,61 |
7,4? |
7,36 |
7,30 |
|
25 |
4,24 |
3,38 |
2,99 |
2,76 |
2,60 |
2,49 |
2,41 |
2,34 |
2,28 |
|
27 |
4,21 |
3,35 |
7,96 |
7,73 |
7,57 |
7,46 |
7,37 |
7,30 |
7,75 |
|
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,34 |
2,27 |
2,21 |
|
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2,34 |
2,25 |
2,18 |
2,12 |
|
50 |
4,03 |
3,18 |
2,79 |
2,56 |
2,40 |
2,29 |
2,20 |
2,13 |
2,07 |
|
60 |
4,00 |
3,15 |
2,76 |
2,52 |
2,37 |
2,25 |
2,17 |
2,10 |
2,04 |
|
80 |
3,96 |
3,11 |
2,72 |
2,48 |
2,33 |
2,21 |
2,12 |
2,05 |
1,99 |
|
100 |
3,94 |
3,09 |
2,70 |
2,46 |
2,30 |
2,19 |
2,10 |
2,03 |
1,97 |
|
200 |
3,89 |
3,04 |
2,65 |
2,41 |
2,26 |
2,14 |
2,05 |
1,98 |
1,92 |
Приложение 7
Критические точки распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости =0,01
|
Степени свободы для меньшей (внутригрупповой) дисперсии |
Степени свободы для большей (межгрупповой) дисперсии |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
2 |
98,49 |
99,00 |
99,17 |
99,25 |
99,30 |
99,33 |
99,34 |
99,36 |
99,38 |
|
3 |
34,12 |
30,82 |
29,46 |
28,71 |
28,24 |
27,91 |
27,67 |
27,49 |
27,34 |
|
4 |
21,20 |
18,00 |
16,69 |
15,98 |
15,52 |
15,21 |
14,98 |
14,80 |
14,66 |
|
5 |
16,26 |
13,27 |
12,06 |
11,39 |
10,97 |
10,67 |
10,45 |
10,27 |
10,15 |
|
6 |
13,74 |
10,92 |
9,78 |
9,15 |
8,75 |
8,47 |
8,26 |
8,10 |
7,98 |
|
7 |
12,25 |
9,55 |
8,45 |
7,85 |
7,46 |
7,19 |
7,00 |
6,84 |
6,71 |
|
8 |
11,26 |
8,65 |
7,59 |
7,01 |
6,63 |
6,37 |
6,19 |
6,03 |
5,91 |
|
9 |
10,56 |
8,02 |
6,99 |
6,42 |
6,06 |
5,80 |
5,62 |
5„47 |
5,35 |
|
10 |
10,04 |
7,56 |
6,55 |
5,99 |
5,64 |
5,39 |
5,21 |
5,06 |
4,95 |
|
12 |
9,33 |
6,93 |
5,95 |
5,41 |
5,06 |
4,82 |
4,65 |
4,50 |
4,39 |
|
14 |
8,86 |
6,51 |
5,56 |
5,03 |
4,69 |
4,46 |
4,28 |
4,14 |
4,03 |
|
16 |
8,53 |
6,23 |
5,29 |
4,77 |
4,44 |
4,20 |
4,03 |
3,89 |
3,78 |
|
18 |
8,28 |
6,01 |
5,09 |
4,58 |
4,25 |
4,01 |
3,85 |
3,71 |
3,60 |
|
20 |
8,10 |
5,85 |
4,94 |
4,43 |
4,10 |
3,87 |
3,71 |
3,56 |
3,45 |
|
24 |
7,82 |
5,61 |
4,72 |
4,22 |
3,90 |
3,67 |
3,50 |
3,36 |
3,25 |
|
28 |
7,64 |
5,45 |
4,57 |
4,07 |
3,76 |
3,53 |
3,36 |
3,23 |
3,11 |
|
30 |
7,56 |
5,39 |
4,51 |
4,02 |
3,70 |
3,47 |
3,30 |
3,17 |
3,06 |
|
40 |
7,31 |
5,18 |
4,31 |
3,83 |
3,51 |
3,29 |
3,12 |
2,99 |
2,88 |
|
50 |
7,17 |
5,06 |
4,20 |
3,72 |
3,41 |
3,18 |
3,02 |
2,88 |
2,78 |
|
60 |
7,08 |
4,98 |
4,13 |
3,65 |
3,34 |
3,12 |
2,95 |
2,82 |
2,72 |
|
80 |
6,96 |
4,88 |
4,04 |
3,56 |
3,25 |
3,04 |
2,87 |
2,74 |
2,64 |
|
100 |
6,90 |
4,82 |
3,98 |
3,51 |
3,20 |
2,99 |
2,82 |
2,69 |
2,59 |
|
200 |
6,76 |
4,71 |
3,88 |
3,41 |
3,11 |
2,90 |
2,73 |
2,60 |
2,50 |
Приложение 8
Критерий А. Н. Колмогорова.
Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функций распределения
|
n |
Уровень значимости 0,05 |
Уровень значимости 0,01 |
||||
|
точная граница |
асимптотическая граница |
отношение |
точная граница |
асимптотическая граница |
отношение |
|
|
5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 |
0,5633 0,4087 0,3375 0,2939 0,2639 0,2417 0,2101 0,1884 0,1723 0,1597 0.1496 0,1412 0.1340 |
0,6074 0,4295 0,3507 0,3037 0,2716 0,2480 0,2147 0,1921 0,1753 0,1623 0,1518 0,1432 0,1358 |
1,078 1,051 1,039 1,033 1,029 1,026 1,022 1,019 1,018 1,016 1,015 1,014 1,013 |
0,6685 0,4864 0,4042 0,3524 0,3165 0,2898 0,2521 0,2260 0,2067 0,1917 0,1795 |
0,7279 0,5147 0,4202 0,3639 0,3255 0,2972 0,2574 0,2302 0,2101 0,1945 0,1820 |
1,089 1,058 1,040 1,033 1,028 1,025 1,021 1,018 1,016 1,015 1,014 |
Приложение 9
Значения функции P(λ)
|
λ |
Р |
λ |
Р |
|
0,30 |
1,0000 |
1,10 |
0,1777 |
|
0,35 |
9997 |
1,20 |
1122 |
|
0,40 |
9972 |
1,30 |
0681 |
|
0,45 |
9874 |
1,40 |
0397 |
|
0,50 |
9639 |
1,50 |
0222 |
|
0,55 |
9228 |
1,60 |
0120 |
|
0,60 |
8643 |
1,70 |
0062 |
|
0,65 |
7920 |
1,80 |
0032 |
|
0,70 |
7112 |
1,90 |
0015 |
|
0,75 |
6272 |
2,00 |
0007 |
|
0,80 |
5441 |
2,10 |
0003 |
|
0,85 |
4653 |
2,20 |
0001 |
|
0,90 |
3927 |
2,30 |
0001 |
|
0,95 |
3275 |
2,40 |
0000 |
|
1,00 |
2700 |
2,50 |
0000 |
Приложение 10
Таблица вероятностей Р( χ2 )
|
k χ2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
0,3173 |
0,6065 |
0,8013 |
0,9098 |
0,9626 |
0,9856 |
0,9948 |
0,9982 |
0,9994 |
0,9998 |
|
2 |
0,1573 |
0,3679 |
0,5724 |
0,7358 |
0,8491 |
0,9197 |
0,9598 |
0,9810 |
0,9915 |
0,9963 |
|
3 |
0,0833 |
0,2231 |
0,3916 |
0,5578 |
0,7000 |
0,8088 |
0,8850 |
0,9344 |
0,9643 |
0,9814 |
|
4 |
0,0455 |
0,1353 |
0,2615 |
0,4060 |
0,5494 |
0,6767 |
0,7798 |
0,8571 |
0,9114 |
0,9473 |
|
5 |
0,0253 |
0,0821 |
0,1718 |
0,2873 |
0,4159 |
0,5438 |
0,6600 |
0,7576 |
0,8343 |
0,8912 |
|
6 |
0,0143 |
0,0498 |
0,1116 |
0,1991 |
0,3062 |
0,4232 |
0,5397 |
0,6472 |
0,7399 |
0,8153 |
|
7 |
0,0082 |
0,0302 |
0,0719 |
0,1359 |
0,2206 |
0,3208 |
0,4289 |
0,5366 |
0,6371 |
0,7254 |
|
8 |
0,0047 |
0,0183 |
0,0460 |
0,0916 |
0,1562 |
0,2381 |
0,3326 |
0,4335 |
0,5341 |
0,6288 |
|
9 |
0,0027 |
0,0111 |
0,0293 |
0,0611 |
0,1091 |
0,1736 |
0,2527 |
0,3423 |
0,4373 |
0,5321 |
|
10 |
0,0016 |
0,0067 |
0,0186 |
0,0404 |
0,0752 |
0,1247 |
0,1886 |
0,2650 |
0,3505 |
0,4405 |
|
11 |
0,0009 |
0,0041 |
0,0117 |
0,0266 |
0,0514 |
0,0884 |
0,1386 |
0,2017 |
0,2757 |
0,3575 |
|
12 |
0,0005 |
0,0025 |
0,0074 |
0,0174 |
0,0348 |
0,0620 |
0,1006 |
0,1512 |
0,2133 |
0,2851 |
|
13 |
0,0003 |
0,0015 |
0,0046 |
0,0113 |
0,0234 |
0,0430 |
0,0721 |
0,1118 |
0,1626 |
0,2237 |
|
14 |
0,0002 |
0,0009 |
0,0029 |
0,0073 |
0,0156 |
0,0296 |
0,0512 |
0,0818 |
0,1223 |
0,1730 |
|
15 |
0,0001 |
0,0006 |
0,0018 |
0,0047 |
0,0104 |
0,0203 |
0,0360 |
0,0591 |
0,0909 |
0,1321 |
|
16 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0011 |
0,0030 |
0,0068 |
0,0138 |
0,0251 |
0,0424 |
0,0669 |
0,0996 |
|
17 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0007 |
0,0019 |
0,0045 |
0,0093 |
0,0174 |
0,0301 |
0,0487 |
0,0744 |
|
18 |
- |
0,0001 |
0,0004 |
0,0012 |
0,0029 |
0,0062 |
0,0120 |
0,0212 |
0,0352 |
0,0550 |
|
19 |
- |
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0019 |
0,0042 |
0,0082 |
0,0149 |
0,0252 |
0,0403 |
|
20 |
- |
0,0000 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0012 |
0,0028 |
0,0056 |
0,0103 |
0,0179 |
0,0293 |
|
21 |
- |
- |
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0018 |
0,0038 |
0,0071 |
0,0127 |
0,0211 |
|
22 |
- |
- |
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0012 |
0,0025 |
0,0049 |
0,0089 |
0,0151 |
|
23 |
- |
- |
0,0000 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0017 |
0,0034 |
0,0062 |
0,0107 |
|
24 |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0011 |
0,0023 |
0,0043 |
0,0076 |
|
25 |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0016 |
0,0030 |
0,0053 |
|
26 |
- |
- |
- |
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0011 |
0,0020 |
0,0037 |
|
27 |
- |
- |
- |
0,0000 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0007 |
0,0014 |
0,0026 |
|
28 |
- |
- |
- |
- |
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0010 |
0,0018 |
|
29 |
- |
- |
- |
- |
0,0000 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0006 |
0,0012 |
|
30 |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0004 |
0,0009 |