Саратовский государственный аграрный университет им

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Саратовский государственный аграрный университет им. Н.И. Вавилова»

Кафедра экономической кибернетики

Статистика

Методические указания к выполнению расчётно-графической работы для студентов специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика и управление на предприятии АПК», «Менеджмент организации»

Саратов 2010

Статистика: Методические указания к выполнению курсовых проектов для студентов экономических специальностей /Сост. Стрелин Б.В., Шарикова И.В., Шибайкин В.А.; ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ». Саратов, 2010.

Описывается методика выполнения расчётно-графической работы (РГР) по статистике с помощью электронных таблиц Excel, её структура, излагаются требования к содержанию расчётно-графической работы, правила оформления.

Предназначены для студентов специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Экономика и управление на предприятии АПК».

Составители:

Стрелин Борис Васильевич

Шарикова Ирина Викторовна

Шибайкин  Владимир Анатольевич

Статистика

Методические указания к выполнению расчётно-графической работы для студентов специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика и управление на предприятии АПК», «Менеджмент организации»

Оглавление
Введение
1.Оформление расчётно-графической работы
2. Построение и графическое изображение вариационных рядов
2.1 Порядок построения вариационных рядов и их графическое изображение
2.2. Методика построения вариационных рядов и их графиков   с помощью электронных таблиц Excel
3. Статистические характеристики рядов распределения
3.1. Показатели центра распределения
3.2. Показатели колеблемости признака
3.3. Показатели формы распределения
3.4.Расчёт статистических характеристик рядов распределения с помощью Excel
3.5. Статистические оценки параметров распределения
3.6. Проверка гипотезы о законе нормального распределения
3.7.Проверка гипотезы о законе нормального распределения по критерию Пирсона с помощью табличного процессора Excel
4.Корреляционно-регрессионный анализ
4.1.Определение параметров уравнения регрессии и показателей тесноты корреляционной связи
4.2. Оценка значимости уравнения регрессии и параметров тесноты связи
4.3.Корреляционно-регрессионный анализ в Excel

Введение

Расчетно-графическая работа (РГР) предполагает применение основных приемов статистики для обработки массовой социально–экономической информации. Работа считается творческим модулем в модульно–рейтинговой системе оценке знаний студентов.

Программное обеспечение современных персональных компьютеров позволяет автоматизировать процесс статистических расчетов. Наиболее эффективно использовать для этой цели табличный процессор Microsoft Excel.

Excel предлагает широкий диапазон средств для анализа статистических данных. Такие встроенные функции, как СРЗНАЧ, МЕДИАНА, МОДА,  могут быть полезны для проведения несложного анализа. Если встроенных статистических функций недостаточно, то можно обратиться к Пакету анализа.

Пакет анализа, являющийся надстройкой, содержит коллекцию функций и инструментов, расширяющих встроенные аналитические возможности Excel.  В частности,  его можно использовать для создания гистограмм, ранжирования данных, проведения регрессионного анализа, получения основных статистических характеристик статистической совокупности, генерации случайных чисел с различным распределением и для многих других расчетов. Методические указания являются руководством для студентов к выполнению расчетно-графической работы (РГР) по теории статистики. Они определяют содержание и методику выполнения РГР. Весь программный материал курса разбит на разделы. Перед началом работы  студент получает от преподавателя исходные данные. По мере переработки теоретического материала по учебникам и конспекту лекций студент поэтапно обрабатывает данные своего индивидуального плана.

1.Оформление расчётно-графической работы

Расчётно-графическая работа печатается на компьютере шрифтом Times New Roman 14 размера с полуторным междустрочным интервалом, при наборе таблиц используется шрифт 12 размера с одинарным интервалом. 

Текст располагается  на одной стороне  листа бумаги формата А4 (210х297 мм). Размеры полей следующие: верхнее 2 см, нижнее 2 см, левое 3 см, правое 1,5 см.

В тексте не допускаются сокращения слов, кроме общепринятых. К общепринятым относятся такие сокращения как: то есть – т.е., и так далее – и т.д., и тому подобное – и т. п., и другие – и др., год (годы) – г. (гг.), тысячи – тыс.,  миллионы - млн., миллиарды – млрд. Сокращенно  пишутся единицы измерения: единицы массы – тонна – т, центнер – ц, килограмм - кг, грамм – г, миллиграмм – мг; единицы расстояния – километр - км, метр – м, сантиметр - см, миллиметр - мм; единицы площади – квадратный километр – км2, квадратный метр – м2, квадратный сантиметр – см2, гектар – га; единицы объема – кубический километр - км3, кубический метр – м3; трудовые единицы – человеко-час – чел.-ч, человеко-день – чел.-д.;  денежные единицы – рубль – руб. Общеизвестные аббревиатуры не расшифровываются, например, РФ, АПК; при пользовании узкоспециализированными сокращениями сначала дается их полное описание, а в скобках указывается аббревиатура, которая в дальнейшем и используется, например: расчётно-графическая работа (РГР), корреляционно-регрессионный анализ (КРА).

РГР открывается титульным листом (форма  дана в приложении), после которого помещают оглавление. В оглавлении указываются номера и названия глав и разделов (параграфов), а также номера страниц, с которых они начинаются. Главы и разделы (параграфы) нумеруются арабскими цифрами. Номера разделов (параграфов) состоят из двух цифр, разделенных точкой: первая  цифра – номер главы, вторая – номер раздела (параграфа) в главе. В тексте номера и названия глав печатаются прописными (заглавными) буквами жирным шрифтом, а номера и названия разделов (параграфов) строчными буквами жирным шрифтом.

После оглавления идёт содержание РГР, которое начинается таблицей исходных данных.

Оглавление, каждая глава, список использованной литературы печатаются с новой страницы, разделы (параграфы) – после окончания предыдущего раздела. Заголовки отделяются от текста тремя интервалами.

Все страницы РГР нумеруются сквозной нумерацией. Номер страницы проставляется в центре нижней части листа. Титульный лист включается в общую нумерацию, но номер на нем не ставится, т.е. следующая за титульным листом страница с оглавлением будет иметь номер 2.

Таблицы и графики оформляются в соответствии с требованиями, предъявляемыми к статистическим таблицам и графикам. Таблица или график располагается сразу после ссылки на нее (на него) или на следующей странице, если не помещается на данной, при этом оставшаяся часть листа заполняется текстом – комментарием содержания таблицы или графика. При ссылке указывается сокращенное слово «таблица», «рисунок»  и  номер, например, табл. 1, рис.1.  Не рекомендуется разрывать таблицу. Если она не помещается на целой странице, то оставшуюся часть переносят на другую страницу, и перед ней пишут слова «Продолжение таблицы» с указанием ее номера. При этом в оставшейся части таблицы названия граф не повторяют, а отдельной строкой проставляют лишь номера граф. В первой части таблицы графы также должны быть пронумерованы.

Для записи математической формулы выделяется отдельная строка. После формулы ставится запятая, а на следующих строчках, начиная со слова «где» даются пояснения символов и числовых коэффициентов в той последовательности, в которой они размещены в формуле. Формулы нумеруются арабскими цифрами сквозной нумерацией. Номер  в круглых скобках указывается справа от формулы.

Работа должна быть подписана исполнителем с указанием даты выполнения.

 2. Построение и графическое изображение вариационных рядов 

2.1 Порядок построения вариационных рядов

и их графическое изображение

Составление вариационных рядов рассмотрим на следующем примере. Имеем статистическую совокупность из 30 сельскохозяйственных  организаций, охарактеризованных двумя признаками: урожайностью озимой пшеницы и затратами труда на 1 ц зерна.

Таблица 1

Урожайность озимой пшеницы и затраты труда на 1 ц зерна (трудоёмкость) в сельскохозяйственных организациях района

№ п/п	Урожай-ность, ц/га х	Затраты труда на 1 ц зерна, чел.-ч у	№ п/п	Урожай-ность, ц/га х	Затраты труда на 1 ц зерна, чел.-ч у	№ п/п	Урожай-ность, ц/га х	Затраты труда на 1 ц зерна, чел.-ч у
1	30,0	0,7	11	25,7	1,2	21	26,5	1,1
2	26,6	0,9	12	24,6	1,2	22	26,0	1,4
3	25,4	1,2	13	20,0	1,5	23	26,4	1,1
4	28,2	1,0	14	20,1	1,4	24	24,7	1,2
5	24,5	1,1	15	30,0	0,8	25	29,4	0,9
6	26,7	1,0	16	26,3	1,1	26	25,5	1,1
7	25,2	1,3	17	21,0	1,5	27	23,2	1,1
8	26,8	0,9	18	29,1	1,0	28	22,3	1,3
9	24,3	1,3	19	25,0	1,4	29	28,5	0,8
10	27,0	1,0	20	28,3	1,0	30	29,5	0,9

Дискретный вариационный ряд следует построить по результативному  (зависимому) признаку (обозначим его у), интервальный  - по факторному  (независимому) - х. Факторный – это признак, который оказывает влияние на связанный с ним результативный признак. Результативный – это признак, подвергающийся влиянию факторного, зависящий от него. В результате логического рассуждения приходим к выводу, что зависимым, результативным признаком в данном случае будет трудоёмкость – затраты труда на 1 ц зерна, независимым, факторным – урожайность озимой пшеницы. При неизменной  технологии затраты труда на 1 га посевной площади будут примерно одинаковы у всех сельскохозяйственных предприятий, так как выполняется определенный перечень работ: лущение стерни, вспашка, боронование, культивация и др. Предположим, что на возделывание  1 га посевной площади озимой пшеницы  затрачивается 15 чел.-ч. При этом, если будет получена урожайность 20 ц/га, то затраты труда на 1 ц составят 15:20=0,75 чел.-ч, а при урожайности 30 ц/га 15:30=0,5 чел.-ч. Таким образом, зависимость здесь обратная: чем выше урожайность, тем ниже трудоёмкость – затраты труда на 1 ц продукции.

Следовательно, в соответствии с заданием дискретный вариационный ряд строим по результативному признаку – затратам труда на 1 ц зерна, интервальный вариационный ряд – по факторному признаку – урожайности озимой пшеницы.

Для того чтобы составить дискретный вариационный ряд, необходимо расположить значения признака в порядке возрастания, т.е. произвести ранжирование статистических данных, а затем подсчитать частоты (сколько раз встречается то или иное значение признака).

Для графического изображения дискретного ряда служит многоугольник (полигон). При его построении на оси абсцисс откладываются варианты, на оси  ординат - частоты.

Для построения интервального вариационного ряда:

•  определяется число групп (число интервалов) по формуле Стерджесса:

                                       K=1+3,32*lg(n), (1)

где К - число групп (интервалов); n - число единиц наблюдения;

•  рассчитывается величина интервала, т.е. разность между верхним и нижним значением признака в группе:

(2)

где хmax – максимальное значение признака; xmin – минимальное значение признака;

•  формируются группы, т.е. устанавливаются верхние и нижние границы для каждого интервала. Нижней границей для первой группы будет xmin (или эта величина, уменьшенная не более чем на половину величины интервала); чтобы найти верхнюю границу, нужно к нижней границе прибавить величину интервала h. Верхняя граница первой группы будет одновременно нижней границей для второго интервала. Чтобы найти верхнюю границу, к полученному значению опять прибавляют величину интервала и т.д.;
•  подсчитывается число значений признака, попавших в каждый интервал; варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включаются в правый интервал.  

Графически интервальный ряд изображают с помощью гистограммы. На оси абсцисс берутся отрезки, соответствующие величине интервала. На каждом отрезке строят прямоугольник, длина второй стороны которого соответствует частоте.

2.2. Методика построения вариационных рядов и их графиков

  с помощью электронных таблиц Excel

Построим дискретный вариационный ряд по затратам труда на 1 ц зерна.

Открываем лист Excel, в ячейку А1 записываем условное обозначение результативного признака – у, а в ячейки А2:А31 значения затрат труда на 1 ц зерна. В ячейки В2:В3 введём  наименьшее и следующее за ним значения признака 0,7 и 0,8; выделим обе ячейки (В2 и В3). Щёлкнем мышью правый нижний угол выделительной рамки и потянем вниз до значения 1,5 (наибольшее значение признака). В ячейках В2:В10 получим варианты признака в ранжированном порядке.  Для определения частот проделаем следующие шаги:

1.Поставим курсор в ячейку С2.

2.Выберем Вставка, Функция.

Выберем в категории Статистические функции функцию Частота и нажмём ОК.

3.В поле данных укажем ячейки А2:А31, а в поле интервалов В2:В10.

4.Нажмём кнопку ОК.

5.Выделим ячейки С2:С10.

6.Нажмём F2, а затем комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.

В ячейках С2:С10 появятся частоты.

Вычислим накопленные частоты, которые потребуются для дальнейших расчётов, путём последовательного суммирования локальных частот (нарастающим итогом). Так, первая плюс вторая частоты дают накопленную частоту второго варианта (1+2=3); прибавляя к ней третью частоту, получим накопленную частоту третьего варианта (3+4=7) и т.д.

Скопируем полученный в Excel вариационный ряд и построим таблицу.

Таблица 2

Дискретный вариационный ряд распределения затрат труда на 1 ц зерна

Варианты	Частоты	Накопленные частоты
0,7	1	1
0,8	2	3
0,9	4	7
1,0	5	12
1,1	6	18
1,2	4	22
1,3	3	25
1,4	3	28
1,5	2	30

Построим полигон распределения частот с помощью Мастера диаграмм. Выберем точечную диаграмму, соединим полученные точки отрезками, а крайние точки с осью абсцисс в точках, отстоящих от крайних на расстоянии шага.

Рис. 1. Полигон распределения сельскохозяйственных предприятий по затратам труда на 1 ц зерна

Рассмотрим построение интервального вариационного ряда.

Рис. 2. Построение интервального вариационного ряда

На листе Excel в ячейку А1 записываем условное обозначение факторного признака – х, в ячейки А2:А31 – значения факторного признака – урожайности озимой пшеницы.  Произведём сортировку данных, для чего выделяем диапазон данных, выбираем Данные – Сортировка и в появившемся окне «Сортировка диапазона» указываем «по возрастанию», нажимаем ОК. Данные в ячейках А2:А31 расположатся в ранжированном порядке по возрастанию признака. По формуле Стерджесса определяем количество групп (интервалов). Для вычисления десятичного логарифма lg30 выбираем Мастер функций – Математические – LOG10. В появившемся окне в поле Число записываем число 30, десятичный логарифм которого необходимо найти. Нажатием ОК получаем этот логарифм 1,477121. . Подставляя числовые данные в формулу (1), получим число групп (интервалов) 5,9, округляем до 6.  По  формуле (2) определяем величину интервалов – шаг с такой же точностью, с которой даны исходные данные (в данном случае с точностью до десятых: (30-20)/6≈1,7. Следовательно, совокупность надо разбить на 6 интервалов. .  По  формуле (2) определяем величину интервалов – шаг с такой же точностью, с которой даны исходные данные (в данном случае с точностью до десятых): (30-20)/6≈1,7.  Получаем шаг 1,7. Озаглавим следующие столбцы в Excel словами «Интервалы», «Частоты», «Накопленные частоты», «Середины интервалов». В ячейку В2 вписываем минимальное значение признака Хmin=20, в ячейку В3 формулу =В2+1,7, т.е. минимальное значение плюс шаг. Копируем эту формулу на 5 строк вниз. В результате в этих шести  строках (В3:В8)  получим верхние границы всех интервалов. Нижними границами интервалов будут данные в соседних верхних ячейках, т.е. для первого интервала нижней границей будет содержание ячейки В2, для второго В3 и для шестого В7.

Для расчёта частот выберем Сервис - Анализ данных – Гистограмма и нажмём ОК. В появившемся окне «Гистограмма» в поле «Входной интервал» копируем исходные данные (ячейки А2:А31), в поле «Интервал карманов» - верхние границы интервалов (ячейки В3:В8), в поле «Выходной интервал» ячейки частот (С3:С8), нажимаем ОК. В ячейки D3:D8 будут записаны частоты для всех шести интервалов. Накопленные частоты подсчитываем нарастающим итогом.

Для построения диаграммы необходимо найти середины интервалов. Для этого вводим формулу расчёта середины интервала: , рассчитаем середину первого интервала. Копируем формулу для остальных  пяти групп.

Для построения диаграммы выделяем массив частот и середин интервалов.
Далее в Мастере диаграмм выбираем  вид диаграммы - гистограмму определённого вида. Нажимаем кнопку Далее. В появившемся окне выбираем вкладку Ряд, удаляем ряд 1, а в поле «Подписи оси х» копируем середины интервалов. Нажимаем далее, в появившемся окне выбираем вкладку Заголовки. В поле «ось х (категорий)» вписываем название факторного признака (в данном случае урожайность, ц/га), в поле «Ось у (значений)» вписываем частоты. Нажимаем Далее, Готово. Появится диаграмма, состоящая из столбиков, отделённых друг от друга некоторым зазором. Щёлкаем правой кнопкой мыши на одном из столбиков диаграммы. В раскрывающемся списке элементов щёлкаем по кнопке Формат рядов данных. В появившемся диалоговом окне активизируем вкладку Параметры и в поле Ширина зазора устанавливаем значение 0. Нажимаем ОК, в результате чего гистограмма принимает стандартный вид.

3. Статистические характеристики рядов распределения

3.1. Показатели центра распределения

К показателям центра распределения относятся средняя арифметическая, мода и медиана.

Под средней величиной понимают обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень признака и рассчитанный на единицу однородной совокупности.

Средняя арифметическая вычисляется по формулам:

простая  ;    взвешенная   ,

где - среднее значение признака; - варианты; - частоты; - численность совокупности.

Мода - величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

В дискретных рядах распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.

В интервальном ряду мода определя6ется по формуле:

                        ,

где  - нижняя граница интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота послемодального интервала.

Медианой называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда.

Если ряд дискретный  имеет нечётное число единиц, то медианой будет варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда и  её порядковый номер. Если ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант с порядковыми номерами:  и .

В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; -частота медианного интервала. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или больше полусуммы всех частот.

3.2. Показатели колеблемости признака

Для измерения колеблемости признака применяются следующие показатели вариации.

Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями изучаемого признака.

R = xmax-xmin

Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая из модулей абсолютных отклонений вариантов от их среднего значения.

 Дисперсия - это средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии.

Коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения  к средней арифметической:

.

3.3. Показатели формы распределения

Зависимость распределения частот от вариации изучаемого признака есть закономерность распределения. Эмпирическое распределение – распределение, полученное в результате обработки данных статистического наблюдения (эмпирического материала). Теоретическое распределение – это распределение частот в гипотетическом вариационном ряду с бесконечно большим числом единиц совокупности и бесконечно малой величиной интервала.

Теоретическая кривая распределения выражает общую закономерность распределения в чистом виде при исключении влияния случайных факторов.

В статистике широко известны различные виды распределений - нормальное распределение, биноминальное, распределение Пуассона и др. Наибольшее распространение в социально-экономических явлениях имеет нормальное распределение, выражающее закономерности взаимодействия случайных величин. Оно служит удачной моделью, с которой сравнивают анализируемое эмпирическое распределение. Если расхождения не велики, то их объясняют действием случайных факторов и считают данное распределение близким к нормальному. В противном случае делают вывод о несоответствии рассматриваемого распределения нормальному.

В практике статистического исследования встречаются различные типы нормального распределения: 1) одновершинные и многовершинные; 2) симметричные и асимметричные; 3) островершинные и плосковершинные.

К одновершинным относят распределения, в которых одна центральная варианта имеет наибольшую частоту. Многовершинные – это распределения с несколькими максимумами частот.

Симметричные – это распределения, в которых частоты вариант, равностоящих от центра, равны между собой. В асимметричных распределениях частоты убывают от центра вправо и влево с разной скоростью (не равны между собой).

Островершинные – эмпирические распределения, максимальная ордината которых больше максимальной ординаты теоретического распределения. В плосковершинных максимальная ордината эмпирического распределения меньше максимальной ординаты теоретического.

Эмпирические распределения, как правило, асимметричны, то есть смещены по отношению к центру распределения влево или вправо. Для определения направления и величины этого смещения применяется коэффициент асимметрии. Он может быть рассчитан по формулам:

где m3 – центральный момент третьего порядка;

Положительная величина коэффициента указывает на правостороннюю асимметрию, отрицательная -  на левостороннюю.

Островершинность распределения характеризуется с помощью коэффициента эксцесса Ех:

где  m4 – центральный момент четвертого порядка:

 

Этот коэффициент положителен при островершинности и отрицателен при плосковершинности.

3.4.Расчёт статистических характеристик рядов распределения с помощью Excel

Большинство параметров ряда распределения вычисляется с помощью функции Описательная статистика.

Откроем лист Excel, скопируем в ячейки А1:А31 данные по урожайности вместе с условным обозначением показателя – х, в ячейки В1:В31 данные по затратам труда на 1 ц зерна.

1.  В меню Сервис выберем Анализ данных, затем  Описательная статистика и нажмём ОК.
2.  В поле Входной интервал введём адреса ячеек, содержащих исходные данные А1:В31.
3.  Введём данные в поле Выходной интервал; в нашем случае возьмём ячейку $С$1. Вниз и вправо от этой ячейки будут выведены рассчитанные параметры.
4.  Поставим флажки в окошках Метки в первой строке, Итоговая статистика, Уровень надёжности.
5.  Нажмём кнопку ОК.

Справа от исходных данных получим основные характеристики изучаемой совокупности. Уменьшаем разрядность до разумных пределов с помощью кнопки 0     00 (уменьшить разрядность). Копируем эти данные и переносим их в РГР в виде таблицы.

Таблица

Показатели центра, вариации и формы распределения

Урожайность озимой пшеницы, ц/га х	Затраты труда на 1ц зерна, чел.-ч у
Название показателя	Размер	Название показателя	Размер
Среднее	25,9	Среднее	1,11
Стандартная ошибка	0,49	Стандартная ошибка	0,04
Медиана	26,2	Медиана	1,1
Мода	30	Мода	1,1
Стандартное отклонение	2,71	Стандартное отклонение	0,21
Дисперсия выборки	7,34	Дисперсия выборки	0,045
Эксцесс	0,005	Эксцесс	-0,65
Асимметричность	-0,53	Асимметричность	0,12
Интервал	10	Интервал	0,8
Минимум	20	Минимум	0,7
Максимум	30	Максимум	1,5
Сумма	776,8	Сумма	33,4
Счет	30	Счет	30
Уровень надежности (95,0%)	1,01	Уровень надежности(95,0%)	0,079

В данной таблице представлены показатели центра распределения – средняя арифметическая, мода и медиана, показатели вариации – дисперсия и среднее квадратическое отклонение, показатели формы распределения – коэффициенты асимметрии и эксцесса. Среднее – это средняя арифметическая величина, стандартная ошибка – это средняя ошибка выборки, стандартное отклонение – среднее квадратическое отклонение, эксцесс и асимметричность – коэффициенты эксцесса и асимметрии, интервал – разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности, минимум – минимальное значение признака, максимум – максимальное значение признака, сумма – сумма всех значений признака, счёт – число единиц совокупности.

На основе приведенных в таблице данных вычислим коэффициент вариации.

Для урожайности:

Для затрат труда:

На основе данных таблицы формулируем выводы.

Выводы. В данной совокупности сельскохозяйственных предприятий средняя урожайность озимой пшеницы составляет 25,9 ц/га, средние затраты труда на 1 ц зерна 1,11 чел.-ч.

Медиана Ме=26,2 показывает, что половина сельскохозяйственных предприятий совокупности имеет урожайность озимой пшеницы меньше 26,2 ц/га, а половина – больше 26,2 ц/га; медиана Ме=1,1, что половина сельскохозяйственных предприятий имеет затраты труда на 1 ц зерна  меньше 1,11 чел.-ч, а половина – больше 1,11 чел.-ч.

Мода Мо=30 показывает, что наиболее часто в данной совокупности встречается урожайность 30 ц/га, мода Мо=1,1, что затраты труда 1,1 ц/га имеет наибольшее число хозяйств.

Коэффициенты вариации свидетельствуют о слабой вариации обоих признаков – урожайности озимой пшеницы и затрат труда на 1 ц зерна, так как оба коэффициента меньше 20%.

Коэффициенты эксцесса показывают, что распределение хозяйств по урожайности является островершинным (Ех>0), распределение по затратам труда на 1 ц зерна – плосковершинным (Ex<0).

По коэффициентам асимметрии можно сделать вывод о том, что распределение хозяйств по урожайности имеет левую асимметричность (As<0), распределение по затратам труда на 1 ц зерна – правую асимметричность (As>0).

3.5. Статистические оценки параметров распределения

Изучаемую совокупность можно считать выборкой из генеральной совокупности, состоящей из большого множества сельскохозяйственных предприятий. На основе показателей, рассчитанных по выборке, дают статистическую оценку параметров генеральной совокупности.

Статистической оценкой называется специальная функция, вычисляемая на основании выборочных данных для приближенной замены неизвестного параметра распределения или самого распределения. Различают оценки смещённые и несмещённые, точечные и интервальные.

Возможное расхождение между выборочными и генеральными характеристиками составляет ошибку выборки.

Стандартная ошибка выборочной средней определяется по формуле:

Точечной оценкой генеральной средней является выборочная средняя   .

Для определения интервальной оценки необходимо найти доверительный интервал    ,  ,

где   - предельная ошибка выборочной средней; - коэффициент доверия, который  определяют по таблице распределения Стьюдента по заданным     и   при малой выборке  n <= 30 (приложение 4).

Для нахождения доверительного интервала в Excel выбираем Статистические функции – Доверит, ОК, в появившемся окне заполняем поля: Альфа - уровень значимости  (α = 0,05 или 0,01 для социально-экономических явлений); Стандартное отклонение – среднее квадратическое отклонение; Размер – объём выборки (в нашей работе n=30). Нажимаем ОК, появляется значение функции. Так, для урожайности озимой пшеницы в поле Альфа ставим  уровень значимости  α = 0,05; в поле Стандартное отклонение – 0,4947, в поле Размер – объём выборки 30. При нажатии ОК видим значение 0,177. Это предельная ошибка выборки, С её помощью строим доверительный интервал для генеральной средней:

Вывод: с вероятностью 0,95 мы можем утверждать, что генеральная средняя не выйдет за пределы от 25,7 до 26,1 ц/га.

Аналогичные действия выполним для затрат труда на 1 ц зерна. В соответствующие поля введём уровень значимости, среднее квадратическое отклонение, объём выборки: 0,05; 0,04; 30. Щёлкаем ОК и получаем 0,014. Строим доверительный интервал:

Вывод: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средние затраты труда на 1 ц зерна находятся в интервале от 1,096 до 1,124 чел.-ч.

3.6. Проверка гипотезы о законе нормального распределения

Для объективной оценки степени соответствия эмпирического распределения теоретическому используется ряд особых показателей, называемых критериями согласия. На их базе проверяется гипотеза о законе нормального распределения. Это критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Смирнова и др. Мы рассмотрим критерий Пирсона.

Критерий Пирсона (хи-квадрат)  определяется по формуле:

,(1)

где (хи-квадрат) – критерий Пирсона; ni – эмпирические частоты;  nt – теоретические частоты.

Теоретические частоты вычисляются по формуле:

,(2)

где – теоретические частоты;  - фактические частоты;  - шаг (величина интервала);  - нормированные отклонения;   - значения функции плотности  стандартизированного нормального распределения (даны в приложении 2).

Вычисления выполняются в следующей последовательности.

1)Определяются нормированные отклонения:

                                                  (3)

2)При рассчитанных значениях t по таблице плотности нормального распределения (значений дифференциальной функции

отыскиваются  значения функции плотности стандартизированного нормального распределения.

3)Вычисляется выражение  .

4)По приведённой выше формуле (1) рассчитывается критерий Пирсона.

4)Подставляя в формулу значения φ(t) и , определяют теоретические частоты.

Рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным при соответствующем числе степени свободы и заданном уровне значимости. Если расчетное значение  χ2 меньше табличного, то делается вывод о несущественности расхождений между эмпирическим и теоретическим распределением (т.е. нулевая гипотеза о том, что распределение подчиняется закону нормального распределения, принимается). В противном случае утверждается, что исследуемое эмпирическое распределение имеет отличный от теоретического закон распределения.

Возможен вариант проверки гипотезы соответствия эмпирического распределения теоретическому с помощью таблиц определения вероятности Р(χ2). В таблице распределения Пирсона (приложение 9) по рассчитанной величине χ2  и числу степеней свободы ν=к-1 находим вероятность Р(χ2). При Р>0.5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределения близки. В остальных случаях делается вывод о несовпадении эмпирического и теоретического распределений.

3.7.Проверка гипотезы о законе нормального распределения по критерию Пирсона с помощью табличного процессора Excel

Вместо заполнения большого количества таблиц можно воспользоваться статистическими функциями.

Проверку гипотезы о законе нормального распределения выполним на примере интервального вариационного ряда, построенного в пункте 2.2, и статистических характеристик ряда из пункта 3.4.

Рис. 3. Хи тест

1.  Находим нормализованные значения признака (рис 1.). Вызываем список функций, выбираем функцию «НОРМАЛИЗАЦИЯ» (STANDATRDIZE). В поле «Х» вводим название ячейки первого интервала, во втором поле среднее значение по выборке, в третьем поле стандартное отклонение выборки. Копируем данную формулу для остальных строк.
2.  По таблице  плотности распределения φ(u) находим вероятность распределения этих значений и заполняем следующий столбец.
3.  Следующий столбец заполняем рассчитанным выражением .
4.  Находим теоретические частоты по формуле (2) и заполняем последний 8 столбец.
5.  Далее, для вычисления критерия Пирсона, воспользуемся функцией «ХИ2ТЕСТ». В поле «Фактический интервал» выделяем массив фактических частот, в поле «Ожидаемый интервал» вводим массив теоретических частот. В результате получаем значимость фактического критерия Пирсона. Чтобы получить фактическое значение критерия Пирсона, воспользуемся функцией «ХИ2ОБР». В поле «вероятность» вводим полученную значимость критерия (ячейка B11), а в поле «степени_свободы» соответствующее число степеней свободы для данной группировки. В данном случае n-1=5 (n – число групп).

Полученную в пункте 5 фактическую значимость критерия Пирсона  «p» сравниваем с установленным уровнем значимости «α». Если αфакт<α=0,05, то утверждаем, что  эмпирическое распределение сходно с теоретическим и нулевая гипотеза отвергается. Далее, если нужно, мы находим фактическое значение критерия по значимости «α» и числа степеней свободы.

4.Корреляционно-регрессионный анализ

4.1.Определение параметров уравнения регрессии и показателей тесноты корреляционной связи

Социально-экономические явления находятся между собой в сложной взаимосвязи, зависимости. По характеру зависимости статистика различает два вида связей:

1)функциональную;

2)корреляционную.

Корреляционная связь характеризуется тем, что между изменением независимой переменной (факторного признака) и зависимой переменной нет полного соответствия: каждому значению факторного признака может соответствовать распределение значений результативного.

Корреляционная связь проявляется лишь в массе случаев – в совокупности достаточно большого объема. При этом изменение независимой величины ведет к изменению среднего значения зависимой переменной.

По направлению различают прямые и обратные связи. При прямой связи с увеличением факторного признака увеличивается результативный. При обратной связи с ростом факторного признака значения результативного уменьшаются.

По аналитическому выражению связи делятся на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные). Линейная связь выражается линейной функцией (уравнением прямой), нелинейная – криволинейной в виде параболы, гиперболы, показательной кривой и т.д.

Функция, отображающая корреляционную связь между признаками, называется уравнением регрессии. Уравнение регрессии выражается функцией у = f(х1,х2,…, хn).

Уравнения регрессии могут иметь следующую форму.

Уравнение прямой:  

Уравнение гиперболы:

Уравнение параболы второго порядка:

Степенное уравнение:

Показательное уравнение

Многофакторная корреляционная связь чаще всего описывается линейным уравнением множественной регрессии:

 

Параметр α1 в уравнении прямой называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного на единицу. При прямой корреляционной связи коэффициент регрессии имеет положительный знак, при обратной – отрицательный.

Количественная характеристика корреляционной связи дается с помощью ряда статистических показателей – коэффициентов корреляции, регрессии и т.д.

 Наиболее распространенным и совершенным методом изучения корреляционных связей является корреляционно-регрессионный анализ.

В процессе корреляционно-регрессионного анализа (КРА) решаются следующие задачи:

определение формы и направления связи, ее количественное выражение в виде уравнения регрессии;

характеристика тесноты связи.

определение значимости, существенности выборочных характеристик тесноты корреляционной связи;

Параметры уравнения регрессии находятся способом наименьших квадратов. Сущность метода заключается  в нахождении параметров уравнения, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии, минимальна. Он дает систему нормальных уравнений, решая которую определяют параметры уравнения регрессии.

Для уравнения парной линейной регрессии ух=α0+α1х  система нормальных уравнений следующая: следующая::

Для гиперболы:

Для параболы второго порядка:

Параметры уравнения множественной регрессии при большом числе факторов рассчитываются на ЭВМ.

Для характеристики тесноты парной корреляционной связи используются в основном два показателя:

линейный коэффициент корреляции и соответствующий ему коэффициент детерминации;

корреляционное отношение и соответствующий ему индекс детерминации.

Для измерения тесноты парной линейной связи вычисляется линейный коэффициент корреляции. Статистика разработала ряд формул линейного коэффициента корреляции:

где σх- среднее квадратическое отклонение по факторному признаку;

σу – среднее квадратическое отклонение по результативному признаку.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до плюс единицы. Положительный  коэффициент корреляции указывает на прямую корреляционную связь, отрицательный – на обратную. Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии. Принята следующая условная градация коэффициента корреляции: r<0,3 – связь слабая, r=0,3 – 0.7 – связь средней силы, r>0.7 – связь тесная.

Квадрат коэффициента корреляции носит название коэффициента детерминации. Он показывает долю факторного признака в вариации результативного.

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь при линейной форме зависимости. Для характеристики тесноты связи любой формы используется корреляционное отношение. Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

где  δ2 – факторная дисперсия – дисперсия теоретических значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

σ2 – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Указанные дисперсии исчисляются по формулам:

где  ух – теоретические значения результативного признака;

ỹ - среднее значение результативного признака в совокупности;

у – фактические (эмпирические) значения результативного признака.

При линейной связи корреляционное отношение и коэффициент корреляции равны.

Корреляционное отношение может принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе данный показатель к единице, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

Параметры уравнения регрессии  и коэффициент корреляции  могут быть рассчитаны с помощью табличного процессора Excel. Для этого на лист Excel копируем исходные данные. В меню Сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкаем по кнопке OK, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака, в поле Входной интервал Х вводим значения факторных признаков. Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK. На рабочем листе появляются результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии.

4.2. Оценка значимости уравнения регрессии и параметров тесноты связи

Для оценки существенности, значимости коэффициента корреляции используется t-критерий Стьюдента.

Находится  средняя ошибка коэффициента корреляции по формуле:

На основе ошибки рассчитывается  t-критерий:

Рассчитанное значение t-критерия сравнивают с табличным, найденным в таблице распределения Стьюдента при уровне значимости 0,05 или 0,01 и числе степеней свободы n-1. Если расчетное значение t-критерия больше табличного, то коэффициент корреляции признается значимым.

При криволинейной связи для оценки значимости корреляционного отношения и уравнения регрессии применяется F-критерий. Он вычисляется по формуле:

или  

где η – корреляционное отношение; n – число наблюдений; m – число параметров в уравнении регрессии.

Рассчитанное значение F сравнивается с табличным для принятого уровня значимости α (0,05 или 0,01) и чисел степеней свободы к1=m-1 и k2=n-m. Если расчетное значение F превышает табличное, связь признается существенной.

Значимость коэффициента регрессии устанавливается с помощью t -критерия Стьюдента, который вычисляется по формуле:

где σ2аi -    дисперсия коэффициента регрессии.

Она вычисляется по формуле:

где к – число факторных признаков в уравнении регрессии.

Коэффициент регрессии признается значимым, если ta1≥tкр.  tкр отыскивается в таблице критических точек  распределения Стьюдента при принятом уровне значимости  и числе степеней свободы k=n-1.

4.3.Корреляционно-регрессионный анализ в Excel

Проведём корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи урожайности и затрат труда на 1 ц зерна. Для этого открываем лист Excel,  в ячейки А1:А30 вводим значения факторного признака – урожайности зерновых культур, в ячейки В1:В30 значения результативного признака – затрат труда на 1 ц зерна.  В меню Сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкаем по кнопке OK, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака (выделяя ячейки В1:В30), в поле Входной интервал Х вводим значения факторного признака (выделяя ячейки А1:А30). Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK. На рабочем листе появляется таблица «ВЫВОД ИТОГОВ», в которой даны результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,853301
R-квадрат	0,728123
Нормированный R-квадрат	0,718413
Стандартная ошибка	0,112121
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	0,942676	0,942676	74,9876	2,09E-09
Остаток	28	0,351991	0,012571
Итого	29	1,294667
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	2,836242	0,200011	14,18042	2,64E-14	2,426538	3,245947	2,426538	3,245947
Переменная X 1	-0,06654	0,007684	-8,65954	2,09E-09	-0,08228	-0,0508	-0,08228	-0,0508

В данной таблице «Множественный R» - это коэффициент корреляции, «R-квадрат» - коэффициент детерминации. «Коэффициенты: Y-пересечение» - свободный член уравнения регрессии 2,836242; «Переменная Х1» – коэффициент регрессии -0,06654. Здесь имеются также значения F-критерия Фишера 74,9876, t-критерия Стьюдента 14,18042, «Стандартная ошибка 0,112121», которые необходимы для оценки значимости коэффициента корреляции, параметров уравнения регрессии и всего уравнения.

На основе данных таблицы построим уравнение регрессии: ух=2,836-0,067х. Коэффициент регрессии а1=-0,067 означает, что с повышением урожайности зерновых на 1 ц/га затраты труда на 1 ц зерна уменьшаются на 0,067 чел.-ч.

Коэффициент корреляции r=0,85>0,7, следовательно, связь между изучаемыми признаками в данной совокупности тесная. Коэффициент детерминации r2=0,73 показывает, что 73% вариации результативного признака (затрат труда на 1 ц зерна) вызвано действием факторного признака (урожайности зерновых).

В таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора найдём критическое значение F-критерия при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы к1=m-1=2-1=1 и k2=n-m=30-2=28, оно равно 4,21. Так как рассчитанное значение критерия больше табличного (F=74.9896>4,21), то уравнение регрессии признаётся значимым.

Для оценки значимости коэффициента корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента:

В таблице критических точек распределения Стьюдента найдём критическое значение t-критерия при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы n-1=30-1=29, оно равно 2,0452. Так как расчётное значение больше табличного, то коэффициент корреляции является значимым.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФГБОУ ВПО САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.И. ВАВИЛОВА

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ  КИБЕРНЕТИКИ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Выполнил студент … курса ….. группы

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

                                                                (ф.и.о.)

“_ _”   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   20_ _ г.

Саратов 20_ _  г

Приложение 2

Таблица значений функции

Z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3725	3712	3697
0,4	3683	3658	3652	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	ЗОН	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	19196	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	ОНО	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
4,0	0001	0001	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000

Приложение 3

Таблица значений функции Лапласа

Z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0000	0041	0080	0120	0160	0199	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0753
0,2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2257	2291	2324	2357	2389	2422	2454	2486	2517	2549
0,7	2580	2611	2642	2673	2703	2734	2764	2794	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967	2995	3023	3051	3078	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1,0	3413	3438	3461	3485	3508	3531	3554	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3686	3708	3729	3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3849	3869	3888	3907	3925	3944	3962	3980	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4162
1,4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4177
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4429	4319
1,6	4452	4463	4474	4484	4495	4505	4515	4525	4535	4441
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4545
1,8	4641	4649	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4699	4633
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4761	4706
2,0	4772	4778	4783	4788	4793	4798	4803	4808	4812	4767
2,1	4821	4826	4830	4834	4838	4842	4846	4850	4854	4817
2,2	4861	4864	4868	4875	4875	4878	4881	4884	4887	4857
2,3	4893	4896	4898	4904	4904	4906	4909	4911	4913	4890
2,4	4918	4920	4922	4927	4927	4929	4931	4932	4934	4916
2,5	4938	4940	4941	4945	4945	4946	4948	4949	4951	4936
2,6	4953	4955	4956	4959	4959	4960	4961	4962	4963	. 4964
2,7	4965	4966	4967	4969	4969	4970	4971	4972	4973	4974
2,8	4974	4975	4976	4977	4977	4978	4979	4979	4980	4981
2,9	4981	4982	4982	4984	4984	4984	4985	4985	4986	4986
3,0	4987	4987	4987	4988	4988	4989	4989	4989	4990	4990
3,1	4990	4991	4991	4992	4992	4992	4992	4992	4993	4993
3,2	4993	4993	4994	4994	4994	4994	4995	4994	4995	4995
3,3	4995	4995	4995	4996	4996	4996	4996	4996	4996	4997

Приложение 4

Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы	Уровень значимости	Число степеней свободы	Уровень значимости
	0,10	0,05	0,01		0,10	0,05	0,01
1	6,3138	12,706	63,657	18	1,7341	2,1009	2,8784
2	2,9200	4,3027	9,9248	19	1,7291	2,0930	2,8509
3	2,3534	3,1825	5,8409	20	1,7247	2,0860	2,8453
4	2,1318	2,7764	4,6041	21	1,7207	2,0796	2,8314
5	2,0150	2,5706	4,0321	22	1,7171	2,0739	2,8188
6	1,9432	2,4469	3,7074	23	1,7139	2,0687	2,8073
7	1,8946	2,3646	3,4995	24	1,7103	2,0639	2,7969
8	1,8595	2,3060	3,3554	25	1,7081	2,0595	2,7874
9	1,8331	2,2622	3,2498	26	1,7056	2,0555	2,7787
10	1,8125	2,2281	3,1693	27	1,7033	2,0518	2,7707
11	1,7959	2,2010	3,1058	28	1,7011	2,0484	2,7633
12	1,7823	2,1788	3,0545	29	1,6991	2,0452	2,7564
13	1,7709	2,1604	3,0123	30	1,6973	2,0423	2,7500
14	1,7613	2,1448	2,9768	40	1,6839	2,0211	2,7045
15	1,7530	2,1315	2,9467	60	1,6707	2,0003	2,6603
16	1,7459	2,1199	2,9208	120	1,6577	1,9799	2,6174
17	1,7393	2,1098	2,8982	>120	1,6449	1,9600	2,5758

Приложение 5

Критические точки распределения

Число степеней свободы	Уровень значимости
	0,500	0,250	0,100	0,050	0,025	0,010	0,005
1	0,45	1,32	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88
2	1,39	2,77	4,61	5,99	7,38	9,21	10,60
3	2,37	4,11	6,25	7,81	9,35	11,34	12,84
4	3,36	5,39	7,78	9,95	11,14	13,28	14,86
5	4,35	6,63	9,24	11,07	12,83	15,09	16,75
6	5,35	7,84	10,64	12,59	14,45	16,81	18,55
7	6,35	9,04	12,02	14,07	16,01	18,48	20,28
8	7,34	10,22	13,36	15,51	17,53	20,09	21,96
9	8,34	11,39	14,68	16,92	19,02	21,67	23,59
10	9,34	12,55	15,99	18,31	20,48	23,21	25,19
11	10,34	13,70	17,28	19,68	21,92	24,72	26,76
12	11,34	14,85	18,55	21,03	23,34	26,22	28,30
13	12,34	15,98	19,81	22,36	24,74	27,69	29,82
14	13,34	17,12	21,06	23,68	26,12	29,14	31,32
15	14,34	18,25	22,31	25,00	27,49	30,58	32,80
16	15,34	19,37	23,54	26,30	28,85	32,00	34,27
17	16,34	20,49	24,77	27,59	30,19	33,41	35,72
18	17„34	21,60	25,99	28,87	31,53	34,81	37,16
19	18,34	22,72	27,20	30,14	32,85	36,19	38,58
20	19,34	22,83	28,41	31,41	34,17	37,57	40,00

Приложение 6

Критические точки распределения  ФишераСнедекора при уровне значимости =0,05

- степени свободы для меньшей (внутри-групповой) дисперсии	- степени свободы для большей (межгрупповой) дисперсии
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	18,51	19,00	19,16	19,75	19,30	19,33	19,36	13,97	19,38
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00
6	5,99	5,14	4,76	3,53	4,39	4,78	4,71	4,15	4,10
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,77	3,14	3,07	3,02
12	4,75	3,88	3,40	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65
16	4,49	3,63	3,74	3,01	7,85	7,74	7,66	7,59	7,54
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,59	2,51	2,46
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,52	2,45	2,40
24	4,96	3,40	3,01	7,78	7,67	7,61	7,4?	7,36	7,30
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,41	2,34	2,28
27	4,21	3,35	7,96	7,73	7,57	7,46	7,37	7,30	7,75
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,34	2,27	2,21
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04
80	3,96	3,11	2,72	2,48	2,33	2,21	2,12	2,05	1,99
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,10	2,03	1,97
200	3,89	3,04	2,65	2,41	2,26	2,14	2,05	1,98	1,92

Приложение 7

Критические точки распределения  Фишера-Снедекора при уровне значимости =0,01

Степени свободы для меньшей (внутригрупповой) дисперсии	Степени свободы для большей (межгрупповой) дисперсии
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	98,49	99,00	99,17	99,25	99,30	99,33	99,34	99,36	99,38
3	34,12	30,82	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34
4	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66
5	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15
6	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98
7	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71
8	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91
9	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5„47	5,35
10	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39
14	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78
18	8,28	6,01	5,09	4,58	4,25	4,01	3,85	3,71	3,60
20	8,10	5,85	4,94	4,43	4,10	3,87	3,71	3,56	3,45
24	7,82	5,61	4,72	4,22	3,90	3,67	3,50	3,36	3,25
28	7,64	5,45	4,57	4,07	3,76	3,53	3,36	3,23	3,11
30	7,56	5,39	4,51	4,02	3,70	3,47	3,30	3,17	3,06
40	7,31	5,18	4,31	3,83	3,51	3,29	3,12	2,99	2,88
50	7,17	5,06	4,20	3,72	3,41	3,18	3,02	2,88	2,78
60	7,08	4,98	4,13	3,65	3,34	3,12	2,95	2,82	2,72
80	6,96	4,88	4,04	3,56	3,25	3,04	2,87	2,74	2,64
100	6,90	4,82	3,98	3,51	3,20	2,99	2,82	2,69	2,59
200	6,76	4,71	3,88	3,41	3,11	2,90	2,73	2,60	2,50

Приложение 8

Критерий А. Н. Колмогорова.

Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функций распределения

n	Уровень значимости 0,05	Уровень значимости 0,01
	точная граница	асимптотическая граница	отношение	точная граница	асимптотическая граница	отношение
5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100	0,5633 0,4087 0,3375 0,2939 0,2639 0,2417 0,2101 0,1884 0,1723 0,1597 0.1496 0,1412 0.1340	0,6074 0,4295 0,3507 0,3037 0,2716 0,2480 0,2147 0,1921 0,1753 0,1623 0,1518 0,1432 0,1358	1,078 1,051 1,039 1,033 1,029 1,026 1,022 1,019 1,018 1,016 1,015 1,014 1,013	0,6685 0,4864 0,4042 0,3524 0,3165 0,2898 0,2521 0,2260 0,2067 0,1917 0,1795	0,7279 0,5147 0,4202 0,3639 0,3255 0,2972 0,2574 0,2302 0,2101 0,1945 0,1820	1,089 1,058 1,040 1,033 1,028 1,025 1,021 1,018 1,016 1,015 1,014

Приложение 9

Значения функции P(λ)

λ	Р	λ	Р
0,30	1,0000	1,10	0,1777
0,35	9997	1,20	1122
0,40	9972	1,30	0681
0,45	9874	1,40	0397
0,50	9639	1,50	0222
0,55	9228	1,60	0120
0,60	8643	1,70	0062
0,65	7920	1,80	0032
0,70	7112	1,90	0015
0,75	6272	2,00	0007
0,80	5441	2,10	0003
0,85	4653	2,20	0001
0,90	3927	2,30	0001
0,95	3275	2,40	0000
1,00	2700	2,50	0000

 

Приложение 10

Таблица вероятностей Р( χ2 )

k χ2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,3173	0,6065	0,8013	0,9098	0,9626	0,9856	0,9948	0,9982	0,9994	0,9998
2	0,1573	0,3679	0,5724	0,7358	0,8491	0,9197	0,9598	0,9810	0,9915	0,9963
3	0,0833	0,2231	0,3916	0,5578	0,7000	0,8088	0,8850	0,9344	0,9643	0,9814
4	0,0455	0,1353	0,2615	0,4060	0,5494	0,6767	0,7798	0,8571	0,9114	0,9473
5	0,0253	0,0821	0,1718	0,2873	0,4159	0,5438	0,6600	0,7576	0,8343	0,8912
6	0,0143	0,0498	0,1116	0,1991	0,3062	0,4232	0,5397	0,6472	0,7399	0,8153
7	0,0082	0,0302	0,0719	0,1359	0,2206	0,3208	0,4289	0,5366	0,6371	0,7254
8	0,0047	0,0183	0,0460	0,0916	0,1562	0,2381	0,3326	0,4335	0,5341	0,6288
9	0,0027	0,0111	0,0293	0,0611	0,1091	0,1736	0,2527	0,3423	0,4373	0,5321
10	0,0016	0,0067	0,0186	0,0404	0,0752	0,1247	0,1886	0,2650	0,3505	0,4405
11	0,0009	0,0041	0,0117	0,0266	0,0514	0,0884	0,1386	0,2017	0,2757	0,3575
12	0,0005	0,0025	0,0074	0,0174	0,0348	0,0620	0,1006	0,1512	0,2133	0,2851
13	0,0003	0,0015	0,0046	0,0113	0,0234	0,0430	0,0721	0,1118	0,1626	0,2237
14	0,0002	0,0009	0,0029	0,0073	0,0156	0,0296	0,0512	0,0818	0,1223	0,1730
15	0,0001	0,0006	0,0018	0,0047	0,0104	0,0203	0,0360	0,0591	0,0909	0,1321
16	0,0001	0,0003	0,0011	0,0030	0,0068	0,0138	0,0251	0,0424	0,0669	0,0996
17	0,0000	0,0002	0,0007	0,0019	0,0045	0,0093	0,0174	0,0301	0,0487	0,0744
18	-	0,0001	0,0004	0,0012	0,0029	0,0062	0,0120	0,0212	0,0352	0,0550
19	-	0,0001	0,0003	0,0008	0,0019	0,0042	0,0082	0,0149	0,0252	0,0403
20	-	0,0000	0,0002	0,0005	0,0012	0,0028	0,0056	0,0103	0,0179	0,0293
21	-	-	0,0001	0,0003	0,0008	0,0018	0,0038	0,0071	0,0127	0,0211
22	-	-	0,0001	0,0002	0,0005	0,0012	0,0025	0,0049	0,0089	0,0151
23	-	-	0,0000	0,0001	0,0003	0,0008	0,0017	0,0034	0,0062	0,0107
24	-	-	-	0,0001	0,0002	0,0005	0,0011	0,0023	0,0043	0,0076
25	-	-	-	0,0001	0,0001	0,0003	0,0008	0,0016	0,0030	0,0053
26	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0002	0,0005	0,0011	0,0020	0,0037
27	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0001	0,0003	0,0007	0,0014	0,0026
28	-	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0002	0,0005	0,0010	0,0018
29	-	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0001	0,0003	0,0006	0,0012
30	-	-	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0002	0,0004	0,0009