Поступательное движение твердого тела
Работа добавлена на сайт samzan.net:
ЛЕКЦИИ 5-6 |
§4. Механика твердого тела.
4.1. Поступательное движение твердого тела.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Абсолютно твердым телом будем называть такое тело, деформациями которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь.
или
Абсолютно твердым телом называется такое тело, у которого расстояние между его частями сохраняется неизменным за все время движения.
Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.
Рассмотрим первый из них.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе (рис. 4.1).
При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Наиболее простым видом поступательного движения является прямолинейное движение. В этом случае траектории всех точек тела – параллельные прямые.
Рассмотрим движение твердого тела, представив его как систему материальных точек с элементарной массой mi. Каждая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил , обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными массами рассматриваемого тела, так и внешних сил .
Напишем для каждой элементарной массы II закон Ньютона:
,
где и – результирующие всех внутренних и внешних сил, приложенных к данной элементарной массе.
Складывая эти уравнения для всех элементарных масс, получим
.
Сумма всех внутренних сил , тогда имеем . Здесь – результирующая всех внешних сил, действующих на тело.
Рассмотрим теперь сумму, стоящую в левой части уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Назовем центром инерции (центром масс) системы точку, положение которой в пространстве задается радиус-вектором , определяемым следующим образом: , где mi – масса i-го тела, – радиус вектор, определяющий положение этого тела в пространстве, m – масса системы.
Продифференцируем дважды радиус-вектор центра инерции по времени и учитывая, что и , сумму в левой части можно записать в виде .
Следовательно,
|
– закон движения центра инерции твердого тела. |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.
В случае поступательного движения это уравнение будет определять ускорение не только центра инерции, но любой другой точки тела.
4.2. Вращательное движение твердого тела.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением твердого тела будем называть такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и ой же прямой, называемой осью вращения.
Для изучения динамики вращательного к известным кинематическим величинам добавляются ещё две величины: момент силы (M) и момент инерции (J).
1. Из опыта известно: ускорение вращательного движения зависит не только от величины силы, действующей на тело, но и от расстояния от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Для характеристики этого обстоятельства вводится физическая величина называемая моментом силы.
Рассмотрим простейший случай.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом силы относительно некоторой точки “O” называется векторная величина , определяемая выражением , где – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в точку приложения силы.
Из определения следует, что является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вектора вокруг точки “O” в направлении силы и вектор образуют правовинтовую систему. Модуль момента силы равен , где – угол между направлениями векторов и , а l = r·sin – длина перпендикуляра, опущенного из точки “O” на прямую, вдоль которой действует сила (называется плечом силы относительно точки “O”) (рис. 4.2).
2. Опытные данные свидетельствуют, что на величину углового ускорения оказывает влияние не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая это обстоятельство, носит название момента инерции относительно оси вращения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Строго говоря, моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называется величина J, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от данной оси .
Суммирование проводится по всем элементарным массам, на которые было разбито тело. Следует иметь ввиду, что эта величина (J) существует безотносительно к вращению (хотя понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела).
Каждое тело независимо от того покоится оно или вращается обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того движется оно или покоится.
Учитывая, что , момент инерции можно представить в виде: . Это соотношение приближенно и оно будет тем точнее, чем меньше элементарные объемы и соответствующие им элементы массы. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию: . Здесь интегрирование проводится по всему объему тела.
Запишем моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы.
|
1. Однородный длинный стержень. |
|
|
Рис. 4.3 |
Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину равен |
|
2. Сплошной цилиндр или диск. |
|
|
Рис. 4.4 |
Момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью, равен . |
|
3. Тонкостенный цилиндр радиуса R. |
|
|
Рис. 4.5 |
|
|
4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр |
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
5. Момент инерции тонкого диска (толщина b<<R) относительно оси, совпадающей с диаметром диска. |
|
|
Рис. 4.7 |
|
|
6. Момент инерции бруска |
|
|
Рис. 4.8 |
|
|
7. Момент инерции кольца |
|
|
Рис. 4.9 |
Вычисления момента инерции здесь достаточно просты, т.к. тело предполагаем однородным и симметричным, а момент инерции определяем относительно оси симметрии.
Для определения момента инерции тела относительно любой оси необходимо воспользоваться теоремой Штейнера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Jс относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 4.10):
J = Jc + ma2.
4.3. Момент импульса тела.
Для описания вращательного движения потребуется ещё одна величина , называемая моментом импульса.
Сначала определим момент импульса материальной точки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент импульса материальной точки вводится аналогично моменту силы. Момент импульса относительно точки О называется векторная величина, определяемая выражением: ,
где – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в ту точку пространства, в которой находится материальная точка, . Вводя плечо l = r·sin, модуль вектора можно записать в виде (рис. 4.11). – это векторная величина (псевдовектор). Вектор направлен по оси вращения в ту сторону, куда перемещается острие буравчика при вращении рукоятки буравчика по направлению вращения тела. Если рассматривать как векторное произведение и , то направление вектора будет перпендикулярно плоскости, где лежат вектора и . L – численно равен площади параллелограмма, построенного на r и mv (рис. 4.12).
Выясним, чем определяется изменением момента импульса со временем. Продифференцируем выражение по времени “t”. Получим
;
Первое слагаемое равно «0», т.к. представляет векторное произведение векторов одинакового направления. В самом деле и следовательно совпадает с вектором по направлению. Во втором слагаемом вектор – действующая на тело сила (по II-закону Ньютона). Следовательно,
, (4.1)
где – момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той же точки «О», относительно которой берется момент импульса .
Отсюда следует формулировка закона сохранения момента импульса.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если результирующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки «О» равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относительно той же точки «О» будет оставаться постоянным.
Если сравнивать выражение с выражением II закона Ньютона , то видно, что для вращательного движения используется вместо силы момент силы , а вместо импульса момент импульса .
Скалярное выражение для момента силы можно получить более просто. Нормальная составляющая силы не влияет на величину скорости и уравновешивается силой реакции связи рис. 4.13. Тангенциальная составляющая силы Ft изменяет v, тогда по II закону Ньютона
; ; .
Следовательно, .
Умножая обе части уравнения на r, получим
Вводя величину , получаем, что
. (4.2)
Формула для момента силы справедлива не только для материальной точки, но и для любого тела, если его рассматривать как совокупность материальных точек.
Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на i-ую материальную точку, обозначим , а результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку . Тогда для i-ой материальной точки можно записать
,
где i=1, 2, 3,…, N
Сложим эти уравнения
.
Величина называется моментом импульса системы материальных точек.
Первая сумма – сумма моментов внутренних сил равна «0».
ПОЯСНЕНИЕ: Рассмотрим две любые элементарные массы m1 и m2. Силы, с которыми они взаимодействуют, лежат на одной прямой (рис. 4.14). Их моменты относительно произвольной точки “O” равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы материальных точек, в частности для твердого тела, всегда равна нулю. Это утверждение справедливо как для суммарного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой точки, так и для суммарного момента этих сил, взятого относительно любой оси.
Вторая сумма – суммарный момент внешних сил равен , т.е. .
Тогда (здесь и относятся к системе материальных точек).
Для замкнутой системы материальных точек , вследствие чего суммарный момент импульса не зависит от времени.
ЛЕКЦИЯ 6 |
4.4. Закон сохранения момента импульса.
ФОРМУЛИРОВКА: Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям, при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.
Может случиться так, что результирующий момент внешних сил относительно точки «О» отличен от нуля , однако равна нулю составляющая вектора по некоторому направлению z. Тогда будет сохраняться составляющая момента импульса системы по оси z.
4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения.
Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через ось Z (рис. 4.15). Все плоскости могут вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью . Тангенциальная составляющая скорости i-ой точки может быть записана в виде: .
Тогда, учитывая, что
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: моментом импульса относительно оси Z называется составляющая по этой оси момента импульса относительно точки «О», лежащей на оси (рис. 4.16): , можно показать, что , где – составляющая радиус-вектора , перпендикулярная оси Z; – составляющая вектора , перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось Z и точку «m».
Подставив значение для в формулу для получим выражение для момента импульса точки относительно оси Z:
.
Это можно записать, воспользовавшись свойством двойного векторного произведения и учтя, что векторы и взаимно перпендикулярны.
Просуммировав это выражение по всем точкам и вынося общий множитель за знак суммы (), найдем для момента импульса системы относительно оси Z следующее выражение:
,
где – момент инерции системы материальных точек относительно оси Z.
Тогда . Учитывая, что , получаем
. (4.3)
Это основное уравнение динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением II-закона Ньютона: .
Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции есть величина постоянная относительно фиксированной оси. Следовательно, для абсолютно твердого тела основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:
, (4.4)
где – угловое ускорение тела;
– результирующий момент внешних сил, действующих на тело.
Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы – момент инерции и т.д. (см. таблицу).
|
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|
– сила |
или – момент силы |
|
m – масса |
– момент инерции |
|
– линейная скорость |
– угловая скорость |
|
– линейное ускорение |
–угловое ускорение |
|
– импульс |
–момент импульса |
Все приведенные выше формулы справедливы для случая, если ось вращения тела неподвижна.
4.6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.
1. Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси Z. Разобьем все тело на множество элементарных масс mi. Линейная скорость элементарной массы mi – vi = ·Ri, где Ri – расстояние массы mi от оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия i-ой элементарной массы будет равна . Полная кинетическая энергия тела: , здесь – момент инерции тела относительно оси вращения.
Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси равна:
(4.5)
2. Пусть теперь тело вращается относительно некоторой оси, а сама ось перемещается поступательно, оставаясь параллельной самой себе.
НАПРИМЕР: Катящийся без скольжения шар совершает вращательное движение, а центр тяжести его, через который проходит ось вращения (точка «О») перемещается поступательно (рис.4.17).
Скорость i-той элементарной массы тела равна , где – скорость некоторой точки «О» тела; – радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке «О».
Кинетическая энергия элементарной массы равна:
.
ЗАМЕЧАНИЕ: векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный (рис.4.18).
Учтя это замечание, можно записать, что , где – расстояние массы от оси вращения. Во втором слагаемом сделаем циклическую перестановку сомножителей, после этого получим
.
Чтобы получить полную кинетическую энергию тела, просуммируем это выражение по всем элементарным массам, вынося постоянные множители за знак суммы. Получим
.
Сумма элементарных масс есть масса тела «m». Выражение равно произведению массы тела на радиус-вектор центра инерции тела (по определению центра инерции). Наконец, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «О». Поэтому можно записать
.
Если в качестве точки «O» взять центр инерции тела «С», радиус-вектор будет равен нулю и второе слагаемое исчезнет. Тогда, обозначив через – скорость центра инерции, а через – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «С», получим:
(4.6)
Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.
4.7. Работа внешних сил при вращательном движении твердого тела.
Найдем работу, которую совершают силы при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.
Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (результирующая сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения) (рис. 4.19). Эти силы совершают за время dt работу:
.
Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей, находим:
,
где , – соответственно, моменты внутренней и внешней сил относительно точки «О».
Просуммировав по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:
.
Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Тогда, обозначив суммарный момент внешних сил через , придем к выражению:
.
Известно, что скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго на направление первого, учтя, что , (направления оси Z и совпадают), получим
,
но ·dt=d, т.е. угол, на который поворачивается тело за время dt. Поэтому
.
Знак работы зависит от знака Mz, т.е. от знака проекции вектора на направление вектора .
Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, а работа внешних сил определяется формулой .
Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования
.
Если проекция результирующего момента внешних сил на направление остается постоянной, то ее можно вынести за знак интеграла:
, т.е. .
Т.е. работа внешней силы при вращательном движении тела равна произведению проекции момента внешней силы на направление и угол поворота.
С другой стороны работа внешней силы, действующей на тело идет на приращение кинетической энергии тела (или равна изменению кинетической энергии вращающегося тела). Покажем это:
и тогда
;
Следовательно,
. (4.7)
Самостоятельно:
Упругие силы;
Закон Гука.
2. Деловое общение понятие структура цели и функции
3. Санкт~Петербургский ИВЭСЭП в г
4. Петр I - рождение империи
5. Транспортный налог уплачивается один раз в год за предшествующий год
6. Жизнь и творчество Солженицина
7. Путь к богатству или Где зарыты сокровища- Центрполиграф; М
8. экономических процессов в СССР и России в 6080 х годах позволяет утверждать что на этом историческом интерва
9. Психологическая и социальная поддержка безработных
10. Здоровье ~ не все но все без здоровья ~ ничто
11. на тему- Основи двійкової арифметики
12. Карри Блейк Урок 8 Слово Божьеэто надежный завет
13. Виды профессиональной морали
14. е сущло не всегда
15. Мировая сеть FIDOnet
16. задание. Невыполнение какогото конкретного задания за исключением единичных случаев вовсе НЕ означает что
17. ы~ты~ т~р~ыдан ~ара~анда мемлекет дегеніміз- Мемлекет ~ б~л ~о~амды білдіре отырып осы ~о~амды бас~а
18. Без выбора нет стратегии
19. Тема- Исчисление специального страхового стажа работников занятых отдельными видами профессиональной деят
20. Права на чужие вещи