Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Понятие о центре тяжести твердого тела
Если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести, а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела.
Центр тяжести – это точка, через которую при любом положении тела проходит линия действия его силы тяжести. Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам (1.14):
; ; . (1.16)
Здесь
, , , - вес и координаты - й частицы тела;
- вес тела.
Если тело однородное, то вес любой частицы тела пропорционален ее объему . Поэтому координаты центра тяжести такого тела будут равны:
; ; , (1.17)
где - объем тела.
Если однородное тело имеет форму тонкой оболочки постоянной толщины, то его можно рассматривать как материальную поверхность. Вес каждой элементарной площадки такой поверхности пропорционален величине площади этого элемента. Для координат центра тяжести поверхности получаем
; ; , (1.18)
где - площадь поверхности.
В случае плоской фигуры, лежащей в плоскости , необходимо вычислить с помощью (1.18) только координаты и .
Суммы и называются статическими моментами площадисоответственно относительно осей и .
Тело, у которого одно из измерений очень велико по сравнению с другими (например, длинная трубка, проволока и т.п.), можно рассматривать как материальную линию. Вес каждого элемента однородной материальной линии пропорционален длине элемента. В этом случае общие формулы (1.16) примут вид
; ; , (1.19)
Формулы (1.16) – (1.19) являются точными, строго говоря, лишь при разбиении тело на бесконечное число бесконечно малых частиц. Если же число частиц, на которые мысленно разбито тело, конечное, то в общем случае эти формулы будут приближенными, так как координаты , и при этом могут быть определены лишь с точностью до размеров частиц. Чем меньше эти частицы, тем меньше будет ошибка, которую мы сделаем при вычислении координат центра тяжести. К точным выражениям можно прийти лишь в результате предельного перехода, когда размер каждой частицы стремится к нулю, а число их неограниченно возрастает. Как известно, такой предел называется определенным интегралом. Поэтому фактическое определение координат центров тяжести тел по формулам (1.16)—(1.19) в общем случае требует замены сумм соответствующими им интегралами и применения методов интегрального исчисления. Однако в некоторых частных случаях оказывается возможным обойтись и элементарными приемами, которые мы рассмотрим ниже.
Методы определения центра тяжести
Метод симметрии. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести тела лежит соответственно в этой плоскости, на этой оси или в этом центре. Например, центр тяжести однородного круглого конуса лежит на его оси, а центр тяжести однородного шара — в его центре.
Метод группировки. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести тела могут быть определены, и притом точно, непосредственно по общим формулам (1.16) — (1.19), если рассматривать в них (или , , ) и , , как соответственно вес (или объем, площадь, длину) и координаты центров тяжести частей тела.
Эти утверждения могут быть доказаны с помощью формул (1.16). Докажем, например, второе из них. Пусть тело можно разбить на частей, для каждой из которых известны вес и координаты , , центра тяжести , . Разобьем каждую из сумм , , в формулах (1.16) на слагаемых, каждое из которых распространено только на одну из частей, на которые разбито тело. Например,
.
Это равенство будет совершенно точным при переходе в левой части к пределу (определенному интегралу); при этом правая часть выражается конечным числом слагаемых. Поэтому получаем (точно)
Метод дополнения, или отрицательных весов, является частным случаем метода группировки. Его сущность ясна из следующего примера.
Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника на бесконечно тонкие элементарные полоски, параллельные основанию (рис. 1.42). Центр тяжести каждой такой полоски расположен в ее середине. Геометрическое место центров тяжести всех полосок есть медиана . На ней поэтому и должен лежать центр тяжести всего треугольника. Так как такое же рассуждение справедливо и для двух других медиан, то центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан. При задании вершин треугольника их координатами получим
(1.22)