Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 134. Цикл Карно и теорема о сумме приведённых теплот
Основатель термодинамики Сади Карно установил второе на чало, изучая проблему возможного повышения к. п. д. тепловых машин.
По Карно, наибольший к. п. д. тепловой машины не зависит от рода посредствующего тела и вполне определяется предель ными температурами, между которыми машина работает. До кажем, что приведённое утверждение является следствием невозмож ности вечного двигателя второго рода. Для этого прежде всего вычислим к. п. д. машины, в которой идеальный газ совершает цикл, огра ниченный двумя адиабатами и двумя изотермами (цикл Карно, рис. 349).
Рис. 349 Цикл Карно.
В первой изотермической стадии расширения (кривая 1—2) теплоисточ ник отдаёт, а идеальный газ полу чает теплоту Q, равную работе рас ширения газа от объёма v1 до v2:
Q=RTlnv2/v1,
где — число молей газа, содержа щегося в цилиндре машины.
Во второй адиабатной стадии расширения (кривая 2—3) работа производится за счёт убыли внутренней энергии газа, т. е. за счёт падения температуры газа от уровня теплоисточника до уровня холо дильника. При этом газ не получает и не отдаёт тепла.
Затем идеальный газ сжимается изотермически от объёма v3 до объёма v4, определяемого пересечением изотермы холодильника с на чальной адиабатой. На это сжатие газа (кривая 3—4) должна быть затрачена работа, которая вследствие изотермичности процесса ока жется целиком превращённой в теплоту Q0, отдаваемую газом холо дильнику:
Q0=RTlnv3/v4.
Цикл завершается адиабатным сжатием газа до исходного объёма v1; при этом затрачиваемая работа идёт на повышение температуры газа до первоначального значения, т. е. до уровня теплоисточника.
За цикл газ получает теплоту Q и отдаёт теплоту Q0. Поскольку к концу цикла газ возвращён к своему исходному состоянию, то, стало быть, разность теплот Q-Q0 превращена в работу А, произ ведённую газом за цикл. По определению, к. п. д. есть отношение этой работы к теплоте, полученной рабочим телом (в данном слу чае— газом) у теплоисточника:
Заметим теперь, что по уравнению Пуассона [§ 131, формула (9)] адиабата идеального газа характеризуется неизменностью произведе ния Tvx-1. Объёмы v2 и v3 лежат на одной адиабате, причём объём v2 соответствует температуре Т, а объём v3 — температуре Т0. Следовательно
Так как объёмы v1 и v4 также лежат на одной адиабате и соот ветствуют тем же температурам Т и Т0, то и для них можно написать аналогичное уравнение:
Разделив первое из этих уравнений на второе (причём темпера туры сократятся) и извлекши из обоих полученных отношений корень степени х-1, находим, что
Учитывая это обстоятельство, подставим вышенайденные значения
теплот Q и Q0 в выражение к. п. д. =(Q-Q0)/Q и сократим числи тель и знаменатель на равные величины Rlnv2/v1 и Rlnv3/v4. Таким образом находим, что
(1’)
т. е. к. п. д. цикла Карно для машины, работающей на идеальном газе, равен отношению разности температур теплоисточника и холодильника к абсолютной температуре теплоисточника.
Рассуждение Клаузиуса о двух сопряжённых машинах Карно.
Рудольф Клаузиус (1822—1888).
Наряду с машиной, у которой рабочим телом является идеальный газ (первая машина), возьмём вторую машину, у которой рабочим телом является произвольное вещество, например какой-либо пар или жидкость. Обе машины имеют общий теплоисточник и холодильник. Пусть первая машина забирает у теплоисточника тепло Q, отдаёт холодильнику тепло Q0, производит работу А=Q-Q0 и имеет к. п. д.
Что касается второй машины, то пусть её размеры позволяют под чинить режим её работы тому условию, чтобы теплота Q', забирае мая второй машиной за каждый цикл у теплоисточника, была равна теплоте, забираемой у теплоисточника первой машиной: Q' =Q. Если при этом условии работа, производимая за один цикл второй машиной, равна работе, выполняемой за один цикл первой машиной (A'=А), то тогда, очевидно, равны их к. п. д. (' =A'/Q'==A/Q)
и равны теплоты, отдаваемые машинами холодильнику (поскольку А'=Q'-Q'0 и А=Q-Q0, то при Q'=Q равенство А' =А влечёт за собой равенство Q'0=Q0). Но допустим, что к. п. д. наших машин не равны и, стало быть, не равны работы, производи мые ими за один цикл, а также и теплоты, отдаваемые ими холодильнику. Например, до пустим, что к. п. д. у первой машины больше, чем у вто рой: >' и, следователь но, А>А'. Это означает, что первая машина превращает в работу большую, чем вто рая машина, часть тепла, за бираемого у теплоисточника, и, следовательно, отдаёт холодильнику меньше тепла, чем вторая: Q0<Q'0. Поступим так: напра вим работу, производимую первой машиной, на то, чтобы заставить рабочее тело второй машины описывать цикл Карно в обратном на правлении [причём оно будет вследствие расширения при темпера туре T0 забирать у холодильника тепло QQ и вследствие сжатия при Т отдавать теплоисточнику тепло Q (рис. 350)].
Рис. 350. К рассуждению Клаузиуса о двух сопряжённых машинах Карно.
Иначе говоря, используем первую машину как двигатель и заставим вторую рабо тать как машину холодильную, потребляющую на каждый цикл работу А' и переносящую тепло Q'0 от холодного тела к нагретому (причём это нагретое тело, являющееся для первой машины тепло источником, получает сверх теплоты Q'0 ещё теплоту за счёт подво димой работы; всего за цикл оно получает тепло Q'=Q). На рис. 350 представлена схема двух сопряжённых указанным образом машин Карно. Согласно сделанному нами допущению работа А, развиваемая за цикл первой машиной, больше работы А', которая потребляется второй. Стало быть, в итоге совокупность обеих машин за каждый цикл даст работу, равную положительной разности А-А', а холо дильник потеряет теплоту, эквивалентную этой работе А-А' (дей ствительно, от первой машины холодильник получает тепло Q0 , а второй отдаёт большее количество тепла Q'0 , т. е. в итоге холодильник теряет тепло Q'0-Q0 , но A=Q-Q0 и A'=Q' -Q'0; по скольку Q=Q', то Q'0 -Q0=A-А'. Что же касается теплоисточника, то его состоя ние не изменяется, так как пер вой машине он отдаёт столько же тепла, сколько получает от второй. Таким образом, совокуп ность обеих машин при каждом цикле производит работу А-А' за счёт тепла, заимствуемого у хо лодильника. Никакой компенсации превращения тепла в работу здесь нет. Указанное сочетание двух машин Карно представляло бы собой перпетуум мобиле второго рода. Мы пришли к противоре чию со вторым началом термо динамики, что указывает на не правильность сделанного нами до пущения о неравенстве к. п. д. рассмотренных машин. Строго говоря, мы убедились пока только в том, что к. п. д. первой ма шины с идеальным газом в качестве рабочего тела не может быть больше (как мы это сначала допустили), чем к. п. д. второй машины. Но не может ли он оказаться меньше, чем у второй ма шины? Допустим, что это так. Тогда машину с идеальным газом в качестве рабочего тела мы заставим работать как холодиль ную, а машину с произвольным рабочим телом используем как дви гатель. Все приведённые рассуждения остаются в силе, только вторую машину мы будем теперь именовать первой, а машину, рабо тающую на идеальном газе, — второй. Мы опять придём к про тиворечию со вторым началом. Стало быть, к. п. д. машины, с идеальным газом в качестве рабочего тела не может быть ни больше, ни меньше, чем к. п. д. аналогичной машины, работающей между теми же пределами температур, но имеющей в качестве рабочего тела не идеальный газ, а вообще любое вещество.
Мы видим, таким образом, что принцип, высказанный Карно, можно рассматривать как следствие невозможности перпетуум мобиле второго рода. Принцип Карно сыграл руководящую роль в развитии научных основ теплотехники. На основе этого принципа стало ясным, что для повышения к. п. д. тепловых машин важно идти по пути расширения температурных пределов, между которыми происходит цикл рабочего тела, тогда как замена одного рабочего вещества другим сама по себе не может дать никаких выгод. Форма цикла, вообще говоря, сказывается на величине к. п. д., причём при за данных температурных пределах цикл Карно в сравнении со всеми остальными циклами обратимых машин даёт наибольший к. п. д.
Форма некоторых циклов иногда позволяет одни и те же тела промежуточной температуры использовать в одной половине цикла как теплоисточники, а в другой половине цикла — как холодильники. Такая регенерация тепла повышает к. п. д. цикла и приближает цикл по его свойствам к циклу Карно.
Сумма приведённых теплот. Обратимся снова к рис. 349. Верх нюю и нижнюю изотермы изображённого на этом рисунке цикла мы можем рассматривать как два пути перехода с одной адиабаты на другую. Теплота, которую нужно сообщить телу, чтобы перевести его из состояния / в 2 по одному из этих путей, например по верх ней изотерме, не равна теплоте, которую потребовалось бы сообщить телу, чтобы перевести его с первой адиабаты на вторую по нижней изотерме (QQ0).
Из выведенного выше соотношения
получается, что
и, стало быть,
(2)
т. е. отношение изотермических теплот равновесного перехода с одной адиабаты на другую к абсолютной температуре, при которой этот переход производится, одинаково для всех изотерм и, следовательно, зависит только от удалённости друг от друга рас сматриваемых адиабат.
Отношение изотермической теплоты к абсолютной температуре, при которой сообщается теплота, называют приведённой теплотой. По формуле (2) для всевозможных изотермических переходов между двумя какими-либо адиабатами приведённые теплоты одинаковы
Возьмём любое тело и сопоставим два каких-либо его состоя ния C1 и С2. Тело можно перевести из первого состояния во второе посредством различных процессов, которые графически в диаграмме
состояний изобразятся различ ными кривыми.
Рис. 351. Сумма приведённых теплот не зависит от пути процесса.
Сравним два пути перехода а и b (рис. 351). Теплота, которую нужно со общить телу, чтобы перевести тело из С1 в С2 по пути а, вообще говоря, не равна теплоте перехода по пути b, Q(a)Q(b). Рассечём оба пути перехода тесной сетью адиабат, как это показано на рис. 351. Заменим процессы а и b чередованием изотермических и адиабатных изменений состояния; нетрудно сообразить, что при беско нечно большом числе адиабат, проведённых между С1 и С2, такую замену можно провести, почти не изменяя вида процессов а и b. Поэтому теплоты Q(a) и Q(b) можно представить как суммы теплот изотермических переходов с адиабаты на адиабату:
причём по формуле (2) для всех соответствующих членов этих сумм будем иметь равенства
Следовательно, хотя Q(a)Q(b), но
(3)
т. е. в отличие от суммы теплот сумма приведённых теплот не зависит от пути равновесного процесса.
1) Латинское слово regeneratio — возобновление.