Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования Нижегородской области
ГБОУ СПО «Перевозский строительный колледж»
Специальность: 230115 Программирование Работа защищена с оценкой
в компьютерных системах «________________»
Дисциплина: Математические методы (прописью)
Форма обучения: очная ___________________________
Группа: 4-12 (подпись) (ФИО руководителя курсовой работы)
«___» _____________201 г.
Курсовая работа
Тема: «Системы массового обслуживания с ожиданием»
Исполнитель: Карасев Сергей Сергеевич
«___» _____________2013 г.
Руководитель: ФИО руководителя
«___» _____________2013 г.
Г. Перевоз,
2013г.
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . .3
Теоретическая часть:
Глава 1 «Историческая справка»:
1.1 История открытия теории массового обслуживания . . .4
Глава 2 «Системы массового обслуживания»:
Глава 3 «Теория массового обслуживания с ожиданием»:
Практическая часть
Заключение;
Список литературы;
Примечание.
Введение
Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность теории "Системы массового обслуживания с ожиданием" определяют несомненную новизну данного исследования. Дальнейшее внимание к вопросу о теории "Системы массового обслуживания с ожиданием" необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования. Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теории "Системы массового обслуживания с ожиданием" в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.
В этой исследовательской работе ставится цель изучения и наглядного отображения реализации воздействия систем массового обслуживания на события, происходящие в реальной жизни, путем изложения необходимой теории, а так же решения практической задачи.
Предметом исследования являются методы реализации системы массового обслуживания (схемы, формулы, графики).
Объектом исследования в данной курсовой работе являются системы массового обслуживания с ожиданием.
Задачей данного исследования является: выявления «истоков» систем массового обслуживания, характеристика систем массового обслуживания, исследование и применение механизмов реализации систем массового обслуживания решение практической задачи.
1.1 История открытия ТМО
Сложный характер рыночной экономики и современный уровень предъявляемых к ней требований стимулируют использование более серьезных методов анализа ее теоретических и практических проблем. В последние десятилетия значительный вес в экономических исследованиях приобрели математические методы. Математическое моделирование все более и более становится одним из основных и наиболее плодотворных методов изучения экономических процессов и объектов. Математический анализ экономических задач органично превращается в часть экономики. Положительная оценка этого подтверждается и тем, что начиная с 1969 г. Нобелевские премии в области экономики присуждаются, как правило, за экономико-математические исследования. Одним из важных разделов экономико-математического моделирования является теория массового обслуживания, представляющая собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Системы массового обслуживания (СМО) встречаются во многих областях экономики (производство, техника, военная область, быт и др.) и предназначены для многократного использования при выполнении однотипных задач. [1]
Теория массового обслуживания (ТМО) — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно. [3]
Основоположником теории массового обслуживания считается датский ученый А. К. Эрланг. Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами, в период между 1908 и 1922 годами. Перед ним стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.
Значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 – 1959), который предложил сам термин теория массового обслуживания. В зарубежной литературе чаще используется название теория очередей [2]
1.2 Предмет, цель и задачи теории массового обслуживания
Цель теории массового обслуживания — выработка рекомендаций по рациональному построению систем массового обслуживания, организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования.
Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.
Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном счете включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания. [3]
2.1 Общая характеристика систем массового обслуживания
Основополагающим определением в теории массового обслуживания (ТМО), является система массового обслуживания (СМО). Система массового обслуживания— система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая система массового обслуживания содержит от одного до бесконечного числа приборов. Каждая система массового обслуживания включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств (единиц, приборов, линий), которые называют каналами обслуживания. Роль каналов могут играть лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы, парикмахеры и т.д.), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д. [4]
Целью теории систем массового обслуживания является выработка рекомендаций по рациональному построению системы массового обслуживания и рациональной организации их работы и регулированию потока заявок. Отсюда вытекают задачи, связанные с теорией массового обслуживания: установление зависимостей работы системы массового обслуживания от ее организации, характера потока заявок, числа каналов и их производительности, правил работы системы массового обслуживания. [5]
В СМО поступает поток заявок; часть из них принимается на обслуживание в каналы, часть ждет в очереди на обслуживание, часть покидает систему необслуженными. Эффективность функционирования СМО определяется её пропускной способностью – относительным числом обслуженных заявок.
Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.
В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.
Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:
(1)
где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований. Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.
Время обслуживания одного требования ()- случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку) .
Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний.
При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:
(2)
где v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:
, (3)
где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.
Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.
(4)
где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления требований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.
Из (1) и (2) получаем, что
(5)
Учитывая, что - интенсивность поступления требований в систему
в единицу времени, произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством. [6]
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
2.2 Структура системы массового обслуживания
Структурная схема систем массового обслуживания показана схематически на рис.1.
Таким образом, во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:
1) входящий поток заявок;
2) очередь;
3) каналы обслуживания;
4) выходящий поток обслуженных заявок.
Требование (заявка) — каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.
Входящий поток требований — требования, поступающие от всех источников в обслуживающую систему.
Очередь — совокупность требований, ожидающих обслуживания.
Канал обслуживания — обслуживание, состоящее из последовательности фаз обслуживания. Фаза обслуживания — последовательность операций, выполняемых на отдельном обслуживающем аппарате.
Выходящий поток требований — поток требований, покидающих систему после обслуживания. [http://www.dis.ru/library/detail.php?ID=26707]
Эффективность функционирования системы массового обслуживания определяется ее пропускной способностью — относительным числом обслуженных заявок. . [3]
2.3 Классификация систем массового обслуживания
Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков.
По числу каналов системы массового обслуживания подразделяют на одноканальные (n= 1) , когда имеется один канал обслуживания) и многоканальные, точнее n -канальные (когда количество каналов n ≥ 2 ). [8]
Многоканальные системы массового обслуживания могут состоять из однородных каналов, либо из разнородных, отличающихся длительностью обслуживания одной заявки. Практически время обслуживания каналом одной заявки Tоб является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной (T const об= ). [9]
По дисциплине обслуживания системы массового обслуживания подразделяют на три класса:
1. Системы массового обслуживания с отказами, в которых заявка, поступившая на вход системы массового обслуживания в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход системы массового обслуживания и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером системы массового обслуживания с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз (заявка поступает на вход как новая).
2. Системы массового обслуживания с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие системы массового обслуживания часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).
3. Системы массового обслуживания смешанного типа (с ограниченным ожиданием). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения. [8]
По ограничению потока заявок системы массового обслуживания делятся на замкнутые и открытые. Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, то система массового обслуживания является замкнутой, в противном случае – открытой. Классическим примером замкнутой СМО служит работа бригады наладчиков в цеху.
По количеству этапов обслуживания системы массового обслуживания делятся на однофазные и многофазные системы. Если каналы системы массового обслуживания однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслуживания, то такие системы массового обслуживания называются однофазными. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной.[8]
2.4 Потоки событий
Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.). Поток характеризуется интенсивностью — частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским) , если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название "простейший" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы. Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность поступления за время t ровно k требований задается по формуле:
(6)
Простейший поток обладает четырьмя основными свойствами: ординарностью, стационарностью, регулярностью и отсутствием последействия.
Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).
Стационарным называют поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени , не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени t, зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени. [13]
Данное свойство выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным .
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени T1 и T2 — число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем,поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них). [3]
2.5 Случайные процессы. Марковские процессы.
Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.
Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен. [10]
2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.
Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t0 количество сохранившихся ( не сбитых) самолетов соответственно – x0, y0. Нас интересует вероятность того, что в момент времени t0+ 1 численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t0, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t0 самолеты.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. [11]
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.
Схема возможных состояний системы и возможных переходов из состояния в состояние показана на рисунке 2 (такая схема называется графом состояний).
Построить граф состояний следующего случайного процесса:
устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.
Решение. Возможные состояния системы: S0 - оба узла исправны; S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен; S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен; S3 — оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 15.1
[13]
2.6 Процессы гибели и размножения
В теории массового обслуживания широко распространен специальный класс случайных процессов – так называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения численности биологических популяций. [8]
Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рисунке 7
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1,…, Sn. Переходы
могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы либо в состояние Sk −1, либо в состояние Sk +1 [14]
3.1 Системы массового обслуживания с ожиданием
СМО с ожиданием распространены наиболее широко. Их классифицируют по двум большим группам:
- Одноканальные системы массового обслуживания с ожиданием.
При этом система массового обслуживания состоит только из одного канала (n = 1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью, зависящей, в общем случае, от времени.
-Многоканальные системы массового обслуживания с ожиданием
В отличие от модели одноканальной СМО с отказами (потерями) в модели многоканальной СМО используется n>1 обслуживающих приборов с одинаковой интенсивностью обслуживания µ. [12]
3.1.1 Одноканальная СМО с ожиданием
Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают. Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Обозначим Pn - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:
(7)
Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна:
C учетом этого можно обозначить
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
Pотк=РN= (8)
относительная пропускная способность системы:
(9)
абсолютная пропускная способность:
А=q∙λ; (10)
среднее число находящихся в системе заявок:
(11)
среднее время пребывания заявки в системе:
(12)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
Wq=Ws- 1/μ; (13)
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
Lq=λ(1-PN)Wq. (14)
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N— 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно tоб=1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:
Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е.
Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:
P1=r∙P0=0,893∙0,248=0,221;
P2=r2∙P0=0,8932∙0,248=0,198;
P3=r3∙P0=0,8933∙0,248=0,177;
P4=r4∙P0=0,8934∙0,248=0,158.
Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
Pотк=Р4=r4∙P0≈0,158.
Относительная пропускная способность поста диагностики:
q=1–Pотк=1-0,158=0,842.
Абсолютная пропускная способность поста диагностики
А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).
Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
Среднее время пребывания автомобиля в системе:
часа.
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
Wq=Ws-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.
Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
Lq=λ∙(1-PN)∙Wq=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158). [6]
3.1.2 Многоканальная СМО с ожиданием
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна . (15)
Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:
(16)
где
(17)
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: (18)
Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание:
(19)
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
LS=Lq+ρ; (20)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди:
(21)
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
(22)
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
- вероятность состояний системы;
- среднее число заявок в очереди на обслуживание;
- среднее число находящихся в системе заявок;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
Определим параметр потока обслуживаний
Приведенная интенсивность потока заявок
ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,
при этом λ/μ ∙с=2,5/2∙3=0,41<1.
Поскольку λ/μ∙с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
Вычислим вероятности состояний системы:
Вероятность отсутствия очереди у мастерской Ротк≈Р0+Р1+Р2+Р3≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.
Среднее число заявок в очереди на обслуживание:
Среднее число находящихся в системе заявок
Ls=Lq+=0,111+1,25=1,361.
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание:
суток.
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе):
суток [12]
Вывод
В теоретической части данной исследовательской работы была рассмотрена история возникновения теории массового обслуживания, были проанализированы предмет, цель и задачи теории массового обслуживания, а так же представлена общая характеристика систем массового обслуживания и была определена структура систем массового обслуживания.
Были определены след понятия как: каналы обслуживания, очередь, выходящий поток требований, марковский процесс, случайные процессы, а так же процессы гибели и размножения.
В результате создания исследовательской работы: «СМО с ожиданием», были выполнены все цели, представленные во введении. Мы познакомились с историей создания систем массового обслуживания. Так же была проведена полная характеристика СМО и их непосредственных элементов. Данная курсовая работа отражает суть работы систем массового обслуживания, путем решения примерных практических задач, с подробным изучением всех протекающих процессов в системах массового обслуживания.
Список литературы
11) http://sysmodel.ru/markov
12) http://masteroid.ru/content/view/909/42/
13 ) Учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И.М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ж Кремера. - М: ЮНИТИ, 2002. - 407 с
14 ) “Информационные системы в технике и технологиях”/ Составители: Лаврусь О.Е., Миронов Ф.С.. - Самара: СамГАПС, 2002.- 38с.