Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВЯТСКИЙ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ
Методические указания
по самостоятельной работе студентов
направлений подготовки
080100.62 Экономика, 080200.62 Менеджмент
степень выпускников: бакалавр
Киров
2013
Рассмотрено на заседании кафедры прикладной информатики и математики, протокол № 4 от 14 декабря 2012 г.
Утверждена на заседании учебно-методического совета, протокол № 73 от 21 января 2013 г.
Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания / Сост. А.И. Глушкова, М.Ю. Здоровенко. – Киров: ВСЭИ, 2013. – 54 с.
Методические указания разработаны в соответствии с учебной программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» и предназначены для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 080100.62 Экономика, 080200.62 Менеджмент (степень выпускников: бакалавр)
© Вятский социально-экономический
институт (ВСЭИ), 2013
1. Цели и задачи контрольной работы
Цели контрольной работы: изучение основных понятий, формирование навыков решения задач по теории вероятностей и математической статистике.
Задачи контрольной работы:
2. Требования к результатам контрольной работы
В результате выполнения контрольной работы студент должен:
Знать:
- основные понятия теории вероятностей и математической статистики;
- числовые характеристики и законы распределения случайных величин;
- методы количественной оценки случайных величин.
Уметь:
- решать основные задачи теории вероятностей с применением определений,
теорем и формул;
- содержательно трактовать числовые характеристики случайных величин
(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение);
- проводить проверку различных статистических гипотез.
Владеть:
- навыками применения современного вероятностного и статистического
инструментария для решения практических задач, в том числе в области
экономики и менеджмента;
- навыками решения типовых задач вероятностного и статистического анализа
3. Объем самостоятельной работы студента
Самостоятельная работа студента составляет 1,5-2,5 зачетные единицы по очной форме обучения, 2,5-4 зачетные единицы по заочной форме обучения.
Выполнение контрольной работы предполагает самостоятельную работу студента по всем разделам учебных программ.
4. Варианты контрольной работы
Вариант 1
Задача №1
Типография выпустила 10 наименований книг и 12 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 3 различных книги и 5 различных журналов?
Задача №2
Цифры 1, 2, 3, 4, 5 написаны на карточках и тщательно перемешаны. Случайным образом эти карточки разложены в ряд. Какова вероятность, что получится нечетное число?
Задача №3
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0, 9, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из двух экзаменов. Он считает, что на первом экзамене получение любой оценки «2», «3», «4», «5» равновероятно. Второй экзамен он надеется списать с вероятностью 9/10 и получить «5». В противном случае он получает «2». Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию на «отлично»? б) сдаст сессию без двоек?
Задача №5
На трёх дочерей - Алису, Марину, Елену – в семье возложена обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнять 40% всей работы. Остальные 60% работы Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для неё разбить, по крайней мере, одну тарелку равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла Елена?
Задача №6
Два кубика подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что:
а) ровно 4 раза произведение выпавших очков равно шести;
б) хотя бы один раз произведение равно шести.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 15 от первого, 45 от второго, 40 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,9, вторым – 0,6, третьим – 0,8.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 1-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 360 семян прорастет:
а) 290 семян;
б) от 280 до 300 семян.
Задача №9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Для контроля наудачу взяты 4 деталей. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача № 10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). .
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача № 11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-10;-6) |
(-6;-2) |
(-2;2) |
(2;6) |
(6;10) |
|
Число ошибок в интервале () |
120 |
240 |
400 |
200 |
40 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача № 12
В результате исследования зависимости между сроком эксплуатации автомобиля и расходами на его ремонт получены следующие данные:
|
Срок эксплуатации, лет |
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
Расходы на ремонт, тыс. руб. |
S |
12 |
14 |
23 |
37 |
44 |
57 |
65,5 |
77 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость s=at+b стоимости ремонта автомобиля от срока эксплуатации;
б) предлагаемую величину затрат на ремонт за 9,10 и 11-ый год эксплуатации.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 2
Задача №1
Типография выпустила 15 наименований книг и 12 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 6 различных книг и 7 различных журналов?
Задача №2
Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы две детали без дефектов.
Задача №3
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,9, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из двух экзаменов. Он добросовестно подготовился и считает, что на каждом экзамене получит «4» с вероятностью 9/10, «2» получить не может, а получение «три» и «пять» для него равновероятно. Какова вероятность того, что: а) он сдаст сессию на «отлично»? б) сдаст сессию без троек и двоек?
Задача №5
В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% с заболеванием L, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
Задача №6
В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Берут по 2 шара и возвращают их обратно. Опыт проводят 5 раз. Найти вероятность того, что:
а) ровно 3 раза взяли шары разного цвета;
б) хотя бы один раз взяли шары разного цвета.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 10 от первого, 15 от второго, 75 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,8, вторым – 0,7, третьим – 0,6.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 2-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что среди взятых 490 семян прорастет:
а) 300 семян;
б) от 290 до 310 семян.
Задача №9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,2. Для контроля наудачу взяты 4 деталей. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача №10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). ,. Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-40;-24) |
(-24;-8) |
(-8;8) |
(8;24) |
(24;40) |
|
Число ошибок в интервале () |
50 |
160 |
550 |
140 |
100 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Прибыль предприятия за некоторый период деятельности по годам приведена ниже:
|
Год |
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Прибыль |
S |
54 |
57 |
62 |
65 |
67 |
69 |
70 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость s=at+b прибыли по годам деятельности предприятия;
б) определить ожидаемую прибыль для 8,9 и 10 – го годов деятельности.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 3
Задача №1
Типография выпустила 20 наименований книг и 18 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 4 различные книги и 8 различных журналов?
Задача №2
Цифры 1, 2, 3, 4, 5 написаны на карточках и тщательно перемешаны. Случайным образом эти карточки разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится чётное число?
Задача №3
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём 5 из них в переплёте. Библиотекарь берёт на удачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из 3 экзаменов. Он считает, что первых два лёгкие и на каждом из он получит «4» или «5» с равной вероятностью, а третий трудный, и на нём вероятность получения два равна 1/2, три – 1/4, а «5» не возможна. Какова вероятность того, что студент сдаст сессию: а) без двоек?; б) без троек и без двоек?
Задача №5
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалифицированную норму равна: для лыжника 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что: а) спортсмен, вызванный наудачу, выполнил норму; б) выполнивший норму спортсмен был из лыжников.
Задача №6
Вероятность того, что телевизор потребует ремонт в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 5 телевизоров:
а) ровно 4 потребуют ремонта;
б) хотя бы один не потребует ремонта.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 25 от первого, 40 от второго, 35 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,9.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 3-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых 640 семян прорастет:
а) 560 семян;
б) от 540 до 580 семян.
Задача № 9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,3. Для контроля наудачу взяты 4 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача № 10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). ,;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-50;-30) |
(-30;-10) |
(-10;10) |
(10;30) |
(30;50) |
|
Число ошибок в интервале () |
110 |
200 |
400 |
250 |
40 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения относительной частоты ошибок измерения дальности.
Задача №12
Приводятся данные о внесении минеральных удобрений и урожае сахарной свеклы с гектара за 5 лет:
|
Минер. удоб., ц |
x |
4 |
5 |
6 |
8 |
9 |
|
Урожай с 1 га, т |
y |
20 |
24 |
29 |
35 |
50 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b урожая от количества минеральных удобрений;
б) предлагаемую величину урожая с 1 га при внесении удобрений 10,11 и 12 ц.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 4
Задача №1
Типография выпустила 24 наименования книг и 10 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 5 различных книг и 6 различных журналов?
Задача №2
В урне лежат 13 белых и 7 красных шаров. Вынули 10 шаров. Найти вероятность того, что четыре из них красные.
Задача №3
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из трёх экзаменов. Он считает, что на первом экзамене он получит «5» с вероятностью 3/4, «3» и «4» равновероятны, а получить «2» он не может. А на остальных экзаменах он не может получить «5», а остальные оценки для него равновероятны. Какова вероятность: а) того, что сдаст сессию на одни «четвёрки»; б) сдаст сессию без «двоек»?
Задача №5
Часы изготавливаются на трёх заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй – 45%, третий – 15%. В продукции первого завода спешат 80% часов, у второго – 70%, у третьего – 90%. Какова вероятность того, что а) купленные часы спешат; б) купленные часы принадлежат третьему заводу.
Задача №6
Вероятность поражения цели при выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах мишень будет поражена:
а) ровно 3 раза;
б) хотя бы один раз.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 20 от первого, 15 от второго, 65 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,6, вторым – 0,9, третьим – 0,7.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 1-го поставщика.
Задача № 8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых 225 семян прорастет:
а) 55 семян;
б) от 40 до 60 семян.
Задача № 9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,4. Для контроля наудачу взяты 4 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача № 10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). ,;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-30;-18) |
(-18;-6) |
(-6;6) |
(6;18) |
(18;30) |
|
Число ошибок в интервале () |
400 |
240 |
100 |
200 |
60 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Имеются данные по 5 семьям об уровне доходов на 1 человека в год (Х) и покупательском спросе – расходах на одежду на 1 чел. в год (У), в тыс. руб.
|
Уровень дохода на 1 чел. в год |
х |
6,9 |
7,2 |
8,9 |
9,2 |
9,1 |
|
Расход на одежду на 1 чел в год |
у |
1,23 |
1,15 |
2,20 |
2,25 |
3,23 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b покупательского спроса – расхода на одежду от уровня доходов;
б) определить ожидаемый расход при уровне дохода 8, 9 и 10 тыс. руб.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 5
Задача №1
Типография выпустила 11 наименований книг и 14 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 7 различных книг и 4 различных журнала?
Задача №2
Брошены три игральные кости. Какова вероятность того, что на всех костях выпадет чётное число очков?
Задача №3
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,9. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт хотя бы один из стрелков.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из двух экзаменов. Он считает, что на первом экзамене вероятность получить «5» равна 9/10, а «три» и «два» он получить не может. А на втором экзамене все отметки равновероятны. Какова вероятность того, что: а) он сдаст сессию без «двоек»; б) получит на обоих экзаменах одинаковые оценки?
Задача № 5
Литьё в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% - из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что: а) одна взятая наугад болванка не имеет дефектов; б) взятая наугад болванка первого цеха.
Задача №6
Устройство состоит из 4 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,3. Найти вероятность того, что за время Т откажут:
а) ровно 2 элемента;
б) хотя бы один из элементов.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 35 от первого, 10 от второго, 55 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,9, вторым – 0,6, третьим – 0,8.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 2-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что среди взятых 810 семян прорастет:
а) 340 семян;
б) от 310 до 350 семян.
Задача №9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,5. Для контроля наудачу взяты 4 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача №10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). ,;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-20;-12) |
(-12;-4) |
(-4;4) |
(4;12) |
(12;20) |
|
Число ошибок в интервале () |
210 |
60 |
390 |
200 |
140 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Прибыль предприятия за некоторый период деятельности по годам приведена ниже:
|
Год |
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Прибыль (в тыс.руб.) |
S |
42 |
57 |
62 |
65 |
66 |
69 |
67 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость s=at+b прибыли по годам деятельности предприятия;
б) определить ожидаемую прибыль для 8,9 и 10 – ого года деятельности.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 6
Задача №1
Типография выпустила 9 наименований книг и 12 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 4 различные книги и 9 различных журналов?
Задача №2
Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
Задача №3
Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включёнными окажутся неизношенные элементы.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из двух экзаменов. Он считает, что на первом экзамене получение любой оценки «2», «3», «4», «5» равновероятно. Второй экзамен он надеется списать с вероятностью 9/10 и получить «5». В противном случае он получает «2». Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию на «отлично»? б) сдаст сессию без двоек?
Задача №5
В поступивших на склад трёх партиях деталей годные составляют 89%, 92% и 97% соответственно. А количества деталей в партиях относится как 1:2:3. Чему равна вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется негодной?
Задача №6
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 5 изделий:
а) ровно 4 окажется нестандартными;
б) хотя бы одно нестандартно.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 30 от первого, 25 от второго, 45 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,8, вторым – 0,9, третьим – 0,7.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 3-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что среди взятых 250 семян прорастет:
а) 160 семян;
б) от 150 до 180 семян.
Задача №9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Для контроля наудачу взяты 3 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача № 10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). ,;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-15;-9) |
(-9;-3) |
(-3;3) |
(3;9) |
(9;15) |
|
Число ошибок в интервале () |
100 |
260 |
400 |
200 |
40 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Приводятся данные о зависимости прибыли предприятия в день и расходов на ресурсы:
|
Прибыль |
х |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
|
Расходы на ресурсы |
у |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b расходов на ресурсы от прибыли предприятия;
б) предлагаемые расходы, если прибыль составит 10, 12 и 14 тыс. руб.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 7
Задача №1
Типография выпустила 16 наименований книг и 17 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 5 различных книг и 8 различных журналов?
Задача №2
Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Кирове, 10 – в Слободском, 5 – в Кирово-Чепецке. Найти вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город.
Задача №3
Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго – 0.8; для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что только один стрелок попадёт в цель.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из двух экзаменов. Он добросовестно подготовился и считает, что на каждом экзамене получить «4» с вероятностью 9/10, «2» получить не может, а получение «три» и «пять» для него равновероятно. Какова вероятность того, что: а) он сдаст сессию на «отлично»? б) сдаст сессию без троек и двоек?
Задача №5
Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдёт сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 362:5. вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший сбой будет обнаружен в оперативной памяти.
Задача №6
В урне лежит 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что:
а) ровно три из них красные;
б) хотя бы один красный.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 45 от первого, 25 от второго, 30 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 1-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что среди взятых 300 семян прорастет:
а) 100 семян;
б) от 80 до 130 семян.
Задача № 9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,2. Для контроля наудачу взяты 3 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача № 10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). ;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-40;-24) |
(-24;-8) |
(-8;8) |
(8;24) |
(24;40) |
|
Число ошибок в интервале () |
100 |
240 |
200 |
400 |
60 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Имеются данные по 6 семьям об уровне доходов на 1 человека в год (Х) и покупательском спросе – расходах на одежду на 1 чел. в год (У), в тыс. руб.
|
Уровень дохода на 1 чел. в год |
x |
60,1 |
62,9 |
65,0 |
78,2 |
82,3 |
84,0 |
|
Расход на одежду на 1 чел в год |
y |
26 |
23 |
21 |
37 |
19 |
28 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b покупательского спроса – расхода на одежду от уровня доходов;
б) определить ожидаемый расход при уровне дохода 70,72,75 тыс. руб.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 8
Задача №1
Типография выпустила 21 наименований и 25 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 6 различных книг и 5 различных журналов?
Задача №2
В первом ящике 60%, во втором 70%, в третьем ящике 90% окрашенных деталей. Из каждого ящика вынули по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы две из них окрашены.
Задача №3
В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Задача № 4
Студент сдаёт сессию из трёх экзаменов. Он считает, что первые два экзамена лёгкие и на каждом из них он получит «4» или «5» с равной вероятностью, а третий трудный, и на нём вероятность получения «два» равна 1/2, «три» - 1/4, а «пятёрка» невозможна. Какова вероятность того, что студент сдаст сессию: а) без «двоек»? б) без «троек» и без «двоек»?
Задача №5
Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второго – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Задача №6
В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:
а) ровно два мальчика;
б) хотя бы одна девочка.
Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 40 от первого, 25 от второго, 35 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,9.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 2-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 625 семян прорастет:
а) 500 семян;
б) от 490 до 510 семян.
Задача №9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,3. Для контроля наудачу взяты 3 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача №10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). , ;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-25;-15) |
(-15;-5) |
(-5;5) |
(5;15) |
(15;25) |
|
Число ошибок в интервале () |
10 |
290 |
40 |
260 |
400 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Приводятся данные о возрасте человека (Х) и его расходах на продукты питания в месяц (тыс. руб.) (У):
|
Возраст |
х |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
|
Расходы на питание |
у |
6,0 |
8,1 |
10,2 |
10,7 |
11,4 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b расходов на продукты питания в месяц от возраста человека;
б) предлагаемые расходы, если возраст человека 15, 22 и 30 лет.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 9
Задача №1
Типография выпустила 10 наименований книг и 12 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 6 различных книг и 8 различных журналов?
Задача №2
Группа состоит из 20 студентов. Для дежурства по институту выбирают наугад трёх студентов. Требуется найти вероятность того, что будут выбраны первые три студента по списку.
Задача №3
Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38.
Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из двух экзаменов. Он считает, что на первом экзамене получить «5» равна 9/10, а «три» и «два» он получить не может. А на втором экзамене все отметки равновероятны. Какова вероятность того, что: а) он сдаст сессию без «двоек»; б) получит на обоих экзаменах одинаковые оценки.
Задача №5
У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клёва на первом месте равна 1/3, на втором 1/2, на третьем – 1/4. Рыбак забросил удочку три раза, а рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
Задача №6
Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,85. Найти вероятность того, что в ближайшие 10 суток расход электроэнергии а) в течении 7 суток не превысит нормы; б) не превысит по крайней мере в течении одних суток.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 45 от первого, 15 от второго, 40 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,9, вторым – 0,6, третьим – 0,8.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 3-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что среди взятых 100 семян прорастет:
а) 70 семян;
б) от 40 до 80 семян.
Задача №9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,4. Для контроля наудачу взяты 3 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача №10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). , ;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-60;-36) |
(-36;-12) |
(-12;12) |
(12;36) |
(36;60) |
|
Число ошибок в интервале () |
100 |
260 |
400 |
200 |
40 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Имеются данные о прибыли фирмы за неделю деятельности по дням:
|
День недели |
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Прибыль, тыс. руб. |
у |
2,6 |
3,5 |
4,2 |
4,3 |
5,2 |
5,7 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b прибыли по дням деятельности предприятия;
б) определить ожидаемую прибыль для воскресенья.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Вариант 10
Задача №1
Типография выпустила 15 наименований книг и 8 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 9 различных книг и 3 различных журнала?
Задача №2
Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующего события: сумма выпавших очков равна восьми.
Задача №3
В учебных мастерских техникума работают три станка с программным управлением. Вероятность того, что в течение рабочей смены первый из них не потребует ремонта, равна 0,5, для второго станка такая вероятность равна 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы два из трех станков потребуют ремонта.
Задача №4
Студент сдаёт сессию из трёх экзаменов. Он считает, что на первом экзамене он получит «5» с вероятностью 3/4, «3» и «4» равновероятны, а «2» он получить не может. А на остальных экзаменах он не может получить «5», а остальные оценки для него равновероятны. Какова вероятность: а) того, что он сдаст сессию на одни «четвёрки»; б) сдаст сессию без «двоек»?
Задача №5
Двадцать учащихся, уезжающих в студенческий строительный отряд, пришли сдавать экзамен по математике досрочно. Шестеро из них подготовились отлично, восемь хорошо, четыре удовлетворительно, а двое совсем не подготовились – понадеялись, что всё помнят. В билетах 50 вопросов. Отлично подготовившиеся учащиеся могут ответить на все 50 вопросов, хорошо – на 40, удовлетворительно – на 30 и не подготовившиеся – на 10 вопросов. Приглашённый учащийся ответил правильно на все три заданных ему вопроса. Найти вероятность того, что он отлично подготовился к экзамену.
Задача №6
В квартире 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года равна 5/6. Найти вероятность того, что в течение года придётся заменить:
а) ровно 2 лампочки;
б) по крайней мере одну лампочку.
Задача №7
На предприятие поступают комплектующие от трех поставщиков в количестве: 50 от первого, 15 от второго, 35 от третьего. Вероятность качественного изготовления комплектующего первым поставщиком - 0,8, вторым – 0,7, третьим – 0,6.
а) Найти вероятность того, что взятое случайным образом комплектующее будет качественным.
б) Взятое случайным образом комплектующее оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно поступило от 1-го поставщика.
Задача №8
Семена пшеницы прорастают в среднем с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых 500 семян прорастет:
а) 450 семян;
б) от 440 до 460 семян.
Задача №9
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,5. Для контроля наудачу взяты 3 детали. Требуется:
а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число нестандартных деталей среди взятых для контроля;
б) определить вид закона распределения случайной величины X;
в) построить многоугольник распределения;
г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график;
д) вычислить числовые характеристики X;
е) найти .
Задача №10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей F(x). ,;
Требуется:
а) построить график функции F(x);
б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
в) вычислить числовые характеристики X;
г) найти .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал () |
(-35;-21) |
(-21;-7) |
(-7;7) |
(7;21) |
(21;35) |
|
Число ошибок в интервале () |
100 |
200 |
400 |
260 |
40 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Задача №12
Имеются данные о потребностях (расходах) (х) и доходах в месяц (у) для шести человек:
|
Расходы, тыс. руб. |
х |
2 |
5 |
6 |
8 |
12 |
15 |
|
Доходы, тыс. руб. |
у |
5 |
12 |
15 |
19 |
21 |
29 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b доходов от расходов;
б) определить ожидаемые доходы, когда расходы составили 10,11,13 тыс. руб.
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
5. Задачи и решение демонстрационного варианта контрольной работы
Задача №1
В магазине «Цветы» имеется в продаже 10 роз, 15 гвоздик и 4 тюльпана. Сколько существует возможностей составить букет, состоящий из 3 роз, 4 гвоздик и 2 тюльпанов?
Решение. Выбрать 3 розы из 10 можно способами, 4 гвоздики из 15 – способами и 2 тюльпана из 4 – . По правилу произведения получаем, что составить букет, удовлетворяющий условиям задачи, можно способами.
.
Ответ: 982800 возможностей составить букет.
Задача №2
Из 100 билетов лотереи 5 билетов выигрышные. Какова вероятность того, что пара купленных билетов этой лотереи окажутся выигрышными?
Решение. Введем обозначения событий: Х – «пара купленных билетов окажутся выигрышными», Ai – «i-ый купленный билет выигрышный» (i=1,2). Тогда Х=A1A2, события A1 и A2 зависимы. Поэтому
.
Задача №3
Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующего события: сумма выпавших очков равна семи.
Решение. Сумму семь дают следующие события: выпадение очков 1 и 6, или 2 и 5, или 3 и 4. Всего исходов , из них благоприятных исходов 6. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков будет число семь равна
.
Ответ: Р = 1/6 или 0,167.
Задача №4
В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной.
Решение.
I способ: требование – среди отобранных деталей окажется не более одной нестандартной – будет существенно, если произойдёт любое из следующих двух несовместных событий: В – все детали стандартные, С – одна деталь нестандартная.
Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А=В+С. По теореме сложения, P(А)=P(В)+P(С) (*).
Найдём вероятности событий В, С :
P(В)=, P(С)= .
Подставляя эти вероятности в равенство (*), окончательно получим
P(А)=2/15+8/15=10/15=2/3.
II способ: пусть событие D – две детали из шести нестандартные, тогда вероятность искомого события А равна P(А)=1 – P(D).
Найдём вероятность события D: P(D)=.
P(А)=.
Ответ: 2/3.
Задача №5
Студент сдаёт сессию из двух экзаменов. Он считает, что нам первом экзамене вероятность получить «5» равна 2/5, «4» - 1/3, оценку «2» он получить не может, на втором экзамене оценки «3» и «4» и «2» равновероятны, а вот получение «5» невозможно. Какова вероятность того, что студент сдаст сессию: а) без двоек; б) на одни четвёрки?
Решение.
Обозначим следующие события:
А1, В1, С1, Д1 – соответственно события «сдать первый экзамен на «5», «4», «3» и «2» .
А2, В2, С2, Д2 – соответственно события «сдать второй экзамен на «5» , «4», «3» и «2».
Исходя из условия о вероятности получения той или иной оценки на экзаменах, получаем:
P(Д1)=0
P(С1)=1-P(А1)-P(В1)-P(Д1)=1-2/5-1/3-0=4/15
P(А2)=0
P(В2)=P(С2)=P(Д2)=1/3
а) пусть событие Х – «сдать» сессию без двоек, тогда
I способ: P(Х)=1-P(А1Д2+В1Д2+С1Д2)
где А1Д2+В1Д2+С1Д2 - событие «сдать сессию с двойкой». События А1Д2 , В1Д2, С1Д2 не совместны, следовательно P(Х)=1-P(А1Д2)-P(В1Д2)-P(С1Д2)=1-2/15-1/9-4/45=1-1/3=2/3.
II способ: Так как вероятность сдачи первого экзамена на «2» равна 0, а второго 1/3, то вероятность сдать сессию без двоек равна P(Х)=1-1/3=2/3.
б) пусть событие У – «сдать сессию на одни четвёрки», тогда
P(У) = P(В1В2)=.
Ответ: а) 2/3, б) 1/9.
Задача №6
Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй – 10 белых и 5 чёрных, в третьей – 6 белых и 9 чёрных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.
Решение. Обозначим через А событие – вынут белый шар. Можно сделать три предположения (гипотезы):
Н1 – шар из первой корзины,
Н2 – шар из второй корзины,
Н3 – шар из третьей корзины.
р(Н1)=р(Н2)=р(Н3)=15\45=1\3
Условная вероятность того, что шар будет белым, если он вынут из первой урны равна =1.
Условная вероятность того, что шар будет белым, если он вынут из второй урны равна =10/15.
Условная вероятность того, что шар будет белым, если он вынут из третьей урны равна =6/15.
Вероятность того, что наугад взятый шар окажется белого цвета, по формуле полной вероятности равна
.
Искомая вероятность того, что наугад взятый белый шар окажется из первой урны, по формуле Байеса равна
.
Ответ: 15/31.
Задача №7
Трое рабочих цеха обслуживают станки. Первый рабочий обслуживает 20 станков, второй – 30 станков, третий – 50 станков. Вероятность того, что станки, обслуживаемые первым рабочим, в течение смены безотказно работают, равна 0,9, для второго и третьего рабочих эта вероятность равна соответственно 0,8 и 0,7. А) Какова вероятность того, что выбранный наудачу станок цеха безотказно проработает в течение смены? Б) Станок цеха, выбранный наудачу, безотказно проработал в течение смены. Какова вероятность того, что этот станок обслуживается вторым рабочим?
Решение. Обозначим события: А – «выбранный наудачу станок цеха безотказно проработает в течение смены», гипотезы Hi – «станок обслуживается i-ым рабочим» (i=1,2,3). Вероятности гипотез находим по классическому определению вероятности:
, , ;
условие выполняется.
А) Вероятность того, что выбранный наудачу станок цеха безотказно проработает в течение смены, находим по формуле полной вероятности:
=0,77.
Б) Если станок цеха, выбранный наудачу, безотказно проработал в течение смены, то вероятность того, что этот станок обслуживается вторым рабочим, найдем по формуле Байеса: .
Задача №8
Вероятность получения в лотерее выигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов выигрышных: а) 40; б) не менее 50 и не более60?
Решение. А) Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу локальной теоремы Лапласа:
, где и .
По условию задачи p=0,1; q=1-0,1=0,9; n=400; k=40. Тогда . Из таблицы Приложения 1 находим . Искомая вероятность равна 0,0665.
Б) Вычислим искомую вероятность , используя интегральную теорему Лапласа:
, где и (i=1,2).
По условию задачи p=0,1; q=1-0,1=0,9; n=400; k1=50; k2=60. Находим
, .
Из таблицы Приложения 2 находим , . Откуда =0,047.
Задача №9
Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,6. Предприятие закупило 3 телевизора. Требуется: а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число телевизоров, потребующих ремонта в течение гарантийного срока; б) определить вид закона распределения вероятностей; в) построить многоугольник распределения; г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график; д) вычислить числовые характеристики X; е) найти .
Решение. А) Составим закон распределения случайной величины X. Из трех купленных предприятием телевизоров могут потребовать ремонта в течение гарантийного срока три, два, один телевизор или, вообще, ни один из них может не потребовать ремонта. Поэтому получаем таблицу возможных значений X:
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
pi |
p0 |
p1 |
p2 |
p3 |
Найдем вероятности pi (i=1,2,3,4), используя формулу Бернулли. Если производится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна p, тогда вероятность того, что это событие в n испытаниях появится ровно k раз, вычисляется по формуле:
, где и q=1-p.
Имеем: p=0,6, q=1-0,6=0,4, n=3. Тогда:
;
;
;
.
Проверим тот факт, что . Действительно, 0,064+0,288+0,432+ +0,216=1. Следовательно, закон распределения X окончательно имеет вид:
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
pi |
0,064 |
0,288 |
0,432 |
0,216 |
Б) Поскольку при нахождении вероятностей pi была использована формула Бернулли, то указанная случайная величина имеет биномиальный закон распределения вероятностей.
В) Многоугольник распределения (Рис. 1) – ломаная, звенья которой соединяют точки с координатами (i=0,1,2,3).
Г) Функция распределения вероятностей случайной величины X определяется равенством F(x)=P(X<x). Имеем:
.
Построим график этой функции (Рис. 2):
Г) Найдем числовые характеристики X.
Математическое ожидание случайной величины X определяется равенством: . Имеем:
.
Для нахождения дисперсии составим закон распределения вероятностей случайной величины X2:
|
0 |
1 |
4 |
9 |
|
|
pi |
0,064 |
0,288 |
0,432 |
0,216 |
Найдем математическое ожидание X2:
.
Тогда, вычисляя дисперсию случайной величины X по формуле , получаем: .
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X находится как . Имеем: .
Д) Для нахождения вероятности попадания случайной величины X в промежуток используем формулу: . Получаем: .
Задача №10
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения вероятностей . А) построить график функции F(x); б) найти дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x) и построить ее график; в) вычислить числовые характеристики X; г) найти .
Решение. А) Построим график интегральной функции распределения вероятностей (Рис. 3).
Б) Дифференциальную функцию распределения вероятностей определяем по формуле: . Имеем: . Построим график этой функции (Рис. 4).
В) Вычислим числовые характеристики X.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется значение интеграла , где f(x) – дифференциальная функция распределения вероятностей. В нашем случае
.
Для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины X может быть использована формула , где f(x) – дифференциальная функция распределения вероятностей. Получаем:
.
Среднее квадратическое отклонение . Имеем: .
Г) Для нахождения воспользуемся формулой . Тогда искомая вероятность .
Задача №11
Ошибки 1000 результатов измерений дальности приведены в таблице:
|
Интервал (h) |
(-10; -6) |
(-6;-2) |
(-2; 2) |
(2; 6) |
(6; 10) |
|
Число ошибок в интервале (n) |
100 |
260 |
400 |
200 |
40 |
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности.
Решение:
Объём выборки n = 1000
Длина каждого отдельного интервала h=4
Гистограммой называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов или отношению /h,то есть плотности относительной частоты.
w= =n/n – относительная частота
|
Интервал (h) |
(-10; -6) |
(-6;-2) |
(-2; 2) |
(2; 6) |
(6; 10) |
|
Частота n |
100 |
260 |
400 |
200 |
40 |
|
w==n/n |
0,1 |
0,26 |
0,4 |
0,2 |
0,04 |
|
w/h=/4 |
0,025 |
0,065 |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
2) Интервальный ряд преобразуем в дискретный и найдём эмпирическую функцию распределения ошибок измерения дальности. Для преобразования в дискретный ряд в каждом интервале найдём середину каждого интервала – варианта Х.
Для нахождения эмпирической функции для каждого значения Х вычисляем накопленную относительную частоту.
Итак, функция распределения имеет вид:
0, при х -8
0,1, при -8< х -4
0,36 , при -4 < х 0
= 0,76 , при 0 < х 4
0,96 , при 4 < х 8
1, при х> 8
Построим график функции :
Задача №12
Имеются статистические данные о потребностях (расходах) (хi) и доходах в месяц (уi) для семи человек:
|
Расходы, тыс. руб. |
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
Доходы, тыс. руб. |
yi |
6,9 |
9,2 |
10,7 |
13,1 |
15,2 |
16,6 |
19,1 |
Найти методом наименьших квадратов:
а) линейную зависимость y=ax+b доходов от расходов;
б) определить ожидаемые доходы, когда расходы составили 9,10,11 тыс. руб. (3 новых значения найти для таблицы).
Построить найденную прямую и экспериментальные данные на одном чертеже.
Решение. а) Полученную таблицу эмпирических данных будем использовать для нахождения параметров a и b в линейной зависимости y= aх + b доходов от расходов:
|
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
yi |
6,9 |
9,2 |
10,7 |
13,1 |
15,2 |
16,6 |
19,1 |
Запишем систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
.
Для удобства расчетов составим вспомогательную таблицу:
|
2 |
6,9 |
4 |
13,8 |
|
3 |
9,2 |
9 |
27,6 |
|
4 |
10,7 |
16 |
42,8 |
|
5 |
13,1 |
25 |
65,5 |
|
6 |
15,2 |
36 |
91,2 |
|
7 |
16,6 |
49 |
116,2 |
|
8 |
19,1 |
64 |
152,8 |
Таким образом, система уравнений примет вид:
.
В итоге получаем требуемое уравнение: .
(Система могла быть решена и методом Крамера и др.)
Построим на одном чертеже эмпирические данные и график полученного уравнения.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек, принадлежащих графику функции:
|
0 |
8 |
|
|
|
2,991 |
18,959 |
б) Для нахождения 3 новых значений в таблице эмпирических данных подставим в вместо x значения 9,10,11:
|
9 |
10 |
11 |
|
|
21,0 |
22,9 |
24,9 |
x=9 y=20,95521,0;
x=10 y=22,85122,9;
x=11 y24,9.
6. Выполнение и оформление контрольной работы
Контрольная работа состоит из 10 вариантов, по 12 заданий в каждом, варианты выбираются студентом по последней цифре номера зачетной книжки.
При выполнении работы студенты знакомятся с рекомендуемой основной и дополнительной литературой, с электронными ресурсами образовательного сайта ВСЭИ.
Структура контрольных работ: с новой страницы – номер и содержание задания, ниже полное решение задачи, необходимые пояснения, чертежи, список литературы (введение, приложения не требуются).
Оформление контрольной работы должно соответствовать требованиям, приведенным в методическом пособии «Выполнение контрольных и курсовых работ: Методические рекомендации для студентов, обучающихся по ФГОС-3» (ВСЭИ, 2013).
7. Учебно-методическое обеспечение
А. Основная литература
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2008.
2. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций: учебное пособие / Под ред. А.А. Свешникова.- СПб.: Лань, 2008.
3. Хрущева И.В., Щербаков В.И., Леванова Д.С. Основы математической статистики и теории случайных процессов. - СПб.: Лань, 2009.
Б. Дополнительная литература
В. Электронные учебные материалы
1. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: практикум / Сост. Глушкова А.И., Здоровенко М.Ю., Зеленина Н.А. – Киров: ВСЭИ, 2011.
2. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: [Электронный ресурс]: учебное пособие / Сост. Зеленина Н.А. – Киров: ВСЭИ, 2009.
Г. Программное обеспечение
Excel.
Д. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
Не предусмотрено.
Приложения
Приложение 1
Таблица значений локальной функции Лапласа
|
x |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
|
0,0 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3988 |
0,3986 |
0,3984 |
0,3982 |
0,3980 |
0,3977 |
0,3973 |
|
0,1 |
0,3970 |
0,3965 |
0,3961 |
0,3956 |
0,3951 |
0,3945 |
0,3939 |
0,3932 |
0,3925 |
0,3918 |
|
0,2 |
0,3910 |
0,3902 |
0,3894 |
0,6885 |
0,3876 |
0,3867 |
0,3857 |
0,3847 |
0,3836 |
0,3825 |
|
0,3 |
0,3814 |
0,3802 |
0,3790 |
0,3778 |
0,3765 |
0,3752 |
0,3739 |
0,3726 |
0,3712 |
0,3697 |
|
0,4 |
0,3683 |
0,3668 |
0,3652 |
0,3637 |
0,3621 |
0,3605 |
0,3589 |
0,3572 |
0,3555 |
0,3538 |
|
0,5 |
0,3521 |
0,3503 |
0,3485 |
0,3467 |
0,3448 |
0,3429 |
0,3410 |
0,3991 |
0,3372 |
0,3352 |
|
0,6 |
0,3332 |
0,3312 |
0,3292 |
0,3271 |
0,3251 |
0,3230 |
0,3209 |
0,3187 |
0,3166 |
0,3144 |
|
0,7 |
0,3123 |
0,3101 |
0,3079 |
0,3056 |
0,3134 |
0,3011 |
0,2989 |
0,2966 |
0,2943 |
0,2920 |
|
0,8 |
0,2897 |
0,2874 |
0,2850 |
0,2827 |
0,2803 |
0,2780 |
0,2756 |
0,2732 |
0,2709 |
0,2685 |
|
0,9 |
0,2661 |
0,2637 |
0,2613 |
0,2589 |
0,2565 |
0,2541 |
0,2516 |
0,2492 |
0,2568 |
0,2444 |
|
1,0 |
0,2420 |
0,2396 |
0,2371 |
0,2347 |
0,2323 |
0,2299 |
0,2275 |
02251 |
0,2227 |
0,2203 |
|
1,1 |
0,2179 |
0,2155 |
0,2131 |
0,2107 |
0,2083 |
0,2059 |
0,2036 |
0,2012 |
0,1989 |
0,1965 |
|
1,2 |
0,1942 |
0,1919 |
0,1895 |
0,1872 |
0,1849 |
0,1826 |
0,1804 |
0,1781 |
0,1758 |
0,1736 |
|
1,3 |
0,1714 |
0,1691 |
0,1669 |
0,1647 |
0,1626 |
0,1604 |
0,1582 |
0,1561 |
0,1539 |
0,1518 |
|
1,4 |
0,1497 |
0,1476 |
0,1456 |
0,1435 |
0,1415 |
0,1394 |
0,1374 |
0,1354 |
0,1334 |
0,1315 |
|
1,5 |
0,1295 |
0,1276 |
0,1257 |
0,1238 |
0,1219 |
0,1200 |
0,1182 |
0,1163 |
0,1145 |
0,1127 |
|
1,6 |
0,1109 |
0,1092 |
0,1074 |
0,1057 |
0,1040 |
0,1023 |
0,1006 |
0,0989 |
0,0973 |
0,0957 |
|
1,7 |
0,0940 |
0,0925 |
0,0909 |
0,0893 |
0,0878 |
0,0863 |
0,0848 |
0,0833 |
0,0818 |
0,0804 |
|
1,8 |
0,0790 |
0,0775 |
0,0761 |
0,0748 |
0,0734 |
0,0721 |
0,0707 |
0,0694 |
0,0681 |
0,0669 |
|
1,9 |
0,0656 |
0,0644 |
0,0632 |
0,0620 |
0,0608 |
0,0596 |
0,0584 |
0,0573 |
0,0562 |
0,0551 |
|
2,0 |
0,0540 |
0,0529 |
0,0519 |
0,0508 |
0,0498 |
0,0488 |
0,0478 |
0,0468 |
0,0459 |
0,0449 |
|
2,1 |
0,0440 |
0,0431 |
0,0422 |
0,0413 |
0,0404 |
0,0396 |
0,0387 |
0,0379 |
0,0371 |
0,0363 |
|
2,2 |
0,0355 |
0,0347 |
0,0339 |
0,0332 |
0,0325 |
0,0317 |
0,0310 |
0,0303 |
0,0297 |
0,0290 |
|
2,3 |
0,0283 |
0,0277 |
0,0270 |
0,0264 |
0,0258 |
0,0252 |
0,0246 |
0,0241 |
0,0235 |
0,0229 |
|
2,4 |
0,0224 |
0,0219 |
0,0213 |
0,0208 |
0,0203 |
0,0198 |
0,0193 |
0,0189 |
0,0184 |
0,0180 |
|
2,5 |
0,0175 |
0,0171 |
0,0167 |
0,0163 |
0,0158 |
0,0154 |
0,0151 |
0,0147 |
0,0143 |
0,0139 |
|
2,6 |
0,0136 |
0,0132 |
0,0129 |
0,0126 |
0,0122 |
0,0119 |
0,0116 |
0,0113 |
0,0110 |
0,0107 |
|
2,7 |
0,0104 |
0,0101 |
0,0099 |
0,0096 |
0,0093 |
0,0091 |
0,0088 |
0,0086 |
0,0084 |
0,0081 |
|
2,8 |
0,0079 |
0,0077 |
0,0075 |
0,0073 |
0,0071 |
0,0069 |
0,0067 |
0,0065 |
0,0063 |
0,0061 |
|
2,9 |
0,0060 |
0,0058 |
0,0056 |
0,0055 |
0,0053 |
0,0051 |
0,0050 |
0,0048 |
0,0047 |
0,0046 |
|
3,0 |
0,0044 |
0,0043 |
0,0042 |
0,0040 |
0,0039 |
0,0038 |
0,0037 |
0,0036 |
0,0035 |
0,0034 |
|
3,1 |
0,0033 |
0,0032 |
0,0031 |
0,0030 |
0,0029 |
0,0028 |
0,0027 |
0,0026 |
0,0025 |
0,0025 |
|
3,2 |
0,0024 |
0,0023 |
0,0022 |
0,0022 |
0,0021 |
0,0020 |
0,0020 |
0,0019 |
0,0018 |
0,0018 |
|
3,3 |
0,0017 |
0,0017 |
0,0016 |
0,0016 |
0,0015 |
0,0015 |
0,0014 |
0,0014 |
0,0013 |
0,0013 |
|
3,4 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0011 |
0,0011 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0009 |
0,0009 |
|
3,5 |
0,0009 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0006 |
|
3,6 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0004 |
|
3,7 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
|
3,8 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
|
3,9 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0001 |
0,0001 |
|
4,0 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
Приложение 2
Таблица значений интегральной функции Лапласа
|
x |
(x) |
x |
(x) |
x |
(x) |
x |
(x) |
x |
(x) |
|
0,00 |
0,0000 |
0,52 |
0,1985 |
1,04 |
0,3508 |
1,56 |
0,4406 |
2,16 |
0,4846 |
|
0,01 |
0,0040 |
0,53 |
0,2019 |
1,05 |
0,3531 |
1,57 |
0,4418 |
2,18 |
0,4854 |
|
0,02 |
0,0080 |
0,54 |
0,2054 |
1,06 |
0,3554 |
1,58 |
0,4429 |
2,20 |
0,4861 |
|
0,03 |
0,0120 |
0,55 |
0,2088 |
1,07 |
0,3577 |
1,59 |
0,4441 |
2,22 |
0,4868 |
|
0,04 |
0,0160 |
0,56 |
0,2123 |
1,08 |
0,3599 |
1,60 |
0,4452 |
2,24 |
0,4875 |
|
0,05 |
0,0199 |
0,57 |
0,2157 |
1,09 |
0,3621 |
1,61 |
0,4463 |
2,26 |
0,4881 |
|
0,06 |
0,0239 |
0,58 |
0,2190 |
1,10 |
0,3643 |
1,62 |
0,4474 |
2,28 |
0,4887 |
|
0,07 |
0,0279 |
0,59 |
0,2224 |
1,11 |
0,3665 |
1,63 |
0,4484 |
2,30 |
0,4893 |
|
0,08 |
0,0319 |
0,60 |
0,2257 |
1,12 |
0,3686 |
1,64 |
0,4495 |
2,32 |
0,4898 |
|
0,09 |
0,0359 |
0,61 |
0,2291 |
1,13 |
0,3708 |
1,65 |
0,4505 |
2,34 |
0,4904 |
|
0,10 |
0,0398 |
0,62 |
0,2324 |
1,14 |
0,3729 |
1,66 |
0,4515 |
2,36 |
0,4909 |
|
0,11 |
0,0438 |
0,63 |
0,2357 |
1,15 |
0,3749 |
1,67 |
0,4525 |
2,38 |
0,4913 |
|
0,12 |
0,0478 |
0,64 |
0,2389 |
1,16 |
0,3770 |
1,68 |
0,4535 |
2,40 |
0,4918 |
|
0,13 |
0,0517 |
0,65 |
0,2422 |
1,17 |
0,3790 |
1,69 |
0,4545 |
2,42 |
0,4922 |
|
0,14 |
0,0557 |
0,66 |
0,2454 |
1,18 |
0,3810 |
1,70 |
0,4554 |
2,44 |
0,4927 |
|
0,15 |
0,0596 |
0,67 |
0,2486 |
1,19 |
0,3830 |
1,71 |
0,4564 |
2,46 |
0,4931 |
|
0,16 |
0,0636 |
0,68 |
0,2517 |
1,20 |
0,3849 |
1,72 |
0,4573 |
2,48 |
0,4934 |
|
0,17 |
0,0675 |
0,69 |
0,2549 |
1,21 |
0,3869 |
1,73 |
0,4582 |
2,50 |
0,4938 |
|
0,18 |
0,0714 |
0,70 |
0,2580 |
1,22 |
0,3883 |
1,74 |
0,4591 |
2,52 |
0,4941 |
|
0,19 |
0,0753 |
0,71 |
0,2611 |
1,23 |
0,3907 |
1,75 |
0,4599 |
2,54 |
0,4945 |
|
0,20 |
0,0793 |
0,72 |
0,2642 |
1,24 |
0,3925 |
1,76 |
0,4608 |
2,56 |
0,4948 |
|
0,21 |
0,0832 |
0,73 |
0,2673 |
1,25 |
0,3944 |
1,77 |
0,4616 |
2,58 |
0,4951 |
|
0,22 |
0,0871 |
0,74 |
0,2703 |
1,26 |
0,3962 |
1,78 |
0,4625 |
2,60 |
0,4953 |
|
0,23 |
0,0910 |
0,75 |
0,2734 |
1,27 |
0,3980 |
1,79 |
0,4633 |
2,62 |
0,4956 |
|
0,24 |
0,0948 |
0,76 |
0,2764 |
1,28 |
0,3997 |
1,80 |
0,4641 |
2,64 |
0,4959 |
|
0,25 |
0,0987 |
0,77 |
0,2794 |
1,29 |
0,4015 |
1,81 |
0,4649 |
2,66 |
0,4961 |
|
0,26 |
0,1026 |
0,78 |
0,2823 |
1,30 |
0,4032 |
1,82 |
0,4656 |
2,68 |
0,4963 |
|
0,27 |
0,1064 |
0,79 |
0,2852 |
1,31 |
0,4049 |
1,83 |
0,4664 |
2,70 |
0,4965 |
|
0,28 |
0,1103 |
0,80 |
0,2881 |
1,32 |
0,4066 |
1,84 |
0,4671 |
2,72 |
0,4967 |
|
0,29 |
0,1141 |
0,81 |
0,2910 |
1,33 |
0,4082 |
1,85 |
0,4678 |
2,74 |
0,4969 |
|
0,30 |
0,1179 |
0,82 |
0,2939 |
1,34 |
0,4099 |
1,86 |
0,4686 |
2,76 |
0,4971 |
|
0,31 |
0,1217 |
0,83 |
0,2967 |
1,35 |
0,4115 |
1,87 |
0,4693 |
2,78 |
0,4973 |
|
0,32 |
0,1255 |
0,84 |
0,2995 |
1,36 |
0,4131 |
1,88 |
0,4699 |
2,80 |
0,4974 |
|
0,33 |
0,1293 |
0,85 |
0,3023 |
1,37 |
0,4147 |
1,89 |
0,4706 |
2,82 |
0,4976 |
|
0,34 |
0,1331 |
0,86 |
0,3051 |
1,38 |
0,4162 |
1,90 |
0,4713 |
2,74 |
0,4977 |
|
0,35 |
0,1368 |
0,87 |
0,3078 |
1,39 |
0,4177 |
1,91 |
0,4719 |
2,86 |
0,4979 |
|
0,36 |
0,1406 |
0,88 |
0,3106 |
1,40 |
0,4192 |
1,92 |
0,4726 |
2,88 |
0,4980 |
|
0,37 |
0,1443 |
0,89 |
0,3133 |
1,41 |
0,4207 |
1,93 |
0,4732 |
2,90 |
0,4981 |
|
0,38 |
0,1480 |
0,90 |
0,3159 |
1,42 |
0,4222 |
1,94 |
0,4738 |
2,92 |
0,4982 |
|
0,39 |
0,1517 |
0,91 |
0,3186 |
1,43 |
0,4236 |
1,95 |
0,4744 |
2,94 |
0,4984 |
|
0,40 |
0,1554 |
0,92 |
0,3212 |
1,44 |
0,4251 |
1,96 |
0,4750 |
2,96 |
0,4985 |
|
0,41 |
0,1591 |
0,93 |
0,3238 |
1,45 |
0,4265 |
1,97 |
0,4756 |
2,98 |
0,4986 |
|
0,42 |
0,1628 |
0,94 |
0,3264 |
1,46 |
0,4279 |
1,98 |
0,4761 |
3,00 |
0,49865 |
|
0,43 |
0,1664 |
0,95 |
0,3289 |
1,47 |
0,4292 |
1,99 |
0,4767 |
3,20 |
0,49931 |
|
0,44 |
0,1700 |
0,96 |
0,3315 |
1,48 |
0,4306 |
2,00 |
0,4772 |
3,40 |
0,49966 |
|
0,45 |
0,1736 |
0,97 |
0,3340 |
1,49 |
0,4319 |
2,02 |
0,4783 |
3,60 |
0,499841 |
|
0,46 |
0,1772 |
0,98 |
0,3365 |
1,50 |
0,4332 |
2,04 |
0,4793 |
3,80 |
0,499928 |
|
0,47 |
0,1808 |
0,99 |
0,3389 |
1,51 |
0,4345 |
2,06 |
0,4803 |
4,00 |
0,499968 |
|
0,48 |
0,1844 |
1,00 |
0,3413 |
1,52 |
0,4357 |
2,08 |
0,4812 |
4,50 |
0,499997 |
|
0,49 |
0,1879 |
1,01 |
0,3438 |
1,53 |
0,4370 |
2,10 |
0,4821 |
5,00 |
0,499997 |
|
0,50 |
0,1915 |
1,02 |
0,3461 |
1,54 |
0,4382 |
2,12 |
0,4830 |
||
|
0,51 |
0,1950 |
1,03 |
0,3485 |
1,55 |
0,4394 |
2,14 |
0,4838 |
Приложение 3
Справочные материалы по теории вероятностей
и математической статистике
1. Формулы комбинаторики.
-размещения из n элементов по m элементов (порядок элементов важен);
- сочетания из n элементов по m элементов (порядок элементов не важен)
перестановки из m элементов (порядок элементов важен);
Частные случаи для вычисления сочетаний:
2. Классическая вероятность используется в случаях, когда число исходов конечно.
P (A) = , где
m - число исходов, благоприятствующих данному событию,
n - общее число несовместных равновозможных исходов события.
3. Условная вероятность (вероятность события Х при условии, что событие А произошло):
.
Геометрически , .
4.Основные теоремы и формулы теории вероятностей
Т.1. , если А, В – независимые;
Т.2. , если А, В – зависимые.
Т.3 . , если А, В – несовместные;
Т.4. , если А, В – совместные.
Т.5. .
Следствие. , N – невозможное, D – достоверное.
Т.6. (формула полной вероятности),
– вероятность события А при условии наступления Нi (i=1,2,…,n).
Т.7. (формула Байеса).
5. Повторение испытаний (повторяющиеся события).
Схема повторения испытаний:
а) Формула Бернулли (вероятность k появлений события А в n испытаниях): , , - число сочетаний из n по k.
Наивероятнейшее число появлений события А равно
б) Формула Пуассона (n – велико, р - мало, ):
,.
в) Локальная теорема Лапласа: , ;
применяется, если велико, вероятность не является маленькой.
г) Интегральная теорема Лапласа
, , ;
, где : , где
6. Дискретные случайные величины.
Закон распределения, или ряд распределения с.в. Х:
|
… |
|||||
|
… |
Математическое ожидание: .
Дисперсия: ==
Среднее квадратическое отклонение: .
Интегральная функция распределения: .
Вероятность того, что с.в. Х принимает значения в интервале :
.
7. Непрерывные случайные величины (НСВ).
а) Интегральная функция распределения
Свойства:
1) Функция распределения НСВ. Х есть непрерывная функция,
2) , ,
3) возрастающая функция.
б) Дифференциальная функция распределения (плотность распределения):
или .
Свойства: 1) ;
2) (нормированность).
в) Основные соотношения:
Вероятность попадания НСВ Х в интервал :
=.
Вероятность попадания НСВ Х в точку равна 0.
Функция распределения .
Математическое ожидание НСВ .
Дисперсия: , .
г) Мода непрерывной случайной величины – то значение х, в котором плотность распределения вероятностей достигает максимума.
Если случайная величина имеет одну моду, то она называется унимодальной, в противном случае – полимодальным.
Медиана случайной величины – значение , для которого
, .
Медиана непрерывной случайной величины определяется равенством
.
Если график плотности вероятностей имеет ось симметрии , то медиана .
д) Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание с.в. : ;
, .
Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание с.в. : ;
, .
е) Коэффициент асимметрии: ,
где – центральный момент третьего порядка, - среднее квадратическое отклонение.
Коэффициент эксцесса (эксцесс): ,
где , .
Коэффициенты асимметрии и эксцесса характеризуют степень отличия функции распределения случайной величины Х от функции распределения стандартного нормального распределения, для которого коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю (=0, =0)
ж) Свойства математического ожидания и дисперсии
1.
2.
3.:
4.,
5.;
6.;
7.;
8. ;
9., если Х и У независимы.
з) Соотношения СВ
Если СВ имеет функцию распределения , то случайная величина имеет функцию распределения , например, при имеем и
8. Распределение непрерывных случайных величин.
а) Равномерное распределение на отрезке.
Если случайная величина может принимать значения только на отрезке , причем попадания ее на все интервалы одинаковой длины равновероятны, то эта случайная величина имеет равномерное распределение
с плотностью .
Функция распределения равномерной
случайной величины : .
Числовые характеристики равномерного распределения:
, , .
Коэффициент асимметрии =0, эксцесс =-1,2.
Примеры равномерного распределения: ошибки при округлении отсчетов измерительных приборов до целых делений, время ожидания периодически происходящего явления.
б) Показательное (экспоненциальное) распределение.
Плотность вероятностей показательного распределения:
.
Функция распределения:
.
Характеристики показательного распределения :
, , .
Медиана , коэффициент асимметрии =2, эксцесс =6.
Примеры показательного распределения: время безотказной работы прибора, двигателя. Другие приложения показательного распределения – в физике, биологии, в теории массового обслуживания, в вопросах надежности.
г) Нормальное распределение (гауссовское распределение, лапласовское распределение, распределение Лапласа-Гаусса, второй закон Лапласа).
Плотность нормального распределения: , R.
Параметры нормального распределения :
- математическое ожидание,
= - дисперсия
- среднее квадратическое отклонение,
Мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием а. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю (=0, =0).
Вероятность попадания нормальной с.в. в интервал :
,
.
При получим «правило трех сигм»: , т.е. практически достоверно значения принадлежат интервалу ).
При , получаем стандартное нормальное распределение : плотность ,
Функция распределения: .
На рисунке приведено семейство кривых нормальных плотностей в зависимости от параметров а, σ. С геометрической точки зрения параметр а – точка максимума плотности и центр симметрии; σ определяет крутизну кривой и величину максимума.
Семейство плотностей нормальных кривых
Нормальное распределение безгранично делимо: если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то и каждая из этих случайных величин имеет нормальное распределение.
Особая роль нормального распределения определяется предельной теоремой Ляпунова, согласно которой (при не очень жестких ограничениях) сумма большого числа независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному, независимо от того, как распределены сами слагаемые.
9. Закон больших чисел и центральная предельная теорема
а) неравенство Маркова; ,
б) неравенство Чебышева; ,
Пусть вероятность наступления события А в каждом из произведенных испытаний равна .
а) Вероятность того, что частота наступления события А отличается от вероятности менее чем на : ,
Вероятность того, что частота наступления события А отличается от вероятности не менее чем на : ,
б) Вероятность того, что число наступления события А отличается от математического ожидания менее чем на :
Вероятность того, что число наступления события А отличается от математического ожидания не менее чем на :
Элементы математической статистики
10. Выборочное наблюдение
Выборочное наблюдение – несплошное наблюдение части единиц совокупности отобранных случайным способом.
Преимущества выборочного наблюдения по сравнению со сплошным:
1) более низкие материальные затраты и затраты времени.
2) возможность провести исследования по более широкой программе
3) снижение трудовых затрат за счет уменьшения объема обработки первичной информации
При проведении выборочного наблюдения определяют:
1) численность выборки, при которой предельная ошибка не превысит допустимого уровня
2) вероятность того, что ошибка выборки не превысит заданную величину
Виды отбора:
1) индивидуальный, групповой или комбинированный
2) повторный или бесповторный
3) собственно – случайный, механический, типический, серийный, комбинированный
Виды выборочной совокупности: 1) повторная или бесповторная, 2) собственно–случайная, механическая, типическая, серийная, комбинированная
Репрезентативность результатов выборочного наблюдения зависит от:
а) вариации признака. б) объема выборки
Средняя ошибка выборки характеризует среднюю величину всех возможных расхождений выборочной и генеральной средней
Формулы для определения средней ошибки выборки ()
|
Метод отбора |
повторный |
бесповторный |
||
|
для средней (количественный признак) |
для доли (альтернативный признак) |
для средней (количественный признак) |
для доли (альтернативный признак) |
|
|
||||
|
3) Типическая (при пропорциональном отборе) |
||||
|
4) Серийная |
Обозначения и дополнительные формулы для случая типической выборки
- число типических групп,
- численность -ой группы в генеральной совокупности,
- число отобранных единиц из -ой группы,
(при пропорциональном отборе),
- выборочная дисперсия для -ой группы (групповая выборочная дисперсия),
- средняя среди групповых в выборочных дисперсий,
,
-выборочная доля для -ой группы,
- средняя среди выборочных долей,
Обозначения и дополнительные формулы для серийной выборки.
- общее число серий,
- число отобранных серий,
- средняя для -ой серии,
- средняя для всей выборочной совокупности,
- доля признака для -ой серии,
- доля признака для всей выборочной совокупности,
- межсерийная дисперсия признака,
межсерийная дисперсия доли.
Формулы для определения необходимого объема выборки (n)
|
метод отбора выборка |
повторный |
бесповторный |
||
|
для средней (количественный признак) |
для доли (альтернативный признак) |
для средней (количественный признак) |
для средней (альтернативный признак) |
|
|
Собственно-случайная. Механическая |
||||
|
Типическая (при пропорциональном отборе) |
||||
|
Серийная |
Коэффициент доверия связан с вероятностью
- функция Лапласа, ее значение определяется по таблицам.
Репрезентативность результатов выборочного наблюдения зависит от: вариации признака и объема выборки.
Чтобы уменьшить ошибку выборки, рассчитанную в условиях повторного собственно-случайного отбора, можно увеличить численность выборочной совокупности или провести бесповторный отбор.
При малой выборке для расчета средней ошибки выборки используют формулу .
Ошибка наблюдения – это расхождение между расчетным и действительным значением изучаемых величин.
Систематическая ошибка репрезентативности - это отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие нарушения принципа случайности отбора.
Случайная ошибка репрезентативности – это отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие несплошного характера наблюдения.
Систематическая ошибка регистрации – это отклонение рассчитанных выборочных характеристик от соответствующих действительных характеристик выборочной совокупности, возникающее вследствие поступления искаженной информации от единиц совокупности.
Случайная ошибка регистрации – это отклонение рассчитанных выборочных характеристик от соответствующих действительных характеристик выборочной совокупности, возникающее вследствие действия случайных факторов.
Вариационные ряды
а) дискретный
|
варианта |
… |
Всего |
||||
|
частота |
… |
б) интервальный
|
варианта |
… |
Всего |
||||
|
частота |
… |
Относительная частота равна
Среднее выборочное равно .
Дисперсия выборки равна
Если математическое ожидание оценки параметра равно оцениваемому параметру, то оценка называется несмещенной
Если оценка параметра сходится по вероятности к оцениваемому параметру по вероятности при числе наблюдений , то оценка называется состоятельной
Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания равна
Несмещенная оценка дисперсии равна
Смещенная оценка дисперсии равна
Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения случайной величины X равна
Если статистическая гипотеза Н однозначно определяет распределение случайной величины X, то она называется простой.
Если статистическая гипотеза Н определяет неоднозначно распределение случайной величины X, то она называется сложной.
Статистическая гипотеза — это любое предположение о параметрах из вестных распределений.
Гипотезы о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений называются параметрическими.
Гипотезы о виде распределения называются непараметрическими.
Проверить статистическую гипотезу - значит проверить, согласуются ли выборочные данные с выдвинутой гипотезой.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута верная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята ложная гипотеза.
Уровень значимости – это вероятность совершения ошибки первого рода, то есть вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза.
Приложение 4
Некоторые часто встречающиеся постоянные
|
Величина |
Значение |
Величина |
Значение |
|
|
1,4142 |
е |
2,7183 |
||
|
1,7321 |
= e |
0,3679 |
||
|
2,2361 |
7,3891 |
|||
|
2,6458 |
1,6487 |
|||
|
|
3,1416 |
4,8105 |
||
|
2 |
6,2832 |
23,1407 |
||
|
1,5708 |
535,4917 |
|||
|
1,0472 |
0,4343 |
|||
|
0,7854 |
0,4972 |
|||
|
0,5236 |
1,1447 |
|||
|
0,0175 |
0,6931 |
|||
|
0,3183 |
1,0986 |
|||
|
9,8696 |
1,6094 |
|||
|
1,7725 |
1,9459 |
|||
|
2,5066 |
e |
0,1353 |
Глушкова Августа Игоревна,
Здоровенко Марина Юрьевна
Теория вероятностей и математическая статистика
Ответственный за выпуск: Стариков А.И.
Технический редактор: Кочуров М.Г.
Корректор: Вылегжанина С.Ю.
Издательский орган ВСЭИ
610002 Киров, Казанская, 91
тел./факс 67-02-35
Подписано в печать «____» ____________ 20__ г.
Тираж ____ экз.
Отпечатано на ризографе ВСЭИ
xi
pi
1
2
3
0,1
0,2
0,3
0,4
Рис. 1
x
(x)
1
2
3
0,1
Рис. 2
0,1
0,4
0,8
1
x
F(x)
1
3
0,1
Рис. 3
1
5
x
f(x)
1
3
0,1
Рис. 4
0,1
5
0,4
а+
а-
а
х
0
х
EMBED Equation.3
1
b
а
х
EMBED Equation.3
b
а
х
EMBED Equation.3
SX
SA