тематике~ Лекция 1

Работа добавлена на сайт samzan.net:

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

(Лекции из учебника УлитинаГМ и Гончарова АН “Курс лекций по высшей математике”)

Лекция № 1. Тема 1 : Определители

1.1 Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

(1)

Если первое уравнение системы (1) умножить на а22 , второе на -а12 и полученные результаты сложить, то получим

Предположим, что выражение в скобках отлично от нуля, тогда находим

(2)

Аналогично получаем

(3)

Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из четырех элементов (чисел, функций, выражений), и определяемое по правилу

(4)

Здесь - члены определителя, а - элементы определителя.

С учетом определения (4) формулам (2) и (3) можно придать более компактный вид

где

Пример 1. Вычислить

Аналогично, рассматривая систему трёх уравнений с тремя неиз-вестными, приходим к определению определителя третьего порядка.

Определение 2. Определителем третьего порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из девяти элементов, и определяемое по правилу

. (5)

Замечание. Выражение (5) является громоздким. Его запомнить будет проще, если использовать следующую схему вычислений

Пример 2. Вычислить

1.2 Основные свойства определителей

Все рассмотренные свойства легко проверить непосредственно на примере определителей третьего порядка, хотя они справедливы и в общем случае.

1. При замене столбцов строками с тем же номером (при транспони-ровании) определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы у определителя равноправны.

Таким образом, требуется доказать равенство

2. Определитель, содержащий строку (столбец) из нулей, равен нулю.

Действительно, так как в этом случае каждый член определителя содержит множителем элемент этой строки (или столбца), равный нулю.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Доказывается непосредственно, как и свойство 1.

4. Определитель, содержащий две равные строки (столбца), равен нулю.

Сделаем перестановку этих строк. Тогда из свойства 3 получим

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Действительно, это можно сделать, так как этот множитель содержится в каждом члене определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбцы) равен нулю.

Доказательство этого свойства следует из свойств 4-5.

7. Если все элементы строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, каждый из которых имеет строку (столбец) из соответствующих слагаемых элементов.

Например,

Доказывается непосредственно, исходя из определения определителя третьего порядка.

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответст-вующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель своего значения не изменит.

Доказательство следует из свойств 6-7.

1.3 Вычисление определителей

Определение 3. Алгебраическим дополнением некоторого эле-мента данного определителя называется определитель, получаемый при вычеркивании из данного определителя строки и столбца, содержащих этот элемент, и взятый со знаком .

Пример 1. Найти и определителя

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Пусть в некотором определителе произвольно выбрана строка (столбец). Тогда сумма произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения равна значению определителя.

Например, для строки

для столбца

Приведенные формулы легко доказать непосредственно для любых .

Замечание 1. Из теоремы видно, что вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Анало-гично, исходя из этого факта, можно получить определение определителя п-го порядка через определитель (п - 1)-го порядка.

Например, для определения определителя 4-го порядка имеет место формула

(6)

где - определители третьего порядка.

Замечание 2. Используя свойство 8 определителей, можно упростить их вычисление, делая в строке (столбце) все элементы равные нулю, кроме одного.

Пример 3. Вычислить определитель .

1 шаг: Прибавим ко 2-ому столбцу третий столбец;

2 шаг: Прибавим к 4-ому столбцу 3-й столбец, умноженный на -2:

D == (1 шаг) == (2 шаг) =

В результате во 2-й строке остался один элемент , неравный нулю.

Воспользуемся формулой (6):

Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений

2.1. Правило Крамера

Рассмотрим систему трёх линейных алгебраических уравнений, когда число неизвестных равно числу уравнений, т.е. систему вида

(1)

где - коэффициенты системы, - свободные члены , - неизвестные.

Будем считать, что определитель системы, составленный из коэффи-циентов системы (главный определитель), отличен от нуля, т.е.

Предположим, что система (1) совместна, т.е. имеет решение. Тогда умножим первое уравнение системы на , второе – на , третье – на и сложим полученные выражения

(2)

Первое выражение в скобках в левой части полученного соотношения (2) представляет собой разложение главного определителя системы по элементам первого столбца. Остальные выражения в скобках равны нулю, так как представляют собой разложение определителя, имеющего два одинаковых столбца (см. свойство 4). Например,

Тогда из выражения (2) получаем , где

Аналогично можно получить

(3)

где

Определители называются вспомогательными опреде-лителями системы (1).

Покажем теперь, что полученные значения неизвестных (3) на самом деле удовлетворяют системе уравнений (1).

Подставляя выражения (3) в систему (1), получим на примере первого уравнения

Аналогично можно показать и для двух оставшихся уравнений системы.

Таким образом, получаем следующий результат (правило Крамера).

Теорема. Система уравнений (1), у которой число уравнений равняется числу неизвестных, с главным определителем имеет единственное решение, определяемое по формулам

где определители получаются из главного определителя системы уравнений заменой соответствующего столбца на столбец свобод-ных членов.

Замечание 1. Для системы линейных однородных уравнений

(4)

все и тогда, если , то система (4) имеет единст-венное нулевое решение Отсюда следует: если система (4) обладает ненулевым решением, то её определитель равен нулю.

Замечание 2. Если же главный определитель системы (1) , тогда возможны следующие два случая:

1. Система несовместна, если, по крайней мере, один из вспомога-тельных определителей отличен от нуля;

2. Если же все определители системы равны нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, что возможно из равенств

либо такая система несовместна, например, в системе уравнений

все определители равны нулю, но система несовместна, что следует из ее вида. В этом случае для решения системы уравнений более целесообразно применить метод Гаусса, который будет рассмотрен далее.

Замечание 3. Правило Крамера справедливо для любого числа уравнений системы, т.е. системы вида

Здесь, если то

Пример 1. Используя правило Крамера, решить систему уравнений

Здесь

откуда получаем

2.2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Рассмотрим ту же систему уравнений (1). Пусть коэффициент , чего всегда можно достигнуть, переставляя уравнения системы или меняя нумерацию неизвестных. Первое уравнение системы (1) умножим на и сложим со вторым. Затем первое уравнение умножим на и сложим с третьим, тогда получим

(5)

Здесь - новые значения коэффициентов, полу-ченные после таких преобразований. Пусть , чего можно достигнуть, переставляя два последних уравнения системы. В противном случае, т.е. когда , сразу определяем неизвестную z, или получаем несов-местную систему. При таком условии второе уравнение системы (5) умно-жим на и сложим с третьим уравнением, тогда получим

(6)

В системе уравнений (6) - новые значения коэффициентов и здесь возможны следующие случаи:

1. Затем найденное значение z подставляем во второе уравнение системы (6) и определяем у. Из первого уравнения, уже зная у и z, находим х.

2. а . Тогда система (6) решений не имеет, т.е. система несовместна.

3. и . В этом случае система (6) принимает вид

(7)

Число уравнений в системе (7) меньше числа неизвестных. Оставим два неизвестных слева, например, х и у, а z перенесем в правую часть системы уравнений (7) и будем считать его произвольным числом. Получим

(8)

Из системы (8) х и у выражаются через z и система имеет беско-нечное множество решений.

Пример 2. Систему уравнений из примера 1 решить методом Гаусса

Первое уравнение умножим на -2 и сложим со вторым уравнением, затем первое уравнение сложим с третьим, получим

или

Второе уравнение умножим на -2 и сложим со вторым уравнением, затем умножим на -3 и сложим с третьим:

Из третьего уравнения получим, из второго и из первого уравнения

Пример 3. Методом Гаусса решить систему однородных уравнений

Первое уравнение умножим на -2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на -3 и сложим с третьим, получим

откуда

Система имеет бесконечное множество решений. Поэтому в этом случае (см. замечание 1) определитель данной системы уравнений должен быть равен нулю. Проверьте!

Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы

3.1. Основные виды матриц

Определение 1. Матрицей называется совокупность чисел, располо-женных в т строках и п столбцах и обозначается

Число, стоящее на пересечении -ой строки и -го столбца, обозначается и называется элементом матрицы; размерность матрицы, что иногда обозначается

Существуют следующие виды матриц:

Матрица – строка
Матрица – столбец
Нулевая матрица - все ее элементы нули.
Единичная матрица
Диагональная матрица .
Симметрическая матрица – для ее элементов выполняется равенство для всех

Важной характеристикой квадратной матрицы А является её опреде-литель, который обозначается Если , то матрица А назы-вается невырожденной. В противном случае – вырожденной.

Определение 2. Две матрицы и одинаковой раз-мерности называются равными, если равны все их соответствующие эле-менты для всех

3.2. Действия над матрицами

1. Транспонирование матриц.

Определение 3. Транспонированием матрицы называется замена её строк столбцами с сохранением их номеров.

Транспонированная матрица обозначается А Т.

Пример 1. Найти А Т, если матрица

Тогда

2. Сложение матриц.

Определение 4. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, элементы которой определяются равенствами и обозначается .

3. Умножение матрицы на число.

Определение 5. Произведением матрицы на некоторое число называется матрица , элементы которой равны элементам матрицы А, умноженным на это число , т.е. и обозначается .

Пример 2. Найти матрицу , если

4. Умножение матриц.

Определение 6. Произведением матрицы размерности и матрицы размерности , называется матрица , размерности , элементы которой удовлетворяют равенству

и обозначается .

Замечание 1. Как видно из определения, произведение двух матриц будет определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример 3. Найти произведение матриц

Тогда

Замечание 2. Легко убедиться в том, что в общем случае произведение матриц не обладает коммутативным свойством, т.е. что видно из следующего примера.

Пример 4. Найти произведение матриц

Тогда имеем

3.3. Обратная матрица

Определение 7. Обратной матрицей матрицы А называется матрица , для которой выполняется равенство

Из этого определения следует, что понятие обратной матрицы является взаимообратным и определено только для квадратных матриц. При этом для существования обратной матрицы необходимо, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. .

Покажем, что обратной матрицей для случая матрицы А размер-ности будет матрица

где - алгебраические дополнения элемента .

Тогда

Например,

и т.д.

Так же можно проверить и равенство

Замечание 4. Аналогично для матрицы А размерности обратная матрица имеет вид

3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(1)

Введем следующие матрицы

Тогда, используя правило умножения матриц, систему (1) можно пред-ставить в следующем виде (матричная форма системы уравнений (1))

(2)

Пусть тогда для матрицы А существует обратная

Умножая обе части равенства (2) слева на , получим

(3)

В силу равенств и формула (3) принимает вид

(4)

Не трудно убедиться в том, что выражение (4), полученное для Х, действительно является решением уравнения (1). Подставляя это выражение в уравнение (2), имеем

Замечание 5. Решение, полученное по формуле (4), то же самое, что было получено по формулам Крамера. Этот факт, вытекающий из единственности решения системы (1), можно непосредственно проверить, если подставить в формулу (4) выражение для обратной матрицы.

Пример 5. Матричным методом решить систему уравнений

Здесь

Тогда

следовательно, обратная матрица существует.

Вычисляем алгебраические дополнения

Таким образом, получим окончательное решение

Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем

линейных алгебраических уравнений

4.1. Ранг матрицы

Определение 1. Минором порядка k называется определитель, состо-ящий из элементов матрицы, которые находятся на пересечении k разных строк и k разных столбцов.

Определение 2. Если в матрице все миноры порядка k > r равны нулю, а среди миноров порядка r существует, по крайней мере, один отличный от нуля, то число r называется рангом матрицы и обо-значается или .

Определение 3. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой при помощи следующих преобразований:

1. Перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;

2. Умножение всех элементов любой строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

3. Добавление ко всем элементам любой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Эквивалентность матриц обозначается А В.

Из свойств определителей следует

Теорема 1. Все эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Пользуясь понятием эквивалентности матриц из данной матрицы раз- мерности получают ступенчатую матрицу, т.е. матрицу вида

в которой определитель (минор r порядка)

а все остальные миноры порядка больше r равны нулю, так как содержат строки, состоящие из нулей.

Пример 1. Определить ранг матрицы А = .

1 шаг: Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки;

2 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на -2;

к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на -3;

к 4-ой строке 1-ю строку, умноженную на -5;

3 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на -1;

к 4-ой строке 2-ю строку, умноженную на -2;

(1 шаг) (2 шаг)

(3 шаг)

4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему из т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными

(1)

Решению системы (1) должно предшествовать исследование, которое приводит к следующим основным задачам теории систем линейных уравнений:

1. Определить является ли система совместной или несовместной;

2. Если система совместна, то имеет ли она единственное решение или бесконечное множество решений;

3. Если система совместна и имеет единственное решение, то найти это решение;

4. Если система совместна и имеет бесконечное множество решений, то описать всю совокупность решений.

Составим из коэффициентов системы (1) две матрицы

где А – основная матрица, а – расширенная матрица.

Ответом на первые два поставленных вопроса является

Теорема 2 (Кронекера – Капелли). Если система линейных алгебраи-ческих уравнений является совместной, то Верно и обрат-ное утверждение.

Если же система линейных алгебраических уравнений совместна, то возможны два случая:

1. Ранг матрицы А равен числу неизвестных системы, т.е. r = п.

В этом случае, отбросив уравнения-следствия, сохраняем коли-чество уравнений, равное числу неизвестных. Затем решаем полученную систему одним из известных методов.

Пример 2. Решить систему уравнений

Здесь

Определим ранг этих матриц:

1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на -2;

к 3-ей строке 1-ю строку;

2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на ;

(1 шаг) (2 шаг)

Таким образом, данная система совместна, поэтому оставляем пер-вые два уравнения и решаем полученную систему

Как видим, найденные значения неизвестных удовлетворяют и треть-ему (отброшенному) уравнению.

Замечание 1. Отметим, что можно было, например, отбросив второе уравнение, оставить первое и третье уравнение и, если эта система будет совместной, то решить полученную систему

2. Ранг матрицы А меньше числа неизвестных системы, т.е. r < п.

В этом случае, также отбрасываем уравнения-следствия, оставляя только r уравнений. Но теперь оказывается, что п - r неизвестных явля-ются свободными, т.е. не связанными никакими условиями. Вследствие этого исходная система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Для решения такой системы оставим в левых частях уравнений системы r неизвестных с главным определителем, отличным от нуля, а все остальные члены перенесем в правые части уравнений. Затем решим полученную систему одним из известных методов, при этом выбранные r неизвестных будут выражены через п - r свободных неизвестных.

Пример 3. Решить систему уравнений

Определим ранги основной и расширенной матриц:

1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на -1;

к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на -2;

2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на -1;

(1 шаг) (2 шаг)

Таким образом, данная система совместна, поэтому отбрасываем третье уравнение системы и представим ее в виде

Замечание 2. Можно было представить систему и в другом виде

Нетрудно проверить, что найденные решения идентичны.

4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

(2)

Поскольку система (2) всегда совместна, так как то вопрос может стоять только о единственности решения системы:

1. Если r = п, то система имеет единственное нулевое решение;

2. Если r < п, то, аналогично, r неизвестных выражаем через остав-шиеся п - r и система имеет бесконечное множество решений;

Пример 4. Решить систему уравнений

Определим ранг основной матрицы:

1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на 2;

к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на -1;

к 4-ой строке 1-ю строку, умноженную на -3;

2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на -2;

3 шаг: Прибавим к 4-ой строке 3-ю строку, умноженную на ;

(1 шаг) (2 шаг)

(3 шаг)

Таким образом, r = п и данная система уравнений имеет единствен-ное нулевое решение

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Лекция № 5. Тема 1 : Векторы

Определение вектора

Все величины, с которыми нам приходилось встречаться до настоящего времени в физике, технике были двух видов: скалярные, которые харак-теризуются одним числовым значением и векторные, - характеризуются числовым значением и направлением.

Пример 1. Скалярные величины: масса, объём, температура и т.д. Векторные величины: сила, скорость, ускорение и т. д.

Определение 1. Направленный отрезок называется вектором и обозна-чается . А

Определение 2. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается

Если или , то векторы называются соответственно единичным и нулевым.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

Определение 4. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллине-арные, одинаково направлены и имеют равные модули (равные длины).

Поэтому векторы, которые рассматриваются, называются свободными.

Пусть задан некоторый вектор и ось l.

Определение 6. Проекцией вектора на ось l называется величина где - угол между вектором и осью l.

1.2. Линейные операции над векторами

1. Произведение вектора на число.

Определение 7. Произведением вектора на число называется вектор определяемый следующими условиями: вектор коллинеарен вектору векторы и одинаково направлены, если и противоположны, если

Пример 2. Построить вектор

Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов:

Пусть ненулевой вектор, тогда для любого коллинеарного ему вектора существует единственное число удовлетворяющее равенству Действительно, если векторы одинаково направлены и если они противоположно направлены.

2. Сложение векторов.

Определение 8. Суммой двух векторов и называется вектор выходящий из их общего начала, который служит диагональю паралле-лограмма, сторонами которого являются векторы и , и обозначается

или

Второй способ построения суммы двух векторов легко распространить на любое число слагаемых. В результате получаем, так называемое правило многоугольника:

Чтобы построить сумму векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго – третий и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и представляет собой искомую сумму.

С помощью рисунков легко убедиться в справедливости следующих свойств:

1. сложение коммутативно;

2. ассоциативно.

3. Вычитание векторов.

Определение 9. Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по модулю и противоположно направленный, называется противоположным вектором и обозначается

Определение 10. Разностью векторов и называется сумма векторов и т.е.

Построение вектора

основано на построении суммы

векторов

Замечание 1. Из определений 6 и 8 геометрически весьма просто показать следующие свойства:

1. 2.

Декартова система координат

Зададим в пространстве три единичных взаимно перпендикулярных вектора: Приведём их к общему началу – точке О. Рассмотрим систему координат, направление осей Ох, Оу, Оz которой z

заданы этими векторами

Такая система координат называется декартовой системой координат.

Векторы называются базисом, а каждый из этих векторов – ортом.

Покажем, что если задан базис , то лю- z

бой вектор пространства можно единственным об-

разом разложить по нему, т.е. представить в виде

(1) M

Приведём вектор к началу системы ко- ординат – точке О. Из конца вектора - точ- B y

ки М опустим перпендикуляр MN на плос- O

кость Оху. Проведём из точки N прямые, N

параллельные осям координат. Построим x

векторы Из построения получаем

(2)

А так как то выражение (2) примет следующий вид

(3)

В силу коллинеарности векторов и и и существуют такие числа , для которых выполняется

(4)

Тогда формула (3) с учетом (4) принимает вид (1), что и требовалось доказать. Единственность разложения легко доказать от противного.

Сокращенно формула (1) записывается в виде

Определение 11. Числа называются координатами вектора или его компонентами.

Используя соотношение (1), легко доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Если и , то их сумма

Теорема 2. Если и - любое число, то произведение вектора на это число

Следствие. Если векторы и коллинеарны, то и тогда условие коллинеарности векторов имеет вид

6) z М

Определение 12. Радиус-вектором точки М

называется вектор x O y

Определение 13. Координаты радиус–вектора точки М называются

координатами точки М и при этом пишут

Замечание 2. Аналогично определяется система координат на плоскости Оху. Здесь образуют базис векторы и , а оси - Ох и Оу. Тогда получим

Замечание 3. Из доказательства формулы (1) следует, что геометрически координаты вектора – суть его проекции на соответствующие координатные оси.

Замечание 4. Аналогично можно показать, что базис в пространстве образуют любые три некомпланарных вектора: т.е. любой вектор можно представить в виде

Пример 3. Найти координаты вектора в базисе векторов: заданных в декартовой системе координат.

Требуется найти координаты из векторного равенства Перейдём к координатной форме

или, подставляя координаты векторов и

Полученную систему решим методом Гаусса. Переставим первое уравнение со вторым. Затем первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым, первое умножим на 3 и сложим с третьим, получим

Из третьего уравнения вычтем второе, получим

Отсюда последовательно находим координаты вектора в базисе векторов :

Таким образом, окончательно имеем

Лекция № 6.

1.4. Способы задания векторов

Вектор может быть задан следующими способами:

1. Координатами вектора

2. Координатами начальной z

и конечной точек.

3. Модулем вектора и углами , M

которые он образует с координатными осями.

При этом значения

называются направляющими косинусами. O y

Между этими способами задания az

векторов существует определённая связь. ax

Например, переход от (2) к (1) x ay

осуществляется следующим образом:

так как , то z A

Переход от (3) к (1) и наоборот

осуществляется по формулам: B

x O y

1.5. Деление отрезка в заданном отношении

Рассмотрим отрезок АВ, где точки и заданы. Требуется найти точку такую, что отношение

z А

Построим векторы: М

Из условия коллинеарности векторов

и имеем В

Полученное равенство представим в

координатной форме х О у

или окончательно

(1)

Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам

Пример 1. Треугольник задан координатами своих вершин Найти его центр тяжести. z В

Известно, что центр тяжести треугольника

лежит на пересечении его медиан и, если

точка К - середина стороны ВС, то по А М К

свойству медиан у

Определим вначале координаты х С

точки К:

далее по формулам (1) получим координаты точки М:

Тема 2: Скалярное произведение

2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается

(2)

Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме

(3)

откуда получим

Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если - постоянная сила, а - вектор перемещения, то - работа силы на перемещении

Из определения скалярного произведения следуют его свойства:

1. - скалярное произведение коммутативно.

2. , если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.

Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 5 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:

Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.

2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы: .

Аналогично получаем:

Тогда, если то

(4)

Получено: скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

Направляющие косинусы

По формулам (2) и (4) получаем

откуда

(5)

Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует

(6)

Аналогично получим

(7)

Если в формуле (6) положить , то найдем

Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов

; . (8)

Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.

Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство

Пример 2. Даны два вектора Найти их скаляр-ное произведение и угол между ними.

По формулам (5) и (7) получаем

Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору и образует угол с вектором

Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений

Из второго уравнения системы получаем Тогдареньонний из первого уравнения имеем . Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению

Из этого уравнения и . Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора , удовлет-воряющих условию задачи.

Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение

3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства

Определение 1. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

2) вектор перпендикулярен векторам и .

3) вектора образуют правую тройку, т.е. из конца третьего вектора кратчайший поворот от вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки.

В противном случае тройка векторов называется левой.

а) правая б) левая

Обозначается векторное произведение: или

Из определения векторного произведения следуют его свойства и геометрический смысл:

Модуль векторного произведения численно равен площади паралле-лограмма, построенного на этих векторах.

Основные свойства векторного произведения:

1. - векторное произведение антикоммутативно.

2. , где , если и коллинеарные или по крайней мере один из сомножителей является нулевым вектором.

Замечание 1. Тройка базисных векторов является правой.

3.2 Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Из определения векторного произведения следует, что:

(1)

Тогда с учетом формул (1) и свойств векторного произведения получаем

(2)

Пример 1. Заданы векторы и Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Исходя из геометрического смысла векторного произведения, получим

Тогда

Замечание 2. Площадь треугольника, построенного на векторах и , будет равна .

3.3.* Механический смысл векторного произведения

Если - радиус-вектор точки , к которой при-ложена сила , то момент этой силы относительно точки

вычисляется по формуле

(3)

При этом - моменты силы относительно координатных осей. z

Рассмотрим задачу из механики: 3 M

В точке приложена сила

. Требуется найти моменты

этой силы относительно координатных осей. 2 y

По формуле (3) получаем х

Полезно отметить тот факт, что значения этих моментов совпадают со школьным определением – “Момент равен произведению силы на плечо“. См. рисунок!

Тема 4 : Смешанное произведение векторов

4.1. Смешанное произведение векторов и его основные свойства

Определение 2. Векторно-скалярное произведение называется

смешанным и обозначается

Рассмотрим его геометрический смысл.

Построим параллелепипед на векторах

Его объем равен в

его основании лежит параллелограмм с h

площадью

Его высота поэтому имеем

(4)

Знак в выражении совпадает со знаком и поэтому смешанное произведение положительно, если вектора образуют правую тройку.

Таким образом, приходим к следующему правилу:

Смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Оно поло-жительно, если тройка векторов правая и отрицательно, если левая.

Рассмотрим основные свойства смешанного произведения:

1. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.

Верно и обратное, т.е., если сомножители компланарны, то смешанное произведение равно нулю.

Равенство возможно в следую-щих случаях:

а) хотя бы один из векторов является нулевым, то векторы компланарны;

б) и коллинеарны - компланарны;

в) - компланарны.

Аналогично доказывается обратное утверждение.

2. , т.е. при циклической перестановке сомножителей смешанное произведение знак не меняется. Это следует из того, что в данном случае ориентация тройки этих векторов сохраняется. В остальных случаях перестановки сомножителей ориентация векторов меняется и тогда

3. где А и В кон-станты. Это свойство следует из свойств векторного и скалярного произве-дений.

4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть заданы векторы . Требуется найти их смешанное произведение.

Из определения скалярного и векторного произведений следует

Таким образом, получаем формулу

(5)

Пример 2: Проверить – лежат ли векторы , и в одной плоскости, т.е. являются ли они компланарными.

По формуле смешанного произведения векторов имеем:

Поскольку , то данные векторы , и лежат в одной плоскости, т.е. являются компланарными.

Пример 3. Пирамида задана координатами своих вершин Найти высоту, проведённую из вершины D на грань АВС. D

Построим векторы

Н С

Из геометрии известно, что объем

пирамиды равен трети произведения А

площади основания на ее высоту Н, т.е. В

, (6)

поскольку основанием пирамиды является треугольник (его площадь равна половине площади параллелограмма ), а высота пирамиды равна высоте соответствующего параллелепипеда.

Используя геометрический смысл смешанного произведения и форму-лы (5) и (6), получим

Из формулы (2) и геометрического смысла векторного произведения находим площадь основания пирамиды

Снова воспользуемся известной из геометрии формулой

и тогда окончательно получим

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения

1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат

В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.

Определение. Уравнение линии – это уравнение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.

Верно и обратное, т.е. любое уравнение вида , вообще говоря, в декартовой системе координат (ДСК) определяет линию

как г.м.т., координаты которых удовлетворяют

этому уравнению.

О х

Замечание 1. Не всякое уравнение вида определяет линию. Например, для уравнения не существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем. Это случай так называемых мнимых линий.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке M0 (х 0 , у 0).

Для любой точки , лежащей у М

на окружности, в силу определения R

окружности как г.м.т., равноудаленных

от точки M0 (х 0 , у 0), получаем уравнение

. х

1.2. Параметрические уравнения линий

Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются параметрическими:

Замечание 2. Отметим, что параметром t в механике является время.

Пример 1. Линия задана параметрическими уравнениями

Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.

Исключим параметр t. Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим

Пример 2. Линия задана параметрическими уравнениями

Требуется получить уравнение

этой линии в ДСК. -а а

Поступим аналогично, тогда получим -а

1.3. Уравнение линии в полярной системе координат

ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).

ПСК будет определена, если задать точку О – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом и полярным углом – угол между полярной осью и полярным радиусом. Положительное направление отсчета полярного угла от полярной оси считается против часовой стрелки.

полярной оси считается против часовой стрелки .

Для всех точек плоскости , а для однознач-

ности полярного угла считается .

Если начало ДСК совместить с О Р

полюсом, а ось Ох направить по

полярной оси, то легко убедиться у

в связи между полярными и декартовыми

координатами О х Р

(1)

Если уравнение линии в ДСК имеет вид , то в полярной системе координат - Тогда из этого уравнения можно получить уравнение в виде

Пример 3. Составить уравнение окружности в полярной системе координат, если центр окружности находится в полюсе.

Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим

Пример 4. Составить уравнение окружности, у

если полюс на окружности, а полярная ось

проходит через диаметр.

Поступим аналогично О 2R х

Данное уравнение можно получить и из геометрических представ-лений (см. рис.).

Пример 5. Построить график линии

Перейдём к ПСК. Уравнение

примет вид О

График линии построим с учётом его симметрии и ОДЗ функции

Данная линия называется лемнискатой Бернулли.

1.4. Преобразование системы координат.

Уравнение линии в новой системе координат

1. Параллельный перенос ДСК. у

Рассмотрим две ДСК, имеющие М

одинаковое направление осей, но

различные начала координат.

В системе координат Оху точка

относительно системы О х

имеет координаты . Тогда

В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид

или . (2)

Формулы (2) представляют собой формулы перехода от “старой“ системы координат Оху к “новой“ системе координат и наоборот.

Пример 5. Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.

Из формул (2) следует

Поворот системы координат.

у М

Рассмотрим две системы координат

с общим началом, но с различными

направлениями осей. В системе коор-

динат Оху вектор , О х

а в системе координат вектор

Разложим векторы по базису :

Тогда имеем ,

откуда, переходя к координатной форме, получим формулы перехода

(3) (4)

Формулы (3) представляют собой переход от “старой“ системы координат Оху к “новой“ системе , а формулы (4) – наоборот.

Пример 6. Составить уравнение гиперболы при повороте системы координат на угол .

Используя формулы (3), получаем

или (каноническое уравнение гиперболы).

3. Общий случай: поворот вместе с параллельным переносом осущест-вляется согласно формулам (2) и (3):

(5)

Для того, чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, необходимо в это уравнение подставить формулы (5).

Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости

2.1. Уравнения прямой линии

Теорема. В ДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое уравнение вида в ДСК определяет на плоскости прямую линию.

Пусть – нормальный вектор у

прямой (вектор перпендикулярный прямой)

и точка принадлежит данной

прямой. Если - текущая точка

прямой, тогда для всех точек

прямой выполняется равенство О х

(1)

Уравнение (1) является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано линейное уравнение и пусть точка принадлежит линии, которая определена этим уравнением. Тогда получаем равенства:

Вычитая их последовательно, имеем

Если ввести обозначение – нормальный вектор, то полученное уравнение (1) будет определять прямую линию. После раскрытия скобок получаем уравнение которое называется общим уравне-нием прямой.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что вектор является нормальным вектором прямой. у

Кроме того, прямая может быть

определена, если будет задана точка

, принадлежащая прямой

и вектор , которому она

параллельна (направляющий вектор). О х

Пусть точка - текущая точка прямой. Из коллинеарности векторов и следует равенство

(2)

Уравнение (2) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Переходя к координатной форме, получим

(3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Исключая из них параметр t, то приходим к уравнению прямой с угловым коэффициентом (или приведенное уравнение прямой) (4)

который образует пря- y

мая с осью Ох; b

прямой на оси Оу

O x

Замечание 2. Если прямая параллельна оси Оу, то её уравнение имеет вид х = х0 (в этом случае т = 0). Если – оси Ох, то у = у0 (п = 0).

2.2. Угол между двумя прямыми

Пусть заданы уравнения двух прямых (общее и приведенное)

или у

Очевидно, что угол между

этими прямыми равен углу между

их нормальными векторами х

и . Поэтому получим

(см. лекцию 6)

(5)

Формуле (5) можно придать другой вид – через угловые коэффициенты, если считать угол острым и воспользоваться известной формулой из тригонометрии

(6)

Из формул (5-6) следуют условия параллельности и перпендикуляр-ности прямых:

1. Если прямые параллельны, то векторы коллинеарны, и тогда получаем или

2. Если прямые перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны, и тогда или .

2.3. Взаимное расположение двух прямых

Совместное решение уравнений прямых даёт точку пересечения этих прямых, т.е.

(7)

Тогда, если определитель системы (7)

то прямые имеют точку пересечения. Если же , т.е. , то прямые параллельны, и здесь возможны два случая:

- прямые параллельны и не имеют общей точки;

- прямые совпадают.

2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки у М

и Тогда, если -

текущая точка прямой, то из условия М2

коллинеарности векторов и

имеем О М1 х

(8)

Уравнение (8) – искомое уравнение прямой.

2.5. Уравнение прямой, проходящей через точку, с заданным угловым коэффициентом

Пусть задана точка и угловой коэффициент искомой прямой k. Требуется составить уравнение прямой для данных условий. Так как угловой коэффициент задан, то уравнение будем искать в виде . Коэффициент b определим из условия прохождения прямой через данную точку. Тогда имеем

(9)

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Из условия перпендикулярности прямых находим угловой коэффициент k = -3, а по формуле (9) получаем

2.6 Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая задана общим y M0

уравнением и

требуется определить расстояние

от этой прямой до заданной M d

точки .

Из рисунка следует O x

(10)

Пример 2. Найти расстояние от прямой до точки

По формуле (10) получаем

Задача. Даны две вершины у

и точка - пересечения C

высот треугольника. Составить уравнения А 3 D

его сторон.

Составим уравнение стороны АВ, -3 5

как прямой, проходящей через две точки, O B x

Аналогично уравнение высоты ВD (через две точки) будет иметь вид

Составим уравнение стороны AC, перпендикулярной ВD. Тогда

Уравнение высоты AD (через две точки) :

Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

(1)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка.

Может случиться, что нет точек с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например, - это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случая уравнения (1).

3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим и отметим на оси Ох точки называемые фокусами эллипса. Тогда эллипс можно опреде-лить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

M K

-а F1 O F2 a x

-b

Покажем это. Пусть точка - текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

(3)

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением , тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на , окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением Очевидно, что эллипс проходит через точки . Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса .

Прямые называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис:

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3):

Подставив получим

или

Замечание 1. Окружность является частным случаем эллипса. Для неё

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив , отметим на оси Ох точки называемые фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2а, т.е.

К М

F1 -а О а F2 х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой . После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки называются вершинами гиперболы. Прямые называются асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы .

Прямые называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Пример 1. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы .

Разделим обе части уравнения гиперболы на 144 и перейдем к каноническому виду

По условию а

Окончательно получаем

3.3. Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси Ох точку

называемую фокусом

параболы и проведём прямую, О F х

, называемую директрисой.

Тогда парабола может быть также определена как

геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса и директрисы .

Действительно, для произвольной точки параболы имеем

откуда и следует искомое равенство

3.4. Классификация линий второго порядка

Теорема. Любое уравнение вида (1), если не рассматривать случай “мнимых“ линий, путём преобразования системы координат можно привести к

одному из следующих видов:

1) - эллипс; 2) - гипербола;

3) - парабола; 4) - пара пересекающихся прямых; 5) - пара параллельных прямых;

6) - пара совпадающих прямых; 7) - точка.

Линии второго порядка классифицируются и по значению эксцентри-ситета:

- эллипс;

- парабола;

- гипербола.

Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость

4.1. Уравнение плоскости

Теорема. В ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое линейное уравнение в ДСК в пространстве определяет плоскость.

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы о прямой линии в ДСК на плоскости.

Уравнение называется общим уравнением плоскости.

Замечание 1. Аналогично следует, что вектор является нор-мальным вектором плоскости.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости Оyz.

Поскольку в этом случае , то уравнение искомой плоскости будет иметь следующий вид .

Удобно и наглядно строить плоскость по её следам на координатных плоскостях, которые определяются из следующих систем уравнений:

Пример 2. Построить z

плоскость, заданную общим

уравнением

Определим координаты 0 2 y

точек пересечения с осями 1

координат: (1 , 0 , 0) , (0 , 2 , 0)

и (0 , 0 , -2) и соединим эти x -2

точки отрезками.

Замечание 2. По следам плоскость удобно строить, представив уравнение плоскости в виде

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, так как - отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору

Пусть требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Пусть точка - текущая точка плоскости.

Тогда вектор , лежащий на плоскости, перпендикулярен вектору и из условия перпендикулярности получаем

(1)

Уравнение (1) является искомым уравнением плоскости.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось

В этом случае вектор нормали к плоскости а в качестве точки выберем начало координат. Тогда из уравнения (1) имеем

4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точка - текущая

точка плоскости. Построим векторы

. Они компланарны,

т.е. их смешанное произведение

или

(2)

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки

Из уравнения (2) получим

4.4. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

Очевидно, что угол между двумя

плоскостями равен углу между их

нормальными векторами.

Из этого следует

(3)

Если плоскости перпендикулярны, то

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны и тогда условие параллельности принимает вид

Пример 5. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и

По формуле (3) получаем

т.е. данные плоскости перпендикулярны.

4.5. Расстояние от точки до плоскости

Требуется найти расстояние от плоскости до точки . М0

Рассуждая аналогично, как и

для случая прямой на плоскости, d

получаем М

или

(4)

Пример 6. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстояние

Уравнение искомой плоскости в силу условия параллельности имеет вид Возьмём любую точку, принадлежащую плоскости, например, точку . Тогда, используя формулу (4), получим

или

т.е. и тогда получаем две плоскости, удовлетворяющие условию задачи,

Тема 5 : Прямая в пространстве

5.1. Уравнения прямой в пространственной системе координат

Как известно, одним из способов задания прямой является пересечение двух непараллельных плоскостей, т.е. прямая l определяется системой уравнений (5)

Кроме того, прямая l будет определена,

если задать точку , принадлежащую М

прямой и вектор , которому эта

прямая параллельна. Такой вектор называется М0

направляющим вектором. l

Пусть точка - текущая точка прямой, тогда из условия коллинеарности двух векторов и получаем

(6)

Если обозначить равные отношения в формуле (6) через t, то получим

(7)

Уравнения прямой вида (5)-(7) называются соответственно общими, каноническими и параметрическими. Между этими уравнениями существует определённая связь. Переход от уравнений (6) к уравнениям (7) уже рассмотрен. Пусть требуется перейти от уравнений (6) к уравнениям (5). Уравнения (6) эквивалентны системе

(8)

Система линейных уравнений (8) и определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей. Для перехода от уравнений (5) к (6) необходимо найти из системы (5) координаты любой точки М0, принад-лежащей прямой, а за направляющий вектор взять вектор .

Пример 7. Прямая задана общими уравнениями

Требуется получить каноническое и параметрические уравнения.

Полагая в системе , находим

Выпишем нормальные векторы и найдём их векторное произведение

Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид

и параметрические уравнения

Лекция № 12.

5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две точки и . Возьмём в качестве направляющего вектора , а за начальную точку любую из точек М1 и М2, например, М1. Тогда уравнение искомой прямой примет вид

(1)

5.3. Угол между двумя прямыми

Очевидно, что углом между двумя прямыми можно считать угол между их направляющими векторами и . Тогда

(2)

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны и условие параллельности принимает вид

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы и условие перпендикулярности из формулы (2) примет вид

Пример 1. Две прямые и проходят через начало координат. При этом точки . При каком значении пара-метра р они перпендикулярны?

В качестве первой точки (см. формулу (1)) возьмём начало координат , тогда направляющие векторы будут равны , и из условия перпендикулярности получаем

5.4. Расстояние от точки до прямой

Пусть требуется найти расстояние от точки до прямой l, заданной каноническим уравнением

Построим вектор . z M1

Расстояние d от точки M1 до

Прямой l равно высоте параллело- M0 d

грамма, построенного на векторах у

и .

Так как площадь параллелограмма х l

или ,

то получим (3)

Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой

Здесь И тогда имеем

5.5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость P и прямая l заданы соответственно уравнениями:

Здесь - нормальный вектор l

плоскости P, - направляющий

вектор прямой l, а j - угол между прямой

и плоскостью. a j l1

Если l1 - проекция прямой l на P

плоскость P, то и тогда

Окончательно, считая , получаем

(4)

Если прямая и плоскость перпендикулярны, то векторы и коллинеарны, и тогда условие перпендикулярности примет вид

Если они параллельны, то эти векторы перпендикулярны, и условие параллельности примет вид

5.6. Пересечение прямой с плоскостью

Найдем точку пересечения прямой с плос-костью .

Запишем уравнение прямой в параметрической форме и, подставив параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим уравнение

Исключая параметр t, получим

(5)

Здесь возможны три случая:

1. По формуле (5) вычисляем значение параметра t и из уравнений прямой определяем координаты точки пересечения.

2. , а . В этом случае прямая параллельна плоскости.

3. и . Тогда прямая принадлежит плоскости.

Пример 3. Определить взаимное расположение прямой, проходящей через две точки и , с плоскостью

Составим по формуле (1) уравнения прямой проходящей через эти точки:

Определим угол между этой прямой и плоскостью по формуле (4):

Из этого следует, что прямая параллельна плоскости. Проверим, принадлежит ли она плоскости? Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

откуда следует, что данная прямая принадлежит плоскости.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . Р

Из условия компланарности векторов М М0

и имеем l М1

Раскрывая определитель по элементам первой строки

получим искомое уравнение плоскости Р:

Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности

6.1. Уравнение поверхности

Аналогично, как и для случая линии на плоскости, уравнение поверхности – это уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на поверхности. Верно и обратное, т.е. каждое уравнение вида , (1)

вообще говоря, определяет некоторую поверхность в пространстве. Если уравнение (1) не удовлетворяется координатами ни одной точки, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. В дальнейшем такие случаи рассматривать не будем.

Пример 1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке .

Пусть - текущая точка сферы, тогда для вектора с координатами должно выполняться условие

которое и является искомым уравнением сферы.

Рассмотрим один из случаев – поверхности вращения. Пусть, например, в плоскости Oyz задана некоторая линия, уравнение которой

Найдём уравнение поверхности, полученной вращением этой линии вокруг оси Oz. z

Возьмём произвольную точку M 1

этой поверхности и проведём плоскость, M

перпендикулярную оси Oy. Очевидно, что

в сечении получим окружность с центром O N у

в точке N. х

Тогда . С другой стороны, радиус этой окружности , где точка М1 принадлежит линии . Следовательно, для всех точек поверхности вращения должно выполняться уравнение

Аналогично можно получать уравнения поверхностей вращения относительно других координатных осей.

Пример 2. Найти уравнение поверхности, образованной вращением эллипса в плоскости Oxy вокруг оси Ox.

Для этого случая нужно провести замену в уравнении эллипса. Тогда получим уравнение , которое определяет поверхность так называемого эллипсоида вращения.

6.2. Поверхности второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана поверхность, определяемая уравнением второй степени

(2)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта поверхность называется поверхностью второго порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (2):

1. Эллипсоид. Его каноническое уравнение .

Чтобы составить представление об этой поверхности, проведём сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Предварительно заметим, что при замене уравнение эллипсоида не изменяется – это означает, что эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

Например, пересекая эллипсоид плоскостями , получаем в сечениях эллипсы вида

с полуосями .

Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении а при увеличении h эллипсы уменьшаются, вырождаясь в точ-ку при .

Аналогичная картина будет в сечениях плоскостями и . На основании таких исследований можно определить окон-чательный вид эллипсоида.

-a

-b b y

x -c

Так же можно получить вид следующих поверхностей:

2. Однополостный гиперболоид - z

3. Двуполостный гиперболоид -

4. Эллиптический параболоид -

x y

5. Гиперболический параболоид -

6. Конус - z

7. Эллиптический цилиндр -

b у

8. Гиперболический цилиндр - z

-a

9. Параболический цилиндр -

10. Пара пересекающихся плоскостей - z

або

11. Пара параллельных плоскостей - или .

12. Пара совпадающих плоскостей - .

13. Точка -

Аналогично, как и для случая линий второго порядка, имеет место

Теорема. Для любого уравнения (2) поверхности второго порядка существует такая декартовая система координат, в которой уравнение принимает один из видов (1-13).

Пример 3. Найти точки пересечения прямой с однополостным гиперболоидом

Прямую представим параметрическими уравнениями Под-

ставим в уравнение гиперболоида, получим уравнение для нахож-дения параметра t:

Его корни: . Это означает, что имеются две точки пересечения прямой с гиперболоидом: и .

Какие еще могут быть варианты взаимного расположения прямой с однополостным гиперболоидом?

Материалы для практических занятий

ПРОГРАММА,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО КУРСУ “ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”

Программа курса (1 семестр)

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

1. Матрицы, действия над ними. Нулевая, квадратная, диагональная и единичная матрицы. Определители матриц второго и третьего порядка, их свойства. Определители более высокого порядка.

2. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Неособенные матрицы. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы (без доказательства) и следствия из этих теорем. Теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

3. Векторные и скалярные величины. Вектор как направленный отрезок. Равенство векторов, понятие свободного вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций.

Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Теорема о линейной зависимости векторов. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Различные способы задания вектора в пространстве. Задача о делении вектора в данном отношении.

4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Механический смысл скалярного произведения. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.

5. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Геометрический и механический смысл векторного произведения.

6. Правые и левые тройки векторов. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл, свойства и выражение через координаты сомножителей. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

7. Поверхность. Уравнение поверхности. Уравнение плоскости, проходящей через единую точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Соответствие между плоскостями и линейными уравнениями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, и уравнение плоскости в отрезках.

8. Прямая в пространстве трех измерений. Векторное, параметрические и каноническое уравнение прямой. Прямая в пространстве как линия пересечения плоскостей. Общие уравнения прямой. Переход от общих уравнений прямой к каноническим. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности. Пересечение прямой с плоскостью.

9. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Каноническое уравнение прямой. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, через две точки, уравнение прямой в отрезках.

10. Кривые второго порядка. Вывод канонических уравнений, исследование формы по уравнению. Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы и параболы. Асимптоты гиперболы.

11. Задача преобразования координат. Параллельный перенос и поворот координатной системы. Упрощение уравнений некоторых кривых при помощи преобразования координат.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Изд-во Ленингр. ун-та, 1977

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М. Наука, 1980, 1984, 1988.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М. Наука, 1980, 1984.

4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии, М. Наука, 1969.

Перед практическим занятием по запланированной теме рекомендуется самостоятельное изучение нижеследующего материала.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1 МАТРИЦЫ, ВИДЫ МАТРИЦ

Литература: 1. [1Д ], § § 17,24

2. [ 2Д ] ,§§3,15

3. ( 3Д) гл. У,§§1,5

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из элементов, расположенных в m строках и n столбцах. Она обозначается следующим образом

или или .

Элементы матрицы ( первый индекс i - номер строки, второй j - номер столбца ) могут быть числами, функциями и т.п. В общем виде матрицу обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например, А,В,... или в виде

Матрица называется квадратной, если у нее число строк равно числу столбцов ( m = n ). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n- го порядка.

Элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющих сумму индексов, равную n+1)- побочную диагональ.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1,а остальные элементы равны 0. Она обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид

Нулевая матрица - это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера. Например,

О= .

1.2.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

К числу линейных операций над матрицами относятся две операции:

1) сложение матриц;

2) умножение матриц на число.

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Эта операция определена только для матриц одинакового размера.

Суммой двух матриц А и В называется матрица С, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В.

Пример 1. Даны две матрицы

Найти их сумму.

Решение.

Операция вычитания матриц определяется как действие обратное сложению и сводится к вычитанию соответствующих элементов матриц. Для матриц А и В примера 1

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ЧИСЛО. СВОЙСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ

Произведением матрицы А на число к называется матрица , все элементы которой равны соответствующим элементам данной матрицы А , умноженным на число к.

Так как линейные операции над матрицами сводятся к аналогичным операциям над числами, то их свойства определяются свойствами сложения и умножения чисел:

1. Сложение матриц коммутативно (перестановочно) А + В = В + А ;

2. Сложение матриц ассоциативно (сочетательно) А + ( В + С ) = (А + В ) + С;

3. Сложение матриц и их умножение на число подчиняются дистрибутивному (т.е.распределительному закону) к ( А + В ) = к А +к В

(к1 + к2 ) А = к1 А + к2 А .

1.3 УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Операция умножения матриц вводится для матриц, удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матрицы А размером mn на матнрицу. В размером np называется матрица размером mp, элемент i - й стро

ки и j -го столбца которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В

Произведение матриц ( в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.е. в общем случае АВ ВА.

Пример 2. Найти произведение АВ матриц

3 х 4 4 х 2 .

Решение. Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то можно матрицу А умножить на В ( обратите внимание В на А не умножается). При этом получаем матрицу С размером 3 Х 2. Ее элементы

с11=2 ·1 +4·4 + 1·(-5) + 6 · 1=19, с12=2 · 2 + 4 · (-3) + 1· 2 + 6 · 0 = -6,

с21= 5 · 1 + (-1) · 4 +0 · (-5) +3 · 1 = 4, с22=5 · 2 + (-1) · (-3) + 0 · 2 +3 · 0 = 13

с31=2 · 1 + 0 ·4 + 3 · (-5) + (-1) ·1 = -18, с32=(-2) · 2 + 0 · (-3) + 3 · 2 + (-1) ·0 = 2.

Итак,

1.4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ ВТОРОГО, ТРЕТЬЕГО И n- ГО ПОРЯДКОВ

Литература: 1. [1Д],§§ 18 - 20 ,

2. [2Д],§§ 1, 2,

3. [3Д],§ 1 ,гл.У.

Понятие определитель вводится лишь для квадратных матриц.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу det А = .

Помимо символа det А определитель часто обозначают .

Итак, =

Определителем матрицы 3-го порядка А =

называется число, вычисляемое по следующему правилу:

det А = = - +

С учетом значений полученных определителей второго порядка определитель 3-го порядка равен

Первое из слагаемых со знаком “ + “ представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы. Остальные два содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основанием, параллельным главной диагонали:

= + + - - -

Со знаком “ - “ входят произведения элементов побочной диагонали () и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными этой диагонали ( и ).

Это правило вычисления определителя 3 -го порядка называется правилом треугольников ( или правилом Саррюса).

Определители матриц 4 - го и более порядка вводятся аналогично при помощи определителей 3 - го порядка

Аналогично, используя значение определителей n-1 -го порядка вводятся определители n-го порядка. Такой способ введения определителей называется индуктивным. Обобщая понятие определителя квадратной матрицы n-го порядка, заметим ,что он представляет собой число, равное сумме n! cлагаемых, причем эти слагаемые есть различные произведения n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенным знаком, но этот вопрос в данном пособии не рассматривается.

Пример 4. Вычислить определитель

Пример 5. Вычислить определитель 3 - го порядка

47 Здесь вычисления произведены по правилу треугольников:

со знаком “+” 1 ·(-1) ·(-2)+4 ·(-7) ·3+2 ·5 ·6=-22

со знаком “-” -(6 ·(-1) ·3+4 ·2 ·(-2)+(-7) ·5 ·1)=-(-69)=69.

1.5 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Свойства определителей любого порядка рассмотрим на примере определителей 3 - го порядка.

1) При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, что и строки, определитель не изменяется, т.е.

Это свойство определяет равноправие строк и столбцов определителя ( т.е. все свойства для строк справедливы и для столбцов и наоборот ).

2) При перестановке двух столбцов ( строк ) определитель меняет свой знак, например,

= - .

3) Если все элементы некоторого столбца (строки) состоят из нулей, то определитель равен 0.

4) Общий множитель всех элементов столбца (строки) можно вынести за знак определителя, например,

5) Определитель, содержащий два одинаковых столбца (строки) равен 0.

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю:

7) Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом - вторые. Остальные элементы у обоих определителей одинаковые. Так,

8) Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и тоже число, т.е. .

Следующие два свойства определителя связаны с понятием минора и алгебраического дополнения элемента определителя.

Минором элемента определителя называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых этот элемент расположен. Например, минором элемента определителя называется определитель .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, умноженный на , где i - номер строки, j - номер столбца элемента. Алгебраическое дополнение обычно обозначается . Алгебраическое дополнение для элемента определителя 3 - го порядка имеет вид

9) Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например,

или .

Разложение определителя по элементам строк и столбцов включает в себя как частный случай правила вычисления определителей, указанные в определении определителей 3 - го,4 - го, ...... n -1 и n- го порядка.

Свойства определителей широко применяются для их вычисления.

Пример 6. Вычислить определитель .

Решение. 1-й способ. Определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольника1 ·2 ·2 –5 ·(–1) ·2 =-1.

2-й способ. Используем свойство 9 о разложении определителя по элементам строки (столбца). Если разложить определитель по элементам любой строки (столбца), то придется вычислять три алгебраические дополнения. Число вычислений уменьшится, если среди элементов строки будут нулевые (для них алгебраические дополнения считать нецелесообразно, так как их произведения на нулевые элементы равны 0). Поэтому предварительно преобразуем определитель так, чтобы в нем имелась строка (столбец), в котором был бы всего один ненулевой элемент. Для этого прибавим к 1-й строке 2 - ю, умноженную на 2, а к 3 - й также 2-ю, умноженную на -3.

Раскладывая полученный определитель по элементам 1 - го столбца, имеем

Вынеся множитель (-1) из 2 - й строки ( свойство 4 ), имеем

Пример 7. Вычислить .

Решение. Из 1 - й строки вынесем общий множитель 2 за знак определителя.

Преобразуем полученный определитель так, чтобы в 3 -й строке был один ненулевой элемент. Для этого к элементам 1-го столбца прибавим элементы 3-го столбца, умноженного на -4, а к элементам 2-го столбца прибавим элементы третьего, умноженные на 2. Получим:

1.6 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Литература: 1. [ 1Д ], §21,

2. [ 2 Д], §4,

3. [ 3 Д], § 2 ,гл.У.

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

где - коэффициенты при неизвестных, неизвестные, - свободные члены уравнений.

Решение системы с n неизвестными называется любая совокупность значений неизвестных подстановка которых в каждое уравнение системы превращает их в верное равенство ( тождество ).

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее больше одного решения.

1.7 ПРАВИЛО КРАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Литература: 1.[ 1Д ]‚ § 21;

2.[ 2Д ]‚ § 4;

3.[ 3Д ]‚гл.Ў‚ § 2.

Это правило применяется тогда, когда число уравнений системы равно числу неизвестных в ней (m = n ). Заметим также, что определителем такой системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Правило Крамера:

а) если определитель системы n уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

где - определитель системы, (i - 1,2,...n) - определитель, отличающийся от определителя системы тем, что в нем i - й столбец заменен столбцом свободных членов уравнений системы;

б) если определитель системы = 0 , но хотя бы один из определителей , то система решения не имеет (несовместна);

в) если определитель системы и все определители , то система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример 8. Решить систему уравнений.

Решение. Определитель системы .

Так как , то система имеет по правилу Крамера единственное решение. Для нахождения вычислим определители

Тогда

Пример 9. Решить систему методом Крамера

Решение. Определитель системы

Вычисляем определитель

Так как , система решений не имеет.

Пример 10. Решить систему методом Крамера

Решение. Вычисляем определители

Так как определитель системы то

Пример 11. Решить систему методом Крамера

Решение. Легко убедится в том, что Выберем в матрице системы отличный от нуля минор второго порядка, например, минор М11 . Оставим только первое и второе уравнения системы и перепишем их в виде

Применим к этой системе правило Крамера, считая произвольным параметром. Имеем

Так как определитель , то

Пример 12. Решить систему методом Крамера

Решение. Легко убедиться, что. Проверяя в матрице все миноры второго порядка, видим, что все они равны нулю. Выберем какие-либо два уравнения системы, например, первое и второе

Применим к этой системе ( для каких-либо двух неизвестных, например, и ) правило Крамера. Получим

Таким образом, главный определитель системы =0 , а вспомогательный . Система несовместна.

1.5. Ранг матрицы

Литература: 1.[1Д]‚§23;

2.[2Д]‚§3–4;

3.[3Д]‚гл.У‚§3‚

Определитель к - того порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных к строк и к столбцов матрицы А, называется минором к-го порядка, порожденным данной матрицей.

Например, для матрицы А

минор второго порядка можно получить, выбрав 1 и 3 строки, а также 1-й и 4-й столбцы: . Очевидно, что минорами, порожденными этой матрицей, являются и другие определители 2-го порядка:

и т.д.

Данная матрица имеет минорами и определители 3-го порядка:

Рангом матрицы А (обозначается RgА или rang A) называется наибольший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.

В рассматриваемой матрице А наивысший порядок ее миноров равен трем. Вычислим один из них.

Так как этот минор отличен 0, то ранг матрицы RgА = 3.

Обычно вычислять все миноры, порождаемые данной матрицей, громоздко. Поэтому для определения ранга матрицы можно использовать метод приведения матрицы к ступенчатому виду, рассматриваемый ниже.

1.6. Элементарные преобразования и определение ранга матрицы

Литература: 1.[1Д]‚§23,

2.[2Д]‚§4;

3.[3Д]‚гл.‚§3.

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы А называются следующие действия над ними:

1) умножение какой-либо строки на число ,

2) перестановка двух строк,

3) прибавление к элементам одной строки соответственных элементов другой строки, умноженных на одно и то же число .

Элементарными преобразования второго рода называются аналогичные действия со столбцами.

Элементарные преобразования первого и второго рода не меняют ранг матрицы. Получающиеся после их применения матрицы называются эквивалентными. Итак, эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если в ее первой строке имеется хотя бы один элемент отличный от 0, а в каждой последующей строке первый отличный от 0 элемент стоит правее первого отличного от 0 элемента предыдущей строки. Например,

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Ранг данной матрицы А равен 5.

Для определения ранга матрицы нужно, применяя элементарные преобразования, привести ее к ступенчатому виду

Пример 13. Найти ранг матрицы

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду, для чего, вначале умножив первую строку на -2,1 и -6, сложим ее соответственно со 2,3 и 4 строками

Итак, в первой строке первый отличный от 0 элемент 1, а под ним в остальных строках стоят нули. Для того, чтобы первые отличные от нуля элементы третьей и четвертой строк стояли правее первого отличного от нуля элемента второй строки (он равен -3 ) умножим вторую строку на -1 и сложим ее с четвертой строкой. Получим эквивалентную матрицу вида

Для приведения ее к ступенчатому виду нужно иметь нуль в четвертой строке на месте числа -4. Поэтому умножим элементы третьей строки на 2 и сложим с элементами четвертой строки. Получим ступенчатую матрицу

Ранг этой матрицы равен 3. Значит ранг исходной матрицы В также равен 3(RgВ=3 ).

Пример 14. Найти ранг матрицы

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки. Получим

~ ~ .

Итак, Rg В=2.

1.7. Общий случай линейной алгебраической системы уравнений. Условие совместности

Литература: 1.[1Д]‚§23;

2.[2Д]‚§4;

3.[3Д]‚гл·У‚§4·

Пусть дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными :

Матрица А , состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы

Расширенная матрица В системы - это основная матрица с добавленным к ней столбцом свободных членов уравнений системы:

Условие совместности любой линейной алгебраической системы определяется теоремой Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная алгебраическая система уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы. При этом возможны два случая:

а) ранги основной и расширенной матриц равны числу неизвестных системы RgА= =RgB = ґ = n ; тогда система имеет единственное решение,

б) RgA=RgB=r<n ; тогда система имеет бесконечное множество решений. При этом r неизвестных, коэффициенты при которых образуют базовый минор матриц А и В,

определяющий ранг этих матриц, называются основными. Остальные n - r неизвестные называются свободными. Им можно придавать произвольные значения, в зависимости от которых принимают значения основные переменные.

Пример 15. Установить совместность системы

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы. Для удобства запишем их в виде

Здесь до вертикальной черты имеем основную матрицу, а вся матрица - расширенная. Для определения ранга матриц приведем их к ступенчатому виду.

~ ~ ~

У основной матрицы, приведенной к ступенчатому виду, три нулевых строки (RgА = 3), у расширенной - четыре (RgВ = 4). Так как RgА RgВ система не совместна.

Пример 16. Исследовать на совместность сиcтему

Если система совместна, установить основные и свободные переменные и найти решение.

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, вычислим ранг, приведя их к ступенчатому виду

~ ~

Отсюда RgА = RgВ =2 (так как у условной матрицы А и расширенной В по две нулевых строки). Следовательно, число основных неизвестных равно двум. В качестве таковых можно взять и , так как коэффициенты при них в ступенчатой матрице образуют минор, отличный от нуля

и , следовательно, определяют ранг основной и расширенной матриц. Тогда переменные и свободные, Им можно придавать произвольные значения. Например, =, =. Решение системы найдем пользуясь ступенчатой расширенной матрицей. Ей соответствует система вида

Оставим слева основные переменные, а свободные перенесем вправо, заменив их значениями и .

Из последнего уравнения этой системы

Подставим найденное значение в первое уравнение, получим

Ответ. Решение системы имеет вид

где и - произвольные числа.

1.8. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Литература: 1. [1Д]‚§22;

2. [2Д]‚§4.

Основная идея метода Гаусса - последовательное исключение неизвестных. Проиллюстрируем сущность метода на примере системы из трех уравнений

Полагая, что делим первое уравнение на и находим из него выражение для

Подставим это значение во второе и третье уравнения системы. В результате получим преобразованную систему вида

Из второго уравнения преобразованной системы находим выражение для (cчитаем, что ) .

Подставив в третье уравнение системы, получим

В новой системе из третьего уравнения непосредственно находится значение неизвестного , а затем “ обратным ходом” находят неизвестные и .

Ввиду соответствия между уравнениями системы и их расширенными матрицами все преобразования можно записать в матричном виде:

~ ~

Отсюда видно, что для решения линейной системы по методу Гаусса нужно расширенную матрицу системы преобразовать к ступенчатому виду, применяя элементарные преобразования ее строк.

Рассмотренный пример предполагал, что система совместна и имеет единственное решение. Но если при преобразованиях получаются уравнения вида

где то это означает, что система несовместна (т.е. не имеет решения). В матричном виде этому случаю соответствует появление строки вида

Если таких строк нет, а число ненулевых строк в ступенчатой матрице меньше числа неизвестных, то это означает, что система имеет бесчисленное множество решений и нужно определить основные ( базисные ) неизвестные. Этот случай подробно рассмотрен в предлагаемом примере.

Пример 17. Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение. Данной системе соответствует расширенная матрица

Приводим ее к ступенчатому виду. Делаем это так же, как и ранее ( пример на стр. 15 ).

~ ~ ~ ~ ~ ~ .

Окончательная ступенчатая матрица получилась треугольного вида: число ее ненулевых строк равно числу неизвестных. Следовательно, система совместна и имеет только одно решение. Согласно последней строке

Второй строке ступенчатой матрицы соответствует уравнение преобразованной системы вида

Подставив вместо его значение, находим :

Аналогично, согласно первой строки

Откуда

Ответ.

Пример 18. Решить систему методом Гаусса

Решение. Решение методом Гаусса запишем с помощью матриц.

~ ~

Так как последней строке соответствует уравнение вида ,

система несовместна (т.е. решения не имеет).

Пример 19. Решить методом Гаусса систему

Решение.

~ ~ ~

Получены две нулевых строки. Следовательно, система имеет два основных (базисных) неизвестных. Так как всех неизвестных четыре ( и ), то свободных неизвестных также два. В качестве основных неизвестных возьмеми , так как соответствующий им минор в ступенчатой матрице отличен от 0.

Тогда и - свободные переменные, причем =, = , где и - произвольные числа. Согласно полученной ступенчатой матрице имеем

Откуда из второго уравнения

Тогда

Ответ. Решение системы

Замечание 1. За основные переменные можно было бы принять и другую пару неизвестных, например, и или и или другие.

1.9. Обратная матрица

Литература: 1. [1Д]‚§25;

2. [2Д]‚§15;

3. [3Д]‚глУ.‚§5.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. В противном случае (т.е. когда определитель матрицы равен 0) матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной матрице А ( обозначается ), если для нее выполняется условие

где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А, т.е.

Е=

Чтобы матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Рассмотрим процесс построения обратной матрицы для матрицы А

Вычисляем определитель этой матрицы det A .Он должен быть отличен от нуля. Затем находятся алгебраические дополнения элементов этой матрицы ( А11, А12, ... , Аnn). Из них строится присоединенная (иначе звездная ) матрица. Ее особенность - алгебраические дополнения элементов строк составляют соответствующие столбцы:

Обратная матрица получается по формуле

где det A - определитель невырожденной матрицы А.

Пример 20. Построить обратную матрицу для матрицы А. Сделать проверку.

А=

Решение. Вначале убедимся, что данная матрица невырожденная: ведь обратную матрицу имеют только такие матрицы.

detА=

Находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы А

Строим присоединенную матрицу

Тогда обратная матрица имеет вид

Для проверки правильности построения обратной матрицы нужно вычислить произведения и Они должны равняться единичной матрице. Действительно,

Аналогично проверяем и условие

1.10. Матричный способ решения линейных алгебраических систем

Литература: 1.[1Д]‚§25;

2. [2Д]‚§15;

3. [3Д]‚гл.‚§5.

Матричный способ решения линейных алгебраических систем применяется, как и правило Крамера, в случае, когда число уравнений системы равно числу неизвестных и определитель системы отличен от 0.

Для этой системы построим следующие матрицы

основная матрица системы,

матрица-столбец из неизвестных,матрица-столбец из свободных членов линейной системы.

Используя операцию умножения матриц и условие равенства двух матриц, данную систему можно представить в матричном виде

Для нахождения элементов неизвестной матрицы (а это неизвестные ) умножим слева полученное матричное уравнение на матрицу

Обращаем внимание, что множитель в обеих частях равенства стоит слева, так

как , а (по свойству умножений на единичную матрицу), то получим

Пример 21. Решить матричным способом систему

Решение. Основная матрица системы уравнений составляется из коэффициентов при неизвестных

Вначале убедимся, что эта матрица невырожденная

Т.е. для матрицы существует обратная матрица .

Обозначим матрицу-столбец из неизвестных

В - матрица-столбец из свободных членов уравнений системы

Тогда заданную систему уравнений можно записать в матричном виде

Умножив слева это равенство на матрицу обратную матрице , получим

С учетом того, что и , получим

Строим обратную матрицу (см. пример 20 на стр. 81)

Находим неизвестную матрицу

Элементы матрицы составляют решение заданной системы уравнений, т.е.

Метод обратной матрицы можно применять для прямоугольной системы линейных уравнений, когда число уравнений m не совпадает с числом неизвестных n. Рассмотрим этот случай на примере m<n.

Пример 22. Решить матричным способом систему

Перепишем систему в виде

и будем рассматривать неизвестное t как параметр, равный С. Убедимся, что основная матрица преобразованной системы невырожденная

Обозначим столбец неизвестных а столбец свободных членов. Тогда система запишется в виде матричного уравнения Его решение Строим обратную матрицу , получим

Итак,

2. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Литература: 1. [1Д]‚§1;

2. [2Д]‚§5;

3. [3Д]‚гл·І‚§1.

В природе существует два рода величин: скалярные и векторные. Величины, для задания которых достаточно знать их численное значение, называются скалярными. Например, температура, путь, масса, объем, электрический заряд, работа и т.д. Величины, для задания которых необходимо знать не только их численное значение, но и направление в пространстве, называются векторными. Например, сила, действующая на тело, перемещение, скорость, ускорение, момент вращения и т.д. Векторы обозначаются или , где - начало вектора, - его конец. Длина вектора называется его моду-

лем и обозначается или .

В математике рассматриваются свободные векторы, т.е. такие, которые можно переносить параллельно себе, в частности, вдоль линии их действия.

Коллинеарные векторы - это векторы, направление которых совпадает или противоположны, что обозначают || .

Компланарные векторы - это векторы, лежащие в параллельных плоскостях, в частности, в одной плоскости. Очевидно, что любые два вектора компланарные, так как могут быть приведены параллельным переносом к одной плоскости.

Два вектора и называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Обозначают .

2.1. Линейные операции над векторами

Литература: 1. [1Д]‚§2.

1. Суммой векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора находится в конце вектора.

Геометрически это правило называют правилом треугольника ( рис. 2.1.а) или параллелограмма ( рис. 2.1. б) сложения векторов.

а) б)

Рис. 2.1 Сложение векторов по правилу треугольника (а) и параллелограмма (в)

Свойства сложения векторов:

а) + = + (перестановочное или коммутативное свойство),

б) + + = + (+) (сочетательное или ассоциативное свойство),

в) + 0 = ( - нулевой вектор, т.е. = 0,

г) + (-) = 0 (- - вектор, противоположный вектору ).

Перечисленные свойства сложения векторов позволяют сформулировать и обосновать:

1) обратную операцию операции сложения - разность векторов и как вектор такой, который в сумме с вектором дает вектор (рис. 2.2. а),

2) сложение произвольного конечного числа векторов (геометрическое правило замыкания ломаной до многоугольника ) ( рис. 2.2. б ).

а) б)

Рис.2.2 Вычитание векторов (а ) и сложение векторов по правилу многоугольника (б)

2. Произведение вектора на число - это такой вектор, который удовлетворяет условиям :

а)

б) векторы и - сонаправленные, если число > 0, и противоположно направленные,

если < 0.

Таким образом, из определения операции умножения вектора на число следует, что векторы и = или сонаправленные или противоположно направленные, т.е. коллинеарные.

Свойства умножения вектора на число:

а) ,

б)

в) ( как и - некоторое число),

г) ( + ) = + ( распределительное свойство ),

д) (1 + 2 ) = 1 + 2.

Операции сложения векторов и умножения векторов на число называются ли-нейными.

Вектор называется линейной комбинацией векторов 1, 2,, 3, ..., n , если его можно представить в виде = 1 1 + 2 2 + 3 3 + ... + n n ,

где 1, 2, 3 ,..., n — некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам 1, 2,, 3, ..., n .

Например, = 5 1 + 2 2 - 3 есть разложение вектора по векторам 1, 2,, 3,.

2.2 Базис. Координаты векторов в прямоугольной системе координат

Литература: 1. [1Д]‚§§3–5;

2. [2Д]‚§5;

3. [3Д]‚гл.|‚§§1–2.

Векторы 1, 2,, 3, ..., n называются линейно - зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например,

= 1 1 + 2 2 + 3 3 +

В противном случае т.е. ни один из векторов 1, 2,, 3, ..., n не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы называются линейно - независимыми.

Пара векторов на плоскости является линейно-зависимой тогда, когда эти векторы коллинеарные (это необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов на плоскости ).

Тройка векторов на плоскости является линейно - зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, т.е. лежат в одной или в параллельных плоскостях.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно - независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно - независимых (т.е. некомпланарных) векторов.

ТЕОРЕМА. Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.

Например,

Здесь - базисные векторы. Коэффициенты 1, 2, 3 разложения вектора по данным базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.

В трехмерном пространстве широко применяется прямоугольная система координат XYZ с базисными векторами Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис поэтому называется ортонормированным.

Любой вектор в прямоугольной системе координат может быть единственным образом представлен в виде

Особенность прямоугольной системы координат в том, что коэффициенты этого разложения (т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора на соответствующие оси x, y и z.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле

Направление вектора задается углами , образованными ими с координатными осями x, y и z. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам

Направляющие косинусы связаны соотношением

Если векторы и коллинеарны и однонаправлены, то равны их направляющие косинусы

Введем обозначение / . Тогда соотношения запишутся в виде равенств ,

которые называются условиями коллинеарности векторов и.

Заметим, что если векторы и противоположно направлены, то в равенстве следует перед поставить знак минус.

Если вектор задается направленным отрезком , а координаты точек и , то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора

При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются : + = . При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число .

Пример. На оси Оx найти точку, равноудаленную от точек А ( 0, -2, 3 ) и В ( -3, 2, 4 ).

Решение. Пусть М - искомая точка. Для нее по условию выполняется равенство . Так как эта точка лежит на оси ОХ, то ее координаты (x, 0, 0 ), а поэтому имеем

После возведения в квадрат получаем .

Или 6, а точка имеет координаты .

Пример. Вектор составляет с осями координат острые углы ,причем .Найти его координаты, если | | =3.

Решение. Прежде всего найдем угол : .

Откуда с учетом того, что угол острый

Искомые координаты вектора

2.3. Деление отрезка в данном отношении

Литература: 1. [2Д]‚§7;

2.[3Д]‚гл.|‚§2

Точка М делит отрезок АВ в отношении , если выполняется равенство .

Если координаты точек , то

Особый интерес представляет случай, когда т. М делит отрезок АВ пополам. Тогда =1 и координаты срединной точки вычисляются по формулам

Пример. Отрезок прямой с концами в точках А ( 3,2 ) и В ( 12, 8 ) разделен на три равных части. Определить координаты точек деления.

Решение. А С Д В

--------------------------------------------

Для точки С из условия имеем, что . Тогда

Точка Д - срединная для отрезка СВ. Поэтому

2.4. Скалярное произведение векторов

Литература: 1. [1]‚§6;

2. [2]‚§6;

3. [3]‚гл.І‚§3.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Свойства скалярного произведения:

1. (коммутативность),

2. (дистрибутивность),

3. , если =0 или =0 или перпендикулярно ,

Первые три свойства показывают, что скалярное умножение суммы векторов на другую сумму можно производить по обычному правилу умножения многочленов.

Например,

Найдем выражение скалярного произведения векторов в прямо-угольных координатах. Для этого запишем разложение векторов и в базисе и учтем свойства скалярного произведения

Здесь учтено, что

Итак, получено

т.е. скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Скалярное произведение векторов используется при решении ряда задач.

Нахождение угла между векторами и

Вычисление проекции одного вектора на направление другого вектора

3) Условие перпендикулярности: т.е.

4) Вычисление работы постоянной силы вдоль прямолинейного участка пути (вектор смещения )

Пример. Векторы и образуют угол . Зная, что , найти длину вектора .

Решение. Так как , то найдем скалярный квадрат :

В этой формуле

Следовательно,

Пример. Даны векторы . Найти проекцию вектора на направление вектора .

Решение. Вначале найдем координаты вектора

Затем, используя скалярное произведение, вычислим проекцию

Пример. Даны вершины четырехугольника А (1,2,3), В (7,3,2), С (-3,0,6) и Д (9,2,4) Доказать, что его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны.

Решение. Определим координаты векторов 'и .

Проверяем условие перпендикулярности ненулевых векторов

= (-4)2+(-2)(-1)+3

Так как скалярное произведение векторови равно 0, они взаимно перпенди-кулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А (3,2,-3), В (5,1,-1) и С (1,-2,1). Найти внутренний угол при вершине А.

Решение. Искомый угол есть угол между векторами и . Найдем координаты этих векторов

= ,

Используя скалярное произведение, находим

Пример. Даны силы и Найти работу их равнодейству-ющей при перемещении точки из начала координат в точку А (2,-1,-1).

Решение. Вначале находим равнодействующую сил и .

= + =

Получено, что координаты силы равны

Вектор смещения имеет координаты

Работа силы при перемещении определяется как скалярное произведение

2.5. Векторное произведение

Литература: 1.[1Д]‚§7;

2. [2Д]‚§12;

3. [3Д]‚гл.I‚§3.

Векторным произведением вектора на вектор называется такой

вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними

т.е. модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах,

2) вектор перпендикулярен векторам и ,

3) вектор направлен так, что с его конца кратчайший поворот от к виден происходящим против часовой стрелки.

Обозначение

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение некоммутативно (неперестановочно). При этом

2. Для векторного произведения выполняется дистрибутивный (распределительный) закон

3. где - любое действительное число.

4. Если векторы и неколлинеарны, то модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах и

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов (но порядок следования множителей ввиду некоммутативности векторного произведения меняться не должен). Например,

Вычисление векторного произведения в координатной форме

Если то вектор , равный их векторному произведению , можно находить по формуле

Пример. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого находятся в точках А (4,3,2), В (2,3,4) и С ( 1,1,1 ).

Решение. Данный параллелограмм построен на векторах

Если площадь равна модулю векторного произведения. Находим векторное произведение

Площадь параллелограмма

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если , а угол между векторами и равен .

Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах. Поэтому площадь треугольника

Найдем векторное произведение

С учетом того , что векторный квадрат равен 0 ( так как в этом случае =0 и ), имеем .

Учтем также, что . Тогда

2.6. Смешанное произведение трех векторов

Литература: 1. [1Д]‚§8;

2. [2Д]‚§13;

3. [3Д]‚гл.І‚§3.

Смешанным произведением трех векторов, , называется число, равное векторному произведению векторов и скалярно умноженному на вектор: . Обозначается .

Свойства:

1) смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного т скалярного произведения, т.е.

2) смешанное произведение не изменится, если переставить перемноженные векторы в круговом порядке

3) при перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменит только знак

4) смешанное произведение компланарных векторов равно 0,

5) модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах:

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , определяется по формуле ,

6) если векторы , , заданы в координатной форме, то их смешанное произведение вычисляется при помощи определителя

Пример. Найти объем пирамиды, имеющей вершины в точках А( 5,-5,6 ), В( 4,5,4 ),С ( 4,3,3 ), Д ( 2,2,2 ).

Решение. С ребрами пирамиды совпадают векторы .

Найдем эти векторы

Так как , то

Пример. Доказать, что точки А (1,0,7), В (-1,-1,2), С (2,-2,2) и Д(0,1,9) лежат и одной плоскости.

Решение. Если точки А. В, С и Д лежат в одной плоскости, то и векторы компланарны. Найдем эти векторы:

Проверяем условие компланарности трех векторов :

Так как смешанное произведение трех векторов равно 0, то они компланарны. Следовательно, точки А,В,С, и Д лежат в одной плоскости.

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1 Уравнение поверхности в прямоугольной системе координат

Литература: [3Д], гл. II § I , п. 1,2

[4Д], гл. II § 50, 60 .

Уравнением данной поверхности (в прямоугольной системе координат ) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих этой поверхности ,и не удовлетворяют координаты всех точек, не принадлежащих ей.

3.2 Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат

Литература: [3Д], гл. II § I , п. 2, 4, 5, § 3 , п. 2, 4, 6,

[4Д], гл. I2 §§ 63, 64, 65 .

В декартовой (прямоугольной ) пространственной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени ( иначе линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Поэтому уравнение вида (1) называется общим уравнением плоскости.

Коэффициенты этого уравнения имеют определенный геометрический смысл. Всякий не равный нулю вектор, перпендикулярный к данной плоскости, назы-вается нормальным вектором этой плоскости.

Уравнение (2) определяет плоскость, проходя-щую через точку , перпендикулярно вектору . Если раскрыть скобки в этом уравнении и обозначить число , то получится урав-нение плоскости в виде (1). Значит, коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости - это координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскостей.

Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид . Очевидным решением такого уравнения является решение . Значит, уравнение определяет плоскость, проходящую через точку О(0,0,0) (начало координат);
Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид . Так как проекция нормального вектора на ось ОХ равна 0, то это возможно, если плоскость параллельна оси ОХ.

Аналогично, если коэффициент и уравнение плоскости имеет вид , то эта плоскость параллельна оси ОУ. Если уравнение имеет вид , т.е. коэффициент при равен 0, то это уравнение плоскости, параллельной оси . Вывод; отсутствие в уравнении какой-либо переменной свидетельствует о том , что эта плоскость параллельна оси, соответствующей этой переменной.

3. Коэффициенты и уравнение имеет вид . Плоскость па-раллельна осям ОХ и ОУ и, следовательно, параллельна плоскости ХОУ.

4. Коэффициенты и уравнение имеет вид . Плоскость па-раллельна плоскости ХОУ(так как ). Кроме того, она проходит через точку О(0,0,0) (так как ). Значит уравнение (или что то же ) определяет саму плоскость ХОУ.

3.3 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и .Возьмем на плоскости произвольную точку . Тогда векторы , и - компланарные. Условие компланарности векторов – их смешанное произведение равно нулю, т.е. или в координатной форме

(3) - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и .

Уравнение плоскости в отрезках

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и .Согласно формуле (3) получаем . Раскрыв

определитель и преобразовав полученное выражение, имеем уравнение плоскости (4) . Оно называется уравнением плоскости в отрезках, так как величины - это величины отрезков, отсекаемых плоскостью от координатных осей.

Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Угол между плоскостями и - это угол между их нормальными векторами и . Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле

(5).

Очевидно, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Отсюда вытекает условие параллельности плоскостей (6).

Аналогично, условие перпендикулярности плоскостей - это равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов, т.е. (7).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости определяется как проекция вектора , где точка - произвольная точка

этой плоскости, на направление нормального вектора , и поэтому вычисляется по формуле

(8)

Приведем примеры решения задач, использующих приведенные формулы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Пример 3.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

Решение. Обозначим искомую плоскость и данную плоскость .

Первый способ. Нормальный вектор плоскости вектор и векторпараллельны плоскости ( см. рис.). Перпендикулярный им вектор дает их векторное произведение. Этот вектор - нормальный вектор искомой плоскости

В уравнении (2) плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору в качестве точки можно взять любую из точек или . Возьмем . Тогда уравнение искомой плоскости согласно формуле (2) имеет вид

или .

Замечание. Из ответа видно, что искомая плоскость параллельна оси (т.к. в ее уравнении коэффициент ).

Второй способ. Возьмем произвольную точку на плоскости . Тогда векторы компланарные. Условие компланарности векторов – их смешанное произведение равно 0: . Раскрыв этот определитель, получаем уравнение искомой плоскости

. Откуда .

Пример 3.2. Убедиться, что плоскости и параллельны, найти расстояние между ними.

Нормальные векторы этих плоскостей и коллинеарные, так как их координаты пропорциональны . Значит плоскости параллельные (см. формулу 6).

Выберем произвольную фиксированную точку на первой плоскости. Две ее координаты будем считать нулевыми и , а третью найдем из уравнения плоскости, подставив в него значения первых двух: . Откуда . Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от точки до второй плоскости, определяемое по формуле ( 8 ):

Уравнение прямой в пространственной системе координат

Литература: [ 3Д], гл. II § 2 , п. 3,6, §32 , п. 1

[ 4Д ], гл. I2 §§ 66-68 .

Прямая в пространственной системе координат рассматривается как пересечение двух плоскостей и поэтому может быть задана системой уравнений этих плоскостей :

(9) .

Система уравнений (1) называется общим уравнением прямой в пространстве.

Другие виды уравнения прямой:

а) параметрические уравнения (когда координаты точек прямой задаются как функции

одной и той же переменной, называемой параметром точки) (10) .

Здесь координаты фиксированной точки , через которую проходит прямая, координаты направляющего вектора (любого вектора, параллельного прямой), переменная, называемая параметром точки;

в) каноническое уравнение прямой (11) . Это символическое уравнение, получаемое из параметрического исключением параметра .

Если прямая проходит через две заданные точки и , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор . И тогда согласно формуле (11) уравнение прямой , проходящей через две заданные точки, имеет вид (12) .

Пример 3.3. Составить каноническое и параметрические уравнения прямой, заданной общим уравнением .

Решение. Из общего уравнения прямой следует, что нормальные векторы плоскостей, пересечением которых получается эта прямая, имеют координаты и . Для составления уравнений (10) и (11) нужно иметь координаты любой фиксированной точки прямой и координаты направляющего вектора этой прямой. В качестве точки прямой возьмем точку -точку ее пересечения с какой-либо координатной плоскостью, например с плоскостью . Аппликата этой точки равна нулю (. Подставив это значение в общее уравнение прямой, получаем систему для определения других координат точки . Решая эту систему, находим . Значит .

Направляющий вектор можно найти как результат векторного произведения нормальных векторов и плоскостей, уравнения которых входят в общее уравнение прямой

. Согласно формуле (11) каноническое уравнение прямой имеет вид . Ноль в знаменателе второй дроби свидетельствует о том, что прямая перпендикулярна оси .

Для получения параметрических уравнений прямой приравняем каждую из этих дробей параметру . Получим . Откуда .

Пример 3.4. Найти точку, симметричную точке , относительно прямой, проходящей через точки и .

Решение. Через точку проведем плоскость перпендикулярную прямой (см. рис). Точка - точка их пересечения. Точка - искомая точка. Ввиду симметрии .

Каноническое уравнение прямой согласно формуле (4)

. Откуда .

Перейдем к параметрическому уравнению этой прямой: .

Уравнение плоскости с нормальным вектором и проходящей через точку согласно формуле (2) имеет вид или после раскрытия скобок .

Координаты точки пересечения плоскости с прямой ( т.е. точки ) находим

решением системы из уравнений прямой и плоскости: . Отсюда или 14. Следовательно, для точки значение параметра . Тогда из параметрического уравнения получаем координаты точки :

Точка - срединная для отрезка . Поэтому . Из этих формул определяем координаты искомой точки :

Ответ:

Пример 3.5. Лежат ли прямые и в одной плоскости. Если да, то составить уравнение этой плоскости.

Решение. Исходя из геометрического смысла величин, входящих в каноническое и параметрического уравнений прямой заключаем, что первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .

Вторая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы компланарные, т.е. если их смешанное произведение равно нулю: . Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки одинаковы. Значит, прямые лежат в одной плоскости. Для составления уравнения этой плоскости находим ее нормальный вектор как векторное произведение .

Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору

или .

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1 Уравнение прямой на плоскости

Литература: [3Д ], гл. II § 2 , п. 1,2, 3, 5, § 3 , п.1,

[4Д], гл. I6,17,18,19,20.

В декартовой (прямоугольной) системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением первой степени (иначе линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет прямую. В системе ХОУ общее уравнение прямой - это уравнение вида (13).

Частные случаи:

а) т.е. . Такая прямая проходит через начало координат;

в) , т.е. . Это уравнение преобразуется к виду . Оно определяет прямую параллельную оси ОХ. Аналогично, уравнение или определяет прямую параллельную оси ОУ;

с) . Эта прямая совпадает с осью ОХ. Аналогично, уравнение - это уравнение прямой, совпадающей с осью ОУ.

Если в общем уравнении ( 13) , то разделив его на получим уравнение вида (14) , которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем . Коэффициент называется угловым коэффициентом, так как он равен тангенсу угла наклона прямой к оси ОХ (). Свободный член уравнения равен ординате точки пересечения прямой с осью ОУ и называется величиной смещения прямой вдоль оси ОУ.

Другие уравнения прямой:

а) уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через точку (15);

б) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и

(16);

в) уравнение прямой в отрезках (17) . Название уравнения связано с тем, что величины - это величины отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей (т.е. прямая проходит через точки на осях и .

г) параметрические уравнения прямой (18) . Здесь - координаты фиксированной точки, через которую проходит прямая, - координаты направляющего вектора прямой.

4.2 Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и . Углом между прямой(1) и прямой (2) называется наименьший угол, на который нужно повернуть прямую (1) до ее совпадения с прямой (2).

Угол как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, т.е. . Откуда и . Так как согласно геометрическому смыслу угловых коэффициентов , то угол между прямой (1) и прямой (2) определяется по формуле

(19) .

У параллельных прямых и поэтому . Поэтому условие параллельности прямых – равенство их угловых коэффициентов (20) .

Условие перпендикулярности прямых (21)

Пример 3.6. Даны вершины треугольника , и . Точка делит сторону в отношении 2:1, считая от точки . Составить уравнение и найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины на прямую .

Решение. Найдем координаты точки , используя формулы деления отрезка в данном отношении :

, .

Составим уравнение прямой как уравнение прямой, проходящей через две известные точки (формула 16): . Откуда . Согласно полученному уравнению угловой коэффициент прямой равен . Прямая перпендикулярна прямой . Поэтому ее угловой коэффициент согласно условию перпендикулярности прямых (формула 21) равен . Перпендикуляр , уравнение которого нужно составить, проходит через известную точку и имеет угловой коэффициент . Поэтому его уравнение (формула 15) имеет вид или .

Для определения расстояния от точки до прямой найдем координаты точки , решив систему из уравнений этой прямой и прямой . Получим Расстояние найдем как расстояние между двумя точками

Замечание. Расстояние можно находить иначе по формуле расстояния от точки до прямой (ее уравнение )

Пример 3.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с прямой угол 45º.

Решение. Очевидно, таких прямых будет две (см. рис.). Угловой коэффициент данной прямой находится из ее уравнения, приведенного к виду . Отсюда . Угловой коэффициент первой искомой прямой находится по формуле (19)

Из решения этого уравнения . Вторая искомая прямая перпендикулярна первой. Из условия перпендикулярности ее угловой коэффициент равен . Имея угловые коэффициенты прямых и точку , через которую они проходят, составляем их уравнения по формуле (15)