ТЕМАТИКА Методические указания II часть для практических занятий студентов специальности 230115 Програ

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«тюменский государственный нефтегазовый университет»

Институт кибернетики, информатики и связи

Отделение «Информационных технологий и вычислительной техники»

 

МАТЕМАТИКА

Методические указания (II часть)

для практических занятий студентов специальности

230115 Программирование в компьютерных системах

230401 Информационные системы (по отраслям)

очной формы обучения

Тюмень

ТюмГНГУ

2012

Содержание

Пояснительная записка	4
Общие требования к выполнению и оформлению практических работ	5
Критерии оценки практических работ	5
Практическая работа№9. Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений.	6
Практическая работа 10. Радианная мера угла. Вращательное движение, синус, косинус, тангенс и котангенс	9
Практическая работа №11. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения	14
Практическая работа №12. Тригонометрические формулы	19
Практическая работа №13. Преобразования простейших тригонометрических выражений	23
Практическая работа №14. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа	24
Практическая работа №15. Простейшие тригонометрические уравнения	26
Практическая работа №16. Функции. Свойства функции: область определения, множество значений, монотонность, четность, нечетность, периодичность.	28
Список литературы	32

Пояснительная записка

Методические указания для практических занятий составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» для специальностей: 230115 «Программирование в компьютерных системах», 230401 «Информационные системы (по отраслям)» на базе основного общего образования.

Практические занятия занимают важное место при изучении дисциплины «Математика». Цель изучения дисциплины состоит в формировании знаний, практических умений и навыков решения элементарных математических задач.

В результате выполнения практических работ студент должен:

иметь представление:

•  о месте и роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;
•  о логическом строении дисциплины;
•  о междисциплинарной связи математики со специальными дисциплинами;

знать и уметь:

•  теоретические разделы каждой темы;

уметь:

•  решать примеры и задачи по каждой теме.

Методические рекомендации для практических занятий состоят из пояснительной записки, критериев оценки работы студента, общих требований к выполнению и оформлению практических занятий, содержания практических занятий, которые снабжены основными теоретическими положениями, заданиями, контрольными вопросами и списком литературы.

На выполнение каждой работы отводится определенное количество часов в соответствии с тематическим планом.

Форма отчетности студента указана для каждого практического занятия.

Выполнять работы рекомендуется в отдельных тетрадях.

Методические рекомендации для практических занятий окажут помощь преподавателям в организации и управлении работой студентов в процессе занятий, а студенты могут использовать их как пособие для повторения изученного материала, подготовке к экзамену.

ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ:

Практические задания должны оформляться в отдельной тетради и содержать:

•  тему, цели, вид работы, время выполнения практического задания;
•  условия заданий;
•  необходимые расчетные формулы, понятия;
•  подробные решения заданий;
•  для успешной защиты отчета по практическим заданиям студент должен правильно ответить на рекомендуемые контрольные вопросы, проявить навыки решения задач и умение иллюстрировать теоретический материал расчетами для выполненных заданий.
•  отчет должен заключаться выводом о практической работе.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Основными критериями оценки выполненной студентом и представленной для проверки работы являются:

1.  Степень соответствия выполненного задания поставленным требованиям;
2.  Структурирование и комментирование практической работы;
3.  Уникальность выполнение работы (отличие от работ коллег);
4.  Успешные ответы на контрольные вопросы.

«отлично» - оформление соответствует требованиям, критерии выдержаны, защита всего перечня контрольных вопросов.

«хорошо» - оформление соответствует требованиям, критерии выдержаны, защита только 80 % контрольных вопросов.

«удовлетворительно» - оформление соответствует требованиям, критерии выдержаны,  защита только 61 % контрольных вопросов.

Практическая работа №9

Тема: Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений

Цель: формирование навыков преобразований рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часа

Теоретические сведения

Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных, то оно называется целым.

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления то оно называется дробным.

Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями.

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных, то такое алгебраическое выражение называется иррациональным.

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения.

Формулы сокращенного умножения

Упражнения с решениями

Пример 1. Выполнить умножение одночленов  и .

Решение. Пример 2. .

Решение. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Получим:

Пример 3. Разложите выражение на множители .

Решение. Произведем группировку следующим образом:

.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель , во второй – общий множитель . Получим . Теперь многочлен  как общий множитель вынесем за скобку: . Таким образом, получаем:

.

Пример 4. Выполнить умножение .

Решение. Имеем ; .

Использовав правило умножения дробей, получаем:

.

Пример 5. Упростить выражение

Решение.

1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .

Ответ: .

Задания к практическому занятию

Задание 1. Упростите выражение:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Задание 2. Разложите многочлен на множители:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  
5.  
6.  −1.

Задание 3. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  ;
9.  ;
10.  .

Задание 4.Упростите выражение:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Задание 5. Сократите дробь

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 6. Найдите область определения дроби:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 7. Извлечь корень из произведения .

Задание 8. Вынести множитель из-под знака корня .

Задание 9. Упростить

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  
5.  ;
6.  .

Задание 10. Упростите выражение и найдите его значение:

1.  , при ;
2.  , при ;
3.  , при .

Задание 11. Упростите выражение:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Задание 12. Докажите тождество:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Контрольные вопросы

1.  Что называется алгебраическим выражением?
   1.  Какие виды алгебраических выражений существуют?
      1.  Что называется областью определения алгебраического выражения?
         1.  Дайте определение одночлена и многочлена?
         2.  Назовите основные способы разложения многочлена на множители.
         3.  Назовите основные приемы преобразований рациональных выражений.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4

Практическая работа №10

Тема: Радианная мера угла. Вращательное движение, синус, косинус, тангенс, котангенс

Цель: формирование навыков вычислений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на такую дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рис. 1)

Рис. 1 Центральный угол

Если начальный радиус совершит один полный оборот, то получится угол, равный  или  радианам.

Радианная мера  равна .

Если угол содержит , то его радианная мера равна

 (1)

Из равенства (1) следует, что угол, равный  радианам, содержит

градусов  (2)

Длина дуги в  радиан определяется по формуле:

( – радиус окружности)   (3)

Длина дуги в  определяется по формуле

(4)

Из формулы  следует:

; ; ;  и т.д.

Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1. На единичной окружности отметим точку . При повороте начального радиуса около центра  на угол  радиан точка  перейдет в некоторую точку . Обозначим координаты этой точки  и . (Заметим, что поворот можно осуществить как в положительном, так и отрицательном направлении.)

Синусом угла  называется отношение ординаты точки  к радиусу. Таким образом .

Косинусом угла  называется отношение абсциссы точки  к радиусу. Таким образом .

Каждому углу  соответствует единственная точка  и, следовательно, единственное значение синуса и косинуса этого числа.

Координаты любой точки  единичной окружности удовлетворяют уравнению: . Отсюда , где .

Из этой формулы следует, что: ; .

В практических вычислениях часто используются значения синуса и косинуса, приведенные в таблице 1:

Таблица 1

Знаки значений функций синуса и косинуса. Знаки  и  определяются знаками ординаты  и абсциссы  соответствующей точки единичной окружности. Если    ( в первой координатной четверти), то числу  соответствует точка окружности , координаты которой  и  . Следовательно, на числовом промежутке  ,  (рис. 2).

Рис. 2

Если  ( во второй координатной четверти), то, рассуждая аналогично, получаем ,  (рис. 3)

Если  ( в третьей координатной четверти), то имеем ,  (рис. 4).

   

Рис. 3    Рис.4

Если    ( в четвертой координатной четверти), то ,  (рис. 5).

Рис. 5

Схематически знаки  изображены на рисунке 6, а, а  на рисунке 6, б.

Рис. 6

Тангенсом числа  называется отношение ординаты точки  к ее абсциссе (рис. 7). Таким образом, .

Рис. 7

Котангенсом числа называется отношение абсциссы точки  к ее ординате (рис. 8). Таким образом,.

Значения тангенса и котангенса для чисел

Знаки значений функций тангенса и котангенса. Знаки значений легко найти из формул  и .

Аналогично находим остальные значения. Заметим, что для некоторых чисел  и  не существуют. Например,  (не имеет смысла).

Приведем таблицу этих значений:

Таблица 2

					Не существует		Не существует
	Не существует					Не существует		Не существует

Знаки значений функций тангенса и котангенса можно определить по знакам значений синуса и косинуса. Так как в I и III четвертях знаки значений синуса и косинуса одинаковые, а именно в I четверти  и , а в III четверти  и , то в этих четвертях и .

Так как во II и IV четвертях знаки значений синуса и косинуса разные, а именно во II четверти , , а в IV четверти , , то в этих четвертях и . Заметим, что знаки значений тангенса и котангенса можно легко определить по знаку ординаты и абсциссы.

Секансом числа , называется величина, обратная , т. е. .

Косекансом числа , называется величина, обратная , т. е. .

Упражнения с решениями

Пример 1. Определить знак произведения .

Решение. , так как угол является углом первой четверти, а синус в первой четверти положителен.

, так как угол является углом третьей четверти, а косинус в этой четверти отрицателен.

, так как угол является углом первой четверти, а косинус в этой четверти положителен.

, так как угол является углом четвертой четверти, а синус в этой четверти отрицателен.

, так как угол является углом четвертой четверти, а косинус в этой четверти положителен.

, так как угол, величина которого 2 радиана, является углом второй четверти, а синус в этой четверти положителен.

Следовательно, произведение положительно.

Пример 2. Сравнить значения выражений:

; ; ; ; .

Решение. ; ; ; ; .

Таким образом, .

Пример 3. Доказать тождество

Доказательство. В левой части тождества произведем указанные действия и приведем подобные члены, получим:

.

Левую часть равенства преобразуем так:

Следовательно, . Тождество доказано.

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Задание 2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ,36.

Задание 3. Определите знак произведения.

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 4. Упростите выражение:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 5. Вычислите значение , если:

1.  

1.  ;
2.   ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Задание 6. Докажите тождество:

1.  ;
2.  ;
3.  .

Задание 7. Найдите значение выражения:

1.  , при ;
2.  , при ;
3.  .

Контрольные вопросы

1.  Назовите единицы измерения величины угла.
2.  Что принимается за ; за 1 радиан?
3.  Что называется синусом угла ?
4.  Что называется косинусом угла ?
5.  Дайте определения тангенса и котангенса числа ?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1

Практическая работа №11

Тема: Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения

Цель: формирование навыков использования формул приведения при доказательстве тригонометрических тождеств

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв (т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Существуют следующие способы доказательства тождеств: преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю. Иногда удобно доказательство тождества провести преобразованием его левой и правой частей к одному и тому же выражению.

1.  .   (1)
2.  .    (2)
3.  .    (3)
4.  .   (4)
5.  .    (5)
6.  .    (6)
7.  .    (7)
8.  Из формул (4) и (5) следует, что

(8)

1.  Из формулы (8) следует, что

 (9)

 (10)

1.   Разделив обе части  равенства (1) на , получим:

(11)

1.   Разделив обе части равенства (1) на , получим:

(12)

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения .

Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Таблица 3

Функция	Аргумент

Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:

1.  при переходе от функций углов  ,  к функциям угла  название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;

при переходе от функций углов ,  к функциям угла  название функции сохраняют;

1.  считая  острым углом (т.е. ), перед функцией угла  ставят такой знак, какой имеет приводимая функция углов , , .

Исходя из известных значений тригонометрических функций некоторых углов, соответствия между градусной и радианной мерой величины угла и формул приведения, можно составить таблицу значений тригонометрических функций для наиболее часто встречающихся значений аргумента:

Таблица 4

Функция

Аргумент

Не сущ.

Не сущ.

Не сущ.

Не сущ.

Упражнения с решениями

Пример 1. Доказать тождество

Решение. .

Пример 2. Доказать тождество

Решение. ,

.

Тождество доказано, так как его левая и правая части равны.

Пример 3. Упростить .

Решение. Будем полагать, что данное выражение имеет смысл при всех допустимых значениях .

Упростим числитель:

.

Упростим знаменатель:

.

Таким образом,

.

Пример 4. Дано: ; вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Решение. Используем тождество . Перед радикалом оставим знак «плюс», потому что синус во второй четверти положителен. Таким образом,

;

;

;

;

.

Пример 5. Дано: . Найти .

Решение. Дополним выражение  до квадрата двучлена:

.

Возведем обе части равенства  в квадрат. Получим , откуда . Тогда .

Следовательно, .

Пример 6. Упростить выражение

Решение.

Здесь мы использовали соотношение .

Здесь мы использовали соотношение .

Здесь мы использовали соотношение  и свойство степени с четным показателем.

Теперь данное выражение можно записать в виде

Задания к практическому занятию

Задание 1. Доказать тождество:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Задание 2. Упростите:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  , если .

Задание 3. Вычислите:

1.  ;
2.  ;
3.  , если ;

Задание 4. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение:

1.  ;
2.  .

Задание 5. Дано: . Найдите:

1.  ;
2.  ;
3.  .

Задание 6. Замените тригонометрической функцией угла :

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  ;
9.  ;
10.  ;

Контрольные вопросы

1.  Что называют тождеством?
2.  Какие способы доказательств тождеств существуют?
3.  Назовите все тригонометрические тождества, которые вы знаете.
4.  Что называют формулами приведения?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1

Практическая работа №12

Тема: Тригонометрические формулы

Цель: формирование навыков использования основных тригонометрических формул при преобразовании тригонометрических выражений

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4часа

Теоретические сведения

Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

(1)

(2)

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

(3)

(4)

Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов:

   (5)

   (6)

Формулы котангенса суммы и разности двух аргументов

   (7)

   (8)

Из формул синуса и косинуса суммы получаются формулы синуса и косинуса двойного угла. Если в соотношениях (1) и (3) положить , то получим:

   (9)

  (10)

Выразив правую часть формулы (10) через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям

,  (11)

Из формул (11) можно выразить  и a через :

,    (12)

Полагая в формуле тангенса суммы , получаем формулу тангенса двойного угла:

 (13)

Кроме перечисленных выше формул (9) - (13), полезно знать и формулы

, ,

  (14)

 (15)

 (16)

 (17)

   (18)

   (19)

 (20)

 (21)

 (22)

(23)

  (24)

  (25)

   (26)

   (27)

Полезно также знать формулу для преобразования в произведение выражения  (a и b – любые действительные числа, не равные нулю). Эта формула имеет вид:

 (28)

где , аргумент  определяется из условий , .

;   (29)

   (30)

  (31)

С помощью формул (30) и (31) можно вычислять значения синуса и косинуса половинного аргумента — по заданному значению косинуса аргумента х.

Разделив почленно равенство (30) на равенство (31), получим формулу

 (32)

В формулах (30), (31) и (32) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол .

,    (33)

  (34)

  (35)

, при   (36)

, при   (37)

Упражнения с решениями

Пример 1. Вычислить без таблиц .

Решение. Представим  в виде суммы . Тогда Пример 2. Вычислить без таблиц.

Решение. Пример 3. Представить  в виде суммы тригонометрических функций.

Решение. Заменив выражением , получим:

.

Теперь применим формулу (16):

.

Итак, .

Пример 4. Преобразовать в произведение или частное .

Решение. .

Пример 5. Упростить выражение .

Решение. 1-й способ. .

2-й способ. .

Пример 6. Вычислить , если .

Решение. Выразив  и  через  по формулам (34), (35), получим:

.

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найдите значения выражения:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 2. Упростите выражение:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  .

Задание 3. Вычислите, не пользуясь таблицами:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 4. Представьте в виде произведения:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  
6.  .

Задание 5. Вычислите без помощи таблиц:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  .

Задание 6. Найдите:

1.  , если ;
2.  , если ;
3.  если .

Контрольные вопросы

1.  На основании каких соотношений выводятся формулы тригонометрических функций двойного аргумента?
2.  Какие соотношения используются при выводе формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму?
3.  Какие соотношения используются при выводе формул суммы и разности одноименных тригонометрических функций?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4,1.5, 2.1

Практическая работа №13

Тема: Преобразования простейших тригонометрических выражений

Цель: формирование навыков преобразований тригонометрических выражений и доказательств тригонометрических тождеств используя основные тригонометрические формулы

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Упражнения с решениями

Пример 1. Доказать, что , если .

Решение. Имеем: Пример 2. Доказать тождество .

Решение. Пример 3. Упростить выражение: .

Решение. Имеем: , .

Разложим числитель и знаменатель данного выражения на множители:

.

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найдите значения выражения:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 2. Упростите:

1.  ;
2.  .

Задание 3. Доказать тождество:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 4. Вычислить , если  и .

Задание 5. Вычислить значение выражения , если .

Задание 6. Вычислить значение выражения , если .

Задание 7. Преобразуйте в произведение:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Контрольные вопросы

1.  Докажите тождества а) ; б) .
2.  На каком множестве указанное равенство является тождеством: а) ; б) ?
3.  Выразить  и  только через: а) ; б) .

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1

Практическая работа №14

Тема: Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа

Цель: формирование навыков вычислений арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса чисел

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Функция  на отрезке  имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается .

, где .

.

Функция  на отрезке  имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается .

, где .

.

Функция  на промежутке  имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается .

, где .

.

Функция на промежутке  имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом и обозначается .

, где .

.

Упражнения с решениями

Пример. Проверить справедливы ли равенства:

1) ;

2) ;

3) .

Решение: 1) , так как   и .

1.  , так как  и .
2.  , так как  и .

Задания к практическому занятию

Задание 1. Проверьте, справедливы ли равенства:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  .

Задание 2. Вычислите:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  .

Задание 3. Докажите справедливость неравенств:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 4. Вычислите:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  .

Контрольные вопросы

1.  Что называется арксинусом?
2.  Что называется арккосинусом?
3.  Что называется арктангенсом?
4.  Что называется арккотангенсом?
5.  Как вычислить арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс от отрицательного значения?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.4

Практическая работа №15

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: формирование навыков решения тригонометрических уравнений

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Простейшими тригонометрическими уравнениям называют уравнения , где  - данное число.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента (дуг или углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение .

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.  (1)

Частные случаи:

;   (2)

;  (3)

.  (4)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.  (5)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.  (6)

Частные случаи:

;   (7)

;  (8)

.  (9)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.  (10)

Формула для корней уравнения , имеет вид:

.   (11)

Частные случаи:

;   (12)

;  (13)

.  (14)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.  (15)

Упражнения с решениями

Пример 1. Решить уравнения: 1) ; 2) ; 3)

Решение. 1) , отсюда следует, что множество корней данного уравнения имеет вид .

1.  Так как  и , то
2.  . Тогда множество корней уравнения имеет вид .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Заменяя  на , получаем  или .

Обозначая , получаем , откуда , .

1.   - уравнение не имеет корней, так как ;
2.  , .

Таким образом, .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Используя формулы ,  и записывая правую часть уравнения в виде , получаем , .

Поделив это уравнение на , получим равносильное уравнение . Обозначая , получим уравнение , откуда , .

1.  ;
2.  .

Задания к практическому занятию

Задание 1. Решите уравнение:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  ;
9.  ;
10.  ;
11.  ;
12.  .

Задание 2. Решите уравнения:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  
4.  ;
5.  ;
6.  =0.

Задание 3. Найдите значение выражения:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Контрольные вопросы

1.  Какие уравнения называются тригонометрическими?
2.  Что называется корнем тригонометрического уравнения?
3.  По каким формулам находят решения простейших тригонометрических уравнений?
4.  Какие неравенства называются тригонометрическими?
5.  Какими способами можно решить простейшее тригонометрическое неравенство?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4

Практическая работа №16

Тема: Функции, их свойства и графики

Цель:- формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций;

- формирование навыков построения графиков функций.

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Переменная y называется функцией переменной x, если каждому допустимому значению x соответствует определенное значение y.

Символически функциональная зависимость между переменной y (функцией) и переменной x (аргументом) записывается с помощью равенства y=f(x), где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над x, чтобы получить y.

Областью определения функции D(y) называется множество всех действительных значений аргумента x (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Множеством значений функции E(y) называется множество всех действительных значений функции y, которые она может принимать.

Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим способом.

Функцию y=f(x) иногда можно представить таблицей, в первой строке которой перечисляются значения независимой переменной x, а во второй – соответствующие значения f(x) зависимой переменной.

Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x;f(x)).

Известны графики многих функций. Например, график функции y=kx+b есть прямая линия (рис.1), график функции y=x2 – парабола (рис.2), график функции  (обратная пропорциональная зависимость) – гипербола (рис.3)

В графике содержится вся информация о функции.

Функция f (х) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента  соответствует большее значение функции , т. е. для любых  и  из промежутка X, таких, что , выполнено неравенство .

Функция f (х) называется убывающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента  соответствует меньшее значение функции f (х), т. е. для любых  и  из промежутка X, таких, что , выполнено неравенство .

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Функция y = f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1.  область определения этой функции симметрична относительно точки О (т. е. если точка а принадлежит области определения, то точка - а также принадлежит области определения);
2.  для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Функция y = f(x) называется нечетной, если:

1.  область определения этой функции симметрична относительно точки О;
2.  для любого значения , принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом х из области определения функции числа  и  также принадлежат этой области и выполняется равенство . В этом случае число Т называется периодом функции f.

Если  - период функции, то , где , также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Упражнения с решениями

Пример 1. Дана функция . Найти

Решение. Чтобы вычислить значение , необходимо в данную функцию вместо аргумента x подставить его значение . Имеем .

Аналогично получим ,  и .

Пример 2. Найти область определения функции:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

Решение. 1) Здесь на x не накладывается никаких ограничений, поэтому функция  определяется на множестве .

2) Если x=0, то y не имеет числового значения (на ноль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) y принимает действительные значения, поэтому областью определения служит вся числовая ось, кроме x=0.

3) Функция определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Решив уравнение , найдем его корень . Таким образом, область определения  есть вся числовая ось, кроме точки .

4) Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Решив уравнение , найдем его корни  и . Следовательно, область определения  – вся числовая ось, кроме точек  и .

5) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому функция  определена для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , т.е. .

8) Функция определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству .

Таким образом, . Следовательно, областью определения функции является совокупность промежутков: .

Задания к практическому занятию

Задание 1. Дана функция . Найдите

Задание 2. Дана функция . Найдите

Задание 3. Дана функция . Покажите, что  

Задание 4. Дана функция . Покажите, что  

Задание 5. Найдите область определения функций:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  .

Задание 6. Дана функция . Постройте графики функций:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Задание 7. Дана функция . Постройте графики функций:

1.  

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .

Контрольные вопросы

1.  Что называется функцией?
2.  Какие способы задания функции существуют?
3.  Перечислите основные свойства функций?
4.  Что называется графиком функции?
5.  Какие функции называются четными, а какие нечетными?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основная:

1.  Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа: учебник / Ш. А. Алимов. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010 – 464 с.
   1.  Атанасян, Л. С. Геометрия 10-11 класс. Учебник / Л.С. Атанасян – М.: 2009 – 295 с.
   2.  Богомолов, Н.В. Математика: учебник для СПО / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 395с.
   3.  Дадаян А.А. Математика: учебник для СПО / А. А. Дадаян. – 2-е изд. – М.: Форум, 2008. – 554 с.
   4.  Дадаян, А. А. Сборник задач по математике: учеб. пособие для СПО / А. А. Дадаян. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2008. – 352 с. – (Профессиональное образование).

2. Дополнительная:

1.  Никольский, С.М. Алгебра и начала анализа: учебник / С.М. Никольский – М.: 2006 – 345с.
   1.  Шарыгин, И.Ф. Геометрия 10-11 класс. Учебник / И.Ф. Шарыгин – М.: 2005 – 205 с.

PAGE   \* MERGEFORMAT 33

1. Предмет и метод административного права
2. Історія культури України і філософія культури Який би обсяг знань про культуру не отримували всі науки що
3. архитектурой для ангелов и авиаторов
4. Методы изучения возбудимых клето
5. Компьютерное пиратство
6. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Харкі.html
7. Четыре апостола картина немецкого художника Альбрехта Дюрера
8. Проблемы применения статьи 81 Налогового кодекса Р
9. Методы правового регулирования в области доказывания
10. ранняя пуританская Новая Англия XVI в
11. індустрії і ще багатобагато де
12. экономическим кризисом который оказывает своё негативное воздействие на все страны планеты включая Таджик
13. СБОРКА ПЕЧАТНЫХ УЗЛОВ ЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ НА ОСНОВЕ ПОВЕРХНОСТНОГО МОНТАЖА
14. Шрифт Этапы развития и изменения формы1
15. подать себя. Конкурентоспособность выпускников вуза и пути ее повышения Принципы и рекомендации по
16. 1648 гг Тридцатилетняя война была первой общеевропейской войной между двумя крупными группировками- Габсбу
17. Дружинина Светлана Сергеевна
18. Что такое человек основным вопросом философской антропологии Шелер пришел к выводу что всякое предметно
19. Американ Сэйл в банк Открытие
20. за~нама ж~не ынтыма~ты ~алыптастыру мектебi ~айрат АЙТБАЕВ ~азГЗУдi~ О~т~стiк ~аза~стан за~тану ~

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе