Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет імені Івана Франка
Сало Тетяна Михайлівна
УДК 517.576
АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ
ЦІЛИХ РЯДІВ ДІРІХЛЕ: ОЦІНКИ ВИНЯТКОВИХ
МНОЖИН У ТЕОРЕМАХ ТИПУ ВІМАНА-ВАЛІРОНА
01.01.01 - математичний аналіз
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів – 2002
<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/REC-html40/loose.dtd">Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей вського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України
Науковий керівник -
доктор фізико-математичних наук, професор Скасків Олег Богданович,
професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей
Львівського національного університету імені Івана Франка
Офіційні опоненти -
доктор фізико-математичних наук, доцент Мохонько Анатолій Захарович,
професор кафедри вищої математики
Національного університету "Львівська політехніка"
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Шаповаловський Олександр Володимирович,
доцент кафедри математичного аналізу
Дрогобицького державного педагогічного
університету імені Івана Франка.
Провідна установа: Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна,
кафедра математичного аналізу
Захист відбудеться 12.09. 2002 р. о 15.20 год. на засіданні
спеціалізованої вченої ради К 35.051.07
у Львівському національному університеті імені Івана Франка
за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377
З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського
національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів,
вул. Драгоманова, 5.
Автореферат розісланий 09.08. 2002 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради __________ Бокало М.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Проблема опису асимптотичних властивостей ці-лих функцій покликана до життя як внутрішніми потребами розвитку те-орії цілих функцій, так і потребами її застосувань. І тому протягом всього ХХ століття проводились інтенсивні дослідження різноманітних асимпто-тичних властивостей цілих функцій.
Одне з основних місць тут займають дослідження асимптотичних вла-стивостей цілих функцій у залежності від властивостей тейлорових кое-фіцієнтів їх степеневих розвинень. Започатковані у роботах Е.Лагерра, Ж.Адамара, Е.Бореля, Е.Фабрі, вони істотно були доповнені новими ідеями та методами у роботах А.Вімана, Ж.Валірона, Д.Пойа та багатьох інших математиків. Зокрема А.Віман і Ж.Валірон та їх послідовники досліджували асимптотичні властивості цілих і аналітичних функцій у залежності від поводження максимального члена і центрального індексу їх степеневого ряду.
Характерною особливістю основної частини цих результатів є те, що отримувані співвідношення виконуються зовні деяких виняткових множин. Величина виняткових множин, як правило, описується в термінах скінче-нності їх, так званої, логарифмічної міри. Порівняно недавно Р.Лондон довів, що у випадку асимптотичної рівності логарифмів максимума модуля цілої функції і максимального члена її степеневого розвинення виняткова множина має скінченну міру (власне, міститься у системі попарно непере-тинних інтервалів із скінченною сумою довжин). У цьому зв'язку виникає природне запитання про можливість отримання точних оцінок величини виняткових множин у співвідношеннях, отримуваних в теорії Вімана – Ва-лірона. В.Бергвайлер (Kodai. Math. J. 1990. V. 31, N 1) довів, що у випадку асимптотичної рівності максимумів модуля цілої функції і її дійсної час-тини скінченність логарифмічної міри виняткової множини є найкращою
у певному сенсі оцінкою виняткової множини. П.В.Філевич (Укр. м. ж. 2001. Т.53, N 2) знайшов непокращувану в певному сенсі оцінку виняткової множини у випадку, згадуваної вище, асимптотичної рівності логарифмів максимума модуля цілої функції і максимального члена її степеневого ряду. П.В.Філевич і О.Б.Скасків (Мат. студії. 1999. Т.12, N 1) знайшли в певно-
му сенсі близьку до точної оцінку величини виняткової множини у випадку класичної нерівності А.Вімана. Не викликає сумніву в актуальності задачі отримання точних оцінок виняткових множин у випадку інших асимптоти-чних співвідношень, що розглядаються у теорії Вімана – Валірона.
У дисертації, зокрема, розглядається задача отримання точних оцінок виняткових множин у асимптотичних рівностях максимума і мінімума модуля та максимального члена і максимума модуля цілої функції, заданої лакунарним степеневим рядом, а також задача знаходження точного опи-сання виняткової множини у підкласі цілих функцій з заданою фіксованою лакунарною послідовністю показників степеневого ряду. Природно розгля-нути описані щойно задачі у відповідних класах цілих рядів Діріхле (аб-солютно збіжних у всій площині). Відомо, що основні співвідношення, які отримуються в класі всіх цілих рядів Діріхле із заданою послідовністю по-казників, виконуються зовні виняткових множин скінченної міри. У випадку класу всіх цілих рядів Діріхле і асимптотичної рівності логарифмів максимума модуля суми і максимального члена цілого ряду Діріхле (співвідношення Бореля) таке описання виняткової множини є у певному сенсі близьким до остаточного (Мат. студії. 2001. Т.15, N 2).
Актуальність знаходження нових оцінок величини виняткових множин, а також доведення їхньої точності, у випадку теорем типу Вімана-Валірона для цілих рядів Діріхле, як в загальному класі цілих рядів Діріхле, так і в різних його підкласах, що визначаються обмеженням на максимально допустиму чи мінімально допустиму швидкість зростання суми ряду, не викликає сумніву.
Зв'язок роботи з науковими програмами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.
Ця дисертаційна робота є складовою частиною досліджень за держбюд-жетними темами, які виконувались на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей у Львівському національному університеті, а саме: Мт – 380 Б "Аналітичні функції та ряди Діріхле" (номер держреєстрації – 0198 U 004855), Мг – 379 Б "Властивості операторів, аналітичних і субгармоній-них функцій, тополого – алгебраїчних структур та їх застосування" (номер держреєстрації – 0198 U 004847), Мг – 79 Б "Асимптотичні властивості голоморфних функцій, алгебро – топологічні структури та їх застосування" (номер держреєстрації – 0101 U 001437).
Мета і задачі дослідження.}
Мета дисертації – отримати нові оцінки величини виняткових множин у деяких асимптотичних співвідношеннях з теорії Вімана-Валірона для цілих функцій, що визначаються абсолютно збіжними рядами Діріхле та лакунар-ними степеневими рядами, а також доведення точності отриманих оцінок виняткових множин у асимптотичних рівностях максимума модуля і макси-мального члена та максимума модуля і мінімума модуля суми таких рядів.
Об'єктом дослідження є властивості класів цілих рядів Діріхле з фіксо-ваною системою показників і фіксованим обмеженням знизу або зверху на допустиму швидкість зростання таких рядів.
Предметом дослідження є властивості деяких характеристик цілих рядів Діріхле та оцінки виняткових множин у деяких асимптотичних співвідно-шеннях між цими характеристиками (в асимптотичних рівностях : лога-рифмів максимума модуля і максимального члена, максимума і мінімума модуля, центрального показника і логарифмічної похідної від максимума модуля, логарифмів максимума модуля і максимума в горизонтальній пів-смузі).
Методи досліджень. Для розв'язування сформульованих вище задач застосовуються загальні методи математичного аналізу, модифікація ме-тоду Вімана – Валірона, розроблена Т.Кеварі, У.Хейманом, М.М.Шере-метою, а також окремі положення і деякі прийоми з праць М.М.Шеремети, О.Б.Скасківа, П.В.Фентона.
Наукова новизна отриманих результатів. Усі одержані у дисертації наукові результати є новими. У роботі вперше:
– доведено, що у загальному класі цілих рядів Діріхле з фіксованою по-слідовністю показників в асимптотичних рівностях максимума модуля і максимального члена та максимума і мінімума модуля ряду скінченність міри виняткової множини є точною оцінкою;
– у підкласах цілих рядів Діріхле швидкого зростання отримано нео-бхідні і достатні умови на показники ряду, що забезпечують справедливість асимптотичних рівностей максимума, мінімума модуля суми і максималь-ного члена ряду зовні виняткових множин скінченної міри, величини яких описуються в термінах h – щільностей множини на нескінченності;
– у підкласах цілих рядів Діріхле швидкого зростання в теоремах типу Вімана – Валірона отримано нові оцінки виняткових множин, що допов-нюють результати М.М.Шеремети, О.Б.Скасківа, а у випадку степеневих рядів – Т.Кеварі, У.Хеймана, П.Фентона і інших;
– у підкласах цілих рядів Діріхле, що визначаються обмеженням на зро-стання суми ряду зверху, отримано оцінки виняткових множин в теоремах типу Вімана – Валірона, які доповнюють відомі раніше результати для та-ких підкласів М.М.Шеремети, П.Фентона та інших.
Практичне значення отриманих результатів. Результати дисер-таційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосу-вання у наступних дослідженнях з теорії абсолютно збіжних рядів Діріхле та лакунарних степеневих рядів, а також у їхніх застосуваннях.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 23 – 27 червня 1998 р.) , на Міжнародній науковій конференції "Nonlinear part. diff. equations" присвяченій Шаудеру (Львів, 25 – 27 серпня 1999 р.), на науковій конференції "Математика і ме-ханіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)" присвяченій 255-річчю заснування кафедри математики в університеті (Львів, 24 – 27 листопада 1999р.), на Міжнародній конференції "Цілі та мероморфні функ-ції" присвяченій 70-річчю проф. А.А.Гольдберга (Львів, 23 – 25 травня 2000 р.),на Міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 1 – 5 жовтня 2001 р.), на міжвузів-ському семінарі з теорії аналітичних функцій (кер. проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скасків, м. Львів), на регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. М.М.Шеремета, м. Львів), на семінарі з теорії ана-літичних функцій (кер. проф. Б.Винницький, м. Дрогобич), на міському семінарі з теорії аналітичних функцій (кер. проф. А.Гришин, м. Харків).
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 9 роботах (2 без співавтора), з яких 5 (1 без співавтора) – журнальні статті у виданнях, включених у перелік ВАК України.
У спільних з науковим керівником публікаціях, науковому керівнику на-лежать формулюваня задач і аналіз одержаних результатів. З опублікованої спільно з О.Б.Скасківим і О.М.Тракало статті, автору дисертації належать лише твердження з другого пункту статті, які і включено у дисертацію.
Cтруктура і об'єм роботи. Дисертація складається із списку умов- них позначень, вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг – 141 сторінка, список використаних джерел займає 8 сторінок і включає 78 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд ре-зультатів, що мають безпосереднє відношення до теми, подається загальна характеристика дисертації.
У першому розділі наведені результати П.Фентона, В.Бергвайлера, О.Б.Скасківа, П.В.Філевича про описання виняткових множин у теоремах типу Вімана-Валірона.
Нехай H(Л) – клас цілих (абсолютно збіжних у всій комплексній площині) рядів Діріхле вигляду
де ? = ( ), 0 = < ( 1 ). Для F H ( Л ) і позначимо – максимум модуля,
– максимальний член, – центральний індекс.
У третьому розділі дисертації розглядаються співвідношення між макси- мумом модуля і максимальним членом та максимумом і мінімумом модуля цілих рядів Діріхле. Отримано нові оцінки величини виняткової множини в асимптотичних співвідношеннях
, , (9)
Доведено, що у загальному класі цілих рядів Діріхле з фіксованою по- слідовністю показників в асимптотичних рівностях (9) скінченність міри виняткової множини є точною оцінкою.
Теорема 3.1. Для кожної функції , і послідовності такої, що виконується умова
, (10)
існують функція , стала і множина такі, що і для всіх виконується
. (11)
Теорема 3.2. Нехай і . Якщо і
, (12)
то співвідношення
(13)
виконується при зовні множини нульової верхньої h –щільності рівномірно за .
Теорема 3.3. Нехай і . Якщо і викону-ється умова (12), то співвідношення (13) справджується при зовні множини нульової нижньої h – щільності рівномірно за .
Згадані вище твердження легко переформульовуються для співвідношень
між максимумом і мінімумом модуля і максимумом модуля і максимальним членом для цілих функцій заданих лакунарними степеневими рядами.
Всі отримані у третьому розділі результати в інтерпретації для лаку-нарних степеневих рядів істотно доповнюють результати П.Ердеша, А.Макінтайра, П.Фентона.
ВИСНОВКИ
У даній дисертаційній роботі розглянуто деякі асимптотичні співвідно-шення з теорії Вімана-Валірона для цілих функцій, що визначаються абсо-лютно збіжними рядами Діріхле та лакунарними степеневими рядами. Зо-крема, для цілих рядів Діріхле отримано нові оцінки величини виняткових множин у нерівності між загальним і максимальним членами ряду, у спів-відношенні Бореля, в асимптотичних рівностях: центрального показника і логарифмічної похідної максимума модуля, логарифмів максимума модуля і максимума модуля у півсмузі.
Отримано необхідні і достатні умови на показники ряду, що в певних підкласах цілих рядів Діріхле забезпечують справедливість асимптотичних рівностей між максимумом, мінімумом модуля і максимальним членом ряду
зовні виняткових множин скінченної міри, величини яких описуються в термінах h – міри та h – щільності множини у нескінченності.
Отримано наслідки для подібних співвідношень у випадку лакунарних степеневих рядів, які доповнюють відомі результати Т.Кеварі, У.Хеймана, П.Фентона і інших.
Одним з основних результатів даної дисертаційної роботи є також до-ведення того факту, що у загальному класі всіх цілих рядів Діріхле з фі-ксованою послідовністю показників в асимптотичних рівностях максимума модуля і максимального члена та максимума і мінімума модуля ряду точ-ною оцінкою виняткової множини є скінченність її міри, а у подібних співвідношеннях для цілих степеневих рядів з фіксованою послідовністю показників такою оцінкою є скінченність її логарифмічної міри.
CПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Сало Т.М.,Скасків О.Б. Оцінки виняткової множини в теоремах типу
Бореля // Вісник Львів. ун-ту. – 1999. – Вип. 54. – C. 171-174.
2. Сало Т.М.,Скасків О.Б. Про виняткові множини у теоремах типу
Вімана-Валірона // Вісник Львів. ун-ту. – 2000. – Вип. 56. – C. 176-178.
3. Скасків О.Б., Сало Т.М. Цілі ряди Діріхле швидкого зростання і нові
оцінки міри виняткових множин в теоремах типу Вімана-Валірона //
Укр. мат. журн. – 2001. – T. 53, N 6. – C. 830-839.
4. Cало Т.М. Про виняткову множину в асимптотичній рівності суми і
максимального члена цілого ряду Діріхле швидкого зростання// Матем.
студії. – 2001. – Т. 15, N 1. – C. 57-64.
5. Salo T.M., Skaskiv O.B., Trakalo O.M. On the best possible description of
exceptional set in Wiman--Valiron theory for entire functions // Матем. cту-
дії. – 2001. – T. 16, N 2. – C. 131-140.
6. Скасків О.Б., Сало Т.М. Оцінки виняткових множин у співвідношенні
Бореля для цілих рядів Діріхле // Препринт. НАН України, ІППММ
ім. Я.С.Підстригача. – 2001. – 24 с.
7. Сало Т.М. Нові оцінки міри виняткових множин в теорії Вімана-Валіро-
на // Сучасні проблеми математики: Матеріали міжнар. конф., ч. III.
Київ: ІМ НАН України, 1998. – C. 286-288.
АНОТАЦІЯ
Сало Т. М. Асимптотичні властивості цілих рядів Діріхле: оцінки виняткових множин у теоремах типу Вімана-Валірона.– Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.
У дисертаційній роботі отримано нові оцінки виняткових множин у тео-ремах типу Вімана-Валірона для цілих функцій, що визначаються абсолютно збіжними рядами Діріхле та лакунарними степеневими рядами. Доведено непокращуваність оцінок виняткових множин у асимптотичних рівностях максимума, мінімума модуля та максимального члена ряду.
Ключові слова: цілi функції, ряди Діріхле, максимум модуля, макси-мальний член, центральний індекс, h – міра, h – щільність.
АBSTRACT
Salo T. M. Asymptotic properties of entire Dirichlet series: estimates of exceptional sets in theorems of Wiman-Valiron type. – Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate degree in Physics and Mathematics on the speciality 01.01.01 – Mathematical Analysis. – Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2002.
In the thesis we obtain new estimates of exceptional sets in theorems of Wiman-Valiron type for entire functions represented by absolutely convergent Dirichlet series and lacunary power series. We also proved sharpness of estimate of the size of an exceptional set in asymptotic relations between maximum modulus, minimum modulus and maximal term of these series.
Key words: entire functions, Dirichlet series, maximum modulus, maximal term, central index, h – measure, h – density.
АННОТАЦИЯ
Сало Т. М. Асимптотические свойства целых рядов Дирихле: оценки исключительных множеств в теоремах типа Вимана-Валирона. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матема-тических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2002.
Исследуются величины исключительных множеств в теоремах типа Вимана-Валирона для целых функций, представимых абсолютно сходящ-имися рядами Дирихле и лакунарными степенными рядами. Устанавли-вается точность оценок исключительных множеств в асимптотических ра-венствах максимума, минимума модуля и максимального члена ряда.
Диссертация состоит из списка условных обозначений, введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованых исто-чников. Объем диссертации 141 страница. Список используемых источни-ков включает 78 наименований.
Во введении дано обоснование актуальности темы, указываются цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и аппроба-ция полученных результатов, количество публикаций.
В первом разделе дан обзор результатов, имеющих непосредственное от-ношение к теме диссертационной работы и основные результаты диссерта-ции.
Во втором разделе в подкласах целых рядов Дирихле получено новые оценки исключительных множеств в некоторых соотношениях из теории Вимана-Валирона (в неравенстве между общим и максимальным членами ряда, соотношении Бореля, асимптотических равенствах: логарифмической производной максимума модуля и центральным показателем ряда, логарифмом максимума модуля и логарифмом максимума модуля в полуполосе).
В третьем разделе доказана точность оценок исключительных множеств в асимптотических равенствах максимума, минимума модуля и максималь-ного члена ряда. Найдены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы асимптотические равенства максимума и минимума модуля целой функции, а также максимума модуля и максимального члена ряда выпо-лнялись вне некоторых множеств нулевой h – плотности.
Ключевые слова: целые функции, ряды Дирихле, максимум модуля,
максимальний член, центральный индекс, h – мера, h – плотность.
Підписано до друку 18.07.2002 р. Фрмат 60ґ90.16.
Папір офсетний. Ум. друк. арк. 0.9. Тираж 100. Зам. N 344.
Видавничий центр ЛНУ ім.І.Франка. 79000 Львів, вул. Дорошенка, 41.