Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа № 17
«Изучение нормальных мод натянутой струны»
Цель работы: освоение экспериментальной методики определения собственных частот струн.
Введение.
Всякой упругой системе присуща собственная частота колебаний, т.е. частота с которой протекают колебания за счет первоначально запасенной энергии без внешних воздействий на систему и без потерь энергии внутри системы. Если линейная упругая система ограничена с двух сторон «зеркалами», то в ней возникают собственные колебания с множеством собственных (резонансных) частот кратных основной частоте.
Нормальными модами называют собственные колебания линейных колебательных систем. Каждая нормальная мода характеризуется определенным значением частоты и распределением амплитуд и фаз по элементам системы
Линейной упругой системой, ограниченной с обоих концов точками закрепления, может служить натянутая струна. При возбуждении поперечных колебаний в струне возникают стоячие волны. Они являются результатом наложения бегущей волны т.е. падающей на точку закрепления и волны отраженной от точки закрепления.
Уравнения падающей и отраженной волны имеет вид (при равенстве начальных фаз)
(1)
(2)
складывая эти выражения и применяя формулу для суммы косинусов получим уравнение стоячей волны:
(3)
где
- смещение колеблющейся точки
- амплитуда колебаний
- волновое число
- длина волны
- частота
- координата
из уравнения (3) следует, что в каждой точке стоячей волны совершаются гармонические колебания той же частотой , что и у встречных волн, причем амплитуда стоячей волны зависит от координаты
(4)
Пучностями волны называют точки, в которых амплитуда максимальна (), т.е. координата пучности удовлетворяет условию:
(5)
Узлами стоячей волны называют точки, в которых амплитуда обращается в нуль (). Тогда координаты узлов определяются:
(6)
из выражений (5)-(6) следует, что расстояние между соседними пучностями, также как и расстояния между соседними узлами равно .
Когда струну приводят в колебательное движение, в ней возникают волны с различными частотами. Они движутся по струне в обоих направлениях, отражаются на концах и меняют направление движения. Большинство возбужденных волн накладываясь интерферирует друг с другом случайным образом и быстро затухают. Длительное время сохраняются лишь те стоячие волны, которые соответствуют резонансным, т.е. собственным частотам струны. Кроме того устойчивость стоячей волны связана с условиями на границе, т.е в точках закрепления. На границах должны выполняться условия для узлов или пучностей, т.е. условие
если левая граница находиться в начале координат (x=0), а правая – в точке x=l, то
(7)
отсюда следует, что собственные частоты, на которых стоячие волны устойчивы, соответствуют волнам с длинами
(8)
где
- длина струны
- длина стоячих волн, соответствующие собственным частотам
(9)
где
- фазовая скорость упругой волны.
Собственные частоты струны кратны основной частоте:
нормальными модами в данном случае являются гармонические колебания с частотами, определенными выражением (9).
Низшей частоте (n=1) соответствует основная мода или первая гармоника. В этом случае на длине струны наблюдается единственная пучность. Длинна струны при этом равна половине длинны волны. Следующая нормальная мода соответствует двум пучностям и называется второй гармоникой. В этом случай . Для третьей гармоники имеем и т.д. в соответствии с выражением (7).
Сложные по форме колебания, наблюдаемые в технике, можно представить в виде суммы (суперпозиции) простых гармонических колебаний. При этом сложное колебание раскладывается на более простые колебания (гармоники) с частотами кратными основной частоте, а процедуру разложения называют гармоническим анализом или Фурье-анализом. Этот анализ широко используется в технике и физике при исследовании сложных колебательных систем.
Наблюдать нормальные моды струны можно путем изменения внешней частоты до последовательного ее совпадения с собственными частотами. При этом в каждом случае колебания будут резонансными и стоячие волны устойчивыми. Если же внешняя частота неизменна(50Гц), то резонансные колебания могут быть получены путем изменения упругих характеристик системы, например, изменением силы натяжения струны. В этом случае будут изменятся собственные частоты струны и будут принимать значения кратные основной частоте. При последовательном достижении такого равенства стоячие волны будут устойчивыми.
Распространение незатухающего волнового процесса в упругой среде описывается волновым уравнением, которое для одномерного случая имеет вид:
(11)
где
- скорость распространения упругой волны.
В частности уравнение стоячей волны (3) является решением волнового уравнения (11) при соответствующих граничных условиях.
Можно показать, что скорость распространения упругого импульса в натянутой струне определяется выражением
, (12)
где
- сила натяжения струны
- линейная плотность материала струны, т.е. масса одного метра проволоки.
Подставляя выражения для скорости (12) в формулу (9) получим выражение для определения нормальных мод
(13)
задания.
Контрольные вопросы.