Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущей главе была поставлена и изучена задача Коши для уравнений с частными производными. Рассмотрим еще один класс задач для гиперболических и параболических уравнений, называемых смешанными. С учетом физического смысла смешанные задачи называются также начально-краевыми. Это связано с тем, что при рассмотрении физических задач одна из независимых переменных исходного уравнения интерпретируется как временная переменная , а остальные переменные - как пространственные переменные.
При формулировке смешанных задач на искомую функцию по временной переменной накладываются начальные условия, а на некоторых поверхностях или линиях по пространственным переменным - краевые (граничные) условия различного рода. В дальнейшем будут поставлены и изучены начально-краевые задачи для уравнения колебаний струны и для уравнения теплопроводности.
[Лекция 9]
3.1. Постановка смешанных задач
для уравнения колебаний струны
На плоскости с координатами выделим область , представляющую собой полубесконечную полосу (см. рис.3.1).
В области рассмотрим уравнение колебаний струны
, (3.1)
где - искомая функция в области ; - заданная функция.
Для гиперболического уравнения (3.1) в области (рис. 3.1) поставим ряд смешанных задач, наложив на функцию начальные условия на нижнем основании и граничные условия на боковых сторонах , полуполосы .
Первая смешанная задача.
в области , (3.2)
, , , (3.3)
, , . (3.4)
При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.2) в области , начальным условиям (3.3) и граничным условиям первого рода (3.4). ■
Задача (3.2)-(3.4) описывает процесс колебаний однородной струны длины , натянутой вдоль отрезка . Граничные условия (3.4) означают, что струна в концевых точках закреплена соответственно на высоте . Так как эти величины зависят от времени , то это означает, что высота закрепления изменяется заданным образом с течением времени. Первое начальное условие (3.3) задает график струны в начальный момент времени , а величина из второго начального условия (3.3) задает начальную скорость струны в точке с координатой . На рис. 3.2 изображен вид струны в момент времени .
Заметим, что при постановке задачи (3.2)-(3.4) на заданные функции должны быть наложены некоторые ограничения. В частности, в угловых точках области должны быть выполнены условия согласования:
. (3.5)
Эти условия являются необходимыми условиями непрерывной дифференцируемости решения в замкнутой области . Так как решение , то, помимо условий (3.5), должны быть выполнены условия второго порядка:
. (3.6)
Действительно, продифференцируем условия (3.4) дважды по , а первое условие (3.3) дважды по , тогда
.
Подставив значения производных в соответствующих точках в уравнение (3.2), получим требуемые условия (3.6).
Укажем, что на начальные и граничные функции и на правую часть уравнения необходимо накладывать некоторые дополнительные условия, обеспечивающие существование классического решения задачи, в частном случае смотрите [9, с. 81].
Вторая смешанная краевая задача.
в области , (3.7)
, , (3.8)
, . (3.9)
При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.7) в области , начальным условиям (3.8) и граничным условиям второго рода (3.9). ■
Граничные условия (3.9) означают, что на струну в концевых точках действуют заданные силы, направленные ортогонально оси .
Необходимые условия согласования в угловых точках области , обеспечивающие принадлежность решения к пространству , имеют вид
, , , .
Третья смешанная задача.
в области , (3.10)
, , (3.11)
, . (3.12)
При заданных функциях , , , требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.10) в области , начальным условиям (3.11) и граничным условиям третьего рода (3.12). ■
Граничные условия (3.12) означают, что на струну в концевых точках действуют заданные упругие силы, направленные ортогонально оси
Необходимые условия согласования в угловых точках области , обеспечивающие принадлежность решения к пространству , определяются соотношениями
, ,
, .
В случае, когда функции , , , граничные условия (3.4), (3.9), (3.12) называются однородными граничными условиями.
Смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний струны.
в , (3.13)
, , (3.14)
, . (3.15)
Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.13) в области , начальным условиям (3.14) и граничным условиям (3.15). ■
Заметим, что уравнение (3.13) описывает процесс колебаний неоднородной струны, а граничные условия (3.15) содержат граничные условия первого, второго и третьего рода в зависимости от параметров , . Граничные условия (3.4), (3.9), (3.12), (3.15) являются классическими граничными условиями. В прикладных задачах могут возникать граничные условия и других видов. В частности, граничные соотношения могут связывать значения искомой функции на разных концах струны.
3.2. Постановка смешанных задач
для уравнения теплопроводности в стержне
На плоскости с координатами выделим область , (см. рис. 3.1). В области рассмотрим уравнение теплопроводности
, (3.16)
где - искомая функция в области .
Уравнение (3.16) называется также одномерным уравнением теплопроводности.
Для параболического уравнения (3.16) поставим смешанные задачи первого, второго и третьего рода, наложив на функцию одно начальное условие на нижнем основании и граничные условия на боковых сторонах полуполосы .
Первая смешанная задача.
в области , (3.17)
, , , (3.18)
, , . (3.19)
При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.17) в области , начальному условию (3.18) и граничным условиям первого рода (3.19). Функции , если . ■
Условия согласования: .
Задача (3.17)-(3.19) описывает процесс распространения тепла в тонком стержне длины , расположенном вдоль отрезка (см. рис. 3.3) Функция задает температуру стержня в сечении в момент времени . Граничные условия (3.19) означают, что в торцах стержня поддерживаются заданные температуры , .
Функция в начальном условии (3.18) задает температуру стержня в каждом сечении в начальный момент времени .
Вторая смешанная задача.
в области , (3.20)
, , (3.21)
, , . (3.22)
При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.20) в области , начальному условию (3.21) и граничным условиям второго рода (3.22). ■
Условия согласования: .
Граничные условия (3.22) означают, что в торцах стержня заданы тепловые потоки.
Третья смешанная задача.
в области , (3.23)
, , (3.24)
, . (3.25)
При заданных функциях , требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.23) в области , начальному условию (3.24) и граничным условиям третьего рода (3.25). ■
Условия согласования: , .
Граничные условия (3.25) моделируют теплообмен стержня через торцы с окружающей средой.
Заметим, что для существования классических решений сформулированных задач необходимо на начальные и граничные функции и на правую часть уравнения теплопроводности накладывать некоторые дополнительные условия, в частном случае смотрите [9, стр. 137].
3.3. Постановка смешанных задач
для уравнения теплопроводности в пластине
На плоскости расположена тонкая ограниченная пластина с границей . Функция задает температуру пластины в точке в момент времени (см. рис. 3.4)
В трехмерном пространстве с координатами выделим область , представляющую собой полубесконечный цилиндр (см. рис. 3.5).
В области рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности
, (3.26)
где искомая функция в области .
Для параболического уравнения (3.26) сформулируем ряд смешанных задач, наложив на функцию начальное условие на нижнем основании и граничное условие на боковой поверхности полуцилиндра
Первая смешанная задача.
в области , (3.27)
, , (3.28)
, . (3.29)
При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.27) в области , начальному условию (3.28) и граничному условию первого рода (3.29). ■
Условие согласования: .
Граничное условие (3.29) означает, что на ребре пластины задана температура . Функция в начальном условии (3.28) задает температуру пластины в каждой точке с координатами в момент времени
Вторая смешанная задача.
в области ,
, ,
, ,
где - единичная внешняя нормаль к контуру ; - производная по нормали. ■
Условие согласования: .
Третья смешанная задача.
в области ,
, ,
, . ■
Условие согласования:
.
В дальнейшем будут поставлены смешанные задачи и для других параболических уравнений, в частности для уравнений денежных накоплений, которые имеют социально-экономическую интерпретацию.
85