Когда мы желаем представить периодическую функцию fx с периодом в виде наложения чистых гармонических
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Преобразование Фурье.
Когда мы желаем представить периодическую функцию f(x) с периодом в виде наложения чистых гармонических колебаний, мы обращаемся к ряду Фурье:
Если речь идет о функции с периодом , то соответствующий ряд Фурье приобретает вид
, где .
Из двух последних равенств следует
.
Формальный переход к пределу при приводит к формуле
,
где символом обозначен непрерывный аргумент, получающийся из дискретного аргумента .
Итак, для функции f(x), определенной на всей числовой оси , искомая формула представления в виде наложения гармонических колебаний должна иметь вид
(1)
где . (2)
Функция , определяемая равенством (2) называется преобразованием Фурье функции f(x). Формула (1) называется формулой обращения преобразования Фурье или обратным преобразованием Фурье.
Покажем, что из (2) следует (1) при определенных предположениях относительно функции f(x).
Первое предположение состоит, естественно, в том, что функция f(x) интегрируема на всей оси . Это обеспечивает существование интеграла (2) при любом значении .
Утверждение. Если , то – ограниченная, непрерывная при всех функция и при она стремится к нулю.
Доказательство. . Из этой оценки вытекает, что последовательность функций , сходящаяся по норме пространства переводится преобразованием Фурье в последовательность функций , равномерно сходящуюся на всей оси .
Второе и третье утверждения проверим сначала для характеристической функции интервала (c,d): – непрерывная функция и стремится к нулю при . Далее, любая ступенчатая функция является линейной комбинацией характеристических функций интервалов, любая суммируемая функция есть предел по норме последовательности ступенчатых. По доказанному ее преобразование Фурье есть равномерный предел на оси , непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности.
Утверждение доказано.
Теперь обратимся к доказательству формулы (1). Рассмотрим сначала интеграл в конечных пределах
Внутренний интеграл сходится равномерно по параметру : и его оценка не зависит от . Внешний интеграл от ограниченной функции в конечных пределах сходится. В силу следствия теоремы Фубини для неотрицательных функций существует двойной интеграл Лебега, который равен обоим повторным. Поэтому можно поменять порядок интегрирования:
Теорема. Если функция f в точке x удовлетворяет условию Дини при некотором , то при .
Доказательство. Из курса математического анализа должно быть известно равенство . Поэтому справедливо равенство
.
Интеграл разобьем на две части . Второе слагаемое можно записать в виде
.
Отсюда видно, что при данном x и заданном большом значении T это слагаемое делается как угодно малым независимо от значения N.
Первое слагаемое имеет вид
и, так как функция в заданном промежутке суммируемая по t (условие Дини), то это слагаемое стремится к нулю с возрастанием N по лемме, доказанной в процессе доказательства аналогичной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье.
Теорема доказана.
Итак, если функция и удовлетворяет в точке x условию Дини, то её значение восстанавливается по преобразованию Фурье .
Подчеркнём, что интеграл (1) (обратное преобразование Фурье) не является, вообще говоря, абсолютно сходящимся и не может быть определен как .
Примеры вычисления преобразования Фурье.
Найдем преобразование Фурье для функции , где m– натуральное число, а – невещественная постоянная. Пусть, например, .
Интеграл абсолютно сходится при , но при он существует как условно сходящийся в смысле . При любом этот интеграл удобно вычислять методом контурного интегрирования. При этом используется
Лемма Жордана. Пусть функция голоморфна в полуплоскости всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и на полуокружности стремится к нулю при (или по последовательности такой, что не содержит особых точек ). Тогда для любого интеграл
стремится к нулю при (или по соответствующей последовательности ).
Доказательство леммы Жордана. Обозначим через – правую половину . В силу выпуклости синусоиды при имеем и, значит, на справедлива
оценка . Поэтому
при .
Оценка для проводится аналогично: .
Лемма Жордана доказана.
Для рассмотрим контур так, чтобы выполнялась лемма Жордана для функции при . Внутри контура при достаточно большом значении N находится точка – полюс подынтегральной функции. По теореме о вычетах
.
Указанный вычет легко сосчитать, если разложить функцию в ряд Тейлора по степеням :
.
Вычет есть коэффициент при ; следовательно, для
.
Устремляя , получаем для
Для надо рассмотреть полуокружность в нижней полуплоскости. Здесь по теореме Коши об интеграле по замкнутому контуру от голоморфной функции, получим .
Итак, при имеем
Для случая аналогично можно найти
В обоих случаях функция экспоненциально убывает при .
Любая дробно-рациональная функция, не имеющая особенностей на вещественной оси и стремящаяся к нулю на бесконечности, разлагается на простейшие дроби вида , где . Поэтому полученные формулы позволяют написать преобразование Фурье от любой дробно-рациональной функции, при этом сохранится экспоненциальное убывание при .
Рассмотрим второй пример. Найдем преобразование Фурье от функции
, .
– интеграл от аналитической функции по вещественной оси, z=x+iy. Так как
, то в любой горизонтальной полосе подынтегральная функция при стремится к нулю равномерно по y. Поэтому, используя теорему Коши, можно при интегрировании перейти на любую параллельную прямую в z –плоскости, не изменяя результата:
=
Положим , тогда и по известной формуле
. (Известная формула – интеграл вероятности ).
В частности, для , , получаем – функцию того же вида, отличающуюся от исходной функции только множителем .
Свойства преобразования Фурье.
Далее оператор Фурье: . Это линейный оператор, обратный к которому имеет вид .
Преобразование Фурье и операция дифференцирования.
Предположим, что абсолютно интегрируемая функция f(x) абсолютно непрерывна в окрестности каждой точки и её производная также абсолютно интегрируема на оси -∞<x<∞. Выясним, как связаны преобразования Фурье функции f(x) с её производной.
Заметим, что из интегрируемости следует существование предела функции при . Этот предел может быть только нулём, так как иначе f(x) не была бы интегрируемой. Интегрированием по частям получаем .
По доказанному, внеинтегральный член равен нулю. Получаем равенство
.
Если у функции f(x) интегрируемы производные до порядка m, то, повторяя процесс, получаем,
k=0,1,..,m.
Так как, как преобразование Фурье интегрируемой функции есть ограниченная функция от (и даже стремящаяся к 0, при ), то
.
Итак, чем больше функция f(x) имеет интегрируемых производных, тем быстрее её преобразования Фурье стремятся к нулю на бесконечности.
Замечание. В частности, при некоторой гладкости функции f(x) её преобразование Фурье становится также абсолютно интегрируемой функцией. Из полученного неравенства видно, что для этого достаточно существования в и . Можно ограничиться существованием и , но при дополнительном условии, что они принадлежат не только , но и . В этом случае из следует , откуда
.
Для любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами порядка ≤m получаем
.
Линейное дифференциальное уравнение на оси относительно функции f(x) переходит в алгебраическое уравнение на оси относительно .Это открывает новые возможности для решения дифференциальных уравнений. Поскольку дифференциальные уравнения, к которым можно применить этот метод должны быть линейными с постоянными коэффициентами, то для обыкновенных дифференциальных уравнений этот метод мало что даёт (учитывая, тем более, что мы должны оставаться в границах класса интегрируемых на всей оси функций). Но для уравнений с частными производными метод преобразования Фурье уже оказывается полезным.
Преобразования Фурье и свертка.
Пусть и преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций f1(x) и f2(x). Выясним, преобразованием Фурье какой функции является произведение :
.
Двойной интеграл абсолютно сходится (существует повторный от модулей, поэтому существует двойной от модулей по следствию теоремы Фубини). Чтобы от двух экспонент перейти к одной, сделаем замену :
.
Перестановка интегралов законна в силу теоремы Фубини.
Определение. Сверткой функций f1(x) и f2(x) называется функция того же аргумента x . Свертка обозначается (f1* f2)(х).
При свертка f(x)= (f1* f2)(х) существует при почти всех х и принадлежит в силу теоремы Фубини.
Итак, свертка двух функций из преобразованием Фурье переводится в произведение их образов.
Свертка коммутативна и ассоциативна, поскольку преобразованием Фурье она переводится в коммутативную и ассоциативную операцию умножения.
Упражнение. Пусть еа(х) – характеристическая функция интервала 0<x<a. Найти свёртку , a<h<b.
Решение.
При под интегралом ноль: ; при и при обе функции и равны нулю.
Если , то (здесь x-b<a, так как x<a+h<a+b).
Если a+h<x≤a+b, то (здесь также ).
Если a+b<x≤a+b+h, то (здесь a+h<x).
1 1 x x a a+h a+b a+b+h a a+b
Очевидно, что в и почти всюду.
Задача. Доказать, что для любой в .
Указание. Для f(х)= еb(х) показали. Очевидно, что равенство верно для линейных комбинаций функций вида еb(х). При переходе к пределу воспользоваться ограниченностью нормы второго сомножителя.
Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности.
Рассмотрим применение преобразования Фурье для решения дифференциальной задачи в частных производных на примере задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности
, -∞ < x < ∞, ,
.
Чтобы применить к этой задаче классическое преобразование Фурье, мы должны предположить, что эта задача имеет решение, которое удовлетворяет следующим условиям:
а) при любом фиксированном , , ;
б) функция имеет в каждом интервале интегрируемую мажоранту
Последнее условие гарантирует корректность дифференцирования по параметру t под знаком интеграла функции . Применим к уравнению теплопроводности преобразование Фурье:
, , ,
.
Решение полученного обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии хорошо знакомо: . Мы знаем, что , . Отсюда при имеем .
По формуле свертки
,
и так как , то окончательно
.
Полученная формула решения называется интегралом Пуассона.
Связь между убыванием функции при и гладкостью её преобразования Фурье.
Знаем, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции есть ограниченная непрерывная функция , стремящаяся к нулю при . Предположим теперь, что не только , но и . Тогда можно утверждать, что функция дифференцируема. Действительно, формальное дифференцирование по параметру интеграла Фурье приводит к интегралу , который является абсолютно сходящимся и равномерно сходящимся по параметру . В силу теоремы о дифференцировании интеграла Лебега по параметру функция дифференцируема и производная равна , то есть
.
Производная – преобразование Фурье интегрируемой функции, поэтому снова непрерывна, ограничена и стремится к нулю при .
Если вместе с функцией абсолютно интегрируемыми на оси являются также функции , ,…,, то процесс дифференцирования можно продолжить. Мы получим, что функция имеет производные до порядка m, непрерывные, ограниченные и стремящиеся к нулю при . При этом имеет место формула ,
Для произвольного многочлена степени .
Видим, что чем более сильные условия убывания на бесконечности наложены на функцию , тем более гладкой получается функция .
В связи с изложенным можно указать важный класс функций, который при преобразовании Фурье переходит в самого себя, только с заменой аргумента на . Рассмотрим совокупность бесконечно дифференцируемых функций , которые для всех удовлетворяют неравенствам ,где постоянная, зависящая от выбора функции . Через обозначим класс таких же функций аргумента .
Заметим прежде всего, что при любых целых неотрицательных k и q произведение , так как .
Пусть . По доказанному , причём . Функция и все её последовательные производные интегрируемы, поскольку линейно выражаются через интегрируемые функции . Поэтому функции ограничены при всех и как преобразования Фурье интегрируемых функций (в последнем равенстве использованы два свойства преобразования Фурье: и ).
Итак, если принадлежит , то . Обратно, пусть . Построим функцию . Функция есть, очевидно, преобразование Фурье функции и поэтому входит в . Но тогда, очевидно, и . По формуле обращения (функции из удовлетворяют условию Дини в каждой точке).
Итак, каждая функция есть преобразование Фурье функции (причём ).
Таким образом, при преобразовании Фурье класс отображается на весь класс . Символически этот факт можно записать равенством .
Аналитичность преобразования Фурье.
Гладкость функции зависит от скорости стремления к нулю при . Пусть интегрируемым является произведение – фиксированная постоянная.
По определению для . Определим этим же равенством функцию комплексного аргумента :
Этот интеграл сходится в полосе , так как и для всех действительных .
Утверждение. – аналитическая функция комплексного переменного в полосе . При эта функция стремится к нулю равномерно по .
Доказательство. В каждой внутренней точке полосы эта функция комплексного аргумента дифференцируема: при формальном дифференцировании по имеем
этот интеграл равномерно сходится в некоторой окрестности точки (не выходящей за пределы полосы) и представляет, следовательно, производную функции . Функция ограничена во всей указанной полосе:
Отсюда следует, в частности, что последовательности функций , сходящейся по отвечает последовательность , равномерно сходящаяся во всей полосе .
Далее, можно утверждать, что функция стремится при к нулю равномерно по , . Действительно, это имеет место для преобразования Фурье характеристической функции интервала :
,
поскольку числитель полученного выражения ограничен при (). К общему случаю можно перейти обычным предельным переходом от ступенчатых функций.
Утверждение доказано.
Отметим, что в силу последнего свойства в формуле обращения можно произвести интегрирование не только по вещественной оси, но по любой параллельной прямой, лежащей в указанной полосе -плоскости, так что
В приложениях иногда приходится применять преобразования Фурье к функциям, имеющим разное асимптотическое поведение при и .
Теорема. Пусть – локально абсолютно интегрируемая функция вещественного аргумента такая, что при и при , причём . Тогда интеграл
определяет аналитическую функцию от в полосе . При любом имеет место формула обращения
,
если только она имеет место хотя бы для одного .
Замечание. В приведенной ниже теореме доказано, что формула обращения имеет место для любого .
Доказательство. Сходимость интегралов от и от в полосе следует из локальной интегрируемости и оценок при и :
при , так как ,
при так как .
Стремление к нулю при сохраняется при умножении экспонент на .
Убедимся в справедливости формулы обращения, для чего подставим в неё
Возможность обращения преобразования Фурье на функции при любом вытекает из предположения о его обратимости при , так как в силу теоремы Коши и равномерного по стремления к нулю функции.
Теорема доказана.
Переход к комплексным значениям аргумента образа преобразования Фурье позволяет применять его к функциям вещественного аргумента, которые на всей вещественной оси могут быть неинтегрируемыми.
Пример.
Получилась функция, аналитическая в полосе (мероморфная во всей плоскости, с полюсами на границах полосы). Отметим, что первый интеграл сходится только при , а второй – при .
Обращением предыдущей теоремы является следующая
Теорема [6]. Пусть функция , , голоморфна в полосе и пусть равномерно, когда в полосе , где – произвольное положительное число. Тогда для функции
,
где , а – вещественно, имеет место соотношение
.
Кроме того, при и при , где –произвольное, сколь угодно малое положительное число.
Функцию , определенную в утверждении теоремы можно считать решением интегрального уравнения
.
Доказательство. Проверим непосредственно последнее равенство:
.
Пусть в этом равенстве. Выберем и так, что и перейдем во внутреннем интеграле на параллельную прямую для , а для – на прямую :
.
Сдвиги сделаны для того, чтобы можно было поменять порядок интегрирования. До сдвигов мы имели , а после сдвигов в первом интеграле и , а во втором и . Эти неравенства гарантируют экспоненциальное убывание модуля подынтегральной функции при (с учетом при ). Отметим здесь, что абсолютная сходимость полученных повторных интегралов влечет в силу теоремы Фубини сходимость при почти всех и независимость от интеграла, определяющего функцию f(x).
После перемены порядка интегрирования и вычисления внутренних интегралов будем иметь
, где – замкнутый контур, получающийся в пределе из прямоугольника при , причем этот прямоугольник обходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Так как по условию равномерно в полосе , то интегралы по вертикальным сторонам прямоугольника в пределе обращаются в нуль.
По теореме Коши о вычетах (интегральная формула Коши) имеем .
Далее, если при и при , то из формулы следует, что голоморфна в полосе . Однако, по условию голоморфна при . Следовательно, можно положить , , где – произвольно малое положительное число.
Теорема доказана.
Преобразование Фурье в классе .
В случае области бесконечной меры пространства не вкладываются одно в другое. В частности, (пример: ). Поэтому преобразование Фурье не применимо в обычном смысле к тем функциям из , которые не принадлежат . Тем не менее в пространстве можно ввести преобразование Фурье, но понимать его надо в более широком смысле, чем в .
Теорема (Планшерель, 1910 г.). Для всякой функции интеграл
(1)
представляет собой функцию, принадлежащую (по) пространству . При последовательность в метрике имеет некоторый предел , причем
(2)
Если f(x), кроме того, принадлежит , то есть обычное преобразование Фурье функции f(x). Поэтому и в общем случае (когда ) называется преобразованием Фурье от f(x).
Замечание 1. В теории обобщенных функций доказывается, что преобразование Фурье отображает на взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Замечание 2. Справедливо более общее, чем (2), соотношение. Именно, если и – любые функции из , а – их преобразования Фурье, то
Для доказательства достаточно рассмотреть равенство (2) для .
Соотношения между гладкостью функции и убыванием ее преобразования Фурье сохраняются и в .
Утверждение. Пусть является локально абсолютно непрерывной, и . Тогда . Верно и обратное утверждение: если и , то есть локально абсолютно непрерывная функция, и
Доказательство в [2], стр.393-394.
Если и финитна (равна нулю вне отрезка [-b;b]), то она принадлежит пространству и ее преобразование Фурье – функция может быть аналитически продолжена в плоскость . Действительно, выражение определено при всех комплексных . Оно удовлетворяет оценке и является аналитической функцией от .
Определение. Целая аналитическая функция , удовлетворяющая неравенству , называется функцией экспоненциального типа .
Мы видим, что преобразование Фурье квадратично суммируемой функции, обращающейся в ноль при , есть целая функция экспоненциального типа. Справедлива и обратная теорема.
Теорема (Винер - Палей) [2]. Если целая функция экспоненциального типа интегрируема в квадрате по вещественной оси, то она является преобразованием Фурье функции , равной нулю вне отрезка [-b;b].
2. 12 мая 2012 г. 15 час
3. Банки в России- исторический экскурс
4. темам курса вопросы тесты
5. Мотивация трудовой деятельности персонала
6. Значение касательного напряжения в этой же точке сечения равно МПа
7. Анализ ассортимента и качества игрушек на базе компании Смоленские игрушки
8. Принципиальное устройство, безопасная эксплуатация сооружений водопользования
9. Тема- Основи медичної деонтології.
10. тематическое программирование
11. Работа с графической средой ОС UNIX и Windows по курсу Операционные системы
12. экзаменационной сессии
13. методические рекомендации по организации исследовательской работы с учащимися
14. Touse computer tht would unlesh cretivity
15. Советская экономика
16. Предназначение и функции программы
17. Статья- Рациональное и образное в учебном познании
18. геологическими процессами по результатам ГЕОКРИОЛОГИЧЕСКОГО прогноза на примере бам В настоящее врем
19. тема знаний и представлений о важнейших процессах возникновения и развития древнейших цивилизаций Древнего
20. Закономерности и принципы обучения детей дошкольного возраста