Исторически вычисление площади называлось квадратурой
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Пло́щадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры[1], неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.
Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.
Площадь — функция, которая обладает следующими свойствами[2][1]:
Положительность, то есть площадь неотрицательна;
Аддитивность, то есть площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек;
Инвариантность, то есть площади конгруэнтных фигур равны;
Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1.
Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры[2].
Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану[1]. Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими[3]. Существуют неквадрируемые плоские фигуры[1]. Предложенное выше аксиоматическое определение площади в случае плоских фигур обычно дополняют конструктивным, при котором с помощью палетки осушествляется собственно вычисление площади. При этом для более точных вычислений на последующих шагах используют палетки, у которых длина стороны квадрата в десять раз меньше длины у предыдущей палетки[4].
Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу, которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность[1].
Под площадью в обобщённом смысле понимают численную характеристику k-мерной поверхности в n-мерном пространстве (евклидовом или римановом), в частности, характеристику двумерной поверхности в трёхмерном пространстве[1].
Вычислением площадей кривых поверхностей занимался Архимед, определив, в частности, площадь поверхности шара[11]. В общем случае для определения площади поверхности нельзя пользоваться ни развёрткой (не подходит для сферы), ни приближением многогранными поверхностями, то есть аналогом метода исчерпывания. Последнее показал Шварц, построив для боковой последовательности цилиндра последовательности, которые приводят к раным результатам (так называемый сапог Шварца)[1][17].
Общий приём вычисления площади поверхности на рубеже XIX—XX веков предложил Минковский, который для каждой поверхности строил «окутывающий слой» малой постоянной толщины, тогда площадь поверхности будет приближённо равна объёму этого слоя, делённому на его толщину. Предельный переход при толщине, стремящейся к нулю даёт точное значение площади. Однако, для площади по Минковскому не всегда выполняется свойство аддитивности. Обобщение данного определения приводит к понятию линии по Минковскому и другим[18].
2. ную гарантию качества и подлинности продукции
3. Культовые природные территории и объекты Западного Прибайкалья
4. Экскурсоведение Возникновение экскурсионного дела в XVIIIXIX вв
5. Юридическая защита прав человека
6. Человек как высшая ступень развития живых существ
7. Динамическое программирование и вариационное исчисление
8. В класса Долженко Дмитрий Игоревич Г
9. 20 метра от проема в стене через который транспортером с улицы подается макулатура
10. Тема- Инвестиционная деятельность коммерческих банков на рынке ценных бумаг
11. ВОПРОСЫ К ТЕСТУ ПО ТЕМЕ «ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ»
12. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Харків 2001 Дис
13. і Д~лдік класс- ~лшеу ~~ралдарыны~ жалпы метрологиялы~ сипаттамасы ол ~ателікті~ р~~сат етілген м~ніні~ ше
14. тема состоящая из взаимосвязанных и соподчиненных органов и систем взаимоотношения которых предопределены
15. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению самостоятельной работы на практическом клиническом занятии 2 с
16. Теоретические аспекты налоговых льгот их значимость для налоговой системы РФ 4 1
17. 36 Суб~єкти ринку землі 60 Що вивчає економіка
18. статья В. В. Стасова Славянский концерт г
19. Получение информации по предложению или запросу без подписания контракта
20. тематический план и содержание лекций Номер и наименование тем лекций