Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЗМІСТ
|
ВСТУП................................................................................... |
4 |
|
Вихідні дані для виконання розрахункових робіт ….. |
4 |
|
Розрахункова робота № 1 Аналітичне групування статистичних даних……….... |
5 |
|
Розрахункова робота № 2 Аналіз рядів розподілу ..... |
15 |
|
Розрахункова робота № 3 Дисперсійний аналіз... ….. |
29 |
|
Розрахункова робота № 4 Кореляційно-регресійний аналіз…….………………………………………………… |
34 |
|
Розрахункова робота № 5 Вимірювання сезонних коливань...………………………………………………… |
43 |
|
Перелік рекомендованих джерел ……............................ |
62 |
ВСТУП
Розрахункові домашні роботи є самостійними роботами студентів, які виконуються з метою закріплення теоретичного матеріалу та використовуються, як поточні форми контролю з курсу «Статистика».
ВИХІДНІ ДАНІ
ДЛЯ ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВИХ РОБІТ
Для виконання розрахункових робіт вихідні дані беруть з Методичних вказівок до виконання розрахункових робіт з курсу «Статистика», Івано-Франківськ, 2010 варіант вказує викладач, який веде практичні заняття з курсу «Статистика».
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА № 1
АНАЛІТИЧНЕ ГРУПУВАННЯ СТАТИСТИЧНИХ ДАНИХ
Завдання: Скласти комбінаційний розподіл одиниць статистичної сукупності за факторною та результативною ознаками. Результат групування викласти у формі таблиці комбінаційного розподілу. Вказати місце відображення у таблиці умовних та безумовних розподілів. Провести аналітичне групування статистичних даних. Зробити висновок про наявність та напрямок зв’язку між ознаками.
|
№ покупця |
Ціна од. продукції, грн. |
Попит, тис.т |
|
1 |
100,3 |
58 |
|
2 |
102,7 |
36 |
|
3 |
103,5 |
25 |
|
4 |
100,0 |
60 |
|
5 |
102,5 |
35 |
|
6 |
103,8 |
22 |
|
7 |
101,0 |
50 |
|
8 |
104,0 |
20 |
|
9 |
101,5 |
45 |
|
10 |
103,0 |
30 |
|
11 |
102,2 |
38 |
|
12 |
101,8 |
44 |
|
13 |
102,0 |
40 |
|
14 |
104,5 |
15 |
|
15 |
102,1 |
39 |
|
16 |
105,0 |
10 |
Таблиця 1.1 – Попит на продукцію індивідуальних споживачів протягом місяця
Припускаємо, що між величиною ціни одиниці продукції і попитом на продукцію існує взаємозв’язок. Ціна одиниці продукції – незалежна змінна (факторна ознака), а попит – залежна змінна (результативна ознака).
Кількість груп визначаємо за формулою Стерджеса:
n = 1 + 3,321 lg N = 1 + 3,321 lg 16 ≈ 5, отже n = 5
Визначаємо величину інтервалу групування для незалежної та залежної змінних:
Незалежна змінна
iX = , де Х min = 100; Xmax = 105; n = 5.
iX = = 1
За незалежною змінною будуть утворені такі групи:
100 – 101
101 – 102
102 – 103
103 – 104
104 – 105
Залежна змінна
iY = , де Ymin = 10; Ymax = 60; n = 5.
iY = = 10
За залежною змінною будуть утворені наступні групи:
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
Групуємо вихідні дані за ціною одиниці продукції, визначаємо кількості покупців, які увійшли до кожної із груп, середню ціну та середній обсяг попиту. Результати заносимо в робочі таблиці 1.2 – 1.6.
Таблиця 1.2 – Група покупців за ціною 100 – 101
|
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
|
4 |
100,0 |
60 |
|
1 |
100,3 |
58 |
|
7 |
101,0 |
50 |
|
Разом |
301,3 |
168 |
n1 = 3; 1 = = 100,43; 1 = = 56,0
Таблиця 1.3 – Група покупців за ціною 101 – 102
|
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
|
9 |
101,5 |
45 |
|
12 |
101,8 |
44 |
|
13 |
102,0 |
40 |
|
Разом |
305,3 |
129 |
n2 = 3; 2 = = 101,77; 2 = = 43,0
Таблиця 1.4 – Група покупців за ціною 102 – 103
|
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
|
15 |
102,1 |
39 |
|
11 |
102,2 |
38 |
|
5 |
102,5 |
35 |
|
2 |
102,7 |
36 |
|
10 |
103,0 |
30 |
|
Разом |
512,5 |
178 |
n3 = 5; 3 = = 102,5; 3 = = 35,6
Таблиця 1.5 – Група покупців за ціною 103 – 104
|
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
|
3 |
103,5 |
25 |
|
6 |
103,8 |
22 |
|
8 |
104,0 |
20 |
|
Разом |
311,3 |
67 |
n4 = 3; 4 = = 103,77; 4 = = 22,33
Таблиця 1.6 – Група покупців за ціною 104 – 105
|
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
|
14 |
104,5 |
15 |
|
16 |
105,0 |
10 |
|
Разом |
209,5 |
25 |
n5 = 2; 5 = = 104,75; 5 = = 12,5
Групуємо вихідні дані за обсягом попиту, визначаємо кількість покупців, які увійшли до кожної із груп, середній обсяг попиту та середні ціни. Результати заносимо в робочі таблиці 1.7 – 1.11.
Таблиця 1.7 – Група покупців за обсягом попиту 10 – 20
|
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
|
16 |
10 |
105,0 |
|
14 |
15 |
104,5 |
|
8 |
20 |
104,0 |
|
Разом |
45 |
313,5 |
n1 = 3; 1 = = 15; 1 = = 104,5
Таблиця 1.8 – Група покупців за обсягом попиту 20 – 30
|
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
|
6 |
22 |
103,8 |
|
3 |
25 |
103,5 |
|
10 |
30 |
103,0 |
|
Разом |
77 |
310,3 |
n2 = 3; 2 = = 25,7; 2 = = 103,4
Таблиця 1.9 – Група покупців за обсягом попиту 30 – 40
|
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
|
5 |
35 |
102,5 |
|
2 |
36 |
102,7 |
|
11 |
38 |
102,2 |
|
15 |
39 |
102,1 |
|
13 |
40 |
102,0 |
|
Разом |
188 |
511,5 |
n3 = 5; 3 = = 37,6; 3 = = 102,3
Таблиця 1.10 – Група покупців за обсягом попиту 40– 50
|
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
|
12 |
44 |
101,8 |
|
9 |
45 |
101,5 |
|
7 |
50 |
101,0 |
|
Разом |
139 |
304,3 |
n4 = 3; 4 = = 46,3; 4 = = 101,4
Таблиця 1.11 – Група покупців за обсягом попиту 50– 60
|
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
|
1 |
58 |
100,3 |
|
4 |
60 |
100,0 |
|
Разом |
118 |
200,3 |
n5 = 2; 5 = = 59; 5 = = 100,2
Будуємо допоміжну таблицю 1.12, в яку заносимо номери одиниць статистичної сукупності, які мають відповідну комбінацію ціни одиниці продукції та попиту на неї. Першого покупця, який готовий за ціною 100,3 грн. придбати продукцію в обсязі 58 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 100 – 101 і стовпчика 50 – 60. Другого покупця, який за ціною 102,7 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 36 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 і стовпчика 30 – 40. Третього покупця, який за ціною 103,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 25 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 103 – 104 і стовпчика 20 – 30. Четвертого покупця, який за ціною 100,0грн. готовий придбати продукцію в обсязі 60 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 100 – 101 і стовпчика 50 – 60. П’ятого покупця, який за ціною 102,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 35 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 і стовпчика 30 – 40. Шостого покупця, який за ціною 103,8 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 22 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 103 – 104 і стовпчика 20 – 30. Сьомого покупця, який за ціною 101,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 50, тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 100 – 101 і стовпчика 40 – 50. Восьмого покупця, який за ціною 104,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 20 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 103 – 104 і стовпчика 10 – 20. Дев’ятого покупця, який за ціною 101,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 45 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 101 – 102 і стовпчика 40 – 50. Десятого покупця, який за ціною 103,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 30 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 та стовпчика 20 – 30. Одинадцятого покупця, який за ціною 102,2 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 38 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 і стовпчика 30 – 40. Дванадцятого покупця, який за ціною 101,8 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 44 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 101 – 102 стовпчика 40 – 50. Тринадцятого покупця, який за ціною 102,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 40 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 101 – 102 стовпчика 30 – 40. Чотирнадцятого покупця, який за ціною 104,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 15 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 104 – 105 стовпчика 10 – 20. П’ятнадцятого покупця, який за ціною 102,1 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 39 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 стовпчика 30 – 40. Шістнадцятого покупця, який за ціною 105,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 10 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 104 – 105 та стовпчика 10 – 20.
Таблиця 1.12 – Розподіл покупців за ціною та обсягом попиту
|
Групи покупців за ціною |
Групи покупців за попитом |
||||
|
10 - 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
|
|
100 – 101 |
— |
— |
— |
7 |
1,4 |
|
101 – 102 |
— |
— |
13 |
9,12 |
— |
|
102 – 103 |
— |
10 |
2,5,11,15 |
— |
— |
|
103 – 104 |
8 |
3,6 |
— |
— |
— |
|
104 – 105 |
14,16 |
— |
— |
— |
— |
Підрахуємо частоти в кожній клітинці та підсумуємо частоти по горизонталі та вертикалі. Результати заносимо в таблицю 1.13.
Таблиця 1.13 – Розподіл покупців за ціною та обсягом попиту
|
Групи покупців за ціною |
Групи покупців за попитом |
Разом |
і |
||||
|
10 - 20 |
20 - 30 |
30 - 40 |
40 - 50 |
50 - 60 |
|||
|
100 – 101 |
— |
— |
— |
1 |
2 |
3 |
56,00 |
|
101 – 102 |
— |
— |
1 |
2 |
— |
3 |
43,00 |
|
102 – 103 |
— |
1 |
4 |
— |
— |
5 |
35,60 |
|
103 – 104 |
1 |
2 |
— |
— |
— |
3 |
22,33 |
|
104 - 105 |
2 |
— |
— |
— |
— |
2 |
12,50 |
|
Разом |
3 |
3 |
5 |
3 |
2 |
16 |
35,44 |
|
і |
104,50 |
103,40 |
102,30 |
101,40 |
100,20 |
102,49 |
Х |
Проведемо аналітичне групування статистичних даних. Кількість груп, величина інтервалу та характеристики окремих груп покупців за ціною вже визначені в ході побудови таблиць комбінаційного розподілу. А тому необхідні дані візьмемо з робочих таблиць 1.2 – 1.5 і результати групування представимо в підсумковій таблиці 1.14.
Таблиця 1.14 – Залежність обсягу попиту від ціни
|
Групи покупців за ціною одиниці продукції |
Кіль-кість покуп-ців |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту, тис. т |
||
|
Сума, грн. |
Середня ціна одиниці продукції, грн. |
Сума, тис. т |
Середній обсяг попиту, тис. т |
||
|
100 – 101 |
3 |
301,3 |
100,43 |
168 |
56,00 |
|
101 – 102 |
3 |
305,3 |
101,77 |
129 |
43,00 |
|
102 – 103 |
5 |
512,5 |
102,5 |
178 |
35,60 |
|
103 – 104 |
3 |
311,3 |
103,77 |
67 |
22,33 |
|
104 – 105 |
2 |
209,5 |
104,75 |
25 |
12,50 |
|
Разом |
16 |
1639,9 |
102,49 |
567 |
35,44 |
Визначаємо зміну значень факторної і результативної ознак при переході від однієї групи до іншої за формулами:
∆х = і+1 - і; ∆у = і+1 - і
Визначаємо відношення ∆у / ∆х, які показують приріст результативної ознаки при зміні факторної на одиницю. Результати обчислень заносимо в таблицю 1.15.
Таблиця 1.15 – Ефект впливу ціни на обсяг попиту
|
Групи покупців за ціною |
Зміна факторної ознаки, ∆х |
Зміна результативної ознаки, ∆у |
∆у / ∆х |
|
100 – 101 |
- |
- |
- |
|
101 – 102 |
1,34 |
- 13,00 |
- 9,701 |
|
102 – 103 |
0,73 |
- 7,40 |
- 10,137 |
|
103 – 104 |
1,27 |
- 13,27 |
- 10,449 |
|
104 – 105 |
0,98 |
- 9,83 |
- 10,031 |
Будуємо емпіричну лінію регресії.
|
Попит (тис.шт.) |
60 |
||||||
|
50 |
|||||||
|
40 |
|||||||
|
30 |
|||||||
|
20 |
|||||||
|
10 |
|||||||
|
0 |
|||||||
|
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
Ціна од. прод. (грн.) |
Рисунок 1.1 – Емпірична лінія регресії
Висновок
Побудована нами таблиця 1.13 комбінаційного розподілу називається таблицею співзалежності або кореляційною таблицею. Кожний її рядок містить частоти умовного розподілу покупців за обсягом попиту. Підсумковий рядок містить частоти безумовного розподілу. Зв’язок між ціною і попитом стохастичний, оскільки кожному інтервалу значень ціни відповідають декілька значень обсягу попиту. Безладного розташування частот не спостерігається. У розташуванні частот має місце певна системність. Характерним поєднанням частот є їх концентрація навколо діагоналі зверху вниз ліворуч, що свідчить про обернений лінійний зв’язок. У першій групі покупців з низьким рівнем ціни (до 101 грн.) переважають покупці з високим рівнем попиту (понад 40 тис. т), а в п’ятій групі (понад 104 грн.) усі покупці пред’являють попит в обсязі лише до 20 тис. т. частоти розташовані навколо діагоналі купчасто, решта клітинок не заповнені, клітинки заповнені не великими, а малими цифрами, а це означає, що між ціною і попитом існує досить тісний зв’язок. Зі зміною ціни змінюються і групові середні обсяги попиту, отже, виявлений нами стохастичний зв’язок є кореляційним. Для проведення дисперсійного і кореляційно-регресійного аналізів необхідно провести тестування на нормальність емпіричного розподілу покупців за ціною та обсягом попиту, який лежить в основі проведеного групування.
Результати аналітичного групування представлені в таблиці 1.14. зростання середніх цін призводить до систематичного зниження середніх обсягів попиту, що підтверджує наявність оберненого зв’язку між ціною та попитом. Це ілюструє і побудована нами емпірична лінія регресії. Ефекти впливу ціни на попит визначено на основі відношень приростів групових середніх, результати обчислень представлені в таблиці 1.15.
В другій групі порівняно з першою із зростанням ціни на 1 грн. обсяг попиту знижується на 9,701 тис. т, у третій ефект впливу ціни на попит становить 10,137 тис. т. у четвертій – 10,449 тис. т, у п’ятій – 10,031 тис. т. результати аналітичного групування використаємо при проведенні дисперсійного аналізу.
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА № 2
АНАЛІЗ РЯДІВ РОЗПОДІЛУ
Завдання: Визначити показники центру розподілу, показники варіації та показники форми розподілу
Виходячи з гіпотези про нормальний розподіл обчислити теоретичні частоти в емпіричному ряді розподілу одиниць статистичної сукупності та при допомозі критерію узгодження Пірсона і Колмогорова перевірити, чи узгоджується емпіричний розподіл з гіпотетичним нормальним розподілом.
За даними аналітичного групування маємо наступні вихідні дані для вирішення поставленого завдання:
Таблиця 2.1 – Розрахунок показників центру розподілу та варіації
|
Група покупців за ціною |
Кіль-кість покуп-ців f |
Сере-дина інтер-валу х |
xf |
Нагро-мад-жена часто-та, S |
х - |
|х - | |
|х - | f |
2 |
2f |
|
До 101 |
3 |
100,5 |
301,5 |
3 |
-1,88 |
1,88 |
5,63 |
3,5344 |
10,59 |
|
101 –102 |
3 |
101,5 |
304,5 |
6 |
-0,88 |
0,88 |
2,63 |
0,7744 |
2,10 |
|
102 –103 |
5 |
102,5 |
512,5 |
11 |
0,12 |
0,12 |
0,63 |
0,0144 |
0,05 |
|
103 –104 |
3 |
103,5 |
310,5 |
14 |
1,12 |
1,12 |
3,38 |
1,2544 |
3,75 |
|
понад 104 |
2 |
104,5 |
209,0 |
16 |
2,12 |
2,12 |
4,25 |
4,4944 |
8,98 |
|
Разом |
16 |
х |
1638,0 |
х |
х |
х |
16,52 |
х |
25,47 |
Визначаємо показники центру розподілу:
- середню арифметичну зважену == = 102,38
- медіану Me = XMe + h * ,
де XMe – нижня межа медіанного інтервалу;
h – величина інтервалу групування;
S (-1) – нагромаджена частота інтервалу, який передує медіанному;
fMe – частота медіанного інтервалу;
n – число одиниць сукупності.
Медіанний інтервал 102 – 103, оскільки нагромаджена частота цього інтервалу (11) більша півсуми частот (8).
XMe = 102; S (-1) = 6; h = 1; n = 16; fMe =5
Me = 102 + 1 * = 102,4;
- моду Мо = ХМо + h * ,
де ХМо – нижня межа модального інтервалу;
h – величина інтервалу групування;
f Mo – частота, яка відповідає модальному інтервалу;
f (-1) – передмодальна частота;
f (+1) – післямодальна частота.
Модальний інтервал 102 – 103, оскільки йому відповідає найбільша частота (5). ХМо = 102; fMo = 5; f(-1) = 3; f(+1) = 3; h = 1.
Mo = 102 + 1 * = 102,5
Визначаємо моду і медіану графічним способом, для чого будуємо гістограму і кумуляту.
f
6
5 5
4
3 3 3 3
2
2
1
100 - 101 101 - 102 102 - 103 103 - 104 104 -105 Х
Рисунок 2.1 - Гістограма
S
|
16 |
|||||
|
14 |
|||||
|
12 |
|||||
|
10 |
|||||
|
8 |
|||||
|
6 |
|||||
|
4 |
|||||
|
2 |
0 100 101 102 103 104 105 Х
Рисунок 2.2 – Кумулята інтервального варіаційного ряду
Обчислюємо показники ступеня варіації:
- розмах варіації: R = Xmax - Xmin = 105 – 100 = 5,
де Хmax – максимальне значення ознаки;
Хmin – мінімальне значення ознаки;
- середнє лінійне відхилення: = == 1,033;
- дисперсію: σ2 = = = 1,59;
- середнє квадратичне відхилення: = = = 1,262;
- коефіцієнт осциляції: VR = 100 % = 100 % = 4,88 %;
- лінійний коефіцієнт варіації: = 100 % = 100 % = 1,01 %;
- квадратичний коефіцієнт варіації: Vσ = 100 % = 100 % = 1,23 %
Визначаємо показники форми розподілу. Для наближеної оцінки розподілу зіставляємо значення середньої арифметичної, медіани і моди.
= 102,38; Ме = 102,40; Мо = 102,50 – < Mе < Mо
Отже, має місце лівостороння асиметрія. Для наближеного визначення міри і напряму скошеності обчислюємо стандартизоване відхилення за формулою: АS = = = - 0,0158;
АS = = = - 0,0951 < 0
As < 0, що свідчить про лівосторонню низьку асиметрію.
Вирівнювання за кривою нормального розподілу.
Визначаємо теоретичні частоти за формулою:
f‘ = n [ F(xi) - F(xi-1) ] , де
n = Σf – обсяг сукупності;
F(x) = dt – інтегральна функція нормального розподілу Лапласа, яка табульована. Функція F(x) ґрунтується на стандартизованих відхиленнях.
t =, де – верхня межа інтервалу групування. Так, для F(0,489) = 0,6876. при від’ємних значеннях t, функція становить: F (-t) = [ 1 – F(x) ]. Наприклад, F (-1,087) = 1 – 0,8615 = 0,1385.
Таблиця 2.2 – Розрахунок теоретичних частот нормальної кривої
|
Інтервал групування |
Частота, f |
t |
F(x) |
F(xi) - F(xi-1) |
f‘ |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
до 101 |
3 |
101 |
- 1,094 |
0,138 |
0,138 |
2 |
|
101 - 102 |
3 |
102 |
- 0,301 |
0,382 |
0,244 |
4 |
|
102 - 103 |
5 |
103 |
0,491 |
0,688 |
0,306 |
5 |
|
103 - 104 |
3 |
104 |
1,284 |
0,900 |
0,212 |
4 |
|
понад 104 |
2 |
105 |
2,076 |
0,981 |
0,081 |
1 |
|
Разом |
16 |
х |
х |
х |
х |
16 |
Для об’єктивної оцінки істотності відхилень (f - f‘) використовуємо критерій узгодження Пірсона
Таблиця 2.3 – Розрахунок критерію Пірсона
|
Частоти |
Відхилення |
()2 |
||
|
3 |
2 |
1 |
1 |
0,50 |
|
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,25 |
Продовження таблиці 2.3
|
5 |
5 |
0 |
0 |
0,00 |
|
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,25 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1,00 |
|
Разом |
— |
— |
— |
2,00 |
Фактичне значення χ2 порівнюємо з критичним для ймовірності 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 і числа ступенів вільності k = m – r – 1 = 5 – 2 – 1 = 2, де m – число груп; r = 2 – число параметрів функції. Критичне значення χ20,95(2) = 6,00; χ2 = 2,00. Отже. оскільки розрахункове значення χ2 менше критичного, з ймовірністю 95% можна стверджувати, що розподіл покупців за ціною одиниці продукції відповідає нормальному закону.
Обчислюємо критерій Колмогорова λ.
Таблиця 2.4 – Розрахунок критерію Колмогорова
|
Нагромаджені частоти |
- |
| - | |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
3 |
4 |
6 |
6 |
0 |
0 |
|
5 |
5 |
11 |
11 |
0 |
0 |
|
3 |
4 |
14 |
15 |
-1 |
1 |
|
2 |
1 |
16 |
16 |
0 |
0 |
Критерій Колмогорова обчислюэмо за формулою:
λ = ,
де D = max | - |; λ = .
Для розрахованого λ в таблиці знаходимо ймовірність Р(0,3) = 1,00. Отже, при випадковому походженні відхилень , ймовірність того, що λ не перевищить 0,30, близька до 1,00.
Використаємо для оцінки наближення фактичного розподілу до теоретичного критерій узгодження В.І. Рома-новського.
R = ,
де χ2 – критерій Пірсона;
k – ступінь вільності.
R =
Величина виразу R менша трьох і це дає підстави стверджувати, про можливість прийняття теоретичного розподілу за закон даного розподілу, тобто розподіл покупців за ціною одиниці продукції є нормальним.
Для отримання відповіді на питання про міру розбіжності між фактичним і теоретичним розподілом використаємо критерій узгодження Б.С. Ястремського.
L =,
де n – кількість груп;
χ2 – критерій Пірсона;
Q – величина, яка приймає значення 0,6, якщо n < 20.
L =
Оскільки | L | < 3, то з ймовірністю 0,997 можна стверджувати, що розподіл покупців за ціною є нормальним.
Зобразимо емпіричний та теоретичний розподіл графічно.
Рисунок 2.3. Теоретична та емпірична криві розподілу
Якщо для вирівнювання ряду розподілу використовується диференційна функція Лапласа: , то тоді теоретичні частоти визначаються за формулою: , де N = Σf – обсягу сукупності, або сума частот варіаційного ряду;
і – інтервал групування;
– середнє квадратичне відхилення.
Функція також табульована і її значення знаходимо в таблицях, попередньо визначивши нормовані відхилення , де х – середина інтервалу групування.
Таблиця 2.5 – Розрахунок теоретичних частот нормальної кривої
|
Інтервал групування |
Частоти |
х |
t |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
до 101 |
3 |
100,5 |
- 1,49 |
0,1315 |
2 |
|
101 – 102 |
3 |
101,5 |
- 0,70 |
0,3123 |
4 |
|
102 – 103 |
5 |
102,5 |
0,10 |
0,3970 |
5 |
|
103 – 104 |
3 |
103,5 |
0,89 |
0,2685 |
4 |
|
Понад104 |
2 |
104,5 |
1,68 |
0,0973 |
1 |
|
Разом |
16 |
х |
х |
х |
16 |
Наприклад, = 102,38; = 1, 262, тоді t для першої групи t = .
В таблицях знаходимо .
Тоді .
Аналогічно проводимо тестування нормальності емпіричного розподілу покупців за обсягом попиту, для чого з таблиці комбінаційного розподілу 1.13 (розрахункової роботи 1) виписуємо відповідний інтервальний варіаційний ряд.
Таблиця 2.6 – Тестування нормальності емпіричного розподілу покупців за обсягом попиту
|
Групи покупців за обсягом попиту, тис.т |
Кількість покупців, осіб |
|
1 |
2 |
|
до 20 |
3 |
|
20 - 30 |
3 |
|
30 - 40 |
5 |
|
40 - 50 |
3 |
|
Понад 50 |
2 |
|
Разом |
16 |
Для цього ряду також визначаємо середнє значення попиту, середнє квадратичне відхилення, після чого вирівнюємо ряд розподілу за інтегральною або диференційною функцією Лапласа і перевіряємо істотність відхилень емпіричних і теоретичних частот за допомогою критеріїв узгодження.
Таблиця 2.7 – Розрахунок показників центру розподілу та варіації
|
Групи покупців за обсягом попиту, тис.т |
Кількість покупців, осіб, f |
Середина інтервалу, y |
y*f |
y - |
(y - )2 |
(y - )2* f |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
до 20 |
3 |
15 |
45 |
- 18,75 |
351,56 |
1054,68 |
|
20 - 30 |
3 |
25 |
75 |
- 8,75 |
76,56 |
229,68 |
|
30 - 40 |
5 |
35 |
175 |
1,25 |
1,56 |
7,8 |
|
40 - 50 |
3 |
45 |
135 |
11,25 |
126,56 |
379,68 |
|
понад 50 |
2 |
55 |
110 |
21,25 |
451,56 |
903,12 |
|
Разом |
16 |
х |
540 |
х |
1007,8 |
2574,96 |
= тис. т
Таблиця 2.8 – Розрахунок теоретичних частот нормальної кривої
|
Групи покупців за обсягом попиту, тис.т |
Кількість покупців, осіб, f |
Верхня межа інтервалу групування, y’ |
F(y) |
F(y) - F(y-1) |
= Σf [F(y) - F(y-1)] |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
до 20 |
3 |
20 |
- 1,08 |
0,140 |
0,140 |
2 |
|
20 - 30 |
3 |
30 |
- 0,30 |
0,382 |
0,242 |
4 |
|
30 - 40 |
5 |
40 |
0,49 |
0,688 |
0,306 |
5 |
|
40 - 50 |
3 |
50 |
1,28 |
0,900 |
0,212 |
4 |
|
понад 50 |
2 |
60 |
2,07 |
0,981 |
0,81 |
1 |
|
Разом |
16 |
х |
х |
х |
х |
16 |
Таблиця 2.9 – Розрахунок критерію Пірсона
|
Частоти |
Відхилення |
()2 |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
2 |
1 |
1 |
0,5 |
|
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,5 |
|
5 |
5 |
0 |
0 |
0,0 |
|
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,25 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1,00 |
|
16 |
16 |
х |
х |
2,25 |
Розрахункове значення критерію Пірсона χ2 = 2,25. Критичне значення критерію Пірсона χ20,95(2) = 6,00 < χ2. Отже, розподіл покупців за обсягом попиту відповідає закону нормального розподілу.
Для узагальнення характеристики розподілу покупців за ціною використаємо моменти і обчислимо стандартизовані моменти третього та четвертого порядків.
Таблиця 2.10 – Розрахунок коефіцієнтів асиметрії та ексцесу
|
Група покупців за ціною |
Кіль-кість покуп-ців f |
Сере-дина інтер-валу х |
xf |
х - |
(х -)2f |
3f |
4f |
|
до 101 |
3 |
100,5 |
301,5 |
-1,88 |
10.59 |
- 19,92 |
37,38 |
|
101–102 |
3 |
101,5 |
304,5 |
-0,88 |
2.1 |
- 2,04 |
1,77 |
|
102–103 |
5 |
102,5 |
512,5 |
0,12 |
0.05 |
0,00 |
0,00 |
|
103–104 |
3 |
103,5 |
310,5 |
1,12 |
3.75 |
4,20 |
4,68 |
|
понад104 |
2 |
104,5 |
209,0 |
2,12 |
8.98 |
19,04 |
40,32 |
|
Разом |
16 |
х |
163,0 |
х |
25,47 |
1,28 |
84,15 |
=
Стандартизований момент третього порядку визначимо за формулою:
,
де - центральний момент третього порядку, який визначається за формулою:
; ;
Отже, ми маємо дуже низьку правосторонню асиметрію.
Встановимо істотність асиметрії. Для цього визначимо середню квадратичну похибку асиметрії:
Критерій істотності асиметрії:
Стандартизований момент четвертого порядку визначаємо за формулою:
;
де ;
Отже, розподіл є плосковершинним.
Встановлюємо істотність ексцесу. Для цього визначимо середню квадратичну похибку ексцесу:
Критерій істотності ексцесу:
Висновки
Встановлена така закономірність розподілу покупців за ціною. Середня ціна за одиницю продукції складає 102,38 грн. Половина покупців мають намір придбати продукцію за ціною до 102,40 грн., а решта – понад 102,40 грн. Найчастіше зустрічалися покупці, які мали намір придбати продукцію за ціною 102,50 грн.
Розмах варіації ціни складав 5 грн. Середнє лінійне відхилення від середньої ціни становило 1,033 грн., а середнє квадратичне відхилення – 1,262 грн. Сукупність покупців за ціною є однорідною, а ціна – типовою для досліджуваної групи покупців.
Розподіл покупців за ціною та обсягом попиту підлягає закону нормального розподілу. Розходження між теоретичними та емпіричними частотами випадкове. Слабка правостороння асиметрія виявилась неістотною, а ексцес для цього розподілу не властивий. Оскільки незалежна і залежна змінні тяжіють до нормального розподілу, це дає підстави провести дисперсійний та кореляційно-регресійний аналізи.
РОЗРАХУНКОВА РОБРТА № 3
ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ
Завдання: Виконати дисперсійний аналіз. Для цього використати результати аналітичного групування за факторною ознакою в розрахунковій роботі № 1 та значення результативної ознаки по кожній одиниці статистичної сукупності, які містяться у вихідних даних.
Таблиця 3.1 – Розрахунок міжгрупової та внутрішньогрупової девіацій
|
Групи покуп-ців за ціною |
х |
у |
Суми варі-ант уі |
Час-тоти, fі |
Групові середні |
- |
Квадрат відхилень fi |
Відхилення варіант від груп сер. 2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
100 – 101 |
100,0 |
60 |
168,0 |
3 |
56,000 |
20,562 |
422,796 |
1268,3880 |
16.000 |
|
100,3 |
58 |
4.000 |
|||||||
|
101,0 |
50 |
36.000 |
|||||||
|
101 – 102 |
101,5 |
45 |
129,0 |
3 |
43,000 |
7,562 |
57,184 |
171,5515 |
4,000 |
|
101,8 |
44 |
1,000 |
|||||||
|
102,0 |
40 |
9,000 |
|||||||
|
102 – 103 |
102,1 |
39 |
178,0 |
5 |
35,600 |
0,162 |
0,026 |
0,13122 |
11,560 |
|
102,2 |
38 |
5,760 |
|||||||
|
102,5 |
35 |
0,360 |
|||||||
|
102,7 |
36 |
0,160 |
|||||||
|
103,0 |
30 |
31,360 |
|||||||
|
103 – 104 |
103,5 |
25 |
67,0 |
3 |
22,333 |
-13,105 |
171,741 |
515,2231 |
7,113 |
|
103,8 |
22 |
0,111 |
|||||||
|
104,0 |
20 |
5,443 |
|||||||
|
104 – 105 |
104,5 |
15 |
25,0 |
2 |
12,500 |
-22,938 |
526,152 |
1052,304 |
6,250 |
|
105,0 |
10 |
6,250 |
|||||||
|
Разом |
1639,9 |
567 |
567,0 |
Х |
х |
Х |
Х |
3007,597 |
144,367 |
Обчислимо загальну середню за формулою , а також міжгрупову та внутрішньогрупову девіації за формулами :
fi ; 2
= ;
У відповідності з правилом додавання девіацій обчислюємо загальну девіацію за формулою:
Обчислюємо коефіцієнт детермінації за формулою:
Визначимо емпіричне кореляційне відношення за формулою:
Перевіряємо істотність кореляційного зв’язку при допомозі F- критерію Фішера, який обчислюємо за формулою: , при і , при , де - оцінювальні дисперсії, які обчислюють за формулами:
;
де n = 16 – чисельність одиниць сукупності; m = 5 – число груп, утворених за факторною ознакою.
;
За ймовірностями 0,95 і 0,99 і за ступенями вільності k1 = m – 1 = 5 – 1 = 4; k2 = n – m = 16 – 5 = 11, знаходимо критичні значення F- критерію Фішера і порівнюємо їх з фактичними значеннями.
F0,95(k1 = 4; k2 = 11) = 3,357 < Fрозр. = 57,291
F0,99(k1 = 4; k2 = 11) = 5,668 < Fрозр. = 57,291, що дозволяє з ймовірністю 0,99 та 0,95 стверджувати про істотність кореляційного зв’язку між ціною та обсягом попиту. Загальна оцінювальна дисперсія визначається за формулами: або ;
Результати розрахунків заносимо в таблицю 3.2
Таблиця 3.2 – Одновимірний дисперсійний аналіз
|
Варіація |
Сума кв. відхилень D2 |
Число ступенів вільності |
Оцінювальні дисперсії |
Відношення дисперсій F |
Табличні значення F–критерію з ймовірністю |
|
|
0,95 |
0,99 |
|||||
|
Систематична |
3007,597 |
4 |
751,899 |
57,291 |
3,357 |
5,668 |
|
Залишкова |
144,367 |
11 |
13,124 |
|||
|
Загальна |
3151,964 |
15 |
210,131 |
- |
- |
- |
Проведемо дисперсійний аналіз іншим способом.
Визначимо систематичну (міжгрупову) та залишкову (внутрішньогрупову) дисперсії, використавши згруповані дані, а загальну дисперсію способом різниці квадратів, використавши незгруповані дані. Розрахунки представимо в таблиці 3.3
Таблиця 3.3 – Розрахунок загальної дисперсії способом різниці квадратів
|
№ покупця |
y |
y2 |
|
1 |
58 |
3364 |
|
2 |
36 |
1296 |
|
3 |
25 |
625 |
|
4 |
60 |
3600 |
|
5 |
35 |
1225 |
|
6 |
22 |
484 |
|
7 |
50 |
2500 |
|
8 |
20 |
400 |
|
9 |
45 |
2025 |
|
10 |
30 |
900 |
|
11 |
38 |
1444 |
|
12 |
44 |
1936 |
|
13 |
40 |
1600 |
|
14 |
15 |
225 |
|
15 |
39 |
1521 |
|
16 |
10 |
100 |
|
Разом |
567 |
23245 |
Загальна девіація:
Загальна оцінювальна дисперсія:
Систематичну варіацію результативної ознаки визначаємо за допомогою таблиці 3.4.
Таблиця 3.4 – Розрахунок міжгрупової девіації з використанням згрупованих даних
|
Групи покупців за ціною |
fi |
Σyi |
- |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
100 – 101 |
3 |
168 |
56,000 |
20,562 |
422,796 |
1268,388 |
|
101 – 102 |
3 |
129 |
43,000 |
7,562 |
57,184 |
171,552 |
|
102 – 103 |
5 |
178 |
35,600 |
0,162 |
0,026 |
0,131 |
|
103 – 104 |
3 |
67 |
22,333 |
-13,105 |
171,741 |
515,223 |
|
104 – 105 |
2 |
25 |
12,500 |
-22,938 |
526,152 |
1052,304 |
|
Разом |
16 |
567 |
35,44 |
Х |
Х |
3007,598 |
Міжгрупова девіація:
Міжгрупрова оцінювальна дисперсія:
За правилом складання девіацій:
Внутрішньо групова оцінювальна дисперсія:
F – критерій Фішера
Висновок
Варіація обсягу попиту на 95,42 % зумовлена впливом ціни за одиницю продукції. Кореляційний зв’язок між ціною і попитом високий і достовірний. Виявивши тісний зв’язок в окремих точках емпіричної лінії регресїї можна оцінити тісноту зв’язку між ціною і попитом безпосередньо впродовж усієї лінії регресії.
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА № 4
КОРЕЛЯЦІЙНО_РЕГРЕСИВНИЙ АНАЛІЗ
Завдання: Провести кореляційно-регресійний аналіз. Для цього визначити функцію, яка описує залежність між факторною та результативною ознаками, обчислити параметри рівняння регресії та пояснити їх зміст, оцінити тісноту зв’язку та перевірити зв’язок на істотність.
Вибір форми зв’язку між факторною та результативною ознаками. Будуємо кореляційне поле, на яке наносимо значення х і у для кожної одиниці статистичної сукупності.
|
у |
||||||||
|
60 |
||||||||
|
50 |
||||||||
|
40 |
||||||||
|
30 |
||||||||
|
20 |
У = - 10,096 х +1070,2 |
|||||||
|
10 |
||||||||
|
0 |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
х |
Рисунок 4.1 – Кореляційне поле та теоретична лінія регресії
За скупченням точок на кореляційному полі можна зробити висновок, що рівняння прямої найбільш точно відображає зв’язок між факторною і результативною ознаками.
Обчислення параметрів рівняння регресії.
Рівняння регресії матиме вигляд:
Розрахунки його параметрів представимо в таблиці 4.1.
Таблиця 4.1 – Розрахунок параметрів рівняння регресії
|
№ з/п |
х |
у |
х2 |
ху |
ух |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
100,3 |
58 |
10060,09 |
5817,4 |
57,58 |
|
2 |
102,7 |
36 |
10547,29 |
3697,2 |
33,35 |
|
3 |
103,5 |
25 |
10712,25 |
2587,5 |
25,27 |
|
4 |
100,0 |
60 |
10000,00 |
6000,0 |
60,61 |
|
5 |
102,5 |
35 |
10506,25 |
3587,5 |
35,37 |
|
6 |
103,8 |
22 |
10774,44 |
2283,6 |
22,24 |
|
7 |
101,0 |
50 |
10201,00 |
5050,0 |
50,51 |
|
8 |
104,0 |
20 |
10816,00 |
2080,0 |
20,23 |
|
9 |
101,5 |
45 |
10302,25 |
4567,5 |
45,47 |
|
10 |
103,0 |
30 |
10609,00 |
3090,0 |
30,32 |
|
11 |
102,2 |
38 |
10444,84 |
3883,6 |
38,40 |
|
12 |
101,8 |
44 |
10363,24 |
4479,2 |
42,44 |
|
13 |
102,0 |
40 |
10404,00 |
4080,0 |
40,42 |
|
14 |
104,5 |
15 |
10920,25 |
1567,5 |
15,18 |
|
15 |
102,1 |
39 |
10424,41 |
3981,9 |
39,41 |
|
16 |
105,0 |
10 |
11025,00 |
1050,0 |
10,13 |
|
Разом |
1639,9 |
567 |
168110,31 |
57802,9 |
566,92 |
Параметри рівняння знаходимо за методом найменших квадратів із системи нормальних рівнянь.
|
Δ = |
16 |
1639,9 |
= 492,95 |
|
1639,9 |
168110,31 |
||
|
Δ0 = |
567 |
1639,9 |
= 527570,06 |
|
57802,9 |
168110,31 |
|
Δ1 = |
16 |
567 |
= - 4976,9 |
|
1639,9 |
57802,9 |
Рівняння регресії має вигляд Y = -10,0962 х + 1070,230
Для кожного із значень факторної ознаки обчислюємо значення Y(х) і результати заносимо в таблицю 4.1. Теоретичні рівні Y(х) наносимо на кореляційне поле і з’єднуємо прямою лінією (рис.4.1). Отримуємо теоретичну лінію регресії.
коефіцієнт еластичності попиту за цінами:
х=
Вимірювання тісноти зв’язку
Обчислюємо теоретичне кореляційне відношення, індекс кореляції, коефіцієнт детермінації:
= ;
Розрахунки представимо в таблиці 4.2.
Таблиця 4.2 – Розрахунок теоретичного кореляційного відношення, індексу кореляції
|
№ з/п |
x |
||||||||
|
1 |
100,3 |
58 |
22,563 |
509,066 |
57,58 |
22,144 |
490,341 |
0,42 |
0,1764 |
|
2 |
102,7 |
36 |
0,563 |
0,316 |
33,35 |
-2,087 |
4,357 |
2,65 |
7,0225 |
|
3 |
103,5 |
25 |
-10,438 |
108,941 |
25,27 |
-10,164 |
103,311 |
-0,27 |
0,0729 |
|
4 |
100,0 |
60 |
24,563 |
603,316 |
60,61 |
25,173 |
633,655 |
-0,61 |
0,3721 |
|
5 |
102,5 |
35 |
-0,438 |
0,191 |
35,37 |
-0,068 |
0,005 |
-0,37 |
0,1369 |
|
6 |
103,8 |
22 |
-13,438 |
180,566 |
22,24 |
-13,193 |
174,057 |
-0,24 |
0,0576 |
|
7 |
101,0 |
50 |
14,563 |
212,066 |
50,51 |
15,076 |
227,295 |
-0,51 |
0,2601 |
|
8 |
104,0 |
20 |
-15,438 |
238,316 |
20,23 |
-15,212 |
231,414 |
-0,23 |
0,0529 |
|
9 |
101,5 |
45 |
9,563 |
91,441 |
45,47 |
10,028 |
100,565 |
-0,47 |
0,2209 |
|
10 |
103,0 |
30 |
-5,438 |
29,566 |
30,32 |
-5,116 |
26,174 |
-0,32 |
0,1024 |
|
11 |
102,2 |
38 |
2,563 |
6,566 |
28,40 |
2,961 |
8,767 |
-0,40 |
0,1600 |
|
12 |
101,8 |
44 |
8,563 |
73,316 |
42,44 |
6,999 |
48,991 |
1,56 |
2,4336 |
|
13 |
102,0 |
40 |
4,563 |
20,816 |
40,42 |
4,980 |
24,801 |
-0,42 |
0,1764 |
|
14 |
104,5 |
15 |
-20,438 |
417,691 |
15,18 |
-20,260 |
410,484 |
-0,18 |
0,0324 |
|
15 |
102,1 |
39 |
3,563 |
12,691 |
39,41 |
3,970 |
15,765 |
-0,41 |
0,1681 |
|
16 |
105,0 |
10 |
-25,438 |
647,066 |
10,13 |
-25,308 |
640,520 |
-0,13 |
0,0169 |
|
Разом |
1639,9 |
567 |
Х |
3151,931 |
566,92 |
Х |
3140,502 |
Х |
11,4621 |
; R =
Коефіцієнт детермінації η2 = R2 = 0,9964.
Так як рівняння регресії має вигляд прямої, то обчислюємо лінійний коефіцієнт кореляції. Розрахунки проводимо в таблиці 4.3.
Таблиця 4.3 – Розрахунок лінійного коефіцієнта кореляції
|
№ з/п |
Розрахункові величини |
||||||
|
ху |
|||||||
|
1 |
100,3 |
58 |
-2,194 |
4,813 |
22,563 |
509,066 |
5817,4 |
|
2 |
102,7 |
36 |
0,206 |
0,043 |
0,563 |
0,316 |
3697,2 |
|
3 |
103,5 |
25 |
1,006 |
1,013 |
-10,438 |
108,941 |
2587,5 |
|
4 |
100,0 |
60 |
-2,494 |
6,219 |
24,563 |
603,316 |
6000,0 |
|
5 |
102,5 |
35 |
0,006 |
0,000 |
-0,438 |
0,191 |
3587,5 |
|
6 |
103,8 |
22 |
1,306 |
1,706 |
-13,438 |
180,566 |
2283,6 |
|
7 |
101,0 |
50 |
-1,494 |
2,231 |
14,563 |
212,066 |
5050,0 |
|
8 |
104,0 |
20 |
1,506 |
2,269 |
-15,438 |
238,316 |
2080,0 |
|
9 |
101,5 |
45 |
-0,994 |
0,988 |
9,563 |
91,441 |
4567,5 |
|
10 |
103,0 |
30 |
0,506 |
0,256 |
-5,438 |
29,566 |
3090,0 |
|
11 |
102,2 |
38 |
-0,294 |
0,086 |
2,563 |
6,566 |
3883,6 |
|
12 |
101,8 |
44 |
-0,694 |
0,481 |
8,563 |
73,316 |
4479,2 |
|
13 |
102,0 |
40 |
-0,494 |
0,244 |
4,563 |
20,816 |
4080,0 |
|
14 |
104,5 |
15 |
2,006 |
4,025 |
-20,438 |
417,691 |
1567,5 |
|
15 |
102,1 |
39 |
-0,394 |
0,155 |
3,563 |
12,691 |
3981,9 |
|
16 |
105,0 |
10 |
2,506 |
6,281 |
-25,438 |
647,066 |
1050,0 |
|
Разом |
1639,9 |
567 |
Х |
30,809 |
Х |
3151,931 |
57802,9 |
Обчислимо лінійний коефіцієнт кореляції:
r =
Середні значення
=
Середні квадратичні відхилення
r = =
|r|= 0,9911; |η- |r|| = |0,9982 – 0,9911| = 0,0071 < 0,1, що підтверджує гіпотезу про лінійну форму зв’язку.
Оцінка достовірності лінійного коефіцієнта кореляції шляхом зіставлення його числового значення із стандартною похибкою σr .
; для n < 50
= > , лінійний коефіцієнт кореляції значущий, а зв’язок реальний.
Перевіримо кореляційну модель на адекватність за допомогою F-критерію Фішера:
,
де k2 – ступінь вільності для залишкової дисперсії;
k1 – ступінь вільності для факторної дисперсії.
k2 = n – m, де m – число параметрів рівняння регресії.
k1 = m – 1, k2 = 16 – 2 = 14, k1 = 2 – 1 = 1,
= , F0,95 (14; 1) = 4,6;
F > F0,95 (14; 1)
Регресійна модель є адекватною і може використовуватись для прогнозування.
Припустимо, що середня ціна знизиться до 100 грн., тоді слід очікувати, то попит на продукцію складатиме Y(x)0 = 1070,23 – 10,0962*100 = 60,61 тис. т. Знайдемо інтервал довіри для індивідуального значення залежної змінної за формулою:
Y(x) ± ,
- статистична характеристика (t –критерій Стьюдента) для рівня істотності α/2; для рівня значущості α/2 = 0,05 і числа ступенів вільності k = n – 2 = 16 – 2 = 14, критичне значення t0.95 (14) = 2,145.
х0 – задане значення незалежної змінної;
σ2зал. – залишкова дисперсія.
Середню квадратичну похибку залишків обчислюють за формулою:
σзал. =
З імовірністю 0,95 можна стверджувати, що для х0 =
100 грн. прогнозні значення обсягу попиту будуть знаходитися в межах:
60,61 ± 2,145*0,905
або
Перевіримо також значущість коефіцієнта регресії та визначимо його область зміни:
,
Оскільки розрахункове значення t – критерію Стьюдента значно перевищує критичне значення для ймовірності 0,95 і ступеня вільності 14 (t0,95 (14) = 2,145), то коефіцієнт регресії визнаємо значущим. Знайдемо стандартну похибку коефіцієнта регресії:
Довірчі межі коефіцієнта регресії:
або
-10,4362 ≤ а1 ≤ -9,7562
З ймовірністю 0,95 можна вважати, що і коефіцієнт еластичності знаходиться в межах - 29,54 % ≤ ех ≤ - 28,86 %.
Висновки
Залежність між ціною і попитом описує однофакторна кореляційна модель Y(х) = 1070,23 – 10,0962 х. При зростанні ціни на 1 грн. обсяг попиту знижується на 10,0962 тис. т. При зростанні ціни на 1 % обсяг попиту знижується на 29,2 % і навпаки. Попит на продукцію є дуже еластичним. Варіація попиту на 99,64 % обумовлена впливом ціни. Існування дуже високого кореляційного зв’язку між ціною і попитом підтверджується. Побудована нами кореляційна модель є адекватною і може використовуватись для прогнозування обсягу попиту залежно від рівня цін. Якщо середня ціна знизиться до 100 грн., то з ймовірністю 0,95 слід очікувати, що попит на продукцію складатиме не більше 62,79 тис. т і не менше 58,43 тис. т.
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА № 5
ВИМІРЮВАННЯ СЕЗОННИХ КОЛИВАНЬ
Завдання: Описати сезонну хвилю з урахуванням тенденції розвитку.
Таблиця 5.1 – Обсяг збуту продукції
|
Квартал |
Обсяг збуту, тис. грн. |
||
|
1-й рік |
2-й рік |
3-й рік |
|
|
І |
105 |
105 |
106 |
|
ІІ |
112 |
112 |
114 |
|
ІІІ |
106 |
106 |
109 |
|
ІV |
93 |
93 |
98 |
|
Разом |
416 |
416 |
427 |
Виявимо характер загальної тенденції ряду внутрішньорічної динаміки шляхом укрупнення квартальних періодів в річні рівні і визначення ланцюгових і базисних темпів зростання за такою схемою:
Таблиця 5.2 – Темпи росту обсягу збуту
|
Рік |
Річні рівні |
Темпи зростання, % |
|
|
Ланцюгові |
Базисні |
||
|
1 |
416 |
— |
100,00 |
|
2 |
416 |
100,00 |
100,00 |
|
3 |
427 |
102,60 |
102,60 |
Спостерігається нечітка тенденція до зростання.
Визначимо індекси сезонності за методом сталої середньої:
,
де — осереднені емпіричні рівні однойменних періодів;
— загальна, або стала середня рівня ряду.
Таблиця 5.3 – Розрахунок індексів сезонності методом сталої середньої
|
Рік |
Квартал |
Разом |
|||
|
І |
ІІ |
ІІІ |
ІV |
||
|
1 |
105 |
112 |
106 |
93 |
416 |
|
2 |
105 |
112 |
106 |
93 |
416 |
|
3 |
106 |
114 |
109 |
98 |
427 |
|
Разом |
316 |
338 |
321 |
284 |
1259 |
|
Середньоквартальний рівень за періодами, |
105,3 |
112,7 |
107,0 |
94,7 |
104,9 |
|
Індекси сезонності, Ісез, % |
100,4 |
107,4 |
102,0 |
90,3 |
100,0 |
Середньоквартальні рівні:
Загальна або стала середня рівня ряду:
або
Визначаємо індекси сезонності методом сталої середньої:
Для динамічних рядів, які виявляють тенденцію, індекси сезонності визначають за методом змінної середньої (виключення тренду). Індекси сезонності знаходимо за формулою:
,
де уі – емпіричні рівні ряду;
У(t) – теоретичні рівні ряду обчислені за рівнянням тренду;
n – число річних періодів.
Рівняння тренду:
Для визначення а0 і а1 розв’язуємо систему нормальних рівнянь:
Відлік часу t перенесемо в середину ряду, тоді Σt = 0 і розв’язок системи значно спрощується:
;
Трендові рівняння матиме вигляд: У(t) = - 0,0437 t + 104,9167. Знаходимо теоретичні значення У(t) і результати заносимо в таблицю 5.4.
Таблиця 5.4 – Розрахунок індексів сезонності методом змінної середньої
|
Рік |
Пері-од |
Об-сяг збуту тис. грн. у |
t |
t2 |
yt |
Yt |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
І |
105 |
- 11 |
121 |
-1155 |
105,40 |
100,00 |
- 0,40 |
0,16 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
ІІ |
112 |
- 9 |
81 |
-1008 |
105,31 |
106,00 |
6,69 |
44,76 |
|
|
ІІІ |
106 |
- 7 |
49 |
-742 |
105,22 |
101,00 |
0,78 |
0,61 |
|
|
ІV |
93 |
- 5 |
25 |
-465 |
105,14 |
88,00 |
-12,14 |
147,38 |
|
|
2 |
І |
105 |
- 3 |
9 |
-315 |
105,05 |
100,00 |
-0,05 |
0,00 |
Продовження таблиці 5.4
|
ІІ |
112 |
- 1 |
1 |
-112 |
104,96 |
107,00 |
7,04 |
49,56 |
|
|
ІІІ |
106 |
1 |
1 |
106 |
104,87 |
101,00 |
1,13 |
1,28 |
|
|
ІV |
93 |
3 |
9 |
279 |
104,79 |
89,00 |
-11,79 |
139,00 |
|
|
3 |
І |
106 |
5 |
25 |
530 |
104,70 |
101,00 |
1,3 |
1,69 |
|
ІІ |
114 |
7 |
49 |
798 |
104,61 |
109,00 |
9,39 |
88,17 |
|
|
ІІІ |
109 |
9 |
81 |
981 |
104,52 |
104,00 |
4,48 |
20,07 |
|
|
ІV |
98 |
11 |
121 |
1078 |
104,44 |
94,00 |
-6,44 |
41,47 |
|
|
Разом |
1259 |
0 |
572 |
-25 |
1259,01 |
Х |
Х |
Х |
Знаходимо індекси сезонності:
Будуємо лінійну діаграму:
|
Іс |
|||||
|
110 |
107,33 |
||||
|
105 |
102,00 |
||||
|
100 |
100,33 |
||||
|
95 |
90,33 |
||||
|
90 |
|||||
|
85 |
|||||
|
80 |
І кв. |
ІІ кв. |
ІІІ кв. |
ІV кв. |
Рис. 5.1. Сезонний характер збуту продукції
Узагальнені характеристики сезонних коливань
Амплітуда сезонних коливань:
Середнє лінійне відхилення сезонних коливань:
Середнє квадратичне відхилення сезонних коливань:Визначимо індекс сезонності на основі ковзної (плинної) середньої:
, де
уі – емпіричні рівні ряду;
– згладжені рівні ряду;
n – число річних періодів.
Таблиця 5.5- Розрахунок індексів сезонності методом плинної середньої
|
Рік |
Пері-од |
Вихідні рівні ряду, тис. грн. (уі) |
Середні з суми чотирьох рівнів ряду |
Згладжені розрахункові рівні ряду |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
І |
105 |
|||
|
ІІ |
112 |
104,00 |
|||
|
ІІІ |
106 |
104,00 |
104,000 |
101,9 |
|
|
ІV |
93 |
104,00 |
104,000 |
89,4 |
|
|
2 |
І |
105 |
104,00 |
104,000 |
101,0 |
|
ІІ |
112 |
104,00 |
104,000 |
107,7 |
|
|
ІІІ |
106 |
104,25 |
104,125 |
101,8 |
|
|
ІV |
93 |
104,75 |
104,500 |
89,0 |
|
|
3 |
І |
106 |
105,50 |
105,125 |
100,8 |
|
ІІ |
114 |
106,75 |
106,125 |
107,4 |
|
|
ІІІ |
109 |
||||
|
ІV |
98 |
Виконаємо згладжування ряду динаміки за допомогою ковзної середньої. При цьому застосуємо чотиричленні ковзні середні. Вони розраховуються з чотирьох рівнів ряду, використовуючи при обчисленні кожної нової середньої перший рівень і приєднуючи наступний рівень ряду:
Кожна з обчислених чотиричленних середніх належить до відповідних проміжків між двома суміжними кварталами. Так, перша середня належить до проміжку між ІІ і ІІІ кварталами 1-го року, друга середня – до проміжку між ІІІ і ІV кварталами 1-го року і т.д.
А тому, щоб обчислити значення згладжених рівнів, треба провести центрування розрахункових середніх. Так, для визначення згладженого середнього рівня ряду ІІІ кварталу 1-го року зробимо центрування першої і другої середніх і т.д. Результати розрахунків подаємо в таблиці 5.5.
|
1–й рік |
|
|
2–й рік |
|
|
3–й рік |
|
Обчислюємо відношення
|
1–й рік |
ІІІ кв. |
|
IV кв. |
|
|
2–й рік |
І кв. |
|
ІІ кв. |
|
|
ІІІ кв. |
|
|
IV кв. |
|
|
3–й рік |
І кв. |
|
ІІ кв. |
Усереднимо обчислені величини за однойменними періодами – кварталами року в результаті чого одержимо індекси сезонності, які характеризують сезонну хвилю обсягу збуту (у процентах до середньоквартальної реалізації, узятої за 100%).
Визначимо індекси сезонності методом Персонса. , де
– базисні індекси за і-й квартал;
– середньорічний індекс.
Таблиця 5.6 – Розрахунок індексів сезонності методом Персонса
|
Квартал |
Обсяг збуту, тис. грн. |
Ланцюгові індекси |
Середні ланцюгові індекси |
Базисні індек-си уі |
Індекси сезон-ності % |
||||
|
1-й рік |
2-й рік |
3-й рік |
1-й рік |
2-й рік |
3-й рік |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
І |
105 |
105 |
106 |
- |
1,129 |
1,140 |
1,135 |
1,000 |
100,4 |
|
ІІ |
112 |
112 |
114 |
1,067 |
1,067 |
1,076 |
1,070 |
1,070 |
107,4 |
Продовження таблиці 5.6
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
ІІІ |
106 |
106 |
109 |
0,946 |
0,946 |
0,956 |
0,949 |
1,015 |
101,9 |
|
ІV |
93 |
93 |
98 |
0,877 |
0,877 |
0,899 |
0,884 |
0,898 |
90,2 |
|
Разом |
416 |
416 |
427 |
2,89 |
4,019 |
4,071 |
- |
3,983 |
400,0 |
|
В середньому |
- |
- |
- |
0,963 |
1,005 |
1,018 |
- |
0,996 |
100,0 |
Визначимо ланцюгові індекси:
|
1-й рік |
ІІ кв. |
|
|
ІІІ кв. |
||
|
IV кв. |
||
|
2-й рік |
І кв. |
|
|
ІІ кв. |
||
|
ІІІ кв. |
||
|
IV кв. |
||
|
3-й рік |
І кв. |
|
|
ІІ кв. |
||
|
ІІІ кв. |
||
|
IV кв. |
Визначимо середні ланцюгові індекси:
І кв.
ІІ кв.
ІІІ кв.
IV кв.
Визначимо базисні індекси:
І кв. Приймемо середню першого кварталу за 100%.
ІІ кв. Залишимо середню другого кварталу без зміни.
ІІІ кв.
IV кв.
Визначимо середньорічний індекс:
Визначимо індекси сезонності:
Моделювання сезонних коливань проведемо за допомогою ряду Фур’є, аналітичний вираз якого має вигляд , де
k - ступінь точності гармоніки тригонометричного многочлена;
t - час, виражений в радіанах або градусах.
Для першої гармоніки (k= 1) рівняння Фур’є матиме вигляд:
Параметри рівняння розраховуємо за формулами:
; ;
Таблиця 5.7 – Розрахунок індексів сезонності за допомогою рівнянь ряду Фур’є
|
Рік |
Квар-тал |
t, раді-ан |
Обсяг збуту, тис. грн. (у) |
cos t |
sin t |
y cos t |
y sin t |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1-й |
І |
0 |
105 |
1,000 |
0,000 |
105,00 |
0,00 |
105,81 |
99,2 |
|
ІІ |
π/6 |
112 |
0,866 |
0,500 |
96,99 |
56,00 |
105,02 |
106,7 |
|
|
ІІІ |
π/3 |
106 |
0,500 |
0,866 |
53,00 |
91,80 |
104,22 |
101,7 |
|
|
IV |
π/2 |
93 |
0,000 |
1,000 |
0,00 |
93,00 |
103,59 |
89,8 |
|
|
2-й |
І |
2π/3 |
105 |
-0,500 |
0,866 |
-52,50 |
90,93 |
103,32 |
101,6 |
|
ІІ |
5π/6 |
112 |
-0,866 |
0,500 |
-96,99 |
56,00 |
103,48 |
108,2 |
|
|
ІІІ |
π |
106 |
-1,000 |
0,000 |
-106,00 |
0,00 |
104,03 |
101,9 |
|
|
IV |
7π/6 |
93 |
-0,866 |
-0,500 |
-80,54 |
-46,50 |
104,82 |
88,7 |
|
|
3-й |
І |
4π/3 |
106 |
-0,500 |
-0,866 |
-53,00 |
-91,80 |
105,62 |
100,4 |
|
ІІ |
3π/2 |
114 |
0,000 |
-1,000 |
0,00 |
-114,00 |
106,25 |
107,3 |
|
|
ІІІ |
5π/3 |
109 |
0,500 |
-0,866 |
54,50 |
-94,39 |
106,52 |
102,3 |
|
|
IV |
11π/6 |
98 |
0,866 |
-0,500 |
84,87 |
-49,00 |
106,36 |
92,1 |
|
|
Разом |
Х |
1259 |
Х |
Х |
5,33 |
-7,96 |
1259,04 |
Х |
; ;
Звідси рівняння Фур’є матиме вигляд:
У(t) = 104,92 + 0,89 cos t – 1,33 sin t
Теоретичні значення обсягу збуту в розрізі кварталів року
У(t)1 = 104,92 + 0,89*1 – 1,33*0 = 105,81
У(t)2 = 104,92 + 0,89*0,866 – 1,33*0,5 = 105,02
У(t)3 = 104,92 + 0,89*0,5 – 1,33*0,866 = 104,22
У(t)4 = 104,92 + 0,89*0 – 1,33*1 = 103,59
У(t)5 = 104,92 + 0,89*(-0,5) – 1,33*0,866 = 103,32
У(t)6 = 104,92 + 0,89*(-0,866) – 1,33*0,5 = 103,48
У(t)7 = 104,92 + 0,89*(-1) – 1,33*0 = 104,03
У(t)8 = 104,92 + 0,89*(-0,866) – 1,33*(-0,5) = 104,82
У(t)9 = 104,92 + 0,89*(-0,5) – 1,33*(-0,866) = 105,62
У(t)10 = 104,92 + 0,89*0 – 1,33*(-1) = 106,25
У(t)11 = 104,92 + 0,89*0,5 – 1,33*(-0,866) = 106,52
У(t)12 = 104,92 + 0,89*0,866 – 1,33*(-0,5) = 106,36
Результати обчислень заносимо в таблицю 5.7. Як показують дані таблиці 5.7, уже перша гармоніка ряду Фур’є (k = 1) досить добре апроксимує емпіричний ряд динаміки.
Визначаємо сезонну хвилю обсягу збуту (відношення емпіричних і теоретичних рівнів)за формулою .
Результати обчислень занесемо в таблицю 5.7.
Індекси сезонності представляють собою відношення середніх з фактичних рівнів однойменних кварталів за період, що розглядається, до середніх з вирівняних даних за ті ж самі квартали, або .
Якщо розраховані нами індекси сезонності достатньо надійні і точні, а це так, оскільки їх значення виявилися однаковими при будь-яких способах обчислення, то це дозволяє нам використати їх для екстраполяції.
Для розрахунку показників обсягу збуту продукції на перспективу використаємо модель прогнозу наступного виду:
У(t) = Ick*Y(t) + εt , де
У(t) – обсяг збуту в момент часу t;
Ick – індекс сезонності k-го кварталу;
Y(t) – оцінка обсягу попиту в момент часу t;
εt – випадковий компонент.
Показники прогнозу відрізняються від фактичних на величину: , де
t – число, яке гарантує з певною ймовірністю межі прогнозу (для ймовірності 0,9545 t = 2);
σεt – середнє квадратичне відхилення випадкового компонента;
n – кількість річних періодів.
Межі прогнозу
Для визначення прогнозованих обсягів збуту на наступний 4-й рік використаємо дані таблиці 5.4 та значення індексів сезонності, обчислені методом змінної середньої (виключення тренду на основі аналітичного вирівнювання за рівнянням прямої). Трендове рівняння має вигляд: Y(t) = 104,9167 - 0,0437 t. Розрахунок величини виконаємо при допомозі таблиці 5.8.
Таблиця 5.8 – Розрахунок величини
|
Квартал |
Індекси сезонності, % |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
І |
100,33 |
1,85 |
0,96 |
1,11 |
|
ІІ |
107,33 |
182,49 |
9,55 |
11,08 |
|
ІІІ |
102,00 |
21,96 |
3,31 |
3,84 |
|
IV |
90,33 |
327,85 |
12,80 |
14,85 |
І квартал
і т.д.
Прогноз на 4-й рік:
І квартал у1 = 1,0033*[104,9167 – 0,0437 (13)] = 104,69 тис. т.
Межі прогнозу:
104,69 – 1,11 ≤ у1 ≤ 104,69 + 1,11
103,58 ≤ у1 ≤ 105,80
Результати обчислення прогнозованих обсягів збуту представимо в таблиці 5.9.
Таблиця 5.9 – Прогноз обсягу збуту продукції на 4-й рік в тис. т
|
Квартал |
Прогноз |
Нижня межа |
Верхня межа |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
І |
104,69 |
103,58 |
105,80 |
|
ІІ |
111,90 |
100,82 |
122,98 |
|
ІІІ |
106,26 |
102,42 |
110,10 |
|
IV |
94,021 |
89,24 |
118,94 |
Висновок
На основі даних, одержаних в ході обчислення індексів сезонності різними способами і графіка (рис.5.1), можна прийти до висновку про те, що обсяг збуту продукції різко зростає в другому кварталі і знижується в третьому і четвертому кварталах. В середньому за період, що досліджується, товари продавалися в І кварталі на 0,4 відсоткових пункти, у ІІ кварталі на 7,4 відсоткових пункти і в ІІІ кварталі на 2,0 відсоткових пункти більше середньо квартального обсягу збуту, тоді як у IV кварталі – на 9,8 відсоткових пункти менше цього рівня.
Амплітуда сезонних коливань становить 17 відсоткових пункти, середнє лінійне відхилення індексів сезонності складає 4,83, середнє квадратичне відхилення – 6,15 відсоткових пункти. Узагальнені характеристики сезонних коливань свідчать про те, що на обсяг збуту продукції має помітний вплив сезонний фактор. Одержану в ході дослідження сезонну хвилю можна використати для прогнозування обсягу збуту на окремі періоди року. З ймовірністю 0,95 ми можемо стверджувати, що, наприклад, в IV кварталі 4-го року обсяг збуту буде не менший 89,24 тис. т і не більше 118,94 тис. т.
ПЕРЕЛІК РЕКОМЕНДОВАНИХ ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ
Основна література
Навчальний посібник / П.Г. Вашків, П.І. Пастер, В.П. Сто- рожук, Є.І. Ткач. За ред. П.Г. Вашківа, В.П. Сторожка. – К.: «Слобожанщина», 1999. – 600 с.
Додаткова література
1.В.П. Боровиков, И.П. Боровиков STATISTICA –Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. Издание 2-е, стереотипное. – М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1998. – 608 с.
2 Статистика: теоретичні засади і прикладні аспекти. Навчальний посібник: Р.В.Фещур, А.Ф.Барвінський, В.П. Кічор та інші. За наук. ред. Р.В. Фещура. – 2-е видання, оновлене і доповнене. Львів.: „Інтелект Захід”, 2003. – 576 с.
3 Статистика. Підручник. 2-е вид., допов. і перероб.
/ За ред. Герасименко С.С. – К.:КНЕУ, 2000. – 467 с.
4.А.М. Єріна, З.О. Пальян Теорія статистики [Текст] : практикум / А.М. Єріна, З.О. Пальян. - 5-те вид., стереотип. - К. : Знання, 2006. - 255 с. - (Сер. "Вища освіта ХХІ століття").
5.Фінансова статистика(з основами теорії статистики) [Текст] : навч. посібник / А.В. Головач, В.Б. Захожай, Н.А. Головач, Г.Ф. Шепітко. Під керівн. та наук. ред. В.Б. Захожая ; Міжрегіон. акад. упр. персоналом. МАУП. - К. : [б. и.], 2002. - 222 с. –
6.А. Т. Мармоза Практикум з теорії статистики [Текст] : навч. посібник для підгот. фахівців екон. спец. / А. Т. Мармоза. - К. : Ельга; Ніка-Центр, 2003. - 343 с.
7.Теорія статистики [Текст] : навч. посібник для студентів вищ. навч. закладів / Г.І. Мостовий, А.О. Дєгтяр, В.К. Горкавий, В.В. Ярова. За заг. ред. Г.І. Мостового ; Укр. акад. держ. упр. при Президентові України. Харк. регіон. ін-т. - Х. : Магістр, 2002.
8.А.В. Нікітін, І.Г. Нестерук Основи статистики [Текст] : конспект лекіцй для студентів екон. спец. / А.В. Нікітін, І.Г. Нестерук. - Чернівці : Прут, 2002. - 80 с.
9.Статистичні методи обробки та аналізу економічних даних [Текст] : навч. посібник для студентів вищ. навч. закладів / Ю.В. Кулєшков, В.В. Аулін, М.М. Петренко та ін. За ред. Ю.В. Кулєшкова. - Кіровоград : [б. и.], 2003. - 137 с.
10 Т.В.Уманець, Ю.Б.Пігарєв. Статистика: Навч.
посіб. К.: Вікар, 2003. – 623 с..
11 Лугінін О.Є., Білоусова С.В. Статистика :Підручник, Київ: ЦНЛ , 2 –е видання 2007.-608 с.
12 Теорія статистики: Курс лекцій . Навчальний посібник // Бек В.Л. –Київ: ЦНЛ, 2002.-288 с.
13 С.А. Архіпова Статистика [Текст] : навч.-метод. посібник для студентів гуманітар. і техн. спец. вищ. навч. закладів / С.А. Архіпова ; Нац. техн. ун-т "Київськ. політехн. ін-т". - К. : Політехніка, 2004. - 66 с.
14. Р.Ю. Овчарик, В.І. Крисюк, О.В. Юрченко Статистика [Текст] : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Р.Ю. Овчарик, В.І. Крисюк, О.В. Юрченко ; Європ. ун-т. - К : Вид-во Європ. ун-ту, 2004. - 136 с. –
53
PAGE 3