Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование
уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Если в общем уравнении прямой
Ах + Ву + С = 0 (1)
один или два из трёх коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:
1) С = 0; уравнение имеет вид Ах +By = 0 и определяет прямую, про ходящую через начало координат.
2) B = 0 (A≠0); уравнение имеет вид Ах + С = 0 и определяет прямую,
перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х = а, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.
3) B = 0, С = 0 (A≠0); уравнение может быть записано в виде х = 0 и определяет ось ординат.
4) А=0 (B≠0); уравнение имеет вид By + С = 0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y = b , где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
5) А = 0, С = 0 (B≠0); уравнение может быть записано в виде у = 0 и определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду
где и суть величины отрезков, которые отсекает прямая
на координатных осях.
Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».
Если две прямые даны уравнениями
A1 + B1 y + C1 = 0,
то могут представиться три случая:
а) — прямые имеют одну общую точку;
б) — прямые параллельны;
в) — прямые сливаются, т. е. оба уравнения
определяют одну и ту же прямую.
285. Определить, при каком значении а прямая
(а + 2)x + (а2 – 9)y + 3а2 – 8а + 5 = О
1) параллельна оси абсцисс;
2) параллельна оси ординат;
3) проходит через начало координат.
В каждом случае написать уравнение прямой.
286. Определить, при каких значениях т и п прямая
(т + 2п – 3) х + (2т – n + 1)y +6m + 9 = 0
параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, рав ный – 3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
287. Определить, при каких значениях тип прямая
(2т – п + 5) х + (т + 3n – 2) у + 2m + 7n + 19 = 0
параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцисс отрезок, рав ный +5 (считая от начала коорди2ат). Написать уравнение этой прямой.
288. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:
1) х + 5у – 35 = 0, Зх+2у – 27 = 0;
2) 14х – 9у – 24 = 0, 7x –2у – 17 = 0;
3) 12x + 15y – 8 = 0, 16x + 9у – 7 = 0;
4) 8х – 33у – 19 = 0, 12х + 55у – 19 = 0;
5) 3x + 5 = 0, у – 2 = 0.
289. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
1) 3х + 5у – 4 = 0, 6x + 10y + 7 = 0;
2) 2x – 4у + 3 = 0, x – 2y = 0;
3) 2x – 1 = 0, x + 3 = 0;
4) у + 3=0, 5y – 7 = 0.
290. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают:
1) 3x + 5y – 4 = 0, 6x + 10y – 8 = 0;
2) x – y = 0, х– 2у = 0;
3) x– 1 = 0, 3х – = 0.
291. Определить, при каких значениях а и b две прямые
аx – 2y – 1 = 0, 6x – 4y – b = О
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) совпадают.
292. Определить, при каких значениях т и п две прямые
тх + 8у + n = 0, 2х + ту – 1 = 0
1) параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны.
293. Определить, при каком значении т две прямые
(m — 1)x + my — 5 = 0, mx + (2m — 1)y + 7= 0
пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс.
294. Определить, при каком значении т две прямые
mx + (2m + 3 + m + 6 = 0, (2m + 1)x + (m — 1)y + m — 2= 0
пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.
295. Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые в следующих случаях:
1) 2х + 3у— 1 = 0, 4x— 5у + 5 = 0, 3x—у + 2 = 0;
2) 3x—y + 3 = 0, 5x +3y — 7 = 0, х — 2у — 4 = 0;
3)2х — у+1= 0, х + 2у—17= 0, х + 2у — 3 = 0,
296—306) § 13. неполные уравнения прямой 49 296. Доказать, что если три прямые
A1 +B 1 y +С1 = 0, A1 +B2 y +C = 0 A3 x +B 3 y +С3 = 0
пересекаются в одной точке, то
297. Доказать, что если то три прямые
A1x + B1y + С1 = 0, A2 x + B2y + C = 0 A3x + B3y + С3 = 0
пересекаются в одной точке или параллельны.
298. Определить, при каком значении а три прямые 2х — у + 3 = 0,
х + y + 3 = 0, ах + y — 13 = 0 будут пересекаться в одной точке.
299. Даны прямые: 1) 2x + 3у — 6 = 0; 2) 4x—3y + 24 = 0; 3) 2х + 3y — 9= 0;
4) 3x — 5у — 2 = 0; 5) 5x + 2у— 1 = 0.
Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.
300. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 3 х — 4у — 12 = 0 от координатного угла.
301. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(3; —7) и отсекает на 2оординатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).
302. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.
303. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2 кв. ед.
304. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку В(5; —5) и отсекает от координатного угла треугольник с пло щадью, равной 50 кв. ед.
305. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.
306. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с пло щадью, равной 150 кв. ед.
307. Через точку М(4;3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
308. Через точку М1 (х1; у 1), где x1у1>0, проведена прямая
отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами x 1> y1 и S отрезки а и b будут иметь одинаковые знаки.