волчок с шаровым шарниром в точке

Работа добавлена на сайт samzan.net:

6. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

6.1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчёта  твёрдого тела, закрепленного так, что у него точка  во время движения остаётся неподвижной («волчок» с шаровым шарниром в точке ).

Рис. 6.1Определяющие параметры положения тела.

1)Уравнение движения 

Найдём определяющие параметры положения тела при точке - неподвижной. Жёстко свяжем трехгранник  с телом. Линия - линия пересечения плоскости , - называется линей узлов. Тогда положение по отношению к осям

- трёхгранника , а с ним и самого тела можно разделить углами ;

 Эти углы, называются углами Эйлера и имеют следующие, взятые из небесной механики наименования:

- угол собственного вращения;  - угол процессии;  - угол нутации. Что бы знать движение тела, надо знать его положение по отношению к осям  в любой момент времени, то есть зависимости

; ;                                 (6.1)

Эта система уравнений определяет закон происходящего движения, и называется уравнениями движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки.

2) Угловая скорость тела (Рис. 6.1 и 6.2.)

При изменении угла  тело совершает движение вокруг оси (свободное вращение) с угловой скоростью ; при изменении угла - вращение вокруг оси  (прецессия) с угловой скоростью  и при изменении угла  вращения вокруг линии узлов  нутация с угловой скоростью .

Рис. 6.2 Векторы угловых скоростей

Векторы всех этих , угловых скоростей направлены вдоль осей вращения , , .

Поскольку изменение всех углов происходит одновременно, то движение тела происходит с угловой скоростью, равной геометрической сумме названных угловых скоростей, т.е.: . Поскольку значение  со временем изменяется, вектор   при  движении тела меняется и числено и по направлению, поэтому   называется мгновенной угловой скоростью тела.

 3) Геометрическая картина движения тела (Рис 6.2)

Если тело в данный момент времени имеет угловую скорость , то его элементарное перемещение за время  представляет собой элементарный поворот на угол  вокруг оси , вдоль которой направлен вектор .  называется мгновенной осью вращения. То есть, мгновенная  ось вращения – это ось, элементарным поворотом вокруг которой тело перемещается из одного положения в положение бесконечно близкое к данному.

От неподвижной оси мгновенная ось отличается тем, что ее направление и в пространстве и в самом теле непрерывно меняется, т.е. движение твердого тела  вокруг  неподвижной точки слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвижную точку.

4) Угловое ускорение тела

Векторная величина , характеризующая изменение в течение времени угловой скорости и по модулю, и по направлению называется угловым ускорением тела в данный момент времени или мгновенным угловым ускорением. При изменении вектора   его конец будет  описывать в пространстве некоторую кривую , являющуюся годографом вектора . Сравнивая  и ,  приходим к выводу, что угловое ускорение можно вычислить как скорость, с которой конец вектора  перемещается вдоль кривой . Направление   совпадает с направлением касательной к кривой в соответствующей точке.

В данном случае, в отличие от вращения вокруг неподвижной оси направление вектора  не совпадает с направлением . (Рис. 6.3.)

Рис. 6.3. Взаимное положение векторов скоростей и ускорений при вращении тела.

Векторы  и  являются основными кинематическими характеристиками кинематического движения и определить их можно аналогически из уравнений движения;  можно найти  и геометрически.

6.2 СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК

Так как движущееся вокруг неподвижной точки тело имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения , вокруг которой происходит элементарный поворот с  угловой скоростью , то вектор скорости какой-нибудь точки  тела будет определятся в этот момент равенством (Рис.6.4.)

                                                          (6.2)

где  - радиус – вектор  . Численно же

                                           (6.3)

где:                                              

Рис. 6.4Схема положений параметров движения относительно мгновенной оси вращения.

Геометрически скорость любой точки  тела в данный момент  времени можно найти, зная в этот момент скорость  какой-то точки   тела и направление скорости другой точки этого тела  (Рис.6.5)

Пусть   и направление    известны, через точку   проведем плоскость , перпендикулярную , через точку - плоскость , перпендикулярную , линия  принадлежит плоскости , пересекающей плоскость . Значит  принадлежит плоскости , и  принадлежит плоскости , то есть -  мгновенная ось вращения.

Определив  ( из точки ), найдем . Отсюда же найдем  как, ,перпендикулярно плоскости .

Аналитически скорость  определяют по ее проекциям на какие либо оси координат. Тогда

                                                        ,                                       

 запишем определитель                       (6.4)

                                                                   

Разлагая определитель по элементам 1-ой строки, и учитывая, что  и что  в этом разложении должны  равняться , получим

                                                     (6.5)

– это формулы Эйлера.

Рис. 6. 5 Схема для вывода формул Эйлера

В частном случае эти формулы справедливы и при вращении тела вокруг неподвижной оси , так как при этом  и , то для такого случая, ; ; .

Теперь определим ускорение точки :                                                                                            

Дифференцируя  по времени, найдем

.

Так как, , а ,  окончательно получим

где                                                    (6.6)

- вращательное ускорение

– осестремительное ускорение точки .

Вектор  перпендикулярен плоскости проходящей через точку  и вектор , а по модулю  где  – расстояние от точки  до вектора . Вектор  перпендикулярен  и  одновременно, и направлен вдоль , причем по модулю , так как . (Рис.6.4.,6.6)

Здесь вектор  не будет вектором нормального ускорения точки .

       

Рис. 6.6 Определение скорости и ускорения точки через угловые параметры движения

6.3 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО  ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

 Рассмотрим общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе .

Рис. 6.7 Общий случай движения твердого тела

Выберем произвольную точку  и проведем через нее оси , которые будут перемещаться вместе с  полюсом  поступательно. Если известны , то положение полюса  известно  и в  системе  определяемой углами Эйлера .

Итак:

.                        (6.7)

Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения.

Первые три уравнения системы определяют движение, которое твердое тело совершало бы при постоянных углах  то есть при поступательном движении.

Вторые три уравнения определяют вращательное движение при постоянных , то есть когда точка  неподвижна. Но ранее установлено, что движение  вокруг неподвижной точки слагается из элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения. Отсюда: в общем случае движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольный полюс  со скоростью , и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения проходящие через полюс .

Основные кинематические характеристики , ,  , определяются из системы уравнений, описывающих движение. Значения ,  от выбора полюса не зависит.

Рис. 6.8 Геометрическая картина движения тела.

Движение свободного твердого тела в частном случае может быть плоскопараллельным, при этом ,  будут все время перпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело.

6.4 СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА

Скорость  любой точки  слагается из скорости  полюса  и скорости , которую точка  получает при движении вместе с телом вокруг полюса . Так как полюс  неподвижен (как бы) то  окажется формулой , а  и тогда                                                                                                                                                                                     (6.8)

таким образом,

или, ,                               (6.9)

аналогично для любой точки  тела найдем

 или .

6.4 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

6.4.1.ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, ПЕРЕНОСНОЕ И АБСОЛЮТНОЕ ДВИЖЕНИЯ

В ряде случаев целесообразно (а иногда и необходимо) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.

Движение, совершаемое при этом точкой или телом, называется составным или сложным.

Например: Шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качания по отношению к палубе (подвижная система отсчета) и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета).

Сложное движение шара разлагается на два более простых. Такая возможность широко используется в динамике для изучения относительного равновесия и относительно движения под действием сил.

Рис.6.9 Сложное движение точки

Рассмотрим точку , движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета , которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета , называемой основной или неподвижной.

Введем следующие определения:

а) Движение, совершаемое точкой  по отношению к подвижной системе отсчета (к осям ), называется относительным движением. Траектория , описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки  относительно  называется относительной скоростью , а ускорение – относительным ускорением . При вычислении  и  движение системы  в расчеты не принимаются ( рассматривается как неподвижная система).

б) Движение, совершаемое подвижной системой отсчета  (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неизменной системе , является для точки переносным движением  

Скорость точки, неизменно связанной с подвижными осями  (точка m), с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка , называется переносной скоростью. Ускорение этой точки  -  переносным ускорением точки ; таким образом,

,                                                   (6.10)

в)  Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе  - называется абсолютным   или сложным. Траектория  этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью , ускорение – абсолютным ускорением .

В нашем примере: движение шара относительно палубы будет относительным, а скорость – относительной скоростью шара; движение парохода относительно берега для шара будет переносным движением, а скорость той точки палубы, которая соприкасается с шаром – переносной скоростью; движение шара по отношению к берегу – абсолютное, а его скорость – абсолютная скорость шара.

6.4.2 ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим сложное движение точки : за  вдоль траектории  относительное перемещение определяется вектором . Кривая , двигаясь вместе с осями (подвижными)  (на рисунке не показано) перейдет за время  в новое положение  точка  кривой , которая во время  совпадает с точкой совершит переносное перемещение .

Рис.6.10 Сложение скоростей

В результате точка  придет в положение  и совершит за  абсолютное перемещение .

Из векторного   имеем . Делим обе части уравнения на  и

переходим к пределу   ,

                                                    

но ,  ( по определению).

  

Последнее слагаемое: при  кривая , в пределе .

       

Итак,           (6.11)

                                    

скорости направлены по касательным к соответствующим траекториям. Доказано: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Если угол  между  и , то по модулю.

      

6.5.3 ТЕОРЕМА  О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)

Найдем зависимость между относительным, переносным и абсолютным ускорениями точки. Ранее доказали что, из этого равенства получим:

                                      (6.12)

Производные здесь определяют изменения каждого из векторов при абсолютном движении.

Если условиться изменения, которые векторы  получают при относительном движении, отмечать индексом , а при переносном , то равенство (6.12) примет вид:

           (6.13)

По определению, относительное ускорение характеризует изменение относительного движения. Движение осей  при этом во внимание не принимается. Поэтому                                                                  (6.14)

В свою очередь, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при непереносном движении, так как  где точка  неизменно связана с осями  и следовательно, получает ускорение только при движении с этими осями, то есть:

                                                         ,                     (6.15)

в результате

                                  .             (6.16)

Обозначим

                                                                (6.17)

Величина   характеризующая изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении, называется поворотным, или кориолисовым ускорением точки .

                            (6.18)

Формула (6.18) выражает следующую теорему Кориолиса о сложении ускорений: при сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного,  переносного и  поворотного, или Кориолисова.

Рис. 6.11 Скорости и ускорения при относительном движении точки.

Рассматривая общий случай, будем считать переносное движение, то есть движение подвижных осей , а с ними и кривой  (рис. 6.11), слагающимся из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг этого полюса с угловой скоростью , называемой переносной  угловой скоростью. Как было показано ранее, величина  от выбора полюса не зависит.

Определим . В рассматриваемом переносном движении  вектор , направленный по касательной к кривой , переместится вместе с этой кривой поступательно в положение  и одновременно повернется вокруг  до положения . B в результате вектор  получит в переносном движении приращение , где  - скорость, с которой перемещается точка  при повороте вектора  вокруг точки . Так как этот поворот происходит  с угловой скоростью , то по формуле  получим , или                            

и                                (6.19)

Теперь определим .Скорость  равна скорости той, неизменно связанной с подвижными осями точки m кривой , с которой в данный момент времени совпадает точка .

Если точку  принять за полюс, обозначив вектор , то

Рис. 6.12 Скорости и ускорения при переносном движении точки.

При относительном перемещении  точка придет в положение , для которого  и  и вектор  получает приращение , откуда

                                    (6.20)

т.е.

                                                                            (6.21)

Кориолисово ускорение равно удвоенному произведению переносной  угловой скорости подвижной системы отсчета на относительную скорость точки.  

Случай поступательного переносного движения предполагает , следовательно  и тогда

                      (6.22)

то есть, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного  и переносного ускорений.

Вычисление

Рис. 6.13 Направление вектора поворотного ускорения

Модуль Кориолисова ускорения равен

                   (6.23)

 плоскости, проходящей через векторы   и  («+» против часовой стрелки относительно ). Кориолисово ускорение может обращаться в нуль в следующих случаях:

1.   
2.  
3.   или ,

т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения, или если в данный момент времени параллелен этой оси.

Вопросы для самопроверки.

1.  Какое движение называется сложным?
2.  Какое движение называется относительным, переносным, абсолютным?
3.  Что называется относительной, переносной и абсолютной скоростью (ускорением) точки?
4.  Сформулируйте теорему сложения скоростей.
5.  Сформулируйте теорему сложения ускорений.
6.  Каковы причины появления Кориолисово ускорения?
7.  Как определяется абсолютное ускорение, когда переносное движение точки поступательно?
8.  Как определяется Кориолисово ускорение по модулю и направлению?
9.  При каких условиях Кориолисово ускорение равно нулю?

1. Электрический ток в газах
2. компетентности к обновлению компетентностей Я
3. .Где был ИванушкаНа ярмарке
4. СОПКА2 5
5. Реферат- Арабский Восток
6. обладают силой объективного неотвратимого влияния на подрастающую личность
7. КУРСОВОЙ ПРОЕКТ по технологии продуктов общественного питания
8. Русская Правда
9. Абеляр, Петр
10. ТЕМА 2ldquo;АРТИЛЛЕРИЙСКИЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫrdquo; ЗАНЯТИЕ 5 ldquo;Десантный метеорологический комплект ДМ
11. помогите распространить эту книгу Просьба к издателям помогите опубликовать ПРЕДИСЛОВИЕ.
12. Курсовая работа- Производство нитробензола
13.  В каких тканях наблюдается поляризация эпителиальных клеток Для каких животных характерна перитрофич
14. Контрольная работа- Некоторые вопросы аренды и уплаты акцизного сбора на территории Республики Беларусь
15. Введение.7
16. Транзистор КТ819 Задача 4
17. В Иерусалиме Жаворонки Зернышко А мати Мария Cына спородила
18. Пізнання і використання економічних законів; Функції економічної теорії; Економічні потреби суспіль
19. 1 Выбор и обоснование метода производства Обзор литературных источников и анализ работы действующих пр
20. Вживання апострофа в українській мові для носіїв української мови та іноземців на 5 хвилин

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе