Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
80
PAGE 3
EMBED Equation.3
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С.П. Королева”
Ф.В. Гречников, И.П. Попов, А.Г. Шляпугин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ
И ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
САМАРА 2007
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С.П. Королева”
Ф.В. Гречников И.П. Попов, А.Г. Шляпугин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ
И ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Учебное пособие
САМАРА 2007
УДК 621.73.681.3
Основы компьютерного моделирования процессов ОМД Учеб. пособие / Ф.В. Гречников, И.П. Попов, А.Г. Шляпугин. Самар. гос. аэрокосм. ун-т; Самара, 2007. 97 с.
В пособии рассматриваются основные вопросы компьютерного моделирования, возникающие при решении задач обработки металлов давлением.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 1501 – обработка металлов давлением и 1502 – машины и технология обработки металлов давлением.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева.
Рецензенты:
доктор. техн. наук, проф. Смирнов Г.В.
канд. техн. наук, Смольников С.Д.
Содержание
Введение
Невозможно представить современное производство без широкого применения моделирования. Практически на любом этапе производства, начиная от создания эскизного проекта и заканчивая контролем качества готового издания, мы сталкиваемся с понятиями модели и моделирования.
Что же такое моделирование и в чем оно заключается? Моделирование (процесс создания модели) заключается в замене исходного объекта его “образом” моделью. Полученная модель при необходимости может быть использована при решении прямых и обратных задач.
Прямые задачи отвечают на вопрос, каков получиться результат при заданных условиях функционирования модели. В частности, какой будет зависимость изменения толщины прокатываемой ленты по ширине при изменении жесткости валков прокатного стана. Для решения такой задачи строиться математическая модель, позволяющая выразить исследуемую величину, т.е. в нашем случае зависимость, связывающая изменение толщины прокатываемой ленты от жесткости валков прокатного стана.
Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать единственное решение из множества решений, получаемых с помощью принятой модели так, чтобы решение отвечало заданным условиям. Например, какой должен быть профиль валков, для того чтобы разнотолщинность ленты по ширине была минимальной. Обратные задачи называются задачами оптимизации.
Прямые задачи проще обратных, поскольку для решения обратной задачи зачастую приходиться сначала решить прямую задачу.
Решение, поставленных ранее задач, требует развития специальных методов моделирования, которые бурно развиваются, охватывая все новые сферы этой области науки. Степень использования моделирования в производственном процессе говорит об уровне самого производства. Там где большую часть подготовки к производству занимает исследование и изучение процессов производства там и следует ожидать более высокое качество изготавливаемого изделия. Соответственно и требования к инженерам, обеспечивающим проектирование подобных технологических процессов предъявляться более высокие.
На современном этапе развития науки процесс моделирования очень тесно связан с использованием ЭВМ. Это объясняется рядом причин, среди которых можно выделить следующие:
1.0 Общие сведения о компьютерном моделировании
1.1 Основные этапы компьютерного моделирования
На современном этапе развития науки и техники моделирование очень тесно связано с использованием ЭВМ, а возможности компьютерного моделирования иногда кажутся, настолько большими, что моделирование называют “третьим методом” познания, сочетающим в себе достоинства как теории так эксперимента /1/.
Компьютерное моделирование условно можно разделить на две группы: во-первых, это моделирование, в котором использованы имеющиеся программное обеспечение и, во-вторых – “классическое” – в котором созданы новые программные продукты. В соответствии с целями моделирования разработка программы может осуществляться как для конкретного технологического процесса, так и для целой группы технологических процессов или даже способов. Например, к первой группе можно отнести задачу расчета деформации валков прокатного стана заданной модели для прокатки полосы толщиной 10 мм из технически чистого алюминия. Ко второй – задачу описания всех известных способов прокатки.
В “классическом” варианте моделирования какого-либо объекта или процесса можно условно выделить следующие этапы /1/:
На первом этапе собирается информация об исходном объекте, которая позволяет получить важные предварительные данные об объекте. На этом этапе возможно исследование математической модели (или ее частей) теоретическими методами. Осуществляется формализация (математическое описание исходных данных).
На втором этапе осуществляется разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Обычно для задач ОМД на этом этапе осуществляется представление модели в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью.
Из требований, предъявляемых к вычислительным алгоритмам, можно выделить следующие:
- алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта;
- алгоритмы должны быть экономичными как с точки зрения осуществления расчетов при моделировании, так и с точки зрения построения;
- алгоритмы должны быть адаптирующимися к особенностям решаемых задач, используемому языку программирования и используемым компьютерам.
На третьем этапе создаются программы, “переводящие” алгоритм на доступный компьютеру язык. К этим программам также предъявляются требования экономичности и адаптивности. При этом под экономичностью использования языка программирования понимается возможность быстро и четко описать необходимый алгоритм, а под адаптивностью – способность легко исправить или подкорректировать уже созданную программу. Полученная в результате программа становиться “электронным” эквивалентом изучаемого объекта или процесса, который в дальнейшем можно изучать на компьютере.
Как правило, для программирования используются языки высокого уровня (например, Паскаль, Бейсик и др.), поскольку их использование позволяет написать программу более качественно и быстро. Существуют также специализированные языки программирования, предназначенные для решения конкретных задач моделирования.
С помощью полученной программы, осуществляется постановка “пробных” вычислительных экспериментов и отладка системы “формализованная модель–алгоритм–программа” для достижения требуемой адекватности. После чего исследователь получает универсальный, гибкий и недорогой инструмент, позволяющий проводить разнообразные и подробные “опыты”, дающие все требуемые качественные и количественные характеристики объекта.
Рассмотрим случай “классической” постановки прямого моделирования на примере процесса обтяжки /19/. Процесс обтяжки осуществляется следующим образом: изогнутая заготовка, уложенная на пуансон и закрепленная в зажимах, деформируется под действием поднимающегося вверх пуансона (рисунок 1).
Рисунок 1 – Схема процесса обтяжки: 1 – пуансон, 2 – листовая заготовка, 3 – неподвижный зажим, 4 – гидравлический цилиндр, приводящий в движение пуансон
Замкнутого аналитического решения данной задачи, например, с учётом сдвиговых деформаций, в том числе и по толщине, не существует. Использование метода конечных элементов (МКЭ) с объёмными конечными элементами для описания геометрии листа с помощью дискретной модели усложняется из-за большого различия в размерах заготовки в направлении толщины и плоскости листа. Для описания такого тела потребуется большое количество конечных элементов и время, потраченное на расчеты процесса листовой штамповки в программах, описывающих объемное напряженное состояние, не всегда оправдано. Программ, способных осуществить расчёт обтяжки с помощью МКЭ, нет.
Поэтому при постановке задачи компьютерного моделирования в этом случае есть смысл осуществить полную разработку модели от подготовки математических данных о процессе до реализации расчета с конкретными данными технологического процесса в уже созданной программе. В других случаях, например, для описания конкретного технологического процесса вытяжки, решение которого может быть осуществлено в уже существующей программе, гораздо целесообразнее использовать уже имеющиеся программные продукты (например, программу Autoform).
Тогда “классический” вариант моделирования технологического процесса обтяжки будет состоять из следующих этапов:
Во-первых, необходимо разработать математическую модель процесса, для реализации используемого способа. В случае, если способ является новым, и математической модели не существует, то необходимо осуществить соответствующие теоретические и экспериментальные выкладки, для ее создания и подтверждения адекватности. Для осуществления расчетов с помощью метода конечных элементов модель должна быть представлена в виде уравнения описывающего в матричном виде энергетическое состояние системы.
На втором этапе последовательность расчетов, выполняемая в процессе моделирования, должна быть записана согласно требованиям ГОСТ в виде алгоритма. Для этого сначала необходимо четко определить последовательность выполнения операций.
На третьем этапе осуществляется написание программы и ее трансляция в машинный язык, используемый на ЭВМ. Если создаваемая программа сложна, то её написание может быть изначально осуществлено на бумаге. После написания программы осуществляется ее трансляция в машинный язык, работу с которым ЭВМ осуществляет гораздо быстрее, чем с любым языком программирования высокого уровня.
После получения программы осуществляется проверка данных, полученных из вычислительного эксперимента и их сравнение с экспериментальными данными, полученными в процессе обтяжки с заданными технологическими параметрами. В случае получения адекватного результата программу можно использовать для моделирования процесса с различными технологическими параметрами.
В настоящий момент для моделирования процессов ОМД прибегать к созданию программы приходиться достаточно редко, поскольку первые два этапа описанные выше уже реализованы в большом количестве существующих программных продуктов. В этом случае при создании модели достаточно лишь задать значения технологических параметров в уже существующей программе. А для случая, когда моделируемый процесс все же не укладываются в рамки используемого в программе алгоритма решения задач, в современных программах предусматривается возможность использования языков программирования для написания новых алгоритмов расчета (в программе Ansys например используется язык APDL).
1.2 Виды моделей
Как отмечалось выше, для описания программы и осуществления компьютерного моделирования необходимо использовать формализованную модель объекта. Рассмотрим какие виды моделей существуют.
Все существующие модели можно разделить на две группы – физические модели и модели спецификации.
Физические модели являются реальными телами, которые своими физическими характеристиками выражают свойства исследуемого объекта.
Под моделями спецификациями понимают все остальные существующие модели, которые описывают физические характеристики моделируемого объекта с помощью принятых обозначений.
Среди физических моделей можно выделить следующие группы:
- в зависимости от учета фактора времени статические и динамические;
- по силе использования физической аналогии: натурные, масштабные и аналоговые;
- в зависимости от поставленных задач: демонстрационные, экспериментальные и т.д.
- в зависимости от количества используемых измерений: одно-, двух-, трехмерные.
Статические физические модели помогают нам наглядно представить себе пространственные соотношения. Их примером могут быть макеты заводских сооружений, или макеты сложной штамповочной оснастки.
Динамическая физическая модель должна учитывать время или развитие процесса во времени. Примером динамической физической модели может служить штамповочный участок, используемый для освоения нового технологического процесса, внедряемого на заводе.
Физические модели могут быть натурными – полномасштабными макетами (опытные образцы для штамповки), или масштабными – выполняемыми в уменьшенном или увеличенном масштабе, (например, модель кристаллической решетки, модель атома). Отличительной особенностью любой натурной и масштабной физической модели является то, что она “выглядит” подобно моделируемому объекту.
Аналоговыми моделями являются модели, у которых изучаемое свойство реального объекта заменяется аналогичным по поведению свойством другого объекта. Как правило, эта задача решается заменой свойств моделируемого объекта свойствами модели, после чего полученные результаты рассматриваются применительно к исходным свойствам моделируемого объекта.
Например, необходимо оценить качество заполнения опоки при литье детали, показанной на рисунок 2. Это можно сделать заменой формы опоки на электросопротивление проводников в цепи с током. Для этого форму опоки можно разбить на несколько участков, каждый из которых заменить проводником с определенным электросопротивлением. Причем для замены каждого участка электросопротивление подбирать относительно размеров и формы опоки на данном участке. В этом случае оценку качества заполнения опоки можно дать по течению в проводнике электрического тока.
|
а) б) |
Рисунок 2 – Пример аналоговой модели: а – опока; б – аналоговая модель опоки
Среди моделей спецификаций записываемых в письменном виде наиболее распространены математические модели – модели, представленные с помощью средств математики. Математические модели могут быть геометрическими, динамическими, логическими и т.д., в зависимости от того какие интересующие свойства они отражают.
Математические модели могут быть символическими, численными и смешанными, в зависимости от того используется обозначение величины или ее численное значение.
Математические модели можно разделить на две группы: функциональные и алгоритмические. Функциональные модели являться явно выраженными зависимостями между входными данными и исследуемыми свойствами, в то время как в алгоритмических моделях эта связь задана неявно, а в виде алгоритма. Можно сказать, что функциональные модели это частный случай алгоритмических, когда алгоритм вычисления сведен к расчету одного уравнения /3/.
При рассмотрении иерархических уровней математических моделей металлургического производства можно выделить несколько уровней: микроуровень, макроуровень, и метоуровень /27, 28/. Особенностью модели на микроуровне является отображение физических процессов в непрерывном пространстве и времени. С помощью дифференциальных уравнений в частных производных рассчитываются поля напряжений и деформаций. Объектами исследования на этом уровне являются отдельные технологические операции.
На макроуровне используют укрупненную дискретизацию производства по функциональному признаку, т.е. используют обыкновенные дифференциальные уравнения. В этих моделях обычно иметься две группы переменных – независимых (время) и зависимых (фазовых). В качестве фазовых переменных выступают силы, скорость перемещения, напряжения и т.д. В качестве объектов исследования выступают целые технологические процессы.
Объекты на метоуровне описывают укрупнено. В качестве математического аппарата используются обыкновенные дифференциальные уравнения, теория массового обслуживания, и т.д. Объектами выступают уже целые технологические системы.
Среди моделей спецификаций можно также выделить статические и динамические, детерминированные и стохастические, аналоговые и дискретные модели.
Статические модели описывают статические состояния, в них не присутствует время в качестве независимой переменной. Динамические модели отражают поведение системы во времени.
Стохастические и детерминированные модели различают в зависимости от учета или не учета случайных факторов. В детерминированных задачах вероятность совершения исследуемого события всегда равна 100% в то время как в стохастических задачах эта вероятность может изменяться или даже быть неизвестной /29/.
В аналоговых моделях переменные величины являться непрерывными, в дискретных – дискретными. Важным частным случаем дискретных моделей являются логические или булевы модели, в них состояние системы и ее элементов описывается булевыми величинами. В ряде случаев применяют смешанные по этому признаку модели. В них одна часть системы описывается аналоговыми моделями, другая - дискретными.
В дальнейшем мы будем говорить, только о функциональных математических детерминированных моделях спецификации, используемых для расчета на ЭВМ, называя их просто моделями или математическими моделями.
1.3 Формализация объектов и процессов при построении модели
Для того чтобы использовать ЭВМ в процессе моделирования необходимо, чтобы исходный объект или процесс был формализован, т.е. описан математическими зависимостями. Построение математической модели объекта или процесса называют её формализацией. В ходе формализации происходит описание исходного объекта с заданной точностью.
Следует заметить, что реальные процессы, как правило, включающие в себя огромное число переменных, параметров, факторов, элементов, соотношений, ограничений и т. д. Соответственно и при построении модели, в нее можно включить бесконечное число переменных параметров и т.д., что значительно усложнит процесс поиска верного варианта решения.
При создании модели следует пренебречь частью реальных факторов, переменных, параметров и т.п. изучаемого объекта и выделить только те особенности, которые необходимы для описания идеализированного варианта реального объекта или процесса. При оценке процессов и объектов ОМД можно воспользоваться правилом Паретто справедливым для большинства технических систем. Правило Паретто заключается в том, что на интересующие исследователя характеристики системы оказывает существенное влияние лишь несколько из множества факторов. Как правило, 20% факторов определяют 80% интересующих свойств, в то время как оставшиеся 80% факторов определяют оставшиеся 20% свойств /26/.
Таким образом, важной задачей моделирования является правильный выбор исследуемых факторов, поскольку именно правильное решение этой задачи позволяет значительно сэкономить силы и средства исследователей.
В большинстве случаев выбор исследуемых факторов осуществляется на основании уже накопленной информации, опыта и интуиции исследователя. Поэтому моделирование является творческим процессом, который может быть сравнен с искусством.
Любая модель является упрощением реального процесса. Если это упрощение выполнено правильно, то с помощью модели можно получить верные результаты.
Для того чтобы модель была “похожа” на объект необходимо, чтобы выполнялись следующие условия. Во-первых, должно существовать однозначное соответствие между элементами модели и элементами представляемого объекта. Во-вторых, должны быть сохранены точные соотношения или взаимодействия между элементами.
При разработке модели систему обычно разбивают на части, т.е. проводят анализ. Анализ необходим для выявления взаимодействия между элементами исследуемого объекта или процесса.
Например, в ходе анализа автоматизированного производственного участка листовой штамповки можно выделить отдельные взаимодействующие единицы оборудования (подающее и разматывающее устройство, штамповочный пресс и т.д.) и установить параметры взаимодействия между этими единицами (компенсационный запас материала, частоту включения разматывающего устройства и т.д.) /19/. При необходимости каждую единицу оборудования можно разбить на отдельные механизмы (на штамповочном прессе это может быть механизм подачи, механизм привода ползуна и т.д.), и установить параметры их взаимодействия (например, скорость подачи материала, величину его перемещения и т.д.).
При анализе очень часто приходиться сталкиваться с другого рода упрощениями исследуемого объекта. Данное упрощение, как правило, связано с заменой сложного характера зависимости реального объекта на более простой закон, используемый при построении модели. Например, при моделировании процессов ОМД зависимость между напряжениями и деформациями кривой упрочнения часто заменяют на более простой линейный закон аппроксимации (рисунок 5). В этом случае известно, что зависимость между напряжениями и деформациями является нелинейной, однако если принятое допущение о линейном характере зависимости на взгляд исследователя оправдано (например, если исследование проводиться на участке где линейная зависимость достаточно точно описывает кривую упрочнения см. рисунок 4), то мы можем принять данное допущение.
Рисунок 3 – Автоматизированный участок листовой штамповки:
1 – разматывающее устройство; 2 – валковая подача; 3 – ножницы для резки отходов; 4 – пресс
Еще одна сторона упрощения связана со сравнением порядка различных величин, фигурирующих в модели.
Например, изменение некоторой величины у с течением времени можно описать уравнением вида:
у=ах2+вх+с,
где у – исследуемая величина, х – переменная, определяющая исследуемую величину, а, в, с – параметры уравнения.
В случае если а<<в и а<<с, а значение х<1 то множителем ах2 можно пренебречь и уравнение принимает более простой вид:
y=bx+c.
Рисунок 4 – Иллюстрация к замене кривой упрочнения линейным отрезком: 1 – степенная зависимость, 2 – линейная зависимость
После того как отдельные элементы системы были проанализированы и упрощены, очевидно, что необходимо осуществить задачу синтеза модели. Здесь надо учесть, что в ходе синтеза элементы должны быть собраны корректно, как с точки зрения характера взаимодействия, так и с точки зрения соединения объектов. Другими словами при передаче информации от одной части системы к другой передача должна осуществляться в одинаковом виде и в правильной последовательности. При этом не должно происходить потерь информации.
Например, на этапе анализа было выяснено, что кривую упрочнения можно разделить на два участка упругий и пластический и что каждый из участков можно заменить линейными зависимостями, с устраивающей исследователя точностью. Тогда на этапе синтеза необходимо объединить уравнения этих прямых в одну систему таким образом, чтобы полученная система полностью определяла исследуемую зависимость на исследуемом участке. Для этого необходимо найти точку пересечения этих прямых. Полученная в результате зависимость носит название билинейного закона.
а) б)
Рисунок 5 – Иллюстрация к задаче синтеза с кривой упрочнения 1: 2 – прямая, описывающая упругий участок, 3 – прямая, описывающая пластический участок
Следует заметить, что прямая описывающая пластические свойства может быть неограниченна справа по оси деформаций. Однако, с увеличением деформаций достоверность описания прямой пластического участка кривой упрочнения становиться ниже, поэтому необходимо ввести критерий, позволяющий судить о возможности использования принятой модели. Для оценки соответствия модели и исследуемого объекта или процесса, существует понятие адекватности (достоверности).
Существует несколько аспектов проверки адекватности. Во-первых, сама модель должна быть непротиворечивой и подчиняться законам логики. Во-вторых, достоверность модели во многом зависит от способности правильно описывать исходную ситуацию, т.е. от тех исходных допущений, которые были приняты при создании модели.
При получении достоверного решения нужно помнить о том, что уточнение решения для модели, должно быть оправдано, прежде всего, самой постановкой задачи. В первую очередь это касается точности имеющихся данных. Если исходные данные известны с погрешностью 10% (большинство задач ОМД), то смысла искать решение с точностью 1%, нет. В этом случае можно сказать – “всякое уравнение длиной более двух дюймов, скорее всего, неверно!” /26/.
При оценке достоверности необходимо помнить также и о затратах времени и ресурсов, связанных с получением более точного решения. Порой менее точное решение, полученное своевременно может дать больше выгоды.
Например, для получения быстрого решения при моделировании процесса вытяжки в программе AutoForm предусмотрен специальный модуль, который позволяет получить приближенное решение задачи и оценить с технологической точки зрения возможность изготовления изделия. На основании полученного решения у компании, использующей программу AutoForm, есть возможность быстро ответить потенциальному заказчику сможет ли она изготовить изделие и какова будет его примерная стоимость изготовления.
В заключение еще раз следует сказать то, что математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. “Ощутимое упрощение наступает тогда, когда несущественные особенности ситуации отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу” /1/.
1.4 Требования, предъявляемые к моделям
Моделирование всегда связано с решением конкретных задач, которые не должны давать абсурдные результаты. Желательно, чтобы была возможность изменения величины параметров и переменных в как можно большем интервале измерений, поскольку это позволяет изучить модель на всю глубину исследуемых параметров. Желательно также, чтобы модель могла ответить на вопрос – “а что, если...?”, поскольку именно этот вопрос позволяет ее изучить наиболее полно.
Необходимо также помнить о том для кого предназначается информация, которая появляется при моделировании. Нет смысла разрабатывать модель, если ей в конечном итоге невозможно воспользоваться.
При построении модели надо также учитывать и тот факт что со временем ситуация может измениться и разрабатываемая модель должна иметь возможность адаптироваться (подстроиться) к новым условиям. Изменения могут быть связаны как с изменением интервала значений уже рассматриваемых параметров, так и с появлением новых значимых параметров. Следовательно, и модель должна иметь возможность к подобной адаптации.
Модель должна быть экономичной. Экономичность модели определяется, как затратами, затрачиваемым пользователем модели на ее использование, так и возможностью быстрого перестроения модели исследователем.
Основываясь на вышеизложенном, можно сформулировать основные требования предъявляемые к модели. Модель должна быть:
Для того чтобы моделью можно было пользоваться, при ее разработке должны быть тщательно продуманы и потребности, и психология ее конечного потребителя.
1.5 Общий вид математических моделей
1.5.1 Общий вид математических моделей
Математическая модель, это модель, которая в общем случае представляет собой записанный с помощью средств математики алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных входных параметрах X.
Математические модели являются представлением физических или иных процессов, протекающих в объектах. Обычно данные модели представляют систему уравнений, описывающих внутренние, внешние и выходные параметры (см. далее).
В самом простом случае структуру аналитической модели мы можем представить математически в виде следующей системы:
,
где Y=f(x,z) – целевая функция, х≤Х – возможные ограничения, Y – результат действия системы; х, z – переменные и параметры; f – функциональная зависимость между параметрами и переменными определяющая величину Y. Данная система содержит одну целевую функцию и одно ограничение. В общем случае математическая модель может содержать несколько целевых функций и несколько ограничений.
Тогда любая математическая модель может содержать следующие составляющие /21/:
— компоненты,
— переменные,
— параметры,
— функциональные зависимости,
— ограничения,
— целевые функции.
Под компонентами понимают составные части, образующие систему. В качестве компонентов могут выступать ограничения и целевые функции. Иногда под компонентами понимаются элементы системы или ее подсистемы. Например, если в качестве системы рассматривать технологический процесс, то компонентами этой системы будут отдельные операции. Полное количество компонентов участвующих в моделировании выбирается исследователем.
Параметры это величины, выбирающиеся произвольно в отличие от переменных, которые принимают только значения, определяемые видом используемой функции, т.е. параметры являются постоянными величинами, не подлежащими изменению. Например, в законе Гука (1): Е является параметром постоянной величиной для заданного материала, а σ и ε — переменными.
σ=Еε, (1)
где σ – напряжения, Е – модуль Юнга, ε – деформации.
Переменные могут быть двух видов - внутренними и внешними. Внешние переменные называют также входными, поскольку они являются результатом воздействия внешних причин. Переменные, возникающие в системе, называются внутренними. Они появляются в результате воздействия внутренних причин. Внутренние переменные могут быть переменными состояния, если они характеризуют состояние или условия, имеющие место в системе или выходными переменными, если они описывают состояние на выходах системы /21/.
Функциональные зависимости характеризуют переменные и параметры в пределах компонента или выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения, могут быть различными по своей природе и используемому математическому аппарату. По природе исследуемого объекта соотношения могут быть детерминистскими, или стохастическими. Детерминистские соотношения – это уравнения устанавливающие зависимость между переменными или параметрами в случае, когда процесс однозначно определен. Стохастические соотношения однозначно не определяются с помощью входных параметров.
Функциональные зависимости могут быть получены в соответствии с двумя подходами: гносеологическим или информационным (см. далее). Как правило, стохастические соотношения между входными и выходными переменными характерны для информационного подхода.
Ограничения являются математической записью пределов изменения значений переменных. Они могут быть поставлены разработчиком – искусственные ограничения, или природой исследуемых объектов в соответствии с присущими им свойствами – естественные ограничения. Как правило, искусственные ограничения являются техническими требованиями к объекту или процессу. Например, требование предъявляемое к поковке по штамповочному уклону служит ограничением при моделировании процесса заполняемости штампа при штамповке.
Примером естественного ограничения может быть максимальное и минимальное значение процентов содержания компонента сплава, которое может изменяться от 0 до 100%. В качестве примера искусственного ограничения можно привести ограничения связанные с поиском сплава с наибольшей прочностью при изменении процентного содержания одного из компонентов в диапазоне от 10 до 25%.
Целевая функция, или функция критерия, - является отражением целей или задач моделирования. Уравнение целевой функции должно быть, как можно более точно определено относительно целей задач исследования. Под критерием понимается конкретная мера оценки позволяющая давать верное суждение о суть происходящих явлений. Такое определение критерия объясняется двумя причинами. Во-первых, выбор критерия влияет на процесс создания модели и работу с ней. Во-вторых, неправильное определение критерия обычно ведет к неправильным заключениям. Функция критерия (целевая функция) является основой модели. Практически процесс исследования модели и решения задачи оптимизации полностью связан с исследованием целевой функции.
В зависимости от сложности поставленной задачи математическая модель может содержать несколько целевых функций, в этом случае говорят, что задача моделирования является многокритериальной.
1.5.2 Основные этапы формализации объектов и процессов при построении математической модели
Процесс создания математической модели, которая в дальнейшем может использоваться для создания программы, содержит следующие этапы:
На первом этапе необходимо определить, в чем именно заключается задача формализации, и какие результаты необходимо получить за счет изменения параметров.
На втором этапе исследователю необходимо на основании анализа элементов упростить реальный объект или процесс и поставить ограничения. Процесс упрощения достаточно подробно изложен в пункте (1.3) формализация объектов и процессов при моделировании. Как правило, при постановке ограничений для установления области исследования пользуются здравым смыслом (например, при моделировании свойств нового сплава состоящего из большого количества компонентов содержание любого из компонентов не может быть более 100%). В другом случае ограничения могут быть сформулированы при постановке задачи (например, постановка задачи звучит следующим образом: уточнить концентрацию компонента в сложном сплаве в интервале от 10 до 15% так чтобы прочность сплава была наибольшей).
На третьем этапе, на основании уже формализованных данных создается сама модель. Этот этап можно разделить на две части. Во-первых, записывается сама модель (система уравнений) без конкретизации числовых значений используемых параметров. Во-вторых, осуществляется расчет и уточнение числовых значений ранее записанной модели.
На четвертом этапе осуществляется проверка адекватности построенной модели. На этом этапе желательно осуществить постановку эксперимента с целью подтверждения созданной модели.
На пятом этапе, на основании теоретической или экспериментальной проверки принимается решение о доработке модели или ее использовании. В случае, если для моделирования использовалось несколько различных вариантов моделей, производиться выбор наиболее подходящего варианта.
1.5.3 Основные подходы в математическом моделировании
Для построения математических моделей можно использовать два подхода: гносеологический (аналитический) и кибернетический (информационный) /2/.
Аналитический подход позволяет получить математическое описание процесса на основе теоретического анализа физических процессов, происходящих в исследуемом объекте с учетом особенностей и характеристик обрабатываемого материала. Постановка эксперимента при использовании данного подхода осуществляется только для уточнения и проверки уже построенной модели /2/.
Построенные на основании данного подхода модели являются наиболее полными и используются для анализа явлений, протекающих в объекте. После аппроксимации простыми зависимостями эти модели можно использовать в задачах оптимизации и автоматического управления.
Кибернетический подход – базируется, на изучении входных и выходных переменных кибернетической системы, которую называют “черным ящиком” (рисунок 6). “Черный ящик” представляет собой систему связей, недоступную для наблюдения, т.е. неизвестен характер связи входов Х и выходов Y участвующих в процессе /4, 5, 6, 7, 26/.
Данный подход дает математические модели, которые описывают поведение объекта, а не его физическую сущность. Модели, построенные на основании данного подхода так же, используются для оптимизации и автоматического управления.
Рассмотрим пример использования гносеологического и кибернетического подходов. Допустим, что необходимо исследовать какое влияние на толщину фланца заготовки в ходе процесса вытяжки оказывает величина исходного диаметра заготовки. Напомним, что процесс вытяжки заключается в получении цилиндрической оболочки с дном из плоской заготовки рисунок 7.
В соответствии с кибернетическим подходом необходимо провести серию экспериментов для получения исходных данных. Полученные из экспериментов данные математически обработать и выяснить, есть ли между исходным диаметром заготовки и толщиной фланца зависимость или нет. В случае, если зависимость наблюдается, необходимо провести дополнительное исследование полученной модели с тем, чтобы установит аналитическую зависимость влияния диаметра заготовки на толщину фланца. Аналитические зависимости строят в виде уравнения регрессии с заданной степенью надёжности и проверкой адекватности.
Рисунок 6 – Схема “черного ящика”: Х – информация, поступающая на вход;
Y – информация, поступающая на выход
В соответствии с аналитическим подходом необходимо провести теоретическое исследование процесса вытяжки. Для этого обратимся к теории листовой штамповки.
Рисунок 7 – Вытяжка цилиндрической детали из круглой плоской заготовки:
1 – матрица; 2 – заготовка; 3 – пуансон; 4 - прижим
Согласно теории листовой штамповки надо воспользоваться уравнением связи напряжений и деформаций и условием постоянства объема, которые для листовой штамповки могут быть записаны в следующем виде /8,9/:
,
,
где , - меридиональное и широтное напряжения; , - деформации в соответствующих направлениях, - деформация по толщине.
Откуда:
.
После преобразований получим:
.
Считаем, что , а можно записать:
,
где S, S0 – соответственно толщины до и после деформации рассматриваемого элемента с координатой , r – радиус рассматриваемого элемента до деформации. Поскольку при , то для кромки деформируемой заготовки можно записать:
,
где , - радиусы заготовки и кромки в рассматриваемый момент деформации. Основываясь на этом соотношении, можно примерно оценить толщину фланца заготовки при вытяжке. В случае использования данного подхода моделирования решение было получено “на бумаге” и практически все затраты сводятся лишь к затратам времени на теоретическое исследование.
В данной работе в дальнейшем будет рассматриваться только гносеологический подход моделирования.
1.5.4 Основные допущения, используемые при создании математических моделей процессов ОМД
Использование гносеологического подхода позволяет получать математическое описание объекта, основываясь на анализе физических, химических и др. явлений, протекающих в исследуемом объекте.
Существенным недостатком аналитических моделей, как правило, является сложный характер взаимосвязи, участвующих при построении модели параметров, что создает неудобства при дальнейшем использовании полученной модели, например, в поиске оптимального значения исследуемых параметров, или в автоматическом управлении технологическим процессом.
Сложный характер явлений, возникающих при обработке металлов, требует упрощения сложных математических моделей.
Это возможно за счет аппроксимации (замены) аналитически полученной зависимости более простыми и удобными для использования зависимостями, которые и могут быть использованы для дальнейшего управления технологическим процессом или поиска оптимального значения. В этом случае точность используемой модели будет ниже, но сама модель будет более удобной для исследования или управления технологическим процессом.
В соответствии с данным подходом появляется возможность получать модели требуемой точности зависимой лишь от степени достоверности.
Задачи ОМД, решаемые наиболее часто с помощью моделирования можно разделить на 2 группы:
Рассмотрим первую группу задач. Как правило, задачи этой группы являются наиболее простыми с точки зрения моделирования, поскольку рассчитывают перенос тепла в твердом теле теплопроводностью /10/. Напомним, что в общем случае перенос тепла может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвективным теплообменом и лучистым теплообменом.
В случае теплопроводности перенос тепла осуществляется между твердыми соприкасающимися частицами. Поэтому используемая в моделировании теория теплопроводности рассматривает исследуемое тело, как непрерывную среду – континуум. В этом случае не учитывается реальное молекулярное или атомное взаимодействие частиц реального тела. На самом деле как процессы, протекающие внутри тела, так и процессы, связанные с взаимодействием тел объясняются именно взаимодействием частиц на атомном и молекулярном уровнях /11/.
Другое допущение связано с тем, что при моделировании задач теплопроводности могут использоваться изотропные и ортотропные модели. В изотропной модели свойства теплопроводности одинаковы во всех направлениях по всему телу, в то время как в ортотропной модели свойства различны в зависимости от направления (рис. 8) /12/. Если выделить в теле элемент сплошной среды и считать, что оси координат совпадают с главными направлениями теплопроводности, то количество теплоты, проходящее через изотермическую площадку в единицу времени определяется величиной коэффициента теплопроводности в указанном направлении (рисунок 9) /11/.
Задачи теплообмена, решаемые совместно с задачами пластического деформирования металла реализуются, например, в программе Deform.
Рассмотрим вторую группу задач. Задачи механики твердого тела являются наиболее сложными задачами инженерного анализа.
а) б)
Рисунок 8 – Иллюстрация к свойствам теплопроводности: а – изотропное тело; б – ортотропное тело.
- коэффициент теплопроводности в направлении 1,
- коэффициент теплопроводности в направлении 2
В данной группе задач помимо допущения о сплошности тела и однородности его свойств используется также допущение (гипотеза) о несжимаемости тела. Согласно данному допущению осуществляется пренебрежение упругим сжатием тела изменение его объёма за счёт существующих дефектов структуры. Наиболее распространена запись этой гипотезы в виде условия постоянства объема, по которому изменение объёма тела в трех взаимно перпендикулярных направлениях равна нулю.
Рисунок 9 – Иллюстрация к описанию задачи теплопроводности
Из курса теории обработки металлов давлением известно, что детали меняют форму под действием внешних сил. Действие внешних сил вызывает в теле внутренние усилия, значение и распределение которых зависит от геометрии тела и характера приложения нагрузки.
Рассмотрим тело, находящееся под действием внешних сил. Внешние силы вызывают в теле реактивные силы, которые противодействуют внешним силам. Если мысленно выделить внутри такого тела бесконечно малый элемент в виде прямоугольного параллелепипеда, то действие внутренних сил сопротивления на его гранях эквивалентно действию сил со стороны отброшенных внешних частей (рисунок 10) и противоположны по знаку.
Здесь допущение принять на философском, мировоззренческом уровне. За бесконечно малый элемент принят самый малый объём, который сохраняет механические свойства основного металла. Другими словами остаётся вне рассмотрения свойства на атомном уровне.
В соответствии с теорией механики сплошных сред напряженное состояние тела в точке характеризуется с помощью тензора напряжений. Под тензором напряжений понимается совокупность в общем случае девяти напряжений, действующих на бесконечно малых площадках вокруг рассматриваемой элемента (рисунок 10).
Если рассматривать элементарный прямоугольный параллелепипед, находящийся в равновесии под действием внутренних сил, то его длина по отношению к исходному состоянию, когда усилие не было приложено, изменится. Это явление называется деформированием, а мера изменения размера – деформацией. Аналогично тензору напряжений деформированное состояние тела принято описывать с помощью тензора деформаций (рисунок 11). Здесь деформации сдвига, имеющие в индексах одинаковые буквы, равны между собой, поэтому неизвестными являются только шесть компонентов деформаций.
Рисунок 10 – Напряженное состояние бесконечно малого элемента.
, , - главные напряжения, , , , ,, - касательные напряжения
Рисунок 11. Деформированное состояние бесконечно малого элемента:
, , -главные деформации, , ,,,,-сдвиговые деформации
1.5.5 Методы решения задач ОМД
Для определения напряженно - деформированного состояния тела достаточно иметь три уравнения равновесия:
шесть кинематических уравнений связи деформации с перемещениями:
где - перемещение в направлении i-ой оси,
шесть физических уравнений:
где ,
уравнения интенсивности деформации:
,
уравнение, описывающее физические свойства материала:
,
где А и n – константы, описывающие механические свойства материала.
Эта система уравнений является моделью описывающей напряженно деформированное состояние любого тела подвергающегося внешней нагрузке, содержит восемнадцать уравнений с восемнадцатью неизвестными, т.е. статически определима. Однако математически решить данную систему для конкретного процесса в большинстве случаев невозможно. Поэтому в ОМД приходиться использовать специальные и упрощенные методы решения систем уравнений. К ним относят:
метод решения упрощенных уравнений равновесия и пластичности;
метод сопротивления материалов пластическим деформациям;
метод характеристик.
Суть всех методов одна, и заключается в том, что производиться упрощение существующих физических законов, описываемых сложными дифференциальными уравнениями до более простых дифференциальных зависимостей, которые позволяют найти приближенное решение исходной системы /13/.
В ряде случаев задача интегрирования исходной системы дифференциальных уравнений может быть заменена на задачу поиска некоторого значения энергетического функционала. Методы, использующие данный математический подход, называются вариационными /13/.
Наиболее широко используемый в настоящее время в программных продуктах метод конечных элементов (МКЭ) то же является вариационным. Данный метод является одним из вариантов решения метода Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии тела сводит задачу к системе линейных уравнений. Данный метод нашел применение не только для решения задачи механики сплошных сред, но и для описания многих других физических процессов.
Суть МКЭ заключается в том, что непрерывные величины можно заменить на модель, состоящую из отдельных участков (элементов). При этом на каждом из участков исследуемая непрерывная величина заменяется кусочно-линейной непрерывной функцией, построенной на значениях непрерывной исследуемой величины в конечном числе точек.
Распределение значений исследуемой величины внутри области и сама непрерывная величина, могут быть неизвестны. При построении дискретной модели мы предполагаем, что численные значения исследуемой величины в конкретных точках (узлах) на границах нам известны. После этого можно перейти к определению значений кусочно-непрерывной функции, за счет подбора значений в узловых точках так, чтобы выполнялось условие минимизации потенциальной энергии.
Таким образом, осуществляется следующая последовательность действий:
Аппроксимирующие функции подбираются таким образом, чтобы сохранить непрерывность исследуемой величины вдоль границ элемента. В виде аппроксимирующей функции могут выступать линейные, квадратичные и кубические полиномы, которые для данного элемента называются функцией элемента.
Рассмотрим в качестве примера расчет с помощью МКЭ осевого растяжения ступенчатого стержня /14/. Ступенчатый стержень жестко заделан с левого края и имеет сечения А1 и А2, нагружен с правого торца растягивающим усилием Р. Требуется определить перемещение сечений 1, 2, 3 (рисунок 11).
Рисунок 11 – Ступенчатый стержень
Разобьем стержень на два элемента (I, II) так, чтобы граница между элементами проходила в месте изменения перпендикулярного к длине сечения стержня. Введем на границах элементов узлы 1, 2, 3, в которых будем искать перемещения u. В результате такого упрощения мы будем решать задачу растяжения двух стержневых элементов, каждый из которых имеет длину l1 и l2, площадь ( и ) приложенное к узлам усилие (Р1и Р2) и смещения (u1,u2), которые появляются от действия этого усилия (рисунок 12).
Для любого из этих элементов согласно теории сопротивления материалов можно записать значения усилия действующего в узлах:
P1 = (u1 – u2);
P2 = (u2 – u1),
где Е модуль упругости.
Рисунок 12 – Элемент стержня.
Для каждого элемента систему узловых усилий можно записать следующим образом:
=
или
= (1)
Рассмотрим последнее уравнение более подробно. В нем называется матричным вектором усилий, – вектором перемещений или степеней свободы, – матрицей жесткости.
Вернемся к ступенчатому стержню. Очевидно, что поскольку стержень состоит из нескольких элементов, то для решения задачи необходимо объединить соотношения для элементов 1 и 2 с учётом их положения в пространстве (или взаимодействия по узлам). Тогда можно записать или
= ,
где в векторе усилий уже учтено то, что R является реакцией опоры приложенной в узле 1, а Р является растягивающим усилием, приложенным в узле 3, а узел 2 свободен от нагрузок.
У нас осталось неиспользованное ограничение по перемещению (u1=0). Его можно использовать для упрощения решения системы, если заменить в матрице жесткости первую строку и первый столбец на нули а элемент матрицы, стоящий на главной диагонали заменить на единицу. Тогда уравнение примет вид:
. = .
Решением этого уравнения являются следующие значения перемещений.
u1=0, u2=; u3=.
Пространственное положение каждого из элементов приведённой выше системы описывается с помощью числа степеней свободы или вектором узловых перемещений. Обычно каждой степени свободы (узловому перемещению) соответствует сопрягаемые переменные усилия. Для расчета эти переменные усилия собираются в матричной вектор . Произведение вектора сил на вектор степеней свободы является внешний энергией или работой совершаемой над телом внешними силами.
В приведенном примере одноосного растяжения стержня решение системы уравнений может быть получено просто и в явном виде. В случае моделирования более сложных тел приходится, задаваясь значениями перемещений, искать решение так, чтобы выполнялось условие минимизации энергии. В ходе такого решения значениями перемещений приходиться задаваться неоднократно, поэтому МКЭ носит название вариационного метода.
Рассмотренный нами пример позволяет определить напряжено- деформированное состояние тела на основании варьирования перемещений. В действительности термин МКЭ определяет более широкий набор математических способов расчета, среди которых в зависимости от того, какой величиной варьируют можно выделить следующие способы расчета:
Наиболее часто используется принцип Лагранжа.
В зависимости от области науки, в которой используются МКЭ, смысл векторов и может измениться (таблица 1).
Таблица 1 – Физический смысл векторов и
|
Область приложения |
Вектор состояния |
Вектор |
|
Механика твердых тел |
Перемещение |
Механическое усилие |
|
Теплопроводность |
Теплопроводность |
Тепловой поток |
|
Потенциальное течение |
Давление |
Скорость частицы |
|
Общий вид течения |
Скорость |
Поток |
|
Электростатика |
Электрический потенциал |
Плотность заряда |
|
Магнитостатика |
Магнитный потенциал |
Интенсивность магнитного поля |
Контрольные вопросы
Объясните понятия
2 Реализация метода конечных элементов в современных программных продуктах
Описанный выше МКЭ нашёл широкое распространение в программных пакетах, описывающих процессы пластического течения материала. Согласно принятой на западе классификации данные программы относятся к CAE-системам или системам инженерных расчётов. CAE-системы могут быть использованы на различных этапах производства изделия, как для конструкционных, так и технологических расчётов. Особенностью “технологических” CAE-систем является простота задания исходных данных и обработки полученных результатов.
В целом следует отметить следующие отличия, существующие при работе с системами инженерных расчётов.
2.1 Особенности современных САПР программ, применяемых для моделирования процессов ОМД
Основным принципом в данном случае является – принцип изображения только той информации, которая необходима для работы пользователя в данный момент, т. е. после указания пользователем объекта интерфейс должен измениться таким образом, чтобы на экране осталась только необходимая для работы с выделенным объектом. Как правило, данный принцип реализуется с помощью вложенных меню, раскрываемых по мере выполнения той или иной проектной процедуры. С другой стороны наличие большого количества вложенного друг в друга меню или окон усложняет работу, поскольку в этом случае из-за необходимости открытия большого количества окон возрастает время выполнения проектной процедуры.
Практически во всех САПР-программах есть возможность настроить пользовательский интерфейс для более удобной работы /25/.
Возможность возращения на любой шаг построения для внесения возможных изменений.
В ходе выполнения работы зачастую появляется необходимость вернуться на несколько шагов назад, например, если была допущена или с тем чтобы просмотреть ход построения. Всю полноту информации о совершенных построениях содержит Дерево построений (Навигатор). Используя Дерево построения, появляется возможность вернуться на несколько шагов назад и при необходимости отредактировать тот или иной элемент. В случае если полученный результат не устраивает пользователя, то у него должна быть возможность вернутся к ранее построенной модели.
Широкий набор средств визуализации полученного изображения и отображения вспомогательных объектов.
В первую очередь это возможность отображения объекта с помощью проволочного каркаса и сплошного объема.
При работе с проволочным каркасом для удобства выделения (выбора) элементов объекта могут быть выбраны несколько режимов отображения:
При работе со сплошным отображением появляется возможность использовать полутоновые и разноцветные изображения позволяющие создать видимость объема детали и выделить деталь на сборочном чертеже.
К средствам визуализации также можно отнести возможность скрывать вспомогательные элементы и элементы, отображать которые на данном этапе проектирования нет необходимости. В случае если элемент “скрывается” то он по-прежнему остается в дереве построения и при необходимости может быть показан на экране в отличие от операции удаления, при выполнении которой элемент удаляется из дерева построения.
При работе с небольшими элементами приходится увеличивать изображение при этом зачастую необходимо переключаться между элементами расположенными на разных участках модели. В этом случае для перехода к новому фрагменту модели необходимо пользоваться сначала командой “Показать все” для того, чтобы сориентировать на модели и затем для увеличения изображения командой “Увеличить масштаб рамкой”.
Иногда возникает необходимость обратиться к “стандартному” виду (вид сверху, справа, снизу, и т.д.) для того чтобы рассмотреть модель в нужной проекции. Для выполнения подобной операции существуют специальные команды (“Ориентация изображения”), позволяющая выбрать необходимую проекцию детали.
Широкий набор параметров устанавливаемых по умолчанию или устанавливаемых автоматически.
Разработчики современных САПР-программ стремятся построить свои системы таким образом, чтобы пользователь предоставлял минимум информации, необходимой для корректной работы программы. Достигается это благодаря специальным аналитическим алгоритмам способным проанализировать модель и выдать результаты своей работы пользователю в виде инструкций или указаний.
В качестве примера можно привести анализ геометрической модели на наличие подвнутрений при проектировании вытяжных операций в AutoForm, сшивка (исправление ошибок, возникающих при передаче модели между программами, работающими в разных форматах) – в AutoForm, PowerMILL и др., автоматическое наложение ограничений на параметры объекта в Unigraphics.
При моделировании процесса горячей штамповки на молотах в CAE системе Deform, вместо того чтобы задавать механические свойства материала (коэффициент трения, коэффициент линейного расширения и т.д.) можно указать марку обрабатываемого материала и массу падающих частей молота и этих данных будет достаточно для расчета.
Модульная структура.
Практически все САПР-программы состоят из отдельных модулей, как правило, специализирующихся на выполнении работы на разных этапах производственного цикла. Каждый модуль может быть как отдельной программой, так и встраиваемым элементом одной большой системы. Примером первых может быть пакет Power Solution компании DELCAM, состоящий из Power Shape – CAD система, Power Mill – CAM системы, Art Cam – система автоматизированного проектирования художественных барельефов, Power Inspect – система автоматизированного контроля, Copy CAD – система обратного проектирования и Solid Edge состоящий из модулей, обеспечивающих проектирование изделий из листового материала: Создание трехмерной модели, создание чертежной документации, чертежей и др.
Такой подход объясняется тем, что потребитель (предприятие, завод) в случае подобной структуры, состоящей из независимых модулей может приобрести только те модули, которые ему необходимы (например, для механического цеха можно приобрести программу Power Mill и Power Inspect из пакета Power Solution).
В качестве примера можно привести Unigraphics, все модули которого (более пятидесяти) запускаются из основного модуля Gateway (ворота). Следует заметить, что производителем как Unigraphics, так и Solid Edge является одна компании EDS.
В настоящее время все чаще стали применяться САПР-программы, устанавливаемые поверх CAD систем и позволяющие проводить инженерные расчеты. В результате использования таких программ появляется возможность, не выходя из CAD системы выполнить расчеты (например, на жесткость конструкции) и сразу внести корректировки в геометрическую модель (добавить ребро жесткости, изменить толщину стенки модели). Скорость выполнения расчетов в таких программах, как правило, высокая, но точность расчетов низкая, поэтому после построения модели в CAD системе следует проверочный расчет в CAE системе.
Одним из вариантов модульной структуры является разделение САПР на препроцессор, процессор и постпроцессор. Как правило, такое деление осуществляется в САПР программах на базе CAE систем.
В препроцессоре происходит подготовка к процессу вычисления заданных параметров (напряжений, деформаций и т.д.) которая включает в себя:
- построение или “втягивание” геометрической модели,
- исправление при необходимости, полученной геометрии,
- указание граничных условий (плоскостей симметрии, контактных поверхностей и т.д.),
- представление данных к расчету.
В процессоре осуществляется расчет полученных из препроцессора данных, а постпроцессоре визуализация полученного из процессора результата.
Возможность передачи и получения данных через интерфейсы в другие программы.
Поскольку при производстве изделия может использоваться программное обеспечение от различных производителей то необходимо обеспечить качественный обмен информации между данными системами. Например, в рамках одного завода для создания геометрической модели конструктором может использоваться продукт компании EDS - Solid Edge (на основе ядра Parasolid) а для создания управляющей программы станка с ЧПУ технологом программа фирмы DELCAM – PowerMILL (на основе ядра ACIS).
Для передачи данных между пакетами могут использоваться следующие стандарты: STL, VDA, IGES.
Широкий набор баз данных по типовым элементам, оборудованию, инструменту и материалам.
В ходе выполнения работы пользователям часто приходиться использовать информацию об оборудовании инструменте или материале. Например, при проектировании штамповой оснастки для вырубки в Компас можно с помощью менеджера библиотек Компас Штамп к уже начерченной матрице и пуансону добавить ряд элементов штамповой оснастки (нижнюю, верхнюю плиты, упоры, толкатели и т.д.) выполненные по ГОСТу или ОСТу. Практически все системы инженерных расчетов (CAE системы) содержат библиотеки со свойствами материалов, которые могут быть использованы при моделировании любого процесса.
Как правило, общим недостатком иностранных САПР систем является отсутствие в библиотеках отечественных материалов. Для компенсации этого недостатка в системах предусматривается возможность пополнения библиотек непосредственно материалами, которые используются пользователями.
Широкий набор различных операций.
Поскольку при создании модели пользователь не знает об возможных изменениях модели, которые могут возникнуть на последующих этапах проектирования (например, при анализе жесткости конструкции было решено добавить дополнительно ребра жесткости) то у него должен быть широкий набор возможностей (инструментов) для внесения подобных изменений. Ограничение подобных возможностей может привести к необходимости перестроить модель заново.
Для увеличения возможностей проектирования широко используется гибридное моделирование позволяющее совместить различные методы представления трехмерных моделей. Гибридное моделирование используется практически во всех CAD системах.
Наличие у модели свойств ассоциативности и параметризации.
Ассоциативностью называют способность системы запоминать логические связи между операциями построения и геометрическими объектами, которые использовались в этих операциях. В процессе построения модели создается связь, зависимость одних объектов (дочерних) от первоначальных объектов (родительских). Ассоциативность позволяет быстро исправлять дочерний объект путем редактирования его родительских объектов. Сколько бы ни было уровней между родительскими и дочерними объектами, редактирование “родителя” повлечет изменение всех дочерних объектов на всех уровнях. При этом любые изменения родительских элементов приводят к автоматическому обновлению операции построения.
Параметризация это возможность строить модель с помощью компонентов, определяемых набором параметров-размеров. Модель строиться из элементарных базовых объектов (параллелепипед, цилиндр, конус, сфера) и дополнительных объектов (отверстие, бобышка, проточка и т.п.). Кроме того, при построении может быть использован эскиз (Sketch) который является полностью параметризованным объектом. Для точной привязки эскиза или дополнительных компонентов к модели используются специальные объекты - ассоциативно связанные с этой моделью: оси и плоскости. Модифицировать такую модель можно путем изменения значений параметров.
Построенная модель ассоциативно зависит от всех элементов, на основе которых она была создана. Это означает, что при редактировании любого элемента будут изменяться результаты всех последующих построений вплоть до окончательной модели.
2.2 Последовательность действий, выполняемая при моделировании в CAE-системах, использующих МЭК.
Практическая реализация МКЭ в программных продуктах обычно осуществляется в следующем порядке:
- Создание геометрической модели и ее дискретизация.
- Задание типа КЭ.
- Создание сетки КЭ.
- Задание граничных условий.
- Задание свойств материала.
- Выбор параметров расчета.
- Осуществление расчета (автоматически).
- Анализ полученных результатов.
2.3 Создание геометрической модели и ее дискретизация.
Для решения любой задачи ОМД на компьютере необходимо, прежде всего, создать геометрическую модель, описывающую пространственные характеристики моделируемого объекта.
2.3.1 Создание геометрической модели
Геометрическая модель - математическое представление геометрической формы, хранимое в памяти компьютера. Различают двухмерные (2D-модели) и трехмерные (3D-модели) модели. Аналогично подразделяются и системы, обеспечивающие плоское и объемное проектирование. Как правило, современные 3D-системы проектирования имеют встроенные 2D-системы, необходимые для изготовления плоских чертежей /15, 20/.
Элементы, из которых состоит трехмерная модель, образуют в ней вершины, ребра, грани (рис. 13) /21, 23-25/.
Рисунок 13 – Элементы трехмерной модели: 1 – вершины; 2 – грани;
3 – поверхности; 4 – базовая плоскость; 5 – начало координат
Вершина – точка являющаяся окончанием (началом) ребра.
Ребро – прямая или кривая, разделяющая две смежные грани модели.
Грань – гладкая часть поверхности модели. Гладкая поверхность модели может состоять из нескольких граней.
Методы трехмерного моделирования, предоставляемые системами САПР, делятся на три категории: каркасное, поверхностное (полигональное) и твердотельное (сплошное) моделирование /15/.
2.3.1.1 Каркасное моделирование
Процесс каркасного моделирования является моделированием самого низкого уровня. Каркасная модель полностью описывается с помощью линий и точек и поэтому требует гораздо меньше компьютерной памяти, чем остальные модели, и пригодна для решения наиболее простых задач. Каркасное моделирование широко используется для имитации траектории движения инструмента, выполняющего несложные операции обработки детали.
Каркасные модели имеют больше количество ограничений, рассмотрим их более подробно /15/.
2.3.1.2 Ограничения каркасных моделей
а)
б) в)
Рисунок 14 – Неоднозначность каркасной модели
На рисунке 15 показано трехмерное изображение твердотельной и каркасной моделей. Видимые на рисунке 15а мнимые “ребра” отсутствуют на главном виде (рис. 15б) и на видах сверху (рис. 15в) и справа (рис. 15г)
Мнимые “ребра”
а)б)в)г)
Рисунок 15 – Мнимые ребра каркасной модели
2.3.1.3 Поверхностное моделирование
Поверхностная модель определяется с помощью точек, линий и поверхностей, поэтому ее можно рассматривать как модель более высокого уровня.
Поверхностное моделирование дает следующие преимущества по сравнению с каркасным /15/:
- способность распознавать и изображать сложные криволинейные поверхности,
- способность распознавать грани и таким образом обеспечивать средство получения тоновых трехмерных изображений;
- способность распознавать особые построения на поверхностях, например, отверстия;
- возможность получения более качественного, чем при каркасном моделировании изображения.
Поскольку в ходе поверхностного моделирования мы имеем дело в основном с поверхностями, то ниже будут рассмотрены основные виды плоскостей и способы их получения.
2.3.1.4 Основные виды поверхностей, используемые при моделировании.
Применительно к поверхностному моделированию можно выделить следующие типы поверхностей /15/:
а)
б)
Рисунок 16 – Построение базовых геометрических поверхностей
Особенностью систем поверхностного моделирования является то, что они не распознают такие построения, как твердые объемные тела. Они представляют такие объекты, как поверхности, соединенные друг с другом в пространстве и ограничивающие "пустой" объем.
На рисунке 17 показана кинематическая поверхностная модель, которая на экране представлена виде объемного тела, в то время как в компьютерном представлении модель состоит из пяти поверхностей.
Рисунок 17 – Визуальное и компьютерное представление поверхностной модели
На рисунке 19 показаны поверхности сопряжения (внешняя и внутренняя) построенные на пересечении двух элементов детали (поверхность сопряжения - радиусный участок детали в переходе от основного участка трубы к ответвлению).
Рисунок 18 – Создание поверхности вращения
а) б)
Рисунок 19– Поверхности сопряжения
Рисунок 20 – Скульптурные поверхности
Несмотря на то, что методы поверхностного моделирования обладают многими достоинствами, существует ряд ограничений на их использование. К подобным ограничениям можно отнести:
- возникновение неоднозначности при попытке моделирования реального твердого тела;
- недостаточная точность представления некоторых поверхностных моделей для обеспечения надежных данных о трехмерных объемных телах;
- сложность процедур удаления скрытых линий и отображения внутренних областей.
2.3.1.5 Твердотельное моделирование
Твердотельная модель описывается в терминах того трехмерного объема, который занимает определяемое ею тело. Твердотельное моделирование дает полное однозначное описание трехмерной геометрической формы.
Достоинством твердотельных моделей являются /15/:
Как правило, в основе трехмерных моделей лежит математический аппарат алгебраической теории множеств, использующий в своей основе булевы операции. Рассмотрим в качестве примера три булевы операции: объединение, разность и пересечение (рис. 21).
Операция объединения. Результатом операции является одно тело, объединяющее исходные тела. Объединение двух произвольных фигур показано на рисунке 21б (заштрихованная область).
Операция разности. Результатом выполнения операции является фигура, находящаяся внутри границ ограниченных поверхностью, оставшейся от одной формы, и внешней границей общей области двух форм. На рисунке 21в заштрихованной областью показан результат действия операции булевой разности.
Операция пересечения. Результатом является фигура, находящаяся внутри границ общей области объектов. Пересечение фигур представлено на рисунке 21г заштрихованной областью.
Как при поверхностном моделировании, твердотельные объекты могут быть созданы с помощью тех же способов что и плоскости, только в данном случае образуется существенно "твердый объем", а не пустое пространство, ограниченное несколькими поверхностями.
|
Примеры тел |
Объединение |
Разность |
Пересечение |
|
плоское |
|||
|
объемное а) |
б) |
в) |
г) |
Рисунок 21 – Результаты булевых операций.
В процессе построения детали при сплошном моделировании в начале осуществляется построение основания, а затем с помощью булевых операций выполняется построение дополнительных элементов.
2.3.1.6 Понятие гибридного моделирования
Возможность свободного создания и изменения различных объектов вне зависимости от того, каким образом в математическом представлении описывается объект (с помощью каркасного, поверхностного или сплошного моделирования) является сильной стороной любой системы моделирования. Подобное сочетание возможностей различных методов появляется с использованием технологии гибридного моделирования. При построении в подобных системах право выбора эффективной стратегии (т.е. вид представления модели) каждого элемента одного и того же объекта принадлежит пользователю.
Обычно построение модели с помощью систем гибридного моделирования осуществляется на основе твердотельных объектов, а затем добавления элементов, построенных с помощью поверхностного моделирования (например, таким объектом могут быть скульптурные поверхности). На следующем этапе данные поверхностные элементы превращаются (часто автоматически) в твердые тела и далее к ним могут быть применены все операции характерные для работы с твердыми телами.
Геометрическая модель может быть построена как собственными средствами программы инженерных расчетов (CAE-системы) так и в другой программе, специализирующейся на создании геометрических моделей, (в роли таких программ выступают CAD-системы) как правило, CAD системы имеют больше возможностей для геометрического моделирования. Для переноса геометрической модели из CAD системы в CAE систему используются специальные форматы (STL, AGES, и др.).
Построенная геометрическая модель, как правило, является непрерывной и определяется либо с помощью сплошного объекта либо с помощью поверхностей. Такая модель для использования в расчетах должна быть дискретизирована. Процесс дискретизации непрерывной модели может быть сведен к двум этапам:
На первом этапе осуществляется выбор КЭ, с помощью которых будет описываться геометрическая модель.
На втором – объединение КЭ в сетку или ассамблирование с математической точки зрения процесс ассамблирования заключается в объединении матриц жесткости отдельных КЭ в глобальную матрицу жесткости всего тела. Для осуществления ассамблирования используются нумерации узлов внутри каждого КЭ и глобальная нумерация узлов. При этом между глобальной и локальной нумерацией узлов существует однозначное соответствие. Можно ли осуществлять сразу построение дискретной модели? Можно, но этот процесс применяется редко из-за его сложности.
2.4 Задание типа КЭ
Как отмечалось ранее основой для решения задач с помощью МКЭ является замена сплошного тела математической моделью, которая состоит из непересекающихся более простых КЭ.
Каждый КЭ описывается с помощью значений сплошной функции в узлах КЭ (степеней свободы). Поведение математической модели в целом зависит от поведения отдельных КЭ и их объединения в дискретную модель /14,16/.
Рассмотрим свойства (атрибуты) КЭ.
В зависимости от размерности исследуемой задачи и принимаемых допущений КЭ можно представить в виде /14, 16/:
а)б)в)
Рисунок 22 – типы КЭ в зависимости от размерности:
а – одномерные; б – двумерные; в – трехмерные
Показанные на рисунке 22 элементы имеют прямолинейные ребра и описываются линейной функцией формы, поэтому не всегда достаточно точно описывают особенности поведения исследуемой функции. На рисунке 23 показана функция перемещений КЭ при заполнении радиусного участка гравюры штампа. Плоское ребро “мешает” точно описать геометрию штампа. Поэтому для описания апроксемирующей функции элемента (функции формы) используют полиномы более высоких степеней второй или третьей.
Рисунок 23 – Замена гравюры штампа на конечные элементы:
а – линейными КЭ; б – квадратичными КЭ.
Таким образом, в зависимости от используемой функции формы КЭ делятся на:
а)б)в)
Рисунок 24 – Типы конечных элементов в зависимости от используемой функции формы: а – линейные; б – квадратичные; в – кубические
По расположению узловых точек элемента бывают обычные и вырожденные элементы. Вырожденные элементы это элементы, которые вследствие дискретизации приняли такую форму, у которой часть узлов совпала. Возникают такие элементы, как правило, в местах перехода от более крупной сетки к более мелкой и могут служить источниками неоднозначности и ошибок расчетов /14/.
Каждый КЭ обладает конечным количеством степеней свободы, которые определяют состояние элемента или физическое поле, которое описывает данный элемент. За счет общих степеней свободы в узлах соседних элементов осуществляется объединение КЭ в дискретную модель.
Каждый элемент обладает свойством материала. При описании свойств материала используются различные модели, рассмотренные ниже.
В зависимости от вида приложения (программы) и решаемых в нем задач могут использоваться различные типы КЭ. В ряде случаев КЭ могут содержать свойства нескольких более простых КЭ. Такие элементы называют макроэлементами, они позволяют описывать поведение текстурированных и композиционных материалов.
2.5 Создание сетки КЭ (ассамблирование).
Важным этапом моделирования с помощью МКЭ является дискретизация или построение сетки конечных элементов КЭ. Обычно в современных программных продуктах реализуется несколько вариантов построения сетки КЭ (в дальнейшем просто сетки). Поскольку увеличение возможностей создания сетки дает инженеру, использующему программу, более гибкий инструмент для решения более широкого класса задач.
В современных программах широкое применение нашло два направления, связанных с построением сетки. Это явное и неявное моделирования. При осуществлении процесса явного моделирования пользователь должен полностью определить параметры сетки КЭ и ее локальные особенности. Для осуществления подобной работы программа должна быть оснащена значительными средствами, позволяющими редактировать отдельные фрагменты и всю сетку в целом. Использование этих средств базируется на знании пользователем МКЭ, поэтому данное направление требует более высокой квалификации пользователя.
В случае использования неявного моделирования работа с построением сетки ограничивается заданием величины ребра КЭ или количеством КЭ. Обычно, программы сочетают оба направления моделирования тем самым, позволяя пользователю быстро создать сетку и при необходимости ее отредактировать.
Практически все программные продукты в настоящий момент имеют автоматический генератор сетки, который может создавать сетку автоматически после указания количества КЭ, либо по заданной пользователем величине ребра КЭ. При этом сетка может быть как упорядоченной (когда КЭ обладают определенной формой и размерами в близи друг друга) или произвольной, свободной (при этом размеры соседних КЭ могут значительно отличаться друг от друга).
Очевидна взаимосвязь между количеством КЭ в сетке и их размерами: количество КЭ в модели определяет их размеры и наоборот размер КЭ определяет их количество в сетке.
Согласно рекомендациям /14/ при выборе КЭ для сетки необходимо учитывать то что:
Поскольку точность расчета напрямую зависит от того, какие размеры имеет КЭ, то необходимо придерживаться следующих рекомендаций:
В тех местах, где ожидаются большие величины напряжений деформаций необходимо, чтобы сетка была более плотной, обычно такие места на заготовке соответствуют концентраторам напряжений на инструменте.
С другой стороны в местах, где не ожидается интенсивное течение металла и больших давлений сетка может иметь большие размеры КЭ.
В соответствие с требованиями /17/ при построении сетки для корректного описания геометрической модели размеры КЭ сетки должны быть минимум в три раза меньше чем наименьший концентратор напряжений на данном участке. Данное требование создает необходимость строить сетки с большим количеством КЭ при наличии небольших концентраторов напряжений, что значительно усложняет моделирование процессов листовой штамповки, где для дискретизации при объемном решении задачи по толщине заготовки необходимо строить более трех элементов при значительной поверхности заготовки.
При моделировании задач с объемным напряженным состоянием, например, пробивки (вырубки) или чеканки количество КЭ в сетки можно уменьшить введением локального сгущения сетки /17, 18/. При этом сгущение сетки должно быть осуществлено таким образом, чтобы размеры соседних конечных элементов не превышали друг друга более чем в два раза /14/.
На точность расчета влияет также форма КЭ. Так нежелательно использовать в сетке конечные элементы, имеющие один из размеров значительно больше и меньше других размеров /14/.
Очевидно, также и то, что чем больше число КЭ в сетке, тем дольше ЭВМ будет осуществлять вычисления. При этом с ростом числа КЭ будет расти и погрешность вычисления, связанная с погрешностью округления результатов расчета на ЭВМ. С другой стороны грубое описание исходной геометрической модели крупной сеткой тоже создает значительные ошибки. Следовательно, ошибка вычисления всегда будет присутствовать независимо от размера КЭ (рис. 25).
С другой стороны грубая сетка дает заниженный на 20-40% результат рассчитанных напряжений, что необходимо учитывать /22/.
Обычно при моделировании с помощью МКЭ поступают в соответствии с методом последовательного приближения: сначала осуществляют расчет на более грубой сетке, т.е. сетке с малым количеством КЭ, затем, получив предварительные расчеты, увеличивают количество конечных элементов и рассчитывают задачу снова, полученные данные анализируют, если разница, полученная в результате двух последних расчетов отличается менее чем на устраивающую исследователя погрешность, то для анализа результатов моделирования используют вариант с последней рассчитываемой сеткой.
Рисунок 25 – Иллюстрация к погрешности вычисления с помощью МКЭ:
Δ – ошибка; T – время расчета; h – размер ребра КЭ, применяемого для расчета
2.6 Задание граничных условий
Граничные условия, используемые в моделировании можно разделить на два типа: искусственные и естественные. Естественные граничные условия накладываются на искомую функцию, в то время как искусственные на ее производные. Естественные граничные условия появляются при работе с исходной математической моделью.
С точки зрения МКЭ искусственные граничные условия – это граничные условия, влияющие непосредственно на степени свободы модели, и являются искусственным ограничением для перемещения. При этом ограничения могут быть наложены в одном, двух или трех направлениях на узлы сетки. В теории упругости эти ограничения называются также кинематическими. Примером в ОМД может быть ограничение течения металла через рабочую поверхность штампа. Ограничение создаётся автоматически программой расчета.
Естественные граничные условия накладываются на вектор усилий напряжений. К этим условиям относят различные внешние силовые воздействия, действующие на точки или поверхности тела. Обычно такие граничные условия называют силовыми граничными условиями. Примером в ОМД могут быть силовые условия деформирования металла.
На практике приходится сталкиваться еще и со смешанными граничными условиями. В этом случае в данной точке поверхности тела задаются напряжения и перемещения. Наиболее распространенный пример таких граничных условий это задание плоскостей геометрической симметрии при решении задач деформирования осесимметричных тел. При решении задач по деформированию тел с геометрической симметрией смешанные граничные условия заключаются в равенстве нулю нормальных перемещений и равенству нулю касательных напряжений в узлах КЭ лежащих на плоскости симметрии.
На практике задание любых граничных условий являются важным элементом моделирования. Задание граничных условий должно отвечать следующим требованиям.
Рисунок 26 – Приложение граничных условий по усилию: а – неверное,
б – используемое для описания перемещения участка модели по направляющим, в – используемый для описания заделки
Следует заметить то, что граничные условия прикладываются к узлам дискретной модели и наибольшее число граничных условий, которое можно применить к каждому узлу это либо 3 силы, либо 3 перемещения. Число граничных условий должно быть обоснованно и минимально необходимо /14/.
Задание ограничений в современных программах очень упрощенно, например, для задания плоскостей симметрии при осадке достаточно указать поверхность симметрии на теле модели, а система сама распознает и накладывает ограничения на те узлы, которые принадлежат к этой плоскости. В случае использования программы граничные условия могут быть приложены к узлу, линии, поверхности или объему, но следует помнить, что с линии, поверхности и объема граничные условия будут перераспределенными на узлы.
2.7 Решение контактных задач.
Особенностью задач ОМД являются наличие больших контактных поверхностей. Так для исследования прочностных характеристик ротора двигателя, необходимо определить контакт на небольшой поверхности в подшипнике, в то время как в случае процесса осадки контактной поверхностью является поверхность двух торцов заготовки.
Следует заметить, что контактные задачи являются достаточно сложными задачами. Общая последовательность решения таких задач сводится к дополнительному заданию условий, действующих на контактных поверхностях. Очевидно, что для задания этих условий необходимо определить контактную пару.
Отличительной особенностью задач ОМД является то, что в ходе технологического процесса контактная поверхность между инструментом и заготовкой претерпевает значительные изменения. Например, в процессе вытяжки (рис. 27) сначала заготовка, матрица и прижим касаются в зоне 1, 2. Контакта между пуансоном и заготовкой нет, затем в зоне 3 происходит касание пуансона и заготовки, при этом матрица и пуансон не контактируют. На следующем этапе возникает контакт в зоне 4 и 5 между матрицей, пуансоном и заготовкой. На заключительном этапе контакт в зоне 1 исчезает.
Рисунок 27 – Развитие зоны контакта на различных этапах вытяжки: 1, 2, 3, 4, 5 – зоны контакта, 6 – пуансон, 7 – прижим, 8 – матрица
Из приведенного примера понятно, что математически описать развитие зоны контакта достаточно сложно. Несмотря на это средства, используемые для расчёта контактных задач, должны обеспечить решение с учётом рассмотренной последовательности.
2.8 Задание свойств материала.
Для решения задач механики твердого тела (например, для того чтобы определить какую форму примет тело при штамповке) необходимо знать связь между деформациями и напряжениями, описывающую особенность поведения материала, нагружаемого внешними усилиями. При этом надо учесть тот факт, что свойства различных материалов, используемых для моделирования процессов металлургии, сильно отличаются друг от друга.
Например, хрупкие материалы разрушаются практически сразу после начала пластических деформаций. Пластичные металлы могут значительно деформироваться с момента нагружения до момента разрушения.
Задачи ОМД являются сложными динамическими задачами, отражающими протекание процесса во времени, поэтому для их моделирования вводится дополнительное допущение, связанное с тем, что сложная динамическая задача заменяется по шагам на серию более простых квазистатических задач. Каждая такая задача не рассматривает протекание процесса во времени, а осуществляет статический анализ для одного шага, при этом на каждом последующем шаге используются результаты расчета с предыдущего шага.
Поэтому для описания зависимости между напряжениями и деформацией пользуются несколькими моделями, которые можно разделить на две группы: модели, описывающие упругое и пластичное состояние тела /13/.
2.8.1 Модели, описывающие упругое поведение материала
Наиболее широко используется модель линейного деформирования (закон Гука). Данная модель, как правило, используется при решении конструкционных прочностных задач. На рисунке 28 показано стрелками, что после снятия нагружения деформация в теле равна нулю.
Другой моделью, описывающей поведение нелинейно-упругого материала является мультилинейная упругая модель (рис. 28б). Данная модель в первом приближении заменяет нелинейную упругую зависимость реальных тел с помощью определенного количества отрезков прямых. Такая модель описывает материалы у которых участок линейного упругого деформирования на диаграмме растяжения очень мал, поэтому практически любая нагрузка, выводит тело за приделы линейного упругого деформирования.
а)б)в)
Рисунок 28 – Упругие модели среды:
а- линейная; б – нелинейная; в – мультилинейная упругая
Подобная модель может использоваться для описания свойств объектов, участвующих в процессе деформирования заготовки. Например, может описывать свойства эластичной среды при штамповке.
2.8.2 Модели, описывающие пластическое состояние материала
Модели, описывающие пластическое состояние тела, являются наиболее сложными и наиболее часто применяемыми для решения задач ОМД, поскольку эти модели описывают поведение материалов заготовки в ходе деформирования. Среди моделей, описывающих пластическое состояние тела, в теории ОМД обычно выделяют следующие (рис. 29) /13/:
Упруго-пластическая неупрочняемая модель (рис.29а) – материал на начальной стадии деформируется по закону Гука, и по достижению значения придела текучести начинается пластическая деформация материала. Упрочнение не учитывается.
Жесткопластическая модель (рис. 29б) – материал начинает деформироваться по достижению значения напряжения текучести без упругого деформирования на начальном этапе. Упрочнение не учитывается. Напряжение не зависит от деформаций.
а) б)в)
Рисунок 29 – Модели, описывающие пластические свойства материалов:
а – упруго-пластическая неупрочняемая; б – жесткопластическая, несжимаемая, неупрочняемая; в – несжимаемая, упрочняемая, жесткопластичекая
Данные модели, используемые для описания технологических процессов горячей обработки металлов, когда упрочнением в материале можно пренебречь.
Несжимаемая упрочняющаяся модель – упругие деформации отсутствуют, пластическая деформация начинается по достижению напряжениями значения напряжения текучести, которые возрастают в соответствии с условиями упрочнения.
Упругая пластическая упрочняемая модель – как правило, не используется, поскольку интервал упругих деформаций составляет обычно менее 5% от общей деформации заготовки. Поэтому нет смысла использовать более сложную модель.
2.8.3 Модели, используемые при моделировании с помощью ЭВМ
На практике применение моделей, описывающих пластические свойства материалов, описанных выше, усложняет решение задачи, и поэтому обычно при моделировании на ЭВМ применяются простые и достаточно точные билинейные и мультилинейные модели (рис. 30).
Билинейная модель – является апроксиммирующей (заменяющей) кривой растяжения на два отрезка, один из которых описывает упругие свойства модели другой пластические (рисунок 30а). Построение модели для конкретного материала осуществляется за счет задания модуля упругости, модуля пластичности и придела текучести материала. Билинейная модель может учитывать или не учитывать упрочнение материала в ходе процесса.
а)б)
Рисунок 30 – Наиболее часто употребляемые модели для описания механических свойств материала: а – билинейная модель; б – мультилинейная.
Мультилинейная модель – отличается от билинейной тем, что разбиение диаграммы растяжения осуществляется не на два, а на большее количество отрезков, что позволяет более точно описать поведение реального материала при деформировании. При этом упругий участок по-прежнему описывается одним отрезком (рис. 30б).
Обычно для построения модели свойств материала в программах моделирования есть режим задания свойств материалов виде таблицы (рис. 31). Это зачастую наиболее простой режим задания свойств материала, основанный на легко доступных экспериментальных данных, в ходе которого осуществляется построение графика модели по точкам. При этом построение зависимости осуществляется для заданной температуры. (Например, при холодной листовой штамповке при температере 20˚). В случае если при моделировании процесса надо учитывать влияние температуры на свойства материала (например, как в горячей штамповке), то вводится график еще для нескольких температур, лежащих в интервале изменения температуры тела по ходу процесса.
Рисунок 31 – Таблица задания свойств материала в программе Deform.
При моделировании процессов ОМД иногда приходит сталкиваться с быстро протекающими во времени процессами (штамповка на ВСМ, и т.д.). В этом случае необходимо, чтобы модель учитывала фактор скорости протекания процесса во времени, поскольку при высоких скоростях обработки свойства материалов отличны от свойств материалов при статичной (медленной) обработке.
Следует запомнить, что правильный выбор модели, описывающий свойства объекта позволяет значительно сэкономить время расчета на ЭВМ и получить при этом достоверные результаты.
Например, при расчете процесса штамповки деталей в открытых штампах пренебрегают деформацией инструмента, считая его абсолютно жестким. В этом случае расчет осуществляется быстрее, поскольку компьютеру приходится рассчитывать деформации только одного тела – заготовки, а не трех как в случае если считать что инструмент (верхний и нижний штампы) деформируются упруго.
2.9 Выбор параметров расчета и подготовка к расчету
Для осуществления расчета необходимо помимо граничных условий определить еще дополнительные условия расчета: задание числа шагов, необходимых для расчета, остановки расчета, выбор метода расчета, необходимых для решения конкретной задачи.
Первое что необходимо определить это размер шага для квазистатического анализа. Напомним, понятие квазистатической задачи: для упрощения исследования процессов ОМД исходный, проходящий во времени процесс, рассматривают как набор дискретных статических подзадач, при этом результаты расчёта предыдущей подзадачи являются исходными данными для расчёта последующей подзадачи.
Задание шага задачи можно осуществлять по времени или по перемещению инструмента, при этом перемещение узлов на каждом шаге не должно составлять более 1/3 наименьшего ребра КЭ, участвующего в решении задачи /17, 18/.
Задавая число шагов, фактически задается величина перемещения инструмента в ходе процесса (его положение по окончанию процесса). При необходимости в ряде программ (Например, в программе Deform) можно задать дополнительные условия, позволяющие остановить процесс. В качестве таких условий, как правило, выступают значения перемещения рабочих поверхностей инструмента друг относительно друга.
В зависимости от поставленной задачи осуществляется выбор метода, позволяющего наиболее точно и полно представить результаты решения.
После завершения задания всех условий и исходных данных осуществляется подготовка данных к расчету. Обычно этот этап включает в себя создание базы данных, которая содержит всю необходимую для расчета информацию в виде удобном для быстрой обработки её программой в ходе расчета. Обычно при задании исходных данных используются препроцессорная часть программы, которая работает со своим файлом. Основная задача препроцессорного файла хранить информацию в таком виде, чтобы пользователю удобно было задавать исходные данные, и перемещать данный файл. Файл базы данных имеет другую структуру, поскольку он используется для расчета и работы с постпроцессором.
В ходе подготовки файла базы данных осуществляется и автоматическая проверка исходных данных с указанием возможных ошибок.
На следующем этапе осуществляется расчет задачи. В ходе расчета, как правило, программа моделирования выводит текущую информацию о состоянии и ошибках, возникающих при расчете.
2.10 Анализ полученных результатов
После завершения расчета для извлечения результатов из файла базы данных обычно используют постпроцессор, который позволяет представить полученную информацию в наглядном и удобном для анализа виде.
В качестве исследуемых величин в задачах ОМД, как правило, выступают: деформации, напряжения, усилия, скорости течения и др. При этом информация может быть представлена в векторном или скалярном виде, с помощью графиков, картинок или таблиц. Как правило, при представлении данных в виде картинок используется режим изолиний или полутоновый режим. При этом информация может быть отражена как для текущего шага без учета других шагов, так и с их учетом.
Основным критерием для оценки результатов является здравый смысл, поскольку большая часть ошибок в расчетах связана с невнимательным или неправильным заданием исходных данных.
Можно выделить следующие ошибки, которые наиболее часто встречаются:
а)б)
Рисунок 32 - Неверное назначение поверхности контакта.
После чего положение инструмента уже не может быть интерпретировано программой однозначно и инструмент продолжает проникать сквозь заготовку.
Рисунок 33 - локальный прострел
В этом случае подбор параметров уравнений, описывающих состояние КЭ, осуществляется в соответствии с принципом минимизации энергии, таким образом, что локальный прострел для узлов одного из КЭ более энергетически выгоден, чем перемещение узлов нескольких элементов. Причиной локального прострела узла КЭ сетки является наличие у функционала потенциальной энергии нескольких минимальных значений, т.е. отсутствие унимодальности функционала потенциальной энергии. В этом случае программа находит первое решение, удовлетворяющее условию минимизации энергии и считает его оптимальным.
Рисунок 34 – чрезмерное утонение
а)
б)
Рисунок 35 – Укрупнение сетки при автоматическом перестроении в ходе расчета: а – сетка до перестроения; б – сетка посте перестроения
Контрольные вопросы
Заключение
В заключении ещё раз хотелось бы отметить этот факт, что степень использования моделирования определяет уровень производства и качество полученного изделия. Развитие современных программных средств моделирования даёт значительные преимущества перед традиционным моделированием, используемым при производстве. С развитием программных средств развивается и производство, появляются новые, более сложные задачи, для решения которых необходимо развивать программные средства.
Рассматриваемые в пособие вопросы отражают постановку задачи моделирования с помощью современных программных средств без привязки к конкретному программному продукту, поскольку методика моделирования процессов ОМД является общей для любой программы. Отличие в моделировании между различными программами заключается лишь в организации задании исходных данных их математической обработки и представления полученных результатов.
Освоение общей методики расчёта позволяет быстро адаптироваться исследователю к особенностям той или иной программы и освоить её.
Список используемых источников
Учебное издание
Гречников Федор Васильевич
Попов Игорь Петрович
Шляпугин Алексей Геннадьевич
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ
И ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Учебное пособие
Самарский государственный аэрокосмический
университет им. академика С. П. Королева.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.