Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
КУЦЕНКО АНАСТАСІЯ ГРИГОРІВНА
УДК 539.3
ПОШИРЕННЯ ХВИЛЬ ЗГИНУ
В ПЕРІОДИЧНО СТРУКТУРОВАНИХ
ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2002
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка
Науковий керівник - Член-кореспондент НАН України, доктор
фізико-математичних наук, професор
Улітко Андрій Феофанович,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
професор кафедри теоретичної та прикладної механіки
Офіційні опоненти: Доктор фізико-математичних наук
Маслов Борис Петрович,
Інститут механіки імені С.П. Тимошенка НАН України,
головний науковий співробітник відділу механіки повзучості, м. Київ;
Кандидат фізико-математичних наук
Олійник Валерій Никифорович,
Інститут гідромеханіки НАН України,
Старший науковий співробітник відділу гідродинамічної акустики, м. Київ;
Провідна установа - Інститут прикладних проблем механіки
і математики імені Я.С. Підстригача, м. Львів
Захист відбудеться “18” грудня 2002 р. о 14 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 у Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка за адресою:
03127, м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 2, корпус 7,
механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного
університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58)
Автореферат розісланий “18” листопада 2002 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Досягнення на шляху розв`язання проблеми поширення хвиль в періодично структурованих середовищах мають значний вплив на розвиток уявлень про хвильові процеси в цілому. Яскравим прикладом останнього можуть слугувати такі поняття як принцип суперпозиції, власна форма коливань та дисперсійне співвідношення - всі вони отримали право на існування завдяки вивченню коливань періодичного ланцюга дискретних мас, з`єднаних пружними елементами.
Розвиток техніки вимагає розробки нових методів усунення небажаних вібрацій механізмів та елементів конструкцій, тому дослідження коливань механічних систем періодичної будови крім теоретичного значення має також і практичну цінність. Особливо актуально дане питання постає в літакобудуванні та космічній галузі, де традиційні методи віброзахисту стикаються з обмеженнями на розмір та вагу конструкції. Враховуючи, що несучі конструкції літальних апаратів являють собою оболонки, періодично підкріплені ребрами жорсткості, для їх віброзахисту використовують властивість періодичних структур не пропускати збурення певних частот. Вказаний підхід має широке застосування і в інших галузях техніки, наприклад, при конструюванні активних дзеркал адаптивної оптики супутникового зв`язку, де періодична будова дзеркала дозволяє виключити взаємний вплив коливань різних активних елементів.
Потреби практики знайшли своє відображення у фундаментальних дослідження. Починаючи з середини минулого століття, явищу поширення хвиль вздовж періодичних систем з розподіленими параметрами були присвячені роботи багатьох вітчизняних та зарубіжних вчених. В своїй переважній більшості всі вони ґрунтуються на теоремі Флоке про існування квазіперіодичних розв`язків звичайних диференціальних рівнянь, а тому обмежуються вивченням хвильових полів в одновимірних та квазіодновимірних системах. Спроби узагальнення розроблених аналітичних методів на двовимірний та тривимірний випадок наштовхуються на значні труднощі, пов`язані з недостатнім розвитком відповідного розділу спеціальних функцій. Отже, без застосування ефективних чисельних або чисельно-аналітичних методів подальший розвиток цієї галузі є неможливим. Разом з тим, в більшості відомих на сьогодні робіт присвячених поширенню хвиль в багатовимірних періодичних системах використовуються метод скінчених елементів або метод сіток, вибір яких не можна вважати найбільш раціональним. Тому актуальність теми пояснюється необхідністю в адаптації відомих на сьогодні більш ефективних методів до розв`язку означеного класу задач з метою одержання нових кількісних та якісних результатів для двовимірних систем, узагальнення яких сприяло б розробці загальної теорії поширення хвиль в періодично структурованих середовищах.
Відображені в дисертаційній роботі дослідження мають тісний зв`язок з програмами науково-дослідної роботи кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, в тому числі з комплексною науковою програмою "Дослідження закономірностей деформування складних механічних структур з урахуванням явищ і ефектів зв`язності полів різної природи і розробка методів їх кількісного аналізу" на 1997 р. - 2002 рр.
Мета дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є встановлення закономірностей поширення гармонічних хвиль згину в балках та в квазіодновимірному випадку в платівках та розробці на основі їх аналізу комплексного методу визначення зон проходження хвиль в двоякоперіодичних платівках, який ґрунтується на ефективному чисельно-аналітичному методі розрахунку характеристик хвильових полів. У якості останнього вибрано метод граничних елементів.
Наукова новизна одержаних результатів:
вперше знайдено аналітичні розв`язки ряду одновимірних та квазіодновимірних задач про проходження хвиль згину в періодично структурованих балках та платівках;
на основі методу граничних елементів та ітераційного методу розв`язку алгебраїчної проблеми на власні значення розроблено методику визначення діапазонів частот, які відповідають хвилям, що поширюються в довільному напрямку двоякоперіодичної платівки;
досліджено випадок діагонального поширення хвилі вздовж платівки, закріпленої за допомогою двох взаємно ортогональних систем лінійних шарнірів.
Одержані в роботі результати крім теоретичного мають і безпосереднє практичне значення. Результати проведеного аналізу розподілу частотних діапазонів хвиль, які поширюються в періодично структурованих балках та смугах, можуть використовуватися при проектуванні конструктивного віброзахисту в будівництві, літакобудуванні, суднобудуванні та інших галузях машинобудування. Розроблений чисельно-аналітичний метод дослідження поширення коливань в двоякоперіодичних платівках може бути використаний при розробці таких високотехнологічних пристроїв, як дзеркала адаптивної оптики супутникового зв`язку.
Апробація та публікація результатів дисертації. Основні результати, відображені в роботі, доповідались на наступних міжнародних конференціях та симпозіумах:
Міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми механіки та математики" (Україна, м.Львів, 1998);
4-й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові (Україна, м.Львів, 1999);
Міжнародна науково-практична конференція "Актуальні проблеми інженерної механіки та їх взаємозв`язок з підготовкою фахівців високої кваліфікації" (Україна, м.Київ, 2002).
Крім того, окремі питання та робота в цілому неодноразово доповідалися та обговорювалися на науковому семінарі "Проблем механіки" при кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом члена-кореспондента НАН України А.Ф. Улітка. За темою дисертаційної роботи опубліковано 7 наукових праць, з них чотири [1-4] - статті в журналах, регламентованих ВАК.
Структура та об`єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п`яти розділів основної частини, висновків, списку використаних літературних джерел та додатку. Загальний обсяг дисертації складає 132 сторінок машинописного тексту, список літературних джерел утримує 83 найменування і розміщено на 9 сторінках, додаток займає 23 сторінки.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У Вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема, обґрунтовується актуальність її теми, сформульована мета дослідження, визначені новизна та практичне значення отриманих результатів. Вказано на зв`язок роботи з науковими темами, наведено публікації автора, в яких викладено основний її зміст.
В першому розділі проведено огляд наукових праць за темою дисертації. Вивчення явища поширення хвиль в періодичних структурах бере початок в роботах таких видатних вчених, як І. Ньютон, Д. Бернуллі, Ж. Лагранж, О. Коші, Кельвін, зусиллями яких було повністю досліджено коливання одновимірних періодичних дискретних пружних систем, складених з однакових мас або мас декількох типів. Завдяки цим працям було встановлено, що в подібних системах можуть поширюватися лише хвилі, частоти яких належать певним інтервалам кількістю, рівній кількості типів мас.
Подальші дослідження хвильових полів в періодично структурованих середовищах характеризуються зміщенням акценту з дискретних до континуальних систем і умовно можуть бути розділені на два напрямки: дифракція хвиль на періодичних перешкодах та поширення хвиль в тілах, які мають періодичну будову. Вперше задача про падіння нормальної хвилі на дифракційну решітку, яка складається з однакових рівновіддалених смуг, в довгохвильовому наближенні була розв`язана Г. Лембом. В роботах В.Т. Грінченка, Л.А. Вайнштейна, І.В. Вовка, В.С. Ігнатовського, Д.В. Майзла, Р. Мюллера, В.П. Шестопалова та інших дослідників за рахунок використання таких потужних аналітичних методів, як метод Віннера-Хопфа, метод інтегральних рівнянь, метод суматорних рівнянь та метод частинних областей, даний розв`язок був узагальнений на випадок багатошаруватих решіток та сіток довільної конфігурації.
Перше дослідження, яке відноситься до другого напрямку, було проведене Релеєм, який за допомогою метода Хілла знайшов зони пропускання в задачі про поширення гармонічних коливань вздовж неоднорідної мембранної смуги з неперервною та періодичною в поздовжньому напрямку густиною. Проте, враховуючи простоту одержання результату, за основу всіх подальших досліджень одновимірних та квазіодновимірних випадків розповсюдження хвиль вздовж періодично структурованих систем було вибрано метод, який ґрунтується на теоремі Флоке. Так в роботах Л. Крімера та Д.В. Майзла на основі підходу Флоке було проведено аналіз хвильового поля в періодично шарнірно закріпленій балці.
Якісно новий крок вперед був зроблений М. Хеклом, який дослідив коливання пружних періодичних структур, що складається з двох взаємно ортогональних систем струн або балок, з`єднаних у вузлах. Вважаючи, що в такій системі можуть поширюватися лише згинні коливання, були побудовані дисперсійні криві для довільного напрямку розповсюдження хвилі. Дані результати були узагальнені на основі методу лінійних динамічних жорсткостей в роботах Ю.І. Бобровницького та В.П. Маслова.
В подальших дослідженнях хвильових полів в періодичних структурах була значно розширена їх конфігурація. Так аналіз поширення хвиль в пружних та електропружних шаруватих середовищах проведений в працях Л.М. Бреховських, Г.І. Петрашеня, А.Ф. Улітка, Ю.А. Устінова, М.О. Шульги та деяких інших дослідників. У більшості робіт, в яких вивчалися закономірностей розповсюдження збурень в періодично структурованих системах, використовувалося квазіодновимірне наближення, що не дозволило побудувати замкнену теорію. Лише останнім часом у зв`язку з появою потужної обчислювальної техніки зроблені перші спроби аналізу хвильових полів у суттєво двовимірних випадках.
У другому розділі виведені основні співвідношення класичних теорій згину балок (перший підрозділ) та платівок (другий підрозділ), які використовуються в четвертому розділі при побудові схем методу граничних елементів. На основі методу сил були одержані не лише рівняння рівноваги (стаціонарних коливань), а і вирази для кутів нахилу нормалей до перерізу, перерізуючих зусиль та згинаючих моментів через прогини. У випадку балки для амплітудних функцій згаданих характеристик наведені загальні вирази, що задовольняють рівняння стаціонарних коливань та утримують чотири довільні сталі інтегрування. Проаналізовано також дисперсійне співвідношення для хвилі згину, що поширюється в нескінченній однорідній балці.
Третій розділ дисертації присвячений вивченню закономірностей поширення хвиль згину в одновимірних періодичних структурах - в періодично закріплених або кусково однорідних балках.
Рис. 1. Нескінченна періодично шанір-но закріплена балка
В першому підрозділі розглядається проходження гармонічної хвилі вздовж нескінченної періодично шарнірно закріпленої балки (див. рисунок 1). Під шарнірним розуміється таке закріплення, яке у відповідному перерізі фіксує прогин балки w, який вибирається рівний нулеві, та залишає неперервними (довільними - не обов`язково рівними нулю) кут повороту нормалі до перерізу q та згинаючий момент M. Вводячи в розгляд мультиплікатор S, який згідно теорії Флоке є відношенням амплітуд деякої характеристики у відповідних точках двох сусідніх періодів, вихідна задача була зведена до граничної задачі для одного періоду балки. Поєднуючи умови шарнірного закріплення, неперервності q та M та умови квазіперіодичного продовження, які утримують мультиплікатор S, відповідні граничні умови були записані у вигляді
w|x=0 = w|x=a=0, q |x=a = Sq |x=0, M |x=a = S M |x=0, (1)
де a - відстань між двома сусідніми опорами, тобто період балки.
Враховуючи гармонічну залежність прогинів, кутів повороту та згинаючих моментів від часу та підставляючи в (1) загальні вирази для їх амплітудних функцій, знаходження залежності значення мультиплікатора від колової частоти хвилі w шляхом покладання рівним нулеві значення визначника одержаної лінійної системи було зведене до розв`язку квадратного рівняння
S 2 – 2S + 1 = 0, (2)
де
(pa) = [sh(pa) cos(pa) – ch(pa) sin(pa)] [sh(pa) – sin(pa)]-1,
(pa)2 = щ (сF/EJ)1/2 - безрозмірна частота, с, E, F та J - густина, модуль Юнга, площа та момент інерції поперечного перерізу балки.
Рис. 2 Дисперсійна крива квазіперіодичної хвилі в шарнірно закріпленій балці
Два взаємно обернені корені рівняння (2), фізично відповідають одній і тій самій хвилі, але з протилежними напрямками руху вздовж балки. У випадку, коли ||>1, обидва корені рівняння є дійсними, а амплітуда хвилі зменшується в напрямку свого поширення від періоду до періоду в геометричній прогресії. За таких умов, власне, не можна говорити про поширення хвилі. Навпаки, для частотних проміжків, на яких ||<1, відповідна хвиля поширюється вздовж балки без зміни своєї амплітуди, адже за такої умови корені рівняння (2) є комплексно спряженими числами, за модулем рівними одиниці. Такі частотні інтервали домовимося називати зонами пропускання або “вікнами прозорості”. Для даної задачі було встановлено фізичний зміст границь “вікон прозорості”, для яких виведені асимптотичні значення, що відповідають високим частотам. Показано, що ліві границі відповідають резонансним частотам шарнірно закріпленого періоду балки, а праві - резонансним частотам консольно закріпленого прольоту. Значення мультиплікатора в обох граничних випадках є дійсними, тобто S = ±1.
Ґрунтуючись на представленні мультиплікатора в тригонометричному вигляді
S = eika (3)
де ka - безрозмірне хвильове число, було отримане дисперсійне співвідношення
cos ka=(pa). (4)
Виділяючи гілки функції Arccos, була побудована дисперсійна крива, єдина гілка якої зображена на рисунку 2 в порівнянні з двома дисперсійними гілками, що відповідають хвилі в однорідній балці без закріплення (зображені пунктирними лініями). Розташування “вікон прозорості” співпадає з положенням частин кривої, які лежать в площині дійсних значень ka та позначені на рисунку товстими лініями. Нульове значення групової швидкості хвилі для частот, що обмежують дані частини, повністю узгоджується з раніше наведеним їх фізичним змістом.
Крім частотної залежності мультиплікатора (хвильового числа) була також знайдена форма однорідної хвилі на періоді. Останнє дозволило вказати шлях побудови полів прогинів нескінченної шарнірно закріпленої балки, яке виникає під дією зовнішнього навантаження, що змінюється в часі за гармонічним законом. У якості прикладу розглянуто напівнескінченну балку, до граничного шарніру якої прикладено згинаючий момент, та нескінченну балку, середній переріз деякого прольоту якої навантажено зосередженою перерізуючою силою. В обох випадках, починаючи з першого ненавантаженого періоду, розв`язок було представлено у вигляді біжучої на нескінченність квазіперіодичної хвилі.
Для обґрунтування запропонованого підходу в другому підрозділі розглянуто задачу про балку, навантажену зосередженою силою, без застосування теорії Флоке. Використовуючи функцію впливу для однорідної балки, задачу було зведено до нескінченної лінійної алгебраїчної системи різницевого типу відносно реакцій, що виникають в шарнірах. Її розв`язок, який був отриманий за допомогою дискретного перетворення Лорана, повністю співпав з раніше знайденим. Виходячи з загальновідомих результатів теорії аналітичних функцій, з якими тісно пов`язане перетворення Лорана, можна стверджувати, що отриманий розв`язок є єдиним обмеженим на нескінченності розв`язком вихідної задачі. Знайдене аналогічним чином його узагальнення на випадок довільного зовнішнього навантаження, дозволило зробити висновок, що прогин нескінченної періодично шарнірно закріпленої балки завжди можна представити у вигляді квазіперіодичної хвилі, починаючи відразу з першого ненавантаженого прольоту.
Приймаючи до уваги значні технічні труднощі, що виникають при розв`язанні граничних задач для періодично структурованих балок шляхом зведення їх до нескінченних алгебраїчних систем, дослідження поширення хвиль в періодично пружно закріпленій балці виконане в третьому підрозділі на основі теорії Флоке. Вважаючи, що в опорах виникає момент опору, пропорційний куту нахилу перерізу, та реакція, пропорційна прогину, задача знову була зведена до визначення прогину на одному прольоті з наступними граничними умовами:
w|x=a = Sw|x=0, и |x=a = Sи |x=0,
M |x=a = S(M + b0и)|x=0, Q |x=a = S(Q + a0w)|x=0 (5)
де Q - перерізуюча сила, a0 та b0 - коефіцієнти пропорційності (жорсткості закріплень).
Повторюючи викладки, проведені нами у випадку шарнірно закріпленої балки, було одержано рівняння відносно мультиплікатора, яке має дві пари взаємно обернених коренів, а тому дисперсійна крива, складається з двох гілок. Одна з них лежить повністю в площині уявних значень хвильового числа і подібна до відповідної гілки хвилі в однорідній незакріпленій балці, тобто їй відповідає хвиля, амплітуда якої спадає при віддаленні від джерела збудження, інша - подібна до єдиної гілки дисперсійної кривої хвилі в шарнірно закріпленій балці. Саме остання гілка дозволяє існування “вікон прозорості”, які були побудовані для різних значень жорсткостей закріплень. Встановлено, що границі “вікон прозорості” співпадають з відповідними за номером власними частотами періоду балки, кінці якого закріплені пружно відносно нахилу та жорстко відносно прогину або, навпаки, закріплені жорстко відносно нахилу та пружно відносно прогину. Лівим границям відповідають нижчі, а правим — вищі з указаних частот.
У четвертому підрозділі розглянута задача про проходження гармонічної хвилі вздовж кусково однорідної балки періодичної структури, кожен період якої складається з двох однорідних частин. Граничні умови, записані для одного періоду такої балки, окрім умов квазістатичного продовження містять також умови неперервного продовження характеристик балки між частинами її періоду. Для знаходження залежності мультиплікатора від частоти для кожної з частин було використано окреме представлення розв`язку загального вигляду, що вдвічі збільшило кількість рівнянь. Проте алгебраїчне рівняння відносно мультиплікатора як і в попередньому випадку вийшло четвертого ступеня, тобто дисперсійна крива складається з двох віток. Їх поведінка та розподіл “вікон прозорості” теж носять подібний до випадку пружно закріпленої балки характер. Загальна ширина “вікон прозорості” зменшується зі збільшенням неоднорідності балки, починаючи з повного частотного проміжку.
Переходячи до розгляду явища поширення хвиль згину в двовимірних системах, слід визнати, що такі відносно прості аналітичні методи, які були застосовані нами для вивчення поведінки хвиль в балках, не здатні допомогти в аналізі хвильових полів, що виникають в загальному випадку в двоякоперіодичних платівках. Тому для подальшого дослідження було вирішено застосувати ефективний чисельний або чисельно-аналітичний метод. Найбільш вдалим для цих цілей є метод граничних елементів. Серед його переваг в порівнянні з іншими чисельними методами слід відзначити наступні: метод граничних елементів є загальним чисельно-аналітичним методом, який відповідає методу граничних інтегральних рівнянь; згідно методу граничних елементів відповідне диференціальне рівняння (чи система рівнянь) задовольняється тотожно і задача зводиться лише до задоволення граничних умов, тобто зменшується розмірність задачі; зміна геометрії області не призводить до зміни чисельної схеми методу. Виходячи з наведених аргументів, в четвертому розділі було побудовано чисельну схему прямого метода граничних елементів.
В першому підрозділі побудована та апробована на прикладі вже розв`язаних задач схема прямого методу граничних елементів для стаціонарних коливань балок. Використовуючи інтегральне перетворення Фур`є та методи контурного інтегрування в просторі зображень, був знайдений фундаментальний розв`язок відповідного диференціального опратора у вигляді хвилі, яка переносить енергію від точки збудження до нескінченно віддаленої точки. Додаючи до даного фізично обґрунтованого фундаментального розв`язку однорідні розв`язки рівняння коливань балки, були одержані інші фундаментальні розв`язки, використання яких за певних умов дозволяє спростити чисельну схему методу граничних елементів.
Оскільки у випадку балки область є одновимірною, а границя - множиною точок, то співвідношення методу граничних елементів являють собою лінійні алгебраїчні рівняння відносно граничних значень прогинів, кутів нахилу, згинаючих моментів та перерізуючих сил, що дозволяє знайти аналітичний розв`язок відповідної задачі. Для апробації схеми метода була розглянута задача про поширення гармонічної хвилі вздовж періодично шарнірно закріпленої балки. Отримане відносно мультиплікатора рівняння співпало з рівнянням (2), що вказує на спроможність метода граничних елементів адекватно описувати подібні процеси.
В другому підрозділі схема прямого методу граничних елементів поширено на випадок стаціонарних коливань платівок. Знову, використовуючи двовимірне перетворення Фур`є та контурне інтегрування в просторі образів, був одержаний ряд фундаментальних розв`язків рівняння стаціонарних коливань платівки, один з яких відповідає хвилі, що біжить в однорідній платівці від точки прикладання гармонічної в часі перерізуючої сили на нескінченність, а інші одержані шляхом додавання до нього однорідних розв`язків. Граничні інтегральні співвідношення методу були одержані на основі використання теореми про взаємність робіт Максвелла-Бетті. В процесі їх дискретизації границя замінювалася прямолінійними граничними елементами, на яких невідомі функції вважалися постійними. Для підвищення точності та швидкості обрахунку коефіцієнти власного впливу граничних елементів у розв`язуючій алгебраїчній системі були знайдені в явному вигляді. Побудована таким чином чисельна схема була неодноразово апробована на різних задачах стаціонарних коливань платівок, що мають аналітичний розв`язок. В роботі у якості апробації наведено лише один чисельно розв`язаний приклад, який має безпосереднє відношення до її теми: розглянуто вимушені коливання ланцюга з восьми шарнірно закріплених платівок. Порівняльний аналіз чисельних результатів з аналітичним розв`язком подібної задачі для нескінченного ланцюга, одержаного в наступному розділі, вказує на повну їх узгодженість.
Рис. 3. Двоякоперіодична шарнірно закріплена платівка
Дослідження, висвітлені в п`ятому розділі, стосуються виключно поширення хвиль згину в двоякоперіодичних платівках, тобто платівках, які мають два незалежних періоди зміни своєї структури. У всіх розглянутих задачах вважалося, що напрямки відповідних лінійних періодів є взаємно ортогональними. Оскільки дослідження загального випадку поширення хвилі в довільному напрямку є складною задачею, тому попередньо було розглянуто розповсюдження хвиль в напрямку одного з лінійних періодів.
Рис. 4. Смуга шарнірно закріплених платівок
В першому підрозділі розглянуто гармонічну хвилю, що біжить вздовж однієї з двох систем лінійних шарнірних закріплень нескінченної однорідної платівки (рис. 3). Така платівка є безпосереднім узагальненням шарнірно закріпленої балки на випадок двоякоперіодичної системи. Вважалося, що хвиля поширюється вздовж вісі x, а її профіль в напрямку вісі y — кососиметричний, тобто прогин при фіксованому x є непарною функцією y відносно кожного горизонтального шарніру. За таких припущень смуги, що знаходяться між горизонтальними шарнірами, не впливають одна на одну, а тому вихідна задача для всієї платівки зводиться до дослідження процесу проходження гармонічною хвилею довільного профілю ланцюга шарнірно закріплених по периметру та жорстко з`єднаних між собою однакових прямокутних платівок розмірами aЧb (рис. 4). Задача про проходження хвилі вздовж такого ланцюга на основі теорії Флоке була зведена до однорідної граничної задачі для однієї прямокутної платівки.
Оскільки на горизонтальних шарнірах відсутні прогини та згинаючі моменти, то відповідні граничні умови можуть бути записані у вигляді
w|y=0 = w|y=b=0, . (6)
Для їх тотожного задоволення амплітудну функцію прогину було представлено у формі
w(x,y)=(x) sin??n, (7)
яка відповідає застосуванню методу Фур`є. Представлення (7) шляхом його підстановки в рівняння стаціонарних коливань та граничні умови на вертикальних шарнірах, які як і у випадку балки мають вигляд (1), призводить до задачі
, 0 < x < a, (8)
Xn(0) = Xn(a) = 0, , , (9)
яка є задачею на відшукання власних значень мультиплікатора S та власних функцій Xn(x), подібною до граничної задачі на періоді відносно амплітуди квазіперіодичної хвилі, що поширюється в шарнірно закріпленій балці. Тому недивно, що визначення залежності мультиплікатора від частоти знову звелося до розв`язку рівняння (2), де вже
, (10)
, .
Зауважимо, що в формулах (8)–(10) квадрат частотного параметру p, вираз якого має дещо відмінний від раніше введеного вигляд, залишається пропорційним коловій частоті щ.
Рис. 5. "Вікна прозорості" кососиметричної хвилі
Виходячи з розв`язку рівняння (10), були побудовані “вікна прозорості” кососиметричної хвилі, зображені на рис. 5. Видно, що крім безрозмірного частотного параметру pa єдиним суттєвим для процесу є комбінований параметр na/b, а не окремо n та a/b. Дана обставина пояснюється автомодельністю гармонік кососиметричної хвилі, наприклад, при фіксованій частоті pa профіль другої гармоніки (n=2) хвилі буде співпадати з профілем головної гармоніки (n=1) аналогічної хвилі, але в платівці з вдвічі меншою відстанню між горизонтальними шарнірами.
Криві, які обмежують “вікна прозорості” відповідають дійсним значенням мультиплікатора, рівним за модулем одиниці. Ліві границі співпадають з резонансними частотами шарнірно закріпленої по периметру прямокутної платівки розмірами aЧb і утворюють параболи, які задаються співвідношенням
, l = 1,2,3,…, (11)
де l відповідає порядковому номеру “вікна”. Праві границі “вікон прозорості” відповідають резонансним частотам прямокутної платівки розмірами aЧb, яка закріплена шарнірно на сторонах довжиною a та жорстко — на сторонах довжиною b. Відповідні криві теж нагадують гіперболи зі спільною асимптотою pa = рna/b, тому при зростанні значення параметра a/b “вікна” стають вужчими та ближче розташованими одне до одного.
В другому підрозділі задача про розповсюдження кососиметричної хвилі була поширена на випадок пружно закріпленої вздовж вертикальних прямих платівки та кусково неоднорідної платівки, яка складається з вертикальних однорідних смуг двох типів. При цьому вважалося, що періодичність платівки у вертикальному напрямку, як і раніше, визначається системою горизонтальних лінійних шарнірів. Тому в обох випадках для кожної гармоніки хвилі залежність мультиплікатора від частоти знову визначалась з рівняння, подібного до частотного рівняння для квазіперіодичної хвилі у аналогічним чином структурованій балці. Були побудовані відповідні “вікна прозорості”, аналіз яких показав незалежність якісної поведінки хвилі від типу неоднорідності платівки, в якій вона поширюється. Виходячи з цього, подальше дослідження розповсюдження хвиль в двоякоперіодичних платівках було вирішено провести на прикладі шарнірно закріпленої платівки.
Для узагальнення результатів, одержаних в першому підрозділі для кососиметричної хвилі в третьому підрозділі було розглянуто поширення вздовж однієї з двох систем лінійних шарнірних закріплень двоякоперіодичної платівки хвилі, профіль якої симетричний відносно шарнірних закріплень, в напрямку яких вона розповсюджується. Припущення про симетричність профілю хвилі вздовж її фронту дозволило знову розглянути лише одну смугу, поздовжні сторони якої є консольно закріпленими:
w|y=0 = w|y=b=0, . (12)
Проте заміна граничних умов (6) на (12) значно ускладнює знаходження розв`язку, адже на відміну від випадку кососиметричної хвилі представлення прогинів, які відповідають симетричній хвилі, у вигляді ряду типу (7) зводить задачу до нескінченної алгебраїчної системи, розв`язок якої може бути знайдений лише чисельно. Враховуючи сильну залежність вигляду розв`язуючої системи, побудованої таким чином, від типу граничних умов, що може призвести до значних технічних труднощів при намаганні узагальнити задачу, було вирішено звернутися до методу граничних елементів.
Базуючись на теорії Флоке, задача про поширення симетричної хвилі була зведена до граничної задачі для прямокутної платівки з граничними умовами (1) та (12). Для її розв`язку периметр платівки було розбито на граничні елементи так, як це зображено на рисунку 6. На основі реалізації загальної схеми прямого методу граничних елементів була сформована матриця впливу , i,j = 1,2,…,2N, де N — кількість граничних елементів на вертикальній стороні платівки (x – const), — кут нахилу нормалі до i-го елементу, який виникає внаслідок прикладання до j-го елементу одиничного згинаючого моменту, якщо на горизонтальних сторонах периметру реалізується умова жорсткого закріплення, а на вертикальних — шарнірного. Таким чином, матриця впливу враховує перші дві умови в (1) та повністю умови (12). Використовуючи властивості певної симетрії матриці впливу та вводячи параметр л у вигляді функції Жуковського від мультиплікатора:
л = (S + S -1)/2, (13)
задоволення останніх двох в (1) умов, які є умовами квазіперіодичного продовження, зводить вихідну задачу до узагальненої проблеми на власні значення вигляду:
det (Aл + B)=0, (14)
де елементи матриць A та B виражаються через елементи матриці впливу . З властивостей функції Жуковського випливає, що “вікнам прозорості” мають відповідати дійсні значення л, менші за модулем від одиниці.
Рис. 6. Розбиття границі на граничні елементи при поздовжньому поширенні хвилі
Для знаходження розв`язку узагальненої проблеми на власні значення існують спеціально розроблені методи. Проте враховуючи, що порядок відповідного матричного поліному є лише першим, (14) зводиться до звичайної проблеми на власні значення шляхом множення зліва на матрицю A–1 виразу в дужках. Остання була успішно розв`язана за допомогою ітераційного QR-методу.
Розподіл “вікон прозорості” для перших двох гармонік симетричної хвилі наведено на рисунку 7. Вони є більш нахиленими ніж у випадку кососиметричної хвилі, що пояснюється більшою жорсткістю системи: ліві границі “вікон” симетричної хвилі відповідають резонансним частотам прямокутної платівки розмірами aЧb, яка закріплена жорстко на сторонах довжиною a та шарнірно — на сторонах довжиною b, а праві границі — резонансним частотам платівки, закріпленої жорстко вздовж всього периметру. Оскільки симетрична хвиля не має властивості автомодельності своїх гармонік, то параметри n та a/b є незалежними і не можуть бути поєднані в одному. Порядковий номер “вікна прозорості” на діаграмі як і у випадку кососиметричної хвилі співпадає з кількістю локальних максимумів амплітуди на одному періоді вздовж напрямку поширення симетричної хвилі.
Рис. 7. "Вікна прозорості" симетричної хвилі
Побудова “вікон прозорості” для кососиметричної та симетричної хвиль вичерпує питання про повздовжнє поширення хвиль згину в двоякоперіодичній платівці. Розкладаючи профіль довільної хвилі на складові гармоніки ми завжди зможемо вказати, які з них будуть розповсюджувати, а які ні. Значно складніше зробити аналогічний висновок у випадку довільного напрямку поширення хвилі, дослідженню якого присвячено четвертий підрозділ. В ньому запропоновано підхід, який дозволяє знаходити часткові розв`язки поставленої задачі. Для цього була розглянута прямокутна частина нескінченної двоякоперіодичної платівки, яка складається з цілого числа періодів aЧb (див. рис. 8). На відміну від випадку поздовжнього поширення хвилі в даному разі умовами квазістатичного продовження пов`язувалися кути нахилу та згинаючі моменти на обох парах протилежних сторін:
, , i = 1,2,…,N1, (15)
, , i = N1 + 1,N1 + 2,…,N.
Рис. 8. Розбиття границі на граничні елементи при довільному напрямку поширення хвилі
Розв`язку, що задовольняє (15) та умові відсутності прогинів вздовж шарнірів, відповідає однорідна квазіперіодична хвиля, що поширюється вздовж напрямку, ортогонального до діагоналі AB, тобто під кутом j до горизонтальних шарнірів. Дійсно, розбиваючи нескінченну платівку на прямокутні області, одна з яких зображена на рисунку 8, та задаючи на кожній з них прогини так, щоб їх розподіл, який має задовольняти вказаним умовам, не змінювався від області до області при русі вздовж діагоналі AB, а в ортогональному напрямку зростав на величину S, одержуємо неперервне на всій нескінченній двоякоперіодичній платівці поле прогинів.
Використовуючи матрицю впливу , i,j = 1,2,…,2N, фізичний зміст елементів якої подібний до раніше вказаного, на основі нескладних, але громіздких перетворень виконання умов (15) було знову зведено до узагальненої проблеми на власні значення (14).
У якості прикладу застосування розробленого підходу було розглянуто випадок “діагонального” поширення хвилі, коли прямокутна область співпадає з елементарним періодом платівки (або утримує однакову їх кількість в обох напрямках лінійних періодів). В результаті розв`язку задачі, були побудовані “вікна прозорості” для області у вигляді елементарного періоду. Виявилося, що вони бувають двох типів. Перший тип характеризується однаковою парністю чисел локальних максимумів амплітуд прогинів вздовж лінійних періодів. Вони займають увесь частотний проміжок від лівої границі відповідного “вікна прозорості” кососиметричної хвилі до правої границі відповідного “вікна прозорості” симетричної хвилі. “Вікна прозорості” другого типу пов`язані з хвилями, які мають різну парність максимумів вздовж лінійних періодів. Вони теж знаходяться між вказаними межами, які проте не є їхніми границями.
Рис. 9. “Вікна прозорості” хвилі, яка поширюється в “діаго-нальному” напрямку
На рисунку 9 зображено “вікна прозорості” хвиль з одним максимумом на період вздовж його горизонтальної границі. Перше “вікно прозорості” характеризується одним максимумом амплітуди хвилі також і в вертикальному напрямку, а тому належить до першого типу. Видно, що його ліва границя співпадає з лівою границею першого “вікна прозорості”, зображеного тонкою лінією на рис. 7, а права — з правою границею першого “вікна прозорості”, відображеного товстою лінією на тому самому рисунку. На обох границях мультиплікатор приймає дійсне значення: S = ±1. На відміну від цього граничні значення мультиплікатора для другого на рис. 9 “вікна прозорості” є комплексними, що пояснюється його належністю до другого типу “вікон прозорості” (амплітуда відповідної хвилі має два максимуми на одному періоді вздовж вертикального напрямку).
Завершує розгляд випадку “діагонального” поширення хвилі побудова “вікон” для області 2Ч2 елементарних періоди, які не існують для квазіперіодичних хвиль з періодом рівним елементарному. Вказано, як запропонований підхід можна використати для побудови однорідних розв`язків для довільного напрямку поширення хвилі, тангенс кута j якого є співвимірним з відношенням сторін періоду.
В додатку наведено текст програми розрахунку “вікон прозорості” хвиль в двоякоперіодичних платівках за довільного напрямку їх поширення.
ВИСНОВКИ
Досліджено явище поширення хвиль згину в одновимірних механічних системах з періодичним кусково постійним законом зміни геометричних та механічних характеристик вздовж просторової координати. Знайдено замкнутий аналітичний розв`язок задач про проходження хвиль вздовж періодично шарнірно закріпленої та пружно закріпленої однорідних балок, а також вздовж періодичної кусково неоднорідної балки. На прикладі конкретних граничних задач для нескінченної періодично шарнірно закріпленої балки обґрунтовано правомірність застосування теорії Флоке. У кожному випадку неоднорідності побудовано та проведено аналіз дисперсійних кривих хвилі, знайдено частотні області поширення збурень ("вікна прозорості"). Показано, що у таких системах "вікна прозорості" обмежені значеннями резонансних частот коливань елементарних періодів балок з відповідними умовами закріплення. Встановлено, що посилення неоднорідності балки призводить до звуження “вікон прозорості”.
У якості узагальнення результатів розв`язку одновимірних задач розглянуто явище поширення кососиметричної за своїм профілем хвилі вздовж системи осьових шарнірів в двоякоперіодичних нескінченних платівках. Показано, що для кожної моди хвилі трансцендентне рівняння, з якого визначається залежність мультиплікатора від частоти, має форму, подібну до розв`язуючого рівняння для випадку відповідної балки. Як і у одновимірному випадку "вікна прозорості" обмежені резонансними частотами, відповідним чином закріплених платівок, що становлять елементарний період системи.
Для смуги шарнірно закріплених платівок в площині безрозмірної частоти та комбінованого параметра, який є добутком номера моди та відношення сторін платівок, знайдено аналітичний вираз для кривих, що є нижньою межею "вікон прозорості". Встановлено, що вони є гіперболами з асимптотою, яка співпадає з прямою, що поділяє вказану площину на зони пропускання та непропускання для однорідного хвильовода, та відповідають резонансним частотам шарнірно закріпленої по периметру платівки, що співпадає з елементарним періодом.
Побудована та апробована схема методу граничних елементів для задач стаціонарних коливань періодично структурованих платівок. За її допомогою задача про поширення хвиль в двоякоперіодичних системах була зведена до узагальненої алгебраїчної проблеми на власні значення. Останнє дозволило побудувати "вікна прозорості" для "діагонального" напрямку поширення хвилі в нескінченній платівці, закріпленій двома взаємно ортогональними системами осьових шарнірів. Проведено аналіз їх розподілу.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Куценко А.Г. Поширення хвиль в балках, закріплених періодичним чином // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 1997. – №3. – С. 69 – 76.
Куценко А.Г. Поширення хвиль згину вздовж періодичних ланцюгових систем платівок // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 1999. – №4. – С. 38 – 43.
Куценко А.Г. До поширення хвиль в періодично закріплених пластинах // Машинознавство. – 1999. – №10. – С. 10 – 13.
Куценко А.Г. Загальний підхід до дослідження явища поширення хвиль згину в двоякоперіодичних платівках // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 2000. – №4. – С. 95 – 99.
Куценко А.Г. Поширення хвиль в одно- та двовимірних пружних системах, які мають періодичну структуру // Матеріали Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми механіки та математики”. – Львів: ІППММ НАН України – 1998. – С. 106.
Куценко А.Г. Закономірності розповсюдження хвиль в двоякоперіодичних пружних системах з розподіленими параметрами // Тези доп. 4-ї Міжнар. симпоз. українських інженерів-механіків у Львові. – Львів: Мін. освіти України – 1999. – С. 70 – 71.
Куценко А.Г. Проблеми реалізації МГЕ в теорії згину пластин, пов`язаних з парадоксом Сапонджяна // Науковий вiсник Національного аграрного унiверситету. – 2002. – Вип.49. – С. 168 – 171.
АНОТАЦІЯ
Куценко А.Г. Поширення хвиль згину в періодично структурованих пружних системах. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла, - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.
Дисертаційна робота присвячена дослідженню явища поширення хвиль згину в одновимірних та двовимірних механічних системах, які мають періодичну просторову будову. На основі теорії Флоке знайдені однорідні розв`язки, які відповідають хвилям, що розповсюджуються в шарнірно та пружно періодично закріплених балках, а також в кусково-однорідній балці періодичної структури. Проведено аналіз розподілу зон пропускання та встановлено фізичний зміст їх граничних частот. На прикладі шарнірно закріпленої балки показано, як згадані розв`язки можуть бути використані для побудови розв`язків фізично обґрунтованих граничних задач для відповідних нескінченних або напівнескінченних систем. За допомогою методу Фур`є одержані результати були поширені на випадок квазіодновимірних задач для двоякоперіодичних платівок. Для вивчення закономірностей поширення хвиль в двоякоперіодичних платівках в загальному випадку був розроблений підхід, який базується на методі граничних елементів та ітераційному QR-методі розв`язку алгебраїчної проблеми на власні значення. На основі розробленого комплексного методу були знайдені зони пропускання хвилі, яка поширюється в напрямку, ортогональному до діагоналі елементарного періоду. Встановлено існування квазіперіодичних хвиль, які мають період кратний елементарному.
Ключові слова: хвиля, балка, платівка, періодична структура, константа поширення, зона пропускання, теорія Флоке, метод граничних елементів.
АНОТАЦИЯ
Куценко А.Г. Распространение изгибных волн в периодически структурированных упругих системах. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела, - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.
Диссертационная работа посвящена исследованию явления распространения изгибных волн в одномерных и двумерных механических системах, имеющих периодическое строение. Структурно она состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемых литературных источников и приложения.
Во введении обосновывается актуальность и новизна исследований по теме диссертации, показано их теоретическое и практическое значение, сформулированы основные цели работы и намечены пути их достижения.
В первой главе приведен обзор научных трудов, посвященных проблеме распространения гармонических волн в средах, имеющих периодическое пространственное строение. Показано современное состояние данного раздела механики, отмечены основные проблемы на пути его дальнейшего развития.
Во второй главе изложены основные положения классической теории изгиба балок и пластин.
На основании теории Флоке в третьей главе найдены частные решения однородного уравнения колебаний балки, соответствующие волнам, распространяющимся в шарнирно и упруго закрепленных балках, а также в кусочно-однородной балке периодической структуры. Выполнен анализ распределения, так называемых, “окон прозрачности” – частотных диапазонов, которые соответствуют волнам, не меняющим своей амплитуды от периода к периоду. Установлено, что увеличение неоднородности системы ведет к уменьшению “окон прозрачности”. Определен физический смысл граничных частот “окон прозрачности”: данные частоты являются собственными частотами колебаний одного периода балки с соответствующими условиями закрепления. Так в случае бесконечной шарнирно закрепленной балки левые границы окон прозрачности совпадают с резонансными частотами колебаний одного шарнирно закрепленного пролета, а правые – жестко закрепленного пролета. На примере шарнирно закрепленной балки показано как найденные однородные решения могут быть использованы при построении решений физически обоснованных граничных задач для соответствующих бесконечных или полубесконечных систем. На основе альтернативного метода решения указанных граничных задач, который состоит в сведении их к бесконечных алгебраическим системам разносного типа с последующим решением при помощи дискретного преобразования Лорана, была доказана единственность их решений.
Для эффективного нахождения характеристик волновых полей в двумерных системах в четвертой главе была построена схема прямого метода граничных элементов. Первоначально метод граничных элементов был развит для одномерных задач и апробирован на примере задач, решенных в третьей главе. Во второй части четвертой главы его схема была доработана на случай стационарных колебаний пластин. Она также была апробирована, путем сравнительного анализа численных результатов с аналитическими решениями ряда задач, рассмотренными в пятой главе.
В пятой главе основные результаты третьей главы были распространены на случай квазиодномерных задач для двоякопериодических пластин, когда волна бежит вдоль направления одного с двух линейных периодов. При помощи метода Фурье были найдены аналитические решения, соответствующие распространению кососимметричных волн, т.е. волн, профиль которых вдоль фронта описывается нечетной периодической функцией пространственной переменной. Анализ распределений “окон прозрачности” подтвердил подобие волновых процессов в одномерных и квазиодномерных системах.
Для дальнейшего изучения закономерностей распространения волн в двоякопериодических системах был разработан подход, который состоит в сведении соответствующих задач к обобщенной алгебраической проблеме на собственные значения путем использования матрицы влияния для периода пластины. Элементы матрицы влияния предложено находить при помощи метода граничных элементов, а собственные значения вычислять при помощи итерационного QR-метода.
На основании разработанного комплексного метода было решено ряд задач о распространении волн в однородной бесконечной пластинке, закрепленной при помощи двух периодических систем взаимно ортогональных линейных шарниров. Для завершения рассмотрения квазиодномерного случая была решена задача о распространении симметричной волны. Её решение находится в полном соответствии с ранее найденными закономерностями распространения волн в одномерных системах. Гораздо больший интерес представляет другая исследованная задача, в которой волна бежит вдоль направления, ортогонального к диагонали периода. Установлено, что при таких условиях система допускает существование “окон прозрачности” двух типов. Кроме того, обнаружено существование распространяющихся волн, период которых больше от элементарного периода.
В приложении приведен листинг программы, реализующей разработанный автором метод нахождения “окон прозрачности” для волны, распространяющейся в произвольном направлении двоякопериодической шарнирно закрепленной бесконечной пластинки.
Ключевые слова: волна, балка, пластинка, периодическая структура, константа распространения, зона пропускания, теория Флоке, метод граничных элементов.
SUMMARY
Kutsenko A.G. The propagation of bending waves along the elastic solids with periodic structure. – Manuscript.
The dissertation on competition of scientific degree of physics and mathematics science on a speciality 01.02.04 – mechanics of deformed rigid solid. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.
The dissertation is devoted to bending wave propagation phenomena in one- or two-dimensional continuous periodic engineering structures. With using of Floquet's principle the free wave motions in the both simple or elastic periodically supported infinite beam and the sectionally homogenous infinite beam are investigated. The distribution of pass-bands is analyzed and the physical sense of them boundary frequencies is established. The connection between the obtained quasi-periodic solutions and the solutions of the boundary problems for corresponding infinite or half-infinite periodic structures is shown by the example of the simply supported beam. Using Fourier`s method this results was generalized on the case of quasi-one-dimensional waves in double periodic plates. For investigation of the general case of wave propagation in double periodic plates the complex method, which includes the boundary elements method and the iteration QR-method for the solution of the matrix eigenvalue problems as its constituents, was developed. This allowed us to find the pass-bands of the wave, which propagates in the orthogonal to the period diagonal direction. The existence of the quasi-periodic waves which period consists of few basic periods is established.
Key words: wave, beam, plate, periodic structure, propagation constant, pass-band, Floquet's principle, boundary elements method.