Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вступ.
Економетрикою називають галузь економічної науки, яка вивчає методи кількісного вимірювання взаємозв’язків між економічними процесами.
Економетрика порівняно молода галузь науки, відома під такою назвою лише з 1930 року. Термін «економетрика» означає вимірювання в економіці. Вперше термін «економетрика» ввів норвезький статистик Вагнер Фріш.
Економетрика базується на фундаменті економічної теорії, матричної алгебри, математичного програмування, математичної і загальної статистики.
|
Економіка |
|||||||
|
Економетрика |
|||||||
|
Економіко-математичні методи |
|||||||
|
Математичне програмування |
Статистика |
Мат. методи |
Теорія імовірності |
Одна з головних задач економетрики – встановлення кількісних зв’язків між економічними показниками, перевірка відповідності моделей досліджуваному явищу та прогноз розвитку економічного процесу.
Контрольні запитання
Дати визначення предмета курсу економетрики.
Наведіть етапи розвитку економерики як економічної науки.
Завдання економетричного дослідження.
Роль комп’ютера в економетриці?
Література [2, с. 3-10; 3, с. 12-16; 4, с. 4-27; 5, с. 9-12]
Лекція № 1
Тема1. Вступ. Предмет, метод і задачі курсу.
План:
Предмет і метод курсу.
Місце курсу серед дисциплін фундаментальної підготовки бакалаврів з економічних спеціальностей.
Структура курсу.
Коротка історична довідка.
Задачі економетричного дослідження.
Висновки.
Питання для самопідготовки.
1. Предмет і метод курсу
Економетрика — порівняно молода галузь науки, відома під такою назвою лише з 1930 року, коли було засновано Економетричне об’єднання, яке визначило себе так: «міжнародне об’єднання для розвитку економічної теорії і її зв’язку зі статистикою та математикою». З 1933 виходить журнал «Економетрика», який видається цим об’єднанням.
Термін «Економетрика» запропонував львівський вчений П. Чомпа, опублікувавши у Львові в 1910 році книгу «Нариси економетрики і природної теорії бухгалтерії, яка ґрунтується на політичній економії».
За рубежем перші праці з економетрики, що належали Муру, вийшли друком протягом 1914–1917 рр. У 1928 році було опубліковано роботи Ч. Кобба і П. Дугласа про виробничу функцію. Ця функція ввійшла в економетрію як класичний приклад і досі є важливим інструментом економічного аналізу.
Термін «економетрика» означає вимірювання в економіці, і вимірювання справді є важливою частиною економетрії. Але не всі вимірювання в економіці належать до економетрії. Якщо раніше деякі автори майже всі прикладні математичні дослідження в економіці відносили до економетрії, то тепер поширений погляд, згідно з яким зміст її значно звужується. Згідно зі сказаним дамо таке визначення.
Економетрика вивчає методи оцінювання параметрів економетричних моделей, які характеризують кількісні взаємозв’язки між економічними показниками, а також розглядає основні напрямки застосування цих моделей в економічних дослідженнях.
Визначення предмета економетрика в різних виданнях тлумачиться дещо по-різному. Сьогодні можна умовно вирізнити п’ять підходів до визначення предмета економетрії, що характерні для зарубіжної економетричної літератури:
Л. Клейн визначає економетрію як науку, що вивчає вимірювання зв’язків у відповідному економічному аналізі. Г. Тінтнер ототожнює економетрію з економічною статистикою. Г. Хансен під економетрією розуміє застосування математичних і статистичних методів в економіці.
За іншими визначеннями економетрика є синтезом економічної теорії і математики.
Деякі автори під економетрією розуміють економічну теорію, математику і статистику.
Кожне з цих визначень предмета економетрика має своє раціональне зерно. Але всі вони частково містять у собі щойно наведене визначення предмета економетрії і відповідають тому матеріалу, який вивчається в курсі.
Економетрика не розглядається як галузь математики, але математика відіграє в ній дуже важливу роль. Тому методи викладання і вивчення економетрики практично такі самі, як у математичних курсах. Вони передбачають постановку задачі, а також аналіз розв’язків, що базуються на теоремах і основних визначеннях. В економетриці не завжди всі твердження строго доводяться, але алгоритми задач неодмінно ґрунтуються на методах математичної статистики, широко використовуються матрична алгебра та інші класичні розділи математики.
2. Місце курсу серед дисциплін фундаментальної підготовки бакалаврів з економічних спеціальностей
Економетрика — одна з основних дисциплін у підготовці бакалаврів з економічних спеціальностей. Вона будується на основі математичних та економічних знань. За допомогою економетрики можуть бути відхилені економічні гіпотези. У крайньому разі можна показати неможливість застосувати їх у даних конкретних умовах. Хоча засоби економетрики не дають змоги доводити теоретичні твердження, з допомогою її засобів можна показати, що те чи інше твердження не суперечить даним спостережень. Крім того, математика може надати економетрії більшої глибини, забезпечуючи кількісними значеннями параметрів рівнянь, особливо коли вони мають вирішальний вплив на характер взаємозв’язків. Економетричні моделі можуть використовуватися для прогнозування або оцінювання впливу прийнятих рішень чи урядових постанов відносно зміни цін, податків тощо на стан справ будь-якої фірми.
Для засвоєння курсу потрібна добра математична підготовка, особливо з матричної алгебри, диференціального числення. Однаковою мірою слід володіти методами математичної статистики. Важливо також знати економічні категорії і поняття.
Економетрика — це предмет не для першокурсників. Проте для того щоб ознайомитися з проблемами, які вивчає Економетрика і з якими стикаються ті, хто використовує економетричні методи, немає потреби бути спеціалістом з усіх розділів з математики та економіки.
3. Структура курсу
Економетрика поділяється на дві частини:
1) економетричні методи;
2) економетричні моделі економічних процесів і явищ.
У цьому курсі вивчатимемо здебільшого матеріал, що належить до першої частини, тобто економетричні методи. Економетричні методи можна умовно розбити на чотири групи. До першої групи входять методи оцінювання параметрів класичної економетричної моделі за методом найменших квадратів, їх верифікація. До другої групи належать методи оцінювання параметрів узагальненої моделі, коли порушуються деякі передумови використання методу найменших квадратів. До третьої групи входять методи оцінювання параметрів динамічних економетричних моделей, їх верифікація. Четверта група охоплює методи оцінювання параметрів економетричних моделей, які побудовані на основі системи одночасових структурних рівнянь.
4. Коротка історична довідка
На початку ХХ століття в деяких країнах були спроби скласти так звані «барометри розвитку». Найвідоміший з них «гарвардський барометр», за допомогою якого в 20-ті роки намагались передбачити поводження товарного і грошового ринку.
Гарвардська школа вважалася в той час центром економічних досліджень. Тут вперше почали системно вивчати ряди економічних показників з урахуванням взаємозв’язку між ними і на основі цих показників досліджувати тенденції та цикли економічних процесів. Криза 1929–1933 рр. призвела до критичного перегляду методів аналізу, які застосовувалися в економіці. В дослідженнях почали враховувати випадкові аспекти економічних явищ, що стало початком формування економетрії як галузі економічної науки.
Засновники економетрії — Р. Фріш, Е. Шумпетер, Я. Тінберген. Усі вони перебували під впливом неокласичної школи і кейнсіанства і намагалися поєднати економічну теорію з математичними й статистичними методами. Спочатку обмежувались вивченням деяких моделей попиту і пропозиції. Тільки після другої світової війни було побудовано комплексні економетричні моделі на макрорівні, в яких основна увага приділялась попиту, фінансовому стану і податкам, прибутку, цінам і т.ін.
Протягом останніх п’ятдесяти років розвиток економетрії відбувався в таких двох напрямках:
1) розробка нових методів оцінювання параметрів моделей з урахуванням особливостей вихідної економічної інформації;
2) розширення економічних досліджень на основі економетричних методів.
Особливі досягнення пов’язані з розвитком економетрії за останні 30 років. Сюди можна віднести такі проблеми:
1) вивчення і врахування мультиколінеарності;
2) специфікація помилок;
3) коваріаційний аналіз параметрів моделі;
4) побудова моделі з фіктивними змінними;
5) визначення лагових змінних і побудова та аналіз моделей розподіленого лагу.
5. Задачі економетричного дослідження
Роль економетричного дослідження визначається тими задачами, які може розв’язувати економетрика.
Найважливішою задачею є оцінювання параметрів і перевірка значущості економетричної моделі. Першим етапом цього процесу є специфікація моделі в математичній формі. Другий етап — збір і підготовка економічної інформації. На третьому етапі оцінюються параметри моделі. Четвертий етап — це перевірка моделі на вірогідність. Дуже важливими на цьому етапі є оцінки дисперсії залишків моделі. Ці оцінки відіграють вирішальну роль при з’ясуванні якості економетричних моделей, вони необхідні для визначення надійності обчислених параметрів і для застосування розроблених моделей у прогнозуванні.
Структуру економетричних досліджень схематично зображено на діаграмі (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Структура економетричних методів і моделей
Незважаючи на те, що значна частина з наведених тут розділів не буде висвітлена в запропонованому підручнику, сподіваємося, що схема допоможе краще зорієнтуватися в предметі та завданнях курсу.
6. Висновки
1. Економетрика є порівняно молодою галуззю економічної науки, яка відома під такою назвою з 1930 року. Вона вивчає методи оцінювання параметрів моделей, які характеризують кількісні взаємозв’язки між економічними величинами, а також розглядає основні напрямки застосування економетричних моделей в економічних дослідженнях.
2. Економетрика є однією з фундаментальних дисциплін у системі підготовки бакалаврів з економічних спеціальностей. Для засвоєння курсу необхідна добра математична підготовка, особливо повне знання математичної статистики, матричної алгебри та диференціального числення.
3. Економетрика поділяється на дві частини:
1) економетричні методи;
2) економетричні моделі економічних процесів та явищ.
4. Економетричні методи можна поділити на чотири групи. До першої належать методи оцінювання параметрів класичної економетричної моделі на основі методу найменших квадратів, їх верифікація. Друга група присвячена методам оцінювання параметрів узагальненої моделі, коли порушуються деякі передумови використання методу найменших квадратів. До третьої групи входять методи оцінювання параметрів динамічних економетричних моделей, їх верифікація. Четверта група присвячена методам оцінювання параметрів економетричних моделей, які побудовані на основі системи одночасових структурних рівнянь.
5. Розвиток економетрики в останні десять років відбувається в двох напрямках:
1) розробка нових методів оцінювання параметрів моделей з урахуванням особливостей вихідної економічної інформації;
2) розширення економічних досліджень на основі економетричних методів.
6. Основне завдання економетрики полягає в оцінюванні параметрів і перевірці значущості економетричної моделі. Розв’язування цієї задачі пов’язане з виконанням таких кроків економетричного дослідження: специфікація моделі в математичній формі; збирання і підготовка економічної інформації; оцінювання параметрів моделі та перевірка її на вірогідність.
7. Структура економетричних досліджень містить у собі економетричні методи та застосування їх при побудові й аналізі економетричних моделей з урахуванням особливостей вихідної інформації.
7. Питання для самопідготовки
Дайте визначення предмета курсу економетрики.
Альтернативні підходи до визначення предмета економетрики.
Яка роль цього курсу в підготовці бакалаврів з економічних спеціальностей?
Охарактеризуйте структуру курсу.
Наведіть основні етапи розвитку економетрики як економічної науки.
Задачі економетричного дослідження.
Характеристика структури економетричних досліджень.
Лекція № 2
Тема: . Основи економетричного моделювання .
План:
Поняття математичної моделі.
Економетрична модель
Зміст змінних і рівнянь в економетричній моделі
Класифікація рівнянь регресії
Етапи побудови економетричної моделі.
Класифікація моделей.
Статистична база економетричних досліджень.
Особливості математичного моделювання економічних систем.
Питання для самопідготовки.
1. Поняття математичної моделі
При вивченні складних економічних процесів та явищ часто застосовується моделювання. Модель — це спеціально створений об'єкт, на якому відтворюються певні характеристики досліджуваного явища, а моделювання — це конкретне відтворення цих характеристик, що дає змогу вивчати можливу поведінку явища без проведення експериментів над ним.
Моделювання є важливим інструментом наукової абстракції, що допомагає виокремити, уособити та проаналізувати суттєві для даного об'єкта характеристики (властивості, взаємозв'язки, структурні та функціональні параметри).
Для економіки, де неможливе будь-яке експериментування, особливого значення набуває математичне моделювання. Завдяки застосуванню потужного математичного апарату воно є найефективнішим і найдосконалішим методом. У свою чергу, математичні методи не можуть застосовуватися безпосередньо щодо дійсності, а лише щодо математичних моделей того чи іншого кола явищ.
Прикладами економічних моделей є моделі споживчого вибору моделі фірми, моделі економічного зростання, моделі рівноваги на товарних, факторних і фінансових ринках тощо.
Поведінка й значення будь-якого економічного показника залежать практично від безлічі факторів, усі їх урахувати нереально. Але в цьому й немає потреби. Звичайно лише обмежена кількість факторів насправді істотно впливає на досліджуваний економічний показник. Вплив інших факторів настільки незначний, що їх ігнорування не може призвести до істотних відхилень у поведінці досліджуваного об'єкта. Виокремлення й урахування в моделі лише обмеженої кількості реально домінуючих факторів і є важливою передумовою якісного аналізу, прогнозування й керування ситуацією.
Математична модель, аби бути ефективним інструментом вивчення економічних процесів, насамперед має відповідати таким вимогам:
будуватися на основі економічної теорії й відбивати об'єктивні закономірності процесів;
правильно відтворювати функцію та (чи) структуру реальної економічної системи;
відповідати певним математичним умовам (мати розв'язок, узгоджені розмірності тощо).
Природно, результати досліджень будь-якої моделі можуть мати практичну цінність, якщо модель адекватна явищу, що вивчається, тобто досить добре відтворює реальну ситуацію.
2. Економетрична модель
Економетрична модель – різновид економіко-математичної моделі, параметри якої оцінюються за допомогою методів математичної статистики.
Одним з основних підходів у вимірі зв'язку між досліджуваними показниками в економетричній моделі є кореляційно-регресивний аналіз. Він являє собою комплекс методів, за допомогою яких визначається вид рівняння для досліджуваних показників та розрахунок їх параметрів (регресивний аналіз), а також встановлення тісноти та значимості зв'язку між змінними у рівнянні або рівняннях (кореляційний аналіз).
Варто відрізняти кореляційний зв'язок від функціонального. Для вивчення кореляційних зв'язків використовуються методи кореляційного і регресійного аналізу. Кореляційні методи застосовуються для опису взаємодії випадкових величин; методи регресійного аналізу – при дослідженні зв'язку між випадковими значеннями функції і невипадкових значень аргументів. Кореляційна залежність виявляє тенденцію у відношенні Y та Х.
Функціональний зв'язок – це такий зв'язок, при якому кожному значенню незалежної перемінної (аргументу) відповідає строго визначена величина залежної перемінної (функції). Функціональний зв'язок часто називають повним зв'язком, оскільки в ній відбивається вся безліч причинно-наслідкових відношень, що існують між розглянутими ознаками.
Y – вартість;
Х – кількість одиниць.
Кореляційний зв'язок є неповним статистичним зв'язком. При кореляційній взаємодії на показник-функцію впливають не тільки фактори-аргументи, відібрані в процесі дослідження, але й безліч інших ознак, що не піддаються вивченню в силу недосконалості статистичного обліку, труднощі обчислення і т.п.
При кореляційному зв'язку кожному значенню незалежної перемінної можуть відповідати декілька значень (статистичний розподіл) функції.
Y – продуктивність праці;
Х – втрати робочого часу.
Термінологія, яка використовується в економіко-математичному моделюванні
Система (у перекладі з грецької – ціле, зіставлене з частин) – це множина взаємозв’язаних елементів, які складають певну єдність.
Моделлю називається наближене чи спрощене відтворення найважливіших сторін, особливостей і характеристик систем, явищ і процесів, що вивчаються.
Економетричні (статистичні) моделі призначенні для аналізу і прогнозування розглядаємих економічних явищ в умовах невизначеності вхідних даних і реалізуються методами математичної статистики.
Економіко-математичні методи – узагальнена назва комплексу економіко-математичних підходів, об'єднаних для вивчення економіки та призначених для побудови, реалізації і дослідження економічних моделей.
Параметри – це чисельні ознаки показників, такі як норми витрат сировини, матеріалів, часу на виробництво тощо.
Регресія – це статистичний метод, який дозволяє знайти рівняння, що найкращим чином описує масив фактичних даних (спостережень).
В усіх випадках необхідно, щоб модель мала достатньо детальний опис об'єкту, який дозволяв би здійснювати вимір економічних величин та їх взаємозв'язок, щоб були виділені фактори, які впливають на досліджувані показники.
3. Зміст змінних і рівнянь в економетричній моделі
В регресійному аналізі розрізняють рівняння парної (простої) та множинної (багатофакторної) регресії.
Коли зв'язок із залежною змінною Y здійснюється з одним видом незалежних змінних X, то рівняння регресії є найпростішим і має назву рівняння парної регресії (проста модель). Якщо залежна змінна у пов'язана з декількома видами незалежних змінних Xj (j=1...т), то така залежність має назву рівняння множинної регресії.
У загальному вигляді проста вибіркова регресійна модель запишеться так:
Y = f(X) + u, (2.1)
де x – незалежна змінна,
Y – залежна змінна,
u – випадкова складова.
Незалежні фактичні змінні х найчастіше бувають детермінованими і вони є наперед заданими змінними, або вхідними показниками для розглядаємої економічної системи.
Випадкові складові и називають ще стохастичними складовими, помилками або частіше залишками. Вони є наслідками помилок спостережень, містять у собі вплив усіх випадкових факторів, а також факторів, які не входять у модель.
4. Класифікація рівнянь регресії
5. Основні етапи економетричного моделювання:
постановка задачі: вибір конкретної форми аналітичної залежності між економічними показниками (специфікація моделі) на підставі відповідної економічної теорії;
збирання та підготовка статистичної інформації;
оцінювання параметрів моделей;
перевірка адекватності моделі та достовірності її параметрів;
економічні висновки;
застосування моделі для прогнозування розвитку економічних
процесів з метою подальшого керування ними.
6. Класифікація моделей
Математичні моделі, що використовуються в економіці, можна поділити на класи за рядом ознак. Залежно від особливостей об'єкта моделювання та застосованого математичного інструментарію виокремлюють такі моделі: макро- та мікроекономічні, теоретичні та прикладні, статичні та динамічні, детерміновані та стохастичні, оптимі-заційні та моделі рівноваги тощо.
Макроекономічні моделі описують економіку загалом, пов'язуючи між собою узагальнені матеріальні та фінансові показники: ВВП, споживання, інвестиції, зайнятість, процентну ставку, кількість грошей тощо. Мікроекономічні моделі описують взаємодію структурних і функціональних складових економіки або поведінку окремої складової в ринковому середовищі. Завдяки різноманіттю типів економічних елементів і форм їх взаємодії на ринку мікроекономічне моделювання становить основну частину економіко-математичної теорії. Останніми роками найсуттєвіші теоретичні результати в мікроекономічному моделюванні отримано в процесі дослідження стратегічної поведінки фірм в умовах олігополії.
Теоретичні моделі дають змогу вивчати загальні властивості економіки та її характерних елементів і отримувати нові результати на підставі формальних припущень. За допомогою прикладних моделей можна оцінити певні економічні показники, надати їм конкретних значень виходячи з відповідної статистичної інформації.
У статичних моделях описується стан економічного об'єкта в певний момент чи період часу, а динамічні моделі вивчають взаємозв'язки економічних змінних у часі. Змінні, що вивчаються в динаміці, у статичних моделях мають фіксоване значення. Однак динамічна модель не зводиться до простої суми статичних моделей, а описує взаємодію сил, що рухають економіку.
Детерміновані моделі передбачають жорсткі функціональні зв'язки між змінними моделі, а стохастичні — припускають наявність випадкових впливів на досліджувані показники.
У моделюванні ринкової економіки важливе місце належить моде лям рівноваги. Вони описують такий стан економіки, коли всі сили, що намагаються вивести її з рівноваги, мають нульову сумарну дію. Опти-мізаційні моделі найчастіше застосовують на мікрорівні: вони дають змогу визначати найкращі рішення в умовах обмежених можливостей.
Предметом економетричного дослідження є прикладні стохастичні економічні моделі, тобто загальні економічні моделі, у яких модельні коефіцієнти набувають конкретних числових значень залежно від використаної статистичної інформації.
7. Статистична база економетричних досліджень
Будь-яке економетричне дослідження завжди поєднує теорію (математичні моделі) і практику (статистичні дані). За допомогою моделей описують і пояснюють процеси, що вивчаються, а статистичні дані використовують для побудови та обгрунтування моделей. Без конкретних кількісних даних, що характеризують функціонування економічного об'єкта, не завжди можна визначити практичну значущість певної моделі.
Економічні дані звичайно поділяють на два види: перехресні дані та часові ряди. Перехресними є дані за якимось економічним показником, що отримані для різних однотипних об'єктів (фірм, регіонів). Причому дані отримано в один і той самий момент часу або часова приналежність несуттєва. Часові ряди характеризують один і той самий об'єкт, але в різні моменти часу. Наприклад, дані бюджетних досліджень населення в певний момент часу є перехресними, а динаміка рівня інфляції за певний період відображується часовими рядами. Послідовні значення часових рядів можуть бути пов'язані між собою певними залежностями: спостерігаються деякі закономірності у відхиленнях від загальної тенденції розвитку чи виявляються часові зсуви показників (часові лаги). Тому методи обробки таких даних дещо відрізняються від методів, що застосовуються для обробки перехресних даних.
Метою збирання статистичних даних є побудова інформаційної бази для прийняття рішень. Природно, що аналіз даних і прийняття рішень здійснюються на підставі деякої інтуїтивної (неявної) або кількісної (явної) економічної моделі. Тому збирають саме дані, що стосуються певної моделі. їх можна отримати опитуванням, анкетуванням, інтерв'юванням або із джерел офіційної статистичної звітності. Кожний показник, отриманий одним із зазначених способів, називається спостереженням.
Будь-які економічні дані є кількісними характеристиками економічних об'єктів. Вони формуються під дією багатьох факторів, які не завжди можна проконтролювати ззовні. Неконтрольовані фактори можуть набувати випадкових значень з деякої множини допустимих значень і тим самим зумовлювати випадковість даних. Стохастична природа економічних даних вимагає застосування спеціальних адекватних їм статистичних методів для їх аналізу та обробки.
При підготовці статистичних даних для роботи з певною моделлю необхідно забезпечити відповідність цих даних моделі та спільну методичну базу для їх оцінювання. Дані мають утворювати взаємно узгоджений набір, тобто якщо вимірювання здійснюється в грошових одиницях, то це мають бути поточні або фіксовані (одного й того самого року) ціни. Реальним об'ємним показникам (тобто у фіксованих цінах) мають відповідати реальні відносні показники (наприклад, процентні ставки слід скоригувати відносно темпу інфляції). Залежно від поставлених завдань вибирають узагальнені показники: валовий внутрішній продукт, валові внутрішні збереження тощо. Відсутні статистичні дані здебільшого можуть бути розраховані за іншими показниками, якщо між ними існує певна функціональна залежність. Наприклад, інфляція розраховується за даними про дефлятор, і навпаки. Отже, формуючи сукупність спостережень, слід забезпечити порівнянність даних у просторі та часі. Це означає, що дані вхідної сукупності повинні мати:
однаковий ступінь агрегування;
однорідну структуру одиниць сукупності;
одні й ті самі методи розрахунку показників у часі чи просторі;
однакову періодичність обліку окремих змінних;
порівнянні ціни та однакові інші зовнішні економічні умови.
Висновки, які можна зробити в результаті економетричного моделювання, цілком зумовлені якістю вхідних даних, а саме їх повнотою та достовірністю.
8. Особливості математичного моделювання економічних систем
В економіко-математичному аналізі інформація формується, як правило, у результаті спостереження за об'єктом дослідження. При отримуванні, оцінюванні та використанні цієї інформації слід мати на увазі важливі специфічні риси джерела даних.
Суттєве значення мають стохастичні (випадкові) фактори, які виявляються у впливі на економіку як з боку природи та суспільства, так і у внутрішньоекономічних зв'язках. Через складність і динамічність техніко-економічних, особливо соціально-економічних, процесів попередній розрахунок економічних показників можливий лише з певним рівнем довіри.
Водночас величезні масштаби економічної системи, розгалуженість зв'язків між її елементами та відома інерційність значною мірою зумовлюють майбутній її стан попереднім. Тому розвиток си стеми можна передбачити з великою мірою впевненості.
В означеній ситуації найприйнятнішими методами дослідження є методи математичної статистики, адаптовані до економічних явищ. Саме ці методи дають змогу будувати економетричні моделі та оцінювати їх параметри, перевіряти гіпотези стосовно властивостей економічних показників і форм зв'язку між ними. Однак особливість економетричного підходу до моделювання економічних об'єктів полягає не у використанні економічної термінології, а насамперед у детальному дослідженні відповідності вибраної моделі явищу, що вивчається, а також в аналізі якості статистичної інформації, що є основою параметризації (оцінювання параметрів) моделей.
9. Питання для самопідготовки
Що таке математична модель економічного об'єкта?
Назвіть типи математичних моделей і відмінності між ними.
До якого типу математичних моделей належить економетрична модель?
Поясніть сутність кореляційних зв'язків між економічними показниками.
З яких елементів складається економетрична модель?
Які вимоги висуваються до статистичної бази економетричних досліджень?
Література [2, с. 11-23, 58; 3, с. 16-20,98; 5, с. 15-22, 91-94]
Лекція № 3
Тема: Моделі парної регресії та їх дослідження.
План:
Прості лінійні регресійні моделі
Метод найменших квадратів.
Питання для самопідготовки.
1. Прості лінійні регресійні моделі
Прості лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними. При цьому одна із змінних вважається залежною змінною (Y) та розглядається як функція від незалежної змінної (X).
У загальному вигляді проста вибіркова регресійна модель запишеться так:
Y = a0 + a1 X + u, (2.1)
де Y – вектор спостережень за залежною змінною;
X – вектор спостережень за незалежною змінною;
a0, a1 – невідомі параметри регресійної моделі;
u – вектор випадкових величин (помилок).
У загальному матричному вигляді економетрична модель записується так:
Y=AX+u, (2.2)
де А – матриця параметрів моделі розміром m×n (m – кількість незалежних змінних, n – число спостережень);
Y – матриця значень залежної змінної;
Х – матриця незалежних змінних;
u – матриця випадкової складової.
Регресійна модель називається лінійною, якщо вона лінійна за своїми параметрами. Отже, модель (2.1) є лінійною регресійною моделлю.
Розглянемо приклад.
Маємо вибірку даних за 8 років, які характеризують продуктивність праці (Yфакт) групи однорідних підприємств в залежності від простоїв основного обладнання (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду Y=b0+b1×X.
Щоб мати явний вид залежності, необхідно знайти (оцінити) невідомі параметри цієї моделі.
Дані наведені в табл.2.1.
Таблиця 2.1.
|
№ заводу |
Продуктивність праці, тис.грн./чол. |
Простої основного обладнання, год./рік; |
|
Yфакт |
Х |
|
|
1 |
2,4 |
67 |
|
2 |
3,6 |
64 |
|
3 |
8,2 |
8 |
|
4 |
6,7 |
33 |
|
5 |
7,5 |
7 |
|
6 |
7,2 |
28 |
|
7 |
7,5 |
17 |
|
8 |
8,0 |
12 |
Реальні спостереження Yфакт зобразимо точками у системі координат (Х,Y) (мал.2.1).
Малюнок 2.1. Залежність продуктивності праці від простоїв основного обладнання
Візуально можна припустити, що між даними є лінійна залежність, тобто їх можна апроксимувати прямою лінією.
Малюнок 2.2.
Через множину спостережуваних точок можна провести необмежену кількість прямих Y = b0 + b1x.
y
Yфакт
ui
Yрозр
Y=b0 +b1xi
xi x
Малюнок 2.3.
На мал. 2.3, пряма розташована таким чином, що деякі точки знаходяться вище, деякі нижче прямої, на основі чого можна встановити відхилення (помилки) відносно цієї прямої:
Французький математик Лежандром у XIX ст. запропонував метод знаходження теоретичної лінії, наближеної до фактичних даних як мінімальну суму (S) квадратів відхилення їх ординат Yi від теоретичних
значень Y:
З цього і назва методу – метод найменших квадратів (або скорочено 1МНК).
Відхилення, або помилки, ще інколи називають залишками. Треба проводити пряму таким чином, щоб сума квадратів помилок була мінімальною:
(2.3)
Визначимо значення bо та b1, які мінімізують вираз (2.3). Мінімум функції (2.3) досягається за необхідних умов, коли перші похідні дорівнюють нулеві, тобто
Звідки отримаємо систему лінійних рівнянь:
яка називається нормальною.
Всі суми, що входять в систему, обраховуються на основі вхідних статистичних даних.
Таблиця 2.2
|
Yфак |
X1 |
(X1)2 |
Y*X1 |
|
|
2,4 |
67 |
4489 |
160,8 |
|
|
3,6 |
64 |
4096 |
230,4 |
|
|
8,2 |
8 |
64 |
65,6 |
|
|
6,7 |
33 |
1089 |
221,1 |
|
|
7,5 |
7 |
49 |
52,5 |
|
|
7,2 |
28 |
784 |
201,6 |
|
|
7,5 |
17 |
289 |
127,5 |
|
|
8 |
12 |
144 |
96 |
|
|
S |
51,1 |
236 |
11004 |
1155,5 |
На основі обчислених згідно з вхідними даними табл.2.2 дістанемо систему рівнянь:
В результаті рішення системи отримуємо значення:
b0 = 8,96,
b1 = – 0,087.
Таким чином, економетрична модель продуктивності праці (рівняння регресії) буде мати вид:
Yрозр = 8,96 – 0,087 × Х
2. Метод найменших квадратів
Нехай за вибіркою , потрібно визначити оцінки і емпіричного рівняння регресії (2.2), тобто підібрати такі значення коефіцієнтів рівняння, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною (рис. 2.2).
Рис. 2.2
У цьому разі є квадратичною функцією двох параметрів і , оскільки — відомі дані спостережень:
Неважко помітити, що квадратична функція неперервна, опукла та обмежена знизу (), тобто має мінімум.
Необхідною умовою існування мінімуму неперервно диференційованої функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних:
(2.7)
(2.8)
Поділивши обидва рівняння системи (2.8) на п, отримаємо:
(2.9)
Тут
У наступних формулах для спрощення знаки сум () записуватимемо без індексів, допускаючи, що додавання виконується від і = 1 до і = п. Також для змінних з індексом і розумітимемо, що і = 1, 2,..., п (якщо не зазначено інше).
Отже, згідно з МНК оцінки параметрів та визначаються за формулами (2.9).
Неважко помітити, що , можна обчислити за формулою:
(2.10)
де — вибірковий кореляційний момент випадкових величин X і У; вибіркова дисперсія X; – стандартне відхилення X.
Тоді
(2.11)
де — вибірковий коефіцієнт кореляції; — стандартне відхилення У. Отже, коефіцієнт регресії пропорційний коефіцієнту кореляції, а коефіцієнти пропорційності використовують для зіставлення різних величин X і У.
Таким чином, якщо коефіцієнт кореляції уже розрахований, то за формулою (2.11) неважко знайти коефіцієнт парної регресії.
Якщо окрім рівняння регресії У на X () для тих самих емпіричних даних знайдено рівняння регресії X на У (), то добуток коефіцієнтів та дорівнює :
Зазначимо, що коефіцієнти і обчислюються за формулами, аналогічними формулам (2.9):
(2.12)
Приклад. Для аналізу залежності обсягу споживання У (у. о.) домогосподарства від наявного прибутку X (у. о.) обрано вибірку обсягу п = 12 (щомісячно впродовж року), результати якої наведені в табл. 2.1. Необхідно визначити вид залежності; за МНК оцінити параметри рівняння регресії У і X; оцінити силу лінійної залежності між X і У; а також спрогнозувати споживання при прибутку X =160.
Таблиця 2.1
Для визначення виду залежності побудуємо кореляційне поле (рис. 2.3).
За розміщенням точок на кореляційному полі припускаємо, що залежність між X і У лінійна: , , — оцінки невідомих параметрів моделі.
Для наочності розрахунків за МНК складемо табл. 2.2.
Згідно з МНК маємо:
Отже, рівняння парної лінійної регресії має вигляд . Зобразимо цю пряму регресії на кореляційному полі. За наведеним рівнянням розрахуємо , а також .
Для аналізу сили лінійної залежності обчислимо коефіцієнт кореляції:
Отримане значення коефіцієнта кореляції дає змогу зробити висновок про сильну (пряму) лінійну залежність між змінними X і У. Це також підтверджується розміщенням точок на кореляційному полі.
Таблиця 2.2
* Значення округлюються до сотих.
** Ураховуються похибки округлень.
Прогнозоване споживання при доступному доході Х = 160 за даною моделлю становить .
Побудоване рівняння регресії в будь-якому разі потребує певної інтерпретації та аналізу.
Інтерпретація, тобто словесний опис отриманих результатів, необхідна для того, щоб побудована залежність набула якісного економічного змісту.
У нашому прикладі коефіцієнт може розглядатися як гранична схильність до споживання. Фактично він показує, на яку величину зміниться обсяг споживання, якщо доступний дохід збільшиться на одиницю. На графіку (рис. 2.3) коефіцієнт визначає тангенс кута нахилу прямої регресії відносно додатного напрямку осі абсцис (пояснюючої змінної). Тому часто він називається кутовим коефіцієнтом.
Вільний член рівняння регресії визначає прогнозоване значення У при величині наявного прибутку X, що дорівнює нулю (тобто автономне споживання). Однак тут необхідна певна обережність. Важливо, наскільки віддалені дані спостережень за пояснюючою змінною від осі ординат (залежної змінної), тому що навіть при вдалому виборі рівняння регресії для досліджуваного інтервалу немає гарантії, що вона залишиться такою самою й віддалік від вибірки. У нашому випадку значення (у.о.). Цей факт можна пояснити для окремого домогосподарства (воно може витрачати накопичені або позичені кошти), однак для комплексу домогосподарств він втрачає сенс. У будь-якому разі значення коефіцієнта визначає точку перетину прямої з віссю ординат і характеризує зсув лінії регресії вздовж осі У.
Необхідно пам'ятати, що емпіричні коефіцієнти регресії і є лише оцінками теоретичних коефіцієнтів та , а саме рівняння відображає лише загальну тенденцію в поведінці розглянутих змінних. Індивідуальні значення змінних з різних причин можуть відхилятися від модельних значень. У нашому прикладі ці відхилення виражені через значення иі, які є оцінками відповідних відхилень для генеральної сукупності.
Однак за певних умов рівняння регресії є незамінним і дуже якісним інструментом аналізу та прогнозування.
3. Питання для самопідготовки
Що таке функція регресії?
У чому суть методу найменших квадратів?
Які основні причини наявності в регресійній моделі випадкового відхилення?
Як розрахувати невідомі параметри лінійної моделі?
Пояснити сутність поняття "тіснота зв'язку".
Пояснити сутність поняття "значимість зв'язку".
Чим регресійна модель відрізняється від функції регресії?
Назвіть основні причини наявності в регресійній моделі випадкового відхилення.
Назвіть основні етапи регресійного аналізу.
У чому полягає відмінність між теоретичним та емпіричним рівняннями регресії?
Які висновки можна зробити про оцінки коефіцієнтів регресії та випадкового відхилення, отриманих за МНК?
Проінтерпретуйте коефіцієнти емпіричного парного лінійного рівняння регресії.
Література [2, с. 25-38; 3, с. 43-46,96-106, 111-130; 4, с. 44-60,63-65,102; 5, с. 23-29, 113-120, 127-140; 6, с. 41-58].
Лекція № 4
Тема: Оцінка міри тісноти лінійного парного зв'язку.
План:
Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними моделі
2. Перевірка значущості та довірчі інтервали
1. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними моделі
Після вибору виду рівняння регресії та знаходження його параметрів розпочинають наступний етап – кореляційний аналіз, тобто дають оцінку тісноти та значимості зв'язку змінних у регресійній моделі.
Тісноту зв'язку між залежною змінною Y та незалежною змінною X оцінюють за допомогою статистичних характеристик: коефіцієнт детермінації, коефіцієнт кореляції. За допомогою цих коефіцієнтів перевіряється відповідність побудованої регресійної моделі (теоретичної) фактичним даним.
У поняття “тіснота зв'язку” вкладається оцінка впливу незалежної змінної (X) на залежну змінну (Y).
Після встановлення тісноти зв'язку між змінними моделі
характеризують значимість зв'язку, яка в кореляційному аналізі частіше всього здійснюється за допомогою F-критерію Фішера.
Коефіцієнт детермінації
Коефіцієнт детермінації показує, якою мірою варіація залежної змінної (результативного показника) Y визначається варіацією незалежної змінної (вхідного показника) X. Тобто дається відповідь на запитання, чи справді зміна значення Y лінійно залежить саме від зміни значення Х, а не відбувається під впливом різних випадкових факторів. Він використовується як при лінійному, так і при нелінійному зв'язку між змінними та розраховується за формулою:
(2.4)
де Yрозр – теоретичні значення залежної змінної на підставі побудованої регресійної моделі; Yсер – загальна середня фактичних даних залежної змінної; Yфакт – фактичні індивідуальні значення залежної змінної.
Коефіцієнт детермінації приймає значення від 0 (відсутній лінійний зв'язок між показниками) до 1 (відсутній кореляційний зв'язок між показниками).
коефіцієнт кореляції (індекс кореляції)
Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками, є коефіцієнт кореляції (або індекс кореляції). Він розраховується за такою формулою:
(2.5)
Чим ближче коефіцієнт кореляції до одиниці, тим тісніше зв'язок між незалежною та залежною змінними.
Іноді для спрощення розрахунків тісноту кореляційного зв'язку характеризують коефіцієнтом кореляції, який розраховується за формулою:
(2.6)
Значення R лежить у діапазоні від –1 до +1. При R=0 змінні не можуть мати лінійного кореляційного зв'язку. Ступінь тісноти їх лінійної залежності зростає при наближенні R до ±1. Кореляційний зв'язок між показниками відсутній при R=±1 Коли R>0, то зв'язок між показниками прямий, якщо R<0 – обернений.
В залежності від значення коефіцієнта кореляції зв’язок між перемінними класифікується так:
|
Значення коефіцієнта кореляції |
0 |
0,1–0,3 |
0,3–0,5 |
0,5–0,7 |
0,7–0,9 |
0,9–0,99 |
1 |
|
Висновок про силу |
відсутній |
слабкий |
помірний |
середній |
високий |
досить високий |
близький до функціо- нального |
F-критерій Фішера
Тестування значимості змінної Х, або адекватності моделі проводиться за критерієм Фішера. Перевіряється, чи справді незалежна Х впливає на значення залежної Y.
Використовуючи суми квадратів відхилень, обчислимо F-критерій Фішера за формулою:
Розрахунковий критерій Фішера з урахуванням ступенів вільності обчислюємо за формулою:
(2.8)
де m, (n–m–1) – число ступенів вільності відповідно чисельника та знаменника залежності;
n – кількість спостережень;
m – кількість незалежних змінних.
Етапи тестування за критерієм Фішера
Тестування значимості змінної Х за критерієм Фішера складається з наступних етапів:
Формулюється нуль-гипотиза: Н0: β1 = 0.
Задаємо рівень значимості α (наприклад, 5%).
Обчислюємо F-відношення.
За таблицями F-розподілу Фішера знаходимо F-критичне значення при заданому рівні значимості (або помилки) та за ступенями вільності f1 та f2 .
Цю гіпотезу відкидаємо з 5%-ним ризиком помилитися, якщо:
Fрозр > F0,95
де F0,95 – значення F при 5%-ному ризику помилки (знаходимо за таблицями
F-критерію Фішера з відповідними ступенями вільності і заданим рівнем значимості).
Отже, достовірність моделі оцінюють порівнянням розрахункового (Fрозр) та табличного значень критерію Фішера. Припустимо Fрозр= 45,3. Значення Fтабл визначають за спеціальними таблицями залежно від ступенів вільності f1 та f2 (див. дод. 7):
f1 = (n – m – 1),
f2 = (n – 1),
де n – кількість спостережень; m – кількість незалежних змінних.
Можлива помилка (рівень значимості) a може прийматися або 0,05 або 0,01. Це означає, що у 5% або 1% випадків ми можемо помилитися, а у 95% або 99% випадків (рівень довіри) наші висновки будуть правильними.
Так, при a=0,95 та значеннях f 1=(8–1–1)=6; f2=(8–1)=7 табличне значення критерію Фішера буде дорівнювати Fтабл= 3,87.
Якщо за своїми значеннями Fрозр > Fтабл , то можна зробити висновок про адекватність побудованої моделі – припускаємо присутність лінійного зв'язку.
Зв’язок між коефіцієнтом детермінації (R2) та F-відношення Фішера
Між коефіцієнтом детермінації R2 та F-відношення Фішера є зв’язок:
Отже, можливе тестування адекватності моделі, використовуючи тільки коефіцієнт детермінації.
Ступінь вільності
Під терміном “ступінь вільності” (ступінь свободи) в економетрії розуміють число, яке показує, скільки незалежних елементів інформації із змінних Yi (і =1…n) потрібно для розрахунку розглядаємої суми квадратів.
В кореляційному аналізі існує рівняння, яке пов’язує відхилення загальної суми квадратів із залишковою сумою квадратів та сумою квадратів, що пояснює регресію:
Sy = Su + SY
де Sy – загальна сума квадратів відхилень:
Su – залишкова сума квадратів відхилень:
SY – регресійна сума квадратів відхилень:
Кожна із зазначених сум пов'язана з ступенями вільності:
для загальної суми квадратів Sy потрібно (n–1) незалежних чисел, тобто ступенів вільності;
для залишкової суми квадратів Su – (n–m1) ступенів вільності;
для регресійної суми квадратів SY – (m1–1) ступенів вільності.
|
Ступінь вільності |
|||
|
– сума квадратів відхилень фактичних значень Y від середньоарифметичного Y |
Загальна сума квадратів відхилень |
(n-1) |
|
|
– сума квадратів відхилень фактичних значень Y від розрахункових |
Залишкова сума квадратів відхилень |
(n–m1) |
|
|
– сума квадратів відхилень розрахункових значень Y від середньоарифметичного Y |
Регресійна сума квадратів відхилень |
(m1–1) |
де n – кількість спостережень;
m1 – кількість параметрів моделі.
Перевірка значущості та довірчі інтервали
Розглянуті показники якості моделі побудовані за даними спо стережень, тобто є деякими вибірковими характеристиками генераль ної сукупності.
З математичної статистики відомо, що будь-яка ста тистика має бути перевірена на значущість. За допомогою спеціальних критеріїв не обхідно встановити, чи зумовлено значення цієї функції лише похиб ками вимірювання, чи вона відображає якусь суттєву інформацію.
Неперевірений статистичний результат є лише деякою гіпотезою, яка може бути прийнята чи відхилена.
Стосовно кожного статистичного результату висувається так зва на нульова гіпотеза (про рівність нулю деякої випадкової величини) і альтернативна до неї гіпотеза (про її суттєву відмінність від нуля).
У нульовій гіпотезі формулюють результат, який бажано відхилити, а в альтернативній, яка інакше називається експериментальною, – той, що його необхідно підтвердити.
2.1. Перевірка значущості коефіцієнта детермінації
Для перевірки статистичної значущості коефіцієнта детермінації R2 висувається нульова гіпотеза H0: R2=0. Це означає, що досліджу ване рівняння не пояснює змінювання залежної змінної (Y) під впливом відпо відних незалежних змінних. У такому разі всі коефіцієнти при незалежних змінних мають дорівнювати нулю. При цьому нульову гіпотезу мож на подати у вигляді
H0 : b1 = b2 = ... = bn = 0.
Альтернативною до неї є НА: значення хоча б одного параметра моделі відмінне від нуля (bj ≠ 0), тобто хоча б один із факторів впливає на змінювання залежної змінної.
Для перевірки цих гіпотез застосовують F-критерій Фішера з m і n–m–1 ступенями свободи. За отриманими в моделі значеннями коефіцієнта детермінації R2 обчислюють експериментальне значення F-статистики:
(2.12)
яке порівнюють з табличним значенням розподілу Фішера при зада ному рівні значущості a (як правило, a = 0,05 або a = 0,01). Якщо Fексп > Fтабл нульова гіпотеза відхиляється, тобто існує такий ко ефіцієнт у регресійному рівнянні, який суттєво відрізняється від нуля, а відповідний фактор виливає на досліджувану змінну. Відхи лення нуль-гіпотези свідчить про адекватність побудованої моделі. У протилежному випадку модель вважається неадекватною.
2.2. Перевірка значущості коефіцієнта кореляції
Коефіцієнт кореляції, як вибіркова характеристика, перевіряєть ся на значущість за допомогою t-критерію Ст’юдента. Фактичне зна чення
t-статистики обчислюється за формулою
(2.13)
і порівнюється з табличним значенням t-розподілу з n–m–1 ступе нями свободи та при заданому рівні значущості a/2 (такий рівень зу мовлений тим, що критична область складається з двох проміжків).
Якщо абсолютна величина експериментального значення
t-статистики перевищує табличне, тобто |tексп|>tтабл, можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (зна чущий), а зв'язок між залежною змінною та всіма незалежними фак торами суттєвий.
2.3. Оцінка статистичної значущості параметрів моделі
Окрім загальних показників адекватності моделі існують також оцінки, що дають змогу встановити якість окремих частин рівняння, зокрема одного чи кількох коефіцієнтів регресії.
Як і в попередніх випадках, рішення відносно якості коефіцієнтів приймають на основі відповідних статистичних критеріїв.
Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд
Н0 : bj = 0,
альтернативна
НА : bj ≠ 0.
Експериментальне значення t-статистики для кожного параметра моделі обчислюється за формулою
(2.14)
де Сjj – діагональний елемент матриці (Х′Х)–1 ;
– стандартна похибка оцінки параметра моделі:
(2.15)
Експериментальне значення tj-критерію порівнюється з таблич ним значенням tтабл з n–m–1 ступенями свободи при заданому рівні значущості a/2 (критична область розбивається на два фрагмен ти, межі яких задаються квантилем a/2). Якщо значення t-статистики потрапляє до критичної області (за абсолютним значенням пере вищує tтабл), приймається альтернативна гіпотеза про значущість відповідного параметра. Інакше робиться висновок про статистичну незначущість параметра bj, а це означає, що відповідна незалежна змінна не впливає суттєво на змінювання залежної змінної.
Контрольні запитання
За допомогою яких характеристик перевіряється тіснота зв'язку між змінними моделі?
Що показує коефіцієнт детермінації і в яких межах він приймає значення?
Що показує коефіцієнт кореляції?
Запишіть формулу дисперсії залишків.
З якою метою розраховуються стандартні похибки оцінок параметрів?
За якими характеристиками вибирається табличне значення критерію Фішера?
Як визначити коефіцієнт детермінації у парній регресійній моделі?
Як визначити коефіцієнт кореляції у парній регресійній моделі?
Література [2, с. 25-38; 3, с. 43-46,96-106, 111-130; 4, с. 44-60,63-65,102; 5, с. 23-29, 113-120, 127-140; 6, с. 41-58].
Лекція № 5
Тема . Методи побудови нелінійних економетричнх моделей.
План:
1. Види рівнянь регресії
2. Парні економетричні моделі
3. Алгоритми побудови моделей
1. Види рівнянь регресії
Економічна теорія виявила й дослідила значну кількість сталих і стабільних зв'язків між різними показниками. Наприклад, добре вивчено залежності споживання від рівня доходу, попиту – від цін на товари, між рівнями без робіття та інфляції, залежність обсягу виробництва від окремих фак торів (розміру основних фондів, їх віку, підготовки персоналу тощо); залежність між продуктивністю праці та рівнем механізації, а також багато інших залежностей.
Харчова промисловість не має самостійних законів економічного розвитку. Для неї характерна наявність ряду закономірностей, зв'язаних з особливостями сировини, наявністю сезонних коливань у виробленні продукції, технологією й устаткуванням що використовується, характером продукції.
По видах використовуваної сировини харчова промисловість підрозділяється на галузі:
а) по первинній переробці сировини (у них тісний зв'язок із сільським господарством). Це виробництво цукру, первинне виноробство, спиртова, крохмалопаточна, плодоовочеконсервна галузі;
б) вторинна переробка сировини. Виробництво цукру-рафінаду, вторинне виноробство, хлібопекарська, кондитерська;
в) видобувна промисловість (соляна, рибна).
По особливостях збуту готової продукції галузі харчової промисловості поділяються:
a) по щоденних замовленнях (хліб, кондитер);
в) підприємства, що працюють «на склад» (кондитерська, макаронна, лікеро-горілчана, вино).
Види рівнянь регресії:
|
Функції |
Аналітичний вираз |
|
|
1. |
Лінійна |
Y = a0 + a1X |
|
2. |
Параболічна |
Y = a0 + a1X2 |
|
3. |
Гіперболічна |
|
|
4. |
Степенева |
|
|
5. |
Показникова |
|
|
6. |
Модифікована експоненціальна |
|
|
7. |
Показниково-степенева |
|
|
8. |
Екологічна |
|
|
9. |
Логістична |
|
|
10. |
Гомперця |
|
|
11. |
Ірраціональна |
|
|
12. |
Обернена до квадратичної |
|
|
13. |
Дрібно-раціональна |
|
|
14. |
Функція Джонсона |
|
|
15. |
Функції Тронквіста |
|
2. Парні економетричні моделі
Здебільшого залежність між показниками можна відобразити за допомогою лінійних співвідношень.
Наприклад, для моделювання залежності індивідуального спожи вання С від наявного прибутку Y .
Кейнс запропонував лінійне рів няння
де с0 – величина автономного споживання;
b – гранична схильність до споживання (0 < b < 1).
Однак припущення щодо лінійної залежності між певними показ никами економічного явища чи процесу може не підтверджуватися даними спостережень цих показників.
В дея ких випадках залежність є суттєво нелінійною.
Залеж ність між рівнем безробіттям і рівнем інфляції Y відображається так званою кривою Філіпса:
де а>0, b>0 – параметри моделі, а змінні і Y вимірюються у процентах.
При незмінній річній дисконтній (обліковій) ставці і по чатковому внеску a через років у банку наявна сума грошей об числюватиметься за формулою
y = a(1 + r)x
де a, у — параметри моделі.
При маркетингових і ринкових дослідженнях, при дослідженні збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву Гомперця:
де параметри та можуть набувати будь-яких значень, а b перебу ває в таких межах: 0 < b < 1.
Зв'язок між обсягом виробленої продукції Y та основними вироб ничими ресурсами, а саме обсягом витраченого капіталу С і обсягом витрат праці L, також має нелінійний характер:
Y=dCa , y=cLb .
a, b, с, d – числові параметри; с, d > 0, a, b ³ 0.
Y – обсяг виробленої продукції;
C – обсяг витраченого капіталу;
L – обсяг витрат праці.
3. Алгоритми побудови моделей
Нелінійні зв'язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або апроксимують (наближують) лінійними функціями.
Модель лінійної регресії (лінійне рівняння) є найпоширенішим
видом залежності між економічними змінними. Побудоване лінійне рівняння може слугувати початковою точкою в разі складних (суттєво нелінійних) залежностей.
Використання 1МНК для оцінки теоретичних параметрів моделі
aj (j = 0,1,2) найпростіших рівнянь парної регресії приводить до таких систем нормальних рівнянь:
лінійна залежність Y = a0 + a1X
y
a
б
x
а – прямий зв’язок; б – обернений зв'язок
Малюнок 3.1. Лінійна залежність
б) параболічна залежність Y = a0 + a1X2
де х1=х2 .
y
б
а
x
а – парабола; б – обернена парабола
Малюнок 3.2. Параболічна залежність
в) гіперболічна залежність
де .
y
а
б
x
а – гіпербола; б – обернена гіпербола
Малюнок 3.3. Гіперболічна залежність
г) степенева залежність
де
Малюнок 3.4. Степенева залежність
Контрольні запитання
Наведіть приклади економетричних моделей.
Що означає специфікація моделі?
Назвіть шляхи перетворень нелінійних моделей до лінійних.
Чи є крива Гомперця нелінійною за параметрами функцією?
Які моделі використовуються в маркетингових дослідженнях?
Література [3, с. 179-200; 4, с. 138-150; 6, с. 66-73]
Методичні рекомендації та завдання по темам курсу
Комплексна самостійна робота №1.
Тема: Виникнення та розвиток економетрика як науки. Економетричні дослідження та їх структура.
Учбові цілі:
Студент повинен знати: предмет економетрика, економетричний об’єкт, модель, тип моделей, елементи, елементи моделі, регресія, кореляційний зв’язок, регресія, кореляційний зв’язок, рівняння регресії.
1. Вихідні знання та вміння.
- предмет вивчення статистики.
- вміння розраховувати середні показники.
- володіти методом графічного аналізу.
- розуміння «природи» матриці даних.
- знання математичних функцій та їх зображення.
- поняття «тенденції розвитку».
2. Завдання до самопідготовки.
Вивчити:
2.1. Історію та розвиток економетрики як науки.
2.2. Економетрична модель Кобба-Дугласа, роль та призначення.
2.3. Моделі великої розмірності.
2.4. Економетричні моделі для української економіки.
2.5. Структура економетричних досліджень.
3. Методичні поради щодо виконання самостійної роботи.
При вивчені теми студенту буде цікаво познайомитись з повними фактами та іменами, впливом котрих формувалась та розвивалась наука «Економетрика».
Павло Цьомна, Рогнар Фрим, В. Порето, Р. Хукер, А.А. Чупров, Р. Солоу – це імена відомих вчених, які визначили новий напрямок в економічній науці.
Розгляньте автобіографію та найбільш значні ідеї цих економістів які вплинули на розвиток науки та на її становлення.
Перші економетричні моделі були створені у середині 30-х років ХХ-століття. Дайте відповідь, чому саме в цей час виникла конкуренція «світу досконалої конкуренції»?
Перші економетричні моделі в США співпали на період «нового курсу» Ф. Рузвельта. Виробнича модель Кобба-Дугласа у 1929-1933. Як пов’язано економетричне моделювання з політикою держави?
Розгляньте першу модель Кобба і Дугласа, яка вивчає можливість заміщення ресурсів в рамках двухфакторної виробничої функції.
Починаючи з другої половини 40-х років в ряду зовнішніх та внутрішніх факторів економічного, соц.-економічного, екологічного, характеру підвищився інтерес з боку держави. Почали розроблятись економетричні моделі великої розмірності: автор Т. Купманс (Нобелівська премія в галузі економіки 1975 р.), Л. Клейн (Нобелівська премія в 1980 р.), Р. Стоун, Р. Престон та інші.
Рекомендується познайомитись з моделями великої розмірності, які описували на макрорівні структурні залежності між виробництвом, попитом, цінами, податками, зовнішньою торгівлею, пропозицією робочої сили, накопиченням та зносом капіталу.
Пропонується ознайомитись зі змістом та методологією побудови класичних моделей:
Брухингської квартальної моделі 60-х років.
Модель ОВЕ.
Динамічні міжгалузеві моделі, розроблені К. А’моном.
Енергетична модель Б. Берменсе и Д. Джоргенсона.
Модель фінансових потоків Фрома.
Перша економетрична модель для України була розроблена при Госплані СРСР у рамках планування та прогнозування показників розвитку економіка сьогодні республіки.
Студентам пропонується розглянути сучасні економетричні моделі розвитку України, галузей, регіонів тощо.
Треба пам’ятати, що економетричні дослідження мають певну структуру. Отже, необхідно визначити основні елементи структури, привести їх характеристику.
4. Результати роботи представити у вигляді рефератів.
5. Рекомендована література.
Лук’яненко І.Г. Краснікова Л.І. Економетрика: підручник. . – К.: товариство ”Знання”, ККО, 1998. – 494с.
Опря А.Т. Математична статистика. – К.: Урожай, 1994. – 208с
Мазаракі А.А., Тол батов Ю.А. Математичне програмування в Excel. – К.: Четверта хвиля, 1998. – 208с.: іл.
Кулинич О.І. Економетрика. Практикум. – Хмельницький: Поділ, 1998, - 157с.
Комплексна cамостійна робота №2
Тема:Основи математичного моделювання економічних процесів.
Учбові цілі:
Студент повинен знати: поняття моделі, класифікацію ознак, ендогенні та екзогенні змінні, розподіл ознак, елементи системи моделі.
Студент повинен вміти: розділяти змінні моделі на групи, виділяти головні інструментальні змінні, робити апріорний аналіз.
1.Вихідні знання та вміння:
Поняття великих сукупностей, закономірності, тенденція, методи узагальнення явища, основи математичної статистики, основи теорії вірогідності.
2. Завдання до самопідготовки:
2.1.Вивчити:
2.1.1. Основні типи економетричних моделей.
2.1.2. Класифікація економетричних методів та їх характеристика.
2.2. Навести приклади:
2.2.1. використання регресійних моделей з одним рівнянням.
2.2.2.прогнозних моделей попиту,споживання,прогнозування відсоткових ставок,тощо.
3. Методичні поради щодо самостійного вивчення теми.
Економетрика як самостійна наукова дисципліна використовує в той же час поняття та методи розв'язку задач з багатьох розділів математики. Економетрика поділяється на дві частини:
1) Економетричні методи;
2) Економетричні моделі економічних процесів і явищ.
Зверніть увагу на те,що економетричні методи можна умовно розбити на чотири групи:
-До першої групи входять методи оцінювання параметрів класичної економетричної моделі за методом найменших квадратів.
-До другої групи належать методи оцінювання параметрів узагальненої моделі, коли порушуються деякі передумови використання методу найменших квадратів.
-До третьої групи входять методи оцінювання параметрів динамічних економетричнпх моделей.
-Четверта група охоплює методи оцінювання параметрів економетричних моделей, які побудовані на основі системи одночасних структурних рівнянь.
Студент повинен розуміти,що математичні моделі корисні для більш повного розуміння суті процесів, що відбуваються, їх аналізу. Серед моделей, які використовуються для аналізу та/або прогнозування, можна виділити три основні класи:
1. Моделі часових рядів
2. Регресійні моделі з одним рівнянням
3. Системи одночасних рівнянь.
Необхідно розглянути та охарактеризувати кожен клас моделей окремо.
Моделі часових рядів
До цього класу відносяться такі моделі:
тренду: y(t) = T(t) + t,
де T(t) - часовий тренд заданого параметричного виду (наприклад, лінійний)
T(t) = ао + а1t, t - випадкова (стохастична) компонента);
Сезонності: y(t) = S(t) + t,
де S(t) - періодична (сезонна) компонента,
t - випадкова (стохастична) компонента);
тренду та сезонності:
y(t) = T(t) + S(t) + t (адитивна)
або
y(t) = T(t) S(t) + t (мультиплікативна),
де T(t) - часовий тренд заданого параметричного виду, S(t) - періодична (сезонна) компонента, ех - випадкова (стохастична) компонента).
До моделей часових рядів відносяться множина більш складних моделей, таких як моделі адаптивного прогнозу, моделі авторегресії та ін. Загальною рисою є те, що вони об'єднують поведінку часового ряду, виходячи тільки з його попередніх значень. Такі моделі можуть бути використаними, наприклад, для вивчення та прогнозування об'єму продажу, попиту, короткострокового прогнозування відсоткових ставок та т.п.
Регресійні моделі з одним рівнянням
В таких моделях залежна (пояснювана) змінна у зображується у вигляді функції , де - незалежні (,що пояснюють) змінні, а - параметри. В залежності від вибору функції f(х,р) моделі діляться на лінійні та нелінійні.
Область використання цих моделей, навіть лінійних, значно ширше, ніж моделей часових рядів. Наприклад, можна дослідити попит як функцію від часу, температури повітря, середнього рівня доходу бо залежність заробітної плати від віку, статі, рівня освіти, стажу роботи та т.п.
Системи одночасних рівнянь
Ці моделі описуються системами рівнянь,з якими студенту необхідно ознайомитись. Системи можуть складатися з тотожностей та регресійних рівнянь, кожне з яких може, окрім змінних, що пояснюють, включати в себе також змінні, які пояснюються, з інших рівнянь системи. Таким чином, ми маємо набір змінних, що пояснюються, пов'язаних через рівняння системи. Прикладом може бути модель попиту та пропозиції. Системи одночасних рівнянь вимагають використання більш складного математичного апарату. Вони можуть використовуватися для моделей державної економіки та ін.
-Типові економіко-математичні моделі:
-Виробничі функції
-Функції попиту різних груп споживачів та цільові функції більшості споживачів
-Статичні та динамічні міжгалузеві моделі виробництва
-Розподіл та споживання продукції
Приклад економетричної моделі.
Модель споживання. Метою усіх виробничих систем є виробництво матеріальних благ, які споживаються відразу або надходять у запаси і споживаються у майбутньому.
Усі види споживання можна поділити на дві групи: виробниче і невиробниче споживання.
Студент повинен пам’ятати,що метою вивчення обсягу споживання є пошук закономірностей споживання деякого товару або групи товарів залежно під їх ціни, доходу населення та інших параметрів. .
Економічні та статистичні спостереження споживання дозволяють висунути певні гіпотези і описати закономірності за допомогою моделі.
Позначимо уі - споживання і - го продукту (наприклад, олії) і-тою сім'єю, доход якої дорівнює Хi.
Якщо кожному значенню хі відповідає одне певне значення уі, то між Хі та Уі існує певний функціональний зв'язок: уі=f (xi).
Але на розмір споживання продукту уі крім доходу сім'ї хі, впливають інші фактори (розмір сім'ї, середній вік, специфіка праці, схильність до ощадливості, стриманість або надмірність у витратах), частина яких є випадковими. Сім'ї з однаковим доходом , хі мають різний розмір споживання, тому функціональний зв'язок теоретично треба замінити рівнянням регресії
Ŷ = f (хі) (1.1)
де Ŷi— середнє значення розміру споживання і - ого продукту.
Якщо врахувати вилив усіх випадкових факторів і ввести у моделі, випадкову складову Li, то одержимо
Ŷ = f (хі) + Li
Загальний вигляд моделі споживання для і=1, 2,..., n, буде
Y = F(X) + L,
де У, X та L - вектори.
В частності, у випадку лінійної функції f теоретична модель має вигляд
Ŷ = ах + b (1. 2)
де а та b - невідомі параметри. Наблизити обчисленні значення Ŷ до фактичних можна шляхом заміни рівняння (1. 2) лінійним рівнянням
Y = αX + β + L (1.3)
з стохастичною складовою L. Бажано, щоб L є N (0,δ2).
Треба відмітити, що коефіцієнти α. та β моделі (1.3) називають оцінюваними параметрами, а коефіцієнти а та b в моделі (1.2) називають їх оцінками.
На підставі вибіркових спостережень X та У потрібно - не лише статистично оцінити коефіцієнти а та b в моделі (1.2), але і перевірити виконання щодо них, наприклад, таких гіпотез:
Чи буде гранична схильність до споживання (коефіцієнт а>1/2) більша за половину?
Чи можна вважати споживання пропорційним доходу сім'ї (b = 0)?
Чи виправдана для розглядаємої вибіркової сукупності гіпотеза про сталу дисперсію відхилень (залишків) для усіх значень X?
Студенту необхідно знати, що ці запитання є типовими задачами економетричних досліджень.
4. Результати самостійної роботи представити у вигляді реферата або схеми.
5. Рекомендаційна література:
1. Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. пособие. - Минск: Новое знание, 2001. – 408 с.
2. Лук’яненко І.Г. Краснікова Л.І. Економетрика: підручник. . – К.: товариство ”Знання”, ККО, 1998. – 494с.
3. Кулинич О.І. Економетрія: Навчальний посібник. - Хмельницький: Поділля, 1997. - 115 c.
4. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. - М.: Статистика, 1965. - 368 с.
5. Толбатов Ю.А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. - К.: Четверта хвиля, 1997. - 320 с.