тематике 1 семестр
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Вопросы к экзамену по высшей математике. 1 семестр.
Группы 1081/3,4; 1082; 1084; 1085/2,5; 1087; 1088.
- Предел числовой последовательности. Теорема о стабилизации знака.
- Теорема о предельном переходе в неравенствах. Теорема о сжатой последовательности.
- Бесконечно малая последовательность. Ограниченность числовой последовательности, имеющей предел. Лемма о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей.
- Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми последовательностями. Бесконечно большие последовательности и арифметические операции.
- Теорема о вложенных отрезках.
- Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
- Число e.
- Теорема Больцано- Вейерштрасса.
- Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- Предел функции в точке. Равносильность двух определений предела.
- Ограниченность функции, имеющей предел.
- Теоремы о неравенствах и пределах.
- Теорема об арифметических операциях и пределах.
- Теорема о пределе суперпозиции функций.
- Критерий Коши существования предела функции.
- Функции, имеющие бесконечные пределы, их связь с бесконечно малыми функциями. Арифметические операции над ними. Теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной функций.
- Односторонние пределы. Их связь с пределом функции.
- Замена на эквивалентные при вычислении пределов. Необходимое и достаточное условия эквивалентности функций f(x) и g(x).
- Правила дейтвий с символом о-малое.
- Первый замечательный предел .
- Второй замечательный предел . Следствия.
- Определение функции, непрерывной в точке. Классификация точек разрыва.
- Теорема о функциях , непрерывных в точке. Предел суперпозиции функций, одна из которых непрерывна. Следствия.
- Теорема Кантора.
- Первая теорема Вейерштрасса.
- Вторая теорема Вейерштрасса.
- Первая теорема Коши о значениях функции, непрерывной на отрезке.
- Вторая теорема Коши о значениях функции, непрерывной на отрезке.
- Специфика точек разрыва монотонной функции.
- Непрерывность функции, монотонной на отрезке и переводящей этот отрезок в отрезок.
- Обратные функции. Непрерывность обратной к монотонной функции.
- Теорема о связи производной и дифференциала функции.
- Связь непрерывности и дифференцируемости. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- Производная и дифференциал суммы и произведения функций.
- Теорема о производной сложной функции. Производная отношения двух функций.
- Свойство инвариантности формы первого дифференциала.
- Производная обратной функции. Производные функций ,.
- Производные элементарных функций .
- Односторонние производные и их связь с производными. Связь и в точке для функции
.
- Теорема Ферма.
- Теорема Ролля.
- Теорема Коши.
- Теорема Лагранжа и следствия из нее.
- Производные высших порядков. Примеры.
- Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов высших порядков.
- Формула Лейбница.
- Производная функции, заданной параметрически.
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Следствия.
- Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- Правило Лопиталя.
- Вычисление пределов , , , ,.
- Аналитические признаки поведения функции.
- Необходимое условие существования экстремума. Первое достаточное условие существования экстремума.
- Второе достаточное условие существования экстремума.
- Выпуклые функции. Доказательство неравенства для выпуклой вниз функции.
- Достаточное условие строгой выпуклости. Следствие о положении касательной
- Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.
- Асимптоты. Условия существования вертикальных и наклонных асимптот к графику функции.
-
- Определение и свойства операций сложения и умножения комплексных чисел.
- Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической.
- Свойства и неравенства для модуля комплексных чисел.
- Свойства комплексно-сопряженных чисел.
- Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корня из комплексного числа.
- Показательная функция комплексной переменной. Формула Эйлера.
- Логарифмическая и степенная функции комплексной переменной.
- Определение многочлена. Равенство многочленов.
- Теорема о делении многочлена на многочлен с остатком.
- Теорема Безу.
- Основная теорема алгебры и следствия из нее.
- Разложение на вещественные множители многочлена с вещественными коэффициентами.
- Разложение рациональной дроби в сумму простейших. Метод неопределенных коэффициентов разложения правильной дроби в сумму простейших.
- Определение и свойства первообразной. Теорема о связи первообразных одной функции.
- Таблица основных неопределенных интегралов (с доказательствами).
- Интегрирование с помощью замены переменной. Вычисление .
- Интегрирование по частям. Вычисление .
- Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование функций, рациональных относительно .
- Интегральные суммы Римана. Определение определенного интеграла. Теорема об ограниченности функции, интегрируемой на отрезке.
- Суммы Дарбу: определение, свойства.
- Признак интегрируемости функции, использующий суммы Дарбу.
- Теорема об интегрируемости функции на более узком промежутке.
- Теорема о связи интегралов от f на промежутках [a,b], [a,c], [c,b].
- Интегрируемость непрерывной функции.
- Интегрируемость монотонной и ограниченной функции.
- Действия над интегрируемыми функциями.
- Теорема об интегрировании функции, равной нулю всюду, за исключением конечного числа точек, и функции, у которой изменены значения в конечном числе точек.
- Свойства определенного интеграла.
- Теорема о среднем значении функции на промежутке. Следствия.
- Неравенства для определенных интегралов.
- Непрерывность функции .
- Дифференцируемость функции . Формула Ньютона – Лейбница.
- Формулы интегрирования по частям и замены переменных в определенном интеграле.
- Несобственные интегралы II рода: определение, главное значение. Критерий сходимости интеграла II рода от неотрицательной функции.
- Первый и второй признаки сравнения. Сходимость интеграла .
- Общий критерий сходимости несобственных интегралов II рода. Теорема о связи сходимости и абсолютной сходимости.
- Несобственные интегралы I рода: определение, главное значение. Признаки сходимости.
- Признак Дирихле. Сходимость интеграла при р>0.
- Основные формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. Гамма-функция.
- Понятие площади. Площадь криволинейной трапеции. Вычисление площади эллипса с помощью параметризации кривой.
100. Площадь криволинейного сектора. Вычисление площади круга.
101. Понятие объема. Объем прямого кругового цилиндра.
102. Объем тела вращения. Объем тела с известными площадями поперечных
сечений. Объем эллипсоида.
103. Длина кривой, заданной параметрически. Следствия. Вычисление длины
окружности.